高考数学统考一轮复习 第八章 平面解析几何 第八节 第1课时 最值、范围、证明问题(教师文档)教案

因为 x02＋y420＝1(x0<0)，
所以 y02－4x0＝－4x20－4x0＋4∈[4,5]．因此，△PAB 面积的
取值范围是 62，15410 .考点二 范围问题
【例 2】 (2020·石家庄市模拟)已知抛物线 C：y2＝2px(p>0) 上一点 P(x0,2)到焦点 F 的距离|PF|＝2x0.
这样的直线有( C )
A．1 条 B．2 条
C．3 条 D．4 条
(2)(2020·浙江八校联考)抛物线 y＝ax2 与直线 y＝kx＋b(k≠0)
交于 A，B 两点，且这两点的横坐标分别为 x1，x2，直线与 x 轴
交点的横坐标是 x3，则( B )
A．x3＝x1＋x2
B．x1x2＝x1x3＋x2x3
解：(1)证明：设 P(x0，y0)，A14y21，y1，B14y22，y2. 因为 PA，PB 的中点在抛物线上， 所以 y1，y2 为方程y＋2 y02＝4·14y22＋x0 即 y2－2y0y＋8x0－y20＝0 的两个不同的实根． 所以 y1＋y2＝2y0，因此，PM 垂直于 y 轴．
(2)由(1)可知yy11＋y2＝y2＝8x02－y0，y20， 所以|PM|＝18(y21＋y22)－x0＝34y02－3x0， |y1－y2|＝2 2y20－4x0. 因此，△PAB 的面积
2．解决这类定点与定值问题的方法有两种：一是研究一般情况， 通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大， 且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值， 然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向．
1．思考辨析 判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线 l 与椭圆 C 相切的充要条件是：直线 l 与椭圆 C 只有一个

y＝kx＋m， 方程(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－4＝0 的判别式 Δ＝32k2＋16－8m2>0，
x1＋x2＝－1＋4k2mk2， 则x1x2＝21m＋2－2k42 .
(7 分)
因为 kMA·kMB＝1，所以x1y－1 2·x2y－2 2＝1， 所以(k2－1)x1x2＋(km＋2)(x1＋x2)＋m2－4＝0， 整理得(m＋2k)(m＋6k)＝0.(9 分)
[解析] 解法一：(1)依题意，A(－2,0)，B(2,0)．(1 分) 设 C(x1，y1)，则x421＋y321＝1， 直线 AC 方程为 y＝x1y＋1 2(x＋2)， 令 x＝4 得 yP＝x16＋y12，(2 分) 直线 BC 方程为 y＝x1y－1 2(x－2)， 令 x＝4 得 yQ＝x12－y12，k＝k(x－2)， 则直线 l 过定点 M(2,0)，与题意矛盾； 若 m＝－6k，则 y＝kx－6k＝k(x－6)， 则直线 l 过定点(6,0)．(10 分) 因为圆 D 的圆心为(6,0)，半径 r＝2， 所以直线 l 被圆 D 截得的弦长为 4.(12 分)
2．(2024·福建福州质检)(12 分)已知椭圆 E：x42＋y32＝1 的右焦点为 F，
左、右顶点分别为 A，B．点 C 在 E 上，P(4，yP)，Q(4，yQ)分别为直线
AC，BC 上的点． (1)求 yP·yQ 的值； (2)设直线 BP 与 E 的另一个交点为 D，求证：直线 CD 经过 F.
3．(2024·广东深圳罗湖区模拟)(12 分)已知双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0， b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，且|F1F2|＝4，若 C 上的点 M 满足||MF1| －|MF2||＝2 恒成立．

第1课时直线及其方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l倾斜角的范围是0，π)．2．直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝tan_θ.(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝y2－y1 x2－x1.3．直线方程的五种形式4．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(×)(2)过点M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.(×)(3)倾斜角越大，斜率越大．(×)(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k·(x－x0)表示．(×)(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(√)(6)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离．(×)(7)若直线在x 轴，y 轴上的截距分别为m ，n ，则方程可记为x m ＋yn ＝1.(×)(8)直线Ax ＋By ＋C ＝0表示斜率为－A B ，在y 轴上的截距为－CB 的直线．(×) (9)直线y ＝kx ＋3表示过定点(0,3)的所有直线．(×) (10)直线y ＝3x ＋b 表示斜率为3的所有直线．(√)考点一 直线的倾斜角与斜率例1] (1)若直线l PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( ) A.13B ．－13 C ．－32D.23解析：设P (x,1)，Q (7，y )，则x ＋72＝1，y ＋12＝－1，∴x ＝－5，y ＝－3，即P (－5,1)，Q (7，－3)，故直线l 的斜率k ＝－3－17＋5＝－13.答案：B(2)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0(a ∈R )的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 第八章 平面解析几何大一轮复习 数学(理)解析：由直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0， 得直线的斜率k ＝－1a 2＋1∈－1,0)，设直线的倾斜角为θ，则－1≤tan θ＜0. 因此3π4≤θ＜π.答案：B(3)已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为________．解析：如图，k P A＝1＋31－2＝－4，k PB＝1＋21＋3＝34.要使直线l与线段AB有交点，则有k≥34或k≤－4.答案：k≤－4或k≥3 4方法引航] 1.求倾斜角α的取值范围的一般步骤(1)求出斜率k＝tan α的取值范围；(2)利用正切函数的单调性，借助图象，数形结合，确定倾斜角α的取值范围．2．求斜率的常用方法(1)已知直线上两点时，由斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)来求斜率．(2)已知倾斜角α或α的三角函数值时，由k＝tan α(α≠90°)来求斜率．(3)方程为Ax＋By＋C＝0(B≠0)的直线的斜率为k＝－A B.1．若将本例(1)改为：直线y＝1，x＝7与坐标轴的交点分别为P、Q，求直线PQ 的斜率．解：由题意可知P(0,1)，Q(7,0)，∴k PQ＝1－00－7＝－17.2．若将本例(2)的直线改为(a2＋1)x＋y＋1＝0，其倾斜角的范围如何？解：因直线的斜率k＝－a2－1≤－1设直线的倾斜角为α，∴tan α≤－1，α∈(0，π)， ∴α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，34π.3．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为( ) A.3B ．－ 3 C ．0 D ．1＋ 3解析：直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的倾斜角为120°，所以直线的倾斜角为60°，tan 60°＝ 3. 答案：A考点二 求直线方程例2] 求适合下列条件的直线方程．(1)经过点A (3,4)，且在两坐标轴上截距相等的直线方程是________． 解析：设直线在x ，y 轴上的截距均为a . ①若a ＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)， ∴直线的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0. ②若a ≠0，则设所求直线的方程为x a ＋ya ＝1， 又点(3,4)在直线上， ∴3a ＋4a ＝1，∴a ＝7， ∴直线的方程为x ＋y －7＝0. 答案：4x －3y ＝0或x ＋y －7＝0(2)一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________． 解析：∵直线y ＝13x 的倾斜角α＝30°，所以所求直线的倾斜角为60°， 斜率k ＝tan 60°＝ 3. 又该直线过点A (2，－3)，故所求直线为y －(－3)＝3(x －2)， 即3x －y －33＝0. 答案：3x －y －33＝0(3)过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程为________． 解析：由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y 12－a＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. 答案：4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0(4)一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．解：设直线的斜率为k (k ≠0)， 则直线方程为y －2＝k (x ＋2)， 由x ＝0知y ＝2k ＋2. 由y ＝0知x ＝－2k －2k . 由12|2k ＋2|⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k －2k ＝1. 解得k ＝－12或k ＝－2.故直线方程为x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0. 答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0 方法引航] 求直线方程的两种方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论.(2)待定系数法，具体步骤为：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程.1．将本例(1)改为：求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．解：当直线不过原点时，设所求直线方程为x2a＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－1 2，此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.当直线过原点时，斜率k＝－2 5，直线方程为y＝－25x，即2x＋5y＝0.故所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.2．将本例(2)改为：经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．求该直线方程．解：由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－34.又直线经过点(－1，－3)，∴直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.3．将本例(4)改为：直线l 的斜率为16，且与两坐标轴围成的三角形面积为3.求l 的方程．解：设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.考点三 直线方程的应用例3] (1)已知曲线y ＝x 4－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.12解析：设切点坐标为(x 0，y 0)，且x 0＞0， ∵y ′＝12x －3x ，∴k ＝12x 0－3x 0＝－12，∴x 0＝2.答案：B(2)若ab ＞0，且A (a,0)、B (0，b )、C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________． 解析：根据A (a,0)、B (0，b )确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b ＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab ＞0，故a ＜0，b ＜0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16. 答案：16(3)为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图)，另外△EF A 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解：如图所示，建立平面直角坐标系， 则E (30,0)、F (0,20)，∴直线EF 的方程为x 30＋y20＝1(0≤x ≤30)．易知当矩形草坪的一个顶点在EF 上时，可取最大值， 在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ， PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为S ， 则S ＝|PQ |·|PR | ＝(100－m )(80－n )． 又m 30＋n20＝1(0≤m ≤30)， ∴n ＝20－23m .∴S ＝(100－m )⎝ ⎛⎭⎪⎫80－20＋23m ＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)． ∴当m ＝5时，S 有最大值，这时|EP ||PF |＝5∶1.所以当草坪矩形的两边在BC、CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分有向线段EF成5∶1时，草坪面积最大．方法引航]在求直线方程的过程中，若有以直线为载体的面积、距离的最值等问题，一般要结合函数、不等式或利用对称来加以解决.1．已知函数f(x)＝x－4ln x，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为________．解析：由f′(x)＝1－4x，则k＝f′(1)＝－3，又f(1)＝1，故切线方程为y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0.答案：3x＋y－4＝02．直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝________.解析：令x＝0，得y＝k4；令y＝0，得x＝－k3.则有k4－k3＝2，所以k＝－24.答案：－24易错警示]直线的委屈——被遗忘的特殊情况典例](2017·浙江杭州调研)已知直线l过点P(2，－1)，在x轴和y轴上的截距分别为a，b，且满足a＝3b.则直线l的方程为________．正解]①若a＝3b＝0，则直线过原点(0,0)，此时直线斜率k＝－12，直线方程为x＋2y＝0.②若a＝3b≠0，设直线方程为xa＋yb＝1，即x3b＋yb＝1.由于点P(2，－1)在直线上，所以b＝－1 3.从而直线方程为－x－3y＝1，即x＋3y＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x＋2y＝0或x＋3y＋1＝0.答案] x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0易误] 本题容易忽视直线过原点时的情况．警示] 求直线方程时，要注意斜率是否存在，注意截距是否为0；注意区分截距与距离．高考真题体验]1．(2012·高考湖北卷)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．y －1＝0 C ．x －y ＝0 D ．x ＋3y －4＝0解析：选A.两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0.2．(2016·高考北京卷)已知A (2,5)，B (4,1)．若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( ) A ．－1 B ．3 C ．7 D ．8解析：选C.依题意得k AB ＝5－12－4＝－2，∴线段l AB ：y －1＝－2(x －4)，x ∈2,4]，即y＝－2x ＋9，x ∈2,4]，故2x －y ＝2x －(－2x ＋9)＝4x －9，x ∈2,4]．设h (x )＝4x －9，易知h (x )＝4x －9在2,4]上单调递增，故当x ＝4时，h (x )max ＝4×4－9＝7.3．(2015·高考广东卷)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( )A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0解析：选A.设所求直线的方程为2x ＋y ＋c ＝0(c ≠1)，则|c |22＋12＝5，所以c ＝±5，故所求直线的方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.4．(2014·高考安徽卷)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 解析：选D.法一：设直线l 的倾斜角为θ，数形结合(图略)可知： θmin ＝0，θmax ＝2×π6＝π3.法二：因为直线l 与x 2＋y 2＝1有公共点，所以设l ：y ＋1＝k (x ＋3)，即l ：kx －y ＋3k －1＝0，则圆心(0,0)到直线l 的距离|3k －1|1＋k 2≤1，得k 2－3k ≤0，即0≤k ≤3，故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.课时规范训练 A 组 基础演练1．直线x ＋3y ＋m ＝0(m ∈k )的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150° D ．120°解析：选C.∵直线的斜率k ＝－33，∴tan α＝－33. 又0≤α＜180°，∴α＝150°.2．如图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2解析：选D.直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2，故选D.3．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1解析：选D.由题意得a ＋2＝a ＋2a ，∴a ＝－2或a ＝1.4．过点(2,1)，且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( ) A ．x ＝2 B ．y ＝1 C ．x ＝1 D ．y ＝2解析：选A.∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为34π.依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，斜率不存在，∴过点(2,1)的所求直线方程为x ＝2.5．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya ＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )解析：选A.把直线方程化为截距式l 1：x a ＋y －b ＝1，l 2：x b ＋y－a ＝1.假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合．6．已知A (3,5)，B (4,7)，C (－1，x )三点共线，则x ＝________. 解析：因为k AB ＝7－54－3＝2，k AC ＝x －5－1－3＝－x －54.A ，B ，C 三点共线，所以k AB ＝k AC 即－x －54＝2， 解得x ＝－3.答案：－37．直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点．则直线l 的倾斜角的取值范围为________． 解析：直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1.若l 的倾斜角为α，则tan α≤1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π8．已知直线l 的倾斜角α满足3sin α＝cos α，且它在x 轴上的截距为2，则直线l 的方程是________．解析：∵k l ＝tan α＝sin αcos α＝13，且过点(2,0)， ∴直线方程为y ＝13(x －2) 即x －3y －2＝0. 答案：x －3y －2＝09．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． 解：(1)当直线过原点时，在x 轴和y 轴上的截距为零． ∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0， ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.因此直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0. ∴a ≤－1.综上可知a 的取值范围是a ≤－1.10．已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解：由题意设直线方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，∴3a ＋2b ＝1. 由基本不等式知3a ＋2b ≥26ab ，即ab ≥24(当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4时等号成立)． 又S ＝12a ·b ≥12×24＝12，此时直线方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.∴△ABO 面积的最小值为12，此时直线方程为2x ＋3y －12＝0.B 组 能力突破1．直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么l 的斜率为( ) A ．－13B ．－3 C.13D ．3解析：选A.设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，由题意，平移后方程为A (x －3)＋B (y ＋1)＋C ＝0，即Ax ＋By ＋C ＋B －3A ＝0，它与直线l 重合，∴B －3A ＝0，∴－A B ＝－13，即直线l 的斜率为－13，故选A.2．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：选D.因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．3．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab ＞0，bc ＜0 B ．ab ＞0，bc ＞0 C ．ab ＜0，bc ＞0 D ．ab ＜0，bc ＜0解析：选A.由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b ＜0且－cb ＞0，故ab ＞0，bc ＜0.4．直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________． 解析：当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求； 当a ≠－1时，直线l 的斜率为－a a ＋1，只要－a a ＋1＞1或者－a a ＋1＜0即可，解得－1＜a ＜－12或者a ＜－1或者a ＞0. 综上可知，实数a 的取值范围是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)5．已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程． 解：(1)设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)． 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1b ＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·ba ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.(2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ，0，B (0,1－k )，所以|MA |2＋|MB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k 2≥2＋2k 2·1k 2＝4，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时，|MA |2＋|MB |2取得最小值4，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.第2课时 两直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2； ②当不重合的两条直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为平行． (2)两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1；②如果l 1，l 2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l 1与l 2的关系为垂直． 2．两条直线的交点设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，将这两条直线的方程联立，得方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.(1)若方程组有唯一解，则l 1与l 2相交，此解就是l 1、l 2交点的坐标； (2)若方程组无解，则l 1与l 2无交点，此时l 1∥l 2； (3)若方程组有无数组解，则l 1与l 2重合． 3．三种距离4.判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当直线l 1和l 2的斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.(×) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(×)(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.(√)(4)l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，当k 1≠k 2时，l 1与l 2相交．(√)(5)过l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )．(×) (6)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.(×) (7)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√) (8)直线l 关于点P 对称的直线l ′，则l ∥l ′.(×) (9)A 、B 两点到直线l 的距离相等，则AB ∥l .(×) (10)直线x ＋(m ＋1)y ＋2＝0恒过定点(－2,0)．(√)考点一 两条直线的平行与垂直例1] (1)设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．重合 C ．垂直 D ．相交但不垂直解析：由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b sin A －a sin B ＝0. ∴两直线垂直． 答案：C(2)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0解析：设所求直线方程为x－2y＋m＝0，由1＋m＝0得m＝－1，所以直线方程为x －2y－1＝0.答案：A(3)已知直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0，则“a ＝1”是“l1⊥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：l1⊥l2的充要条件是(a＋2)(a－1)＋(1－a)·(2a＋3)＝0，即a2－1＝0，故有(a－1)(a＋1)＝0，解得a＝±1.显然“a＝1”是“a＝±1”的充分不必要条件，故“a＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．故选A.答案：A(4)已知两直线l1：x＋y sin α－1＝0和l2：2x·sin α＋y＋1＝0，求α的值，使得：①l1∥l2；②l1⊥l2.解：①法一：当sin α＝0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.当sin α≠0时，k1＝－1sin α，k2＝－2sin α.要使l1∥l2，需－1sin α＝－2sin α，即sin α＝±2 2.所以α＝kπ±π4，k∈Z，此时两直线的斜率相等．故当α＝kπ±π4，k∈Z时，l1∥l2.法二：由A1B2－A2B1＝0，得2sin2α－1＝0，所以sin α＝±2 2.又B 1C 2－B 2C 1≠0，所以1＋sin α≠0，即sin α≠－1. 所以α＝k π±π4，k ∈Z . 故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.②因为A 1A 2＋B 1B 2＝0是l 1⊥l 2的充要条件，所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝k π，k ∈Z . 故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.方法引航] 两直线垂直时，一般先将直线方程化成一般式，l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，然后利用A 1A 2＋B 1B 2＝0求解，这样避免出现漏解.如果利用斜截式方程，则需要根据其斜率是否存在分情况讨论，往往容易忽视斜率不存在的情况，导致漏解.对l 1∥l 2，用A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2时，有可能漏解.1．将本例(1)的两直线改为：l 1：bx ＋ay ＋c ＝0，l 2：x sin B ＋y sin A －sin C ＝0，其位置关系如何？ 解：由b sin B ＝asin A ≠c－sin C ，∴l 1∥l 2.2．将本例(2)改为过点(1,0)与x －2y －2＝0垂直，其直线方程怎样． 解：∵x －2y －2＝0的斜率为12， ∴所求直线的斜率为－2，∴直线方程为y ＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0.3．将本例(3)变为“a ＝－1”是“直线ax ＋y ＋1＝0与直线x ＋ay ＋2＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件解析：选A.由直线ax ＋y ＋1＝0与直线x ＋ay ＋2＝0平行，得a ＝－1或1，所以“a ＝－1”是“直线ax ＋y ＋1＝0与直线x ＋ay ＋2＝0平行”的充分不必要条件． 4．将本例(4)变为l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1⊥l 2且l 1过点(－3，－1)，求a ，b 的值．解：法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a (a －1)－b ×1＝0－3a ＋b ＋4＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －b ＝0－b ＝－3a ＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.法二：由已知可得l 2的斜率存在，∴k 2＝1－a . 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0.又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)． ∴此种情况不存在，∴k 2≠0.即k 1，k 2都存在，∵k 2＝1－a ，k 1＝ab ，l 1⊥l 2， ∴k 1k 2＝－1，即ab (1－a )＝－1.①又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.考点二 两条直线的交点和距离例2] (1)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．解：法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1、l 2的交点坐标为(－1,2)，∵l 3的斜率为35，∴l 的斜率为－53，则直线的点斜式方程l ：y －2＝－53(x ＋1)， 即5x ＋3y －1＝0.法二：设直线l 的方程为：3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0， 将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0， 其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53，解得λ＝15，代入直线系方程即得l 的方程为5x ＋3y －1＝0.(2)求过点P (2，－1)且与原点距离为2的直线l 的方程． 解：若l 的斜率不存在，则直线x ＝2满足条件． 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0.由已知，得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(3)若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2a 的值为________．解析：由题意得，63＝a －2≠c－1，∴a ＝－4，c ≠－2.则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0. ∴21313＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋113，∴解得c ＝2或c ＝－6.∴c ＋2a ＝1或c ＋2a ＝－1. 答案：±1方法引航] (1)符合特定条件的某些直线构成一个直线系，常见的直线系有： ①与Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系：Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )； ②与Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系：Bx －Ay ＋m ＝0；③过A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0. (2)y ＝kx ＋b .①当b 为定值，k 变为参数时，表示过定点(0，b )的直线系(除x ＝0外)； ②当k 为定值，b 为参数时，表示斜率为k 的平行直线系．1．已知经过点P (2,2)的直线l 与直线ax －y ＋1＝0垂直，若点M (1,0)到直线l 的距离等于5，则a 的值是( ) A ．－12B ．1C ．2 D.12解析：选C.依题意，设直线l 的方程为x ＋ay ＋c ＝0， ∵点P (2,2)在l 上，且点M (1,0)到l 的距离等于 5. ∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋2a ＋c ＝0，|1＋c |1＋a2＝ 5.消去c ，得a ＝2.2．过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)距离为2的直线方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴l 1与l 2交点为(1,2)，设所求直线y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， ∵P (0,4)到所求直线的距离为2， ∴2＝|－2－k |1＋k 2，解得k ＝0或k ＝43.∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0. 答案：y ＝2或4x －3y ＋2＝03．l 1，l 2是分别经过点A (1,1)，B (0，－1)的两条平行直线，当l 1与l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．解析：当AB ⊥l 1时，两直线l 1与l 2间的距离最大， 由k AB ＝－1－10－1＝2，知l 1的斜率k ＝－12.∴直线l 1的方程为y －1＝－12(x －1)， 即x ＋2y －3＝0. 答案：x ＋2y －3＝0考点三 对称问题例3] (1)(2017·江西南昌二中月考)过点M (0,1)作直线，使它被两条直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0所截得的线段恰好被M 所平分，则此直线方程为________． 解析：法一：过点M 且与x 轴垂直的直线是x ＝0，它和直线l 1，l 2的交点分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103，(0,8)，显然不符合题意，故可设所求直线方程为y ＝kx ＋1，其图象与直线l 1，l 2分别交于A ，B 两点，则有①⎩⎪⎨⎪⎧ y A ＝kx A ＋1，x A －3y A ＋10＝0，②⎩⎪⎨⎪⎧y B ＝kx B ＋1，2x B ＋y B －8＝0. 由①解得x A ＝73k －1，由②解得x B ＝7k ＋2.因为点M 平分线段AB ，所以x A ＋x B ＝2x M ， 即73k －1＋7k ＋2＝0，解得k ＝－14.故所求的直线方程为y ＝－14x ＋1，即x ＋4y －4＝0. 法二：设所求直线与l 1交于A (x 1，y 1)与l 2交于B (x 2，y 2) 且x 1＋x 2＝0，∴x 2＝－x 1. y 1＋y 2＝2，y 2＝2－y 1∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－3y 1＋10＝0－2x 1＋2－y 1－8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－4y 1＝2.即A (－4,2) 故过M 和A 的方程为x ＋4y －4＝0. 答案：x ＋4y －4＝0(2)A (－1，－2)关于直线l ：2x －3y ＋1＝0的对称点A ′的坐标为________．解析：设A ′(x ，y )，再由已知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.答案：A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413(3)直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x ＋1解得直线l 1与l 的交点坐标为(－2，－1)，∴可设直线l 2的方程为y ＋1＝k (x ＋2)，即 kx －y ＋2k －1＝0.在直线l 上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l 1，l 2的距离相等，由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1，解得k ＝12(k ＝2舍去)，∴直线l 2的方程为x －2y ＝0. 答案：x －2y ＝0方法引航](1)点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .(2)解决点关于直线对称问题要把握两点，点M 与点N 关于直线l 对称，则线段MN 的中点在直线l 上，直线l 与直线MN 垂直., 3)若直线l 1、l 2关于直线l 对称，则有如下性质：①若直线l 1与l 2相交，则交点在直线l 上；②若点B 在直线l 1上，则其关于直线l 的对称点B ′在直线l 2上.(4)解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解.光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入，遇直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．解：法一：由⎩⎨⎧x －2y ＋5＝0，3x －2y ＋7＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2. ∴反射点M 的坐标为(－1,2)．又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5,0)，设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0，y 0)，由PP ′⊥l 可知，k PP ′＝－23＝y 0x 0＋5.而PP ′的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－52，y 02，Q 点在l 上，∴3·x 0－52－2·y 02＋7＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＋5＝－23，32(x 0－5)－y 0＋7＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1713，y 0＝－3213.根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0. 法二：设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，则y 0－y x 0－x＝－23， 又PP ′的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 02，y ＋y 02在l 上，∴3×x ＋x 02－2×y ＋y 02＋7＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y x 0－x ＝－23，3×x ＋x 02－(y ＋y 0)＋7＝0.可得P 点的横、纵坐标分别为x 0＝－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋2813， 代入方程x －2y ＋5＝0中，化简得29x －2y ＋33＝0，∴所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0.方法探究]有关点与直线的最值问题典例] (2017·福建泉州模拟)若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3关系探究] 一、从m 2＋n 2表示的几何意义分析，得出原点到直线的距离．二、从函数角度分析：题意隐含了m 与n 的约束关系，从而m 2＋n 2可转化为关于m (n )的函数求最值．解析] 法一：数形结合法(1)m 2＋n 2＝(m －0)2＋(n －0)2表示点(m ，n )与(0,0)距离的平方，∴m 2＋n 2表示点(m ，n )与(0,0)的距离，其最小值为原点到直线的距离．当过原点的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离的最小值为d ＝|－10|42＋32＝2，∴m 2＋n 2的最小值为4.(2)由题意知点(m ，n )为直线上到原点最近的点， 直线与两坐标轴交于A ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103，在直角三角形OAB 中，OA ＝52，OB ＝103，斜边AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1032＝256，斜边上的高h 即为所求m 2＋n 2的算术平方根， ∴S △OAB ＝12·OA ·OB ＝12AB ·h ， ∴h ＝OA ·OB AB ＝52×103256＝2，∴m 2＋n 2的最小值为h 2＝4. 法二：函数法因点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上， ∴4m ＋3n －10＝0，∴m ＝10－3n4，∴m 2＋n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫10－3n42＋n 2＝100－60n ＋25n 216＝2516⎝ ⎛⎭⎪⎫n －652＋4. 当n ＝65时，m 2＋n 2的最小值为4. 答案] C回顾反思] 有关点与直线的最值问题，一般有两种方法：一是利用几何意义，采用数形结合法．如(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )间距离的平方.|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2表示点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离；再者利用函数求最值．高考真题体验]1．(2012·高考浙江卷)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由a ＝1可得l 1∥l 2，反之，由l 1∥l 2可得a ＝1，故选C.2．(2014·高考福建卷)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y －3＝0 D ．x －y ＋3＝0解析：选D.依题意，得直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为y －3＝x －0，即x －y ＋3＝0.故选D.3．(2014·高考四川卷)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，不难验证P A ⊥PB ，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5(当且仅当|P A |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|P A |·|PB |＝0，故|P A |·|PB |的最大值是5. 答案：5课时规范训练 A 组 基础演练1．直线l 过点(－1,2)，且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0 D ．2x －3y ＋8＝0解析：选A.由题意可得直线l 的斜率k ＝－32， ∴l ：y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.2．已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是a 等于( ) A ．3 B ．1 C ．－1 D ．3或－1解析：选C.由题意知，l 1∥l 2⇔1a －2＝a 3≠62a ，即a ＝－1.故选C.3．已知直线l 的倾斜角为34π，直线l 1经过点A (3,2)和B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2的方程为2x ＋by ＋1＝0，且直线l 2与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析：选B.∵直线l 的斜率为－1，∴直线l 1的斜率为1，∴k AB ＝2－(－1)3－a＝1，解得a ＝0.∵l 1∥l 2，∴－2b ＝1，解得b ＝－2，∴a ＋b ＝－2.4．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( ) A ．2x ＋3y －18＝0 B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0解析：选D.设所求直线方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2，∴k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0.5．从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋6y －16＝0D ．6x ＋y －8＝0解析：选A.由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式可得A 正确． 6．过点A (1,2)且与原点距离最大的直线方程是________． 解析：由题意知，所求直线与OA 垂直， 因k OA ＝2，则所求直线的斜率k ＝－12.所以直线的方程是y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 答案：x ＋2y －5＝07．过点(3,1)，且过直线y ＝2x 与直线x ＋y ＝3交点的直线方程为________． 解析：法一：由⎩⎨⎧ y ＝2x x ＋y ＝3，得⎩⎨⎧x ＝1y ＝2，即两直线交点为(1,2)，依题意，由两点式方程得y －12－1＝x －31－3，即x ＋2y －5＝0.法二：设所求直线方程为x ＋y －3＋λ(2x －y )＝0. 把点(3,1)代入得λ＝－15，故所求直线方程为 x ＋y －3－15(2x －y )＝0，即x ＋2y －5＝0. 答案：x ＋2y －5＝08．△ABC 的三个顶点为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，则边BC 的垂直平分线DE 的方程为________．解析：设BC 中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 的斜率k 1＝－12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2，由斜截式得直线DE 的方程为y ＝2x ＋2.答案：y ＝2x ＋29．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在直线的方程．解：作出草图，如图所示．设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0.10．已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0互相平行，且l 1，l 2之间的距离为5，求直线l 1的方程． 解：∵l 1∥l 2，∴m 2＝8m ≠n－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.①当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0，把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0，∴|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或n ＝18.所以，所求直线的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0.②当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，l 2的方程为4x －8y －2＝0，∴|－n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－18或n ＝22.所以，所求直线的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0.B 组1．若三条直线l 1：4x ＋y ＝4，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my ＝4不能围成三角形，则实数m 的取值最多有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．6个解析：选C.三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l 1∥l 2，则m ＝4；若l 1∥l 3，则m ＝－16；若l 2∥l 3，则m 的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m ＝－1或23，故实数m 的取值最多有4个．2．若曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( )A.722B.922C.1122D.91010解析：选A.由题意得切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k ＝y ′|x ＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l 的方程为y －(－1)＝－1·x －(－1)]，整理得x ＋y ＋2＝0.由点到直线的距离公式，得点P (3,2)到直线l 的距离为|3＋2＋2|12＋12＝722.3．已知b >0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0互相垂直，则ab 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．22D ．2 3解析：选B.由已知两直线垂直得(b 2＋1)－ab 2＝0，即ab 2＝b 2＋1.两边同除以b ，得ab ＝b 2＋1b ＝b ＋1b .由基本不等式，得b ＋1b ≥2b ·1b ＝2当且仅当b ＝1时等号成立，故选B.4．直线y ＝2x 是△ABC 的一个内角平分线所在的直线，若点A (－4,2)，B (3,1)，则点C 的坐标为________．解析：把A ，B 两点的坐标分别代入y ＝2x ，可知A ，B 不在直线y ＝2x 上，因此y ＝2x 为∠ACB 的平分线所在的直线，设点A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为A ′(a ，b )，则k AA ′＝b －2a ＋4，线段AA ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －42，b ＋22， 由⎩⎪⎨⎪⎧b －2a ＋4·2＝－1，b ＋22＝2·a －42，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－2，∴A ′(4，－2)．∵y ＝2x 是∠ACB 的平分线所在的直线， ∴点A ′在直线BC 上，∴直线BC 的方程为y ＋21＋2＝x －43－4，即3x ＋y －10＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，3x ＋y －10＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴C (2,4)． 答案：(2,4)5．若直线l 过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点，且|AB |＝5，求直线l 的方程．解：过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0.求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5， 即x ＝1为所求．设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k (x －1).得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2.(k ≠－2，否则与已知直线平行)． 则B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2. 由已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52， 解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)， 即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.第3课时 圆的方程1．圆的定义及方程2．点与圆的位置关系(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系． (2)三种情况圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)， ①(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔点在圆上； ②(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2⇔点在圆外； ③(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2⇔点在圆内．3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(√)(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.(√)(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4F ＞0.(×)(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.(√)(5)已知圆的方程为x 2＋y 2－2y ＝0，过点A (1,2)作该圆的切线只有一条．(×) (6)方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的一个圆．(×) (7)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a ，半径为12－3a 2－4a ＋4的圆．(×)(8)过不共线的三点一定有唯一的一个圆．(√)(9)方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋2＝0表示圆心为(－1,1)的圆．(×) (10)圆x 2－4x ＋y 2＋2y ＋1＝0上的点到(2,1)的最长距离为4.(√)考点一 求圆的方程例1] 根据下列条件，求圆的方程：(1)经过点A (5,2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上； (2)经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6； (3)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)． 解：(1)法一：由题意知k AB ＝2，AB 的中点为(4,0)，设圆心为C (a ，b )，则 AB 的垂直平分线为y ＝－12(x －4)由⎩⎨⎧ y ＝－12(x －4)2x －y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1即C (2,1)为圆心． ∴r ＝|CA |＝(5－2)2＋(2－1)2＝10，∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －3＝0，(5－a )2＋(2－b )2＝r 2，(3－a )2＋(－2－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，r ＝10，故圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.法三：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧25＋4＋5D ＋2E ＋F ＝0，9＋4＋3D －2E ＋F ＝0，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2＋E 2－3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－2，F ＝－5，∴所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －5＝0.(2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 将P 、Q 两点的坐标分别代入得 ⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20， ①3D －E ＋F ＝－10. ② 又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1，x 2是方程③的两根， 由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，④ 由①、②、④解得D ＝－2，E ＝－4， F ＝－8，或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0，或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.(3)法一：如图，设圆心(x 0，－4x 0)，依题意得4x 0－23－x 0＝1，∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝22，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.。

3．过点 P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 _3_x_－__2_y_＝_．0 或 x＋y－5＝0
解析 当纵、横截距均为 0 时，直线方程为 3x－2y＝0； 当纵、横截距均不为 0 时，设直线方程为ax＋ay＝1， 则2a＋3a＝1，解得 a＝5. 所以直线方程为 x＋y－5＝0.
◇考题再现
向旋转 15°，则旋转后得到的直线 l2 的方程为( B )
A．x－ 3y＋1＝0
B． 3x－y＝0
C． 3x＋y＋1＝0
D．3x－ 3y－1＝0
(2)若 A(1，－2)，B(5，6)，直线 l 经过 AB 的中点 M 且在两坐
标轴上的截距相等，则直线 l 的方程为_2_x_－__3_y_＝__0_或 ___x_＋__y．－5＝0
(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方 程的几种特殊形式直接写出方程．
(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适 合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．
[巩固演练] 3．已知直线 l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0 及点 P(3， 4)． (1)证明：直线 l 过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点 P 到直线 l 的距离最大时，求直线 l 的方程． 解析 (1)在直线 l 的方程可化为： a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0， 由2x＋x＋y－y＋11＝＝00，解得xy＝＝－3 2，， ∴直线恒过定点(－2，3)．
＝5＋－k＋－4k≥5＋4＝9. 所以当且仅当－k＝－4k且 k<0， 即 k＝－2 时，|OA|＋|OB|取最小值． 这时 l 的方程为 2x＋y－6＝0.
►规律方法 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程， 建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．

三点共线，所以 a－ 3＝ 1，即 a＝4.
板块二 典例探究· 考向突破
考向 例1
直线的倾斜角与斜率 3 )为端点
直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，
的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为 (_______________________ －∞，－ 3]∪[1，＋∞) ．
[解析]
考点 2 名称 式 式 y1)
直线方程的几种形式 条件 方程 适用范围
点斜 斜率 k 与点(x1， 斜截 斜率 k 与直线在 y 轴上的截距 b
y－ y1＝k(x－x1 ) 不含直线 x＝x1 y＝ kx＋b 不含垂直于 x 轴 的直线 不含直线 x＝ x1(x1
两点 两点(x1， y1 )， (x2， y－ y1 x－ x1 ＝x2)和直线 y＝ ＝ y2－ y1 x2－ x1 式 y2) y1(y1＝ y2)
1 斜率的取值范围为 ， 3 3 .
触类旁通 直线的斜率与倾斜角的区别与联系 直线 l 的斜率 别 率不存在 直线 l 的倾斜角 α 倾斜角是 90° 区 直线 l 垂直于 x 轴时 l 的斜 直线 l 垂直于 x 轴时 l 的
①直线的斜率与直线的倾斜角(90° 除外)为一一对应 联 系 关系． ②当 α∈[0° ，90° )时， α 越大， l 的斜率越大；当 α ∈(90° ，180° )时，α 越大，l 的斜率越大． ③所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率 .
2)，即 3x＋4y－ 14＝ 0.
2．[ 课本改编] 直线 x＋ π A. 6 π B. 3 2π C. 3 5π D. 6
3y＋1＝0 的倾斜角是(
)
解析
3 由直线的方程得直线的斜率为 k＝－ ，设倾 3

浙江专用高考数学一轮复习第八章平面解析几何第八节抛物线教案含解析第八节抛物线1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0 x＝0焦点F⎝⎛⎭⎪⎫p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫0，p2F⎝⎛⎭⎪⎫0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋p2|PF|＝－x0＋p2|PF|＝y0＋p2|PF|＝－y0＋p2 1．(2018·杭州七校联考)抛物线C：y＝ax2的准线方程为y＝－14，则其焦点坐标为________，实数a的值为________．解析：由题意得焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，抛物线C 的方程可化为x 2＝1a y ，由题意得－14a ＝－14，解得a ＝1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 1 2．焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为________． 答案：y 2＝－4x 或x 2＝－8y3．(教材习题改编)抛物线y ＝4x 2的焦点坐标为__________；准线方程为____________． 解析：抛物线的标准方程为x 2＝14y ，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116，准线方程为y ＝－116.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 y ＝－1161．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p 易忽视，只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．3．抛物线的标准方程的形式要注意，根据方程求焦点坐标或准线方程时，要注意标准形式的确定．[小题纠偏]1．平面内到点(1,1)与到直线x ＋2y －3＝0的距离相等的点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．一条直线答案：D2．抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为________． 解析：由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .∴2p ＝18，p ＝116，∴焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－132. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，－132考点一 抛物线定义及应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2019·温州十校联考)设抛物线C ：y ＝14x 2的焦点为F ，直线l 交抛物线C 于A ，B两点，|AF |＝3，线段AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为4，则|BF |＝( )A.72 B ．5 C ．4D ．3解析：选B 抛物线C 的方程可化为x 2＝4y ，由线段AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为4，可得|AF |＋|BF |＝8，又|AF |＝3，所以|BF |＝5.2．已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B 依题意，由点M 向抛物线x 2＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1(图略)，则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，结合图形可知|MA |＋|MM 1|的最小值等于圆心C (－1,5)到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于6－1＝5，因此|MA |＋|MF |的最小值是5，故选B.[由题悟法]应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p2.[即时应用]1．如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析：选A 由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知其焦点F (1,0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1.∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ，∴|BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1.2．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A.355 B ．2 C.115D ．3解析：选B 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1,0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2. 考点二 抛物线的标准方程与几何性质题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]抛物线的标准方程及性质是高考的热点，多以选择题、填空题形式出现． 常见的命题角度有： (1)求抛物线方程；(2)抛物线的对称性．[题点全练]角度一：求抛物线方程1．(2019·台州重点校联考)已知直线l 过抛物线y 2＝－2px (p ＞0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝－12x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝－6xD ．y 2＝－4x解析：选B 过A ，B 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，由抛物线定义知|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，则|AA 1|＋|BB 1|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋p 2＝8，解得p ＝4，所以此抛物线的方程是y 2＝－8x .角度二：抛物线的对称性2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)分别交于O ，A ，B 三点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1 B.32C ．2D ．3解析：选B 双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ， 因为双曲线的离心率为2， 所以1＋b 2a 2＝2，ba ＝ 3.由⎩⎨⎧y ＝3x ，y 2＝2px ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p3，y ＝23p 3.由曲线的对称性及△AOB 的面积得， 2×12×23p 3×2p3＝3， 解得p 2＝94，即p ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＝－32舍去.[通法在握]求抛物线方程的3个注意点(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．[演练冲关]1．(2019·宁波质检)已知点M 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，F 为C 的焦点，MF 的中点坐标是(2,2)，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，由中点坐标公式可知p2＋y 212p＝2×2，y 1＋0＝2×2，解得p ＝4.2．(2019·丽水高三质检)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，与抛物线准线交于M ，且FM ＝3FP ，则|FP |＝( )A.32B.23C.43D.34解析：选C 设直线l 的倾斜角为θ，如图所示，过点P 作PN 垂直准线于点N ，由抛物线定义知|PN |＝|PF |.∵FM ＝3FP ，∴|FM |＝3|FP |，即|PM |＝2|PN |.在Rt △MNP 中，cos ∠MPN ＝12，∵PN ∥x 轴，∴cos θ＝12，由抛物线焦半径的性质可得|PF |＝p 1＋cos θ＝21＋12＝43，即|FP |＝43. 考点三 直线与抛物线的位置关系重点保分型考点——师生共研[典例引领](2018·长兴中学模拟)已知抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，P 为C 1上一点，|PF |＝4，点P 到y 轴的距离等于3.(1)求抛物线C 1的标准方程；(2)设A ，B 为抛物线C 1上的两个动点，且使得线段AB 的中点D 在直线y ＝x 上，P (0,2)为定点，求△PAB 面积的最大值．解：(1)由题意，p2＋3＝4，∴p ＝2，所以抛物线C 1的标准方程为y 2＝4x .(2)设直线AB ：x ＝ty ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋b ，y 2＝4x消元化简得y 2－4ty －4b ＝0，Δ＝16t 2＋16b ＞0.且y 1＋y 2＝4t ，x 1＋x 2＝t (y 1＋y 2)＋2b ＝4t 2＋2b ， 所以D (2t 2＋b,2t )，2t 2＋b ＝2t . 由Δ＞0得0＜t ＜2.所以点P 到直线AB 的距离d ＝|－2t －b |1＋t 2＝|2t 2－4t |1＋t 2， 所以|AB |＝1＋t216t 2＋16b ＝41＋t22t －t 2，所以S △ABP ＝12|AB |d ＝12×41＋t 22t －t 2|2t 2－4t |1＋t 2＝22t －t 2·|2t 2－4t |. 令m ＝2t －t 2，则m ∈(0,1]，且S △ABP ＝4m 3. 由函数单调性可知，(S △ABP )max ＝4.[由题悟法]解决直线与抛物线位置关系问题的2种常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用弦长公式．[即时应用]如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程． 解：(1)由已知，得抛物线的焦点为F (1,0)． 因为线段AB 的中点在直线y ＝2上， 所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4.又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1. (2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)＞0. |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2| ＝m 2＋1·y 1＋y 22－4y 1y 2＝m 2＋1·4m2－4×－4＝4(m 2＋1)．所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2，所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1，即x ±2y －1＝0.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·湖州质检)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，点C (－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝4x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x解析：选 D ∵AB ⊥x 轴，且AB 过点F ，∴AB 是焦点弦，∴|AB |＝2p ，∴S △CAB ＝12×2p ×⎝ ⎛⎭⎪⎫p2＋4＝24，解得p ＝4或p ＝－12(舍去)，∴直线AB 的方程为x ＝2，∴以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是y 2＝－8x ，故选D.2．(2018·江山质检)在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为( )A.12 B ．1 C ．2D ．3解析：选C 由抛物线的定义可知，4＋p2＝5，解得p ＝2.3．(2018·珠海模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角等于( )A.7π12B.2π3C.3π4D.5π6解析：选B 由抛物线y 2＝4x 知焦点F (1,0)，准线l 的方程为x ＝－1，由抛物线定义知|PA |＝|PF |＝4，所以点P 的坐标为(3,23)，因此点A 的坐标为(－1,23)，所以k AF ＝23－0－1－1＝－3，所以直线AF 的倾斜角为2π3.4．(2019·宁波六校联考)已知抛物线C ：y 2＝23x ，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的投影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝( )A ．8B ．2 3C ．4 3D ．8 3解析：选B 法一：由题意可得p ＝3，F ⎝⎛⎭⎪⎫32，0.不妨设点P 在x 轴上方，由抛物线定义可知|PF |＝|PM |，|Q F |＝|Q N |，设直线P Q 的倾斜角为θ，则tan θ＝3，∴θ＝π3，由抛物线焦半径的性质可知，|PF |＝p1－cos θ＝31－cosπ3＝23，|Q F |＝p1＋cos θ＝31＋cosπ3＝233，∴|MN |＝|P Q|sin θ＝(|PF |＋|Q F |)·sin π3＝833×32＝4，∴S △MFN ＝12|MN |·p ＝12×4×3＝2 3.法二：由题意可得F ⎝⎛⎭⎪⎫32，0，直线P Q 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －32＝3x －32，与抛物线方程y 2＝23x 联立，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －322＝23x ，即3x 2－53x ＋94＝0，设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝533，∴|P Q|＝x 1＋x 2＋p ＝533＋3＝833，∵直线P Q 的斜率为3，∴直线P Q 的倾斜角为π3.∴|MN |＝|P Q|sin π3＝833×32＝4，∴S △MFN ＝12×4×3＝2 3.5．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P 到x 轴的距离为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x Px P －－1＝12，解得x P ＝1，所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2. 答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·临海期初)动圆过点(0,1)，且与直线y ＝－1相切，则动圆圆心的轨迹方程为( )A ．y ＝0B ．x 2＋y 2＝1 C ．x 2＝4yD ．y 2＝4x解析：选C 设动圆圆心M (x ，y )，则x 2＋y －12＝|y ＋1|，解得x 2＝4y .2．(2018·绍兴二模)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝3(x －1)与抛物线C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)．若AF ＝mFB ，则m 的值为( )A. 3B.32C ．2D ．3解析：选D 直线方程为x ＝33y ＋1，代入y 2＝4x 可得y 2－433y －4＝0，则y A ＝23，y B ＝－233，所以|y A |＝3|y B |，因为AF ＝mFB ，所以m ＝3. 3．(2018·宁波十校联考)已知抛物线x 2＝4y ，过焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点(点A 在第一象限)，若直线l 的倾斜角为30°，则|AF ||BF |的值等于( )A ．3 B.52C ．2D.32解析：选A 由题可得，F (0,1)，设l ：y ＝33x ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将直线方程与抛物线方程联立，消去x ，化简得3y 2－10y ＋3＝0，解得y 1＝3，y 2＝13.由抛物线的定义可知|AF ||BF |＝y 1＋1y 2＋1＝3＋113＋1＝3.4．已知P 为抛物线y ＝12x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为点M ，点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫6，172，则|PA |＋|PM |的最小值是( )A ．8 B.192C ．10D.212解析：选B 依题意可知焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，准线方程为y ＝－12，延长PM 交准线于点H (图略)．则|PF |＝|PH |，|PM |＝|PF |－12，|PM |＋|PA |＝|PF |＋|PA |－12，即求|PF |＋|PA |的最小值． 因为|PF |＋|PA |≥|FA |， 又|FA |＝62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫172－122＝10.所以|PM |＋|PA |≥10－12＝192，故选B.5．(2019·嘉兴六校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且|MO |＝|MF |＝32(O 为坐标原点)，则OM ·MF ＝( )A ．－74B.74C.94D ．－94解析：选A 设M (m ，2pm )，抛物线C 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，因为|MO |＝|MF |＝32，所以m 2＋2pm ＝94 ①，m ＋p 2＝32 ②，由①②解得m ＝12，p ＝2，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，F (1,0)，所以OM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，MF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，故OM ·MF ＝14－2＝－74.6．(2018·宁波期初)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，若点M 在抛物线上，|MF |＝4，O 为坐标原点，则∠MFO ＝________.解析：由题可得，p ＝2，焦点在y 轴正半轴，所以F (0,1)． 因为|MF |＝4，所以M (±23，3)．所以tan ∠MFO ＝－tan(π－∠MFO )＝－233－1＝－3，所以∠MFO ＝2π3.答案：2π37．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为________．解析：如图，由题可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0(y 0＞0)，则OM ―→＝OF ―→＋FM ―→＝OF ―→＋13FP ―→＝OF ―→＋13(OP ―→－OF ―→)＝13OP ―→＋23OF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 26p ＋p 3，y 03，k OM ＝y 03y 206p ＋p 3＝2y 0p ＋2p y 0≤222＝22，当且仅当y 20＝2p 2时等号成立，所以直线OM 的斜率的最大值为22. 答案：228．(2018·嵊州一模)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点M (5，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C 点，|BF |＝3，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF＝________.解析：设点A 在第一象限，B 在第四象限，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋ 5.由y 2＝4x ，得p ＝2，因为|BF |＝3＝x 2＋p2＝x 2＋1，所以x 2＝2，则y 22＝4x 2＝4×2＝8，所以y 2＝－22，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋5，得y 2－4my －45＝0，则y 1y 2＝－45，所以y 1＝10，由y 21＝4x 1，得x 1＝52.过点A 作AA ′垂直于准线x ＝－1，垂足为A ′，过点B 作BB ′垂直于准线x ＝－1，垂足为B ′，易知△CBB ′∽△CAA ′，所以S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BB ′||AA ′|.又|BB ′|＝|BF |＝3，|AA ′|＝x 1＋p 2＝52＋1＝72，所以S △BCF S △ACF ＝372＝67.答案：679．(2018·杭州高三检测)如图，过抛物线M ：y ＝x 2上一点A (点A 不与原点O 重合)作抛物线M 的切线AB 交y 轴于点B ，点C 是抛物线M 上异于点A 的点，设G 为△ABC 的重心(三条中线的交点)，直线CG 交y 轴于点D .(1)设A (x 0，x 20)(x 0≠0)，求直线AB 的方程； (2)求|OB ||OD |的值．解：(1)因为y ′＝2x ，所以直线AB 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0， 所以直线AB 的方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)， 即y ＝2x 0x －x 20.(2)由(1)得，点B 的纵坐标y B ＝－x 20，所以AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0. 设C (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，直线CG 的方程为x ＝my ＋x 02.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋x 02，y ＝x 2，得m 2y 2＋(mx 0－1)y ＋x 204＝0.因为G 为△ABC 的重心，所以y 1＝3y 2. 由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝4y 2＝1－mx 0m 2，y 1y 2＝3y 22＝x 204m 2.所以y 22＝1－mx 0216m4＝x 2012m2，解得mx 0＝－3±2 3.所以点D 的纵坐标y D ＝－x 02m ＝x 206±43，故|OB ||OD |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y B y D ＝43±6. 10．(2018·台州模拟)已知抛物线C 1：y 2＝4x 和C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，点P (－1，－1)，且F 1F 2⊥OP (O 为坐标原点)．(1)求抛物线C 2的方程；(2)过点O 的直线交C 1的下半部分于点M ，交C 2的左半部分于点N ，求△PMN 面积的最小值．解：(1)由题意知F 1(1,0)，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，则F 1F 2―→＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，p 2，∵F 1F 2⊥OP ，∴F 1F 2―→·OP ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，p 2·(－1，－1)＝1－p 2＝0，∴p ＝2，∴抛物线C 2的方程为x 2＝4y . (2)设过点O 的直线为y ＝kx (k ＜0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，y 2＝4x 得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k2，4k ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2＝4y 得N (4k,4k 2)，从而|MN |＝1＋k 2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 2－4k ＝1＋k 2·⎝⎛⎭⎪⎫4k2－4k ，又点P 到直线MN 的距离d ＝|k －1|1＋k2，故S △PMN ＝12·|k －1|1＋k 2·1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－4k ＝21－k1－k3k 2＝21－k21＋k ＋k2k 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k－2⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k＋1， 令t ＝k ＋1k(t ≤－2)，则S △PMN ＝2(t －2)(t ＋1)≥8，当t ＝－2，即k ＝－1时，S △PMN 取得最小值．即当过点O 的直线为y ＝－x 时，△PMN 面积的最小值为8.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·台州高三模拟)已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)，点M 是抛物线的准线与y 轴的交点，过点A (0，λp )(λ∈R)的动直线l 交抛物线于B ，C 两点．(1)求证：MB ·MC ≥0，并求等号成立时实数λ的值；(2)当λ＝2时，设分别以OB ，OC (O 为坐标原点)为直径的两圆相交于另一点D ，求|DO |＋|DA |的最大值．解：(1)由题意知动直线l 的斜率存在，且过点A (0，λp )， 则可设动直线l 的方程为y ＝kx ＋λp ，代入x 2＝2py (p ＞0)，消去y 并整理得x 2－2pkx －2λp 2＝0，Δ＝4p 2(k 2＋2λ)＞0，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2λp 2，y 1y 2＝(kx 1＋λp )(kx 2＋λp )＝k 2x 1x 2＋λpk (x 1＋x 2)＋λ2p 2＝λ2p 2， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2λp ＝2pk 2＋2λp ＝2p (k 2＋λ)．因为抛物线x 2＝2py 的准线方程为y ＝－p2，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2，所以MB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，y 1＋p 2，MC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2＋p 2， 所以MB ·MC ＝x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2＋p 2＝x 1x 2＋y 1y 2＋p2(y 1＋y 2)＋p 24＝－2λp 2＋λ2p 2＋p2[2p (k 2＋λ)]＋p 24＝p 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 2＋⎝⎛⎭⎪⎫λ－122≥0，当且仅当k ＝0，λ＝12时等号成立．(2)由(1)知，当λ＝2时，x 1x 2＝－4p 2，y 1y 2＝4p 2， 所以OB ·OC ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0， 所以OB ⊥OC .设直线OB 的方程为y ＝mx (m ≠0)，与抛物线的方程x 2＝2py 联立可得B (2pm,2pm 2)， 所以以OB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pmx －2pm 2y ＝0.因为OB ⊥OC ，所以直线OC 的方程为y ＝－1mx .同理可得以OC 为直径的圆的方程为 x 2＋y 2＋2p m x －2pm 2y ＝0，即m 2x 2＋m 2y 2＋2pmx －2py ＝0，将两圆的方程相加消去m ，得x 2＋y 2－2py ＝0， 即x 2＋(y －p )2＝p 2，所以点D 的轨迹是以OA 为直径的圆， 所以|DA |2＋|DO |2＝4p 2， 由|DA |2＋|DO |22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫|DA |＋|DO |22，得|DA |＋|DO |≤22p ，当且仅当|DA |＝|DO |＝2p 时，等号成立． 故(|DA |＋|DO |)max ＝22p .2.如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)． 因为点P (1,2)在抛物线上， 所以22＝2p ×1， 解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB . 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)， 因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， 所以k PA ＝－k PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，所以y 1＋2＝－(y 2＋2)．所以y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， 所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．。

【疑难点拨】 破解本题的疑难点是对最值问题如何进行转化,只需把|PM|·|AB|的最小值问题层层转化,最终
转化为|PM|的最小值问题,从而转化为点到直线的距离的最小值问题.
5 (多选)[2021新高考Ⅱ卷·11,5分,难度★★☆☆☆]
已知直线l:ax+by-r2=0(r>0)与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是
1
连接AM,BM,易知四边形PAMB的面积为2|PM|·|AB|,欲使|PM|·|AB|最小,只需四边形PAMB的面积最小,即只需
△PAM的面积最小.因为|AM|=2,所以只需|PA|最小.
又|PA|= ||2 −||2 = ||2 −4,所以只需|PM|最小,此时PM⊥l.因为PM⊥AB,所以l∥AB,所以kAB=-2,排除
5
−2 + 1 = 0
= −1,
得ቊ
所以P(-1,0).易知P,A,M,B四点共圆,所以以PM为直径的圆的方程为
= 0,
1
5
x2+(y-2)2=( 2 )2,即x2+y2-y-1=0 ②,由①②得,直线AB的方程为2x+y+1=0,故选D.
优解 因为☉M:(x-1)2+(y-1)2=4,所以圆心M(1,1).
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
答案
5.ABD
对于A,若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,所以圆心C(0,0)到直线l的距离d=
正确;对于B,若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2<r2,所以圆心C(0,0)到直线l的距离d=

【第九节 圆锥曲线中的范围、最值问题】之小船创作[最新考纲] 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法.2. 理解数形结合的思想；3. 会求与圆锥曲线有关的范围、最值问题．考点1 范围问题求参数范围的4种方法(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围．(3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的范围．(4)数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．(2019·山师附中模拟)已知椭圆C ：x 23＋y 22＝1，直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．(1)若|m |>3，求实数k 的取值范围；(2)若直线OA ，AB ，OB 的斜率成等比数列(其中O 为坐标原点)，求△OAB 的面积的取值范围．[解](1)联立方程x 23＋y 22＝1和y ＝kx ＋m ，得(2＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－6＝0，所以Δ＝(6km )2－4(2＋3k 2)(3m 2－6)>0， 所以m 2<2＋3k 2，所以2＋3k 2>3，即k 2>13，解得k >33或k <－33.所以实数k的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33，＋∞. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－6km 2＋3k 2，x 1x 2＝3m 2－62＋3k 2.设直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2， 因为直线OA ，AB ，OB 的斜率成等比数列，所以k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝k 2，即kx 1＋m kx 2＋m x 1x 2＝k 2(m ≠0)，化简得2＋3k 2＝6k 2，即k 2＝23.因为|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝53⎝⎛⎭⎪⎪⎫6－32m 2，点O 到直线l 的距离h ＝|m |1＋k 2＝35|m |， 所以S △OAB＝12|AB |·h ＝66·32m 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫6－32m 2≤66×32m 2＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫6－32m 22＝62，当m ＝±2时，直线OA 或OB 的斜率不存在，等号取不到，所以△OAB的面积的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，62. 本例求解采用了学生熟知的两种方法：不等式法和判别式法，利用判别式构建目标不等式的核心是抓住直线与圆锥曲线的位置关系和判别式Δ的关系建立目标不等式．[教师备选例题](2019·江南十校联考)已知右焦点为F 2(c,0)的椭圆C ：x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，32，且椭圆C 关于直线x ＝c 对称的图形过坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，0作直线l 与椭圆C 交于E ，F 两点，线段EF的中点为M ，点A 是椭圆C 的右顶点，求直线MA 的斜率k 的取值范围．[解](1)∵椭圆C过点⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，32，∴1a 2＋94b 2＝1，①∵椭圆C 关于直线x ＝c 对称的图形过坐标原点， ∴a ＝2c ，∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝34a 2，②由①②得a 2＝4，b 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)依题意，直线l 过点⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，0且斜率不为零，故可设其方程为x ＝my ＋12.由方程组⎝ ⎛x ＝my ＋12，x 24＋y 23＝1消去x ，并整理得4(3m 2＋4)y 2＋12my －45＝0.设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)∴y 1＋y 2＝－3m3m 2＋4，∴y 0＝y 1＋y 22＝－3m23m 2＋4，∴x 0＝my 0＋12＝23m 2＋4，∴k ＝y 0x 0－2＝m4m 2＋4.①当m ＝0时，k ＝0 ②当m ≠0时，k ＝14m ＋4m，当m >0时，4m ＋4m ≥8，∴0<14m ＋4m≤18.∴0<k ≤18，当m <0时，4m ＋4m ＝－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4m ＋f(4－m )≤－8，∴－18≤14m ＋4m＝k <0. ∴－18≤k ≤18且k ≠0.综合①、②可知， 直线MA 的斜率k的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－18，18. 1.如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．[解](1)证明：设P (x 0，y 0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14y 21，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14y 22，y 2. 因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02， 即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根． 所以y 1＋y 2＝2y 0， 所以PM 垂直于y 轴．(2)由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20，所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0，|y 1－y 2|＝22y 20－4x 0.所以△PAB 的面积S △PAB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324()y 20－4x 032. 因为x 20＋y 204＝1(－1≤x 0<0)，所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4,5]， 所以△PAB面积的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤62，15104.2．(2019·无锡期末)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且过点⎝⎛⎭⎪⎪⎫3，12，点P 在第四象限，A 为左顶点，B 为上顶点，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D .(1)求椭圆C 的标准方程； (2)求△PCD 面积的最大值． [解](1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋14b2＝1，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝4，b 2＝1，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)可得A (－2,0)，则可设直线AP 的方程为y ＝k (x ＋2)，其中－12＜k ＜0，所以C (0,2k )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，x 24＋y 2＝1，消去y 得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x＋16k 2－4＝0，解得x ＝－8k 2±21＋4k 2，所以x A x P ＝16k 2－41＋4k 2，由x A ＝－2得x P ＝2－8k 21＋4k 2，故y P ＝k (x P ＋2)＝4k1＋4k 2，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－8k 21＋4k2，4k 1＋4k 2，设D (x 0,0)，因为B (0,1)，P ，B ，D 三点共线，所以k BD ＝k PB ，故－1x 0＝4k1＋4k 2－12－8k 21＋4k 2，解得x 0＝21＋2k 1－2k，得D ⎝⎛⎭⎪⎪⎫21＋2k1－2k ，0， S △PCD ＝S △PAD －S △CAD＝12×AD ×|y P －y C |＝12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21＋2k 1－2k ＋2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 1＋4k 2－2k＝4|k1＋2k|1＋4k2.因为－12＜k ＜0，所以S △PCD ＝－8k 2－4k1＋4k2＝－2＋2×1－2k1＋4k2，令t ＝1－2k ，则1＜t ＜2，所以2k ＝1－t ， 所以S △PCD ＝－2＋2t1＋1－t2＝－2＋2tt 2－2t ＋2＝－2＋2t ＋2t－2≤－2＋222－2＝2－1，当且仅当t ＝2时取等号，此时k ＝1－22，所以△PCD 面积的最大值为2－1.考点2 最值问题圆锥曲线中最值问题的解决方法(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解．(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围．利用基本不等式求最值 已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．[解](1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1，所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.(2)设点A ，B 的坐标分别为(t,2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0， 即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2＝x 20＋y 20＋4y 2x 20＋4＝x 20＋4－x 202＋24－x 2x 20＋4＝x 202＋8x 20＋4(0＜x 20≤4)．因为x 202＋8x 20≥4(0<x 20≤4)，且当x 20＝4时等号成立，所以|AB|2≥8.故线段AB长度的最小值为2 2.已知点A(0，－2)，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ 的面积最大时，求l的方程．[解](1)设F(c,0)，由条件知，2c＝233，得c＝ 3.又ca＝32，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为x24＋y2＝1.(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．将y＝kx－2代入x24＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋14k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1.所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12·d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1. 设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t≤1.当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0.所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为2y ±7x ＋4＝0.利用函数性质求最值在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p＞0)的焦点为F ，点A 在C 上，若|AO |＝|AF |＝32.(1)求C 的方程；(2)设直线l 与C 交于P ，Q ，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值．[解](1)∵点A 在C 上，|AO |＝|AF |＝32，∴p 4＋p 2＝32，∴p＝2，∴C 的方程为x 2＝4y .(2)设直线方程为y ＝kx ＋b ，代入抛物线方程，可得x 2－4kx －4b ＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ， ∴y 1＋y 2＝4k 2＋2b ，∵线段PQ 的中点的纵坐标为1，∴2k 2＋b ＝1， △OPQ 的面积S ＝12·b ·16k 2＋16b ＝b2＋2b ＝2·b 3＋b 2(0＜b ≤1)，设y ＝b 3＋b 2，y ′＝3b 2＋2b ＞0，故函数单调递增， ∴b ＝1时，△OPQ 的面积的最大值为2.若题目中的条件和要求的结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，然后根据其结构特征，构建函数模型求最值，一般情况下，可以构建二次型函数、双曲线型函数、多项式型函数等．[教师备选例题]如图，已知点F (1,0)为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记△AFG ，△CQG 的面积分别为S 1，S 2.(1)求p 的值及抛物线的准线方程；(2)求S 1S 2的最小值及此时点G 点坐标．[解](1)由抛物线的性质可得：p2＝1，∴p ＝2，∴抛物线的准线方程为x ＝－1；(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，重心G (x G ，y G )，令y A ＝2t ，t ≠0，则x A ＝t 2，由于直线AB 过F ，故直线AB 的方程为x ＝t 2－12ty ＋1，代入y 2＝4x ，得：y 2－2t 2－1t y －4＝0，∴2ty B ＝－4，即y B ＝－2t，∴B (1t2，－2t)，又x G ＝13(x A ＋x B ＋x C )，y G ＝13(y A ＋y B ＋y C )，重心在x 轴上，∴2t －2t＋y C ＝0，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1t －t 2，2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1t －t ，G ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2t 4－2t 2＋23t 2，0，∴直线AC 的方程为y －2t ＝2t (x －t 2)，得Q (t 2－1,0)， ∵Q 在焦点F 的右侧，∴t 2>2， ∴S 1S 2＝12|FG |·|y A |12|QG |·|y C |＝2t 4－5t 2＋23t2·|2t |t 2－1－2t 4－2t 2＋23t 2·2t－2t ＝2t 4－t 2t 4－1＝2－t 2－2t 4－1，令m ＝t 2－2，则m >0，S 1S 2＝2－m m 2＋4m ＋3＝2－1m ＋3m＋4≥2－12m ·3m＋4＝1＋32，∴当m ＝3时，S 1S 2取得最小值为1＋32，此时G (2,0)．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．[解](1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为x＝my＋1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2－4my －4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.①因为AF→＝2FB→，所以y1＝－2y2. ②联立①和②，消去y1，y2，得m＝±2 4 .所以直线AB的斜率是±2 2.(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S△AOB.因为2S△AOB＝2·12·|OF|·|y1－y2|＝y1＋y22－4y1y2＝41＋m2，所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.。

P1F1P2F2的面积.

(2)解:由已知得


- = ,
2
2
解得 a =2,b =1,
+ = ,

2
所以双曲线方程为 -y =1.



根据(1)的结论直线 P1P2 的斜率为 ÷=,

所以直线 P1P2 的方程为 y-1=(x-2),即 x=3y-1,
判断直线与圆锥曲线的位置关系的方法
(1)代数法:直线与圆锥曲线方程联立,利用判别式求解;
(2)几何法:直线过定点时,若定点在圆锥曲线内部,则直线一定与
圆锥曲线相交;
若定点在圆锥曲线上,则直线与圆锥曲线相交或相切;
若定点在圆锥曲线外部,则直线与圆锥曲线相交、相切或相离.
[针对训练] 直线y=kx(k>0)与双曲线
+
等式两边同除以(x1+x2)(x1-x2),得
+
·
-
-




· =0,即 k1k2= .
(2)若双曲线的焦点分别为 F1(- ,0),F2( ,0) ,点P1 的坐标为

(2,1), 直 线 OM 的 斜 率 为 , 求 由 四 点 P1,F1,P2,F2 所 围 成 四 边 形


代入双曲线方程可解得 P2(- ,-),注意到 P1,P2 在直线 F1F2 的两侧,




所以四边形 P1F1P2F2 的面积为 |F1F2|·|y1-y2|= × =

.
解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
(1)根与系数的关系法:联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组,消元

第八章 平面解析几何
[五年考情]
考点
2016 年 2015 年 2014 年
2013 年
2012 年
直线的倾斜角 与斜率、直线的 方程、距离
17,4 分(文) 15,4 分(理)
3,5 分(理) 4,5 分(文)
圆的方程、直线
与圆的位置关 系、圆与圆的位 10,6 分(文)
14,4 分(理) 14,4 分(文)
双曲线的标 准方程及其 性质
7,5 分(理) 13,4 分 17,4 分(文)
9,5 分(理) 9,5 分(文)
8,5 分(理)
抛物线的标
准方程及其 9,4 分(理) 5,5 分(理)
15,4 分(理) 16,4 分(理)
性质
直线与圆锥 曲线的位置 关系及圆锥 曲线的综合 应用
19,15 分 (理)
19,15 分 (文)
19,15 分 (理)
19,15 分 (文)
21,15 分 (理)
22,7 分(文)
22(2)，9 分(理) 22,14 分(文)
21(2)，8 分(理) 22,15 分(文)
[重点关注] 综合近 5 年浙江卷高考试题，我们发现高考主要考查直线的方程、圆的方 程、直线与圆、圆与圆的位置关系、圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义、 标准方程及性质、直线与圆锥曲线的位置关系及综合应用，突出对数形结合思 想、函数与方程思想、转化与化归思想的考查．
老师没提了一个问题，同学们就应当立即主动地去思考，积极地寻找答案，然后和老师的解答进行比较。通过超前思考，可以把注意力集中在对这些“难点”的理解 上，保证“好钢用在刀刃上”，从而避免了没有重点的泛泛而听。通过将自己的思考跟老师的讲解做比较，还可以发现自己对新知识理解的不妥之处，及时消除知识 的“隐患”。

⾼考数学⼀轮复习第⼋章平⾯解析⼏何8.1直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程课时提升作业理直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程(25分钟50分)⼀、选择题(每⼩题5分,共35分)1.直线x+y+1=0的倾斜⾓是( )A. B. C. D.【解析】选D.由直线的⽅程得直线的斜率为k=-,设倾斜⾓为α,则tanα=-,⼜α∈[0,π),所以α=.2.设直线ax+by+c=0的倾斜⾓为α,且sinα+cosα=0,则a,b满⾜( )A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0【解析】选D.由题意得sinα=-cosα,显然cosα≠0,则tanα=-1,所以-=-1,a=b,a-b=0.3.下列命题中,正确的是( )A.直线的斜率为tanα,则直线的倾斜⾓是αB.直线的倾斜⾓为α,则直线的斜率为tanαC.直线的倾斜⾓越⼤,则直线的斜率就越⼤D.直线的倾斜⾓α∈∪时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增【解析】选D.因为直线的斜率k=tanα,且α∈∪时,α才是直线的倾斜⾓,所以A不对; 因为任⼀直线的倾斜⾓α∈[0,π),⽽当α=时,直线的斜率不存在,所以B不对;当α∈时,斜率⼤于0;当α∈时,斜率⼩于0,C不对.4.倾斜⾓为120°,在x轴上的截距为-1的直线的⽅程是( )A.x-y+1=0B.x-y-=0C.x+y-=0D.x+y+=0【解析】选 D.由于倾斜⾓为120°,故斜率k=-.⼜直线过点(-1,0),所以⽅程为y=-(x+1),即x+y+=0.5.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a的值是( )A.1B.-1C.-2或-1D.-2或1【解析】选D.显然a≠0,由题意得a+2=,解得a=-2或1.6.(2016·西安模拟)点A(1,1)到直线xcosθ+ysinθ-2=0的距离的最⼤值是( )A.2B.2-C.2+D.4【解析】选C.由点到直线的距离公式,得d==2-sin,⼜θ∈R,所以d max=2+.7.已知a,b均为正数,且直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,则2a+3b的最⼩值为( )A.5B.25C.13D.15【解析】选B.因为直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,所以a(b-3)-2b=0,且5a+12≠0,所以3a+2b=ab,即+=1,⼜a,b均为正数,则2a+3b=(2a+3b)=4+9++≥13+2=25.当且仅当a=b=5时上式等号成⽴.⼆、填空题(每⼩题5分,共15分)8.已知直线的倾斜⾓是60°,在y轴上的截距是5,则该直线的⽅程为.【解析】因为直线的倾斜⾓是60°,所以直线的斜率为k=tan60°=.⼜因为直线在y轴上的截距是5,由斜截式得直线的⽅程为y=x+5.即x-y+5=0.答案:x-y+5=0【加固训练】过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-的直线的⽅程为. 【解析】设所求直线的斜率为k,依题意k=-×3=-.⼜直线经过点A(-1,-3),因此所求直线⽅程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.答案:3x+4y+15=09.已知A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则x= .【解析】因为k AB==2,k AC==-.⼜A,B,C三点共线,所以k AB=k AC,即-=2,解得x=-3.答案:-310.(2016·平顶⼭模拟)与直线x+y-1=0垂直的直线的倾斜⾓为.【解析】因为直线x+y-1=0的斜率为k1=-,所以与直线x+y-1=0垂直的直线的斜率为k2=-=.所以它的倾斜⾓为.答案:(20分钟40分)1.(5分)(2016·保定模拟)直线y=tan的倾斜⾓等于( )A. B. C. D.0【解析】选D.因为tan=,所以y=tan即y=,表⽰⼀条与x轴平⾏的直线,因此直线y=tan的倾斜⾓等于0.2.(5分)已知点A(-1,0),B(cosα,sinα),且|AB|=,则直线AB的⽅程为( )A.y=x+或y=-x-B.y=x+或y=-x-C.y=x+1或y=-x-1D.y=x+或y=-x-【解析】选B.|AB|===,所以cosα=,sinα=±,所以k AB=±,即直线AB的⽅程为y=±(x+1),所以直线AB的⽅程为y=x+或y=-x-.【加固训练】已知直线l过点(0,2),且其倾斜⾓的余弦值为,则直线l的⽅程为( )A.3x-4y-8=0B.3x+4y-8=0C.3x+4y+8=0D.3x-4y+8=0【解析】选D.因为cosα=,α∈[0,π),所以sinα=,k=tanα=,所以直线l的⽅程为y-2=x,即3x-4y+8=0.3.(5分)过点(1,3)作直线l,若经过点(a,0)和(0,b),且a∈N*,b∈N*,则可作出的直线l的条数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由题意得+=1?(a-1)(b-3)=3.⼜a∈N*,b∈N*,故有两个解或4.(12分)已知直线l过点P(0,1),且与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A,B(如图).若线段AB被点P平分,求直线l的⽅程.【解析】因为点B在直线l2:2x+y-8=0上,故可设点B的坐标为(a,8-2a).因为点P(0,1)是线段AB的中点,得点A的坐标为(-a,2a-6).⼜因为点A在直线l1:x-3y+10=0上,故将A(-a,2a-6)代⼊直线l1的⽅程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.所以点B的坐标是(4,0).因此,过P(0,1),B(4,0)的直线l的⽅程为+=1,即x+4y-4=0.【加固训练】已知直线l经过A(cosθ,sin2θ)和B(0,1)不同的两点,求直线l倾斜⾓的取值范围.【解析】当cosθ=0时,sin2θ=1-cos2θ=1,此时A,B重合.所以cosθ≠0.所以k==-cosθ∈[-1,0)∪(0,1].因此倾斜⾓的取值范围是∪.5.(13分)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点.(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围.(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的⾯积为S,求S的最⼩值及此时直线l的⽅程.【解析】(1)⽅法⼀:直线l的⽅程可化为y=k(x+2)+1,故⽆论k取何值,直线l总过定点(-2,1). ⽅法⼆:设直线l过定点(x0,y0),则kx0-y0+1+2k=0对任意k∈R恒成⽴,即(x0+2)k-y0+1=0恒成⽴,所以x0+2=0,-y0+1=0,解得x0=-2,y0=1,故直线l总过定点(-2,1).(2)直线l的⽅程为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则解得k的取值范围是[0,+∞).(3)依题意,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,所以A,B(0,1+2k).⼜-<0且1+2k>0,所以k>0.故S=|OA||OB|=×(1+2k)=≥(4+4)=4,当且仅当4k=,即k=时,取等号.故S的最⼩值为4,此时直线l的⽅程为x-2y+4=0.。

,解得 m=.
2.直线 2xcos α-y-3=0(α∈
A.
C.


,



,


B.
D.



,


)的倾斜角的变化范围是( B )

,



,


解析:直线 2xcos α-y-3=0 的斜率 k=2cos α.
由于α∈




, ,所以≤cos α≤ ,因此 k=2cos α∈[1, ].
x=ty+b.

1.(选择性必修第一册 P58 T7 改编)若直线经过两点 A(5,-m),B(-m,2m-1),且倾斜角为,
则 m 的值为( C )
A.2
B.3
C.-1
D.-


-+

--

解析:由题意可知 kAB=
=tan =1,解得 m=-1.

2.过点(1,0)且与直线 y=x-1 倾斜程度相同的直线方程是( A )




A.y=x-
B.y=x+
C.y=-2x+2
D.y=-x+






解析:依题意所求直线方程的斜率为 k= ,因此所求的直线方程为 y-0= (x-1),




即 y= x- .

3.直线-=1 在两坐标轴上的截距之和为( B )
A.1
B.-1
C.7
D.-7
解析:直线在x轴上截距为3,在y轴上截距为-4,因此截距之和为-1.

＝
a b
<0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ的倾斜
角的取值范围为π2，π.
(2)当 a＝－1 时，直线 l 的倾斜角为 90°，符合要求；当 a≠－1 时，直线 l 的斜率 为－a＋a 1， 则有－a＋a 1>1 或－a＋a 1<0，解得－1<a<－12或 a<－1 或 a>0.综上可知，实数 a 的 取值范围是－∞，－12∪(0，＋∞)．
考点三|两条直线的位置关系 (方法突破)
【例3】 (1)“a＝0”是“直线l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0与直线l2：2x＋ay－2a－1
＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B.必要不充分条件
C．充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是( )
名师点拨 判断两直线平行或垂直的两个策略 (1)设A2B2C2≠0，两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条 件为AA12＝BB12≠CC12.更一般地，两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行 的充要条件为A1B2－A2B1＝0，A1C2－A2C1≠0. (2)利用两直线的斜率判定两直线的平行、垂直关系时，注意斜率不存在的情况不 能忽略．
ax＋by＝1 (a≠0，b≠0)
一般式
Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)
不含直线x＝x1(x1＝x2) 和直线y＝y1(y1＝y2)
不含垂直于坐标轴和 过原点的直线 平面直角坐标系内的 直线都适用
5.线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1，P2的中点M的坐标为(x，

圆锥曲线表示的曲线 椭圆
双曲线 抛物线
• 4.直线与圆锥曲线的交点
• [判一判]
基础自测
• (1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要√条件。 ()
• 解析 正确。由f(x0，y0)＝0可知点P(x0，y0)在曲线f(x，y) ＝0上，又P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上时，×有f(x0，y0)＝0。 所以f(x0，y0)＝0是P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件。
• A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0 • C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0
解析 由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，
代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0。
答案 D
4．(2016·银川模拟)方程(x2＋y2－4) x＋y＋1＝0 的曲线形状是( )
• 【解】 如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线 为x轴建立平面直角坐标系。
由|O1O2|＝4，得 O1(－2,0)，O2(2,0)。 设动圆 M 的半径为 r。 则由动圆 M 与圆 O1 内切，有|MO1|＝r－1； 由动圆 M 与圆 O2 外切，有|MO2|＝r＋2， 所以|MO2|－|MO1|＝3。 所以点 M 的轨迹是以 O1，O2 为焦点，实轴长为 3 的双曲线的左支， 所以 a＝32，c＝2， 所以 b2＝c2－a2＝74， 所以点 M 的轨迹方程为49x2－47y2＝1x≤－23。
• (2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线。( ) ×
• 解析 错误。方程变形为x(x＋y－1)＝0，所以x＝0或x＋y
－1＝0。故方程表示直线x＝0或直线x＋y－1＝0。
√

即 3x－y－2 3－3＝0，
化成斜截式为 y＝ 3x－2 3－3.
【答案】 3x－y－2 3－3＝0 y＝ 3x－2 3－3
(1) (2012·福州模拟)若直线 l 与直线 y＝1，x＝7 分别交于点 P，
Q，且线段 PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线 l 的斜率为( )
1 A.3
B．－13
即 2x＋y－10＝0 或 8x＋9y－60＝0.
已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B 两点，如图8－1－1所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方 程．
图8－1－1 【思路点拨】 本题中条件与截距有关，可设直线方程为截距式，也 可根据直线过点P(3,2)，把直线方程设为点斜式，然后求出横纵截 距．
C．－32
2 D.3
(2)直线 xcos α＋ 3y＋2＝0 的倾斜角的范围是( )
A．[π6，π2)∪(π2，56π]
B．[0，6π]∪[56π，π)
C．[0，56π]
D．[π6，55π]
【思路点拨】 (1)分别设出P、Q点的坐标，利用中点坐标公式求解．
(2)根据cos α的范围确定直线斜率的范围，结合正切函数图象求倾斜角
A．－1 B．1 C．3 D．－3 【解析】 化圆为标准形式(x＋1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(－1,2)． ∵直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a＝0，∴a＝1. 【答案】 B
3．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三点共线，则x＝________.
【解析】 由已知得－x－1－53＝74－ －53，∴x＝－3. 【答案】 －3
【规范解答】 (1)当 k＝0 时，此时 A 点与 D 点重合，折痕所在 的直线方程为 y＝12.

2019/8/8
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解法二：设所求直线 l 的方程为ax＋by＝1(a>0，b>0)，则 2a＋1b＝1.
又∵a2＋b1≥2 a2b⇒21ab≥4，当且仅当2a＝1b＝12，即 a ＝4，b＝2 时，△AOB 面积 S＝12ab 有最小值为 4.
此时，直线 l 的方程是4x＋2y＝1，即 x＋2y－4＝0.
最小值为 4，此时，直线 l 的方程为 x＋y－3＝0.
2019/8/8
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解法二：设∠OAB＝θ， 则|PA|＝si1nθ，|PB|＝sin902°－θ＝co2sθ， ∴|PA|·|PB|＝sinθ2cosθ＝sin42θ，当 sin2θ＝1，θ＝π4时， |PA|·|PB|取得最小值 4，此时直线 l 的斜率为－1，又过定点 (2,1)，∴其方程为 x＋y－3＝0.
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5
5.[2018·荆州模拟]两直线mx －ny＝a 与nx－my ＝a(其中 a 是 不为零的常数)的图象可能是( )
解析 直线方程mx －ny＝a 可化为 y＝mn x－na，直线nx－my
＝a 可化为 y＝mn x－ma，由此可知两条直线的斜率同号．故
选 B.
2019/8/8
2019/8/8
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10
10.[2018·衡阳模拟]一条直线经过点 A(2，－ 3)，并且
它的倾斜角等于直线
y＝
1 3x
的倾斜角的
2
倍，则这条直线
的一般式方程是______3_x_－__y_－__3__3_＝__0_____．
2019/8/8
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考点一椭圆的定义、标准方程及应用命题角度1 椭圆的定义、标准方程例1（1）已知的两个顶点分别为，，的周长为18，则点的轨迹方程为（A）A. B.C. D.解：由题意,得，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆.设其标准方程为，则，，从而.又，，三点不共线，所以点不在轴上.故点的轨迹方程为.故选.（2）过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为.解：（方法一）依题意，设所求椭圆方程为.将点代入可得，解得（舍去）.所以所求椭圆的标准方程为.（方法二）椭圆的焦点为，，即.由椭圆的定义，知，解得.由可得.所以所求椭圆的标准方程为.故填.【点拨】①椭圆即点集，在运用椭圆的定义时，要留意“”这个条件.②求椭圆方程的基本方法是待定系数法，先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后依据条件建立关于，的方程组，假如焦点位置不确定，可设椭圆方程为，求出，的值即可.变式1（1）（教材习题）如图所示，圆的半径为定长,是圆内一个定点，是圆上随意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（A）A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆解：如图,连接.由已知,得.所以.又因为点在圆内，所以.依据椭圆的定义，知点的轨迹是以，为焦点，为长轴长的椭圆.故选.（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点,，，，则椭圆的方程为.解：依题意，设椭圆方程为.由解得所以椭圆的方程为.故填.命题角度2 椭圆的焦点三角形例2 已知，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且 .若的面积为，则3.解：因为，，所以，即.所以.所以.又因为，所以.或干脆由公式得.故填3.【点拨】焦点三角形中,利用定义可求其周长,利用意义和余弦定理可求,,通过整体代入可求其面积.变式2（1）已知椭圆上的一点到焦点的距离为6，是的中点，为坐标原点，则（C）A. 2B. 4C. 7D. 14解：如图所示，设椭圆的另一焦点为.因为，分别是和的中点，所以.由椭圆的方程,得,所以，所以，所以.故选.（2） [2024年全国甲卷]设，为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（B）A. 1B. 2C. 4D. 5解：依据题意，可得.又，，所以.故选.考点二椭圆的简洁几何性质命题角度1 求椭圆的离心率例3 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆短轴的一个顶点，且，则椭圆的离心率（A）A. B. C. D.解：由题意,得，.在中，由余弦定理，得，可得，即离心率.故选.【点拨】求椭圆的离心率关键在于构造关于，，的方程，通过代入消去得关于,的齐次式，再转化为关于的方程.求椭圆离心率的取值范围，则往往要借助椭圆的几何性质及平面几何的学问构造不等式.变式3（1） [2024年新课标Ⅰ卷]设椭圆，的离心率分别为，.若，则（A）A. B. C. D.解：由椭圆,可得，，所以.所以椭圆的离心率为.因为，所以，所以.所以，解得.故选.（2）已知椭圆的右焦点为，点和所连线段的中点在椭圆上，则椭圆的离心率为（A）A. B. C. D.解：设,则线段的中点坐标为,.代入椭圆方程，得,整理得,即.解得或（舍去）.故选.命题角度2 与椭圆有关的最值（范围）问题例4（1）已知是椭圆的左焦点，是此椭圆上的动点，是确定点，则的最大值为，最小值为.解：由题意，知，，，.设椭圆右焦点为，则，所以.如图，当,,三点共线时，取到最大值，或者最小值.所以的最大值为，最小值为故填；.（2） [2024年全国乙卷]设是椭圆的上顶点，点在上，则的最大值为（A）A. B. C. D. 2解：（方法一）设点.因为,,所以.而,所以当时，的最大值为.（方法二）依题意，知,点在上.设,,所以,当时，取得最大值，且最大值为.故选.【点拨】椭圆中距离的最值问题一般有三种解法.①利用椭圆的定义结合平面几何学问求解（适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率等状况）依据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题（适用于定点在椭圆的对称轴上等状况）用椭圆的参数方程设动点的坐标，转化为三角函数最值问题求解，不行轻视这种方法.变式4（1） [2024年新课标Ⅰ卷]已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（C）A. 13B. 12C. 9D. 6解：,，则，所以，当且仅当时等号成立.故的最大值为9.故选.（2）已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于，两点，若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（B）A. ，B. ，C. ，D. ，解：设为椭圆的左焦点，连接，，则四边形为平行四边形，所以，所以.不妨取，因为点到直线的距离不小于，所以，解得.所以离心率.所以,.故选.。