高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第八节 抛物线教案(含解析)-高三全册数学教案

浙江专用高考数学一轮复习第八章平面解析几何第八节抛物线教案含解析第八节抛物线1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0 x＝0焦点F⎝⎛⎭⎪⎫p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫0，p2F⎝⎛⎭⎪⎫0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋p2|PF|＝－x0＋p2|PF|＝y0＋p2|PF|＝－y0＋p2 1．(2018·杭州七校联考)抛物线C：y＝ax2的准线方程为y＝－14，则其焦点坐标为________，实数a的值为________．解析：由题意得焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，抛物线C 的方程可化为x 2＝1a y ，由题意得－14a ＝－14，解得a ＝1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 1 2．焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为________． 答案：y 2＝－4x 或x 2＝－8y3．(教材习题改编)抛物线y ＝4x 2的焦点坐标为__________；准线方程为____________． 解析：抛物线的标准方程为x 2＝14y ，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116，准线方程为y ＝－116.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 y ＝－1161．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p 易忽视，只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．3．抛物线的标准方程的形式要注意，根据方程求焦点坐标或准线方程时，要注意标准形式的确定．[小题纠偏]1．平面内到点(1,1)与到直线x ＋2y －3＝0的距离相等的点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．一条直线答案：D2．抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为________． 解析：由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .∴2p ＝18，p ＝116，∴焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－132. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，－132考点一 抛物线定义及应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2019·温州十校联考)设抛物线C ：y ＝14x 2的焦点为F ，直线l 交抛物线C 于A ，B两点，|AF |＝3，线段AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为4，则|BF |＝( )A.72 B ．5 C ．4D ．3解析：选B 抛物线C 的方程可化为x 2＝4y ，由线段AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为4，可得|AF |＋|BF |＝8，又|AF |＝3，所以|BF |＝5.2．已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B 依题意，由点M 向抛物线x 2＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1(图略)，则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，结合图形可知|MA |＋|MM 1|的最小值等于圆心C (－1,5)到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于6－1＝5，因此|MA |＋|MF |的最小值是5，故选B.[由题悟法]应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p2.[即时应用]1．如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析：选A 由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知其焦点F (1,0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1.∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ，∴|BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1.2．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A.355 B ．2 C.115D ．3解析：选B 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1,0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2. 考点二 抛物线的标准方程与几何性质题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]抛物线的标准方程及性质是高考的热点，多以选择题、填空题形式出现． 常见的命题角度有： (1)求抛物线方程；(2)抛物线的对称性．[题点全练]角度一：求抛物线方程1．(2019·台州重点校联考)已知直线l 过抛物线y 2＝－2px (p ＞0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝－12x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝－6xD ．y 2＝－4x解析：选B 过A ，B 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，由抛物线定义知|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，则|AA 1|＋|BB 1|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋p 2＝8，解得p ＝4，所以此抛物线的方程是y 2＝－8x .角度二：抛物线的对称性2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)分别交于O ，A ，B 三点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1 B.32C ．2D ．3解析：选B 双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ， 因为双曲线的离心率为2， 所以1＋b 2a 2＝2，ba ＝ 3.由⎩⎨⎧y ＝3x ，y 2＝2px ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p3，y ＝23p 3.由曲线的对称性及△AOB 的面积得， 2×12×23p 3×2p3＝3， 解得p 2＝94，即p ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＝－32舍去.[通法在握]求抛物线方程的3个注意点(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．[演练冲关]1．(2019·宁波质检)已知点M 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，F 为C 的焦点，MF 的中点坐标是(2,2)，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，由中点坐标公式可知p2＋y 212p＝2×2，y 1＋0＝2×2，解得p ＝4.2．(2019·丽水高三质检)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，与抛物线准线交于M ，且FM ＝3FP ，则|FP |＝( )A.32B.23C.43D.34解析：选C 设直线l 的倾斜角为θ，如图所示，过点P 作PN 垂直准线于点N ，由抛物线定义知|PN |＝|PF |.∵FM ＝3FP ，∴|FM |＝3|FP |，即|PM |＝2|PN |.在Rt △MNP 中，cos ∠MPN ＝12，∵PN ∥x 轴，∴cos θ＝12，由抛物线焦半径的性质可得|PF |＝p 1＋cos θ＝21＋12＝43，即|FP |＝43. 考点三 直线与抛物线的位置关系重点保分型考点——师生共研[典例引领](2018·长兴中学模拟)已知抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，P 为C 1上一点，|PF |＝4，点P 到y 轴的距离等于3.(1)求抛物线C 1的标准方程；(2)设A ，B 为抛物线C 1上的两个动点，且使得线段AB 的中点D 在直线y ＝x 上，P (0,2)为定点，求△PAB 面积的最大值．解：(1)由题意，p2＋3＝4，∴p ＝2，所以抛物线C 1的标准方程为y 2＝4x .(2)设直线AB ：x ＝ty ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋b ，y 2＝4x消元化简得y 2－4ty －4b ＝0，Δ＝16t 2＋16b ＞0.且y 1＋y 2＝4t ，x 1＋x 2＝t (y 1＋y 2)＋2b ＝4t 2＋2b ， 所以D (2t 2＋b,2t )，2t 2＋b ＝2t . 由Δ＞0得0＜t ＜2.所以点P 到直线AB 的距离d ＝|－2t －b |1＋t 2＝|2t 2－4t |1＋t 2， 所以|AB |＝1＋t216t 2＋16b ＝41＋t22t －t 2，所以S △ABP ＝12|AB |d ＝12×41＋t 22t －t 2|2t 2－4t |1＋t 2＝22t －t 2·|2t 2－4t |. 令m ＝2t －t 2，则m ∈(0,1]，且S △ABP ＝4m 3. 由函数单调性可知，(S △ABP )max ＝4.[由题悟法]解决直线与抛物线位置关系问题的2种常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用弦长公式．[即时应用]如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程． 解：(1)由已知，得抛物线的焦点为F (1,0)． 因为线段AB 的中点在直线y ＝2上， 所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4.又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1. (2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)＞0. |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2| ＝m 2＋1·y 1＋y 22－4y 1y 2＝m 2＋1·4m2－4×－4＝4(m 2＋1)．所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2，所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1，即x ±2y －1＝0.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·湖州质检)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，点C (－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝4x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x解析：选 D ∵AB ⊥x 轴，且AB 过点F ，∴AB 是焦点弦，∴|AB |＝2p ，∴S △CAB ＝12×2p ×⎝ ⎛⎭⎪⎫p2＋4＝24，解得p ＝4或p ＝－12(舍去)，∴直线AB 的方程为x ＝2，∴以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是y 2＝－8x ，故选D.2．(2018·江山质检)在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为( )A.12 B ．1 C ．2D ．3解析：选C 由抛物线的定义可知，4＋p2＝5，解得p ＝2.3．(2018·珠海模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角等于( )A.7π12B.2π3C.3π4D.5π6解析：选B 由抛物线y 2＝4x 知焦点F (1,0)，准线l 的方程为x ＝－1，由抛物线定义知|PA |＝|PF |＝4，所以点P 的坐标为(3,23)，因此点A 的坐标为(－1,23)，所以k AF ＝23－0－1－1＝－3，所以直线AF 的倾斜角为2π3.4．(2019·宁波六校联考)已知抛物线C ：y 2＝23x ，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的投影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝( )A ．8B ．2 3C ．4 3D ．8 3解析：选B 法一：由题意可得p ＝3，F ⎝⎛⎭⎪⎫32，0.不妨设点P 在x 轴上方，由抛物线定义可知|PF |＝|PM |，|Q F |＝|Q N |，设直线P Q 的倾斜角为θ，则tan θ＝3，∴θ＝π3，由抛物线焦半径的性质可知，|PF |＝p1－cos θ＝31－cosπ3＝23，|Q F |＝p1＋cos θ＝31＋cosπ3＝233，∴|MN |＝|P Q|sin θ＝(|PF |＋|Q F |)·sin π3＝833×32＝4，∴S △MFN ＝12|MN |·p ＝12×4×3＝2 3.法二：由题意可得F ⎝⎛⎭⎪⎫32，0，直线P Q 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －32＝3x －32，与抛物线方程y 2＝23x 联立，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －322＝23x ，即3x 2－53x ＋94＝0，设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝533，∴|P Q|＝x 1＋x 2＋p ＝533＋3＝833，∵直线P Q 的斜率为3，∴直线P Q 的倾斜角为π3.∴|MN |＝|P Q|sin π3＝833×32＝4，∴S △MFN ＝12×4×3＝2 3.5．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P 到x 轴的距离为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x Px P －－1＝12，解得x P ＝1，所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2. 答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·临海期初)动圆过点(0,1)，且与直线y ＝－1相切，则动圆圆心的轨迹方程为( )A ．y ＝0B ．x 2＋y 2＝1 C ．x 2＝4yD ．y 2＝4x解析：选C 设动圆圆心M (x ，y )，则x 2＋y －12＝|y ＋1|，解得x 2＝4y .2．(2018·绍兴二模)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝3(x －1)与抛物线C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)．若AF ＝mFB ，则m 的值为( )A. 3B.32C ．2D ．3解析：选D 直线方程为x ＝33y ＋1，代入y 2＝4x 可得y 2－433y －4＝0，则y A ＝23，y B ＝－233，所以|y A |＝3|y B |，因为AF ＝mFB ，所以m ＝3. 3．(2018·宁波十校联考)已知抛物线x 2＝4y ，过焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点(点A 在第一象限)，若直线l 的倾斜角为30°，则|AF ||BF |的值等于( )A ．3 B.52C ．2D.32解析：选A 由题可得，F (0,1)，设l ：y ＝33x ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将直线方程与抛物线方程联立，消去x ，化简得3y 2－10y ＋3＝0，解得y 1＝3，y 2＝13.由抛物线的定义可知|AF ||BF |＝y 1＋1y 2＋1＝3＋113＋1＝3.4．已知P 为抛物线y ＝12x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为点M ，点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫6，172，则|PA |＋|PM |的最小值是( )A ．8 B.192C ．10D.212解析：选B 依题意可知焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，准线方程为y ＝－12，延长PM 交准线于点H (图略)．则|PF |＝|PH |，|PM |＝|PF |－12，|PM |＋|PA |＝|PF |＋|PA |－12，即求|PF |＋|PA |的最小值． 因为|PF |＋|PA |≥|FA |， 又|FA |＝62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫172－122＝10.所以|PM |＋|PA |≥10－12＝192，故选B.5．(2019·嘉兴六校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且|MO |＝|MF |＝32(O 为坐标原点)，则OM ·MF ＝( )A ．－74B.74C.94D ．－94解析：选A 设M (m ，2pm )，抛物线C 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，因为|MO |＝|MF |＝32，所以m 2＋2pm ＝94 ①，m ＋p 2＝32 ②，由①②解得m ＝12，p ＝2，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，F (1,0)，所以OM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，MF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，故OM ·MF ＝14－2＝－74.6．(2018·宁波期初)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，若点M 在抛物线上，|MF |＝4，O 为坐标原点，则∠MFO ＝________.解析：由题可得，p ＝2，焦点在y 轴正半轴，所以F (0,1)． 因为|MF |＝4，所以M (±23，3)．所以tan ∠MFO ＝－tan(π－∠MFO )＝－233－1＝－3，所以∠MFO ＝2π3.答案：2π37．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为________．解析：如图，由题可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0(y 0＞0)，则OM ―→＝OF ―→＋FM ―→＝OF ―→＋13FP ―→＝OF ―→＋13(OP ―→－OF ―→)＝13OP ―→＋23OF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 26p ＋p 3，y 03，k OM ＝y 03y 206p ＋p 3＝2y 0p ＋2p y 0≤222＝22，当且仅当y 20＝2p 2时等号成立，所以直线OM 的斜率的最大值为22. 答案：228．(2018·嵊州一模)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点M (5，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C 点，|BF |＝3，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF＝________.解析：设点A 在第一象限，B 在第四象限，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋ 5.由y 2＝4x ，得p ＝2，因为|BF |＝3＝x 2＋p2＝x 2＋1，所以x 2＝2，则y 22＝4x 2＝4×2＝8，所以y 2＝－22，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋5，得y 2－4my －45＝0，则y 1y 2＝－45，所以y 1＝10，由y 21＝4x 1，得x 1＝52.过点A 作AA ′垂直于准线x ＝－1，垂足为A ′，过点B 作BB ′垂直于准线x ＝－1，垂足为B ′，易知△CBB ′∽△CAA ′，所以S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BB ′||AA ′|.又|BB ′|＝|BF |＝3，|AA ′|＝x 1＋p 2＝52＋1＝72，所以S △BCF S △ACF ＝372＝67.答案：679．(2018·杭州高三检测)如图，过抛物线M ：y ＝x 2上一点A (点A 不与原点O 重合)作抛物线M 的切线AB 交y 轴于点B ，点C 是抛物线M 上异于点A 的点，设G 为△ABC 的重心(三条中线的交点)，直线CG 交y 轴于点D .(1)设A (x 0，x 20)(x 0≠0)，求直线AB 的方程； (2)求|OB ||OD |的值．解：(1)因为y ′＝2x ，所以直线AB 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0， 所以直线AB 的方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)， 即y ＝2x 0x －x 20.(2)由(1)得，点B 的纵坐标y B ＝－x 20，所以AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0. 设C (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，直线CG 的方程为x ＝my ＋x 02.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋x 02，y ＝x 2，得m 2y 2＋(mx 0－1)y ＋x 204＝0.因为G 为△ABC 的重心，所以y 1＝3y 2. 由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝4y 2＝1－mx 0m 2，y 1y 2＝3y 22＝x 204m 2.所以y 22＝1－mx 0216m4＝x 2012m2，解得mx 0＝－3±2 3.所以点D 的纵坐标y D ＝－x 02m ＝x 206±43，故|OB ||OD |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y B y D ＝43±6. 10．(2018·台州模拟)已知抛物线C 1：y 2＝4x 和C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，点P (－1，－1)，且F 1F 2⊥OP (O 为坐标原点)．(1)求抛物线C 2的方程；(2)过点O 的直线交C 1的下半部分于点M ，交C 2的左半部分于点N ，求△PMN 面积的最小值．解：(1)由题意知F 1(1,0)，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，则F 1F 2―→＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，p 2，∵F 1F 2⊥OP ，∴F 1F 2―→·OP ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，p 2·(－1，－1)＝1－p 2＝0，∴p ＝2，∴抛物线C 2的方程为x 2＝4y . (2)设过点O 的直线为y ＝kx (k ＜0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，y 2＝4x 得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k2，4k ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2＝4y 得N (4k,4k 2)，从而|MN |＝1＋k 2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 2－4k ＝1＋k 2·⎝⎛⎭⎪⎫4k2－4k ，又点P 到直线MN 的距离d ＝|k －1|1＋k2，故S △PMN ＝12·|k －1|1＋k 2·1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－4k ＝21－k1－k3k 2＝21－k21＋k ＋k2k 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k－2⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k＋1， 令t ＝k ＋1k(t ≤－2)，则S △PMN ＝2(t －2)(t ＋1)≥8，当t ＝－2，即k ＝－1时，S △PMN 取得最小值．即当过点O 的直线为y ＝－x 时，△PMN 面积的最小值为8.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·台州高三模拟)已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)，点M 是抛物线的准线与y 轴的交点，过点A (0，λp )(λ∈R)的动直线l 交抛物线于B ，C 两点．(1)求证：MB ·MC ≥0，并求等号成立时实数λ的值；(2)当λ＝2时，设分别以OB ，OC (O 为坐标原点)为直径的两圆相交于另一点D ，求|DO |＋|DA |的最大值．解：(1)由题意知动直线l 的斜率存在，且过点A (0，λp )， 则可设动直线l 的方程为y ＝kx ＋λp ，代入x 2＝2py (p ＞0)，消去y 并整理得x 2－2pkx －2λp 2＝0，Δ＝4p 2(k 2＋2λ)＞0，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2λp 2，y 1y 2＝(kx 1＋λp )(kx 2＋λp )＝k 2x 1x 2＋λpk (x 1＋x 2)＋λ2p 2＝λ2p 2， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2λp ＝2pk 2＋2λp ＝2p (k 2＋λ)．因为抛物线x 2＝2py 的准线方程为y ＝－p2，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2，所以MB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，y 1＋p 2，MC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2＋p 2， 所以MB ·MC ＝x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2＋p 2＝x 1x 2＋y 1y 2＋p2(y 1＋y 2)＋p 24＝－2λp 2＋λ2p 2＋p2[2p (k 2＋λ)]＋p 24＝p 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 2＋⎝⎛⎭⎪⎫λ－122≥0，当且仅当k ＝0，λ＝12时等号成立．(2)由(1)知，当λ＝2时，x 1x 2＝－4p 2，y 1y 2＝4p 2， 所以OB ·OC ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0， 所以OB ⊥OC .设直线OB 的方程为y ＝mx (m ≠0)，与抛物线的方程x 2＝2py 联立可得B (2pm,2pm 2)， 所以以OB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pmx －2pm 2y ＝0.因为OB ⊥OC ，所以直线OC 的方程为y ＝－1mx .同理可得以OC 为直径的圆的方程为 x 2＋y 2＋2p m x －2pm 2y ＝0，即m 2x 2＋m 2y 2＋2pmx －2py ＝0，将两圆的方程相加消去m ，得x 2＋y 2－2py ＝0， 即x 2＋(y －p )2＝p 2，所以点D 的轨迹是以OA 为直径的圆， 所以|DA |2＋|DO |2＝4p 2， 由|DA |2＋|DO |22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫|DA |＋|DO |22，得|DA |＋|DO |≤22p ，当且仅当|DA |＝|DO |＝2p 时，等号成立． 故(|DA |＋|DO |)max ＝22p .2.如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)． 因为点P (1,2)在抛物线上， 所以22＝2p ×1， 解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB . 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)， 因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， 所以k PA ＝－k PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，所以y 1＋2＝－(y 2＋2)．所以y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， 所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．。

１．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：（１）在平面内；（２）动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；（３）定点不在定直线上．２．抛物线的标准方程与几何性质错误!设AB是过抛物线y２＝２px（p＞0）焦点F的弦，若A（x１，y１），B（x２，y２），则（１）x１x２＝错误!，y１y２＝—p２.（２）弦长|AB|＝x１＋x２＋p＝错误!（α为弦AB的倾斜角）．（３）以弦AB为直径的圆与准线相切．（４）通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于２p，通径是过焦点最短的弦．一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．（）（２）若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．（）（３）方程y＝ax２（a≠0）表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是错误!，准线方程是x＝—错误!. （）（４）抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．（）[答案]（１）×（２）×（３）×（４）×二、教材改编１．过抛物线y２＝４x的焦点的直线l交抛物线于P（x１，y１），Q（x２，y２）两点，如果x１＋x２＝6，则|PQ|等于（）Ａ．9 Ｂ．8 Ｃ．7 Ｄ．6B[抛物线y２＝４x的焦点为F（１,0），准线方程为x＝—１．根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x１＋１＋x２＋１＝x１＋x２＋２＝8．]２．若抛物线y＝４x２上的一点M到焦点的距离为１，则点M的纵坐标是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．0B[M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝—错误!，设M（x，y），则y＋错误!＝１，∴y＝错误!.]３．设抛物线y２＝8x上一点P到y轴的距离是４，则点P到该抛物线焦点的距离是（）Ａ．４Ｂ．6Ｃ．8 Ｄ．１２B[如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝—２，F是抛物线的焦点，过点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|＝２．由于点P到y轴的距离为４，则点P到准线l的距离|PB|＝４＋２＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6．故选Ｂ．]４．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P（—４，—２）的抛物线的标准方程是．y２＝—x或x２＝—8y[若焦点在y轴上，设抛物线方程为x２＝my，由题意可知１6＝—２m，∴m ＝—8，即x２＝—8y.若焦点在x轴上，设抛物线方程为y２＝nx，由题意，得４＝—４n，∴n＝—１，∴y ２＝—x.综上知，y２＝—x或x２＝—8y.]考点１抛物线的定义及应用（１）应用抛物线定义的两个关键点１由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．２注意灵活运用抛物线上一点P（x0，y0）到焦点F的距离|PF|＝|x0|＋错误!或|PF|＝|y0|＋错误!.（２）解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径是：“看到准线想焦点，看到焦点想准线”．（１）已知F是抛物线y２＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点|AF|＋|BF|＝３，则线段AB的中点到准线的距离为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．１Ｄ．３（２）设P是抛物线y２＝４x上的一个动点，若B（３,２），则|PB|＋|PF|的最小值为．（１）B（２）４[（１）∵F是抛物线y２＝x的焦点，∴F错误!，准线方程x＝—错误!，设A（x１，y１），B（x２，y２），根据抛物线的定义可得|AF|＝x１＋错误!，|BF|＝x２＋错误!，∴|AF|＋|BF|＝x１＋错误!＋x２＋错误!＝３．解得x１＋x２＝错误!，∴线段AB的中点横坐标为错误!，∴线段AB的中点到准线的距离为错误!＋错误!＝错误!.故选Ｂ．（２）如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P１，则|P１Q|＝|P１F|.则有|PB|＋|PF|≥|P １B|＋|P１Q|＝|BQ|＝４，即|PB|＋|PF|的最小值为４．][母题探究]１．若将例（２）中的B点坐标改为（３,４），试求|PB|＋|PF|的最小值．[解] 由题意可知点B（３,４）在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F（１,0），∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝错误!＝２错误!，即|PB|＋|PF|的最小值为２错误!.２．若将例（２）中的条件改为：已知抛物线方程为y２＝４x，直线l的方程为x—y＋５＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d１，到直线l的距离为d２，求d１＋d２的最小值．[解] 由题意知，抛物线的焦点为F（１,0）．点P到y轴的距离d１＝|PF|—１，所以d１＋d２＝d２＋|PF|—１．易知d２＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d２＋|PF|的最小值为错误!＝３错误!，所以d１＋d２的最小值为３错误!—１．与抛物线有关的最值问题的转换方法（１）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．（２）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．（２0１7· 全国卷Ⅱ）已知F是抛物线C：y２＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝ .6 [如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.由题意知，F（２,0），|FO|＝|AO|＝２．∵点M为FN的中点，PM∥OF，∴|MP|＝错误!|FO|＝１．又|BP|＝|AO|＝２，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝３．由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝３，故|FN|＝２|MF|＝6．]考点２抛物线的标准方程及其性质求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.（１）（２0１9·潍坊模拟）抛物线y２＝２px（p>0）的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝４|OF|，△MFO的面积为４错误!，则抛物线的方程为（）Ａ．y２＝6xＢ．y２＝8xＣ．y２＝１6xＤ．y２＝错误!（２）[一题多解]在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y２＝４x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为１２0°，那么|PF|＝ .（１）B（２）４[（１）设M（x，y），因为|OF|＝错误!，|MF|＝４|OF|，所以|MF|＝２p，由抛物线定义知x＋错误!＝２p，所以x＝错误!p，所以y＝±错误!p. 又△MFO的面积为４错误!，所以错误!×错误!×错误!p＝４错误!，解得p＝４（p＝—４舍去）．所以抛物线的方程为y２＝8x.（２）法一：抛物线y２＝４x的焦点为F（１,0），准线方程为x＝—１．因为直线AF的倾斜角为１２0°，所以∠AFO＝60°.又tan 60°＝错误!，所以y A＝２错误!.因为PA⊥l，所以y P＝y A＝２错误!.将其代入y２＝４x，得x P＝３，所以|PF|＝|PA|＝３—（—１）＝４．法二：抛物线y２＝４x的焦点为F（１,0），准线方程为x＝—１．因为PA⊥l，所以|PA|＝|PF|.又因为直线AF的倾斜角为１２0°，所以∠AFO＝60°，所以∠PAF＝60°，所以△PAF为等边三角形，所以|PF|＝|AF|＝错误!＝４．]在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．１．（２0１6·全国卷Ⅰ）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝４错误!，|DE|＝２错误!，则C的焦点到准线的距离为（）Ａ．２Ｂ．４Ｃ．6 Ｄ．8B[设抛物线的方程为y２＝２px（p＞0），圆的方程为x２＋y２＝r２.∵|AB|＝４错误!，|DE|＝２错误!，抛物线的准线方程为x＝—错误!，∴不妨设A错误!，D错误!.∵点A错误!，D错误!在圆x２＋y２＝r２上，∴错误!∴错误!＋8＝错误!＋５，∴p＝４（负值舍去）．∴C的焦点到准线的距离为４．]２．如图所示，过抛物线y２＝２px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝２|BF|，且|AF|＝４，则抛物线的方程为（）Ａ．y２＝8xＢ．y２＝４xＣ．y２＝２xＤ．y２＝xB[如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设准线与x轴交于点G，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝２a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝３0° ，则在Rt△ACE中，２|AE|＝|AC|，又|AF|＝４，∴|AC|＝４＋３a，|AE|＝４，∴４＋３a＝8，从而得a ＝错误!，∵AE∥FG，∴错误!＝错误!，即错误!＝错误!，p＝２．∴抛物线的方程为y２＝４x.故选Ｂ．]考点３直线与抛物线的位置关系求解抛物线综合问题的方法（１）研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．（２）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x１＋x２＋p（焦点在x轴正半轴），若不过焦点，则必须用弦长公式．提醒：涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解．（１）过点（0,１）作直线，使它与抛物线y２＝４x仅有一个公共点，这样的直线有条．（２）（２0１9·全国卷Ⅰ）已知抛物线C：y２＝３x的焦点为F，斜率为错误!的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.１若|AF|＋|BF|＝４，求l的方程；２若错误!＝３错误!，求|AB|.（１）３[（１）结合图形分析可知（图略），满足题意的直线共有３条：直线x＝0，过点（0,１）且平行于x轴的直线以及过点（0,１）且与抛物线相切的直线（非直线x＝0）．]（２）[解] 设直线l：y＝错误!x＋t，A错误!，B错误!.１由题设得F错误!，故|AF|＋|BF|＝x１＋x２＋错误!，由题设可得x１＋x２＝错误!.由错误!，可得9x２＋１２（t—１）x＋４t２＝0，则x１＋x２＝—错误!.从而由—错误!＝错误!，得t＝—错误!.所以l的方程为y＝错误!x—错误!.２由错误!＝３错误!得y１＝—３y２.由错误!，得y２—２y＋２t＝0．所以y１＋y２＝２．从而—３y２＋y２＝２，故y２＝—１，y１＝３．代入C的方程得x１＝３，x２＝错误!.故|AB|＝错误!.解答本例（２）第２问的关键是从条件“错误!＝３错误!”中发现变量间的关系“y１＝—３y２”，从而为方程组的消元提供明确的方向．[教师备选例题]１．（２0１8·全国卷Ⅱ）设抛物线C：y２＝４x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C 交于A，B两点，|AB|＝8．（１）求l的方程；（２）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．[解]（１）由题意得F（１,0），l的方程为y＝k（x—１）（k＞0）．设A（x１，y１），B（x２，y２）．由错误!得k２x２—（２k２＋４）x＋k２＝0．Δ＝１6k２＋１6＞0，故x１＋x２＝错误!.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝（x１＋１）＋（x２＋１）＝错误!.由题设知错误!＝8，解得k＝—１（舍去）或k＝１．因此l的方程为y＝x—１．（２）由（１）得AB的中点坐标为（３,２），所以AB的垂直平分线方程为y—２＝—（x—３），即y＝—x＋５．设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则错误!解得错误!或错误!因此所求圆的方程为（x—３）２＋（y—２）２＝１6或（x—１１）２＋（y＋6）２＝１４４．２．（２0１9·金华模拟）已知抛物线C：y２＝２px（p>0）在第一象限内的点P（２，t）到焦点F 的距离为错误!.（１）若N错误!，过点N，P的直线l１与抛物线相交于另一点Q，求错误!的值；（２）若直线l２与抛物线C相交于A，B两点，与圆M：（x—a）２＋y２＝１相交于D，E两点，O 为坐标原点，OA⊥OB，试问：是否存在实数a，使得|DE|为定值？若存在，求出a的值；若不存存，请说明由．[解]（１）∵点P（２，t）到焦点F的距离为错误!，∴２＋错误!＝错误!，解得p＝１，故抛物线C的方程为y２＝２x，P（２,２），∴l１的方程为y＝错误!x＋错误!，联立得错误!解得x Q＝错误!，又|QF|＝x Q＋错误!＝错误!，|PF|＝错误!，∴错误!＝错误!＝错误!.（２）设直线l２的方程为x＝ny＋m（m≠0），代入抛物线方程可得y２—２ny—２m＝0，设A（x，y１），B（x２，y２），则y１＋y２＝２n，y１y２＝—２m，１１由OA⊥OB得，（ny１＋m）（ny２＋m）＋y１y２＝0，整理得（n２＋１）y１y２＋nm（y１＋y２）＋m２＝0，２将１代入２解得m＝２或m＝0（舍去），满足Δ＝４n２＋8m>0，∴直线l２：x＝ny＋２，∵圆心M（a,0）到直线l２的距离d＝错误!，∴|DE|＝２错误!，显然当a＝２时，|DE|＝２，∴存在实数a＝２，使得|DE|为定值．１．[一题多解]过抛物线y２＝４x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝２|BF|，则|AB|等于（）Ａ．４Ｂ．错误!Ｃ．５Ｄ．6B[法一：（直接法）易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k（x—１）．由错误!得k２x２—（２k２＋４）x＋k２＝0，得x A·x B＝１，１因为|AF|＝２|BF|，由抛物线的定义得x A＋１＝２（x B＋１），即x A＝２x B＋１，２由１２解得x A＝２，x B＝错误!，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x A＋x B＋p＝错误!.法二：（应用性质）由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝３m，由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝２m，|BC|＝|BF|＝m，所以cos θ＝错误!＝错误!，所以tan θ＝２错误!.则sin２θ＝8cos２θ，∴sin２θ＝错误!.又y２＝４x，知２p＝４，故利用弦长公式|AB|＝错误!＝错误!.法三：（应用性质）因为|AF|＝２|BF|，错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!＝１，解得|BF|＝错误!，|AF|＝３，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝错误!.]２．（２0１9·临沂模拟）已知点A（m,４）（m＞0）在抛物线x２＝４y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l１和l２，且l１，l２与抛物线的另一个交点分别为B，C.（１）求证：直线BC的斜率为定值；（２）若抛物线上存在两点关于BC对称，求|BC|的取值范围．[解]（１）证明：∵点A（m,４）在抛物线上，∴１6＝m２，∴m＝±４，又m＞0，∴m＝４．设B（x１，y１），C（x２，y２），则k AB＋k AC＝错误!＋错误!＝错误!＝0，∴x１＋x２＝—8．∴k BC＝错误!＝错误!＝错误!＝—２，∴直线BC的斜率为定值—２．（２）设直线BC的方程为y＝—２x＋b，P（x３，y３），Q（x４，y４）关于直线BC对称，设PQ的中点为M（x0，y0），则k PQ＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，∴x0＝１．∴M（１，—２＋b）．又点M在抛物线内部，∴—２＋b＞错误!，即b＞错误!.由错误!得x２＋8x—４b＝0，∴x３＋x４＝—8，x３x４＝—４b.∴|BC|＝错误!|x３—x４|＝错误!·错误!＝错误!×错误!.又b＞错误!，∴|BC|＞１0错误!.∴|BC|的取值范围为（１0错误!，＋∞）．。

8.7 抛物线[知识梳理]1．抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质3．必记结论(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．(2)y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4.(3)直线AB 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图．①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.②|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . ③1|AF |＋1|BF |为定值2p . ④弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)．⑤以AB 为直径的圆与准线相切．⑥焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°. [诊断自测] 1．概念思辨(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，准线方程是x ＝－a4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a ＞0)的通径长为2a .( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．教材衍化(1)(选修A1－1P 64A 组T 2)抛物线y ＝1ax 2(a ≠0)的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4或⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 4B.⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0 答案 C解析 把方程写成x 2＝ay ，若a >0，则p ＝a2，焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4；若a <0，则p ＝－a2，开口向下，焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4.故选C.(2)(选修A1－1P 61例4)若过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( )A ．8B ．16C ．32D ．64答案 B解析 由抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，得直线的方程为y ＝x －2，代入y 2＝8x ，得(x －2)2＝8x ，即x 2－12x ＋4＝0，所以x 1＋x 2＝12，弦长为x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16.故选B.3．小题热身(1)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1 D. 3答案 B解析 由抛物线y 2＝4x ，有2p ＝4⇒p ＝2，焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，不妨取其中一条3x －y ＝0，由点到直线的距离公式，有d ＝|3×1－0|(3)2＋(－1)2＝32.故选B.(2)(2018·正定一模)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则ba＝________.答案 1＋ 2解析 |OD |＝a 2，|DE |＝b ，|DC |＝a ，|EF |＝b ，故C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2＋b ，b ，又抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，从而有⎩⎪⎨⎪⎧(－a )2＝2p ×a 2，b 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝p ，b 2＝ap ＋2bp ，∴b 2＝a 2＋2ab ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－2·ba－1＝0，又b a>1，∴b a＝1＋ 2.题型1 抛物线的定义及应用典例(2016·浙江高考)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．抛物线定义法．答案 9解析 设M (x 0，y 0)，由抛物线方程知焦点F (1,0)．根据抛物线的定义得|MF |＝x 0＋1＝10，∴x 0＝9，即点M 到y 轴的距离为9.[条件探究1] 将典例条件变为“过该抛物线焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，若|AF |＝3”，求△AOB 的面积．解 焦点F (1,0)，设A ，B 分别在第一、四象限，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得A 的横坐标为2，纵坐标为22，AB 的方程为y ＝22(x －1)，与抛物线方程联立可得2x 2－5x ＋2＝0，所以B 的横坐标为12，纵坐标为－2，S △AOB ＝12×1×(22＋2)＝322.[条件探究2] 将典例条件变为“在抛物线上找一点M ，使|MA |＋|MF |最小，其中A (3,2)”．求M 点坐标及此时的最小值．解 如图，点A 在抛物线y 2＝4x 的内部，由抛物线的定义可知，|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MH |，其中|MH |为M 到抛物线的准线的距离．过A 作抛物线准线的垂线交抛物线于M 1，垂足为B ， 则|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MH |≥|AB |＝4， 当且仅当点M 在M 1的位置时等号成立． 此时M 1点的坐标为(1,2)． 方法技巧利用抛物线的定义可解决的常见问题1．轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．见典例．2．距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．见条件探究2.3．看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．冲关针对训练(2017·湖北二模)设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA |＋|FB |＋|FC |的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案 B解析 抛物线y 2＝4x 焦点坐标为F (1,0)，准线方程x ＝－1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3) ∵FA →＋FB →＋FC →＝0， ∴点F 是△ABC 重心，则x 1＋x 2＋x 33＝1，∴x 1＋x 2＋x 3＝3.由抛物线的定义可知：|FA |＋|FB |＋|FC |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＋(x 3＋1)＝6， ∴|FA |＋|FB |＋|FC |＝6，故选B. 题型2 抛物线的标准方程及性质典例1设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x本题采用待定系数法，列方程求解．答案 C解析 以MF 为直径的圆过点(0,2)，∴点M 在第一象限．由|MF |＝x M ＋p2＝5可得M ⎝⎛⎭⎪⎫5－p 2， 2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，以MF 为直径的圆，其圆心N 为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，122p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，∵点N 的横坐标恰好等于圆的半径，∴圆与y 轴切于点(0,2)，从而2＝122p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，即p 2－10p ＋16＝0，解得p ＝2或p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .故选C.典例2 (2016·天津高考)设抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数，p >0)的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫72p ，0，AF 与BC 相交于点E .若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为________．答案6解析 根据题意作出如图所示图形，由已知得抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则|FC |＝3p ，∴|AF |＝|AB |＝32p ，不妨设A 在第一象限，则A (p ，2p )．易证△EFC ∽△EAB ，所以|EF ||AE |＝|FC ||AB |＝|FC ||AF |＝2，所以|AE ||AF |＝13，所以S △ACE ＝13S △AFC ＝13×32p ×2p ＝22p 2＝32，所以p ＝ 6.方法技巧确定及应用抛物线性质的关键与技巧1．关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．见典例1.2．技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．见典例2.冲关针对训练1.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x答案 C解析 设A ，B 在准线上的射影分别为A 1，B 1， 由于|BC |＝2|BF |＝2|BB 1|，则直线l 的斜率为3， 故|AC |＝2|AA 1|＝6，从而|BF |＝1，|AB |＝4，故p |AA 1|＝|CF ||AC |＝12，即p ＝32，从而抛物线的方程为y 2＝3x ，故选C. 2．(2018·河南洛阳统考)已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a ＞0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________．答案 x ＝－2解析 将双曲线方程化为标准方程得x 2a 2－y 23a 2＝1，可得F 2(2a,0)，又易知其也是抛物线的焦点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 23a2＝1，y 2＝8ax⇒x ＝3a ，即点P 的横坐标为3a .而由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝12，|PF 1|－|PF 2|＝2a ⇒|PF 2|＝6－a ，∴|PF 2|＝3a ＋2a ＝6－a ，得a ＝1，∴抛物线的准线方程为x ＝－2.题型3 直线与抛物线的综合问题角度1 直线与抛物线的交点问题典例 (2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．本题采用方程组法．解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t .又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，故ON 的方程为y ＝p t x ，将其代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p ，因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点． 理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p2t x ， 即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px ，得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．角度2 与抛物线弦中点有关的问题典例(2018·郑州模拟)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m ＞0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .(1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14m .(2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.(3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)＞0⇒m ＞－12.设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m ，x 1·x 2＝－2m.(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，mx 21＋mx 222，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，y P ， ∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，1m . 得QA →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1－1m，mx 21－1m ，QB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1m，mx 22－1m ，若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 21－1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 22－1m ＝0，结合(*)化简得－4m2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，－12∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. ∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形． 方法技巧解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法1．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．2．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．见角度2典例．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．冲关针对训练已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解 (1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±2 2.由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)． 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．题型4 抛物线中的最值问题典例1(2017·成都四模)如图所示点F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，点A ，B 分别在抛物线y 2＝8x 及圆x 2＋y 2－4x －12＝0的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则△FAB 的周长的取值范围是( )A ．(6,10)B ．(8,12)C ．[6,8]D ．[8,12]利用抛物线定义，圆的半径及AB 长表示出△FAB的周长为x B ＋6，再确定x B 的范围即可．答案 B解析 抛物线的准线l ：x ＝－2，焦点F (2,0)， 由抛物线定义可得|AF |＝x A ＋2，圆(x －2)2＋y 2＝16的圆心为(2,0)，半径为4，∴△FAB 的周长＝|AF |＋|AB |＋|BF |＝x A ＋2＋(x B －x A )＋4＝6＋x B . 由抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16可得交点的横坐标为2，∴x B ∈(2,6)，∴6＋x B ∈(8,12)．故选B.典例2抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是________ .平移直线法．答案 43解析 如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x ＋3y ＋b＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0，消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－43，所以切线方程为4x＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8－435＝43.方法技巧与抛物线有关的最值问题，一般通过数形结合思想或函数方程思想来解决．注意“定义转化法”(典例1)，“平移直线法”(典例2)．冲关针对训练(2017·浙江模拟)已知F 为抛物线4y 2＝x 的焦点，点A ，B 都是抛物线上的点且位于x 轴的两侧，若OA →·OB →＝15(O 为原点)，则△ABO 与△AFO 的面积之和的最小值为( )A.18B.52C.54D.652答案 D解析 设直线AB 的方程为：x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB 与x 轴的交点为M (m,0)，⎩⎪⎨⎪⎧4y 2＝x ，x ＝ty ＋m ，可得4y 2－ty －m ＝0，根据韦达定理有y 1·y 2＝－m4，∵OA →·OB →＝15， ∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝15，从而16(y 1·y 2)2＋y 1·y 2－15＝0. ∴y 1y 2＝－1或y 1y 2＝1516.∵点A ，B 位于x 轴的两侧， ∴y 1·y 2＝－1，故m ＝4.不妨令点A 在x 轴上方，则y 1>0，又F ⎝⎛⎭⎪⎫116，0，∴S △ABO ＋S △AFO ＝12×4×(y 1－y 2)＋12×116y 1＝6532y 1＋2y 1≥265y 132×2y 1＝652， 当且仅当6532y 1＝2y 1，即y 1＝86565时，取“＝”号，∴△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是652， 故选D.1.(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 不妨设C ：y 2＝2px (p >0)，A (x 1,22)，则x 1＝(22)22p ＝4p，由题意可知|OA |＝|OD |，得⎝ ⎛⎭⎪⎫4p 2＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋5，解得p ＝4.故选B. 2．(2015·浙江高考)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1答案 A解析 过A ，B 点分别作y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，则|AM |＝|AF |－1，|BN |＝|BF |－1.可知S △BCF S △ACF ＝12·|CB |·|CF |·sin∠BCF12·|CA |·|CF |·sin∠BCF ＝|CB ||CA |＝|BN ||AM |＝|BF |－1|AF |－1，故选A.3．(2017·全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.答案 6解析 如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3， 故|FN |＝2|MF |＝6.4．(2018·河北六校模拟)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．答案 y 2＝16x解析 设满足题意的圆的圆心为M .根据题意可知圆心M 在抛物线上， 又∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6，则|MF |＝x M ＋p 2＝6，即x M ＝6－p2，又由题意可知x M ＝p 4，∴p4＝6－p2，解得p ＝8.∴抛物线方程为y 2＝16x .[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．(2017·皖北协作区联考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为45，则抛物线C 的方程为( )A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．x 2＝2yD ．x 2＝y答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4p ，y ＝8p ，即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p )，则(4p )2＋(8p )2＝45，得p ＝1(舍去负值)，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .故选C.2．(2014·全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303B ．6C ．12D ．7 3答案 C解析 抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，所以AB 所在的直线方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，将y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34代入y 2＝3x ，消去y 整理得x 2－212x ＋916＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝212，由抛物线的定义可得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.故选C.3．(2018·广东广州模拟)如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝( )A ．n ＋10B ．n ＋20C ．2n ＋10D ．2n ＋20答案 A解析 由抛物线的方程y 2＝4x 可知其焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋1＋x 2＋1＋…＋x n ＋1＝(x 1＋x 2＋…＋x n )＋n ＝n ＋10.故选A.4．(2017·江西赣州二模)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上一点，若A 到F 的距离是A 到y 轴距离的两倍，且三角形OAF 的面积为1，O 为坐标原点，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 不妨设A (x 0，y 0)在第一象限，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋p2＝2x 0，S△OAF＝12·p2·y 0＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝p 2，y 0＝4p ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，4p ，又∵点A 的抛物线y 2＝2px 上，∴16p 2＝2p ×p 2，即p 4＝16，又∵p >0，∴p ＝2，故选B.5．过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交抛物线的准线于点C ，若|AF |＝6，BC →＝λFB →(λ>0)，则λ的值为( )A.34B.32C. 3 D ．3答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (－2，y 3)， 则x 1＋2＝6，解得x 1＝4，y 1＝±42，点A (4,42)， 则直线AB 的方程为y ＝22(x －2)， 令x ＝－2，得C (－2，－82)，联立方程组⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝22(x －2)，解得B (1，－22)，所以|BF |＝1＋2＝3，|BC |＝9，所以λ＝3.故选D.6．(2017·抚顺一模)已知点P 是抛物线y 2＝－4x 上的动点，设点P 到此抛物线的准线的距离为d 1，到直线x ＋y －4＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A ．2 B. 2 C.52 D.522答案 D解析 点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，过焦点F 作直线x ＋y －4＝0的垂线，此时d 1＋d 2最小，∵F (－1,0)，则d 1＋d 2＝|－1＋0－4|2＝522.故选D.7．(2018·北京东城区期末)已知抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M ，若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316 B.38 C.233D.433答案 D解析 由题意可知，抛物线开口向上且焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线焦点坐标为(2,0)，所以两个焦点连线的直线方程为y ＝－p 4(x －2)．设M (x 0，y 0)，则有y ′＝1p x 0＝33⇒x 0＝33p .因为y 0＝12p x 20，所以y 0＝p 6.又M 点在直线y ＝－p 4(x －2)上，即有p 6＝－p 4⎝ ⎛⎭⎪⎫33p －2⇒p ＝433，故选D.8．(2018·河北邯郸调研) 已知M (x 0，y 0)是曲线C ：x 22－y ＝0上的一点，F 是曲线C 的焦点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若MF →·MN →＜0，则x 0的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(－1,1)答案 A解析 由题意知曲线C 为抛物线，其方程为x 2＝2y ，所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，根据题意可知，N (x 0,0)，x 0≠0，MF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－x 0，12－y 0，MN →＝(0，－y 0)，所以MF →·MN →＝－y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫12－y 0＜0，即0＜y 0＜12，因为点M 在抛物线上，所以有0＜x 202＜12，又x 0≠0，解得－1＜x 0＜0或0＜x 0＜1，故选A.9．(2017·山西五校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点(5，m )到焦点的距离为6，P ，Q 分别为抛物线C 与圆M ：(x －6)2＋y 2＝1上的动点，当|PQ |取得最小值时，向量PQ →在x轴正方向上的投影为( )A ．2－55 B ．25－1 C ．1－2121D.21－1答案 A解析 因为6＝p2＋5，所以p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .设P (x ，y )，则|PM |＝(x －6)2＋y 2＝(x －6)2＋4x ＝(x －4)2＋20，可知当x ＝4时，|PQ |取得最小值，最小值为20－1＝25－1，此时不妨取P 点的坐标为(4，－4)，则直线PM 的斜率为2，即tan ∠PMO ＝2，所以cos ∠PMO ＝15，故当|PQ |取得最小值时，向量PQ →在x轴正方向上的投影为(25－1)·cos∠PMO ＝2－55.故选A. 10．(2018·湖北七市联考)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与双曲线x 2－y 23＝1的一条渐近线平行，并交抛物线于A ，B 两点，若|AF |>|BF |，且|AF |＝2，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝2x B ．y 2＝3x C ．y 2＝4x D ．y 2＝x答案 A解析 由双曲线方程x 2－y 23＝1知其渐近线方程为y ＝±3x ，∴过抛物线焦点F 且与渐近线平行的直线AB 的斜率为±3，不妨取k AB ＝3，则其倾斜角为60°，即∠AFx ＝60°.过A 作AN ⊥x 轴，垂足为N .由|AF |＝2，得|FN |＝1.过A 作AM ⊥准线l ，垂足为M ，则|AM |＝p ＋1.由抛物线的定义知，|AM |＝|AF |，∴p ＋1＝2，∴p ＝1，∴抛物线的方程为y 2＝2x ，故选A.二、填空题11．(2017·河南新乡二模)已知点A (1，y 1)，B (9，y 2)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，y 2>y 1>0，点F 是抛物线的焦点，若|BF |＝5|AF |，则y 21＋y 2的值为________．答案 10解析 由抛物线的定义可知，9＋p2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 2，解得p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x ，又∵A ，B 两点在抛物线上，∴y 1＝2，y 2＝6，∴y 21＋y 2＝22＋6＝10.12．(2017·湖南岳阳二模)直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左至右的交点依次为A ，B ，C ，D ，则|CD ||AB |的值为________．答案 16解析 如图所示，抛物线x 2＝4y 的焦点为F (0,1)，直线3x －4y ＋4＝0过点(0,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，3x －4y ＋4＝0，得4y 2－17y ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝174，y 1y 2＝1，解得y 1＝14，y 2＝4，则|CD ||AB |＝|FD |－1|AF |－1＝(y 2＋1)－1(y 1＋1)－1＝16.13．(2017·河南安阳二模)已知抛物线C 1：y ＝ax 2(a >0)的焦点F 也是椭圆C 2：y 24＋x 2b2＝1(b >0)的一个焦点，点M ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1分别为曲线C 1，C 2上的点，则|MP |＋|MF |的最小值为________．答案 2解析 将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1代入y 24＋x 2b 2＝1，可得14＋94b 2＝1，∴b ＝3，c ＝1，∴抛物线的焦点F 为(0,1)，∴抛物线C 1的方程为x 2＝4y ，准线为直线y ＝－1，设点M 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义可知|MF |＝|MD |，∴要求|MP |＋|MF |的最小值，即求|MP |＋|MD |的最小值，易知当D ，M ，P 三点共线时，|MP |＋|MD |最小，最小值为1－(－1)＝2.14．(2017·河北衡水中学调研)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝4|FB |，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为58，则p ＝________.答案 1解析 易知抛物线y 2＝2px 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p2，不妨设点A 在x轴上方，如图，过A ，B 作准线的垂线AA ′，BB ′，垂足分别为A ′，B ′，过点B 作BH ⊥AA ′，交AA ′于H ，则|BB ′|＝|A ′H |，设|FB |＝t ，则|AF |＝|AA ′|＝4t ，∴|AH |＝|AA ′|－|A ′H |＝3t ， 又|AB |＝5t ，∴在Rt △ABH 中，cos ∠HAB ＝35，∴tan ∠HAB ＝43，则可得直线AB 的方程为y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，得8x 2－17px ＋2p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝178p ＋p ＝258p ，易知点O 到直线AB 的距离为d ＝|OF |·sin∠A ′AB ＝p 2×45＝25p .∴S △AOB ＝12×258p ×25p ＝5p 28＝58，∴p 2＝1，又p >0，∴p ＝1.B 级三、解答题15．(2017·泰安模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△FAB 的面积．解 (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， ∴(－8)2＝2p ×8，∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x .(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0，Δ＝64＋32m >0，∴m >－2.y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)．故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝24 5.16．(2016·浙江高考)如图，设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围．解 (1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1,0)，可设A (t 2，2t )，t ≠0，t ≠±1. 因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1消去x ，得y2－4sy －4＝0，故y 1y 2＝－4，所以，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，－2t .又直线AB 的斜率为2t t 2－1，故直线FN 的斜率为－t 2－12t.从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t(x －1)，直线BN ：y ＝－2t.所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t 2－1，－2t .设M (m,0)，由A ，M ，N 三点共线，得 2tt 2－m＝2t ＋2tt 2－t 2＋3t 2－1，于是m ＝2t2t 2－1(t ≠0，t ≠±1)． 所以m ＜0或m ＞2.经检验，m ＜0或m ＞2满足题意．综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．17．(2017·北京高考)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．解 (1)由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，得p ＝12.所以抛物线C 的方程为y 2＝x .抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k2.因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)． 直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 1－2x 1x2x 2＝(2k －2)x 1x 2＋12(x 2＋x 1)x 2＝(2k －2)×14k 2＋1－k 2k2x 2＝0，所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1， 故A 为线段BM 的中点．18．(2018·湖南检测)已知曲线C 上的动点M 到y 轴的距离比到点F (1,0)的距离小1. (1)求曲线C 的方程；(2)过F 作弦PQ ，RS ，设PQ ，RS 的中点分别为A ，B ，若PQ →·RS →＝0，求|AB →|最小时，弦PQ ，RS 所在直线的方程；(3)是否存在一定点T ，使得AF →＝λTB →－FT →？若存在，求出P 的坐标，若不存在，试说明理由．解 (1)由条件，点M 到点F (1,0)的距离等于到直线x ＝－1的距离，所以曲线C 是以F 为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，其方程为y 2＝4x .(2)设l PQ ：y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x 得：k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. 由韦达定理⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2(k 2＋2)k 2，x 1x 2＝1，∴x A ＝x 1＋x 22＝k 2＋2k 2＝1＋2k 2，y A ＝k (x A －1)＝2k.∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2k 2，2k，∵PQ →·RS →＝0， ∴PQ ⊥RS .只要将A 点坐标中的k 换成－1k，得B (1＋2k 2，－2k )， ∴|AB →|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2k 2－(1＋2k 2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k 2 ＝4k4＋4k 4＋4k2＋4k 2≥4(当且仅当k ＝±1 时取“＝”)，所以，|AB →|最小时，弦PQ ，RS 所在直线的方程为y ＝±(x －1)，即x ＋y －1＝0或x －y －1＝0.(3)∵AF →＝λTB →－FT →⇒AF →＋FT →＝λTB →⇒AT →＝λTB →， 即A ，T ，B 三点共线，∴是否存在一定点T ，使得AF →＝λTB →－FT →， 即探求直线AB 是否过定点． 由(2)知，直线AB 的方程为y ＋2k ＝－2k －2k2k 2＋1－⎝⎛⎭⎪⎫2k2＋1(x －2k 2－1)，整理得(1－k 2)y ＝k (x －3)，∴直线AB 过定点(3,0)，故存在一定点T (3,0)， 使得AF →＝λTB →－FT →.。

高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.7抛物线教学案苏教版[最新考纲] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程与几何性质[常用结论]设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p ，通径是过焦点最短的弦．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( )(3)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，准线方程是x ＝－a4.( )(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形． ( ) [答案](1)× (2)× (3)× (4)× 二、教材改编1．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6B [抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.]2．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716B.1516C.78D ．0B [M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516.]3．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．12B [如图所示，抛物线的准线l 的方程为x ＝－2，F 是抛物线的焦点，过点P 作PA ⊥y 轴，垂足是A ，延长PA 交直线l 于点B ，则|AB |＝2.由于点P 到y 轴的距离为4，则点P 到准线l 的距离|PB |＝4＋2＝6，所以点P 到焦点的距离|PF |＝|PB |＝6.故选B.]4．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是 ．y 2＝－x 或x 2＝－8y [若焦点在y 轴上，设抛物线方程为x 2＝my ，由题意可知16＝－2m ，∴m ＝－8，即x 2＝－8y .若焦点在x 轴上，设抛物线方程为y 2＝nx ，由题意，得4＝－4n ，∴n ＝－1，∴y 2＝－x .综上知，y 2＝－x 或x 2＝－8y .]考点1 抛物线的定义及应用 (1)应用抛物线定义的两个关键点①由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．②注意灵活运用抛物线上一点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝|x 0|＋p 2或|PF |＝|y 0|＋p2.(2)解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径是：“看到准线想焦点，看到焦点想准线”．(1)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到准线的距离为( )A.52B.32C ．1D ．3 (2)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为 ．(1)B (2)4 [(1)∵F 是抛物线y 2＝x 的焦点， ∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程x ＝－14，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可得 |AF |＝x 1＋14，|BF |＝x 2＋14，∴|AF |＋|BF |＝x 1＋14＋x 2＋14＝3.解得x 1＋x 2＝52，∴线段AB 的中点横坐标为54，∴线段AB 的中点到准线的距离为54＋14＝32.故选B.(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4，即|PB |＋|PF |的最小值为4.][母题探究]1．若将例(2)中的B 点坐标改为(3,4)，试求|PB |＋|PF |的最小值． [解] 由题意可知点B (3,4)在抛物线的外部．∵|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离，F (1,0)， ∴|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22＝25，即|PB |＋|PF |的最小值为2 5.2．若将例(2)中的条件改为：已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋5＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，求d 1＋d 2的最小值．[解] 由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)． 点P 到y 轴的距离d 1＝|PF |－1， 所以d 1＋d 2＝d 2＋|PF |－1.易知d 2＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离， 故d 2＋|PF |的最小值为|1＋5|12＋－12＝32，所以d 1＋d 2的最小值为32－1.与抛物线有关的最值问题的转换方法(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．(2017· 全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝ .6 [如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6.]考点2 抛物线的标准方程及其性质求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.(1)(2019·潍坊模拟)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝6x B ．y 2＝8x C ．y 2＝16xD ．y 2＝15x 2(2)[一题多解]在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的倾斜角为120°，那么|PF |＝ .(1)B (2)4 [(1)设M (x ，y )，因为|OF |＝p2，|MF |＝4|OF |，所以|MF |＝2p ，由抛物线定义知x ＋p 2＝2p ，所以x ＝32p ，所以y ＝±3p . 又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4(p ＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y 2＝8x .(2)法一：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.因为直线AF 的倾斜角为120°，所以∠AFO ＝60°.又tan 60°＝y A1－－1，所以y A ＝2 3.因为PA ⊥l ，所以y P ＝y A＝2 3.将其代入y 2＝4x ，得x P ＝3，所以|PF |＝|PA |＝3－(－1)＝4.法二：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.因为PA ⊥l ，所以|PA |＝|PF |.又因为直线AF 的倾斜角为120°，所以∠AFO ＝60°，所以∠PAF ＝60°，所以△PAF 为等边三角形，所以|PF |＝|AF |＝1－－1cos∠AFO＝4.]在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．1.(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8B [设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2.∵|AB |＝42，|DE |＝25，抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p24＋5，∴p ＝4(负值舍去)．∴C 的焦点到准线的距离为4.]2.如图所示，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝4x C ．y 2＝2x D ．y 2＝xB [如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设准线与x 轴交于点G ，设|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30° ，则在Rt△ACE 中，2|AE |＝|AC |，又|AF |＝4，∴|AC |＝4＋3a ，|AE |＝4，∴4＋3a ＝8，从而得a ＝43，∵AE ∥FG ，∴FG AE ＝CF AC ，即p 4＝48，p ＝2.∴抛物线的方程为y 2＝4x .故选B.] 考点3 直线与抛物线的位置关系 求解抛物线综合问题的方法。

第五十四课时 抛物线课前预习案1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；会求抛物线的标准方程，能运用抛物线的定义、标准方程处理一些简单的实际问题。

2.熟练掌握抛物线的范围、对称性、顶点等简单几何性质，并能运用性质解决相关问题.3.能解决直线与抛物线的相交问题.1.平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离 的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 ，定点F 定直线l 上。

3.根据抛物线的定义，可知22(0)y px p =>上一点11(,)M x y 到焦点 的距离为 。

4. 抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦）为AB ，若1122(,),(,)A x y B x y ，则有如下结论：（1）｜AB ｜＝ ；（2）12y y ＝ ；12x x ＝ 。

5. 在抛物线22(0)y px p =>中，通过焦点而垂直于x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为 ，连结这两点的线段叫做 ，它的长为 。

1. 根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F （0，－3）；（2）准线方程 是x = 14； （3）焦点到准线的距离是2。

2. 过点A （4，－2）的抛物线的标准方程为（ ）A ．2y x =或28x y =-B ．2y x =或28y x =C ．28y x =-D ． 28x y =- 3. 抛物线214x y a=的焦点坐标为（ ） A ．1(,0)a - B ．(,0)a - C ．1(,0)aD ． (,0)a 4. 抛物线214y x =上点P 的纵坐标是4，则其焦点F 到点P 的距离为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ． 65.点M 与点F （4，0）的距离比它到直线l ：x ＋5＝0的距离小1，求点M 的轨迹方程．课堂探究案考点1求抛物线的标准方程【典例1】 根据下列条件求抛物线的标准方程（1）抛物线的焦点是双曲线22169144x y -=的左顶点；（2）过点P （2，－4）；（3）抛物线的焦点在x 轴上，直线3y =-与抛物线交于点A ，||5AF =.【变式1】【2018陕西】如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.考点2 抛物线定义的应用【典例2】已知抛物线22y x =的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，点A （3，2），求｜PA ｜+｜PF ｜的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标．【变式2】（1） 在22y x = 上有一点P ，它到A （2，10）的距离与它到焦点F 的距离之和最小，则P 的坐标为（ ）A ．（－2，8）B ．（2，8）C ．(2,8)--D ．（ 2，－8）（2）已知抛物线24y x =，点P 是抛物线上的动点，又有点A （6，3），｜PA ｜+｜PF ｜的最小值是__________.考点3 抛物线几何性质的应用【典例3】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y .若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ）A 、、、4 D 、【变式3】已知A 、B 是抛物线22(0)y px p =>上两点，O 为坐标原点，若|OA|=|OB|，且AOB ∆的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程是（ ）A.x=3pB.x=pC.x=52p D.x=32p1.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）A ．2B ．3CD ．922. 过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若A ，B 在抛物线准线上的射影分别是A 1，B 1，则11A FB ∠为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°3.动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为 ．课后拓展案组全员必做题1．（2019年四川（理））抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是（ ）A ．12B ．1 D 2．（2018辽宁理3）已知F 是抛物线2y x =的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB的中点到y 轴的距离为( ). A ．34 B ．1 C ．54 D ．743．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是( ) A.2 B.3 C.115 D.37164．（2019年课标Ⅰ（文8））O 为坐标原点,F 为抛物线2:C y =的焦点,P 为C 上一点,若||PF =,则POF ∆的面积为（ ）A ．2B ．C ．D ．4组提高选做题 1．（2018山东文）抛物线)0(21:21>=p x py C 的焦点与双曲线222:13x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M,若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p =（ ）A ．163B ．83C ．332D ．334 2．（2019年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程为（ ）A ．24y x =或28y x =B ．22y x =或28y x =C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =参考答案1.（1）212x y =-；（2）2y x =-；（3）24x y =，24x y =-，24y x =，24y x =-.2.A3.D4.C5. 216y x =【典例1】（1）212y x =-；（2）28y x =或2x y =-；（3）x y 22±=或x y 182±=【变式1】【典例2】最小值为72；(2,2)P . 【变式2】（1）B ；（2）7.【典例3】B【变式3】C1.A2.C3. 28y x =组全员必做题1.B2.C3.A4.C组提高选做题1.D2.C。