2020年北京师大实验中学高考数学零模试卷(二)(有答案解析)

2020年北京市东城区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知全集U={0,1，2，3，4}，集合A={1,2，3}，B={2,4}，则(∁U A)∪B为()A. {1,2，4}B. {2,3，4}C. {0,2，4}D. {0,2，3，4}2.已知函数f(x)=−2x−1+12x+1，g(x)=x3−3x，那么函数y=f(g(x))是()A. 奇函数，且在(0,1)上是增函数，在(1,+∞)上是减函数B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数，在(1,+∞)上是增函数C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数，在(1,+∞)上是减函数D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数，在(1,+∞)上是增函数3.已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5,−1)，B(−1,7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为()A. (−7,6)B. (7,6)C. (6,7)D. (7,−6)4.若双曲线C：x2m2−y2n2=1的离心率为2，则双曲线的渐近线方程是()A. 2x±y=0B. x±2y=0C. √3x±y=0D. x±√3y=05.函数f(x)=(x−a)(x−b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)=a x+b的图象是()A.B.C.D.6.已知向量a⃗=(3,2)，b⃗ =(2,3)，则下列结论正确的是()A. a⃗⊥b⃗B. (a⃗−b⃗ )⊥(a⃗+b⃗ )C. a⃗//b⃗D. (a⃗−b⃗ )//(a⃗+b⃗ )7.《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”(一步=1.5米)意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为()A. 135平方米B. 270平方米C. 540平方米D. 1080平方米8.已知函数f(x)=lnx+ax2，那么“a>0”是“f(x)在(0,+∞)上为增函数”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知一个几何体的三视图如图所示，则其体积为()A. 12πB. 16πC. 32π3D. 40π310.给出定义：若m−12<x≤m+12(其中m为整数)，则m叫作离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m.在此基础上给出下列关于函数f(x)=x−{x}的四个说法：①函数y=f(x)的定义域是R，值域是(−12,12]；②函数y=f(x)的图像关于y轴对称；③函数y=f(x)的图像关于坐标原点对称；④函数y=f(x)在(−12,12]上是增函数．其中正确说法的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知复数z满足zi+4=3i(i为虚数单位)，则z的共轭复数z−=______12.已知sin(π2+α)=45，则cos2α=______ ．13.已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为___．①若a⊥c，b⊥c，则a//b；②若α⊥γ，β⊥γ，则α//β；③若a⊥α，b⊥α，则a//b；④若a⊥α，α⊥β，则α//β．14.在△ABC中，a2−b2=√3bc，sin C=2√3sin B，则A=_______．15.根据以往数据统计发现，某大型商场中秋节前30天内，前t天的月饼销售总量f(t)大致满足f(t)=t2100+2t+1(0<t≤30)(单位：百斤)，则该商场前t天内平均每天售出的月饼量最少约为______百斤．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，在平行四边形ABCD中，AB=2AD，∠BAD=60°，E为AB的中点，将△ADE沿直线DE折起到△PDE的位置，使平面PDE⊥平面BCDE．(Ⅰ)证明：平面PCE⊥平面PDE；(Ⅱ)设F、M分别为PC、DE的中点，求直线MF与平面PDE所成的角．17. 已知n ∈N ∗，数列{d n }满足d n =3+(−1)n 2，数列{a n }满足a n =d 1+d 2+d 3+⋯+d 2n ；又知数列{b n }中，b 1=2，且对任意正整数m ，n ，b n m =b m n ．(1)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；(2)将数列{b n }中的第a 1项，第a 2项，第a 3项，……，第a n 项，……删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前2013项和．18. 某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是34，甲、丙二人都没有击中目标的概率是112，乙、丙二人都击中目标的概率是14.甲乙丙是否击中目标相互独立．(1)求乙、丙二人各自击中目标的概率；(2)设乙、丙二人中击中目标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．19. 已知离心率为√22的椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(1,−√22)，点F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 交于A ，B 两点，且S △ABF 2=4√35． (1)求椭圆C 的方程；(2)求证：以AB 为直径的圆过坐标原点．20. 已知函数f(x)=e x −12(x −a)2+4．(1)若f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，求a 的取值范围；(2)若x ≥0，不等式f(x)≥0恒成立，求a 的取值范围．21. 已知数列{a n }的通项公式a n =2n −(−1)n ，n ∈N ∗.设a n 1，a n 2，…，a n t (其中n 1<n 2<⋯<n t ，t ∈N ∗)成等差数列．(1)若t =3．①当n 1，n 2，n 3为连续正整数时，求n 1的值；②当n1=1时，求证：n3−n2为定值；(2)求t的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：全集U ={0,1，2，3，4}，集合A ={1,2，3}，B ={2,4}，则∁U A ={0,4}，所以(∁U A)∪B ={0,2，4}．故选：C ．根据补集和并集的定义，写出(∁U A)∪B 即可．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.答案：A解析：解：f(x)=−2x−1+12x+1=−2x 2+2−x 2， 则f(−x)=−2−x 2+2x 2=−(−2x 2+2−x 2)=−f(x)，则函数f(x)是奇函数，g(x)是奇函数，则f(g(−x))=f(−g(x))=−f(g(x))，故函数y =f(g(x))是奇函数．函数g′(x)=3x 2−3=3(x 2−1)，当x >1时，g′(x)>0，则g(x)为增函数，且g(x)>g(1)=−2，∵f(x)为减函数，∴此时函数y =f(g(x))在(1,+∞)上是减函数，同理函数y =f(g(x))在(0,1)上是增函数，故选：A ．根据函数奇偶性和单调性的定义和性质分别进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的综合应用，利用复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键． 3.答案：D解析：本题考查向量相等的概念，平面向量的运算，属于基础题．设D(x,y)，由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得(x −5,y +1)=(2,−5)，可得结果．解：设D(x,y)，由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得(x −5,y +1)=(2,−5)，∴x =7，y =−6，∴D(7,−6)．故选D ．4.答案：C解析：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法和离心率公式的运用，考查运算能力，属于基础题.求出双曲线的c ，由离心率公式，解方程求得a ，再由双曲线的渐近线方程即可得到．解：∵双曲线x 2m 2−y 2n 2=1，∴c =√m 2+n 2，∴离心率为2，∴m 2+n 2m 2=4，解得n 2m 2=3，即b a =√3， ∴双曲线的渐近线方程为y =±√3x ，即√3x ±y =0．故选C ．5.答案：B解析：。

北师大实验中学2023届高三数学零模测试教学班级 姓名 学号第一部分（选择题 共40分）一、选择题 共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （ 1 ）已知集合{1,0,1}A =-，则满足{1,0,1,2,3}A B =-的集合B 可能是（A ）{1,2}-（B ）{1,0,1,3}-（C ）{1,0,1}-（D ）{0,2,3}（ 2 ）复数z 满足2iz i =-，则在复平面内，z 对应的点在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（ 3 ）在252()x x-的展开式中，x 的系数为（A ）80（B ）-80（C ）40（D ）-40（4）下列函数中是奇函数，且在区间()0,∞+上是增函数的是（A ）ln y x = （B ）tan y x = （C ）||y x x = （D ） x x y e e -=+ （5）过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于点,A B ，线段AB 的中点M 的横坐标为4，则AB 长为 （A ）10 （B ）8 （C ）5 （D ）4（ 6）当N 个相同的声强级为0L dB 的声源作用于某一点时，就会产生声强级的叠加，叠加后的声强级010lg L L N '=+，已知一台电锯工作时的声强级是110dB ，则10台相同电锯工作时的声强级1L 与5台相同电锯工作时的声强级2L 的关系约为 （参考数据：lg 20.3010≈） （A ）122L L ≈ （B ）123L L ≈（C ）123L L -≈（D ）127L L -≈（7）已知函数()sin()f x x x ϕϕ=++）满足()24f π= ，则函数()4f x π+是（A ）奇函数，关于点(,0)π成中心对称 （B ）偶函数，关于点(,0)π成中心对称（C ）奇函数，关于直线x π=成轴对称 （D ）偶函数，关于直线x π=成轴对称（ 8）数列{}n a 是无穷项数列，则“存在00001N2),n n n n a a *+∈≥≥（且001n n a a -≥”是 “{}n a 存在最大项” 的（A ）充分且不必要条件（B ）必要且不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（9）已知点(1,0)A ，直线l 与圆22:1M x y +=交于两相异点B,C ，则AB AC ⋅的取值范围为（A ）1[,4)2-（B ）[0,4) （C ）[1,2)- （D ）[0,2)（ 10）现有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的45．则第二名选手的得分是（A ）12（B ）16（C ）20 (D) 24第二部分（非选择题 共110分）二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分．（11）已知数列{}n a 是等差数列，并且14766,0a a a a ++==，若将2345,,,a a a a 去掉一项后，剩下三项依次为等比数列{}n b 的前三项，则4b 为 .（12）已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>与直线2y x =没有公共点，则该双曲线的离心率e 的最大值是 .（13）在平面直角坐标系xOy 中，单位圆上三点,,A B C 满足：A 点坐标为(1,0)并且AB BC =，OB 在OA上的投影向量为1(,0)3，则OA OC ⋅= . （14）已知函数2|1|(0)42()(0)2x x x x f x x -<⎧++=⎨≥⎩，则()f x 的最小值是 ，若关于x 的方程()f x x a =+有且仅有四个不同的实数解，则整数a 的取值范围是 . （15）如图，在棱长为1的正方体中，点P 是线段1A B 上一动点（不与1,A B 重合），则下列命题中：① 平面1AA P ⊥平面11D A P ； ②1APD ∠一定是锐角； ③11DC D P ⊥；④ 三棱锥11B D PC -的体积为定值.其中真命题的有 ..三、解答题 共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （16）（本小题13分）在ABC △中，3a =，b =，2B A =．（1）求cos A ；（2）求c ． （17）（本小题13分）为调查A ，B 两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A假设用频率估计概率，且只服用药物A 和只服用药物B 的患者是否康复相互独立．(1) 若一名患者只服用药物A 治疗，估计此人能在14天内康复的概率；(2) 从样本中只服用药物A 和只服用药物B 的患者中各随机抽取1人，以X 表示这2 人中能在7天内康复的人数，求X 的分布列和数学期望：(3) 从只服用药物A 的患者中随机抽取100人，用“100()P k ”表示这100人中恰有k 人在14天内未康复的概率，其中0,1,2,,100k =．当100()P k 最大时，写出k 的值．（只需写出结论）（18）（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形，112AB BC AD ===，90BAD ABC ∠=∠=︒，E 是PD 的中点． (1)求证：直线CE ∥平面PAB ；(2)已知，点M 在棱PC 上，且二面角M AB D --的大小为30︒，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求CMCP的值．条件①：平面PAD ⊥平面ABCD ； 条件②：PC PD =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．（19）（本小题15分）已知函数2()2ln af x x x=+. （1）若()f x 在(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a 的值；（2）()f x 是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由； （3）若()f x a ≥在区间(0,1]上恒成立，求a 的取值范围.（20）（本小题15分）已知点A , B 是椭圆E:22221(0)x y a b a b+=>>的左，右顶点，椭圆E 的短轴长为2，离心率为2, （1）求椭圆E 的方程；（2）点O 是坐标原点，直线l 经过点(2,2)P -，并且与椭圆E 交于点M ,N ，直线BM 与直线OP 交于点T , 设直线AT , AN 的斜率分别为12,k k ,求证：12k k 为定值.（21）（本小题15分）对于一个有穷单调递增正整数数列P ，设其各项为12,,,(5)n a a a n ≥，若数列P中存在不同的四项,,,p q s t a a a a 满足p q s t a a a a +=+ ,则称P 为等和数列，集合{,,,}p q s t M a a a a =称为P 的一个等和子集，否则称P 为不等和数列.（1）判断下列数列是否是等和数列，若是等和数列，直接写出它的所有等和子集；:1,3,5,7,9;A :2,4,6,7,10;B （2）已知数列12345:,,,,P a a a a a 是等和数列，并且对于任意的,(15)i j i j ≤<≤，总存在P 的一个等和子集M 满足集合{,}i j a a M ⊆，求证：数列P 是等差数列； （3）若数列12:,,,n P a a a 是不等和数列，求证： 294n n n a -+> .北师大实验中学2023届高三数学零模测试答案10440（11）12 （12）2（13） 79- （14）−2 ， {0,1} （15）①③④． 三、解答题：本大题共6个小题，共85分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）因为3a =，b =，2B A ∠=∠，所以在ABC △中，由正弦定理得3sin A ．所以2sin cos sin A A A =．故cos A =（Ⅱ）由（Ⅰ）知cos A sin A =． 又因为2B A ∠=∠，所以21cos 2cos 13B A =-=．所以sin B =． 在ABC △中，sin sin()C A B =+sin cos cos sin A B A B =+=所以sin 5sin a Cc A==． （17）（本小题13分） 解：（1）只服用药物A 的人数为36022812600++=人， 且能在14天内康复的人数有360228588+=人，故一名患者只服用药物A 治疗，估计此人能在14天内康复的概率为5884960050=； （2）只服用药物A 的患者7天内康复的概率为36036005=， 只服用药物B 的患者7天内康复的概率为1602160200405=++，其中X 的可能取值为0,1,2，()3260115525P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()323213111555525P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()32625525P X ==⨯=，则分布列为：数学期望为61360121252525EX =⨯+⨯+⨯=； （3）2.（18）（本小题14分）（1）取P A 中点F ，连接,EF BF ，因为E 是PD 的中点，F 是P A 中点，所以EF 是中位线， 所以EF 平行且等于AD 的一半，因为90BAD ABC ∠=∠=︒，所以BC 平行于AD ， 又12BC AD =，所以EF 与BC 平行且相等， 所以四边形BCEF 为平行四边形，所以CE 平行于BF ，而CE ⊄平面PAB ，BF ⊄平面PAB ，所以直线CE ∥平面PAB .（2）若选①：平面PAD ⊥平面ABCD ， 取AD 中点O ，因为侧面PAD 为等边三角形，所以PO ⊥平面ABCD ， 易证OC ⊥平面AD ，以O 点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， (1,0,0),(1,1,0)A B --,(0,1,0)C，P ,所以(,,)M x y z ,(0,1,3)CP =-所以(,,)(0,1,3)CM x y z CP λλ===-，所以0,,,x y z λ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩所以(0,1)M λ-，所以(1,1,3)MA λλ=---,(0,1,0)AB =, 设平面MAB 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，所以111111111111(,,)(1,1,3))30(,,)(0,1,0)(10n MA x y z x y z n MB x y z y λλλλ⎧⋅=---=-+-=⎪⎨⋅===⎪⎩-，令11z =，解得11101x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以1(3,0,1)n λ=-，易知底面一个法向量为(0,0,1)m =， 又二面角M AB D --的大小为30︒， 所以112113cos ,231m n m n m n λ⋅===+，解得13λ=±， 又点M 在棱PC 上，所以0λ>，所以13λ=，所以CMCP 的值为13.若选②：则取AD 中点O ，因为侧面PAD 为等边三角形，所以PO⊥平面AD ， 连接OA ,OC ,OD ，易知POA POB POD ≅≅， 所以90POA POB POD ∠=∠=∠=，以O 点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， (1,0,0),(1,1,0)A B --,(0,1,0)C ，P ,所以(,,)M x y z ,(0,1,3)CP =-所以(,,)(0,1,3)CM x y z CP λλ===-，所以0,,,x y z λ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩所以(0,1)M λ-，所以(1,1,3)MA λλ=---,(0,1,0)AB =, 设平面MAB 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，所以111111111111(,,)(1,1,3))30(,,)(0,1,0)(10n MA x y z x y z n MB x y z y λλλλ⎧⋅=---=-+-=⎪⎨⋅===⎪⎩-，令11z=，解得11101x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以1(3,0,1)n λ=-，易知底面一个法向量为(0,0,1)m =， 又二面角M AB D --的大小为30︒，所以112113cos ,231m n m n m n λ⋅===+，解得13λ=±， 又点M 在棱PC 上，所以0λ>，所以13λ=，所以CM CP的值为13.（19）（本小题15分） 解：（1）f ′(x )=2x −2a x 3，令f ′(1)=0，解得a =1.经检验，当a =1时，f (x )在(1,f (1))处的切线为y =1，满足题意. （2）f (x )的定义域为(0,+∞)，f ′(x )=2x 2−2a x 3,当a ≤0时，f ′(x )≥0，f (x )在(0,+∞)上单调递增，无极值点；′√a ，（3）设g (x )=f (x )−a =2ln x +a x2−a ，g ′(x )=f ′(x )=2x 2−2a x 3，当a ≤0时，g ′(x )≥0，f (x )在(0,1]上单调递增，g (e a2)=ae −a <0，结论不成立； 当a >0时，令g ′(x )=0，x =±√a ，√a 设ℎ(x )=ln x −x +1,x ∈(0,1]ℎ′(x )=1x −1≥0，所以，ℎ(x )在(0,1)上单调递增，ℎ(x )≤ℎ(1)=0，因此，ln a +1−a ≥0在(0,1)上无解；若√a ≥1，即a ≥1，g ′(x )≤0，g (x )在(0,1)上单调递减， 所以，g (x )≥g (1)=0恒成立， 综上所述，a 的取值范围是[1,+∞).（20）（本小题15分）解：（1）依题意，{2b =2ca =√32a 2=b 2+c 2，解得{a =2b =1c =√3，所以，椭圆E 的方程为x 24+y 2=1.（2）显然直线l 的斜率存在，不妨设直线l:y =kx +m ，因为过点P (−2,2)，所以，−2k +m =2， 联立{y =kx +m x 24+y 2=1，消去y ，得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4=0，∆=16(4k 2−m 2+1)>0， 设点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)， 所以，x 1+x 2=−8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2−44k 2+1，y 1y 2=k 2x 1x 2+k (x 1+x 2)+m 2=m 2−4k 24k 2+1，直线OM:y =y 1x 1−2(x −2)，直线OP:y =−x ，联立{y =y 1x 1−2(x −2)y =−x ,解得{x =2y 1x 1+y 1−2y =−2y 1x 1+y 1−2,即T (2y 1x 1+y 1−2,−2y 1x 1+y 1−2)， 所以，k 1=−2y 1x 1+y 1−22y 1x 1+y 1−2+2=−y 1(2k+1)(x 1+2)，k 2=y 2x 2+2，所以，k 1k 2=−y 1y 2(2k+1)(x 1+2)(x 2+2)=−y 1y 2(2k+1)(x 1x 2+2(x 1+x 2)+4)=−14.（21）（本小题15分）解：（1）A 是等和数列，所有的等和子集为{1,3,5,7}, {1,3,7,9}，{3,5,7,9}； B 是不等和数列.（2）数列P 最多有如下五个等和子集：{a 1,a 2,a 3,a 4},{a 1,a 2,a 3,a 5},{a 1,a 2,a 4,a 5},{a 1,a 3,a 4,a 5},{a 2,a 3,a 4,a 5},考虑a 1，a 5，只可能是如下三种情况的一种：a 1+a 5=a 2+a 3,a 1+a 5=a 3+a 4,a 1+a 5=a 2+a 4， 若a 1+a 5=a 2+a 3，则{a 1,a 2,a 4,a 5},{a 1,a 3,a 4,a 5}不是P 的等和子集，否则，a 3=a 4或a 2=a 4， 并且{a 1,a 2,a 3,a 4}不是P 的等和子集，否则，a 5=a 4，所以，P 的所有等和子集有{a 1,a 2,a 3,a 5}，{a 2,a 3,a 4,a 5}， 此时，{a 1,a 4}⊈M ，该情况不成立，即a 1+a 5≠a 2+a 3； 由对称性可知，a 1+a 5≠a 3+a 4，因此，a 1+a 5=a 2+a 4，此时，{a 1,a 2,a 3,a 5}，{a 1,a 3,a 4,a 5}不是P 的等和子集，考虑{a 1,a 3}⊆{a 1,a 2,a 3,a 4}，{a 3,a 5}⊆{a 2,a 3,a 4,a 5}，故{a 1,a 2,a 3,a 4},{a 2,a 3,a 4,a 5}是P 的等和子集，故a 1+a 4=a 2+a 3，a 3+a 4=a 2+a 5，由以上三式可知a 2−a 1=a 3−a 2=a 4−a 3=a 5−a 4，即数列P 是等差数列. （3）假设a n ≤n 2−n+94,且n 2−n+94不是整数，则对于任意i,j (1≤i <j ≤n )，总有3≤a i +a j ≤n 2−n+84+n 2−n+84−1=n 2−n 2+3，因为数列P 是不等和数列，所以，a i +a j 至少有C n 2=n 2−n 个不同的取值，若存在a i+a j=3，则a1=1,a2=2,此时，有a n−a n−1≥2，所以，3≤a i+a j≤n2−n+84+n2−n+84−2=n2−n2+2，只有n2−n2个不同的取值，因此，a n=n2−n+84,a n−1=n2−n+84−2，又因为存在a i+a j=4，所以，a3=3，此时，a1+a n=a3+a n−1，矛盾.若不存在a i+a j=3，则4≤a i+a j≤n2−n2+3，恰有n2−n2个不同的取值，所以，a1=1,a2=3,并且a n=n2−n+84,a n−2=n2−n+84−2，此时，a n+a1=a n−2+a2,矛盾.综上，a n>n2−n+94.。

北京市高三年级第二次模拟考试及答案数学（理科）2017．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知i 为虚数单位，则复数z =i(12i)+对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是A ．23B ．31C ．32D ．633．“0,0x y >>”是“2y xx y+≥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知函数π()sin()(0)6f x x ＞=+ωω的最小正周期为4π，则A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的图象关于直线π3x =对称 C ．函数()f x 图象上的所有点向右平移π3个单位长度后，所得的图象关于原点对称 D ．函数()f x 在区间(0,π)上单调递增5．现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为A ．12B ． 24C ．36D ． 48 6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为AB． C ．3 D．7．已知函数log ,0,()3,40a x x f x x x >⎧⎪=⎨+-≤<⎪⎩(0a >且1)a ≠．若函数()f x 的图象上有且只有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是A ．(0,1)B ．(1,4)C ．(0,1)(1,)+∞ D ．(0,1)(1,4)8．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”．某 中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场 传统文化知识的竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：每场 知识竞赛前三名的得分都分别为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手最后得分为各场得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是A ．每场比赛第一名得分a 为4B ．甲可能有一场比赛获得第二名C ．乙有四场比赛获得第三名D ．丙可能有一场比赛获得第一名第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．双曲线22136x y -=的渐近线方程是 ，离心率是 ．10．若平面向量(cos ,sin )a =θθ，(1,1)-b =，且a b ⊥，则sin 2θ的值是 ． 11．等比数列{a n }的前n 项和为n S ．已知142,2a a ==-，则{a n }的通项公式n a = ， 9S = ．12．在极坐标系中，圆2cos ρθ=被直线1cos 2ρθ=所截得的弦长为 ． 13．已知,x y 满足,4,2.y x x y x y k ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩若2z x y =+有最大值8，则实数k 的值为 ．14．已知两个集合,A B ，满足B A ⊆．若对任意的x A ，存在,i ja a B ()i j ≠，使得12i j xa a λλ（12,{1,0,1}λλ），则称B 为A 的一个基集．若俯视图{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A =，则其基集B 元素个数的最小值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中, 角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且b c =，2sin B A =．（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）若2a =，求△ABC 的面积．16．（本小题满分13分）从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；（Ⅲ）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180 cm 以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用X 表示身高在180 cm 以上的男生人数，求随机变量X 的分布列和数学期望EX ．17．（本小题满分14分）如图1，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，4,2AC BC ==，D E ,分别为边,AC AB 的中点，点,F G 分别为线段,CD BE 的中点．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使160A DC ∠=︒．点Q 为线段1A B 上的一点，如图2．图1图2BA 1F C ED QG ACDEFGa（Ⅰ）求证：1A F BE ⊥；（Ⅱ）线段1A B 上是否存在点Q ，使得FQ 平面1A DE ？若存在，求出1A Q 的长，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当1134AQ A B =时，求直线GQ 与平面1A DE 所成角的大小．18．（本小题满分13分）已知椭圆W ：22221x y a b+=(0)a b >>的上下顶点分别为,A B ，且点B (0,1)-．12,F F 分别为椭圆W的左、右焦点，且12120F BF ∠=． （Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；（Ⅱ）点M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过点M 作MN y ⊥轴于N ，E 为线段MN 的中点．直线AE 与直线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点．求 OEG ∠的大小．19．（本小题满分14分）已知函数2()e xf x x x =+-，2(),g x x ax b =++,a b R ．（Ⅰ）当1a =时，求函数()()()F x f x g x =-的单调区间；（Ⅱ）若曲线()y f x =在点(0,1)处的切线l 与曲线()y g x =切于点(1,)c ，求,,a b c 的值；（Ⅲ）若()()f x g x ≥恒成立，求a b +的最大值．20．（本小题满分13分）各项均为非负整数的数列}{n a 同时满足下列条件：①m a =1 ()N m ∈*；②1n a n ≤- (2)n ≥；③n 是12n a a a +++的因数（1n ≥）．（Ⅰ）当5=m 时，写出数列}{n a 的前五项；（Ⅱ）若数列}{n a 的前三项互不相等，且3≥n 时，n a 为常数，求m 的值； （Ⅲ）求证：对任意正整数m ，存在正整数M ，使得n M ≥时，n a 为常数．北京市高三年级第二次综合练习数学学科测试答案（理工类） 2017.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2sin B A =，所以2b =．所以a =所以222cos 232a c b B ac b +-===． …………7分 （Ⅱ）因为2a =，所以b c ==又因为cos 3B =，所以sin 3B =． 所以11sin 222ABCSa c B =⋅⋅=⨯=． …………13分 （16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据题意得：(0.00520.02020.040)101a ⨯++⨯+⨯=．解得 0.010a =． …………3分（Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为x ，则1450.051550.11650.21750.41850.21950.05x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯(145195)0.051550.1(165185)0.21750.4=+⨯+⨯++⨯+⨯1715.57070172.5=+++=．所以估计该市中学全体男生的平均身高为172.5 cm ． …………7分（Ⅲ）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在180 cm 以上的概率约为14． 由已知得，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3．所以00331327(0)()()4464P X C ==⋅=； 11231327(1)()()4464P X C ==⋅=； 2213139(2)()()4464P X C ==⋅=； 3303131(3)()()4464P X C ==⋅=．随机变量X 的分布列为因为X ~1(3)4B ，，所以344EX =⨯=．…………………………………13分 （17）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为11,60A D DC A DC =∠=︒，所以△1A DC 为等边三角形． 又因为点F 为线段CD 的中点， 所以1A F DC ⊥．由题可知1,ED A D ED DC ⊥⊥， 所以ED ⊥平面1A DC ．因为1A F ⊂平面1A DC ，所以ED ⊥1A F ． 又EDDC D =，所以1A F ⊥平面BCDE ．所以1A F BE ⊥．…………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1A F ⊥平面BCDE ，FG DC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)F ，(0,1,0)D -，(0,1,0)C ，(1,1,0)E -，1A ，(2,1,0)B ．设平面1A DE 的一个法向量为(,,)x y z =n ，1(0,1,3)A D =--,(1,0,0)DE =，所以10,0.n n A D DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 令1z =，所以y =(0,=nB A 1F C E D Q G假设在线段1A B 上存在点Q ，使FQ 平面1A DE ．设11AQ A B λ=，(]0,1λ∈.又1(2,1,A B =，所以1(2,,)AQ λλ=．所以(2,,)Q λλ.则(2,)FQ λλ=. 所以0FQ ⋅=+=n . 解得，12λ=. 则在线段1A B 上存在中点Q ，使FQ 平面1A DE ．且1AQ =……………………10分（Ⅲ）因为1134AQ A B =，又1(2,1,A B =，所以133(,,24A Q =． 所以33(,,244Q ．又因为3(,0,0)2G ，所以3(0,,)44GQ =． 因为(0,=n 设直线GQ 与平面1A DE 所成角为θ，则1sin .2GQ GQ θ⋅===n n直线GQ 与平面1A DE 所成角为30︒. ………………………………14分 （18）（本小题满分13分）解：(Ⅰ)依题意，得1b =．又12120F BF ∠=︒，在1Rt BFO ∆中，160F BO ∠=︒，所以2a =． 所以椭圆W 的标准方程为2214x y +=． …………4分 (Ⅱ)设M 00(,)x y ，00x ≠，则N 0(0,)y ，E 00(,)2x y ． 因为点M 在椭圆W 上，所以220014x y +=．即220044x y =-． 又A (0,1)，所以直线AE 的方程为002(1)1y y x x --=． 令1y =-，得C 0(,1)1x y --． 又B (0,1)-，G 为线段BC 的中点，所以G 00(,1)2(1)x y --．所以00(,)2x OE y =，0000(,1)22(1)x x GE y y =-+-． 因为000000()(1)222(1)x x x OE GE y y y ⋅=-++- 2220000044(1)x x y y y =-++-20004414(1)y y y -=-+-0011y y =--+0=，所以OE GE ⊥．90OEG ∠=︒． ……………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()e 2x F x x b =--，则()e 2xF x '=-.令()e 20,xF x '=->得ln 2x >，所以()F x 在(ln 2,)+∞上单调递增.令()e 20,x F x '=-<得ln 2x <，所以()F x 在(,ln 2)-∞上单调递减. …………4分 （Ⅱ）因为()e 21x f x x '=+-，所以(0)0f '=，所以l 的方程为1y =.依题意，12a-=，1c =. 于是l 与抛物线2()2g x x x b =-+切于点(1,1)， 由2121b -+=得2b =.所以2,2, 1.a b c =-== …………8分（Ⅲ）设()()()e (1)xh x f x g x a x b =-=-+-,则()0h x ≥恒成立.易得()e (1).xh x a '=-+ （1）当10a +≤时，因为()0h x '>，所以此时()h x 在(,)-∞+∞上单调递增. ①若10a +=，则当0b ≤时满足条件，此时1a b +≤-； ②若10a +<，取00x <且01,1bx a -<+ 此时0001()e (1)1(1)01xbh x a x b a b a -=-+-<-+-=+，所以()0h x ≥不恒成立． 不满足条件； （2）当10a +>时，令()0h x '=，得ln(1).x a =+由()0h x '>，得ln(1)x a >+； 由()0h x '<，得ln(1).x a <+所以()h x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增. 要使得“()e (1)0xh x a x b =-+-≥恒成立”，必须有“当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥”成立. 所以(1)(1)ln(1)b a a a ≤+-++.则2(1)(1)ln(1) 1.a b a a a +≤+-++- 令()2ln 1,0,G x x x x x =-->则()1ln .G x x '=- 令()0G x '=，得 e.x =由()0G x '>，得0e x <<；由()0G x '<，得 e.x >所以()G x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减, 所以，当e x =时，max ()e 1.G x =-从而，当e 1,0a b =-=时，a b +的最大值为e 1-.综上，a b +的最大值为e 1-. …………14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）5，1，0，2，2. …………3分 （Ⅱ）因为10-≤≤n a n ，所以20,1032≤≤≤≤a a ，又数列}{n a 的前3项互不相等， （1）当02=a 时，若13=a ，则3451a a a ====，且对3≥n ，12)2(0+-=-++nm n n m 都为整数，所以2=m ；若23=a ，则3452a a a ====，且对3≥n ，24)2(20+-=-++nm n n m 都为整数，所以4=m ；（2）当12=a 时，若03=a ，则3450a a a ====，且对3≥n ，nm n n m 1)2(01+=-⋅++都为整数，所以1-=m ，不符合题意；若23=a ，则3452a a a ====，且对3≥n ，23)2(21+-=-++nm n n m 都为整数，所以3=m ；综上，m 的值为2,3,4. …………8分 （Ⅲ）对于1≥n ，令12n n S a a a =+++，则11111+=+≤+=<++++nS n n S n a S n S n S nn n n n n .又对每一个n ，nS n 都为正整数，所以11++n S n m Sn S n =≤≤≤1...1，其中“<”至多出现1-m 个.故存在正整数M m >，当n M >时，必有nS n S nn =++11成立. 当n S n S n n =++11时，则n SS n S n S S a n n n n n n =-+=-=++)1(11.从而22)1(2212112122+-+=+++=+++=+++++++++n a a a n a n a n S a a n S n n n n n n n n n . 由题设知1212||12<++≤+-++n n n a a n n ，又22++n S n 及1+n a 均为整数，所以=++22n S n =+1n a 11+=+n Sn S n n ，故1212n n n S S S n n n ++====++常数.从而==-+=-=++nSS n S n S S a n n n n n n )1(11常数. 故存在正整数M ，使得n M ≥时，n a 为常数. ………………………………13分。

2020年北京市朝阳区高考数学二模试卷数学 苏悦读书室整理注意事项1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑.2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 在复平面内，复数(1)z i i =+对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】根据复数的乘法运算化简复数，得出其对应的点，进而可求出结果. 【详解】因为(1)1z i i i =+=-+，所以其在复平面内对应的点为()1,1-位于第二象限. 故选：B.【点睛】本题主要考查求复数对应的点所在的象限，考查复数的乘法运算，属于基础题型. 2. 函数ln ()1xf x x =-的定义域为（ ） A. (0,)+∞ B. ()0,11(),⋃+∞ C. [0,)+∞ D. [)0,11(),⋃+∞ 【答案】B 【解析】令0x >且10x -≠即可求解.【详解】由题意得：010x x >⎧⎨-≠⎩得0x >且1x ≠，所以函数的定义域为()0,11(),⋃+∞， 故选：B【点睛】本题主要考查了求函数的定义域，属于基础题.3. 如果实数a ，b ，c 满足：a b c >>，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 22ac bc > B. 222a b c >> C. 2a c b +> D. a c b c ->-【答案】D 【解析】直接利用赋值法和不等式的基本性质的应用求出结果． 【详解】对于选项A ，当c =0时，ac 2=bc 2，故选项A 错误； 对于选项B ，当1,2,3a b c =-=-=-时，a 2＞b 2＞c 2错误； 对于选项C ，当a =1，b =0，3c =-时，a +c ＞2b 错误；对于选项D ，直接利用不等式的基本性质的应用求出a c b c ->-，故选项D 正确． 故选：D ．【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.4. 圆心在直线0x y -=上且与y 轴相切于点()0,1的圆的方程是（ ） A. 22(1)(1)1x y -+-= B. 22(1)(1)1x y +++= C. 22(1)(1)2x y -+-= D. 22(1)(1)2x y +++=【答案】A 【解析】根据圆的标准方程得到圆心坐标，代入直线方程验证是否满足，再把()0,1点代入所给的选项验证是否满足，逐一排除可得答案.【详解】A. 22(1)(1)1x y -+-=圆心为(11)，，满足0x y -=，即圆心在直线0x y -=， ()0,1代入22(1)(1)1x y -+-=，即22(01)(11)1-+-=成立，正确；B. 22(1)(1)1x y +++=圆心(11)-，-，满足0x y -=，即圆心在直线0x y -=，()0,1代入22(01)(151)1+=++≠，错误；C. 22(1)(1)2x y -+-=圆心(11)，，满足0x y -=，即圆心在直线0x y -=， ()0,1代入22(01)(111)2-=+-≠，错误；D. 22(1)(1)2x y +++=圆心(11)-，-，满足0x y -=，即圆心在直线0x y -=，()0,1代入22(01)(151)1+=++≠，错误故选：A.【点睛】本题考查圆的标准方程，圆与直线的位置关系，属于基础题.5. 直线l 过抛物线22y x =的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ．若12 3x x +=，则弦AB 的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8【答案】A 【解析】由题意得1p =，再结合抛物线的定义即可求解. 【详解】由题意得1p =，由抛物线的定义知：121231422p pAB AF BF x x x x p =+=+++=++=+=， 故选：A【点睛】本题主要考查了抛物线的几何性质，考查抛物线的定义，属于基础题.6. 设等差数列{}n a 的公差为d ，若2n an b =，则“0d <”是“{}n b 为递减数列”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】利用指数函数的单调性、数列增减性的定义以及等差数列的定义判断即可.【详解】充分性：若0d <，则10n n a a d +-=<，即1n n a a +<，122n n a a +∴<，即1n n b b +<， 所以，数列{}n b 为递减数列，充分性成立；必要性：若{}n b 为递减数列，则1n n b b +<，即122n n a a +<，1n n a a +∴<，则10n n a a d +-=<， 必要性成立.因此，“0d <”是“{}n b 为递减数列”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查充要条件的判断，同时也考查了数列单调性定义的应用，考查推理能力，属于中等题.7. 已知函数π()sin(2)6f x x =-则下列四个结论中正确是（ ）A. 函数()f x 的图象关于5π(,0)12中心对称B. 函数()f x 图象关于直线π8x =-对称 C. 函数()f x 在区间(π,π)-内有4个零点 D. 函数()f x 在区间π[,0]2-上单调递增【答案】C 【解析】根据正弦三角函数的对称性、图象、单调性逐项排除，可得答案. 【详解】 A. 5π5ππ2πsin 2sin 0123126f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，错误； B. πsin 2sin 188612f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-=≠± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，错误；C. 当()π,π-时，函数13π112666x π-≤-≤，当π226x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π-，0，π时，πsin 206x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，正确；D. 由π222,262k x k k Z ππππ-+≤-≤+∈，得()f x 单调递增区间为,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，令0,63k x ππ=-≤≤，721,63k x ππ=--≤≤- 所以()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调递增，错误. 故选：C .【点睛】本题主要考查三角函数的性质，属于基础题.8. 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会的的投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即ABC ∠）为26.5，夏至正午太阳高度角（即ADC ∠）为73.5，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB 的长）为a ，则表高（即AC 的长）为（ ）A. sin 532sin 47a ︒︒B. 2sin 47sin 53a ︒︒C. tan 26.5tan 73.5tan 47a ︒︒︒D. sin 26.5sin 73.5sin 47a ︒︒︒【答案】D 【解析】先求BAD ∠，在BAD 中利用正弦定理求AD ，在Rt ACD △中即可求AC . 【详解】73.526.547BAD ∠=-=，在BAD 中由正弦定理得：sin sin BD AD BAD ABD=∠∠，即sin 47sin 26.5a AD=，所以sin 26.5sin 47a AD =，又因为在Rt ACD △中，sin sin 73.5ACADC AD=∠=， 所以sin 26.5sin 73.5sin 73.5sin 47a AC AD =⨯=,故选：D【点睛】本题主要考查了解三角形应用举例，考查了正弦定理，属于中档题. 9. 在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，2AB =，1AD =，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的最大值为（ ）A. 2B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 设BM CN x BCCD==，01x ≤≤，然后选取,AB AD 为基底，把其他向量用基底表示后计算数量积，表示为x 的函数，由函数知识得最大值． 【详解】设BM CN x BCCD==，01x ≤≤，则AM AB BM AB xBC AB xAD =+=+=+，(1)(1)AN AD DN AD x DC x AB AD =+=+-=-+，∴()(1)AM AN AB xAD x AB AD ⎡⎤⋅=+⋅-+⎣⎦()222(1)1x AB x x AB AD xAD =-++-⋅+ 222(1)2(1)21cos13x x x x π=-⨯++-⨯⨯⨯+⨯2225(1)6x x x =--+=-++，∵01x ≤≤，∴0x =时，AM AN ⋅取得最大值5． 故选：C ．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是选取基底，用基底表示平面上的其他向量，然后进行运算求解． 10. 设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意1x D ∈，都存在唯一的2x D =，使得()()12 f x f x m +=（m 为常数）成立，那么称函数()f x 在D 上具有性质业m ψ．现有函数：①()3f x x =; ②()3xf x =; ③()3log f x x =; ④()tan f x x =．其中，在其定义域上具有性质中．的函数的序号是（ ） A. ①③ B. ①④C. ②③D. ②④【答案】A 【解析】对各个选项分别加以判断：根据性质m ψ的函数定义，列出方程可以解出2x 关于1x 表达式且情况唯一的选项是①和④，而②和③通过解方程发现不符合这个定义，从而得到正确答案.【详解】①()3f x x =的定义域为R ，函数的值域为R ，对任意1x D ∈，都存在唯一的2x D =，对于任意的m ，使得()()12 f x f x m +=（m 为常数）恒成立，其定义域上具有性质m ψ的函数；②()3xf x =定义域为R ，函数的值域为()0,∞+，对任意1x R ∈，都存在唯一的2x R ∈，使得()()12 f x f x m +=（m 为常数）不恒成立，例如1m =，11x =，不存在唯一的2x R ∈，故②()3xf x =不是定义域上具有性质m ψ的函数；③()3log f x x =定义域为()0,∞+，值域为R ，而且是单调递增函数，所以对任意1x D ∈，都存在唯一的2x D =，对于任意的m ，使得()()12 f x f x m +=（m 为常数）恒成立，，其定义域上具有性质m ψ的函数；④()tan f x x =定义域为R ，函数的值域为R ，不是单调函数，是周期函数，对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得()()12 f x f x m +=（m 为常数）恒成立，但2x 不唯一，所以在其定义域上不具有性质m ψ的函数； 所以①和③是定义域上具有性质m ψ的函数； 故选：A【点睛】本题利用新定义考查函数的性质，解题的关键是正确理解定义域上具有性质m ψ的含义，属于中档题.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知平面向量(),3a m =，()1,6b =，若//a b ，则m =________． 【答案】12【解析】利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】(),3a m =，()1,6b =， 若//a b ，则63m =， 解得：12m =， 故答案为：12【点睛】本题主要考查了向量共线的坐标表示，属于基础题.12.在61x ⎫⎪⎭的二项展开式中，常数项为________．（用数字作答） 【答案】15 【解析】的由二项式展开式通项有6321r r r nTC x-+=，可知常数项的值；【详解】二项展开式通项为6632211()r rr r rr nn T C x C x x--+==， ∴当2r时，常数项23615T C ==，故答案为：15【点睛】本题考查了二项式定理，利用二项式展开式的通项求常数项，属于简单题；13. 某四棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该四棱锥的体积为________．【答案】12 【解析】先根据三视图判断其直观图，再利用三棱锥的体积公式计算即可. 【详解】根据三视图可知其对应的直观图如下：下底面是等腰梯形，//AD BC ，2,4AD BC ==，高为3，侧棱EA ⊥平面ABCD ，4EA =，故体积()111243412332V Sh ⎡⎤==⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦. 故答案为：12.14. 已知双曲线C 的焦点为()10,2F ，()20,2F -，实轴长为2，则双曲线C 的离心率是______；若点Q 是双曲线C 的渐近线上一点，且12FQ F Q ⊥，则12QF F 的面积为______．【答案】 (1). 2 (2). 【解析】易得2c =，1a =，再结合222b c a =-，可知b =ce a=求出离心率；可求出经过一、三象限的渐近线方程为3y x =，设点(,)3Q x x ，分别求出1FQ 和2F Q ，根据120FQ F Q ⋅=列出方程，求出x 的值，然后可得点Q 到y 轴的距离，124F F =，最后计算12QF F 的面积. 【详解】易知2c =，22a =，所以1a =，又222413b c a =-=-=，b =2ce a==；所以双曲线的方程为：2213x y -=，其中经过一、三象限的渐近线方程为3y x =，故可设点(,)3Q x x ，所以1(,2)3F Q x x =-，2(,2)3F Q x x =+，因为12FQ F Q ⊥，所以120FQ F Q ⋅=，即2220x x x ⎫+-+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解之得：x =Q 到y ，又124F F =，所以：121211422QF F S F F ===△故答案为：2；23.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，考查向量垂直的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化思想，属于常考题.15. 颗粒物过滤效率η是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为out inout100%C C C η-=⨯，其中out C 表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：ind./L ），in C 表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：ind./L ）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点ij A 的横坐标表示第i 种口罩第j 次测试时out C 的值，纵坐标表示第i 种口罩第j 次测试时in C 的值()1,2,1,2,3,4i j ==．该研究小组得到以下结论：①在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高; ②在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高;③在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高;④在第3次和第4次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低． 其中，所有正确结论的序号是__________． 【答案】②④ 【解析】先根据题意分析得直线ij OA 的斜率inoutC k C =越大，颗粒物过滤效率η越小，再看图逐一分析结论即可. 【详解】依题意，out ininout out100%1100%C C C C C η⎛⎫-=⨯=-⨯ ⎪⎝⎭，知直线ij OA 的斜率in out C k C =越大，颗粒物过滤效率η越小. 看图分析如下：在第1种口罩的4次测试中，四条直线1(1,2,3,4)j OA j =中，直线14OA 斜率最大，故η最小，第4次测试时的颗粒物过滤效率最低，则①错误；在第2种口罩的4次测试中，四条直线2(1,2,3,4)j OA j =中，直线23OA 斜率最小，故η最大，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高，则②正确；在第1次和第2次测试中，直线2j OA 斜率大于1j OA 斜率，(1,2)j =，即第1种口罩的颗粒物过滤效率高，在第3次和第4次测试中，1j OA 斜率大于直线2j OA ，斜率(1,2)j =，即第2种口罩的颗粒物过滤效率高，故③错误，④正确. 故答案为：②④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 已知{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ，且51a =，___________．若存在正整数n ，使得n S 有最小值．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式; （Ⅱ）求n S 的最小值．从①31a =-，②2d =，③2d =-这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面问题中并作答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】答案见解析 【解析】分别选择①②③，然后结合等差数列的通项公式及求和公式及已知条件进行求解即可． 【详解】解：①31a =-时，根据题意得532a a d -=，1−（−1）＝2d ，解得d ＝1， （Ⅰ）()55154n a n d n a n =+-=+-=-; （Ⅱ）()()()211173222n S n n n n n nna d n ---=+=⨯-+=所以当n ＝3或4时，()min n S ＝−6.②2d =时，根据题意得1541427a a d =-=-⨯=-，（Ⅰ）()()1171229n a n d n n a =+-=-+-⨯=- （Ⅱ）()()()211172822n n n n n na d S n n n --=+=⨯-+⨯=-，所以当n ＝4时，()min n S ＝−16，③2d =-时，根据题意得()1541429a a d =-=-⨯-=，（Ⅰ）()()11912211n a n d a n n =+-=--⨯=-+； （Ⅱ）()()2111921022n n n n n na d n n S n --=+=⨯-⨯=-+，此时n S 没有最小值．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，关键是利用等差数列求和公式的函数性质来解题，属于基础题.17. 如图，在五面体ABCDEF 中，面ABCD 是正方形，AD DE ⊥，4=AD ，2DE EF==，且π3EDC ∠=．（1）求证：AD ⊥平面CDEF ；（2）求直线BD 与平面ADE 所成角的正弦值；（3）设M 是CF 的中点，棱AB 上是否存在点G ，使得//MG 平面ADE ？若存在，求线段AG 的长；若不存在，说明理由．【答案】（1）答案见详解；（2（3）存在，3AG =. 【解析】(1) 由AD DC ⊥和AD DE ⊥，利用线面垂直的判定定理即证结论； (2)先根据等体积法计算点B 到平面ADE 的距离d ，再利用正弦等于dBD即得结果； (3) 先取DC ，AB 上点N ，G 使得CN =BG =1，证明平面MNG //平面ADE ，即得//MG 平面ADE ，3AG =. 【详解】解：（1） 证明：正方形ABCD 中，AD DC ⊥， 又AD DE ⊥，DCDE D =，,DC DE ⊂平面CDEF ，所以AD ⊥平面CDEF ；（2）设直线BD 与平面ADE 所成角为θ，点B 到平面ADE 的距离d ，则sin dBDθ=.依题意，BD =1）知AD ⊥平面CDEF ，得平面ABCD ⊥平面CDEF ，故点E 到平面ABCD 的距离1sin3h DE π=⋅=Rt ADE △中，1124422ADESAD DE =⋅⋅=⨯⨯=，又1144822ABDS AD AB =⋅⋅=⨯⨯=，故根据等体积法B ADE E ABD V V --=，得11133ADEABD Sd S h ⋅=⋅，即d ==，故sin d BD θ===，故直线BD与平面ADE 所成角的正弦值是4；（3）//AB DC ，DC ⊂平面CDEF ，AB ⊄平面CDEF ，//AB ∴平面CDEF ，又平面CDEF平面ABEFEF =，AB 平面ABEF ，////AB EF CD ∴.分别取DC ，AB 上点N ，G ，使得CN =BG =1，又//CN BG ，故四边形CNGB 是平行四边形，//BC NG ∴，又NG 在平面ADE 外，BC 在平面ADE 内，//NG ∴平面ADE ，取DC 中点H ，则DH =EF =2，又//DH EF ，故四边形EFDH 是平行四边形，//DE HF ∴， 又11142CN DC CH ===，M 是CF 的中点，故MN 是中位线，////DE HF MN ∴，又MN 在平面ADE 外，DE 在平面ADE 内，//MN ∴平面ADE ，因为MN ，NG 相交于平面MNG 内，所以平面MNG //平面ADE ，又MG ⊂平面MNG ， 故此时//MG 平面ADE ，3AG =.【点睛】本题考查了线面垂直的判定、线面成角的求法和存在性问题的探究，属于中档题.求空间中直线与平面所成角的常见方法为：（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线线段长的比值即线面成角的正弦值； （3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.18. 近年来，随着5G 网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试．某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：[)5,6，[)6,7，[)7,8，[]8,9并整理得到如下的频率分布直方图：（I ）求a 的值；（Ⅱ）该机构用分层抽样的方法，从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有X 辆汽车行驶里程不小于8万公里，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）设该机构调查的所有无人驾驶汽车的行驶里程的平均数为0μ．若用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为1μ;若用简单随机抽样的方法从上述无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为2μ．有同学认为0102μμμμ-<-，你认为正确吗？说明理由．【答案】（I ）0.3；（Ⅱ）分布列见解析，67；（Ⅲ）不正确，理由见解析. 【解析】（I ）根据频率分布直方图概率之和等于1，即可求得a 的值（Ⅱ）按照分层抽样比分别求出行驶里程在[)7,8和[)8,9的无人驾驶汽车数量，X 的所有可能取值为0,1,2，求出相应的概率即可列出分布列，求出数学期望.（Ⅲ）由于样本具有随机性，故1μ，2μ是随机变量，受抽样结果的影响， 这种说法不正确. 【详解】（I ）由题意可知:()10.10.20.41a ⨯+++=，所以0.3a =；（Ⅱ）4组无人驾驶汽车的数量比为1:2:4:3，若使用分层抽样抽取10辆汽车，则行驶里程在[)7,8这一组的无人驾驶汽车有410410⨯=辆， 则行驶里程在[)8,9这一组的无人驾驶汽车有310310⨯=辆， 有题意可知：X 的所有可能取值为0,1,2()2427207C P X C ===，()114327417C C P X C ===，()2327127C P X C ===，所以X 的分布列为所以X 的数学期望为()24160127777E X =⨯+⨯+⨯=. （Ⅲ）这种说法不正确，理由如下：由于样本具有随机性，故1μ，2μ是随机变量，受抽样结果的影响. 因此有可能1μ更接近0μ，也有可能2μ更接近0μ， 所以0102μμμμ-<-不恒成立，所以这种说法不正确.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.19. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且椭圆C 经过点(1,2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）已知过点()4,0P 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，与直线1x =交于点Q ，设AP PB λ=，(,)AQ QB μλμ=∈R ，求证：λμ+为定值．【答案】（Ⅰ）22142x y +=；（Ⅱ）证明见解析 【解析】（Ⅰ）由离心率得22c a ==，由椭圆过一点(1,2．得221614a b +=，两者结合可解得,a b ，得椭圆方程；（Ⅱ）设直线l 方程为(4)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入椭圆方程后可得1212,x x x x +，由AP PB λ=，AQ QB μ=，把,λμ用12,x x 表示，然后计算λμ+并代入1212,x x x x +即可得证．【详解】（Ⅰ）由题意2221614a a b =⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴椭圆方程为22142x y +=；（Ⅱ）易知直线l 斜率存在，设其方程为(4)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由22142(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消元y 整理得2222(12)163240k x k x k +-+-=， ∴21221612k x x k +=+，212232412k x x k -=+，把1x =代入(4)y k x =-得3y k =-，即(1,3)Q k -， 由AP PB λ=，得124(4)x x λ-=-，1244x x λ-=-， 由AQ QB μ=，得121(1)x x μ-=-，1211x x μ-=-， ∴11121222224125()841(4)(1)x x x x x x x x x x λμ---+++=+=----22222264*********(4)(1)k k k k x x --+++==--， ∴λμ+为定值．【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设直线方程为(4)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理求得1212,x x x x +，把它代入题中需求的量化简可得结论．20. 已知函数()()2sin cos f x x x x ax a R =--∈. （1）若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为1. （ⅰ）求a 的值；（ⅱ）证明：函数()f x 在区间()0,π内有唯一极值点； （2）当1a ≤时，证明：对任意()0,x π∈，()0f x >.【答案】（1）（ⅰ）0；（ⅱ）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）（ⅰ）先对函数求导，然后把0x =代入导函数中使其值等于零，可求出a 的值；（ⅱ）令()()g x f x '=，则()cos g x x x '=，可得()g x 在()0,π上的单调性，也是()f x '在()0,π上的单调性，而()010g =>，022g ππ⎛⎫=>⎪⎝⎭，()10g π=-<，所以存在唯一的0(,)2x ππ∈是()0f x '=的变号零点，故函数()f x 在区间()0,π内有唯一极值点； （2）由（1）可知，()f x '在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，当1a ≤时，()010f a '=-≥，()1f a π'=--，所以分两类讨论：（i ）若()10f a π'=--≥，易证()f x 在()0,π内单调递增，()()00f x f >=，符合题意，（ii ）若()10f a π'=--<，可得在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内()f x '有且只有一个零点，记为1x ，而函数()f x 在()10,x 内单调递增，在()1,πx 内单调递减，可得()0f x >，符合题意. 【详解】（1）（ⅰ）因为()2sin cos f x x x x ax =--， 所以()()2cos cos sin cos sin f x x x x x a x x x a '=---=+-. 因为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为1， 所以()01f '=，即11a -=，故0a =. 经检验，符合题意.（ⅱ）由（ⅰ）可知()2sin cos f x x x x =-，()cos sin f x x x x '=+. 设()()g x f x '=，则()cos g x x x '=. 令()0g x '=，又()0,x π∈，得2x π=.当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>﹔当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<， 所以()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减. 又()01g =，22g ππ⎛⎫=⎪⎝⎭，()1g π=-，因此，当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()00g x g >>，即()0f x '>， 此时()f x 在区间0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上无极值点；当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0g x =有唯一解0x ，即()0f x '=有唯一解0x ， 且易知当0,2x x π⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '>，当()0,x x π∈时，()0f x '<， 故此时()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一极大值点0x . 综上可知，函数()f x 在区间()0,π内有唯一极值点.（2）因为()cos sin f x x x x a '=+-，设()()h x f x ='，则()cos h x x x '=. 令()0h x '=，又()0,x π∈，得2x π=.且当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>﹔当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<， 所以()f x '在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减. 当1a ≤时，()010f a '=-≥，022f a ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，()1f a π'=--. （i ）当()10f a π'=--≥，即1a ≤-时，()0f x '≥. 此时函数()f x 在()0,π内单调递增，()()00f x f >=﹔ （ii ）当()10f a π'=--<，即11a -<≤时， 因为()010f a '=-≥，022f a ππ⎛⎫'=->⎪⎝⎭ ， 所以，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内()0f x '≥恒成立，而在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内()f x '有且只有一个零点，记为1x ，则函数()f x 在()10,x 内单调递增，在()1,πx 内单调递减.又因为()00f =，()()10fa ππ=-≥，所以此时()0f x >.由（i ）（ii ）可知，当1a ≤时，对任意()0,x π∈，总有()0f x >.【点睛】此题考查利用导数研究函数的切线方程、单调性、极值和恒成立问题，构造函数、虚设零点、灵活运用零点存在性定理是解题的关键，考查转化与化归能力、运算能力，属于难题.21. 设集合{}1234,,,A a a a a =，其中1234,,,a a a a 是正整数，记1234A S a a a a =+++．对于i a ，14()j a A i j ∈≤<≤，若存在整数k ，满足()i j A k a a S +=，则称i j a a +整除A S ，设A n 是满足i j a a +整除AS 的数对()(),i j i j <的个数．（I ）若{}1,2,4,8A =，{}1,5,7,11B =，写出A n ，B n 的值; （Ⅱ）求A n 的最大值;（Ⅲ）设A 中最小的元素为a ，求使得A n 取到最大值时的所有集合A ．【答案】（1）2A n =，4B n =；（2）4；（3）{},5,7,11A a a a a =，或{},11,19,29A a a a a =. 【解析】（1）根据定义得到A S ，B S ，即可得到A n ，B n 的值；（2）结合条件得到,)i j （最多有(1, 2)，(1, 3)， (1, 4)， (2,3)， (2, 4)，(3, 4)六种情况， 排除(2, 4) , (3，4)即可得到A n 的最大值；（3）假设12340a a a a a =<<<<，2311,a a a v a u +==+，根据定义可得166u a a ==或11212u a a ==，进而得到A .【详解】（1）根据条件所给定义，S A =15=5(1+2)=3(1+4)，故2A n =， S B =24=4(1+5) =2(5+7)=2(1+11)=3 (1+7)，故4B n =. （2）不妨设12340a a a a <<<<，因为1234243411()22A A a a a a a a a a S S +++++=<<<，所以24a a +，34a a +不能整除A S ，因为,)i j （最多有(1, 2)，(1, 3)， (1, 4)， (2,3)， (2, 4)，(3, 4)六种情况，而(2, 4) , (3，4)不满足题意，所以624A n ≤-=，当{}1,5,7,11A =时，4A n =，所以A n 的最大值为4 ；（3）假设12340a a a a a =<<<<，由（2）可知，当A n 取到最大值4时，12131423,,,a a a a a a a a ++++均能整除A S ，因{}14231max ,2A A a a a S S a ++≤<，故{}14231max ,2A a a a a S ++=，所以1423a a a a +=+， 设2311,a a a v a u +==+，则,u v 是2312()2(2)A S a a u a v ==+-+的因数， 所以v 是12(2)u a -的因数，且u 是12(2)v a -的因数，因为u v <， 所以12(2)22u v a u -<<，因为v 是12(2)u a -的因数，所以124v u a =-， 因为u 是112(2)412a v u a -=-的因数，所以u 是112a 的因数，因为124u v u a <=-，所以14u a >，所以166u a a ==或11212u a a ==， 故{}1111,5,7,11A a a a a =，或{}1111,11,19,29A a a a a =，所以当A n 取到最大值4时，故{},5,7,11A a a a a =，或{},11,19,29A a a a a =. 【点睛】本题主要考查合情推理与演绎推理，考查集合的性质。

2020年北京市西城区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设全集U={1,2，3，4，5}，集合A={1,3，4}，B={2,3，5}，则(∁U A)∪B=()A. {2}B. {2,5}C. {2,3，5}D. {2,3，4，5}2.已知复数z满足(1+i)z=(1−i)2，则z=()A. −1+iB. 1+iC. 1−iD. −1−i3.焦点在x 轴，且焦点到准线的距离为2的抛物线方程为()A. y2=2xB. y2=4xC. y2=±2xD. y2=±4x4.已知△ABC中，a=6，b=4，A=60°，则cosB=()A. √33B. 23C. √63D. √325.已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x2+1x，则f(−1)=()A. −2B. 0C. 1D. 26.圆x2+y2−4x+4y+6=0截直线x–y−5=0所得的弦长为()A. 5B. √6C. 5√22D. 17.已知a<b<0，则()A. 1a <1bB. a2<abC. a2<b2D. 1a−b<1a8.已知向量a⃗=(2,1)，|a⃗+b⃗ |=4，a⃗⋅b⃗ =1，则|b⃗ |=()A. 2B. 3C. 6D. 129.“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件10.如图，是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB、CD这两条线段所在直线的位置关系是()A. 平行B. 相交C. 异面D. 平行或异面二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 在二项式(x 2−1x )5的展开式中，二项式系数之和是_____，含x 4的项的系数_______．12. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 2=5，S 9=−9，则a 8的值为_______． 13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______ ．14. 已知椭圆x 225+y 216=1与双曲线x 2m −y 25=1有共同的焦点F 1,F 2，则m =_________15. 已知函数f(x)={e x ,x ≥0−2x,x <0，则关于x 的方程f[f(x)]+k =0给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有1个实根； ②存在实数k ，使得方程恰有2个不相等的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有4个不相等的实根．其中正确命题的序号是______ (把所有满足要求的命题序号都填上)． 三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16. 如图，四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，M 为PA 的中点．(Ⅰ)求证：PC//平面BDM ；(Ⅱ)若PA =AB =2√2，BD =2√3，求直线BM 与平面PAC 所成角的正弦值．)的最小正周期为π，且图象上有一个最低17.已知函数f(x)=Asin(ωx+θ)(A>0,ω>0,|θ|<π2,−3)．点为M(7π12(1)求f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在[0,π]的单调递增区间18.随着科技的进步，视屏会议系统的前景愈加广阔，其中，小型视频会议软件格外受人青睐，根据调查统计，小型视频会议软件下载量前6名依次为A，B，C，D，E，F，在实际中，存在很多软件下载后未使用的情况，为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这6款软件的下载量W(单位：人次)与使用量U(单位：人次)，数据用柱状图表示如下：，当t≥0.9时，称该软件为“有效下载软件”，调查公司以调查得到的定义软件的使用率t=UW使用率t作为实际中该款软件的使用率(Ⅰ)在这6款软件中任取1款，求该款软件是“有效下载软件”的概率(Ⅱ)从这6款软件中随机抽取4款，记其中“有效下载软件”的数量为X ，求X 的分布列与数学期望(Ⅲ)将(Ⅰ)中的概率值记为x%，对于市场上所有小型会议视频会议软件，能否认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”？说明理由19. 设函数f(x)=xlnx ．(1)求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若函数F(x)=f(x)−ax 2有两个极值点，求实数a 的取值范围；(3)当x 1>x 2>0时，m2(x 12−x 22)>f(x 1)−f(x 2)恒成立，求实数m 的取值范围．20. 已知点(1,32)在椭圆E:x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)上，设A ，B 分别为椭圆的左顶点、下顶点，原点O 到直线AB 的距离为2√217． (1)求椭圆E 的方程；(2)设P 为椭圆E 在第一象限内一点，直线PA ，PB 分别交y 轴、x 轴于D ，C 两点，求四边形ABCD 的面积．21.数列{a n}满足a1+2a2+3a3+⋯+na n=2−n+2．2n(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a n，求{b n}的前n项和T n．(1+a n)⋅(1+a n+1)-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查集合的运算，考查计算能力，属于简单题．利用补集和并集运算的定义即可求解．解：∵∁U A={2,5}，B={2,3，5}，∴(∁U A)∪B={2,3，5}，故选C．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z，则z−可求．解：由(1+i)z=(1−i)2=−2i，得z=−2i1+i =−2i(1−i)(1+i)(1−i)=−1−i，∴z−=−1+i．故选：A．3.答案：D解析：本题考查了抛物线的标准方程，属于基础题．焦点到准线的距离为p．解：焦点在x 轴，且焦点到准线的距离为2，可知：p=2，故抛物线方程为y2=±4x．故选D．4.答案：C解析：本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．由已知及正弦定理可得sin B，由b<a，可得范围B<60°，利用同角三角函数基本关系式即可得解cos B的值．解：∵a=6，b=4，A=60°，∴由正弦定理可得：sinB=b⋅sinAa =4×√326=√33，∵b<a，∴B<60°，∴cosB=√1−sin2B=√63．故选：C．5.答案：A解析：由条件利用函数的奇偶性和单调性的性质可得f(−1)=−f(1)，运算求得结果．解：∵函数f(x)为奇函数，x>0时，f(x)=x2+1x，∴f(−1)=−f(1)=−2，故选A．6.答案：B解析：计算直线和圆的相交弦长的通性通法就是，利用几何性质，只要计算出圆心到直线的距离，再用勾股定理即可．已知圆x2+y2−4x+4y+6=0，易得圆心和半径．再利用几何性质，只要计算出圆心到直线的距离，再用勾股定理即可算出弦长．解：已知圆x2+y2−4x+4y+6=0，易得圆心为(2,−2)，半径为√2．圆心为(2,−2)到直线x−y−5=0易得为√22．利用几何性质，则弦长为2√( √2 )2−(√22 )2 =√6．故选B．7.答案：D解析：解：对于A、B、C，令a=−2，b=−1，显然A、B、C错误；对于D，由a<b<0，得a<a−b<0，故1a−b <1a；故D正确；故选：D．根据特殊值判断A、B、C，根据不等式的性质判断D即可．本题考查了不等式的性质，考查特殊值的应用，是一道基础题．8.答案：B解析：解：∵|a⃗+b⃗ |=4，∴a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ =16，∴5+|b⃗ |2+2=16，∴|b⃗ |=3故选：B．将|a⃗+b⃗ |=4两边平方可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．9.答案：C解析：。

北京市朝阳区高三年级高考练习二数学2020.6(考试时间120分钟满分150分)本试卷分为选择题(共40分)和非选琛题(共IlO分)两部分考土务必袴答案答在答題卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)在复平血内，复数i(l÷i)对应的点位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(2)函数/(x) = ^≡的定义域为(A) (0,÷oc)(B) (0,l)∪(l,+oo)(C) [0,+x>) (D) [0,l)U(l,+∞)(3)若d, b、CGR且α>b>c,则下列不等式一定成立的是(A) ac1 > bc2(B) a2 >b2 > C i(C) a-^c>2b(D) a-c>b-c(4)圆心在直线X y = 0±且与y轴相切于点(0, 1)的圆的方程是(A) (x-l)2+(J-I)2 =1 (B) (x + l)2+(y + l)2=l(C) (x-l)2+(^-I)2 =2 (D) (X÷1)2+(J→1)2=2(5)M线/过抛物线V2 = Ix的焦点F, 与该抛物线交于不同的两点J(X l^l), B(x2t y2).若x l+x2=3,则弦/1〃的长是(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 8(6)设等差数列｛q｝的公差为d,若⅛=2fl-,则“dvO”是“ ｛»｝为递减数列”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(7)己知函数/(x)= sin(2χ--),则下列四个结论中止确的是6(A)函数/(x)的图象关于(詈,0)中心对称(B)函数/(x)的图象关于直线X=--对称8(C)函数/(x)在区间(-π.π)内冇4个零点(D)函数/(x)在区间[--,0]±单调递增—(8)圭表(如图1)是我国古代一种通过测最正午H影长度来推定节气的天文仪器.它包括一根直工的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水半同定摆放的与标竿乖直的长尺(称为“玉”)・当止午太阳照射在表上时，口影便会投於在圭面上，圭面上口影长度最长的那•天定为冬至，口影长度最短的那•天定为夏至.图2是-个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，己知北京冬至正午太阳高度角(即ZABC)为26.5“，夏至正午太阳高度角(即ZJDC)为73.5“，定面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为α,则表高(即/C的长)为(C) αsin53°2sin47p2si∏47atan26.5Xan735,tan 47°(D)Qsin265sin73,5°(9)在平行四边形ABCD中，ZJ = -, AB AD = ∖.若M , N分别是边BC, CQ上的点•且(第8题图)-≡=≡则丽•丽的最大債为(A) 2 (B) 4 (C) 5 (D) 6(10) 设函数∕α)的定义域为D,如果对任½X 1∈D,都存在唯一的x 2eD,使得/(齐)+ /(忑)=川(加为常数)成立，那么称函数/(x)在Z)上具有性质屮*现有函数: ①/(x) = 3x;② /(x) = 3x ;③ f(x) = IOg ) X:英中，在梵定义域匕具冇性质屮β,的函数的用号是 (A)①® (B) (D ® (C)②③(D) @®第二部分(Ihiaff 题共110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2020年北京市东城区高考数学二模试卷一、选择题（共10小题）.1．已知全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{0，1，2}，B＝{5}，那么（∁U A）∪B＝（）A．{0，1，2}B．{3，4，5}C．{1，4，5}D．{0，1，2，5} 2．已知三个函数y＝x3，y＝3x，y＝log3x，则（）A．定义域都为RB．值域都为RC．在其定义域上都是增函数D．都是奇函数3．平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，2），且四边形ABCD为平行四边形，那么D点的坐标为（）A．（3，3）B．（﹣5，1）C．（3，﹣1）D．（﹣3，3）4．双曲线C：x2−y2b2=1的渐近线与直线x＝1交于A，B两点，且|AB|＝4，那么双曲线C的离心率为（）A．√2B．√3C．2D．√55．已知函数f（x）＝log a x+b的图象如图所示，那么函数g（x）＝a x+b的图象可能为（）A．B．C．D．6．已知向量a→=（0，5），b→=（4，﹣3），c→=（﹣2，﹣1），那么下列结论正确的是（）A．a→−b→与c→为共线向量B．a→−b→与c→垂直C．a→−b→与a→的夹角为钝角D．a→−b→与b→的夹角为锐角7．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步＝1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为（）A．135平方米B．270平方米C．540平方米D．1080平方米8．已知函数f（x）＝lnx+ax2，那么“a＞0”是“f（x）在（0，+∞）上为增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．已知一个几何体的三视图如图所示，正（主）视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边拼接而成的，俯视图和侧（左）视图分别为一个正方形和一个长方形，那么这个几何体的体积是（）A．1+π2B．1+π4C．1+π8D．1+π10．函数f（x）是定义域为R的奇函数，且它的最小正周期是T，已知f（x）={x ，x ∈[0，T4]T 2−x ，x ∈(T 4−T2]，g （x ）＝f （x +a ）（a ∈R ）．给出下列四个判断： ①对于给定的正整数n ，存在a ∈R ，使得∑ n i=1g(i⋅T n)f(i⋅Tn )=0成立； ②当a =T4时，对于给定的正整数n ，存在k ∈R （k ≠1），使得∑ n i=1g(k i⋅T n)f(i⋅Tn )=0成立；③当a ＝k T 4（k ∈Z ）时，函数g （x ）+f （x ）既有对称轴又有对称中心；④当a ＝k T4（k ∈Z ）时，g （x ）+f （x ）的值只有0或T4．其中正确判断的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题共5题，每题5分，共25分． 11．复数z =1−ii的共轭复数z 为 ． 12．已知cos2α=13，则cos 2（π2+α）﹣2cos 2（π﹣α）的值为 ．13．设α，β，γ是三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列三个结论： ①若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ； ②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β； ③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β． 其中，正确结论的序号为 ．14．从下列四个条件①a =√2c ；②C =π6；③cos B =−√24；④b =√7中选出三个条件，能使满足所选条件的△ABC 存在且唯一，你选择的三个条件是____（填写相应的序号），所选三个条件下的c 的值为 ．15．配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件．由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续n 天的需求，称n 为生产周期（假设这种配件每天产能可以足够大）．配件的存储费为每件每天2元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）．在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n 为 ． 三、解答题共6题，共85分。