第八章 平面解析几何8-2圆的方程
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第二节直线的交点与距离公式课标要求考情分析1.能根据直线的方程判断两条直线的位置关系.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离.1。
高考对本节内容的考查主要涉及两点间的距离和点到直线的距离.2.常与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查,有时也会命制新定义题目.3.题型以选择题、填空题为主,属于中低档题.知识点一两条直线平行与垂直的判定知识点二两条直线的交点知识点三三种距离点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时,应先将直线方程化为一般式.(2)求两平行线之间的距离时,应先将直线方程化为一般式且x,y的系数对应相等.1.思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√"或“×”)(1)若两条直线的方程组成的方程组有解,则两条直线相交.(×)(2)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为错误!。
(×)(3)直线外一点与直线上任一点的距离的最小值就是点到直线的距离.(√)(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离,也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.(√)(5)若点A,B关于直线l:y=kx+b(k≠0)对称,则直线AB的斜率等于-错误!,且线段AB的中点在直线l上.(√)解析:(1)当方程组有唯一解时两条直线相交,若方程组有无穷多个解,则两条直线重合.(2)应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一般式,即点P到直线的距离为错误!.(3)因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长,即点到直线的距离.(4)两平行线间的距离是夹在两平行线间的公垂线段的长,即两条直线上各取一点的最短距离.(5)根据对称性可知直线AB与直线l垂直且直线l平分线段AB,所以直线AB的斜率等于-错误!,且线段AB的中点在直线l上.2.小题热身(1)已知直线(k-3)x+(4-k)y+1=0与2(k-3)x-2y+3=0平行,那么k的值为(C)A.1或3 B.1或5C.3或5 D.1或2(2)直线ax+2y-1=0与直线2x-3y-1=0垂直,则a的值为(D)A.-3 B.-错误!C.2 D.3(3)直线2x-y=-10,y=x+1,y=ax-2交于一点,则a 的值为错误!。
高等数学第八章解析几何(数学第八章平面解析几何)
双曲线的定义:
2.双曲线的标准方程
双曲线与椭圆的比较
以F1,F2所在直线为某轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立平
面直角坐标系某Oy,此时双曲线的焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)设
P(某,y)是双曲线上一点,则,(,PF1,-,PF2,),=2a,因为,PF1,
=√(〖(某c)〗^2y^2),,PF_2,=√(〖(某-c)〗^2y^2),所以√(〖(某c)〗^2y^2)-√((某-c)^2y^2)=±2a①
且②与①右边同时取正号或负号,①②整理得
将③式平方再整理得〖c^2-a〗^2/a^2 某^2-y^2= 〖c^2-a〗^2 ④因
为c>a>0,所以〖c^2-a〗^2>0设〖c^2-a〗^2=b^2且b>0,则④可化为某
^2/a^2 -y^2/b^2 =1 (a>0,b>0) 求双曲线的标准方程:与求椭圆的标准
方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法
求出a,b的值.若焦点位置不确定,可按焦点在某轴和y轴上两种情况讨论
求解,此方法思路清晰,但过程复杂.若双曲线过两定点,可设其方程为m某
² ny²=1(mn<0),通过解方程组即可确定m,n,避免了讨论,从而简化求解过程.双曲线的几何性质
(1)双曲线与椭圆的六个不同点:
(2)等轴双曲线:是实轴和虚轴等长的双曲线,它的渐近线方程是
y=±某,离心率为√2.(3)共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为
虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线
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第八章 解析几何【知识网络】【知识点梳理】 一、直线和圆1.倾斜角(1)定义:当直线l 与x 轴相交时,我们以x 轴为基准,x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.(2)规定:当直线l 与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为_________. (3)范围:直线倾斜角的取值范围是 .斜率:(1)倾斜角α=90°时,斜率__________;α≠90°时,斜率k =tanα .(2)在右侧作出简图:正切函数k =tanα,α∈[0,π2)∪(π2,π) 此函数的增区间为___________________(3)直线的方向向量坐标:若P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),则直线P 1P 2的方向向量P 1P 2→的坐标为________________. 若直线l 的斜率为k ,它的一个方向向量的坐标为(x ,y ),则k = ,特别地,(1, )是l 的一个方向向量. 故斜率k =y 2−y 1x 2−x 1(x 1≠x 2).2. 斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围) α=0°斜率(范围)k =0例1. 直线(a +1)x −y +1=0的倾斜角的范围为_______________ 3.直线五种方程:名称 方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式 (x 0,y 0)是直线上一定点,k 为斜率斜截式k 为_____,b 是直线的_______“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,它可正,可负,也可以是零,而“距离”是一个非负数.(2)求直线方程时要防止由于零截距和无斜率造成丢解;例2.过点()4,3−,且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程_______________ 4.两直线平行和垂直①若斜率存在l 1:y=k 1x +b 1 ,l 2:y=k 2x +b 2,则l 1∥l 2⇔k 1=k 2,且b 1≠b 2; l 1⊥l 2⇔______________ ②若l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,则l 1⊥l 2⇔_______________; 两直线平行,⇔____________________③与l :Ax +By +C=0平行的直线可设为________________,垂直的直线可设为___________________例3.已知两条直线(3)453,2(5)8m x y m x m y ++=−++=,当两条直线平行时______________________;当两条直线相交时______________________ 当两条直线垂直时______________________5.距离问题:已知1122(,),(,)A x y B x y ,AB =__________________,,A B 中点的坐标________ l:Ax +By +C =0,则A 到l 的距离为_________________ 两条平行直线间的距离:两条平行直线l 1:Ax +By +C 1=0与l 2:Ax +By +C 2=0(C 1≠C 2)间的距离d =_______________. 6.对称性问题:点(a ,b )关于直线Ax +By +C =0对称点问题:如:点(1,2)关于直线x +3y +1=0对称点为_____________ 【对称常用结论】(1)点(x 0,y 0)关于直线y =x 的对称点为_____________,关于直线y =-x 的对称点为_____________. (2)点(x 0,y 0)关于直线x =a 的对称点为_____________,关于直线y =b 的对称点为_____________. (3)点(x 0,y 0)关于点(a ,b)的对称点为_____________. (4)点(x 0,y 0)关于直线y =x +m 的对称点是______________ (5)点(x 0,y 0)关于直线y =−x +m 的对称点是______________ 7.常见直线系方程:(1)过定点(x 1,y 1)的直线系方程:y -y 1=k (x -x 1)和x =x 1.(2)平行于直线Ax +By +C =0的直线系方程:_________________________. (3)垂直于直线Ax +By +C =0的直线系方程:_________________________.(4)过两条直线A 1x +B 1y +C 1=0与A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程:_________________________.8.圆的方程(1)圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点称为圆心,定长称为圆的半径. (2)圆的标准方程:我们把方程____________________称为圆心为(a ,b ),半径为r 的圆的标准方程.当a =b =0时,方程为___________________,表示以原点O 为圆心,r 为半径的圆.(3)圆的一般方程:对于方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,配方得到:______________________________.①当____________________时,该方程表示以______________为圆心,_______________为半径的圆,该方程叫做圆的一般方程.②当________________ 时,该方程表示_______________________; ③当_________________时,该方程不表示任何图形.注:Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆⇔A=C ≠0且B=0且D 2+E 2-4AF>0;(4)已知A (11,y x )B (22,y x )以AB 为直径的圆的方程是_________________________________ (5)圆心为(a ,b ),半径为r 的圆的参数方程为(三角换元):{x =___________________y =___________________;例4.(1)052422=+−++m y mx y x 表示圆的充要条件是(2)对于任意实数k ,方程222(2)20x y kx k y k +++−−=所表示的曲线恒过两定点,则这两定点的坐标9. 点与圆的位置关系已知圆(x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0),点P (x 0,y 0),设d =|PC |=(x 0-a )2+(y 0-b )2.位置关系 d 与r 的大小关系图示 点P 的坐标特点 点在圆外(x 0-a )2+(y 0-b )2>r 2点在圆上点在圆内10. 直线与圆的位置关系:设圆的半径为r (r >0),圆心到直线的距离为d ,则直线与圆的位置关系如下表所示. 位置 关系 图示 公共点 个数 几何 特征 直线、圆的方程组成的方程组的解 相离相切1 d =r两组相同 实数解相交例5.(1)若直线1ax by +=与圆221x y +=相交,则点(,)P a b 与圆的位置关系___________(2)求过原点且与圆22(1)(2)1x y −+−=相切的直线方程________________________ 例6.(1)已知圆)0()5(:222>=++r r y x C 和直线053:=++y x l . 若圆C 与直线l 没有公共点,则r的取值范围是______________________11. 圆与圆的位置关系位置 关系 图示(R >r )公共点 个数 几何特征(O 1O 2=d )两个圆的方程组成的方程组的解外离外切1 d =R +r两组相同 实数解 相交两组不同 实数解 内切两组相同 实数解 内含例7.集合A ={(x ,y )|x 2+y 2=4},B ={(x ,y )|(x -3)2+(y -4)2=r 2},其中r >0,若A ∩B 中有且仅有一个元素,则r 的值是___________ .12.相交弦直线方程:把两圆x 2+y 2+D 1x +E 1y +C 1=0与x 2+y 2+D 2x +E 2y +C 2=0方程相减即得相交弦所在直线方程_____________________________________;过两曲线交点的曲线系方程为f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0例8.两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y −+−=相交于,A B 两点,直线AB 方程__________________.13.圆上动点到某条直线(或某点)的距离的最大、最小值的求法(过圆心)例9.已知圆:,过圆外一点作圆的切线(为切点),当点在直线上运动时,则四边形P AOB 的面积的最小值为 .O 922=+y x P PB PA ,B A ,P 0102=+−y x14. 【常用结论】与切线、切点弦有关结论:二、圆锥曲线 (一)椭圆:1、椭圆的定义:平面内到定点21,F F 的_________________为定值(定值______||21F F )的点的轨迹。
第八章 平面解析几何直线的方程一、知识要点1、倾斜角:一条直线L 向上的方向与X 轴的正方向所成的最小正角,叫做直线的倾斜角,范围为[)π,0.斜率:当直线的倾斜角不是900时,则称其正切值为该直线的斜率,即k=tan α;当直线的倾斜角等于900时,直线的斜率不存在。
2、过两点p 1(x 1,y 1),p 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式:k=tan 1212x x y y --=α 若x 1=x 2,则直线p 1p 2的斜率不存在,此时直线的倾斜角为900.理解直线的倾斜角和直线的斜率的概念;掌握过两点的直线的斜率公式;掌握已知一点和斜率导出直线方程的方法;掌握直线方程的点斜式、两点式和一般式;能灵活运用条件求出直线的方程. 三、基本训练1、已知三点A (3,1)B (-2,K )C (8,11)共线,则K 的取值是( ) A 、-6 B 、-7 C 、-8 D 、-92、设,2παπ<<则直线y =xcos α+m 的倾斜角的取值范围是( )A 、(,2ππ) B 、)43,2(ππ C 、)43,4(ππ ),43(ππ3、已知A (-2,3)B (3,0),直线L 过O (0,0)且与线段AB 相交,则直线L 的斜率的取值范围是( )A 、-23≤K ≤0 B 、K ≤-23或K ≥0 C 、K ≤0或K ≥23 D 、0≤K ≤234、a 为非零实数,直线(a +2)x +(1-a)y -3=0恒过 点。
5、过点M (1,2)的直线L 将圆(x -2)2+y 2=9分成两段弧,当其中的劣弧最短时,L 的方程为____。
6、与两坐标轴正方向围成面积为2平方单位的三角形,并且两截距之差为3的直线方程为____。
四、例题分析:例1.一条直线经过P (3,2),并且分别满足下列条件,求直线方程。
(1)倾斜角是直线x -4y+3=0的倾斜角的2倍 (2)夹在两坐标间的线段被P 分成1:2例2.在△ABC 中,BC 边上的高所在的直线方程为x -2y+1=0,∠A 的平分线所在直线方程为y=0,若点B 的坐标为(1,2),求点A 和点C 的坐标。
(时间:40分钟)1.直线2x +y +m =0和x +2y +n =0的位置关系是( ) A .平行 B .垂直C .相交但不垂直D .不能确定 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧2x +y +m =0,x +2y +n =0,可得3x +2m -n =0,由于3x +2m -n =0有唯一解,故方程组有唯一解,故两直线相交,两直线的斜率分别为-2,-12,斜率之积不等于-1,故不垂直,故选C.2.已知直线l 1:x +ay +6=0和l 2:(a -2)x +3y +2a =0平行,则实数a 的值为( ) A .3 B .-1 C .1 D .-1或3 答案 B解析 由l 1∥l 2,得-1a =-a -23,解得a =3或a =-1,验证当a =3时,l 1,l 2的方程分别为x +3y +6=0,x +3y +6=0,l 1与l 2重合.∴a =-1,故选B.3.直线l 1:kx +(1-k )y -3=0和l 2:(k -1)x +(2k +3)y -2=0相互垂直,则k =( ) A .-3或-1 B .3或1 C .-3或1 D .-1或3 答案 C解析 若1-k =0,即k =1,直线l 1:x =3,l 2:y =25,明显两直线垂直.若k ≠1,直线l 1,l 2的斜率分别为k 1=kk -1,k 2=1-k 2k +3.由k 1k 2=-1,得k =-3.综上k =1或k =-3,故选C. 4.不论m 为何值时,直线(m -1)x +(2m -1)y =m -5恒过定点( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫1,-12 B .(-2,0)C .(2,3)D .(9,-4) 答案 D解析 由(m -1)x +(2m -1)y =m -5,得(x +2y -1)·m -(x +y -5)=0,由⎩⎪⎨⎪⎧x +2y -1=0,x +y -5=0,得定点坐标为(9,-4),故选D.5.已知两点A (3,2)和B (-1,4)到直线mx +y +3=0的距离相等,则m 的值为( )A .0或-12 B.12或-6C .-12或12D .0或12答案 B解析 依题意,得|3m +5|m 2+1=|-m +7|m 2+1.化简得8m 2+44m -24=0,所以2m 2+11m -6=0.所以m =12或m =-6,故选B.6.两条平行直线l 1:3x +4y -4=0与l 2:ax +8y +2=0之间的距离是________.答案 1解析 由直线l 1:3x +4y -4=0与l 2:ax +8y +2=0平行,可得a =6,l 2的方程为3x +4y +1=0,两直线间的距离d =|c 1-c 2|A 2+B 2=|-4-1|32+42=1. 7.点P (2,1)到直线l :mx -y -3=0(m ∈R )的最大距离是________. 答案 2 5解析 直线l 经过定点Q (0,-3),如图所示.由图知,当PQ ⊥l 时,点P (2,1)到直线l 的距离取得最大值|PQ |=2-02+1+32=25,所以点P (2,1)到直线l 的最大距离为2 5.8.已知点P (x ,y )到A (0,4)和B (-2,0)的距离相等,则2x+4y的最小值为________. 答案 4 2解析 由题意得,点P 在线段AB 的中垂线上,则易得x +2y =3,∴2x+4y≥22x·4y=22x +2y=42,当且仅当x =2y =32时等号成立,故2x +4y的最小值为4 2.9.已知两条直线l 1:ax -by +4=0和l 2:(a -1)x +y +b =0,求满足下列条件的a ,b 的值:(1)l 1⊥l 2,且l 1过点(-3,-1);(2)l 1∥l 2,且坐标原点到这两条直线的距离相等. 解 (1)由已知可得l 2的斜率存在,且k 2=1-a . 若k 2=0,则1-a =0,a =1.∵l 1⊥l 2,∴直线l 1的斜率k 1必不存在,即b =0. 又∵l 1过点(-3,-1), ∴-3a +4=0,即a =43(冲突),∴此种状况不存在,∴k 2≠0,即k 1,k 2都存在.∵k 2=1-a ,k 1=a b,l 1⊥l 2, ∴k 1k 2=-1,即ab(1-a )=-1.①又∵l 1过点(-3,-1),∴-3a +b +4=0.② 由①②联立,解得a =2,b =2.(2)∵l 2的斜率存在,l 1∥l 2,∴直线l 1的斜率存在,k 1=k 2,即ab=1-a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等,且l 1∥l 2, ∴l 1,l 2在y 轴上的截距互为相反数,即4b=b ,④联立③④,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =-2或⎩⎪⎨⎪⎧a =23,b =2.∴a =2,b =-2或a =23,b =2.10.已知直线l :2x -3y +1=0,点A (-1,-2).求: (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标;(2)直线m :3x -2y -6=0关于直线l 的对称直线m ′的方程; (3)直线l 关于点A (-1,-2)对称的直线l ′的方程. 解 (1)设A ′(x ,y ),由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧y +2x +1×23=-1,2×x -12-3×y -22+1=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-3313,y =413.∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫-3313,413. (2)在直线m 上取一点,如M (2,0),则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上. 设对称点M ′(a ,b ),则⎩⎪⎨⎪⎧2×a +22-3×b +02+1=0,b -0a -2×23=-1,得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613,3013.设直线m 与直线l 的交点为N ,则由⎩⎪⎨⎪⎧2x -3y +1=0,3x -2y -6=0,得N (4,3).又∵m ′经过点N (4,3),∴由两点式得直线m ′的方程为9x -46y +102=0. (3)解法一:在l :2x -3y +1=0上任取两点,如M (1,1),N (4,3),则M ,N 关于点A (-1,-2)的对称点M ′,N ′均在直线l ′上, 易得M ′(-3,-5),N ′(-6,-7), 再由两点式可得l ′的方程为2x -3y -9=0. 解法二:∵l ∥l ′,∴设l ′的方程为2x -3y +C =0(C ≠1). ∵点A (-1,-2)到两直线l ,l ′的距离相等, ∴由点到直线的距离公式,得|-2+6+C |22+32=|-2+6+1|22+32,解得C =-9, ∴l ′的方程为2x -3y -9=0.解法三:设P (x ,y )为l ′上任意一点, 则P (x ,y )关于点A (-1,-2)的对称点为P ′(-2-x ,-4-y ).∵点P ′在直线l 上,∴2(-2-x )-3(-4-y )+1=0, 即2x -3y -9=0. (时间:20分钟)11.已知直线l 的倾斜角为34π,直线l 1经过点A (3,2),B (a ,-1),且l 1与l 垂直,直线l 2:2x +by+1=0与直线l 1平行,则a +b 等于( )A .-4B .-2C .0D .2 答案 B解析 由题意知l 的斜率为-1,则l 1的斜率为1, ∴k AB =2--13-a=1,解得a =0.由l 1∥l 2,得-2b=1,b =-2,所以a +b =-2,故选B.12.若P ,Q 分别为直线3x +4y -12=0与6x +8y +5=0上任意一点,则|PQ |的最小值为( ) A.95 B.185 C.2910 D.295 答案 C解析 由于36=48≠-125,所以两直线平行,由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离,即|-24-5|62+82=2910,所以|PQ | 的最小值为2910. 13.已知入射光线经过点M (-3,4),被直线l :x -y +3=0反射,反射光线经过点N (2,6),则反射光线所在直线的方程为________________.答案 6x -y -6=0解析 设点M (-3,4)关于直线l :x -y +3=0的对称点为M ′(a ,b ),则反射光线所在直线过点M ′,所以⎩⎪⎨⎪⎧b -4a --3·1=-1,-3+a 2-b +42+3=0,解得a =1,b =0.又反射光线经过点N (2,6),所以所求直线的方程为y -06-0=x -12-1,即6x -y -6=0.14.已知直线l :x -2y +8=0和两点A (2,0),B (-2,-4). (1)在直线l 上求一点P ,使|PA |+|PB |最小; (2)在直线l 上求一点P ,使||PB |-|PA ||最大.解 (1)设A 关于直线l 的对称点为A ′(m ,n ),则⎩⎪⎨⎪⎧n -0m -2=-2,m +22-2·n +02+8=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =-2,n =8,故A ′(-2,8).P 为直线l 上的一点,则|PA |+|PB |=|PA ′|+|PB |≥|A ′B |,当且仅当B ,P ,A ′三点共线时,|PA |+|PB |取得最小值,为|A ′B |,点P 即是直线A ′B 与直线l 的交点,解⎩⎪⎨⎪⎧x =-2,x -2y +8=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =-2,y =3,故所求的点P 的坐标为(-2,3).(2)A ,B 两点在直线l 的同侧,P 是直线l 上的一点,则||PB |-|PA ||≤|AB |,当且仅当A ,B ,P 三点共线时,||PB |-|PA ||取得最大值,为|AB |,点P 即是直线AB 与直线l 的交点,又直线AB 的方程为y =x -2,解⎩⎪⎨⎪⎧y =x -2,x -2y +8=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =12,y =10,故所求的点P 的坐标为(12,10).。