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高三一轮第八章平面解析几何8.6双曲线【教学目标】1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．2.理解数形结合的思想．3.了解双曲线的简单应用.【重点难点】1.教学重点：掌握双曲线的定义、几何图形、标准方程及简单性质;2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】C 24 D.23【解析】由e ＝ca ＝2得，c ＝2a ，如图，由双曲线的定义得|F 1A |－|F 2A |＝2a ，又|F 1A |＝2|F 2A |，故|F 1A |＝4a ，|F 2A |＝2a ， ∴cos ∠AF 2F 1＝a2＋2a 2－4a22×4a ×2a＝14. 【答案】 A2．已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为( )A.37＋4B.37－4C.37－2 5D.37＋2 5【解析】 由题意知，|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ，要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值，当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值，则|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|＝37，∴|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ＝37－2 5.故选C.【答案】 C3．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q为双曲线C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________． 【解析】 由双曲线C ：x 29－y216＝1，知a ＝3，b ＝4，则c ＝a 2＋b 2＝5，|PQ |＝4b ＝16.∴F (－5,0)，点A (5,0)为右焦点．又右焦点A (5,0)在线段PQ 上，知点P 、Q在双曲线的右支上．根据双曲线定义，|PF |－|P A |＝6，|QF |－|QA |＝6.相加得，|PF |＋|QF |－(|P A |＋|QA |)＝12，于是|PF |＋|QF |＝12＋|PQ |＝28.从而△PQF 的周长为|PF |＋|QF |＋|PQ |＝44.【答案】 44归纳；“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧 1．常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用．2．技巧：经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立它与|PF 1||PF 2|的联系．提醒：利用双曲线的定义解决问题，要注意三点： (1)距离之差的绝对值．(2)2a <|F 1F 2|.(3)焦点所在坐标轴的位置．考点二: 双曲线的标准方程与几何性质(1)(2014·江西高考)过双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y24＝1 (2)(2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 2【解析】 (1)由双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1知，右顶点为(a,0)，不妨设双曲线C 的一条渐近线为y ＝ba x .将x ＝a代入上式，得交点A (a ，b )，记双曲线C 的右焦点为F ，则F (c,0)，依题意，|OF |＝|F A |＝4，∴⎩⎨⎧ －a 2＋b 2＝4，a 2＋b 2＝c 2＝16，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2 3.故双曲线C 的标准方程为x 24－y 212＝1，故选A.(2)不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的。
[考纲传真] 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．1．双曲线的定义(1)平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a>|F1F2|时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质[常用结论]1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)中，过焦点垂直于实轴所在直线的弦长为2b2a.2．双曲线的焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长．3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝λ(a ＞0，b ＞0，λ≠0)，求其渐近线的方程，只需把λ改写为0整理即可．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(3)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2. ( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2．双曲线3x 2－y 2＝1的渐近线方程是( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±13xC ．y ＝±3xD ．y ＝±33x C [由3x 2－y 2＝0得y ＝±3x .故选C.]3．(教材改编)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A. 5 B ．5 C. 2D ．2A [由题意可知b ＝2a ，∴e ＝c a ＝1＋b 2a2＝5，故选A.] 4．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3B [由题意知a ＝3，b ＝4，∴c ＝5.由双曲线的定义||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9.]5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为________．x 24－y 2＝1 [由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，a 2＋b 2＝5，a ＞0，b ＞0，解得a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y ＝1.]双曲线的定义及其应用【例1】 (1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2＝________.(1)x 2－y 28＝1(x ≤－1) (2)34[(1)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B ．根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |. 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|.根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．(2)因为由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22， 所以|PF 1|＝2|PF 2|＝42， 所以cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝22＋22－422×42×22＝34.] [母题探究] (1)将本例(2)中的条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积是多少？(2)将本例(2)中的条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积是多少？[解] (1)不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2 3.(2)不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝4，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝2.(1)x ＋＋x －＋A.x 236－y 264＝1 B ．x 264－y 236＝1 C.x 236－y 264＝1(x ＞0) D ．x 264－y 236＝1(x ＞0) (2)设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于________．(1)C (2)17 [(1)设F 1(－10,0)，F 2(10,0)，动点P (x ，y )，则由题意可知 |PF 1|－|PF 2|＝12，又|F 1F 2|＝20，∴动点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支． 又2a ＝12,2c ＝20，∴a ＝6，c ＝10，b ＝8. 即所求方程为x 236－y 264＝1(x ＞0)．(2)由题意知|PF 1|＝9＜a ＋c ＝10，所以P 点在双曲线的右支，则有|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，故|PF 2|＝|PF 1|＋8＝17.]双曲线的标准方程【例2】 (1)(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B ．x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D ．x 29－y 23＝1(2)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( ) A.7x 216－y212＝1 B ．y 23－x 22＝1C ．x 2－y 23＝1D ．3y 223－x223＝1(1)C (2)C [(1)由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，所以c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C.(2)因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x, 即y3＝±x .所以可设双曲线的方程是x 2－y 23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C.]x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D ．x 24－y 23＝1(2)已知点A (－1,0)，B (1,0)为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，点M 在双曲线上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 24＝1B ．x 2－y 23＝1C ．x 2－y 22＝1D ．x 2－y 2＝1(1)B (2)D [(1)由y ＝52x 可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B ．(2)由题意知a ＝1.不妨设点M 在第一象限，则由题意有|AB |＝|BM |＝2，∠ABM ＝120°.过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，则|BN |＝1，|MN |＝3，所以M (2，3)，代入双曲线方程得4－3b2＝1，解得b ＝1，所以双曲线的方程为x 2－y 2＝1，故选D ．]双曲线的几何性质►考法1 双曲线的离心率问题＝2|CD |，AE →＝【例3】 (2018·广州一模)如图，在梯形ABCD 中，已知|AB |25AC →，双曲线过C ，D ，E 三点，且以A ，B 为焦点，则双曲线的离心率为( )A.7 B ．2 2 C ．3D ．10A [如图，以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则由梯形的性质与双曲线的对称性知C ，D 关于y 轴对称．设A (－c,0)，则B (c,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，h (其中h 为梯形的高)，因为AE →＝25AC →，所以x E ＝－25c ，y E ＝25h .设双曲线的方程为x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，因为点C ，E 在双曲线上，则⎩⎪⎨⎪⎧425·c 2a 2－425·h2b2＝1，14·c 2a 2－h2b 2＝1，解得c 2a 2＝7，所以双曲线的离心率e ＝ca＝7，故选A.]►考法2 双曲线的渐近线问题【例4】 (2019·福州模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b ，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2xA [由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为8b ，所以菱形的边长为2b ，由勾股定理得4条直线与y 轴的交点到x 轴的距离为4b 2－c 2＝3b 2－a 2，又4条直线分别与两条渐近线平行，所以b a ＝3b 2－a 2a 2＋b 2，解得a ＝b ，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，故选A.]►考法3 双曲线几何性质的综合应用【例5】 (1)(2019·福州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)(2)已知双曲线C 1：x 24－y 2＝1，双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在双曲线C 2的一条渐近线上，且OM ⊥MF 2(O 为坐标原点)，若S △OMF 2＝16，且双曲线C 1，C 2的离心率相同，则双曲线C 2的实轴长为( )A ．32B ．16C ．8D ．4(1)C (2)B [(1)∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，则由题意，得b a ＞2，∴e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＞1＋4＝5，即双曲线离心率的取值范围为(5，＋∞)．(2)双曲线C 1：x 24－y 2＝1的离心率为52，设F 2(c,0)，双曲线C 2的一条渐近线方程为y ＝b a x ，可得|MF 2|＝bc a 2＋b 2＝b ，|OM |＝c 2－b 2＝a .由S △OMF 2＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32.又a 2＋b 2＝c 2，且c a ＝52，得a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 2的实轴长为16.](1)(2019·海口模拟)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与圆(x －2)2＋(y －1)2＝1相切，则C 的离心率为( )A.43 B ．54 C.169D ．2516(2)若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等(3)已知双曲线C 1，C 2的焦点分别在x 轴、y 轴上，渐近线方程为y ＝±1ax (a ＞0)，离心率分别为e 1，e 2，则e 1＋e 2的最小值为________．(1)B (2)A (3)2 2 [(1)双曲线C 的渐近线方程为by ±ax ＝0，与圆相切的只能是直线by －ax ＝0，则|b －2a |a 2＋b 2＝1，化简得3a ＝4b ，所以9a 2＝16b 2＝16(c 2－a 2)，e 2＝2516，故e ＝54，故选 B ．(2)∵0＜k ＜9，∴9－k ＞0,25－k ＞0.∴x 225－y 29－k ＝1与x 225－k －y 29＝1均表示双曲线，又25＋(9－k )＝34－k ＝(25－k )＋9， ∴它们的焦距相等，故选A. (3)e 1＋e 2＝1＋1a 2＋a 2＋1＝a 2＋1·a ＋1a≥2a ×2a＝22，当且仅当a ＝1时取等号，故e 1＋e 2的最小值是2 2.]1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x A [法一：由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以b a＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x ，故选A.法二：由e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x ，故选A.]2.(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C ．2 3D ．4B [因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2,0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x －，y ＝33x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，所以|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3，所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B ．]3．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)A [若双曲线的焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n ＞0，3m 2－n ＞0.又∵(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4，∴m 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋n ＞0，3－n ＞0，∴－1<n <3.若双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为y 2n －3m 2－x 2－m 2－n ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧n －3m 2＞0，－m 2－n ＞0，即n >3m 2且n <－m 2，此时n 不存在．故选A.]4.(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．233 [如图，由题意知点A (a,0)，双曲线的一条渐近线l 的方程为y ＝bax ，即bx －ay ＝0，∴点A 到l 的距离d ＝aba 2＋b 2. 又∠MAN ＝60°，MA ＝NA ＝b ，∴△MAN 为等边三角形， ∴d ＝32MA ＝32b ，即ab a 2＋b2＝32b ，∴a 2＝3b 2，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝233.] 5．(2015·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．12 6 [由双曲线方程x 2－y 28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F (3,0)，F 1(－3,0)．当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长＝|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |.因为|AF |＝32＋62＝15为定值，所以当(|AP |＋|PF 1|)最小时，△APF 的周长最小，由图像可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝26x ＋66，x 2－y 28＝1，得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)， 所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F ＝12×6×66－12×6×26＝12 6.]11。
第六节双曲线最新考纲考情分析1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．2．了解双曲线的简单应用．3．理解数形结合的思想.1.双曲线的定义、标准方程、几何性质是近几年高考命题的热点．2．常与圆、椭圆、抛物线等知识交汇命题．3．题型以选择题、填空题为主，属中低档题.知识点一双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若a<c，则集合P为双曲线；(2)若a＝c，则集合P为两条射线；(3)若a>c，则集合P为空集．知识点二双曲线的标准方程和几何性质1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a.2．离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a2. 3．等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到两点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离之差等于1的点的轨迹是双曲线．( × )(2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )(3)与双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn >0)共渐近线的双曲线方程可设为x 2m －y 2n ＝λ(λ≠0)．( √ )(4)等轴双曲线的离心率等于2，且渐近线互相垂直．( √ )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．( √ )解析：(1)已知点的轨迹是双曲线的一支．到两点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离之差的绝对值为1的点的轨迹是双曲线．(2)例如当m ＝－1，n ＝－1时，方程为y 2－x 2＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线．(3)易知双曲线x 2m －y 2n ＝1与x 2m －y 2n ＝λ(λ≠0)渐近线相同，且x 2m －y 2n＝λ(λ≠0)可表示渐近线为y ＝±nmx 的任意双曲线． (4)因为是等轴双曲线，所以a ＝b ，c ＝2a ，离心率等于 2.渐近线方程为y ＝±x ，互相垂直．(5)由已知，e 21＝c 21a 2＝a 2＋b 2a 2，e 22＝c 22b 2＝a 2＋b 2b2，所以1e 21＋1e 22＝a 2a 2＋b 2＋b 2a 2＋b 2＝1.2．小题热身(1)双曲线x 23－y 22＝1的焦距为( C )A ．5 B. 5 C ．2 5 D ．1 解析：∵c 2＝3＋2＝5，c ＝5，所以焦距2c ＝2 5.(2)设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( B )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上答案均不对解析：由题意知|PF 1|＝9<a ＋c ＝10，所以P 点在双曲线的左支，则有|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，故|PF 2|＝|PF 1|＋8＝17.(3)双曲线方程：x 2|k |－2＋y 25－k＝1，那么k 的范围是( D ) A ．k >5 B ．2<k <5 C ．－2<k <2D ．－2<k <2或k >5解析：由题意知，(|k |－2)(5－k )<0，解得－2<k <2或k >5.(4)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为y ＝±2x .解析：解法1：由题意知，e ＝c a＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以b a＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x .解法2：由e ＝c a＝1＋b a2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x .(5)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0所截得的弦的长为2，则该双曲线的离心率等于62. 解析：不妨取双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0的圆心为(3,0)，半径为2，∴圆心(3,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离d ＝3ba 2＋b 2，又d ＝22－222＝3，∴3ba 2＋b2＝3，化简得a 2＝2b 2，∴该双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋b 2a2＝1＋12＝62.考点一 双曲线的定义及应用【例1】 (1)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝4，定点A (－3,0)，则过定点A 且和圆C 外切的动圆圆心M 的轨迹方程为________．【解析】 (1)由双曲线的方程得a ＝1，c ＝2，由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos60°，即(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|＝22＋|PF 1|·|PF 2|.解得|PF 1|·|PF 2|＝4.故选B.(2)设动圆M 的半径为R ，则|MC |＝2＋R ，|MA |＝R ，∴|MC |－|MA |＝2，由双曲线的定义知，M 点的轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线的左支，且a ＝1，c ＝3，∴b 2＝8，则动圆圆心M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．【答案】 (1)B (2)x 2－y 28＝1(x ≤－1)方法技巧双曲线定义的主要应用方面(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程． (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．1．(2020·安徽省五校联盟质量检测)x 2＋y －32－x 2＋y ＋32＝4表示的曲线方程为( C )A.x 24－y 25＝1(x ≤－2)B.x 24－y 25＝1(x ≥2)C.y 24－x 25＝1(y ≤－2)D.y 24－x 25＝1(y ≥2) 解析：x 2＋y －32的几何意义为点M (x ，y )到点F 1(0,3)的距离，x 2＋y ＋32的几何意义为点M (x ，y )到点F 2(0，－3)的距离，则x 2＋y －32－x 2＋y ＋32＝4表示点M (x ，y )到点F 1(0,3)的距离与到点F 2(0，－3)的距离的差为4，且4<|F 1F 2|，所以点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半轴长a ＝2，半焦距c ＝3，所以b 2＝c 2－a 2＝5，则x 2＋y －32－x 2＋y ＋32＝4表示的曲线方程为y 24－x 25＝1(y ≤－2)，故选C.2．(2020·南昌市第一次模拟)已知A (－3，0)，B (3，0)，P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，AP →＝PQ →，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB 于点M ，若点M 的横坐标为x ，则|x |的取值范围是( A )A ．|x |≥1B ．|x |>1C ．|x |≥2D ．|x |≥22解析：如图，由题意得，||MB |－|MA ||＝|QB |＝2|OP |＝2，所以点M 的轨迹是以A ，B 为左、右焦点的双曲线，且a ＝1，所以|x |的取值范围是|x |≥1，故选A.考点二 双曲线的标准方程【例2】 (1)已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的上焦点为F ，M 是双曲线的虚轴的一个端点，过F ，M 的直线交双曲线的下支于A 点．若M 为AF 的中点，且|AF →|＝6，则双曲线C 的方程为( )A.y 22－x 28＝1 B.y 28－x 22＝1 C ．y 2－x 24＝1D.y 24－x 2＝1 (2)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．【解析】 (1)由题知，F (0，c )，根据对称性，设M (b,0)，又M 为AF 的中点，则A (2b ，－c )，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋c 2＝9，c 2a 2－4b2b 2＝1，c 2＝a 2＋b 2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b＝2，c ＝5，所以双曲线C 的方程为y 2－x 24＝1，故选C.(2)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |，因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 2，C 1的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．【答案】 (1)C (2)x 2－y 28＝1(x ≤－1)方法技巧求双曲线标准方程的两种方法待定 系数法 设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值定义法依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)求解．1．已知双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，若|PF 1|－|PF 2|＝4b ，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的标准方程为( A )A.x 24－y 2＝1 B.x 23－y 22＝1 C ．x 2－y 24＝1D.x 22－y 23＝1 解析：由题意可得⎩⎨⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝4b ，c2＝a 2＋b 2，2c ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，则该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.2．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为x 216－y 29＝1.解析：由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8.由双曲线的定义知，a ＝4，b ＝3. 故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1.即x 216－y 29＝1. 考点三 双曲线的几何性质命题方向1 与渐近线有关的问题【例3】 (1)(2020·武汉市调研测试)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为3x ±y ＝0，则b ＝( )A ．2 3 B. 3 C.32D ．12 (2)(2020·河南鹤壁高中模拟)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线C 右支上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，且∠F 1PF 2＝60°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.3x ±y ＝0 B ．2x ±7y ＝0 C.3x ±2y ＝0D ．2x ±3y ＝0【解析】 (1)依题意，得b2＝3，所以b ＝23，故选A.(2)∵F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线右支上，∴由双曲线定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又知|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，∴|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a .在△PF 1F 2中，由余弦定理的推论可得cos60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|，即12＝3a 2＋a 2－4c 22×3a ×a， ∴3a 2＝10a 2－4c 2，即4c 2＝7a 2，又知b 2＋a 2＝c 2，∴b 2a 2＝34，∴双曲线C 的渐近线方程为y ＝±32x ，即3x ±2y ＝0，故选C. 【答案】 (1)A (2)C命题方向2 求离心率的值或范围【例4】 (2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．【解析】 解法1：因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，如图．所以|OF 1|＝|OB |，所以∠BF 1O ＝∠F 1BO ，所以∠BOF 2＝2∠BF 1O .因为F 1A →＝AB →，所以点A 为F 1B 的中点，又点O 为F 1F 2的中点，所以OA ∥BF 2，所以F 1B ⊥OA ，因为直线OA ，OB 为双曲线C 的两条渐近线，所以tan ∠BF 1O ＝a b ，tan ∠BOF 2＝b a.因为tan ∠BOF 2＝tan(2∠BF 1O )，所以ba ＝2×a b 1－a b2，所以b 2＝3a 2，所以c 2－a 2＝3a 2，即2a ＝c ，所以双曲线的离心率e ＝c a＝2.解法2：因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，在Rt △F 1BF 2中，|OB |＝|OF 2|，所以∠OBF 2＝∠OF 2B ，又F 1A →＝AB →，所以A 为F 1B 的中点，所以OA ∥F 2B ，所以∠F 1OA ＝∠OF 2B .又∠F 1OA ＝∠BOF 2，所以△OBF 2为等边三角形．由F 2(c,0)可得B (c 2，3c 2)，因为点B 在直线y ＝bax 上，所以32c ＝b a ·c 2，所以ba＝3，所以e ＝1＋b 2a2＝2. 【答案】 2 方法技巧1.求双曲线的渐近线一般是根据渐近线定义求解，求出a ，b 的值或a 与b 的比值，进而求得双曲线的渐近线.2.求双曲线离心率的方法1直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解.2列出含有a ，b ，c 的齐次方程或不等式，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程或不等式求解，注意e 的取值范围.1．(方向1)若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( B )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：C 1的渐近线方程为y ＝±2x ，即b a＝2，又因为2c ＝45，c ＝2 5.由c 2＝a 2＋b 2得，所以20＝14b 2＋b 2，解得b ＝4.2．(方向2)(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( A )A. 2B. 3 C ．2D. 5解析：如图，由题意，知以OF 为直径的圆的方程为(x －c2)2＋y 2＝c 24①，将x 2＋y 2＝a 2记为②式，①－②得x ＝a 2c ，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的相交弦所在直线的方程为x ＝a 2c，所以|PQ |＝2a 2－a 2c2.由|PQ |＝|OF |，得2a 2－a 2c2＝c ，整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0，即e 4－4e 2＋4＝0，解得e ＝2，故选A.3．(方向1)已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P 和Q 且△F 1PQ 为正三角形，则双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .解析：设F 2(c,0)(c >0)，P (c ，y 0)，代入双曲线方程得y 0＝±b 2a，因为PQ ⊥x 轴，所以|PQ |＝2b2a.在Rt △F 1F 2P 中，∠PF 1F 2＝30°，所以|F 1F 2|＝3|PF 2|，即2c ＝3·b 2a，又因为c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝2a 2或2a 2＝－3b 2(舍)，又因为a >0，b >0， 所以b a＝2，所以所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .经久不衰的高考热点——离心率问题离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点．这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求圆锥曲线的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆或双曲线的离心率问题难点的根本方法．类型一 利用定义求离心率【典例1】 在直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，P为双曲线C 的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为( )A. 3B.233C ．1＋ 3D ．2＋ 3【解题思路】 设F ′为双曲线的左焦点，利用△OPF 为正三角形求出|PO |＝|PF |＝c ，∠POF ′＝120°，利用双曲线的定义得到|PF ′|＝2a ＋c ，最后在△PF ′O 中由余弦定理可得c a的值．【解析】 设F ′为双曲线的左焦点，|F ′F |＝2c ，依题意可得|PO |＝|PF |＝c ，连接PF ′，由双曲线的定义可得|PF ′|－|PF |＝2a ，故|PF ′|＝2a ＋c ，在△PF ′O 中，∠POF ′＝120°，由余弦定理可得cos120°＝c 2＋c 2－2a ＋c22c2，化简可得c 2－2ac －2a 2＝0，即(c a)2－2×c a －2＝0，解得c a＝1＋3或c a＝1－3(不合题意，舍去)，故双曲线的离心率e ＝1＋3，故选C.【答案】 C1．(2020·湖南省五市十校联考)已知A ，B ，C 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上的三个点，直线AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF ⊥AC ，且3|AF |＝|CF |，则该双曲线的离心率为( A )A.102 B.52 C.103D.23解析：如图，设双曲线的左焦点为E ，连接AE ，CE ，BE ，由题意知|BF |＝|AE |，|BE |＝|AF |，四边形AEBF 为矩形， 令|BF |＝|AE |＝m ，|AF |＝n ， 由双曲线的定义，得|CE |－|CF |＝|AE |－|AF |＝2a ，在直角三角形EAC 中，m 2＋(3n ＋n )2＝(3n ＋2a )2， 将2a ＝m －n 代入，化简，可得m ＝3n ，又m －n ＝2a ，所以n ＝a ，m ＝3a ，在直角三角形EAF 中，m 2＋n 2＝(2c )2，即9a 2＋a 2＝4c 2，可得e ＝c a ＝102.故选A. 类型二 利用平面几何性质求离心率【典例2】 已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．【解析】 如图，设椭圆的右焦点为F (c,0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知A (c2，3c 2)，由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 24b 2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∵b 2＝a 2－c 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，∴4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4椭－8e 2椭＋4＝0，∴e 2椭＝4±23，∴e 椭＝3＋1(舍去)或e 椭＝3－1，∴椭圆M 的离心率为3－1，∵双曲线的渐近线过点A (c 2，3c 2)，∴渐近线方程为y ＝3x ，∴nm＝3，故双曲线的离心率e 双＝m 2＋n 2m 2＝2. 【答案】3－1 22．(2020·福州市质量检测)如图，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作直线与C 的渐近线交于P 点，若等腰△PF 1F 2的底边PF 2的长等于C 的半焦距，则C 的离心率为( C )A.233 B.23 C.263D.32解析：依题意，k OP ＝ba＝c 2－a 2a 2＝e 2－1，在等腰△PF 1F 2中，cos ∠PF 2F 1＝|PF 2|2|F 1F 2|＝c 22c＝14，所以|OP |2＝c 2＋c 2－2c 2cos ∠PF 2F 1＝32c 2，所以|OP |＝62c ，所以cos ∠F 2OP ＝|OP |2|OF 2|＝64，所以tan ∠F 2OP ＝153，所以e 2－1＝153，解得e ＝263，故选C. 类型三 利用椭圆或双曲线的性质建立方程(或不等式)求离心率的值(或取值范围)【典例3】 已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，点P 在椭圆上且满足PF 1→·PF 2→＝c 2，则该椭圆离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 【解析】 设P (x ，y )，则x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，y 2＝b 2－b 2a2x 2，－a ≤x ≤a ，PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )．所以PF 1→·PF 2→＝x 2－c 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b 2a 2x 2＋b 2－c 2＝c 2a 2x 2＋b 2－c 2.因为－a ≤x ≤a ，所以b 2－c 2≤PF 1→·PF 2→≤b 2.所以b 2－c 2≤c 2≤b 2，所以2c 2≤a 2≤3c 2，所以33≤c a ≤22.故选B.【答案】 B3．已知椭圆E ：x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( A )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 解析：设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2.设M (0，b )，则M 到直线l 的距离d ＝4b 5≥45，∴1≤b <2.离心率e ＝c a ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32，故选A.。
第七节双曲线1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.(1)当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a＞|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝±bax y＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)a，b，c c2＝a2＋b21．双曲线x 23－y 22＝1的焦距为________．解析：由双曲线x 23－y 22＝1，易知c 2＝3＋2＝5，所以c ＝5，所以双曲线x 23－y 22＝1的焦距为2 5.答案：252．(教材习题改编)以椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为________．解析：设要求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由椭圆x 24＋y 23＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)． 所以a ＝1，c ＝2， 所以b 2＝c 2－a 2＝3，所以双曲线标准方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝13．(2018·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a ＞0)的离心率为52，则a ＝________. 解析：由e ＝ca＝a 2＋b 2a 2，得a 2＋4a 2＝54，∴a 2＝16. ∵a ＞0，∴a ＝4. 答案：41．双曲线的定义中易忽视2a ＜|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ＞|F 1F 2|，则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a ＞0，b ＞0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2；若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ∈(2，＋∞)．3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x 轴上，渐近线斜率为±b a ，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±ab.[小题纠偏]1．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于________．解析：由题意知|PF 1|＝9＜a ＋c ＝10， 所以P 点在双曲线的左支， 则有|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8， 故|PF 2|＝|PF 1|＋8＝17. 答案：172．以直线y ＝±2x 为渐近线，且过点(－3，2)的双曲线的标准方程为________．解析：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ， 不妨可设该双曲线的方程为2x 2－y 2＝λ. 因为双曲线过点(－3，2),所以6－4＝λ＝2，所以双曲线的方程为2x 2－y 2＝2， 即其标准方程为x 2－y 22＝1.答案：x 2－y 22＝1考点一 双曲线的标准方程基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2019·金华调研)已知双曲线的一个焦点与圆x 2＋y 2－4y ＝0的圆心重合，且其渐近线的方程为3x ±y ＝0，则该双曲线的标准方程为( )A.x 23－y 2＝1 B.y 23－x 2＝1C.x 29－y 216＝1 D.y 216－x 29＝1解析：选B 由圆的方程知其圆心为(0,2)，故双曲线的焦点在y 轴上，设其方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，且a 2＋b 2＝4， ①又知渐近线方程为3x ±y ＝0，∴ab＝3，②由①②得a 2＝3，b 2＝1，∴双曲线方程为y 23－x 2＝1.2．(2018·海口二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是( )A.x 212－y 2＝1 B.x 29－y 23＝1C ．x 2－y 23＝1D.x 223－y 232＝1解析：选C ∵实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，∴b a ＝tan 60°＝3，即b ＝3a ，∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(2，3)，∴2a 2－3b 2＝1，即2a 2－33a2＝1，解得a 2＝1，∴b 2＝3，故双曲线C 的标准方程是x 2－y 23＝1.3．(2018·温岭模拟)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，且离心率等于32，则该双曲线的标准方程为____________；渐近线方程为____________．解析：因为c ＝3，所以e ＝c a ＝32，解得a ＝2，所以b 2＝5.所以双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1，其渐近线方程为y ＝±52x .答案：x 24－y 25＝1 y ＝±52x4．焦点在x 轴上，焦距为10，且与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．解析：设所求双曲线的标准方程为y 24－x 2＝－λ(λ＞0)，即x 2λ－y 24λ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.答案：x 25－y 220＝1[谨记通法]求双曲线标准方程的2种方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值．考点二 双曲线的定义重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( )A ．48B ．24C ．12D ．6解析：选B 由双曲线的定义可得 |PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10，由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形， 因此S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.[由题悟法]应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．[即时应用]1．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45解析：选C 双曲线方程可化为x 22－y 22＝1，∴a ＝b ＝2，∴c ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝22，|PF 1|＝2|PF 2|得|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.2．(2018·余姚期初)已知△ABC 的顶点A ，B 分别为双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点C 在双曲线上，则|sin A －sin B |sin C 的值为____________．解析：由正弦定理知，BCsin A＝ACsin B＝ABsin C，由双曲线的定义可知，|sin A －sin B |sin C ＝||BC |－|AC |||AB |＝810＝45.答案：45考点三 双曲线的几何性质题点多变型考点——多角探明[锁定考向]双曲线的几何性质是每年高考命题的热点． 常见的命题角度有：(1)求双曲线的离心率(或范围)； (2)求双曲线的渐近线方程； (3)求双曲线方程．[题点全练]角度一：求双曲线的离心率(或范围)1．(2016·山东高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．解析：如图，由题意知|AB |＝2b2a，|BC |＝2c .又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．答案：2角度二：求双曲线的渐近线方程2．(2018·乐清调研)以椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是________．解析：由题意可知所求双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b＞0)，则a ＝4－1＝3，c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝4－3＝1，故所求渐近线方程为y ＝±33x .答案：y ＝±33x角度三：求双曲线方程3．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 27－y 29＝1C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1解析：选A 由题意知右顶点为(a,0)，不妨设其中一条渐近线方程为y ＝bax ，因此可得点A 的坐标为(a ，b )．设右焦点为F (c,0)，由已知可得c ＝4，且|AF |＝4，即(c －a )2＋b 2＝16，所以有(c －a )2＋b 2＝c 2，又c 2＝a 2＋b 2，则c ＝2a ，即a ＝c2＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12，故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.[通法在握]与双曲线几何性质有关问题的解题策略(1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条件，将问题转化为关于a ，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．(3)求双曲线的方程．依据题设条件，求出a ，b 的值或依据双曲线的定义，求双曲线的方程．(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长．依题设条件及a ，b ，c 之间的关系求解．[演练冲关]1．(2018·萧山六校联考)已知l 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线，l 与圆F ：(x －c )2＋y 2＝a 2(其中c 2＝a 2＋b 2)相交于A ，B 两点，若△ABF 为等腰直角三角形，则C 的离心率为( )A ．2 B.52C.53D.62解析：选D 由题意可设l 的方程为bx ＋ay ＝0. 已知圆F ：(x －c )2＋y 2＝a 2的圆心为(c,0)，半径为a ，∵l 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线，l 与圆F ：(x －c )2＋y 2＝a 2(其中c 2＝a 2＋b 2)相交于A ，B 两点，△ABF 为等腰直角三角形，∴|AB |＝2a .又(c,0)到l 的距离d ＝|bc ＋0|b 2＋a2＝bc c ＝b ，∴b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＝a 2，将|AB |＝2a 代入上式，得a 2＝2b 2.又c 2＝a 2＋b 2，∴e ＝c a ＝62.2．(2018·台州调研)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________．解析：因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x .答案：y ＝±22x3．(2018·杭州二中适应)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上存在一点P ，与坐标原点O 、右焦点F 2构成正三角形，则双曲线的离心率为____________．解析：由题可得，要使三角形OPF 2为正三角形，则P ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12c ，32c在双曲线上，所以c 24a 2－3c 24b 2＝1，结合b 2＝c 2－a 2及e ＝c a ，化简得e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4＋23或e 2＝4－2 3.因为e ＞1，所以e 2＝4＋23，所以e ＝4＋23＝3＋1.答案：3＋14．(2018·安阳二模)已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点F 到渐近线的距离的取值范围是________．解析：一般地，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，它的右焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a 2＝b .而双曲线x 28－m＋y 24－m＝1，即x 28－m－y 2m －4＝1的焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m ＞0，m －4＞0，解得4＜m ＜8，它的焦点F 到渐近线的距离为m －4∈(0,2)．答案：(0,2)考点四 直线与双曲线的位置关系重点保分型考点——师生共研[典例引领]设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ―→＋ON ―→＝t OD―→，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，∵一条渐近线为y ＝bax ，即bx －ay ＝0.∴由焦点到渐近线的距离为3， 得|bc |b 2＋a2＝ 3.又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝3， ∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y23＝1得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 212－y 203＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝43，y 0＝3.∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．[由题悟法]直线与双曲线的位置关系判断方法和技巧(1)判断方法：直线与双曲线的位置关系的判断与应用和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似，但是联立直线方程与双曲线方程消元后，注意二次项系数是否为0的判断．(2)技巧：对于中点弦问题常用“点差法”，但需要检验．[即时应用]已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 经过A (－7,5)，B (－1，－1)两点．(1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l ：y ＝x ＋m 交双曲线C 于M ，N 两点，且线段MN 被圆E ：x 2＋y 2－12x ＋n ＝0(n ∈R)三等分，求实数m ，n 的值．解：(1)设双曲线C 的方程是λx 2＋μy 2＝1，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧49λ＋25μ＝1，λ＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，所以所求双曲线的方程是2y 2－x 2＝1.(2)将l ：y ＝x ＋m 代入2y 2－x 2＝1， 得x 2＋4mx ＋(2m 2－1)＝0，①Δ＝(4m )2－4(2m 2－1)＝8m 2＋4＞0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝－4m ，x 1x 2＝2m 2－1， 所以x 0＝x 1＋x 22＝－2m ，y 0＝x 0＋m ＝－m ，所以P (－2m ，－m )．又圆心E (6,0)，依题意k PE ＝－1， 故m6＋2m＝－1，即m ＝－2. 将m ＝－2代入①得x 2－8x ＋7＝0， 解得x 1＝1，x 2＝7，所以|MN |＝1＋12|x 1－x 2|＝6 2.故直线l 截圆E 所得弦长为13|MN |＝2 2.又E (6,0)到直线l 的距离d ＝22， 所以圆E 的半径R ＝222＋22＝10，所以圆E 的方程是x 2＋y 2－12x ＋26＝0. 所以m ＝－2，n ＝26.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·浙江高考)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A ．(－2，0)，(2，0)B ．(－2,0)，(2,0)C ．(0，－2)，(0，2)D ．(0，－2)，(0,2) 解析：选B ∵双曲线方程为x 23－y 2＝1，∴a 2＝3，b 2＝1，且双曲线的焦点在x 轴上， ∴c ＝a 2＋b 2＝3＋1＝2，∴该双曲线的焦点坐标是(－2,0)，(2,0)．2．(2018·唐山期中联考)已知双曲线C ：x 2m 2－y 2n2＝1(m ＞0，n＞0)的离心率与椭圆x 225＋y 216＝1的离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±3y ＝0或3x ±4y ＝0D ．4x ±5y ＝0或5x ±4y ＝0 解析：选A 由题意知，椭圆中a ＝5，b ＝4，∴椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝35，∴双曲线的离心率为1＋n 2m 2＝53，∴n m ＝43，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.故选A.3．(2018·湖南师大附中12月联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，正三角形AF 1F 2的一边AF 1与双曲线左支交于点B ，且AF 1＝4BF 1，则双曲线C 的离心率为( )A.32＋1B.3＋12C.133＋1D.13＋13解析：选D 不妨设点A 在x 轴的上方，由题意得，F 1(－c,0)，A (0，3c )，设B (x ，y )，∵AF 1＝4BF 1，∴(－c ，－3c )＝4(－c－x ，－y )，∴x ＝－3c 4，y ＝3c4，代入双曲线方程可得9c 216a 2－3c216c 2－a 2＝1，∴9e 4－28e 2＋16＝0，∴e ＝13＋13.4．(2018·义乌质检)设F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，P 在双曲线的右支上，且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝____________；S △F 1PF 2＝____________.解析：由题可得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6，|F 1F 2|＝10.因为|PF 1|·|PF 2|＝32，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝100＝|F 1F 2|2，所以PF 1⊥PF 2，所以∠F 1PF 2＝π2，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝32×12＝16.答案：π2165.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且双曲线过C ，D 两顶点．若|AB |＝4，|BC |＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 2＋b 2，4a 2－9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝1二保高考，全练题型做到高考达标 1．“k ＜9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线，∴(25－k )(k－9)＜0，∴k ＜9或k ＞25，∴“k ＜9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.2．(2018·杭州调研)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B ．23C ．6D ．43解析：选D 由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2,23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3.3．(2018·杭州五中月考)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若|AF 1|＝2a ，∠F 1AF 2＝2π3，则S △AF 1F 2S △ABF 2＝( )A ．1 B.12C.13D.23解析：选 B 如图所示，由双曲线定义可知|AF 2|－|AF 1|＝2a .因为|AF 1|＝2a ，所以|AF 2|＝4a ， 又∠F 1AF 2＝2π3，所以S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin∠F 1AF 2＝12×2a ×4a ×32＝23a 2.由双曲线定义可知|BF 1|－|BF 2|＝2a ，所以|BF 1|＝2a ＋|BF 2|，又|BF 1|＝2a ＋|BA |，所以|BA |＝|BF 2|.因为∠BAF 2＝π3，所以△ABF 2为等边三角形，边长为4a ，所以S △ABF 2＝34|AF 2|2＝34×(4a )2＝43a 2， 故S △AF 1F 2S △ABF 2＝23a 243a 2＝12. 4．(2018·浙大附中测试)如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，经过右焦点F 2的直线与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，且|PF 2|＝2|F 2Q|，P Q ⊥F 1Q ，则双曲线C 的离心率是( )A. 2B.3C.102D.173解析：选D 设|F 2Q|＝m ，则|F 1Q|＝2a ＋m ，|F 2P |＝2m ，|F 1P |＝2a ＋2m .因为 P Q ⊥F 1Q ，所以(2a ＋m )2＋(3m )2＝(2a ＋2m )2，解得6m 2＝4am ，解得m ＝23a ，所以|F 1Q|＝83a .所以在△F 1F 2Q 中，|F 1F 2|＝2c ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 32＝(2c )2，解得17a 2＝9c 2，所以e 2＝c 2a 2＝179，即e ＝173.5．(2018·宁波六校联考)已知点F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a＞0，b ＞0)的右焦点，直线y ＝kx (k ＞0)与E 交于M ，N 两点，若MF ⊥NF ，设∠MNF ＝β，且β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．[2，2＋6]B ．[2，3＋1]C ．[2，2＋6]D ．[2，3＋1]解析：选D 设左焦点为F ′，令|MF |＝r 1，|MF ′|＝r 2，则|NF |＝|MF ′|＝r 2，由双曲线定义可知r 2－r 1＝2a ①，∵点M 与点N 关于原点对称，且MF ⊥NF ，∴|OM |＝|ON |＝|OF |＝c ，∴r 21＋r 22＝4c 2②，由①②得r 1r 2＝2(c2－a 2)＝2b 2，又知S △MNF ＝2S △MOF ，∴12r 1r 2＝2·12c 2·sin 2β，∴b2＝c 2·sin 2β＝c 2－a 2，∴e 2＝11－sin 2β，又∵β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6，∴sin 2β∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，32，∴e 2＝11－sin 2β∈[2，(3＋1)2]，又∵e ＞1，∴e ∈[2，3＋1]，故选D.6．已知双曲线的一个焦点F (0，5)，它的渐近线方程为y ＝±2x ，则该双曲线的标准方程为________________；其离心率为____________．解析：设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，ab ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，a ＝2b⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，所以双曲线的标准方程为y 24－x 2＝1.所以a ＝2，离心率e ＝c a ＝52.答案：y 24－x 2＝1 527．若点P 是以A (－3,0)，B (3,0)为焦点，实轴长为25的双曲线与圆x 2＋y 2＝9的一个交点，则|PA |＋|PB |＝________.解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PA |＞|PB |.因为点P 是双曲线与圆的交点，所以由双曲线的定义知，|PA |－|PB |＝25， ① 又|PA |2＋|PB |2＝36， ② 联立①②化简得2|PA |·|PB |＝16，所以(|PA |＋|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2＋2|PA |·|PB |＝52，所以|PA |＋|PB |＝213.答案：2138．(2018·绍兴四校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b＞0)的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2MF ＝FN ，则双曲线C 的离心率e ＝________.解析：法一：由2MF ＝FN 知，|MF ||FN |＝12.由渐近线的对称性知∠NOF ＝∠MOF ，即OF 为∠NOM 的角平分线，则cos ∠NOM ＝|OM ||ON |＝|MF ||FN |＝12，所以∠NOM ＝π3，∠NOF ＝∠MOF ＝π6.因为双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b a x ，所以b a ＝tan π6＝33，所以e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝233. 法二：如图所示，双曲线C 的一条渐近线的方程为bx ＋ay ＝0，右焦点为F (c,0)，因此|FM |＝bca 2＋b2＝b ，过点F 向ON 作垂线，垂足为P ，则|FP |＝|FM |＝b ，又因为2MF ＝FN ，所以|FN |＝2b .在Rt △FNP 中，sin ∠FNP ＝12，所以∠FNP＝π6，故在△OMN 中，∠MON ＝π3，所以∠FON ＝π6，所以b a ＝33，所以双曲线C 的离心率e ＝1＋b 2a 2＝233.答案：2339．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点M (3，m )在双曲线上．(2)求证：MF 1·MF 2―→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)∵e ＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等． ∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵双曲线过点(4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：设MF 1―→＝(－23－3，－m )， MF 2―→＝(23－3，－m )． ∴MF 1―→·MF 2―→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1―→·MF 2―→＝0. (3)∵△F 1MF 2的底边长|F 1F 2|＝4 3. 由(2)知m ＝± 3.∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |.解：(1)∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点，∴⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝3，a ＝3，解得c ＝3，b＝6，∴双曲线的方程为x 23－y 26＝1.(2)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点为F 2(3,0)，∴经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x －3)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 26＝1，y ＝33x －3，得5x 2＋6x －27＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275.所以|AB |＝1＋13× ⎝ ⎛⎭⎪⎫－652－4×⎝⎛⎭⎪⎫－275＝1635.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·暨阳联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，点P 在双曲线上，且满足FP ―→FP ―→＝3FH ―→，则双曲线的离心率为( )A. 3 B ．23 C.132D.13解析：选C 不妨取渐近线方程为y ＝－b a x ，则|FH |＝|bc |a 2＋b2＝b .因为FP ―→＝3FH ―→，所以|FP |＝3b ，设双曲线的右焦点为F 2，则|F 2P |＝3b －2a .因为cos ∠PFF 2＝bc ，|FF 2|＝2c .所以由余弦定理得：(3b －2a )2＝4c 2＋9b 2－2×2c ×3b ×bc，化简得2b ＝3a .若取a ＝2，则b ＝3，c ＝13.所以离心率为e ＝c a ＝132.2．(2018·浙大附中模拟)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3.(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围．解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由已知得，a ＝3，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝361－k 2＞0，x A ＋x B ＝62k1－3k2＜0，x A x B ＝－91－3k 2＞0，解得33＜k ＜1.∴k的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎪⎫33，1. (3)由(2)得：x A ＋x B ＝62k1－3k 2，∴y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2) ＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k 2.∴AB 的中点P的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32k 1－3k2，21－3k 2.设直线l 0的方程为：y ＝－1kx ＋m ，将点P的坐标代入直线l0的方程，得m＝421－3k2.∵33＜k＜1，∴－2＜1－3k2＜0.∴m＜－2 2.∴m的取值范围为(－∞，－22)．。
