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13.2.2 探索三角形全等的条件(SAS)

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12.2.2三角形全等的判定-SAS(教案)

12.2.2三角形全等的判定-SAS(教案)
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“SAS全等判定在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解SAS全等判定的基本概念。SAS即“边角边”，当两个三角形中有两边和它们夹的角相等时，这两个三角形全等。这个判定方法是几何中非常重要的一部分，它帮助我们解决了很多实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过这个案例，我们将看到SAS在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
-举例解释：
-例如，给出两个三角形，其中一个三角形的两边和夹角与另一个三角形的部分元素相等，但不满足SAS条件，如只有两边相等。此时，教师需引导学生识别这种情况并不满足SAS判定，不能直接得出全等的结论。
-在解决实际问题时，教师可以指导学生先识别出已知的SAS条件，再进行判定。如在一个多边形内，已知两条边和一个角，教师需引导学生如何找出第三条边，以形成SAS条件。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《三角形全等的判定-SAS》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要判断两个三角形是否完全相同的情况？”比如，在拼接图形或制作模型时，我们需要确认两个三角形的尺寸和形状是否一致。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形全等的奥秘。

13.2.3全等三角形的判定(SAS)导学案

13.2.3全等三角形的判定(SAS)导学案

(第4题)13.2.2全等三角形的判定（SAS ）学习目标：掌握SAS 的内容，会运用SAS 来识别两个三角形全等；通过识别全等三角形的识别的学习，初步认识事物之间的因果关系与相互制约关系，学习分析事物本质的方法；经历如何总结出全等三角形识别方法，体会如何探讨、实践、总结，培养学生的合作能力。

一、自主学习1.思考：如果两个三角形有三组对应相等的元素（边或角），那么会有哪几种可能的情况？2.思考：如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角，比如三角形两条边分别为3cm 和4cm ，它们的夹角为45︒，你能画出这个三角形吗？你画的与同伴画的一定全等吗？换两条线段和一个角试试，你发现了什么？3..边角边理：如果两个三角形有______________及其_____________分别对应相等，那么这两个三角形____________.4.用两条线段和一个角画三角形，能画______种不同的三角形.所以在用边角边公理判定两三角形是否全等时，这个角必须是两边的_______角.二、合作探究例1:如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，试说明△ABD ≌△ACD .变式训练(1)求证： ∠B ＝∠C ． (2)求证：BD=CD (3)求证：AD ⊥BC练一练：如图，在△AEC 和△ADB 中，已知AE=AD ，AC=AB 。

请说明△AEC ≌ △ADB 的理由。

解：在△AEC 和△ADB 中 AE =____(已知)____= _____(公共角)_____= AB ( )∴ △_____≌△______（ ）例2.点M 是等腰梯形ABCD 底边AB 的中点，求证： △AMD ≌△BMC练习：已知：AD ＝BC ，∠ADC ＝∠BCD ．求证： ∠BDC ＝∠ACD ．三、展示提升： 1.如图，已知：在ABC △和DCB △中，AC DB =，若不增加任何字母与辅助线，要使ABC DCB △△≌，则还需增加一个条件是 ． （见下图）2. 如图，线段AC 与BD 交于点O ，且OA =O C, 请添加一个条件，使△OAB ≅△OCD ,这个条件是D C B AA B C D F EDEACB 图1E DCBAOEDCBA图2OEDCBA图3______________________.3. 如图，AB AC = ，要使ABE ACD △≌△，应添加的条件是____________ ．(添加一个条件即可)4.如图，A ，B ，C ，D 在同一直线上，AB CD =，DE AF ∥，若要使ACF DBE △≌△，则还需要补充一个．．条件： . 5.如图，AB AD =，AC AE =，12∠=∠，求证：BC DE =6．已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ． 求证：AB ∥CD四、检测反馈 1、（2006·烟台市）如图1，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A 等于（ ）A 、25°B 、30°C 、45°D 、60°2、（2005·广东）如图2，已知CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC ，那么图中全等的三角形共______________对。

sas全等三角形判定定理

sas全等三角形判定定理

sas全等三角形判定定理
SAS（边-角-边）全等三角形判定定理指如果两个三角形的其中两条边和它们之间所夹的角度相等，则这两个三角形是全等的。

具体来说，如果两个三角形中的一条边和它所对的角度分别相等，而另一条边也相等，则这两个三角形是全等的。

例如，若已知两个三角形ABC和DEF，满足AB=DE，BC=EF，∠BAC=∠EDF，则可判定这两个三角形全等。

其中AB和DE为S，∠BAC和∠EDF为A，BC和EF为S，由此可得SAS全等三角形判定定理。

这个定理可以用来解决各种问题，包括建筑设计、测绘学、航空航天工程等领域的空间问题。

13.2三角形全等判定_-边角边(SAS)

13.2三角形全等判定_-边角边(SAS)

已知：如图，AD∥BC,AD=CB. 求证: △ADC≌△CBA 证明：∵AD∥BC 1 ∴ ∠1=∠2 (两直线平行，内错角相等)
B 在△ADC和△CBA中 AD=CB（已知） ∵ ∠1=∠2(已证） AC=CA(公共边) ∴ △ADC≌△CBA(S.A.S.) A D
2 C
1. 三角形全等的条件,两边和它们的夹角对应相等的两 个三角形全等 (边角边或SAS)
6cm 8cm 45 ° N C 6cm A 45 ° 8cm B M
画法： 1.画∠MAN= 45° 2.在射线AM上截取AB= 8cm 3.在射线AN上截取AC=6cm 4.连接BC ∴△ABC就是所求的三角形
把你所画的三角形剪下来与其他同学所画的三角形进行比较，我们能发 现什么?
结论:三角形全等判定方法一
求证: △ABE≌△ACD 证明：在△ABE和△ACD中 AB=AC（已知）
D
E
∠A=∠A（公共角）
AD=AE(已知)
B
C
∴ △ABE≌△ACD(S.A.S.)
如图有一池塘。要测池塘两端 A 、 B的距离，可无法直接达到，因此这两点的距离 无法直接量出。你能想出办法来吗？
在平地上取一个可直接到达A和B的点C，连 结AC并延长至D，使CD=CA；延长BC并延 长至E，使CE=CB连结ED，那么量出DE的 长，就是A、B的距离.为什么？ 提示：写出已知、求证，试着证明，并 与课本及同桌进行对比，不足之处请及 时改正，有更好的方法可以提出来。
例题:
如图,在△ ABC中,AB=AC,AD平分∠ BAC,
求证: △ABD ≌ △ACD 证明: ∵AD平分∠ BAC
∴ ∠ BAD= ∠ CAD
A
在△ABD 与△ACD中,

全等三角形的判定(SAS)

全等三角形的判定(SAS)
AE=AE
(已知），
(公共边），
(已证），
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
∴△ABE≌△ACE（SAS）.
5.如图，已知CA=CB,AD=BD, M，N分别是CA，CB的中点，求证：DM=DN.
在△ABD与△CBD中
证明:
CA=CB (已知） AD=BD （已知） CD=CD （公共边）
∴△ACD≌△BCD（SSS）
(已知），
(已证），
(已证），
已知：如图，AB=AC, BD=CD，E为AD上一点， 求证： BE=CE.
变式1
证明：
∴ ∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
AB=AC
BD=CD
AD=AD
(已知），
(公共边），
(已知），
∴ BE=CE.
在△ABE和△ACE中，
AB=AC
∠BAD=∠CAD
C
方法总结：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．
针对训练
例1 ：如果AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD，那么 △ ABD 和△ CBD 全等吗？
分析:
△ ABD ≌△ CBD.
边:角:边:
AB=CB(已知)，
∠ABD= ∠CBD(已知)，
？
A
B
C
D
(SAS)
BD=BD(公共边).
典例精析
证明：
在△ABD 和△ CBD中，
AB=CB(已知)，
∠ABD= ∠CBD(已知)，
∴ △ ABD≌△CBD ( SAS).
BD=BD(公共边)，

三角形全等的条件9

三角形全等的条件9
AB NhomakorabeaC
E
D
二、例题：
1、已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE
求证： △ABD≌△ACE
证明:∵∠BAC=∠DAE（已知） ∠ BAC+ ∠ CAD= ∠DAE+ ∠ CAD
A
∴∠BAD=∠CAE
在△ABD与△ACE
AB=AC（已知） ∠BAD= ∠CAE （已证）B
AD=AE（已知）
已知：任意 △ ABC，画一个△ A/B/C/， 使A/B/＝AB， ∠A/ =∠A， A/C/＝AC：
画法： 1、画∠DA/ E=∠A ； 2、在射线A/ D上截取A/B/＝AB，在射线 A/ E上截取A/C/＝AC； 3、连结B/C/。 △A/B/C/就是所要画的三角形。
问：通过实验可以发现什么事实？
键。如果写议，论点一定要明确，议论一定要新颖，深刻；如果写记叙文，选材应生动感人。 17.话题作文:宽与窄 阅读下面的文字，按要求作文。 著名作家余华在他的长篇小说《兄弟》后记中写道：“起初我的构思是一部十万字左右的小说，
探究反映的规律是： 两边和它们的夹角对应相等的 两个三角形全等 （简写成“边角边”或“SAS”）
∴△ABD≌△ACE（SAS) C
DE
求证：1.BD=CE 2. ∠B= ∠C
3. ∠ADB= ∠AEC
变式1：已知：如图， AB⊥AC,AD⊥AE,B=AC,AD=AE.
求证： ⑴ △DAC≌△EAB
B
1. BE=DC 2. ∠B= ∠ C 3. ∠ D= ∠ E 4. BE⊥CD
13.2 三角形全等的条件⑵ SAS
知识回顾
上一节我们探究了两个 三角形满足三条边对应相等 时，这两个三角形全等，你 认为还有其他情况吗？

华师大版八年级数学上册13.2.3全等三角形的判定边角边(S.A.S)教学设计

二、学情分析
八年级学生在前期的学习中，已经掌握了平面几何的基本概念、三角形的基本性质以及全等三角形的初步认识。在此基础上，学生对全等三角形的判定方法具有一定的理论基础和实践经验。然而，边角边（S.A.S）这一判定方法的引入，对学生来说仍具有一定的挑战性。因此，在教学过程中，教师需关注以下几点：
1.学生在几何直观感知和空间想象能力方面的发展水平不同，对全等三角形的判定方法理解程度存在差异。教师应充分调动学生的几何直观，通过实物模型、几何画板等教学手段，帮助学生建立清晰的空间概念。
1.教师将学生分成若干小组，每个小组讨论以下问题：
a.边角边（S.A.S）判定全等三角形的条件是什么？
b.如何运用边角边（S.A.S）判定方法解决实际问题？
c.在运用边角边（S.A.S）判定全等三角形时，需要注意哪些问题？
2.学生在小组内分享自己的观点，展开讨论，共同解决问题。
3.教师巡回指导，关注学生的讨论过程，及时解答学生的疑问。
结合教材中的典型例题，引导学生运用边角边（S.A.S）判定方法进行分析、解答。通过案例分析，帮助学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
4.实践应用，拓展提高
设计具有挑战性的实践题目，让学生将所学知识应用于解决实际问题。同时，针对学生的个体差异，提供不同难度的题目，使学生在实践中拓展提高。
5.总结反思，内化知识
4.针对学生的学习兴趣和动机，教师应结合生活实际，设计丰富多样的教学活动，激发学生的学习兴趣，提高学生对全等三角形判定方法的重视程度。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.边角边（S.A.S）全等三角形的判定方法的掌握与应用。
2.全等三角形性质的理解及其在解决实际问题中的应用。
3.培养学生的几何直观感知、空间想象能力和逻辑思维能力。

13.2.2 三角形全等的判定—SAS

试说明△ABD≌△ACD.
评析：已知AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，
又AD为公共边，由（S.A.S.）全等识别法，
可知△ABD≌△ACD
四、课时练习：
课本练习第1、2题
五、课时小结：
本节学习了三角形全等的判定的另一种SAS，而两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，注意观察图形的特征，找出是否具备满足两个三角形全等的条件。
教学难点
对全等三角形的识别的理解和运用
教学方法
问题与探究
教学用具
小黑板、三角尺
教学过程（内容、步骤及师生行为）
备注
一、复习引入
1、什么叫全等图形？什么叫做全等三角形？
能够完全重合的两个图形叫做全等形，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、如果两个三角形有3组对应相等的元素，则有几种情况？
四种：两边一角、两角一边、三角、三边
⑵如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角，比如两条边分别为4cm和4.5cm，长度为4cm的边所对的角为60°，情况会怎样呢?
请画出这个三角形，把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，由此你发现了什么？
（两边及其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。）
三、例题学习
课本例题：如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，
换两条线段和一个角试试，你发现了什么？
同学们各抒己见后总结：发现对于已知的两条线段和一个角，以该角为夹角，所画的三角形都是全等的。
这就是判别三角形全等的另外一种简便的方法：
石 狮蚶中 教 学 笔如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边角边”或简记为（S.A.S.）
石 狮蚶中 教 学 笔 记

13.2 三角形全等的条件⑵SAS[上学期]


㈡全等练习：
⑴如图：如果AB=AC , ∠BAD= ∠CAD,求证：
△ABD≌△ACD A
B
Байду номын сангаас
D
C
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⑵、已知: 如图直线AC和直线BD相交于点 O,OA=OC,OB=OD,求证：AB=CD
B
A
O
C
D
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再画一个△A/B/C/，使A/B/=AB，
∠A/ =∠A，A/C/ =AC。把画好 的△A/B/C/剪下，放到△ABC上，
它们全等吗？
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已知：任意 △ ABC，画一个△ A/B/C/，
使A/B/＝AB， ∠A/ =∠A， A/C/＝AC： 画法： 1、画∠DA/ E=∠A ； 2、在射线A/ D上截取A/B/＝AB，在射线
D A E
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C
探究2
我们知道，两边和它们的 夹角对应相等的两个三角形全 等。由“两边及其中一边的对角 对应相等”的条件能判定两个三 角形全等吗？为什么？
A
B
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C
A F M D
C
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E
变式2：已知，如图等边 △AEB与等 边△ACE在线段 AC的同侧 求证： △ABD≌△EBC
E D
A
B
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C
想一想： 你还能写 出哪些结 论
13.2 三角形全等的条件⑵ SAS
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13-2全等三角形判定(SAS)

13章2课已知△ABC
三角形全等的条件探索：
1、只给定一条边时：
'''A B C ，使A 'DA E A =∠；
、在射线'A D 上截取'A B AC =；
''B C ．
ABC ≌DEF .
ABC 和DEF 中，
AB DE
B E B
C EF =∠=∠= ABC ≌DEF （SAS ）
SAS ）判定方法的易错点
'DB E B ∠=∠；
、在射线'B D 上截取''B A BA =；
'为圆心，以AC 长为半径画弧，此时只要∠弧线一定和射线'B E 交于两点C ABC
也就是说：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一题型一：全等三角形的判定（【例1】已知：如图，A
B '
【例3】已知：AD是ABC
∆
题型二：三角形全等的条件补充
ASA
图2
1、如图，已知
、如图，E为上一点，
、如图，点A、E、F、C在一直线上，、如图，已知线段AC，
1、如图，AB
在ABC
=
∆中，AB AC
，连接
、如图，AB AC
=，点。

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画法： 1. 画∠MAN= 45° 2. 在射线AM上截取AB= 3cm
3. 在射线AN上截取AC=4cm 4.连接BC ∴△ABC就是所求的三角形 把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三角 形进行比较，它们能互相重合吗？
问：如图△ABC和△ DEF 中，
AB=DE=3 ㎝，∠ B=∠ E=300 ， BC=EF=5 ㎝
C F
A 40°
B
D
40°
E
结论：两边及其一边所对的角对 应相等的两个三角形不一定全等
猜一猜： 是不是二条边和一个角对应相等，这样的两 个三角形一定全等吗？你能举例说明吗？ 如图△ABC与△ABD中，AB=AB， AC=AD， ∠B=∠B 他们全等吗？
B C D
A
注：这个角一定要是这两边所夹的角
课堂小结:
A B 归纳：判定两条线段相等或二个角相等可以通 过从它们所在的两个三角形全等而得到。
探究新知
A
B
因铺设电线的需要，要在 池塘两侧A、B处各埋设一根 电线杆（如图），因无法直 接量出A、B两点的距离，现 有一足够的米尺。请你设计 一种方案，粗略测出A、B两 杆之间的距离。。
小明的设计方案：先在池塘旁取一 个能直接到达A和B处的点C，连结AC并 延长至D点，使AC=DC，连结BC并延长 至E点，使BC=EC，连结DE，用米尺测 出DE的长，这个长度就等于A，B两点的 距离。请你说明理由。
B
C
D
E
F
探究1
对于三个角对应相等的两个三角形全等吗？ A 如图， △ABC和△ADE中， 如果 DE∥AB，则 ∠A=∠A，∠B=∠ADE， ∠C= ∠ AED，但△ABC 和△ADE不重合，所以不 全等。
D
E
B
C
三个角对应相等的两个三角形不一定全等
探究2
做一做：画△ABC,使AB=3cm，AC=4cm。 这样画出来的三角形与同桌所画的三角形 进行比较，它们互相重合吗？ 若再加一个条件，使∠A=45°，画出△ABC
1. 三角形全等的条件,两边和它们的夹角对应相等的两 个三角形全等 (边角边或SAS) 2. 用尺规作图：已知两边及其夹角的三角形画三角 形 3、会判定三角形全等
作业
A.1、作业本2、 画 一个三角形与已知三角形 全等 B. 作业本及习题精选P90 5、6
C.作业本及习题精选P90 8、9
创设情景
A
B
因铺设电线的需要，要在 池塘两侧A、B处各埋设一根 电线杆（如图），因无法直 接量出A、B两点的距离，现 有一足够的米尺。怎样测出A、 B两杆之间的距离呢？。
知识回顾
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写 为“边边边”或“SSS”）。 用 数学语言表述：
A
在△ABC和△ DEF中 AB=DE BC=EF CA=FD ∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）
则它们完全重合？即△ABC≌△ DEF ？ A 3㎝
300
D 3㎝
300
B
5㎝
CE
5㎝
F
问：如图△ABC和△ DEF 中，
AB=DE=3 ㎝，∠ B=∠ E=300 ， BC=EF=5 ㎝
则它们完全重合？即△ABC≌△ DEF ？ D A 3㎝
300
E B
5㎝
F C
三角形全等判定方法2
两边和它们的夹角对应相等的两个三 角形全等。简写成“边角边”或“SAS” 用符号语言表达为： 在△ABC与△DEF中 AB=DE
A
∠B=∠E BC=EF
B
C
D
∴△ABC≌△DEF（SAS）
E
F
分别找出各题中的全等三角形
A
40°
B A B
D
C
D (2)
C
F (1) E
△ADC≌△CBA 根据“SAS”
△ABC≌△EFD 根据“SAS”
例1
已知：如图， AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD △ ABD 和△ CBD 全等吗？
A
B D C
练习 (2) 已知:AD=CD， BD 平分∠ ADC 。 问∠A=∠ C 吗？
A B D C
补充题：
例1 如图AC与BD相交于点O， 已知OA=OC，OB=OD，说明 △AOB≌△COD的理由。 A B
O
D C C D
例2 如图，AC=BD， ∠CAB= ∠DBA，你能判断 BC=AD吗？说明理由。
AC=DC ∠ACB=∠DCE BC=EC △ACB≌△DCE AB=DE
小明做了一个如图所示的风筝，其中 ∠EDH=∠FDH, ED=FD ，将上述条件标注 在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？ 与同桌进行交流。 D
E F
H
△EDH≌△FDH 根据“SAS”，所的两边，长度 为2.5cm的边所对的角为40° ，情况又怎 样？动手画一画，你发现了什么？
A
分析: △ ABD ≌△ CBD
边: AB=CB(已知) (SAS)
B D
角: ∠ABD= ∠CBD(已知) 边:
C
？
现在例1的已知条件不改变,而问题改变 成:问AD=CD，BD平分∠ADC吗？
例题 推广
已知：如图， AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD 。
问:AD=CD， BD 平分∠ ADC 吗？