24.1 放缩与相似形

24.1放缩与相似形教学目标能用图形的放缩运动观点理解相似形的意义，知道相似形的概念，理解相似多边形的意义. 教学重点及难点通过对图形放缩运动的探究，认识放缩运动中的不变量，知道相似多边形的特征及相似形与全等形的关系.教学用具准备实物投影仪、多媒体设备教学过程设计一、情景引入1．观察以下几组图形有什么特征？2．思考 从图形的大小、形状上考虑.3．讨论帮助归纳：形状相同、大小不一定相同.二、学习新课1．概念辨析（1）图形的放大或缩小称为图形的放缩运动.（2）把形状相同的两个图形称为相似形.（3）如果两个多边形是相似图形，那么这两个多边形的对应角相等，各对应边的长度成比例（或各对应边长度的比值是相等的）2．例题分析例题 如图，△ABC 与△DEF 是相似图形，且点A 与点D 对应，点B 与E 对应，点C 与点F对应AB =1.7cm ,BC =2.9cm ,AC =3.7cm ,DE =3.4cm , 50,70A B ︒︒∠=∠=求DF ,EF 的长度,并求∠C , ∠D , ∠E , ∠F 的度数.[说明]通过本例题得出“相似图形的对应角相等、对应边成比例”.注意根据对应顶点确定对应边.学会寻找对应角和对应边.3．问题拓展 A BC A B C ED F两个矩形、两个等腰三角形、两个正方形、两个等腰直角三角形一定是相似图形吗？为什么呢？三、课堂练习已知四边形ABCD 与四边形1111A B C D 是相似图形，并且A 与1A ，B 与1B ，C 与1C ，D 与1D 是对应点.已知,,,AB BC CD AD 的长度分别是6，8，8，10，11B C 的长是6，求11A B ，11A C ，11B C ，11A D 的长.[说明]在例题的基础上，本练习又进一步推广到一般的多边形，体会相似多边形的对应角、对应边的意义.四、巩固练习（一）、判断题：1、两个直角三角形一定是相似图形……………………（ ）2、两个等边三角形一定是相似图形……………………（ ）3、有一个角是30度的等腰三角形一定是相似图形……（ ）4、对于任意两个边数大于3的相似图形，它们的各对应边相等、对应角也相等…………………………………………………（ ）5、两个图形全等也可以说这两个图形式相似的 ………（ ）二、某两地的实际距离是5000米，画在地图上的距离是20厘米，求图距与实际距离之比是多少？五、反思小结1、这节课你学会了什么？2、你还有什么疑惑吗？六、作业布置练习册：习题 24.1。

沪教版数学九年级上册24.1《放缩与相似形》教学设计一. 教材分析《放缩与相似形》是沪教版数学九年级上册第24章的一部分，主要内容包括相似形的定义、性质及判定，以及相似形的应用。

本节内容在学生的数学知识体系中起到承上启下的作用，为后续学习相似三角形的性质和应用打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平面几何的基本知识，具备一定的逻辑思维能力和空间想象力。

但学生在学习过程中，对于抽象的概念和理论的理解仍有困难，需要通过具体的例子和动手操作来加深理解。

三. 教学目标1.了解相似形的定义和性质，能判断两个图形是否相似。

2.掌握相似形的判定方法，能运用相似形解决实际问题。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.相似形的定义和性质的理解。

2.相似形的判定方法的掌握。

3.相似形在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究相似形的定义和性质。

2.利用几何画板软件，动态展示相似形的变换，增强学生的直观感受。

3.通过例题和练习题，巩固学生对相似形的理解和应用。

六. 教学准备1.准备相关的多媒体教学课件和几何画板软件。

2.准备相关的例题和练习题。

3.准备黑板和粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际生活中的相似图形，如眼镜、放大镜等，引导学生思考：这些图形有什么共同特点？从而引出相似形的概念。

2.呈现（10分钟）利用几何画板软件，动态展示相似形的变换，让学生直观地感受相似形的性质。

同时，引导学生总结相似形的性质，如对应边的比例关系、对应角的相等关系等。

3.操练（10分钟）让学生通过观察和操作，判断给出的图形是否相似。

在此过程中，引导学生运用相似形的性质进行判断，并总结相似形的判定方法。

4.巩固（10分钟）通过解决一些实际问题，让学生运用相似形的相关知识。

如：已知一个矩形的长和宽，如何求其放大或缩小后的矩形的面积？5.拓展（5分钟）引导学生思考：相似形在现实生活中的应用有哪些？如何利用相似形解决实际问题？6.小结（5分钟）让学生总结本节课所学的主要内容和知识点，形成知识体系。

第二十四章第一节相似形24.1 放缩与相似形1．形状相同的两个图形叫做相似的图形，简称相似形2．相似的图形，他们的大小不一定相同，大小相同的两个相似形是全等形3．如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例4．图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动，通过放缩运动，两个相似的图形可以相互重合（即成为全等形）第二节比例线段24.2 比例线段1．两条线段长度的比叫做两条线段的比2．在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段3．比例线段有以下性质：（1）基本性质（2）合比性质（3）等比性质4．黄金分割：如果点P把线段AB分割成AP和PB（AP＞PB）两段，其中，AP是AB和AP的比例中项，那么这种分割为黄金分割，点P称为AB的黄金分割点，AP与AB的比值1称为黄金分割数，它的近似值为0.618224.3 三角形一边的平行线1．定理1：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例推论1：平行于三角形的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例2．三角形三条中线的焦点叫做三角形的重心，三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍3．定理2：如果一条直线截三角形两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边推论2：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边4．两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例两条直线被三条平行线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等第三节相似三角形24.4相似三角形的判定1．如果两个三角形的三个角对应相等、三条边对应成比例，这两个三角形叫做相似三角形，对应边的比叫做相似比（或相似系数），当相似比等于1时，这两个相似三角形是全等三角形2．相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似3．相似三角形的判定定理1：如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似4．相似三角形判定定理2：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似5．相似三角形判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例那么这两个三角形相似6．直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似7．两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例24.5相似三角形的性质相似三角形具有以下性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；（2）相似三角形对应高的比、对应中线之比和对应角平分线的比等于相似比；（3）相似三角形周长之比等于相似比；（4）相似三角形面积之比等于相似比的平方第四节平面向量的线性运算24.6 实数与向量相乘1．实数与向量相乘的运算若k≠0且*a≠0，那么k a的长度︱k a︱=︱k︱︱a︱;k a的方向若k＞0时，k a与a同方向若k＜0时，k a与a反方向若k = 0或a=0，那么k a=02．实数与向量相乘的运算律设m、n为实数，则（1）m(n a)=(mn) a（2）(m+n) a=m a+n a（3）m(a+b)=m a+mb向量加法、减法、实数与向量相乘等运算，与多项式的运算类似，但向量运算的结果仍是向量，是一个有长度与方向的量3．平行向量定理：如果向量b与非零向量a平行（包括b、a在同一直线上）那么存在唯一确定的实数m，使b=k*a24.7 平面向量的分解1．向量的加法、减法、实数与向量相乘，以及他们的混合运算，叫做向量的线性运算。

沪教版数学九年级上册24.1《放缩与相似形》教学设计一. 教材分析《放缩与相似形》是沪教版数学九年级上册第24.1节的内容，主要包括相似形的定义、性质及判定，以及相似形的应用。

本节内容是学生学习几何知识的重要环节，为后续学习相似三角形、相似多边形等知识打下基础。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握相似形的概念和性质，培养学生的几何思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本数学知识，具备一定的逻辑思维和分析问题的能力。

但学生在学习相似形时，可能会对相似形的定义和性质理解不深，难以运用相似形解决实际问题。

因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生理解相似形的本质，并通过适量练习，提高学生运用相似形解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握相似形的定义、性质及判定方法，能运用相似形解决简单的问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、交流等活动，培养学生几何思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在生活中的应用。

四. 教学重难点1.重点：相似形的定义、性质及判定方法。

2.难点：相似形的应用，特别是在解决实际问题时，如何正确运用相似形。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生认识相似形，激发学生学习兴趣。

2.启发式教学法：在教学过程中，教师提问引导学生思考，激发学生思维。

3.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生团队合作精神，提高学生解决问题的能力。

4.实践操作法：通过动手操作，使学生加深对相似形的理解和应用。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示相似形的图片和实例。

2.练习题：准备适量的练习题，用于巩固所学知识。

3.教学工具：准备尺子、三角板等教具，便于学生实践操作。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示生活中常见的相似形图片，如人民币、手机等，引导学生认识相似形。

《放缩与相似形》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在巩固学生对放缩与相似形概念的理解，通过实际操作加深对放缩变换和相似形性质的认识，并能够运用所学知识解决实际问题。

二、作业内容本作业包括以下几个部分：1. 理论复习：回顾放缩与相似形的基本概念、性质和定理。

2. 课堂练习：完成一系列与放缩和相似形相关的练习题，包括选择题、填空题和解答题。

3. 实践操作：学生需自行寻找生活中的实例，分析其是否符合放缩或相似形的特点，并绘制简图进行说明。

4. 拓展探究：设计一个与放缩或相似形有关的实际问题，并尝试用所学知识解决。

三、作业要求1. 理论复习：要求学生全面复习放缩与相似形的知识点，确保理解透彻。

2. 课堂练习：练习题需独立完成，不得抄袭他人答案。

遇到难题时，可与同学交流讨论，但需注明思路来源。

3. 实践操作：寻找的实例需具有代表性，能够真实反映放缩或相似形的特点。

简图需清晰明了，能够准确表达实例的特点。

4. 拓展探究：设计的问题需具有实际意义，解决方案需合理且符合数学原理。

鼓励创新思考，提出多种解决方案。

四、作业评价1. 教师将根据学生完成作业的情况，对理论知识掌握程度、课堂练习的正确率、实践操作的代表性以及拓展探究的创新性进行综合评价。

2. 对于优秀作业，将在课堂上进行展示，并给予表扬和鼓励。

3. 对于存在问题的作业，教师将进行个别指导，帮助学生找出问题所在，并加以改正。

五、作业反馈1. 教师将在课堂上收集学生作业，对每份作业进行认真批改，并给出详细的评语和建议。

2. 对于学生在作业中普遍存在的问题，教师将在课堂上进行集中讲解，确保学生能够理解并改正错误。

3. 鼓励学生之间互相交流作业心得，互相学习，共同进步。

4. 作业反馈将作为学生学习成果的一部分，纳入平时成绩的评定。

通过以上就是“初中数学课程《放缩与相似形》作业设计方案（第一课时）”的部分内容。

这样的作业设计，既考虑了学生对知识点的掌握情况，又通过实践操作和拓展探究的方式，锻炼了学生的实际运用能力和创新思维。

第24章相似三角形第一节相似形§24.1放缩与相似形教学目标能用图形放缩运动的观点认识相似形的意义，知道相似形的概念，理解相似多边形的对应角、对应边的含义.通过对进行放缩运动的图形进行度量分析，认识放缩运动中的不变量，知道相似多边形的特征以及相似形与全等形的关系.知识点梳理1.图形的放缩运动：图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动.将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形.2.相似形：把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者说是相似形.相似的图形，它们的大小不一定相同.对于大小不同的相似形，可以看成大的图形由小的图形放大而得到，或者小的图形由大的图形缩小而得到.对于大小相同的两个相似形，它们可以重合，这时它们是全等形.3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形(就是说它们同为n边形而且形状相同)，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例.当两个多边形是全等形时，它们的对应边的长度的比值都是1.4.相似多边形的判定：如果两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例，那么这两个多边形相似.经典题型解析(一)相似形的基本概念例1.①所有的等腰梯形都是相似图形；②所有的平行四边形都是相似图形；③所有的圆都是相似图形；④所有的正方形都是相似图形；⑤所有的等腰三角形都是相似图形；上述说法中，正确的是( )A.①②④B.②③C.③④⑤D.③④例2.书画经装后更便于收藏，如图，画心ABCD为长90cm，宽30cm的矩形，装裱后整幅画为矩形A′B′C′D′，两矩形的对应边互相平行，且AB与A′B′的距离、CD与C′D′的距离都等于4cm。

当AD与A′D′的距离、BC与B′C′的距离都等于acm，且矩形ABCD~矩形A′B′C′D′时，整幅书画最美观，此时，a的值为( )A.4B.6C.12D.24(二)图形的放大与缩小例3.在平面直角坐标系中，已知点)2,4(-E ,)2,2(--F ,以原点O 为位似中心，相似比为21，把EFO ∆ 缩小，则点E 的对应点E '的坐标是( )A .)1,2(-B .)4,8(-C .)4,8(-或)4,8(-D .)1,2(-或)1,2(-同步练习：在平面直角坐标系中，已知点)2,4(-E ,)2,2(--F ,以原点O 为位似中心，相似比为21，把EFO ∆ 缩小，则点F 的对应点F '的坐标是( )A .)1,1(--B .)4,4(--C .)4,4(--或)4,4(D .)1,1(--或)1,1(例4.在38000:1的交通旅游图上，南京玄武湖隧道长7cm ，则它的实际长度是 ( )A .26.6kmB .2.66kmC .0.266kmD . 266km(三)画位似图形例5.如图所示，在平面直角坐标系中，有两点)0,3(),2,4(B A ，以原点为位似中心，B A ''与AB 的相似比为21，得到线段B A ''．正确的画法是( )A B C D例6.如图，点D C B A ,,,的坐标分别是)1,6(),1,4(),1,1(),7,1(，以E D C ,,为顶点的三角形与ABC ∆相似，则点E 的坐标不可能是( )A .)0,6(B .)3,6(C .)5,6(D .)2,4(例7.如图，在边长为1的14个小正方形组成的72⨯长方形网格中有一个格点ABC ∆(顶点均在格点的三角形叫做格点三角形)，请你在所给的网格中画出彼此不全等的格点三角形，使它们都与ABC ∆相似(相似比不等于1).则最多能画( )个.A .2B .3C .4D .5(四)相似多边形例8.下列说法正确的是( )A .两个等腰三角形相似B .所有的等腰梯形相似C .两个等腰直角三角形相似D .所有的正多边形相似同步练习：下列说法正确的是( )A .矩形都是相似图形B .菱形都是相似图形C .各边对应成比例的多边形是相似多边形D .等边三角形都是相似三角形例9.如图所示，长为8cm ，宽为6cm 的矩形中，截去一个矩形图中阴影部分，如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是( )A .28cm 2B . 27cm 2C .21cm 2D .20cm 2同步练习：如图，若两个多边形相似，则x 的值为( )A .63B .263C .42D .342 例10.已知ABC ∆与C B A '''∆相似，并且点C B A 、、的对应点是C B A '''、、.其中CA BC AB 、、的长分别为cm cm cm 1086、、，且B A ''的长为cm 4，求C B ''、A C ''的长，以及C B A '''∆的周长.163B C cm ''=,203C A cm ''=,16cm例11.图1是用绳索织成的一片网的一部分，小明探索这片网的结点数(V )，网眼数(F )，边数(E )之间的关系，他采用由特殊到一般的方法进行探索，列表如下：表中“☆”处应填的数字为__________；根据上述探索过程，可以猜想E F V ,,之间满足的等量关系为__________；如图2，若网眼形状为六边形，则E F V ,,之间满足的等量关系为__________．例12.如图，ABC ∆和ADE ∆是相似形，顶点A B C 、、分别与点A D E 、、对应，已知035A ∠=， 065B ∠=， 1.2AE =， 2.5AB =，2AC =，1ED =.求AD BC 、的长和AED ∠的度数. 051.5,,803巩固提升一、填空题1.ABC ∆与A B C '''∆相似，并且点A B C 、、的对应点是A B C '''、、.若7AB cm =，6BC cm =，5CA cm =，且5A B cm ''=，则B C ''=__________cm ，C A ''=_________cm .2.以下五个命题：①所有的正方形都相似；②所有的矩形都相似；③所有的三角形都相似；④所有的等腰直角三角形都相似；⑤所有的正五边形都相似.其中正确的命题有__________.3.如果在比例尺为1:6000000地图上，量得甲乙两地在地图上的距离为12cm ，那么甲乙两地的实际距离为_________.4.如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，E F 、分别为AB CD 、上一点，且梯形AEFD ∽梯形EBCF .若4AD =，9BC =，则:AE EB =_________.5.如图，各组图形中，是相似形的是_________.6.所有的等边三角形_________相似，四个角都对应相等的两个四边形_________相似(填“一定”或“不一定”)7.下列命题中：①两个直角三角形一定是相似图形；②两个等边三角形一定是相似图形；③有一个角是300的等腰三角形一定是相似图形；④对于任意两个边数大于3的相似图形，它们的各对应边相等、对应角也相等；⑤两个图形全等也可以说这两个图形是相似的.其中正确的命题有__________.(填写命题的序号)二、选择题8.对于一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是( )A .图形中线段的长度与角的大小都保持不变B .图形中线段的长度与角的大小都会改变C .图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D .图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变9.如图，用放大镜将图形放大，应该属于( )A .相似变换B .平移变换C .对称变换D .旋转变换10.下列四个图案是空心直角三角形、等边三角形、正方形、矩形花边.如果每个图案的宽度都相等，那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是( )A .B .C .D .11.下列判定中，正确的是( )A .所有的正方形都相似B .所有的矩形都相似C .所有的菱形都相似D .对应边成比例的两个四边形都相似12.如图，有三个矩形，其中是相似形的是( )A .甲和乙B .甲和丙C .乙和丙D .甲、乙和丙13.如图，正五边形FGHMN 与正无边形ABCDE 相似，并且点F 与点A ，点G 与点B ，点H 与点C ，点M 与点D ，点N 与点E 是对应点.若:2:3AB FG =，则下列结论正确的是( )A .23DE MN =B .32DE MN =C .32A F ∠=∠D .23A F ∠=∠14.已知ABC ∆的三边长分别是345、、，与其相似的A B C '''∆的最大边长是15，求A B C '''∆的最小边长. 15.已知点D 是BC 边上一点，且ABC ∆与DAC ∆是相似形，点A B C 、、分别与D A C 、、对应， :3:2CB CA =，求:CD DB 的值.16.如图，等腰梯形ABCD 与等腰梯形A B C D ''''相似，065A '∠=，6A B cm ''=，8AB cm =， 5AD cm =，试求梯形ABCD 的各角的度数与A D B C ''''、的长.17.正方形网格中有一条简笔画“鱼”，请你画出它的相似图形，使新图形与原图形的对应线段的比是3:2(不要求写作法).18.如图，ABC ∆与DEF ∆是相似图形，且点A 与D 点相对应，点B 与点E 相对应， 1.7AB cm =， 2.9BC cm =， 3.7AC cm =， 3.4DE cm =，050A ∠=，070B ∠=.求DF EF 、的长，并求C ∠、D E F ∠∠∠、、的度数.19.如图，在下列方格中，将等腰ABC ∆缩小，缩小后图形对应线段的比值为12. (1)画出缩小后的相似图形A B C '''∆.(2)若每个小方格的边长为1，试计算A B C '''∆的面积S .(3)比较两个三角形面积的比值和对应边的比值，你有怎样的发现?参考答案： 1.302577， 2.①④⑤ 3.720千米 4.235.③⑤6.一定,不一定7.②⑤8.D9.A 10. D 11.A 12.B 13.B 14.9 15.45 16.154A DBC ''''==，0115CD ∠=∠=，065B A ∠=∠= 17.略 18. 060C ∠=，00050,70,60DEF ∠=∠=∠= 19.(2)92S = (3)面积的比值是对应边比值的平方.。