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①当_________时,M点的轨迹是双曲线; 2a<|F1F2|
②当_________时,M点的轨迹是两条射线; ③当_2_a_=_|_F_1_F_2|_时,M点不存在.
2a>|F1F2|
2.双曲线的标准方程与几何性质
图形
标准 方程
__x2___y_2__1_(a>0,b>0) a2 b2
__y_2 __x_2____(a>0,b>0) a2 b2 1
1.(2016·阳泉模拟)已知点F1,F2分别为双曲线C:x2-
y2=1的左、右焦点,点P在双曲线C上,且∠F1PF2=60°,
则|PF1|·|PF2|等于 ( )
A.2
B.4
C.6
D.8
【解析】选B.由题意知a=1,b=1,c= , 2
所以|F1F2|=2 ,在△PF1F2中, 2
由余弦定理得
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°
=|F1F2|2=8,
即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=8, ①
由双曲线定义得||PF1|-|PF2||=2a=2, 两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4,② ①-②得|PF1||PF2|=4.
2.如果双曲线 x2 y2 =1上一点P到它的右焦点的距离 是8,那么点P到它4 的1左2 焦点的距离是 ( )
A.4
B.12
C.4或12
D.不确定
【解析】选C.由双曲线方程,得a=2,c=4.根据双曲线的 定义|PF1|-|PF2|=±2a,则|PF1|=|PF2|±2a=8±4, 所以|PF1|=4或12,经检验二者都符合题意.
3.点P是双曲线 x2 y2 =1(a>0,b>0)右支上一点,点F1, a2 b2
4.(2015·四川高考)过双曲线x2- y2 =1的右焦点且与x 3
轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则
|AB|= ( )
A. 4 3
B.2 3
C.6
D.4 3
3
【解析】选D.由双曲线方程知,右焦点为(2,0),直线
x=2与渐近线y=± x的交点A(2,2 ),B(2,-2 ),
45
x2 B.
y2
1(x＞0)
45
y2 D.
x2
1(x＞0)
45
【解析】选B.由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上
的由双题曲设线知的c=右3,支a=,2设,b其2=9方-4程=5为,所xa2以2 点by22P的=1轨(x迹>0方,a程>0为,b>0),
=1(x>0). x2 y2
45
【加固训练】
<0”去掉,试求
MF1 MF2
MF1 MF2
的范围.
【解析】由题意知:F1(-
3 ,0),F2(
3
,0),
x02 2
y02
=1,
所以 MF1 MF2 3 x0,y0 3 x0,y0 x02 y02 3
即x02 1
x02 2
≥ 3-13.x202
又因为x02≥2,所以 4，
【规范解答】(1)选D.设双曲线方程为 x2 =y21(a>0, a2 b2
b>0),如图所示,
|AB|=|BM|,∠ABM=120°,过点M作MN⊥x轴,垂足为N,
【规范解答】(1)选B.因为||PF1|-|PF2||=2a,所以 |PF1|-|PF2|=±6,所以|PF2|=9或-3(舍去).
(2)由已知a=1,b=2 ,c=3,所以F(3,0), 2
F′(-3,0),又
A(0,6 6)，
所以|AF|=
=15,△APF周长
l=|PA|+|PF|3+2 |A6F|,6 2
质渐
(-a,0) (a,0)
(0,-a) (0,a)
近
线
y=______
bx
a
y=________ ax b
图形
离心率 线段A1A2叫e=做__ac双__曲,e线∈的_(实_1_,轴_+_∞,_它_)_的长
性 质
|A1A2|=___;线段B1B2叫做双曲线的 实虚轴 虚轴,它2的a长|B1B2|=___;a叫做双曲
x2
两个焦点,若2
<0,则y0的取值范围是( )
MF1 MF2
A.( 3 , 3 ) B.( 3 , 3 ) C.( 2 2 , 2 2 ) D.( 2 3 , 2 3 )
33
66
33
33
【解题导引】直接利用向量的数量积列出并解不等式, 即可求出y0的取值范围.
【规范解答】选A.因为F1(-
,30),F2(
2
-4≥-1,
MF1 MF2
命题方向2:与双曲线的离心率、渐近线相关的问题
【典例3】(1)(2015·全国卷Ⅱ)已知A,B为双曲线E的
左、右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为
120°,则E的离心率为 ( )
A.
B.2
C.
D.
5
3
2
(2)(2015·天津高考)已知双曲线 x2 y2 =1(a>0,b>0) a2 b2
命题方向
与双曲线有关的范围问 题
与双曲线的离心率、渐 近线相关的问题
命题视角
考查利用双曲线方程或性质 解决参数长度等的范围
考查运用条件求离心率或渐 近线的问题及范围
【考题例析】
命题方向1:与双曲线有关的范围问题
【典例2】(2015·全国卷Ⅰ)已知M(x0,y0)
是双曲线C: -y2=1上的一点,F1,F2是C的
=0,
6
6
解得y=-8 (舍)或y=2 6
6,则P(x,2
). 6
因为S△APF=S△AF′F-S△PF′F
= ×6×6 - ×6×2 =12 .
1
1
答2案:12
6 2
6
6
6
【规律方法】“焦点三角形”中常用到的知识点及技 巧 (1)常用知识点:在“焦点三角形”中,正弦定理、余弦 定理、双曲线的定义经常使用. (2)技巧:经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法, 建立它与|PF1||PF2|的联系.
又|PF|-|PF′|=2,
所以|PF|=|PF′|+2,
所以l=|PA|+|PF′|+2+15≥|AF′|+17=32,当且仅当 A,P,F′三点共线时,△APF周长最小,如图所示.
设P(x,y),
直线AF′的方程为 x =y1, 3 6 6
联立得
x 3
6
y 6
1,
消去x得x
2y2+y82361y, -96
所以|PF1|-|PF2|=|CF1|-|BF2|=|AF1|-|AF2|=2a,又 |AF1|+|AF2|=2c, 所以|AF1|=a+c,则|OA|=|AF1|-|OF1|=a. 因为M的横坐标和A的横坐标相同,所以△PF1F2的内切 圆圆心M的横坐标为a.
考向二 双曲线的标准方程及性质 【考情快递】
所以点P在x双 5曲2 线 y右2 支上,
|PF1|=
,
x 52 y2
因为|PF1|-|PF2|=2a=8,
所以
=2a+6=14,
所以(x+x 5)52+2 yy22=196, ②
①②联立得x=8.
代入原式可得y=±3 .
所以点P坐标为(8,±3 3 ).
答案:(8,±3 )
3
3
2.(选修2-1P61练习T3改编)以椭圆 x2 y2 1 的焦点为
线的实半轴长,b叫做2双b曲线的虚半
轴长
图形
a,b,c间 的关系
c2=_____(c>a>0,c>b>0) a2+b2
【特别提醒】 1.渐近线与离心率 2xa.22若 byP22为=双1(曲a>线0,上b>一0)点的,一F为条其渐对近应线焦的点斜,率则为|PbaF|=≥ec2-a1.. 3.区分双曲线中a,b,c的关系与椭圆中a,b,c的关系,在 椭圆中a2=b2+c2,而在双曲线中c2=a2+b2.
【小题快练】
链接教材 练一练
1.(选修2-1P61习题2.3A组T1改编)双曲线
上
x2 的点P到点(5,0)的距离是6,则点P的坐标是16
y2 9
1
.
【解析】根据双曲线方程可知c= 16 =9 5. 所以焦点为F2(5,0),F1(-5,0).
设P(x,y),由两点间距离公式:
|PF2|=
=6, ①
提醒:利用双曲线的定义解决问题,要注意三点: (1)距离之差的绝对值.(2)2a<|F1F2|.(3)焦点所在坐 标轴的位置.
【变式训练】已知点F1(-3,0)和F2(3,0),动点P到F1,F2 的距离之差为4,则点P的轨迹方程为 ( )
A. x2 y2 1(y＞0) 45
y2 C.
x2
1(y＞0)
第七节 双曲线
【知识梳理】
1.双曲线的定义
(1)平面内与两个定点F1,F2(|F1F2|=2c>0)的距离_____ 之差
_________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲 线的.绝这对两值个定点叫做双曲线的_____,两焦点间的距离叫
做_____.
焦点
焦距
(2)集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c 为常数且a>0,c>0.
