第八章平面解析几何质量检测

第5讲 椭 圆）1．椭圆的定义 条件 结论1 结论2 平面内的动点M与平面内的两个定点F 1，F 2M 点的 轨迹为 椭圆 F 1、F 2为椭圆的焦点 ｜MF 1|＋|MF 2|＝2a|F 1F 2｜为椭圆的焦距 2a ＞|F 1F 2|2。

椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 错误!＋错误!＝1（a ＞b ＞0） 错误!＋错误!＝1（a ＞b ＞0）图形性质 范围－a ≤x ≤a －b ≤y ≤b －b ≤x ≤b －a ≤y ≤a 对称性对称轴：x 轴、y 轴 对称中心:(0，0） 顶点 A 1(－a ，0),A 2（a ，0) B 1(0，－b ），B 2(0，A 1（0,－a ），A 2(0，a )B 1(－b ，0），B 2（b ，b）0）轴长轴A1A2的长为2a 短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝错误!，e∈（0,1）a,b，c的关系c2＝a 2－b21．辨明两个易误点（1）椭圆的定义中易忽视2a＞|F1F2｜这一条件，当2a＝|F1F2｜时，其轨迹为线段F1F2，当2a＜|F1F2|时,不存在轨迹．(2)求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置,而直接设方程为错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)．2．求椭圆标准方程的两种方法（1)定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．（2）待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a、b;若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B ＞0,A≠B）．1.错误!椭圆C：错误!＋错误!＝1的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A、B两点,则△F1AB的周长为（）A．12 B．16C．20 D．24C △F1AB的周长为|F1A｜＋|F1B|＋｜AB|＝|F1A｜＋｜F2A|＋|F1B|＋｜F2B|＝2a＋2a＝4a。

2010~2014年高考真题备选题库第8章 平面解析几何第5节 椭圆1. (2014某某，5分)已知椭圆C ：x 29 ＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则 |AN |＋|BN |＝________.解析：取MN 的中点G ，G 在椭圆C 上，因为点M 关于C 的焦点F 1，F 2的对称点分别为A ，B ，故有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12.答案：12.2．(2014某某，5分)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：因为圆心(2，－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ＝|2－2－3|5＝35，所以直线x＋2y －3＝0被圆截得的弦长为24－95＝2555. 答案：25553. (2014某某，12分)圆 x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图)．(1)求点P 的坐标；(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线l ：y ＝x ＋ 3 交于A ，B 两点．若△PAB 的面积为2，求C 的标准方程．解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则切线斜率为－x 0y 0，切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S ＝12·4x 0·4y 0＝8x 0y 0.由x 20＋y 20＝4≥2x 0y 0知当且仅当x 0＝y 0＝2时x 0y 0有最大值，即S 有最小值，因此点P 的坐标为(2，2)．(2)设C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由点P 在C 上知2a 2＋2b2＝1，并由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b2＝1，y ＝x ＋3，得b 2x 2＋43x ＋6－2b 2＝0，又x 1，x 2是方程的根，因此⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－43b2，x 1x 2＝6－2b 2b2.由y 1＝x 1＋3，y 2＝x 2＋3， 得|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·48－24b 2＋8b4b 2.由点P 到直线l 的距离为32及S △PAB ＝12×32×|AB |＝2得b 4－9b 2＋18＝0，解得b 2＝6或3，因此b 2＝6，a 2＝3(舍)或b 2＝3，a 2＝6.从而所求C 的方程为x 26＋y 23＝1.4. (2014某某，5分)设椭圆 C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为 F 1，F 2，过F 2 作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆 C 的离心率等于________．解析：由题意知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2，因为过F 2且与x 轴垂直的直线为x ＝c ，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .因为AB 平行于y 轴，且|F 1O |＝|OF 2|，所以|F 1D |＝|DB |，即D 为线段F 1B 的中点，所以点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－b 22a ，又AD ⊥F 1B ，所以k AD ·kF 1B ＝－1，即b 2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22a c －0×－b 2a －0c －－c＝－1，整理得3b 2＝2ac ，所以3(a 2－c 2)＝2ac ，又e ＝c a，0<e <1，所以3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33(e ＝－3舍去)． 答案：335（2013某某，5分）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C的方程是( )A.x 23＋y 24＝1B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 解析：本题主要考查椭圆的图像、方程、性质等知识，考查数形结合的数学思想方法，意在考查考生的抽象概括能力、运算求解能力．依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝4，b 2＝3.答案：D6（2013某某，14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 为椭圆C 上满足△AOB 的面积为64的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P .设OP ＝t OE ，某某数t 的值．解：本题综合考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量的坐标运算等知识，考查方程思想、分类讨论思想、推理论证能力和运算求解能力．(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝22，2b ＝2，解得a ＝2，b ＝1，因此椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)(ⅰ)当A ，B 两点关于x 轴对称时，设直线AB 的方程为x ＝m ，由题意得－2<m <0或0<m < 2. 将x ＝m 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，得|y |＝2－m22， 所以S △AOB ＝|m |2－m 22＝64， 解得m 2＝12或m 2＝32.①又OP ＝t OE ＝12t (OA ＋OB )＝12t (2m,0)＝(mt,0)，因为P 为椭圆C 上一点， 所以mt22＝1.②由①②得t 2＝4或t 2＝43，又t >0，所以t ＝2或t ＝233.(ⅱ)当A ，B 两点关于x 轴不对称时， 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋h ， 将其代入椭圆的方程x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4khx ＋2h 2－2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由判别式Δ>0可得1＋2k 2>h 2， 此时x 1＋x 2＝－4kh 1＋2k 2，x 1x 2＝2h 2－21＋2k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2h ＝2h1＋2k2， 所以|AB |＝1＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2＝22·1＋k 2· 1＋2k 2－h21＋2k2. 因为点O 到直线AB 的距离d ＝|h |1＋k2，所以S△AOB＝12·|AB |·d ＝12×221＋k 2·1＋2k 2－h21＋2k2·|h |1＋k2＝2· 1＋2k 2－h21＋2k 2·|h |. 又S △AOB ＝64， 所以2· 1＋2k 2－h 21＋2k 2·|h |＝64.③ 令n ＝1＋2k 2，代入③整理得3n 2－16h 2n ＋16h 4＝0， 解得n ＝4h 2或n ＝43h 2，即1＋2k 2＝4h 2或1＋2k 2＝43h 2.④又OP ＝t OE ＝12t (OA ＋OB )＝12t (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2kht 1＋2k 2，ht 1＋2k 2，因为P 为椭圆C 上一点，所以t 212⎝ ⎛⎭⎪⎫－2kh 1＋2k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫h 1＋2k 22＝1，即h 2·t 21＋2k2＝1.⑤ 将④代入⑤得t 2＝4或t 2＝43.又t >0，所以t ＝2或t ＝233.经检验，符合题意．综合(ⅰ)(ⅱ)得t ＝2或t ＝233. 7（2013新课标全国Ⅱ，5分）设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36B.1323解析：本题主要考查椭圆离心率的计算，涉及椭圆的定义、方程与几何性质等知识，意在考查考生的运算求解能力．法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c2a＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33.法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2a ，所以|PF 2|＝b 2a .又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b 2a，变形可得3(a 2－c 2)＝2ac ，等式两边同除以a 2，得3(1－e 2)＝2e ，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)． 答案：D8．（2013某某，5分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67解析：本题主要考查圆锥曲线的定义、离心率，解三角形等知识，意在考查考生对圆锥曲线的求解能力以及数据处理能力．由余弦定理得，|AF |＝6，所以2a ＝6＋8＝14，又2c ＝10，所以e ＝1014＝57.答案：B9．（2013某某，5分）从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24B.1222解析：本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查曲线和方程这一解析几何的基本思想．由已知，点P (－c ，y )在椭圆上，代入椭圆方程，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，则c a ＝22，即该椭圆的离心率是22.答案：C10．（2013某某，4分）椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：本题主要考查椭圆的定义、图像和性质等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．直线y ＝3(x ＋c )过点F 1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2c c ＋3c＝3－1.答案：3－111.(2012某某，13分)如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．解：(1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2， 直线AB 的方程可为y ＝－3(x －c )．将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B (85c ，－335c )．所以|AB |＝1＋3·|85c －0|＝165c .由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t . 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.12．（2012新课标全国，5分）设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45解析：由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，所以2(32a －c )＝2c ，所以3a ＝4c ，所以e ＝34.答案：C13．（2012某某，5分）椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14B.55C.12D.5－2 解析：依题意得|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |，即4c 2＝(a －c )(a ＋c )＝a 2－c 2，整理得5c 2＝a 2，所以e ＝ca ＝55. 答案：B14．（2011某某，5分）已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2解析：对于直线与椭圆、圆的关系，如图所示，设直线AB 与椭圆C 1的一个交点为C (靠近A 的交点)，则|OC |＝a3，因tan ∠COx ＝2， ∴sin ∠COx ＝25，cos ∠COx ＝15， 则C 的坐标为(a 35，2a35)，代入椭圆方程得a 245a 2＋4a 245b 2＝1，∴a 2＝11b 2.∵5＝a 2－b 2，∴b 2＝12.答案：C15．(2011某某，12分)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35.(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解：(Ⅰ)将(0,4)代入C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4，又e ＝c a ＝35得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(Ⅱ)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0，解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412， ∴AB 的中点坐标x ＝x 1＋x 22＝32，y ＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65， 即中点坐标为(32，－65)．注：用韦达定理正确求得结果，同样给分．16．（2011新课标全国，5分）椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为( )A.13B.12C.33D.22解析：由x 216＋y 28＝1可得a 2＝16，b 2＝8，∴c 2＝a 2－b 2＝8.∴e 2＝c 2a 2＝12.∴e ＝22.答案：D17．（2010某某，5分）若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ·FP 的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：由椭圆x 24＋y 23＝1，可得点F (－1,0)，点O (0,0)，设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP ·FP＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3(1－x 24)＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP ·FP 取得最大值6.word 答案：C11 / 11。

第八章 平面解析几何（知识点）1. 直线：(1) 倾斜角α：一条直线l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。

其范围是),0[π(2) 斜率：①倾斜角为090的直线没有斜率；②αtan =k（倾斜角的正切）③经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率1212x x y y K --= )(21x x ≠(3) 直线的方程①两点式：121121x x x x y y y y --=-- ② 截距式 1=+b y a x③ 斜截式：b kx y += ④点斜式：)(00x x k y y -=- ⑤一般式：0=++C By Ax注：1.若直线l 方程为3x+4y+5=0，则与l 平行的直线可设为3x+4y+C=0；与l 垂直的直线可设为4X-3Y+C=0 2.求直线的方程最后要化成一般式。

(4) 两条直线的位置关系①点),(00y x P 到直线0=++C By Ax 的距离：2200||B A C By Ax d +++=②0:1=++C By Ax l 与0:2=++C By Ax l 平行2221||BA C C d ++=2. 圆的方程（1） 标准方程：222)()(r b y a x =-+-（0>r）其中圆心),(b a ，半径r 。

（2） 一般方程：022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）圆心（2,2E D --） 半径：2422F EDr -+=（4）直线和圆的位置关系：主要用几何法，利用圆心到直线的距离d 和半径r 比较。

相交⇔<r d ； 相切⇔=r d ； 相离⇔>r d3. 二次曲线：定义一：平面内到一个定点和一条定直线的距离的比等于定长e 的点的集合,①当0<e<1时,是椭圆.②当e>1时,是双曲线.③当e=1时,是抛物线. 4. 椭圆注：等轴双曲线：（1）b a =（2）离心率2=e （3）渐近线x y ±=6. 抛物线（如右图示） 注：（1）p 的几何意义表示焦点到准线的距离。

8.6 双曲线[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．(2017届合肥质检)若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：由题意得ba＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4，故选B. 答案：B2．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x 解析：由条件e ＝c a ＝3，得c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝3，所以ba＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .故选B.答案：B3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点为F 1，F 2，且C 上点P 满足PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|＝3，|PF 2→|＝4，则双曲线C 的离心率为( )A.102B ． 5 C.52D ．5解析：依题意得，2a ＝|PF 2|－|PF 1|＝1，|F 1F 2|＝|PF 2|2＋|PF 1|2＝5，因此该双曲线的离心率e ＝|F 1F 2||PF 2|－|PF 1|＝5.答案：D4．(2017届长春质检)过双曲线x 2－y 215＝1的右支上一点P ，分别向圆C 1：(x ＋4)2＋y2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1作切线，切点分别为M ，N ，则|PM |2－|PN |2的最小值为( )A ．10B ．13C ．16D ．19解析：由题可知，|PM |2－|PN |2＝(|PC 1|2－4)－(|PC 2|2－1)＝|PC 1|2－|PC 2|2－3＝(|PC 1|－|PC 2|)(|PC 1|＋|PC 2|)－3＝2(|PC 1|＋|PC 2|)－3≥2|C 1C 2|－3＝13.答案：B5．(2018届河南六市第一次联考)已知点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．4 C.13D ．15解析：由题意，设|AB |＝3k ，|BF 2|＝4k ，|AF 2|＝5k ，则BF 1⊥BF 2.∵|AF 1|＝|AF 2|－2a ＝5k －2a ，|BF 1|－|BF 2|＝5k －2a ＋3k －4k ＝4k －2a ＝2a ，∴a ＝k ，∴|BF 1|＝6a ，|BF 2|＝4a .又|BF 1|2＋|BF 2|2＝|F 1F 2|2，即13a 2＝c 2，∴e ＝ca＝13.答案：C6．(2018届合肥市第二次质量检测)双曲线M ：x 2－y 2b2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，记|F 1F 2|＝2c ，以坐标原点O 为圆心，c 为半径的圆与曲线M 在第一象限的交点为P ，若|PF 1|＝c ＋2，则点P 的横坐标为( )A.3＋12 B ．3＋22C.3＋32D ．332解析：由点P 在双曲线的第一象限可得|PF 1|－|PF 2|＝2，则|PF 2|＝|PF 1|－2＝c ，又|OP |＝c ，∠F 1PF 2＝90°，由勾股定理可得(c ＋2)2＋c 2＝(2c )2，解得c ＝1＋ 3.易知△POF 2为等边三角形，则x P ＝c2＝3＋12，选项A 正确． 答案：A7．(2018届湖南十校联考)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与直线x ＝a 2c分别交于A ，B 两点，F 为该双曲线的右焦点．若60°<∠AFB <90°，则该双曲线的离心率的取值范围是________．解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线方程为y ＝±b a x ，x ＝a 2c 时，y ＝±abc ，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c，－ab c ，因为60°<∠AFB <90°，所以33<k FB <1，所以33<abc c －a 2c<1，所以33<a b <1，所以13<a 2c 2－a2<1，所以1<e 2－1<3，所以2<e <2. 答案：(2，2)8．若点P 是以A (－3,0)，B (3,0)为焦点，实轴长为25的双曲线与圆x 2＋y 2＝9的一个交点，则|PA |＋|PB |＝________.解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PA |>|PB |. 因为点P 是双曲线与圆的交点，所以由双曲线的定义知，|PA |－|PB |＝25，① 又|PA |2＋|PB |2＝36，②联立①②化简得2|PA |·|PB |＝16，所以(|PA |＋|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2＋2|PA |·|PB |＝52， 所以|PA |＋|PB |＝213. 答案：2139．(2017年全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．解析：∵|AM |＝|AN |＝b ，∠MAN ＝60°， ∴△MAN 是等边三角形， ∴在△MAN 中，MN 上的高h ＝32b . ∵点A (a,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离d ＝ab a 2＋b 2＝abc， ∴ab c ＝32b ， ∴e ＝c a＝23＝233. 答案：23310．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线的离心率e 的最大值为________．解析：由双曲线定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＝4|PF 2|，所以|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a ，在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2，要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值，当F 1、P 、F 2三点共线时，即∠F 1PF 2＝π时，cos ∠F 1PF 2有最小值为－1，∴cos ∠F 1PF 2＝178－98e 2≥－1，解得1<e ≤53，即e 的最大值为53.答案：5311．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，|AB |＝43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，∵一条渐近线为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0. ∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a 2＝ 3.又∵c 2＝a 2＋b 2， ∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 212－y 203＝1，解得⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．12．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 经过A (－7，5)，B (－1，－1)两点． (1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l ：y ＝x ＋m 交双曲线C 于M ，N 两点，且线段MN 被圆E ：x 2＋y 2－12x ＋n ＝0(n ∈R )三等分，求实数m ，n 的值．解：(1)设双曲线C 的方程是λx 2＋μy 2＝1(λμ<0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧49λ＋25μ＝1，λ＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，所以双曲线C 的方程是2y 2－x 2＝1. (2)将l ：y ＝x ＋m 代入2y 2－x 2＝1， 得x 2＋4mx ＋(2m 2－1)＝0，① Δ＝(4m )2－4(2m 2－1)＝8m 2＋4>0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝－4m ， 所以x 0＝x 1＋x 22＝－2m ，y 0＝x 0＋m ＝－m ，所以P (－2m ，－m )．又圆心E (6,0)，依题意k PE ＝－1， 故m6＋2m＝－1，即m ＝－2. 将m ＝－2代入①得x 2－8x ＋7＝0， 解得x 1＝1，x 2＝7，所以|MN |＝1＋12|x 1－x 2|＝6 2. 故直线l 截圆E 所得弦长为13|MN |＝2 2.又E (6,0)到直线l 的距离d ＝22， 所以圆E 的半径R ＝22＋22＝10，所以圆E 的方程是x 2＋y 2－12x ＋26＝0. 所以m ＝－2，n ＝26.[能 力 提 升]1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |.解：(1)∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点，∴⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝3，a ＝3，解得c ＝3，b ＝6，∴双曲线的方程为x 23－y 26＝1.(2)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点为F 2(3,0)，∴经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x －3)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 26＝1，y ＝33x －，得5x 2＋6x －27＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275.所以|AB |＝1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－652－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－275＝1635. 2．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，O 为坐标原点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2，求k 的取值范围．解：(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4， 再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， 故双曲线C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋－3k2＝－k2，∴k 2<1且k 2≠13.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2 ＝3k 2＋73k 2－1. 又∵OA →·OB →>2， 即x 1x 2＋y 1y 2>2， ∴3k 2＋73k 2－1>2， 即－3k 2＋93k 2－1>0， 解得13<k 2<3.②由①②得13<k 2<1，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.。

课时规范练40直线的方程基础巩固组1.“C=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+C=0的距离为3”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2.点(3,9)关于直线x+3y-10=0对称的点的坐标为()A.(-1,-3)B.(17,-9)C.(-1,3)D.(-17,9)3.已知直线3x+2y-3=0与直线6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为()A.4B.2√1313C.5√1326D.7√13264.(多选)已知直线l:√3x-y+1=0,则下列结论正确的是()A.直线l的倾斜角为π6B.若直线m:x-√3y+1=0,则l⊥mC.点(√3,0)到直线l的距离为2D.过点(2√3,2),且与直线l平行的直线方程为√3x-y-4=05.若直线2ax+y-2=0与直线x-(a+1)y+2=0垂直,则这两条直线的交点坐标为()A.(-25,-65) B.(25,65)C.(25,-65) D.(-25,65)6.已知直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,若l1⊥l2,则a=,此时点P的坐标为.7.已知正方形的两边所在直线的方程分别为x-y-1=0,x-y+1=0,则正方形的面积为.综合提升组8.(2020吉林朝阳长春外国语学校期末)已知点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线x-y-2=0的最短距离为()A.√3B.3√32C.2√23D.√29.(多选)(2020江苏苏州第十中学高二期中)已知直线l1:ax-y+1=0,l2:x+ay+1=0,a∈R,以下结论正确的是()A.不论a为何值,l1与l2都互相垂直B.当a变化时,直线l1,l2分别经过定点A(0,1),B(-1,0)C.不论a为何值,直线l1与l2都关于直线x+y=0对称D.若直线l1与l2交于点M,则|MO|的最大值为√210.(2020上海大同中学期中)若关于x ,y 的二元一次方程组{mx +9y =m +6,x +my =m 无解,则实数m 的值为 .11.已知直线l 在两坐标轴上的截距相等,且点P (1,3)到直线l 的距离为√2,则直线l 的条数为 .12.(2020江苏广陵扬州中学月考)已知直线x+my-2m-1=0恒过定点A. (1)若直线l 经过点A ,且与直线2x+y-5=0垂直,求直线l 的方程; (2)若直线l 经过点A ,且坐标原点到直线l 的距离为1,求直线l 的方程.创新应用组13.(2020河南郑州期末)数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点,重心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形三条高线的交点)依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC 的顶点B (-1,0),C (0,2),AB=AC ,则△ABC 的欧拉线方程为( ) A.2x-4y-3=0 B.2x+4y+3=0 C.4x-2y-3=0D.2x+4y-3=014.已知平面上一点M (5,0),若直线上存在点P ,使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”.下列直线是“切割型直线”的有 .①直线y=x+1;②直线y=2;③直线y=43x ;④直线y=2x+1.参考答案课时规范练40 直线的方程1.B 由点(2,1)到直线3x+4y+C=0的距离为3,得|3×2+4×1+C |√3+4=3,解得C=5或C=-25,故“C=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+C=0的距离为3”的充分不必要条件.故选B . 2.A 设点(3,9)关于直线x+3y-10=0对称的点的坐标为(a ,b ),则{a+32+3×b+92-10=0,b -9a -3×(-13)=-1,解得{a =-1,b =-3.故所求点的坐标为(-1,-3).故选A .3.D 因为直线3x+2y-3=0与直线6x+my+1=0平行,所以3m-12=0,解得m=4.直线方程6x+4y+1=0可转化为3x+2y+12=0,则两平行线之间的距离d=|12-(-3)|√3+2=7√1326.4.CD 对于A,直线l :√3x-y+1=0的斜率k=√3,故直线l 的倾斜角为π3,故A 错误;对于B,因为直线m :x-√3y+1=0的斜率k'=√33,kk'=1≠-1,故直线l 与直线m 不垂直,故B 错误; 对于C,点(√3,0)到直线l 的距离d=√3×√3-√(√3)+(-1)=2,故C 正确;对于D,过点(2√3,2),且与直线l 平行的直线方程为y-2=√3(x-2√3),即√3x-y-4=0,故D 正确.故选CD .5.B 依题意,2a·1+1×[-(a+1)]=0,解得a=1.由{2x +y -2=0,x -2y +2=0,解得{x =25,y =65.故这两条直线的交点坐标为(25,65).故选B .6.1 (3,3) ∵直线l 1:ax+y-6=0与l 2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P ,且l 1⊥l 2,∴a·1+1·(a-2)=0,解得a=1.由{x +y -6=0,x -y =0,解得{x =3,y =3.∴P (3,3).7.2 由题意可知正方形的边长等于两条平行直线之间的距离,所以正方形的边长为√2=√2,所以正方形的面积为2.8.D 当过点P 的切线与直线x-y-2=0平行时,点P 到直线x-y-2=0的距离最短.因为y=x 2-ln x ,x>0,所以y'=2x-1x .令2x-1x =1,解得x=1. 所以P (1,1),所以点P 到直线x-y-2=0的最短距离d=|1-1-2|√2=√2.故选D .9.ABD 对于A,因为a·1+(-1)·a=0恒成立,所以不论a 为何值,直线l 1与l 2互相垂直恒成立,故A 正确;对于B,易知直线l 1恒过点A (0,1),直线l 2恒过点B (-1,0),故B 正确;对于C,在直线l 1上任取点(x ,ax+1),其关于直线x+y=0对称的点的坐标为(-ax-1,-x ),代入直线l 2的方程x+ay+1=0,可知左边不恒等于0,故C 不正确;对于D,由{ax -y +1=0,x +ay +1=0,解得{x =-a -1a 2+1,y =-a+1a 2+1.所以M -a -1a 2+1,-a+1a 2+1, 所以|MO|=√(-a -1a 2+1) 2+(-a+1a 2+1) 2=√2a 2+1≤√2,所以|MO|的最大值为√2,故D 正确.故选ABD . 10.-3 因为关于x ,y 的二元一次方程组{mx +9y =m +6,x +my =m 无解,所以直线mx+9y=m+6与直线x+my=m 平行,所以m 2-9=0,解得m=±3.经检验,当m=3时,两直线重合,不符合题意,舍去;当m=-3时,两直线平行,符合题意.故m=-3. 11.4 若直线l 在两坐标轴上的截距为0,则设直线l 的方程为y=kx (k ≠0).由题意知|k -3|√k +1=√2,解得k=1或k=-7,故直线l 的方程为x-y=0或7x+y=0.若直线l 在两坐标轴上的截距不为0,则设直线l 的方程为x+y-a=0(a ≠0).由题意知|1+3-a |√1+1=√2,解得a=2或a=6.故直线l 的方程为x+y-2=0或x+y-6=0.综上,直线l 的方程为x-y=0或7x+y=0或x+y-2=0或x+y-6=0.故直线l 的条数为4. 12.解由x+my-2m-1=0,得x-1+m (y-2)=0,当x=1时,y=2,所以恒过定点A (1,2).(1)因为直线2x+y-5=0的斜率为-2,直线l 与直线2x+y-5=0垂直,所以直线l 的斜率为12.又直线l 经过点A ,所以直线l 的方程为y-2=12(x-1),即x-2y+3=0.(2)当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x=1,符合题意. 当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y-2=k (x-1),即kx-y+2-k=0. 由坐标原点到直线l 的距离为1,得√k +1=1,解得k=34.所以直线l 的方程为34x-y+2-34=0,即3x-4y+5=0. 综上所述,直线l 的方程为x=1或3x-4y+5=0.13.D ∵B (-1,0),C (0,2),∴线段BC 的中点的坐标为(-12,1),线段BC 所在直线的斜率k BC =2,∴线段BC 的垂直平分线的方程为y-1=-12(x +12),即2x+4y-3=0.∵AB=AC ,∴△ABC 的外心、重心、垂心都在线段BC 的垂直平分线上,∴△ABC 的欧拉线方程为2x+4y-3=0.故选D . 14.②③ ①点M 到直线y=x+1的距离d=|5+1|√2=3√2>4,故该直线上不存在点P ,使|PM|=4,该直线不是“切割型直线”;②点M 到直线y=2的距离d=2<4,故该直线上存在点P ,使|PM|=4,该直线是“切割型直线”; ③点M 到直线y=43x 的距离d=4,故该直线上存在点P ,使|PM|=4,该直线是“切割型直线”; ④点M 到直线y=2x+1的距离d=√5=11√55>4,故该直线上不存在点P ,使|PM|=4,该直线不是“切割型直线”.。

⾼考数学⼀轮复习第⼋章平⾯解析⼏何8.1直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程课时提升作业理直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程(25分钟50分)⼀、选择题(每⼩题5分,共35分)1.直线x+y+1=0的倾斜⾓是( )A. B. C. D.【解析】选D.由直线的⽅程得直线的斜率为k=-,设倾斜⾓为α,则tanα=-,⼜α∈[0,π),所以α=.2.设直线ax+by+c=0的倾斜⾓为α,且sinα+cosα=0,则a,b满⾜( )A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0【解析】选D.由题意得sinα=-cosα,显然cosα≠0,则tanα=-1,所以-=-1,a=b,a-b=0.3.下列命题中,正确的是( )A.直线的斜率为tanα,则直线的倾斜⾓是αB.直线的倾斜⾓为α,则直线的斜率为tanαC.直线的倾斜⾓越⼤,则直线的斜率就越⼤D.直线的倾斜⾓α∈∪时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增【解析】选D.因为直线的斜率k=tanα,且α∈∪时,α才是直线的倾斜⾓,所以A不对; 因为任⼀直线的倾斜⾓α∈[0,π),⽽当α=时,直线的斜率不存在,所以B不对;当α∈时,斜率⼤于0;当α∈时,斜率⼩于0,C不对.4.倾斜⾓为120°,在x轴上的截距为-1的直线的⽅程是( )A.x-y+1=0B.x-y-=0C.x+y-=0D.x+y+=0【解析】选 D.由于倾斜⾓为120°,故斜率k=-.⼜直线过点(-1,0),所以⽅程为y=-(x+1),即x+y+=0.5.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a的值是( )A.1B.-1C.-2或-1D.-2或1【解析】选D.显然a≠0,由题意得a+2=,解得a=-2或1.6.(2016·西安模拟)点A(1,1)到直线xcosθ+ysinθ-2=0的距离的最⼤值是( )A.2B.2-C.2+D.4【解析】选C.由点到直线的距离公式,得d==2-sin,⼜θ∈R,所以d max=2+.7.已知a,b均为正数,且直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,则2a+3b的最⼩值为( )A.5B.25C.13D.15【解析】选B.因为直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,所以a(b-3)-2b=0,且5a+12≠0,所以3a+2b=ab,即+=1,⼜a,b均为正数,则2a+3b=(2a+3b)=4+9++≥13+2=25.当且仅当a=b=5时上式等号成⽴.⼆、填空题(每⼩题5分,共15分)8.已知直线的倾斜⾓是60°,在y轴上的截距是5,则该直线的⽅程为.【解析】因为直线的倾斜⾓是60°,所以直线的斜率为k=tan60°=.⼜因为直线在y轴上的截距是5,由斜截式得直线的⽅程为y=x+5.即x-y+5=0.答案:x-y+5=0【加固训练】过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-的直线的⽅程为. 【解析】设所求直线的斜率为k,依题意k=-×3=-.⼜直线经过点A(-1,-3),因此所求直线⽅程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.答案:3x+4y+15=09.已知A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则x= .【解析】因为k AB==2,k AC==-.⼜A,B,C三点共线,所以k AB=k AC,即-=2,解得x=-3.答案:-310.(2016·平顶⼭模拟)与直线x+y-1=0垂直的直线的倾斜⾓为.【解析】因为直线x+y-1=0的斜率为k1=-,所以与直线x+y-1=0垂直的直线的斜率为k2=-=.所以它的倾斜⾓为.答案:(20分钟40分)1.(5分)(2016·保定模拟)直线y=tan的倾斜⾓等于( )A. B. C. D.0【解析】选D.因为tan=,所以y=tan即y=,表⽰⼀条与x轴平⾏的直线,因此直线y=tan的倾斜⾓等于0.2.(5分)已知点A(-1,0),B(cosα,sinα),且|AB|=,则直线AB的⽅程为( )A.y=x+或y=-x-B.y=x+或y=-x-C.y=x+1或y=-x-1D.y=x+或y=-x-【解析】选B.|AB|===,所以cosα=,sinα=±,所以k AB=±,即直线AB的⽅程为y=±(x+1),所以直线AB的⽅程为y=x+或y=-x-.【加固训练】已知直线l过点(0,2),且其倾斜⾓的余弦值为,则直线l的⽅程为( )A.3x-4y-8=0B.3x+4y-8=0C.3x+4y+8=0D.3x-4y+8=0【解析】选D.因为cosα=,α∈[0,π),所以sinα=,k=tanα=,所以直线l的⽅程为y-2=x,即3x-4y+8=0.3.(5分)过点(1,3)作直线l,若经过点(a,0)和(0,b),且a∈N*,b∈N*,则可作出的直线l的条数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由题意得+=1?(a-1)(b-3)=3.⼜a∈N*,b∈N*,故有两个解或4.(12分)已知直线l过点P(0,1),且与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A,B(如图).若线段AB被点P平分,求直线l的⽅程.【解析】因为点B在直线l2:2x+y-8=0上,故可设点B的坐标为(a,8-2a).因为点P(0,1)是线段AB的中点,得点A的坐标为(-a,2a-6).⼜因为点A在直线l1:x-3y+10=0上,故将A(-a,2a-6)代⼊直线l1的⽅程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.所以点B的坐标是(4,0).因此,过P(0,1),B(4,0)的直线l的⽅程为+=1,即x+4y-4=0.【加固训练】已知直线l经过A(cosθ,sin2θ)和B(0,1)不同的两点,求直线l倾斜⾓的取值范围.【解析】当cosθ=0时,sin2θ=1-cos2θ=1,此时A,B重合.所以cosθ≠0.所以k==-cosθ∈[-1,0)∪(0,1].因此倾斜⾓的取值范围是∪.5.(13分)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点.(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围.(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的⾯积为S,求S的最⼩值及此时直线l的⽅程.【解析】(1)⽅法⼀:直线l的⽅程可化为y=k(x+2)+1,故⽆论k取何值,直线l总过定点(-2,1). ⽅法⼆:设直线l过定点(x0,y0),则kx0-y0+1+2k=0对任意k∈R恒成⽴,即(x0+2)k-y0+1=0恒成⽴,所以x0+2=0,-y0+1=0,解得x0=-2,y0=1,故直线l总过定点(-2,1).(2)直线l的⽅程为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则解得k的取值范围是[0,+∞).(3)依题意,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,所以A,B(0,1+2k).⼜-<0且1+2k>0,所以k>0.故S=|OA||OB|=×(1+2k)=≥(4+4)=4,当且仅当4k=,即k=时,取等号.故S的最⼩值为4,此时直线l的⽅程为x-2y+4=0.。

第八章⎪⎪⎪平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)直线l 的倾斜角为α(α≠π2)，则斜率k ＝tan_α.(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．直线方程的五种形式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．[小题体验]1．设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．α＋45°或α－135°解析：选D 由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时，l 1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l 1的倾斜角为α－135°，故选D.2．下列说法中正确的是( )A.y －y 1x －x 1＝k 表示过点P 1(x 1，y 1)，且斜率为k 的直线方程 B ．直线y ＝kx ＋b 与y 轴交于一点B (0，b )，其中截距b ＝|OB | C ．在x 轴和y 轴上的截距分别为a 与b 的直线方程是x a ＋yb＝1D ．方程(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)表示过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线解析：选D 对于A ，直线不包括点P 1，故A 不正确；对于B ，截距不是距离，是B 点的纵坐标，其值可正可负，故B 不正确；对于C ，经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是0，不能表示为x a ＋yb ＝1，故C 不正确；对于D ，此方程为直线两点式方程的变形，故D 正确．故选D.3．(2018·嘉兴检测)直线l 1：x ＋y ＋2＝0在x 轴上的截距为________；若将l 1绕它与y 轴的交点顺时针旋转90°，则所得到的直线l 2的方程为________________．解析：对于直线l 1：x ＋y ＋2＝0，令y ＝0，得x ＝－2，即直线l 1在x 轴上的截距为－2；令x ＝0，得y ＝－2，即l 1与y 轴的交点为(0，－2)，直线l 1的倾斜角为135°，∴直线l 2的倾斜角为135°－90°＝45°，∴l 2的斜率为1，故l 2的方程为y ＝x －2，即x －y －2＝0.答案：－2 x －y －2＝01．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x ，y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．2．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．3．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论． [小题纠偏]1．直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π2∪⎣⎡⎦⎤π2，5π6 B.⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π C.⎣⎡⎦⎤0，5π6 D.⎣⎡⎦⎤π6，5π6解析：选B 设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝－33cos α， 又cos α∈[－1,1]，所以－33≤tan θ≤33， 又0≤θ＜π，且y ＝tan θ在⎣⎡⎭⎫0，π2和⎝⎛⎭⎫π2，π上均为增函数，故θ∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π.故选B. 2．过点(5,10)，且到原点的距离为5的直线方程是________． 解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0满足题意； 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋10－5k ＝0.由距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 答案：x －5＝0或3x －4y ＋25＝0考点一 直线的倾斜角与斜率(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．若直线l 经过A (2,1)，B (1，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎣⎡⎭⎫π4，π2D.⎝⎛⎦⎤π2，3π4解析：选C 因为直线l 的斜率k ＝tan α＝1＋m 22－1＝m 2＋1≥1，所以π4≤α＜π2.故倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫π4，π2.2．经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________.解析：如图所示，结合图形，若l 与线段AB 总有公共点，则kPA ≤k ≤k PB ，而k PB ＞0，k PA ＜0，故k ＜0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时，α＝0，k＞0时，α为锐角．又k PA ＝－2－(－1)1－0＝－1，k PB ＝1－(－1)2－0＝1，∴－1≤k ≤1.又当0≤k ≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k ＜0时，3π4≤α＜π.故倾斜角α的取值范围为α∈⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：[－1,1] ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π3．若A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，求1a ＋1b 的值．解：∵k AB ＝0－2a －2＝－2a －2，k AC ＝b －20－2＝－b －22，且A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即－2a －2＝－b －22，整理得ab ＝2(a ＋b )，将该等式两边同除以2ab 得1a ＋1b ＝12.[谨记通法]1．倾斜角与斜率的关系当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2且由0增大到π2⎝⎛⎭⎫α≠π2时，k 的值由0增大到＋∞. 当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，k 也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π2⎝⎛⎭⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 的值由－∞趋近于0(k ≠0)．2．斜率的3种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率．(2)公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．(3)方程法：若已知直线的方程为Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)，则l 的斜率k ＝－AB . 考点二 直线的方程(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]求适合下列条件的直线方程：(1)经过点(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点(－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍； (3)经过点(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解：(1)设直线方程在x ，y 轴上的截距均为a ， 若a ＝0，即直线方程过点(0,0)和(4,1)， ∴直线方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0；若a ≠0，则设直线方程为x a ＋ya ＝1，∵直线方程过点(4,1)，∴4a ＋1a ＝1， 解得a ＝5，∴直线方程为x ＋y －5＝0.综上可知，所求直线的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0.(2)由已知，设直线y ＝3x 的倾斜角为α ，则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 又直线经过点(－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)． 即所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.[由题悟法]求直线方程的2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．[即时应用]求适合下列条件的直线方程：(1)经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半的直线方程为________． (2)过点(2,1)且在x 轴上的截距与在y 轴上的截距之和为6的直线方程为________． 解析：(1)由3x ＋y ＋1＝0，得此直线的斜率为－3， 所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°， 所以所求直线的斜率为 3. 又直线过点A (－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)， 即3x －y ＋6＝0.(2)由题意可设直线方程为x a ＋yb ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b ＝1，解得a ＝b ＝3，或a ＝4，b ＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0. 答案：(1)3x －y ＋6＝0 (2)x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0 考点三 直线方程的综合应用(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题． 常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题； (2)与导数的几何意义相结合的问题； (3)由直线方程解决参数问题．[题点全练]角度一：与基本不等式相结合的最值问题1．过点P (2,1)作直线l ，与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求： (1)△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程；(2)直线l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l 的方程； (3)|PA |·|PB |的最小值及此时直线l 的方程． 解：(1)设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)， 则可得A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )． ∵直线l 与x 轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2k －1k ＞0，1－2k ＞0，得k ＜0. ∴S △AOB ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎝⎛⎭⎫2－1k ·(1－2k )＝12⎝⎛⎭⎫4－1k －4k ≥12⎣⎡⎦⎤4＋2 ⎝⎛⎭⎫－1k ·(－4k ) ＝4，当且仅当－1k＝－4k ，即k ＝－12时，△AOB 的面积有最小值4，此时直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.(2)∵A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )(k ＜0)， ∴截距之和为2－1k ＋1－2k ＝3－2k －1k ≥3＋2 (－2k )·⎝⎛⎭⎫－1k ＝3＋22，当且仅当－2k ＝－1k，即k ＝－22时等号成立． 故截距之和的最小值为3＋22， 此时直线l 的方程为y －1＝－22(x －2)， 即x ＋2y －2－2＝0.(3)∵A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )(k ＜0)， ∴|PA |·|PB |＝1k 2＋1·4＋4k 2＝2⎣⎡⎦⎤1－k ＋(－k )≥4，当且仅当－k ＝－1k ， 即k ＝－1时上式等号成立．故|PA |·|PB |的最小值为4，此时直线l 的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0. 角度二：与导数的几何意义相结合的问题2．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－1，－12 B.[]－1，0 C ．[0,1]D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：选A 由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)， 则k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，所以0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12. 角度三：由直线方程解决参数问题3．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．解：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×(2－a )×2＋12×(a 2＋2)×2＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，四边形的面积最小，故a ＝12.[通法在握]处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．[演练冲关]1．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.答案：52．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)． (2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围为[)0，＋∞.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2kk＜0且1＋2k ＞0，∴k ＞0. 故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·金华一中模拟)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，πC.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π解析：选B 由直线方程可知斜率k ＝－1a 2＋1，设倾斜角为α，则tan α＝－1a 2＋1，而－1≤－1a 2＋1＜0，∴－1≤tan α＜0，又∵α∈[0，π)，∴3π4≤α＜π，故选B. 2．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫π2，π 解析：选B 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π. 3．(2018·湖州质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段P Q 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13B ．－13C ．－32D.23解析：选B 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可得直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.4.如图中的直线l1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( ) A ．k 1＜k 2＜k 3 B ．k 3＜k 1＜k 2 C ．k 3＜k 2＜k 1 D ．k 1＜k 3＜k 2解析：选D 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2，故选D.5．(2018·豫西五校联考)曲线y ＝x 3－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________． 解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))， 因为y ′＝3x 2－1≥－1，所以tan θ≥－1， 结合正切函数的图象可知， θ的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 二保高考，全练题型做到高考达标1．已知A (－1,1)，B (3,1)，C (1,3)，则△ABC 的BC 边上的高所在直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y ＋2＝0D ．x －y ＝0解析：选B 因为B (3,1)，C (1,3)， 所以k BC ＝3－11－3＝－1，故BC 边上的高所在直线的斜率k ＝1，又高线经过点A ，所以其直线方程为x －y ＋2＝0.2．已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( )A ．y ＝3x ＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝3x ＋12D ．y ＝－3x ＋2 解析：选A ∵直线x －2y －4＝0的斜率为12，∴直线l 在y 轴上的截距为2， ∴直线l 的方程为y ＝3x ＋2，故选A.3．(2018·温州五校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0的图象可能是( )解析：选B 当a ＞0，b ＞0时，－a ＜0，－b ＜0，选项B 符合．4．若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( ) A ．[－2,2] B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C 令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．5．函数y ＝a 1－x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则1m ＋1n 的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．1解析：选B ∵函数y ＝a 1－x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A (1,1)． ∴把A (1,1)代入直线方程得m ＋n ＝1(mn ＞0)． ∴1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝2＋n m ＋m n ≥2＋2 n m ·m n ＝4(当且仅当m ＝n ＝12时取等号)， ∴1m ＋1n 的最小值为4.6．(2018·温州调研)已知三角形的三个顶点为A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________．解析：∵BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0. 答案：x ＋13y ＋5＝07．若直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为________________．解析：由ax ＋y ＋3a －1＝0，可得a (x ＋3)＋(y －1)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝0，y －1＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，∴M (－3,1)，M 不在直线2x ＋3y －6＝0上，设直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)，则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)，∴所求直线方程为2x ＋3y ＋12＝0.答案：2x ＋3y ＋12＝08．若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称，则1a ＋3b 的最小值是________． 解析：由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0知其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9， ∵圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称， ∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0， ∴a ＋3b ＝3(a ＞0，b ＞0)． ∴1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝13⎝⎛⎭⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝⎛⎭⎫10＋23a b ·3b a ＝163， 当且仅当3b a ＝3ab ，即a ＝b 时取等号． 故1a ＋3b 的最小值是163. 答案：1639．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： (1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4， 由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．已知曲线y ＝1e x＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________． 解析：y ′＝－e x(e x ＋1)2＝－1e x＋1ex ＋2， 因为e x ＞0，所以e x ＋1ex ≥2e x ·1e x ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，所以e x ＋1ex ＋2≥4， 故y ′＝－1e x ＋1ex ＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)．所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12.答案：122.已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，当△ABO 的面积取最小值时，求直线l 的方程．解：法一：设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)， 则直线l 的方程为x a ＋yb ＝1.因为l 过点P (3,2)，所以3a ＋2b ＝1. 因为1＝3a ＋2b ≥26ab ，整理得ab ≥24，所以S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4时取等号．此时直线l 的方程是x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.法二：依题意知，直线l 的斜率k 存在且k ＜0， 可设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k ＜0)， 则A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎡⎦⎤12＋(－9k )＋4－k ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 (－9k )·4－k＝12×(12＋12)＝12， 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立．所以所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.第二节两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2.2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．三种距离公式1．(2018·金华四校联考)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3D ．－2或－3解析：选C ∵直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，∴2m ＝m ＋13≠4－2，解得m ＝2或－3.2．“a ＝14”是“直线(a ＋1)x ＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由直线(a ＋1)x ＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直，得(a ＋1)(a －1)＋3a (a ＋1)＝0，即4a 2＋3a －1＝0，解得a ＝14或－1，∴“a ＝14”是“直线(a ＋1)x ＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a＋1)y －3＝0相互垂直”的充分不必要条件，故选A.3．(2018·浙江五校联考)已知动点P 的坐标为(x,1－x )，x ∈R ，则动点P 的轨迹方程为________，它到原点距离的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则y ＝1－x ，即动点P 的轨迹方程为x ＋y －1＝0.原点到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝|0＋0－1|1＋1＝22，即为所求原点到动点P 的轨迹的最小值．答案：x ＋y －1＝0221．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．1．已知P ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，Q ：a ＝－1，则P 是Q 的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.所以P 是Q 的充要条件．2．(2018·安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( ) A ．7B.172C ．14D ．17解析：选B 直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，解得m ＝172.考点一 两条直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知a ≠0，直线ax ＋(b ＋2)y ＋4＝0与直线ax ＋(b －2)y －3＝0互相垂直，则ab 的最大值为( ) A ．0 B ．2 C ．4D. 2解析：选B 若b ＝2，两直线方程分别为y ＝－a 4x －1和x ＝3a ，此时两直线相交但不垂直．若b ＝－2，两直线方程分别为x ＝－4a 和y ＝a 4x －34，此时两直线相交但不垂直．若b ≠±2，两直线方程分别为y ＝－a b ＋2x －4b ＋2和y ＝－a b －2x ＋3b －2，此时两直线的斜率分别为－a b ＋2，－a b －2，由－a b ＋2·⎝⎛⎭⎫－a b －2＝－1，得a 2＋b 2＝4.因为a 2＋b 2＝4≥2ab ，所以ab ≤2，且当a ＝b ＝2或a ＝b ＝－2时取等号，故ab 的最大值为2.2．(2018·诸暨模拟)已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为________．解析：由两直线平行可得，a (b －3)＝2b ，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b＝1.又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a＋3b )·⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6b a≥13＋2 6a b ·6ba ＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25.答案：253．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝0，2m －m －1＝0，解得m ＝1，n ＝7.即m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (m ，－1)．(2)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，－m －2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (3)当且仅当2m ＋8m ＝0， 即m ＝0时，l 1⊥l 2. 又－n8＝－1，∴n ＝8.即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2， 且l 1在y 轴上的截距为－1.[谨记通法]1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法 (1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.[提醒] 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况． 2．由一般式确定两直线位置关系的方法[提醒] 在判断两直线位置关系时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答．考点二 距离问题(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2018·衢州模拟)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A.2 B.823 C. 3D.833解析：选B 因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪6－232＝823.2．直线3x ＋4y －3＝0上一点P 与点Q (2，－2)的连线的最小值是________． 解析：∵点Q 到直线的距离即为P ，Q 两点连线的最小值， ∴|P Q |min ＝|3×2＋4×(－2)－3|32＋42＝1. 答案：13．若直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________． 解析：法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意． 故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 法二：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)． ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 答案：x ＋3y －5＝0或x ＝－1[由题悟法]处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而使计算简便．[即时应用]1．已知P 是直线2x －3y ＋6＝0上一点，O 为坐标原点，且点A 的坐标为(－1,1)，若|PO |＝|PA |，则P点的坐标为________．解析：法一：设P (a ，b )，则⎩⎨⎧2a －3b ＋6＝0，a 2＋b 2＝(a ＋1)2＋(b －1)2，解得a ＝3，b ＝4.∴P 点的坐标为(3,4)． 法二：线段OA 的中垂线方程为x －y ＋1＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＋6＝0，x －y ＋1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，则P 点的坐标为(3,4)．答案：(3,4)2．已知直线l ：ax ＋y －1＝0和点A (1,2)，B (3,6)．若点A ，B 到直线l 的距离相等，则实数a 的值为________． 解析：法一：要使点A ，B 到直线l 的距离相等， 则AB ∥l ，或A ，B 的中点(2,4)在直线l 上． 所以－a ＝6－23－1＝2或2a ＋4－1＝0， 解得a ＝－2或－32.法二：要使点A ，B 到直线l 的距离相等， 则|a ＋1|a 2＋1＝|3a ＋5|a 2＋1，解得a ＝－2或－32.答案：－2或－32考点三 对称问题(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型． 常见的命题角度有： (1)点关于点对称； (2)点关于线对称； (3)线关于线对称．[题点全练]角度一：点关于点对称1．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________．解析：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，把B 点坐标代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以由两点式得直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 答案：x ＋4y －4＝02．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程为________．解析：法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4，3)， 则M ，N 关于点A 的对称点M ′，N ′均在直线l ′上．易知M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.法二：设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )， ∵P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0. 答案：2x －3y －9＝0 角度二：点关于线对称3．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程．解：(1)设A ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 角度三：线关于线对称4．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是( ) A ．x －2y ＋3＝0 B ．x －2y －3＝0 C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A 设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－(y －y 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0， 即x －2y ＋3＝0.[通法在握]1．中心对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)． (2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[演练冲关]1．已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)解析：选C 设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线的方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0.同理可得点B (3,1)关于直线y ＝2x 的对称点为(－1,3)，∴AC 所在直线的方程为y －2＝3－2－1－(－4)(x ＋4)，即x －3y ＋10＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，可得C (2,4)． 2．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′， 所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 答案：6x －y －6＝03．已知△ABC 中，顶点A (4,5)，点B 在直线l ：2x －y ＋2＝0上，点C 在x 轴上，求△ABC 周长的最小值．解：设点A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0的对称点为A1(x 1，y 1)，点A 关于x 轴的对称点为A 2(x 2，y 2)，连接A 1A 2交l 于点B ，交x 轴于点C ，则此时△ABC 的周长取最小值，且最小值为||A 1A 2.∵A 1与A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0对称， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1－5x 1－4×2＝－1，2×x 1＋42－y 1＋52＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝7.∴A 1(0,7)．易求得A 2(4，－5)，∴△ABC 周长的最小值为||A 1A 2＝(4－0)2＋(－5－7)2＝410.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·浙江名校协作体联考)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a (a －2)＝3×1，a ×1≠3×1，解得a ＝－1，故选C.2．(2018·丽水调研)已知直线l 1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2,0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )A ．(3，3)B ．(2，3)C ．(1，3)D.⎝⎛⎭⎫1，32 解析：选C 直线l 1的斜率为k 1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x －2)．两式联立，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3)．3．(2018·诸暨期初)已知点A (7，－4)关于直线l 的对称点为B (－5,6)，则该对称直线l 的方程为( ) A ．6x ＋5y －1＝0 B ．5x ＋6y ＋1＝0 C ．5x －6y －1＝0D ．6x －5y －1＝0解析：选D 由题可得，直线l 是线段AB 的垂直平分线．因为A (7，－4)，B (－5,6)，所以k AB ＝6＋4－5－7＝－56，所以k l ＝65.又因为A (7，－4)，B (－5,6)的中点坐标为(1,1)．所以直线l 的方程为y －1＝65(x －1)，即6x －5y －1＝0.4．已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．解析：由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.因为|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．答案：[0,10]5．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________．解析：依题意知，63＝a －2≠c －1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0，又两平行直线之间的距离为21313， 所以⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋(－2)2＝21313，解得c ＝2或－6.答案：2或－6二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·舟山调研)在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|M Q |2的值为( )A.102B.10C ．5D ．10解析：选D 由题意知P (0,1)，Q (－3,0)，∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直， ∴M 位于以P Q 为直径的圆上， ∵|P Q |＝9＋1＝10， ∴|MP |2＋|M Q |2＝|P Q |2＝10.2．(2018·慈溪模拟)曲线y ＝2x －x 3在x ＝－1处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( ) A.722B.922C.1122D.91010解析：选A 由题可得，切点坐标为(－1，－1)．y ′＝2－3x 2，由导数的几何意义可知，该切线的斜率为k ＝2－3＝－1，所以切线的方程为x ＋y ＋2＝0.所以点P (3,2)到直线l 的距离为d ＝|3＋2＋2|12＋12＝722.3．(2018·绵阳模拟)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|P Q |的最小值为( )A.95 B.185 C.2910D.295解析：选C 因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|P Q |的最小值为这两条平行直线间的距离， 即|－24－5|62＋82＝2910， 所以|P Q |的最小值为2910.4．(2018·厦门模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n 等于( )A.345B.365C.283D.323解析：选A 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.5．(2018·钦州期中)已知直线l 的方程为f (x ，y )＝0，P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)分别为直线l 上和l 外的点，则方程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示( )A ．过点P 1且与l 垂直的直线B ．与l 重合的直线C ．过点P 2且与l 平行的直线D ．不过点P 2，但与l 平行的直线解析：选C 由直线l 的方程为f (x ，y )＝0，知方程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示与l 平行的直线，P 1(x 1，y 1)为直线l 上的点，则f (x 1，y 1)＝0，f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0化为f (x ，y )－f (x 2，y 2)＝0，显然P 2(x 2，y 2)满足方程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0，所以f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示过点P 2且与l 平行的直线．故选C.6．已知三角形的一个顶点A (4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l 1：x －y －1＝0和l 2：x －1＝0，则BC 边所在直线的方程为________________．解析：A 不在这两条角平分线上，因此l 1，l 2是另两个角的角平分线．点A 关于直线l 1的对称点A 1，点A 关于直线l 2的对称点A 2均在边BC 所在直线l 上．设A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，所以A 1(0,3)．同理设A 2(x 2，y 2)，易求得A 2(－2，－1)． 所以BC 边所在直线方程为2x －y ＋3＝0. 答案：2x －y ＋3＝07．(2018·余姚检测)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________． 解析：显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2，∴k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 答案：2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝08.如图所示，已知两点A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程为________．解析：易得AB 所在的直线方程为x ＋y ＝4，由于点P 关于直线AB 对称的点为A 1(4,2)，点P 关于y 轴对称的点为A 2(－2,0)，则光线所经过的路程即A 1与A 2两点间的距离．于是|A 1A 2|＝(4＋2)2＋(2－0)2＝210.答案：2109．(2018·绍兴一中检测)两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q (2，－1)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是________．解析：∵l 1∥l 2，且P ∈l 1，Q ∈l 2，∴l 1，l 2间的最大距离为|P Q |＝[2－(－1)]2＋(－1－3)2＝5，又l 1与l 2不重合，∴l 1，l 2之间距离的取值范围是(0,5]．答案：(0,5]10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)， ∴l AC 的方程为2x ＋y －11＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得C (4,3)．设B (x 0，y 0)，则AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫x 0＋52，y 0＋12， 代入2x －y －5＝0， 得2x 0－y 0－1＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，得B (－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知线段AB 的两个端点A (0，－3)，B (3,0)，且直线y ＝2λx ＋λ＋2与线段AB 总相交，则实数λ的。

第八章 解析几何(自我评估、考场亮剑，收获成功后进入下一章学习！)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2009·天津河西期末)点P (－2,1)到直线2x ＋y ＝5的距离为 ( ) A.255 B.855 C.25 D.85解析：点P 到直线的距离d ＝|－2×2＋1－5|22＋1＝855.答案：B2．(2010·苏州模拟)若ab <0，则过点P ⎝⎛⎭⎫0，－1b 与Q ⎝⎛⎭⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是 ( ) A.⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎝⎛⎭⎫－π，－π2 D.⎝⎛⎭⎫－π2，0 解析：k PQ ＝1b 1a ＝a b ，∵ab <0，∴ab <0，即k <0，∴直线PQ 的倾斜角的取值范围是⎝⎛⎭⎫π2，π. 答案：B3．若双曲线x 2a 2－y 2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为 ( )A.255B.32C.233 D ．2解析：由题意知a 2＋1＝4，∴a ＝3，∴e ＝c a ＝23＝233.答案：C4．(2010·厦门质检)直角坐标平面内过点P (2,1)且与圆x 2＋y 2＝4相切的直线 ( ) A ．有两条 B ．有且仅有一条 C ．不存在 D ．不能确定解析：∵22＋12>4，∴点P 在圆外，故过点P 与圆相切的直线有两条．答案：A5．直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2所得的直线方程是 ( )A ．－x ＋2y －4＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．－x ＋2y ＋4＝0D ．x ＋2y ＋4＝0解析：由题意知，两直线垂直，且已知直线过点(0，－2)，所求直线斜率为－12，∴所求直线方程为y ＋2＝－12x ，即x ＋2y ＋4＝0.答案：D6．(2010·广州调研)已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA＝AP，则点P 的轨迹方程为 ( )A ．y ＝－2xB ．y ＝2xC ．y ＝2x －8D ．y ＝2x ＋4解析：设点P (x ，y )，R (x 1，y 1)，∵AP ＝RA，∴(1－x 1，－y 1)＝(x －1，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 1＝x －1，－y 1＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x ，y 1＝－y .又点R 在直线l 上，∴－y ＝2(2－x )－4， 即2x －y ＝0为所求． 答案：B7．过点(0,1)的直线与x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则|AB |的最小值为 ( ) A ．2 B ．23 C ．3 D ．2 5 解析：当过点(0,1)的直线与直径垂直且(0,1)为垂足时，|AB |最小值为2 3. 答案：B8．如右图，F 1和F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆 与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形， 则双曲线的离心率为( )A. 3B. 5C.52D ．1＋ 3 解析：连结AF1，则∠F 1AF 2＝90°，∠AF 2B ＝60°， ∴|AF 1|＝12|F 1F 2|＝c ，|AF 2|＝32|F 1F 2|＝3c ，∴3c －c ＝2a ，∴e ＝c a ＝23－1＝1＋ 3.答案：D9．(2009·海淀模拟)若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( )A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2) 解析：直线l 1恒过定点(4,0)，点(4,0)关于点(2,1)对称的点为(0,2)，由题意知l 2恒过点(0,2)． 答案：B10．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过等轴双曲线x 2－y 2＝1的左焦点，则p ＝( ) A.22B.2 C ．2 2 D ．4 2 解析：双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为(－2，0)，故抛物线的准线为x ＝－2，∴p2＝2，p ＝2 2. 答案：C11．若直线ax ＋by ＋1＝0(a 、b >0)过圆x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0的圆心，则1a ＋4b 的最小值为 ( ) A ．8 B ．12 C ．16 D ．20解析：由题意知，圆心坐标为(－4，－1)，由于直线过圆心，所以4a ＋b ＝1，从而1a ＋4b ＝(1a ＋4b )(4a ＋b )＝8＋b a ＋16ab ≥8＋2×4＝16(当且仅当b ＝4a 时取“＝”)． 答案：C12．(2010·诸城模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的 直线l 交抛物线于点A 、B (如图所示)，交其准线于点C ， 若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为 ( ) A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x解析：点F 到抛物线准线的距离为p ，又由|BC |＝2|BF |得点 B 到准线的距离为|BF |，则|BF ||BC |＝12，∴l 与准线夹角为30°，则直线l 的倾斜角为60°.由|AF |＝3，如图连结AH ⊥HC ， EF ⊥AH ，则AE ＝3－p ， 则cos60°＝3－p 3，故p ＝32.∴抛物线方程为y 2＝3x . 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上) 13．(2009·杭州模拟)直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于________．解析：直线过点(2,0)和(0,1)，即为椭圆的一个焦点和一个顶点，又a >b >0，∴焦点在x 轴上，∴c ＝2，b ＝1，a ＝22＋12＝5，∴e ＝255.答案：25514．设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线x ·sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y ·sin B ＋sin C ＝0的位置关系是________． 解析：在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴a sin B －b sin A ＝0， ∴两直线垂直． 答案：垂直15．(2009·全国卷Ⅱ)已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析：依题意过A (1,2)作圆x 2＋y 2＝5的切线方程为x ＋2y ＝5，在x 轴上的截距为5，在y 轴上的截距为52，切线与坐标轴围成的面积S ＝12·52·5＝254.答案：25416．(2009·湖南高考)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．解析：∵∠AOB ＝120°，∴∠AOF ＝60°. 在Rt △OAF 中，|OA |＝a ，|OF |＝c ， ∴e ＝c a ＝|OF ||OA |＝1cos60°＝2.答案：2三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线x ＋y －7＝0及x ＋y －5＝0上，求AB 中点M 到原点距离的最小值． 解：设AB 中点为(x 0，y 0)， ∴⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y22.又∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1－7＝0，x 2＋y 2－5＝0，∴(x 1＋x 2)＋(y 1＋y 2)＝12， ∴2x 0＋2y 0＝12， ∴x 0＋y 0＝6.∴原点到x 0＋y 0＝6距离为所求，即d ＝62＝3 2. 18．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切． (1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交点A 、B 两点，圆内的动点P 使|P A |、|PO |、|PB |成等比数列，求PA ·PB的取值范围．解：(1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝41＋3＝2.得圆O 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)不妨设A (x 1,0)，B (x 2,0)，x 1＜x 2. 由x 2＝4即得A (－2,0)，B (2,0)．设P (x ，y )，由|P A |、|PO |、|PB |成等比数列，得 (x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2， 即x 2－y 2＝2.PA ·PB ＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＜4，x 2－y 2＝2.由此得y 2＜1.所以PA ·PB的取值范围为[－2,0)． 19．(本小题满分12分)已知点(x ，y )在曲线C 上，将此点的纵坐标变为原来的2倍，对应的横坐标不变，得到的点满足方程x 2＋y 2＝8；定点M (2,1)，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m (m ≠0)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两个不同点． (1)求曲线C 的方程；(2)求m 的取值范围．解：(1)在曲线C 上任取一个动点P (x ，y )， 则点(x,2y )在圆x 2＋y 2＝8上． 所以有x 2＋(2y )2＝8.整理得曲线C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m ， 又k OM ＝12，∴直线l 的方程为y ＝12x ＋m .由⎩⎨⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y22＝1.得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点， ∴Δ＝(2m )2－4(2m 2－4)>0， 解得－2<m <2且m ≠0.∴m 的取值范围是－2<m <0或0<m <2.20．(本小题满分12分)(2010·诸城模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心C . (1)求椭圆的方程；(2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程． 解：(1)圆C 的方程化为：(x －2)2＋(y ＋2)2＝6. 圆心C (2，－2)，半径r ＝ 6. 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．则⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝11－(b a )2＝(22)2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8b 2＝4， 所以所求椭圆的方程是x 28＋y 24＝1.(2)由(1)得椭圆的左右焦点分别是F 1(－2,0)，F 2(2,0)， |F 2C |＝(2－2)2＋(0＋2)2＝2<r ＝6， F 2在圆C 内，故过F 2没有圆C 的切线， 设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.点C (2，－2)到直线l 的距离为d ＝|2k ＋2＋2k |1＋k 2，由d ＝6，即|2k ＋2＋2k |1＋k 2＝6，化简得5k 2＋42k －2＝0， 解得k ＝25或k ＝－2， 故l 的方程为2x －5y ＋22＝0或2x ＋y ＋22＝0.21．(本小题满分12分)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (0,2)，离心率e ＝63.(1)求椭圆的方程；(2)直线l ：y ＝kx －2(k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N ，且满足MP ＝PN，AP ·MN ＝0，求直线l 的方程．解：(1)设c ＝a 2－b 2，依题意 得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝63，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，6a 2＝9a 2－9b 2， ∴a 2＝3b 2＝12，即椭圆方程为x 212＋y 24＝1.(2)∵MP ＝PN ，AP ·AP＝0，∴AP ⊥MN ， 且点P 是线段MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 212＋y 24＝1，消去y 得x 2＋3(kx －2)2＝12， 即(1＋3k 2)x 2－12kx ＝0，(*)由k ≠0，得方程(*)中Δ＝(－12k )2＝144k 2>0，显然方程(*)有两个不相等的实数根． 设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，线段MN 的中点P (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝12k 1＋3k 2，∴x 0＝x 1＋x 22＝6k1＋3k 2. ∴y 0＝kx 0－2＝6k 2－2(1＋3k 2)1＋3k 2＝－21＋3k 2， 即P ⎝⎛⎭⎪⎫6k 1＋3k 2，－21＋3k 2. ∵k ≠0，∴直线AP 的斜率为k 1＝－21＋3k 2－26k 1＋3k 2＝－2－2(1＋3k 2)6k .由MN ⊥AP ，得－2－2(1＋3k 2)6k ·k ＝－1，∴2＋2＋6k 2＝6，解得k ＝±33，故直线方程为y ＝±33x －2.22．(本小题满分14分)抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线x ＋y －1＝0与抛物线相交于A 、B 两点，且|AB |＝8611. (1)求抛物线的方程；(2)在x 轴上是否存在一点C ，使△ABC 为正三角形？若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设所求抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＋y －1＝0，消去y ，得x 2－2(1＋p )x ＋1＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2(1＋p )，x 1·x 2＝1. ∵|AB |＝8611， ∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝8611，∴121p 2＋242p －48＝0. ∴p ＝211或－2411(舍)．∴抛物线的方程为y 2＝411x .(2)设AB 的中点为D ，则D (1311，－211)．假设x 轴上存在满足条件的点C (x 0,0)， ∵△ABC 为正三角形，∴CD ⊥AB ，∴k CD ＝1， ∴x 0＝1511.∴C (1511，0)，∴|CD |＝2211.又∵|CD|＝32|AB|＝12211，故矛盾，∴x轴上不存在点C，使△ABC为正三角形．。

第八模块解析几何综合检测(时间120分钟,满分150分)一､选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2011²辽宁省建昌高三上学期第三次月考)已知M={(x,y)|x2+y2=1,0≤x≤1},N={(x,y)|y=x+b,b∈R},并且M∩N≠∅,那么b的取值范围是( )D.[解析:集合M是圆x2+y2=1的右半个圆(包含端点)上的点,集合N是直线y=x+b上的点, ∵M∩N≠∅,∴直线y=x+b与半圆x2+y2=1(0≤x≤1)有公共点,由图可知b∈[答案:A2.(2011²辽宁建昌高三上学期第三次月考)经过点M(2,-1)作圆x2+y2=5的切线,则切线的方程为( )C.2x-y-5=0D.2x+y+5=0解析:过圆x2+y2=r2上一点(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2,∵点M(2,-1)在圆x2+y2=5上,∴所求切线方程为2x-y-5=0.答案:C3.(2011²浙江省温州市高三八校联考)“a=2”是“直线(a2-a)x+y=0和直线2x+y+1=0互相平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当a=2时,两条直线分别为2x+y=0和2x+y+1=0,显然两条直线平行.若两条直线平行,a2-a=2,则a=2或a=-1.所以,a=2是上述两直线平行的充分不必要条件.答案:A4.(2011²安徽省皖南八校高三摸底联考)若动点P到定点F(1,-1)的距离与到直线l:x-1=0的距离相等,则动点P的轨迹是( )A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.直线解析:因为定点F(1,-1)在直线l:x-1=0上,所以轨迹为过F(1,-1)与直线l垂直的一条直线.答案:D5.(2011²辽宁省铁岭六校高三上学期第二次联考)椭圆x2+my2=1的离心率为2,则m的值为( )A.2或12B.2C.14或4 D.14解析:若椭圆的焦点在x轴上,则a2=1,b2=1m,∴c2=1-1m,∴e 2=221314c a m =-=,∴114m =,∴m=4.若椭圆的焦点在y 轴上,则a 2=1m,b 2=1, ∴c 2=1m-1, ∴e 2=22113114c m m a m-==-=,∴m=14.答案:C6.(2011²浙江省苍南县钱高､灵溪二高高三上学期第一次联考)过抛物线y 2=4x 的焦点F 作相互垂直的两条弦AB 和CD,则|AB|+|CD|的最小值是( )B.8C.16D.7解析:由抛物线y 2=4x 得p=2,F(1,0).设AB:y=k(x-1),则CD:y=-1k(x-1)(k≠0), A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由2(1),4,y k x Y x =-⎧⎨=⎩ ∴k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0,∴x 1+x 2=2224k k +,∴|AB|=x 1+x 2+p=2224k k++2. 同理|CD|=4k 2+4.|AB|+|CD|=2224kk++4k2+6=24k+4k2+8≥16.当且仅当k=±1时等号成立. ∴|AB|+|CD|的最小值为16. 答案:C7.(2011²湖北省武汉中学高三12月月考)若抛物线y2=12px的焦点与椭圆2262x y+=1的右焦点重合,则p的值为( )A.116B.18C.-4D.4解析:椭圆2262x y+=1的右焦点为(2,0),∴18p=2,∴16p=1,∴p=116.答案:A8.(2011²安微省皖南八校高三摸底联考)双曲线2222x ya b-=1(a>0,b>0)中,F为右焦点,A为左顶点,点B(0,b)且AB⊥BF,则此双曲线的离心率为( )解析:∵AB⊥BF,∴b2=ac,即c2-a2=ac,故e 2-e-1=0且e>1,所以e=12. 答案:D9.(2010²东北三省四市高三第一次联考)已知F 1､F 2为椭圆2222x y a b+=1(a>b>0)的左右焦点,过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A,B 两点,若△ABF 2为正三角形,则该椭圆的离心率为( )A.12解析:2b a=2c,22=0.解得e=3c a =. 答案:D10.(2011²浙江省高三调研测试数学试题)设F 是抛物线C 1:y 2=2px(p>0)的焦点,点A 是抛物线与双曲线C 2:2222x y a b- =1(a>0,b>0)的一条渐近线的一个公共点,且AF⊥x 轴,则双曲线的离心率为( )A.2解析:由题意可知,F ,0,,,22p p A p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵A 在双曲线的渐近线y=b a x 上,∴p=ba³2p,∴ba=2,∴e2=1+2 2 b a答案:D二､填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上. 11.(2011²浙江省温州市高三八校联考)椭圆4x2+y2=16的焦点坐标是________.解析:椭圆方程可化为22164y x+=1,其焦点在y轴上,∵a2=16,b2=4,∴c2=16-答案:12.(2011²安徽省皖南八校高三第一次联考)过点(4,0),且倾斜角为150°的直线被圆x2+y2-4x=0截得的弦长为________.解析:圆x2+y2-4x=0的圆心为(2,0),半径为2,点(4,0)在圆上,所以直线被圆截得的弦长为答案:13.(2011²安徽省合肥市高校附中高三联考)已知中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的方程为y=12x,则此双曲线的离心率为________.解析:e2=1+2215144 ba=+=答案:214.(2011²辽宁省建昌高三上学期第三次月考)已知双曲线2222x y a b-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是它的一个焦点在抛物线y 2=24x 的准线上,则双曲线的方程为________.解析:抛物线y 2=24x 的准线方程为x=-6, 所以双曲线的一个焦点为(-6,0),所以c=6, 由于双曲线的渐近线为所以ba=,由2226c b C a b a =⎧⎪⎨=+=⎪⎩a 2=9,b 2=27, ∴双曲线方程为221.927x y -= 答案:221927x y -= 15.(2011²安徽省皖南八校高三摸底联考)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F,过抛物线在第一象限部分上一点P 的切线为l,过P 点作平行于x 轴的直线m,过焦点F 作平行于l 的直线交m 于M,若|PM|=4,则点P 的坐标为________.解析:设P(x0,y0k=y′|x=x0l方程为= (x-x0),与x轴交点A的坐标为(-x0,0),所以|AF|=|PM|=x0+1,故答案三､解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.16.(2010²天津市武清区杨村四中高三月考)已知圆C:x2+y2-4x-6y+12=0的圆心在点C,点A(3,5).(1)求过点A的圆的切线方程;(2)O点是坐标原点,连接OA,OC,求△AOC的面积S.解:(1)圆C的圆心为(2,3),半径为1,1=>,故点A(3,5)在圆C外.当过A点的切线方程斜率存在时,设切线方程为y-5=k(x-3),即kx-y-3k+5=0.1==,解得k=34.故所求直线方程为3x-4y+11=0.当过点A的直线斜率不存在时,设直线方程为x=3,满足圆心(2,3)到直线x=3的距离等于半径1,故x=3也是圆C的切线方程.综上所述,圆C过点A的切线方程为3x-4y+11=0或x=3.(2)直线OA的方程为5x-3y=0,圆心C到直线OA的距离为==∴S△AOC=12•|OA|•d=11.22=17.(2010²北京昌平区高三质量抽测)已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切,过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M､N两点,Q是MN的中点,直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程;(2)当MN=时,求直线l的方程.解:(1)设圆A的半径为R,由于圆A与直线l1:x+2y+7=0相切,=∴圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.(2)①当直线l与x轴垂直时,易知x=-2符合题意,②当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0,连接AQ,则AQ⊥MN.∵|MN|=则由1=,得34k=,∴直线l:3x-4y+6=0.故直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.18.(2011²浙江省温州市高三八校联考)过点M(4,2)作x轴的平行线被抛物线C:x2=2py(p>0)截得的弦长为(1)求p的值:(2)过点M作直线交抛物线C于A,B两点,过A,B分别作抛物线C的切线l1,l2,记l1,l2的交点为N,当S△ABN=时,求点N的坐标.解:(1)由已知得点(在抛物线x2=2py上,代入得8=4p,故p=2.(2)易知直线AB 的斜率一定存在,设为k,则AB:y-2=k(x-4),联立抛物线x 2=4y,消元,整理得:x 2-4kx+16k-8=0,设A 221212,,,44x x x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则x 1+x 2=4k,x 1x 2=16k-8.|x 1-x 2|=又y=14x 2求导得y′=2x ,故抛物线在A,B 两点处的切线斜率分别为12,22x x , 故在A,B 点处的切线方程分别为l 1:y=21124x x x -和l 2:y=22224x x x -, 于是,l 1与l 2的交点坐标为1212,24x x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭, 即N(2k,4k-2)点N 到直线AB 的距离2故S △NAB =1||2AB d =∙.故==得k=-1或5,故点N 的坐标为(-2,-6)或(10,18).19.(2011²安徽省皖南八校高三摸底联考)已知圆C:(x-4)2+(y-m)2=16(m∈N),直线4x-3y-16=0过椭圆E:2222x y a b+ =1(a>b>0)的右焦点,且交圆C 所得的弦长为325,点A(3,1)在椭圆E 上.(1)求m 的值及椭圆E 的方程;(2)设Q 为椭圆E 上的一个动点,求AC AQ ∙ 的取值范围.解:(1)因为直线4x-3y-16=0交圆C 所得的弦长为325, 所以圆心C(4,m)到直线4x-3y-16=0125=, 即|44316|1255m ⨯-⨯-=, ∴m=4或m=-4(舍去).又因为直线4x-3y-16=0过椭圆E 的右焦点,所以右焦点坐标为F 2(4,0),则左焦点F 1的坐标为(-4,0),又椭圆E 过A 点,因为|AF 1|+|AF 2|=2a,所以a ==2=18,b 2=2, 故椭圆E 的方程为:22182x y + =1. (2)解法一:AC =(1,3),设Q(x,y),则AQ =(x-3,y-1).设x+3y=n,则由2211823x y x y n ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,消x 得18y 2-6ny+n 2-18=0,由于直线x+3y=n 与椭圆E 有公共点,所以Δ=(6n)2-4³18³(n 2-18)≥0,所以-6≤n≤6, 故AC AQ ∙ =x+3y-6的取值范围为[-12,0].解法二:AC =(1,3),设Q(x,y),则(3,1),AQ x y AC AQ =--∙ =(x-3)+3(y-1)=x+3y-6.∵x 2+(3y)2≥2|x|²|3y|,而22182x y +=1, 即x 2+(3y)2=18,∴-18≤6xy≤18.∴(x+3y)2=x 2+(3y)2+6xy=18+6xy 的取值范围是[0,36],即x+3y 的取值范围是[-6,6]. ∴AC AQ ∙ =x+3y-6的取值范围是[-12,0].20.(2011²安徽省合肥市高校附中高三联考)已知离心率为2的椭圆C 1:2222x y a b + =1(a>b>0)的左右焦点分别为F 1､F 2,椭圆C 1与抛物线C 2:y 2=-x 的交点的横坐标为-2.(1)求椭圆的标准方程;(2)如果直线l:y=kx+m 与椭圆相交于P 1､P 2两点,设直线P 1F 1与P 2F 1的倾斜角分别为α,β,当α+β=π时,求证:直线l 必过定点. 解:(1)由于e 2=222222111,22c b b a a a =-==,a 2=2b 2. 又因为该椭圆与抛物线y 2=-x 的交点的横坐标为-2, 所以y 2=2,代入2222(2)241,2b b b -+==1,b 2=4,∴a 2=8, 所以椭圆方程为2284x y +=1. (2)证明:联立2284x y +=1与y=kx+m 得到 (2k 2+1)x 2+4mkx+2m 2-8=0, x 1+x 2=-2421mk k +,x 1x 2=222821m k -+. 设直线P 1F 1与P 2F 1的倾斜角分别为α,β,当α+β=π时,若设11211P F 2P F k k ,k k ==,k 1=tan α,k 2=tan β=tan(π-α)=-tan α=-k 1,∴k 1+k 2=0.k 1=111122y kx m x x +=++,k 2=222222y kx m x x +=++, k 1+k 2=121222kx m kx m x x +++++ =122112()(2)()(2)(2)(2)kx m x kx m x x x +++++++ =1212122(2)()4(2)(2)kx x k m x x m x x ++++++ =222122(28)(2)(4)4(21)(2)(2)(21)k m k m mk m k x x k -++-+++++=2121640(2)(2)(21)k m x x k -+=+++, 所以m=4k,直线方程为y=kx+4k=k(x+4),故直线过定点(-4,0).21.(2011²安徽省皖南八校高三第一次联考)已知椭圆E 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,离心率为12,且椭圆E 上一点到两个焦点距离之和为4;l 1、l 2是过点P(0,2)且互相垂直的两条直线,l 1交E 于A,B 两点,l 2交E 于C,D 两点,AB,CD 的中点分别为M,N.(1)求椭圆E 的方程;(2)求l 1的斜率k 的取值范围;(3)求证直线OM 与直线ON 的斜率乘积为定值(O 为坐标原点).解:(1)设椭圆方程为2222x y a b+=1(a>b>0), 由2221224c a a A b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆方程为22143x y +=. (2)由题意知,直线l 1的斜率存在且不为零,∵l 1:y=kx+2,∴l 2:y=-1kx+2. 由221432x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 并化简整理,得(3+4k 2)x 2+16kx+4=0.根据题意,Δ=(16k)2-16(3+4k 2)>0,解得k 2>14. 同理得2114k ⎛⎫-> ⎪⎝⎭,k 2<4, ∴14<k 2<4,k∈12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭∪1,2.2⎛⎫ ⎪⎝⎭ (3)证明:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x 0,y 0), 那么x 1+x 2=21634k k -+,∴x 0=1228234x x k k +=-+, y 0=kx 0+2=2634k +,∴M 2286,3434k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭, 同理得N 22186,113434k k k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 即N 2286,,4433k k k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭ ∴k OM ²k ON =-3394416k k ∙=-, 即直线OM 与直线ON 的斜率乘积为定值-916.。

第八章平面解析几何8。

7 抛物线考向归纳考向1抛物线的准线方程及几何性质1。

已知抛物线的焦点在x轴上，其上一点P（－3,m)到焦点的距离为5,则抛物线的标准方程为（）A．y2＝8x B．y2＝－8xC．y2＝4x D．y2＝－4x【解析】依题意得，错误!－（－3)＝5,∴p＝4。

∴抛物线方程为y2＝－8x。

故选B。

【答案】B2．设抛物线C：y2＝2px(p〉0）的焦点为F,点M在C 上，｜MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0，2），则C的方程为( ）A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x【解析】由已知得抛物线的焦点F错误!，设点A(0,2），点M（x0，y0)，则错误!＝错误!，错误!＝错误!。

由已知得,AF→·错误!＝0，即y错误!－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M错误!。

由｜MF｜＝5，得错误!＝5,又p>0,解得p＝2或p＝8。

故C的方程为y2＝4x或y2＝16x.故选C.【答案】C3．(2014·湖南高考）如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a<b）,原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p〉0）经过C，F两点，则错误!＝________。

【解析】∵正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b，O为AD的中点，∴C错误!，F错误!。

又∵点C，F在抛物线y2＝2px(p〉0)上，∴错误!解得错误!＝错误!＋1.【答案】错误!＋11．抛物线几何性质的确定由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离,从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．2．求抛物线的标准方程的方法及流程（1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法,因为未知数只有p,所以只需一个条件确定p值即可．（2）流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．考向2抛物线的定义及应用●命题角度1 到焦点的距离与到准线的距离的转化1．(2014·全国卷Ⅰ）已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，｜AF｜＝错误!x0，则x0＝（)A．4 B．2C．1 D．8【解析】如图，F错误!,过A作AA′⊥准线l,∴｜AF｜＝｜AA′|，∴54x0＝x0＋错误!＝x0＋错误!,∴x0＝1.【答案】C●命题角度2 到焦点与定点距离之和最小问题2．已知抛物线的方程为x2＝8y,F是焦点，点A（－2,4）,在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|PA|的值最小．【解】∵（－2）2〈8×4，∴点A（－2，4）在抛物线x2＝8y的内部．如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q,过点A作AB⊥l于点B，连接AQ。

质量检测(五)测试内容：解析几何 (时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x ＋2ay －5＝0与直线ax ＋4y ＋2＝0平行，则a 的值为( ) A ．2 B ．±2 C. 2D ．±2解析：∵a ≠0，∴－a 4＝－12a ⇒a ＝±2，选D. 答案：D2．与直线3x －2y ＋7＝0关于y 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋2y ＋7＝0 B ．3x ＋2y －7＝0 C ．－3x ＋2y －7＝0D ．－3x ＋2y ＋7＝0解析：由题知，与直线3x －2y ＋7＝0关于y 轴对称的直线方程是3(－x )－2y ＋7＝0，即3x ＋2y －7＝0，故选B.答案：B3．(2014·吉林省质量监测)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率是2，则渐近线方程为( )A ．3x ±y ＝0B ．x ±3y ＝0C ．x ±3y ＝0D.3x ±y ＝0解析：据已知得e ＝c a ＝ 1＋b a 2＝2，解得ba ＝3，焦点在x 轴上，故其渐近线方程为y ＝±3x .答案：D4．(2015·天津五区县期末)抛物线y 2＝8x 的焦点到双曲线x 212－y24＝1的渐近线的距离为( )A ．1 B. 3 C.33D.36解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，双曲线的渐近线为y ＝±33x ，即x ±3y ＝0，则d ＝22＝1.答案：A5．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离为1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6)C ．(4,6]D ．[4,6]解析：已知圆的圆心为(3，－5)，圆心到直线的距离为5，由数形结合，易得r 的取值范围是(4,6)．答案：A6．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)实轴的两个端点和抛物线x 2＝－4by 的焦点连成一个等边三角形，则此双曲线的离心率为( )A.233 B. 3 C ．2 D ．2 3解析：如图，假设双曲线顶点分别为A ，B ，抛物线焦点为F ，因为△ABF 是正三角形，所以△OBF 为直角三角形，且∠BFO ＝30°，故b ＝3a ，又a 2＋b 2＝c 2，e ＝ca ，可得e ＝2.答案：C7．(2015·东北三校一联)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)，以原点为圆心，c 为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为A ，若此圆在A 点处的切线的斜率为33，则双曲线C 的离心率为( )A.3＋1B. 6 C ．2 3 D. 2解析：设切点A 为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝c 2，y 0x 0＝－3⇒x 20＝c 24，y 20＝3c 24，代入x 2a 2－y 2b 2＝1，化简，得c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0⇒c 2＝(4＋23)a 2⇒c ＝(3＋1)a ⇒c a ＝3＋1. 答案：A8．(2015·西安市高考标准化练习)已知F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左、右焦点，若直线x ＝3上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．0，12 B.22，1 C ．0，22 D.12，1解析：以椭圆的右焦点为圆心、2c 为半径的圆与直线x ＝3有公共点，即有0<3－c ≤2c ，即c ≥1，该椭圆的离心率满足12≤e .即椭圆离心率取值范围是12，1.答案：D9．(2015·洛阳统考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F (c,0)，若直线xc ＋yb ＝1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，则双曲线的离心率为( )A.3＋52 B ．3＋ 5 C.1＋52 D ．1＋ 5解析：由直线x c ＋yb ＝1与圆x 2＋y 2＝a 2相切知，圆心到直线的距离为a ，即a ＝11c 2＋1b 2，∴a 2c 2＋a 2b 2＝1，又c 2＝a 2＋b 2，∴c 4－3a 2c 2＋a 4＝0，由e ＝c a 得，e 4－3e 2＋1＝0，∴e 2＝3＋52，∴e ＝1＋52.答案：C10．(2014·河北唐山二模)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与圆C 2：x 2＋y 2＝b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是( )A.12，1B.22，32C.22，1D.32，1解析：椭圆上长轴端点向圆外引两条切线P ′A ，P ′B ，则两切线形成的角∠AP ′B 最小，若椭圆C 1上存在点P 令切线互相垂直，则只需∠AP ′B ≤90°，即α＝∠AP ′O ≤45°.∴sin α＝b a ≤sin 45°＝22，解得a 2≤2c 2， ∴e 2≥12，即e ≥22，而0<e <1， ∴22≤e <1，即e ∈22，1. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)11．已知过点P (－2,0)的双曲线C 与椭圆x 225＋y 29＝1有相同的焦点，则双曲线C 的渐近线方程是________．解析：易知椭圆的左右焦点坐标分别为(－4,0)，(4,0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，(a ，b >0)，则渐近线方程为bx ±ay ＝0，由双曲线过点P (－2,0)，注意到P 在x 轴上，可见双曲线的实轴长应为4，即a ＝2，又与椭圆有相同焦点及上面的计算知c ＝4，因此易得b ＝23，所以易得双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0.答案：3x ±y ＝012．(2015·福建漳州质量检查)过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为__________．解析：假设直线l AB ：x a ＋yb ＝1.由于圆心(0,0)到l 的距离为1，可得a 2b 2＝a 2＋b 2.又a 2b 2≤a 2＋b222，所以a 2＋b 2≥4.又因为|AB |＝a 2＋b 2≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．答案：213．已知椭圆两焦点为F 1(－4,0)、F 2(4,0)，P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积的最大值为12，则椭圆的标准方程为__________．解析：当点P 为椭圆的短轴顶点时，△PF 1F 2的面积最大，此时△PF 1F 2的面积的最大值S ＝12×8×b ＝12，所以b ＝3，所以a 2＝b 2＋c 2＝25，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.答案：x 225＋y 29＝114．已知抛物线y 2＝6x ，准线l 与x 轴交于点M ，过M 作直线交抛物线于A ，B 两点(A 在M ，B 之间)，点A 到l 的距离为2，则|AB ||MA |＝________.解析：如图，点A 到l 的距离为2，得知A 点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，直线MA 方程为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32与抛物线y 2＝6x 联立得B 点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫92，33.∴|MA |＝7，|AB |＝27，∴|AB ||MA |＝2.答案：2三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(12分)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )． (1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；(2)若a >－1，直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点，O 为坐标原点，求△OMN 面积取最小值时，直线l 对应的方程．解：(1)令x ＝0得y ＝2＋a ， 令y ＝0得x ＝2＋aa ＋1.∵2＋a ＝2＋aa ＋1，∴a ＝－2或a ＝0.∴直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0. (2)由(1)知M 2＋aa ＋1，0，N (0,2＋a )，∵a >－1，∴△OMN 的面积是S ＝12·2＋aa ＋1·(2＋a )＝12·a 2＋4a ＋4a ＋1＝12·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤(a ＋1)＋1a ＋1＋2≥2， 当且仅当a ＋1＝1a ＋1，即a ＝0时S 取得最小值．∴直线l 的方程为x ＋y －2＝0.16．(12分)如图，直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 24＋y 2＝1交于A ，B 两点，如果|AB |＝2，△AOB 的面积为S ＝1，求直线AB 的方程．解：设A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2，O 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|b |1＋k2，由|AB |＝2，S ＝1可知，d ＝1， ∴|b |＝1＋k 2，即b 2＝1＋k 2.把y ＝kx ＋b 代入x 2＋4y 2＝4并整理得：(1＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0，则x 1、x 2是该方程的两根，∴|x 1－x 2|＝Δ1＋4k 2＝44k 2－b 2＋11＋4k 2， ∴|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·4 4k 2－b 2＋11＋4k2， ∵|AB |＝2，b 2＝1＋k 2，∴2＝4 3k 2(1＋k 2)1＋4k2，整理得：4k 4－4k 2＋1＝0，∴k 2＝12，∴k ＝±22.∴b 2＝1＋k 2＝32，∴b ＝±62，∴直线AB 的方程为y ＝22x ±62或y ＝－22x ±62.17．(13分)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过点M (4,0)． (1)若点F 到直线l 的距离为3，求直线l 的斜率；(2)设A ，B 为抛物线上两点，且AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰过点M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值．解：(1)由条件知直线l 的斜率存在，设为k 0，则直线l 的方程为：y ＝k 0(x －4)，即k 0x －y －4k 0＝0.从而焦点F (1,0)到直线l 的距离为d ＝|3k 0|k 20＋1＝3，平方化简得：k 20＝12，∴k 0＝±22.(2)证明：设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，联立抛物线方程y 2＝4x ，消元得：k 2x 2＋(2kb －4)x ＋b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为P (x 0，y 0)， ∴x 0＝x 1＋x 22＝2－kb k 2，y 0＝kx 0＋b ＝2k . ∵PM ⊥AB ，∴k PM ·k AB ＝－1，∴2k2－kb k 2－4·k ＝－1，即2－kb ＝2k 2.故x 0＝2－kb k 2＝2k 2k 2＝2为定值．18．(13分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的点P 到左、右两焦点F 1，F 2的距离之和为22，离心率e ＝22.(1)求椭圆的方程；(2)过右焦点F 2且不垂直于坐标轴的直线l 交椭圆于A ，B 两点，试问：线段OF 2上是否存在一点M ，使得|MA |＝|MB |？若存在，请说明理由．解：(1)因为点P 到两焦点F 1，F 2的距离之和为22，所以2a ＝22，a ＝ 2.又已知离心率e ＝22，所以c a ＝22，c ＝1. 又b 2＝a 2－c 2，所以b ＝1. 所以所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1. (2)存在满足条件的点M .设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．由⎩⎨⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝k (x －1)得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，以及AB 的中点C (x 0，y 0)， 所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k2. 则x 0＝x 1＋x 22＝2k 21＋2k 2，y 0＝k (x 0－1)＝－k1＋2k2.再设满足条件的点M (m,0)，则0≤m ≤1. 所以CM ⊥AB ，即k CM k AB ＝－1.又k CM ＝－k 1＋2k 22k 21＋2k 2－m ，所以－k 1＋2k 22k 21＋2k 2－m ×k ＝－1. 从而m ＝k 21＋2k 2＝12＋1k 2. 因为k 2>0，可得0<m <12，满足0≤m ≤1，故存在满足条件的点M .。