数学北师大版七年级下册第四章三角形第三节探索三角形全等的条件(SAS)

4.3.3 三角形全等的条件-SAS班级：姓名：∵ AC = ______，∠C = ______，______ = EF，∴△ABC ≌△DEF（SAS）.例1 如图，AD∥BC，AD=CB,AE=CF,试说明：△AFD≌△CEB.例2 如图，BC∥EF，BC＝BE，AB＝FB，∠1＝∠2，若∠1＝60°，求∠C的度数．即学即练：1. 如图，AC=BD，∠CAB= ∠DBA，试说明：BC=AD.2.如图，已知AB＝AC，AD＝AE，试说明：∠B＝∠C.【探究活动二】用三角形全等解决实际问题例3 如图，在湖泊的岸边有A、B两点，难以直接量出A、B两点间的距离.你能设计一种量出A、B两点之间距离的方案吗？即学即练：小兰做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH, ED=FD ，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同桌进行交流.三、融合应用：1.下列图形中有没有全等三角形，并说明全等的理由．BAC2.在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立.在△AEC和△ADB中，∵________ = ________∠A = ∠A (公共角)________=________∴△AEC≌△ADB（SAS）3.已知:如图,AB=DB,CB=EB,∠1＝∠2，试说明:∠A=∠D.4.在△ABC中，AB=AC，取点D与点E，使得AD=AE,∠BAE=∠CAD，连接BD与CE交于点O.求证：(1)△ABD≌△ACE;(2)OB=OC.5.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，CE⊥BD的延长线于点E，∠1=∠2.求证：BD=2CE.四、总结反思1.你学到了什么知识2.你学到了哪些数学思想方法3.你还有哪些困惑？（错题收集）自我提升1、如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，则∠AMD=________.2、如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点D，延长BA到点E，且AE=BD，若CE=12，则DE=________.3、如图，已知△ABC中，AB=AC=6cm，BC=4cm，D为AB中点.(1)∠B=∠C成立吗？(2)如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动.①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（3）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？4、（1）如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，并说明理由. （2）如图②，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西40°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东80°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以70海里/小时的速度各自前进2小时后，在指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，两舰艇与指挥中心之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离.。

专题4.10 探索三角形全等的条件（SSS 和SAS ）（知识讲解）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，和判定方法2——“边角边”；2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边边边”全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.特别说明：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定2——“边角边”1. 全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.特别说明：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、用“SSS”和“SAS”直接证明三角形全等➽➼证明✮✮求值1．如图，已知：AB ＝AC ，BD ＝CD ，E 为AD 上一点．(1) 求证：△ABD △△ACD ；(2) 若△BED ＝50°，求△CED 的度数．【答案】(1) 证明见分析 (2) 50CED ∠=︒【分析】（1）根据SSS 即可证明△ABD △△ACD ；（2）只要证明△EDB △△EDC （SAS ），即可推出△BED ＝△CED ，进而得到答案． （1）证明：在△ABD 和△ACD 中， AB ACBDCD AD AD ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，△△ABD △△ACD （SSS ）；（2）解：△△ABD △△ACD ，△△ADB ＝△ADC ，在△EDB 和△EDC 中，DB DC BDE CDE DE DE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，△△EDB △△EDC （SAS ），△△BED ＝△CED ，△△BED ＝50°，△△CED ＝△BED ＝50°．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据图形题意，熟练掌握两个三角形全等判定与性质．举一反三：【变式1】如图，点A 、M 、N 、C 在同一条直线上，AB CD =，BN DM =，AM CN =，求证：AB CD ∥．【分析】根据AB CD =，BN DM =，AM CN =，利用SSS 定理证明ABN CDM ≌，从而得到A C ∠=∠，再根据内错角相等，两直线平行，AB CD ∥得证．解：证明：∵AM CN =∴AM MN CN MN∴AN CM =在ABN 和CDM 中AB CD BN DM AN CM =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()ABN CDM SSS △≌△∴A C ∠=∠∴AB CD ∥（内错角相等，两直线平行）【点拨】本题考查了三角形全等的判定方法和性质，以及平行线的判定，解题关键是掌握全等三角形的判定方法，运用全等三角形的性质证明线段和角相等．【变式2】如图，已知AB AC =，AD AE =，BD CE =，求证：312.【分析】利用SSS 可证明△ABD△△ACE ，可得△BAD=△1，△ABD=△2，根据三角形外角的性质即可得△3=△BAD+△ABD ，即可得结论.解：在△ABD 和△ACE 中，AB=AC AD=AE BD=CE ⎧⎪⎨⎪⎩，△△ABD△△ACE ，△△BAD=△1，△ABD=△2，△△3=△BAD+△ABD ，△△3=△1+△2.【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形外角性质，熟练掌握判定定理及外角性质是解题关键.2．已知：如图，AB AC =，F ，E 分别是AB AC ，的中点，求证：ABE ACF ≌．在ABE 与△AB AC A A AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABE △≌△【点拨】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：ASAAAS 、、【变式1】如图，点D 在BC 上，,ADB B BAD CAE ∠=∠∠=∠．(1) 添加条件：____________（只需写出一个），使ABC ADE ≅；(2) 根据你添加的条件，写出证明过程．【答案】(1) AC AE = (2) 见分析【分析】（1）根据已知条件可得AB AD =，BAC DAE ∠=∠，结合三角形全等的判定条件添加条件即可；（2）结合（1）的条件，根据三角形全等的判定条件添加条件进行证明即可．解：（1）添加的条件是：AC AE =,故答案为AC AE =；（2）△,ADB B ∠=∠△AB AD =，△BAD CAE ∠=∠△BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠，又AC AE =△ABC ADE ≅【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定，确定出三角形全等判定条件是解答本题的关键．【变式2】如图所示，DC CA ⊥，EA CA ⊥，CD AB =，CB AE =，求证：(1) BCD EAB ≌△△；(2) DB BE ⊥．【分析】（1）利用SAS 判定定理证明三角形全等即可；（2）由()≌DCB BAE SAS △△，可得∠=∠DBC BEA ，∠=∠BDC EBA ，再利用90DBC BDC ∠+∠=︒，可得90∠+∠=︒DBC EBA ，即90DBE ∠=︒，所以DB BE ⊥．解：（1）证明：△DC CA ⊥，EA CA ⊥，△90∠=∠=︒DCB BAE ，在DCB △和BAE 中，CD AB DCB BAE CB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()≌DCB BAE SAS △△． （2）证明：由（1）可知()≌DCB BAE SAS △△， △∠=∠DBC BEA ，∠=∠BDC EBA ，△90DBC BDC ∠+∠=︒，△90∠+∠=︒DBC EBA ，即90DBE ∠=︒，△DB BE ⊥．【点拨】本题考查全等三角形的判定定理及性质，垂直的定义，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理及性质．类型二、用“SSS”和“SAS”间接证明三角形全等➽➼证明✮✮求值3．已知：如图，A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF ＝DC ，AB ＝DE ，BC ＝EF ，求证：△ABC≌≌DEF ．【分析】首先根据AF=DC ，可推得AF ﹣CF=DC ﹣CF ，即AC=DF ；再根据已知AB=DE ，BC=EF ，根据全等三角形全等的判定定理SSS 即可证明△ABC△△DEF ．解：△AF=DC ，△AF ﹣CF=DC ﹣CF ，即AC=DF ；在△ABC 和△DEF 中AC DF AB DE BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩△△ABC△△DEF （SSS ）举一反三： 【变式1】如图，已知：PA＝PB，AC ＝BD ，PC ＝PD ，△PAD 和△PBC 全等吗？请说明理由．【分析】由AC=BD ，利用线段的和差关系可得AD=BC ，利用SSS 即可证明△PAD△△PBC.解：△AC ＝BD ，△AC+CD=BD+CD ，即AD ＝BC ，又△PA ＝PB ，PC ＝PD ，△△PAD△△PBC(SSS)【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.【变式2】如图，点D ，A ，E ，B 在同一直线上，EF ＝BC ，DF ＝AC ，DA ＝EB .试说明：△F ＝△C .【分析】根据SSS 的方法证明△DEF△△ABC,即可得到结论.解：因为DA ＝EB ， 所以DE ＝AB.在△DEF 和△ABC 中， 因为DE ＝AB ，DF ＝AC ，EF ＝BC ，所以△DEF△△ABC(SSS)，所以△F ＝△C.【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质,属于简单题,找到证明全等的方法是解题关键.4．如图，在ABCD 中，点E 、F 在BD 上，ABE 与CDF 全等吗？若全等，写出证明过程；若不全等，请你添加一个条件使它们全等，并写出证明过程．(1) 你添加的条件是__________．(2) 证明过程： 【答案】(1) BE DF =，答案不唯一； (2) 证明见分析； 【分析】（1）根据选择的全等三角形判定方法添加合适的条件即可；（2）由四边形ABCD 是平行四边形得到AB CD ∥，AB CD =，得ABE CDF ∠=∠，再用上添加的条件，即可证明结论．(1)解：BE DF =（答案不唯一）故答案为：BE DF =（答案不唯一）(2)证明：△四边形ABCD 是平行四边形，△AB CD ∥，AB CD =，△ABE CDF ∠=∠，在ABE 和CDF 中，AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△ABE CDF △≌△（SAS ）．【点拨】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，在ABC 和ADE 中，AB AD =，AC AE =，且BAD CAE ∠=∠，求证：ABC ADE △≌△．【分析】根据BADCAE ∠=∠可得BAC DAE ∠=∠，再根据SAS 即可证明．证明：△BAD CAE ∠=∠，△BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠，在ABC 和ADE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()SAS ABC ADE △≌△．【点拨】本题主要考查了用SAS 证明三角形全等，解题的关键是通过BAD CAE ∠=∠得出BAC DAE ∠=∠．【变式2】图，BE CF =，AC DF =，AC DF ∥．求证：ABC DEF ≌△△．【分析】首先根据BE CF =可得BC EF =，再由AC DF ∥可得ACB F ∠=∠，然后利用定理证明ABC DEF ≌即可．证明：△BE CF =，△BE EC CF EC ++＝，即BC EF =，△AC DF ∥，△ACB F ∠=∠， 在ACB △和DFE △中，BC EF ACB F AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()SAS ABC DEF ≌．【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定和平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS SAS ASA AAS HL 、、、、．注意：AAA SSA 、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．类型三、全等的性质与“SSS”和“SAS”综合➽➼证明✮✮求值 5．已知：如图，在ABC 中，AB AC AD =，是BC 边上的中线．求证：AD BC ⊥（填空）．证明：在三角形ABD ACD 和中，△()()()______________BD AB ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪⎩已知已知公共边，△ ≌ （ ）．△ADB ∠＝ （全等三角形的对应角相等）．△1902ADB BDC ∠∠︒＝＝（平角的意义）． △（垂直的意义）．【答案】,,,,SSS DC AC AD AD ABD ACD ADC AD BC =∠⊥，△△，，【分析】证明()SSS ADB ADC ≌△△．推出ADB ADC ∠∠＝，可得结论． 证明：△AD 是BC 边上的中线，△BD CD =，在三角形ABD △和ACD 中，【变式1】如图：AB AC =，BD CD =，若28B ∠=︒，求C ∠的度数．【答案】28︒ 【分析】连接AD ，利用“SSS ”证明ABD ACD △≌△，即可得到答案．解：连接AD ，在ABD △和ACD 中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()SSS ABD ACD ∴≌C B ∴∠=∠，28B ∠=︒，28C ∴∠=︒．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确作辅助线构造全等三角形是解题关键．【变式2】已知：如图，AC BD =，AD BC =，AD ，BC 相交于点O ，过点O 作OE AB ⊥，垂足为E ．求证：(1) ABC BAD ≌．(2) AE BE =．【分析】（1）利用SSS 证明ABC BAD ≌；（2）根据全等三角形的性质得出DAB CBA ∠=∠，则OA OB =，根据等腰三角形的性质可得出结论．（1）证明：在ABC 和BAD 中，AC BD BC AD AB BA =⎧⎪=⎨⎪=⎩，△ABC BAD ≌（2）证明：△ABC BAD ≌△CBA DAB ∠=∠，△OA OB =，△OE AB ⊥，△AE BE =．【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SSS 证明ABC BAD ≌是解题的关键．6．如图，在ABC 中，CM 是AB 边上的中线，8AC =，12BC =，求CM 的取值范围．【答案】210CM <<【分析】倍长中线CM 至点N ，构造BNM ，易得ACM BNM ≅△△，再利用三角形的三边关系找到CN 的取值范围，进而得到CM 的取值范围．解：如图，延长CM 到点N ，使CM MN =，连接BN ，在ACM △和BNM 中，CM NM AMC BMN AM BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ACM BNM ≅△△（SAS ），∴8AC BN ==， 在BCN △中，BC BN CN BC BN -<<+，∴128128CN -<<+，即420CN <<，∴4220CM <<，即210CM <<．【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定以及三角形的三边关系，解决本题的关键是倍长中线构造全等三角形．举一反三：【变式1】如图，已知在ABC 与ADE 中，90BAC DAE AB AC AD AE ∠=∠=︒==，，，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ．图中的CE BD 、有怎样的数量和位置关系？请证明你的结论．【答案】CE BD =，证明见分析【分析】根据SAS 证明ACE ABD ≌△△，即可得到CE BD =．解：CE BD =，证明：△90BAC DAE ∠=∠=︒，△BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠，即BAD CAE ∠=∠，在ACE △和ABD △中AC AB CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()SAS ACE ABD ≌△CE BD =．【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【变式2】如图已知AOB 和MON △都是等腰直角三角形．(1) 如图1，连接AM ，BM ，此时AM ，BN 的数量关系为___________请说明理由．(2) 若将MON △绕点O 顺时针旋转，如图2，当点N 恰好在AB 边上时，求证：222BN AN MN +=．【答案】(1) AM BN =，理由见分析(2) 见分析 【分析】（1）由AOB 和MON △都是等腰直角三角形，得到AOM BON ≌，即可得到AM BN =（2）连接AM ，由AOB 和MON △都是等腰直角三角形，得到AOM BON ≌，即可得到AM BN =，再求得90MAN ∠=︒，利用勾股定理即可得到222BN AN MN +=解：（1）AM BN =，理由如下：△AOB 和MON △都是等腰直角三角形，△OA OB =，OM ON =，90AOB MON ∠=∠=︒，△AOM BON ∠=∠,在AOM 和BON △中：OA OB OM ON AOM BON =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △AOM BON ≌，△AM BN =（2）如下图，连接AM ，△AOB 和MON △都是等腰直角三角形，△OA OB =，OM ON =，90AOB MON ∠=∠=︒，45B BAO ∠=∠=︒，△AOM BON ∠=∠，在AOM 和BON △中：OA OB OM ONAOM BON =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △AOM BON ≌，△AM BN =，45B MAO ∠=∠=︒，△90MAN MAO BAO ∠=∠+∠=︒，△222AM AN MN +=，△222BN AN MN +=【点拨】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键。