平面图形的密铺

总结得非常好，这些图形都能镶嵌，因为它们的内角和度数都是360°的约数。
2)学生讨论完成课本Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4的议一议
3)动手操作:
A在一个正方形的内部按图1的方式剪去一个正三角形，并平移，形成图2，以这个新图案为“基本单位”能否进行密铺？若能，请设计一幅精美的密铺图案。
B将以上正方形剪成4个全等的直角三角形，用这4个直角三角形拼出符合下列要求的图形（全部用上）。
2、用多边形进行密铺时,相拼接的边相等,每个拼接点处各个角的和等于360°.
3、用同一种三角形和同一种四边形都可以进行密铺.
1）完成P55习1
2）请同学们设计一幅多边形镶嵌的美丽图案.看哪位同学的设计有新意!相信同学们都能发挥自己的聪明才智，设计出绚丽多彩的图案来
通过图案理解密铺的定义
学生动手制作，三角形、四边形的形状，可以是任意的，但裁剪出的每种图形一定是全等形.
（1）不是正方形的菱形（一个）
（2）不是正方形的矩形（一个）
（3）梯形（一个）
（4）不是矩形和菱形的平行四边形（一个）
（5）不是梯形和平行四边形的四边形（一个）
（6）与以上画出的图形不全等的其他四边形（能拼几个）
通过本节课的学习你有哪些收获？
1、用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺.
用任意三角形可以镶嵌成一个平面图案,用任意四边形也可以镶嵌成一个平面图案
归纳得出多边形平面图形密铺的条件
以小组为单位，任意剪出一些形状、大小相同的四边形，拼拼看
平面图形的密铺.
板书
设计
七板书设计
平面图形的密铺
定义
条件
课后反思
教学

§4.7 平面图形的密铺教学目标(一)知识目标平面图形的密铺及多边形密铺的条件.(二)能力训练目标1.经历探索多边形密铺(镶嵌)条件的过程，进一步发展学生的合情推理能力.2.通过探索平面图形的密铺，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以密铺，并能运用这几种图形进行简单的密铺设计.(三)情感与价值观目标1.在探索活动过程中，培养学生的合作交流意识和一定的审美情感，使学生进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用.2.在探索性活动中，开发、培养学生的创造性思维，使其理论联系实际.教学重点多边形密铺的条件.教学难点运用三角形、四边形或正六边形进行简单的密铺设计.教学过程一、巧设情景问题，引入课题［师］同学们好，老师问大家一个问题：你家铺有地板砖吗？［生齐］铺有地板砖.［师］那你家铺的地板砖是什么图形呢？［生甲］正方形、正六边形.［师］很好，我们经常能见到各种建筑物的地板，观察地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案.(出示投影，展示各种地板图片)［师］这些地板漂亮吗？［生齐］非常漂亮.［师］很好，这种用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺.这节课我们来探索平面图形的密铺.二、讲授新课［师］平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌，在平面上密铺需注意：各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠.大家愿意美化生活环境吗？［生齐］愿意.［师］好，那我们先来探索多边形密铺的条件，大家拿出剪刀和硬纸片分组来做一做：(1)用形状、大小完全相同的三角形能否密铺？(2)用同一种四边形可以密铺吗？用硬纸板剪制若干形状、大小完全相同的四边形做实验，并与同伴交流.(3)在用三角形密铺的图案中，观察每个拼接点处有几个角？它们与这种三角形的三个内角有什么关系？(4)在用四边形密铺的图案中，观察每个拼接点处的四个角与这种四边形的四个内角有什么关系？(学生动手制作、教师强调：)［师］大家要注意：三角形、四边形的形状，可以是任意的，但裁剪出的每种图形一定是全等形.(学生分组拼接、讨论，寻找规律，教师巡视指导)［生甲］用形状、大小完全相同的三角形可以密铺.因为三角形的内角和为180°，所以，用6个这样的三角形就可以组合起来镶嵌成一个平面.从用三角形密铺的图案中，观察到：每个拼接点处有6个角，这6个角分别是这种三角形的内角(其中有三组分别相等)，它们可以组成两个三角形的内角，它们的和为360°.［生乙］用同一种四边形也可以密铺，在用四边形密铺的图案中，每个拼接点处的四个角恰好是一个四边形的四个内角.四边形的内角和为360°，所以它们的和为360°.［生丙］从拼接活动中，我们知道了：要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地密铺一个平面，需使得拼接点处的各角之和为360°.［师］同学们总结得非常好，通过探索活动，我们得知：用形状、大小完全相同的四边形或三角形可以密铺一个平面，那么其他的多边形能否密铺？下面大家来想一想，议一议(出示投影片§4.8 B) (1)正六边形能否密铺？简述你的理由.(2)分析如下图，讨论正五边形不能密铺.(3)还能找到能密铺的其他正多边形吗？(学生分析、讨论、归纳)［生甲］正六边形能密铺.因为正六边形的每个内角都是：6180)26(︒⋅-=120°,在每个拼接点处，恰好能容纳下3个内角，而且相互不重叠，没有空隙.［生乙］正五边形的每个内角都是108°，360不是108的整数倍.如图所示，在每个拼接点处，三个内角之和为324°，小于360°，而四个内角之和都大于360°.［师］很好，乙同学说的也就是：在每个拼结处，拼三个内角不能保证没空隙，而拼四个角时，必定有重叠现象.［生丙］老师，我知道了，要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是360°，在正多边形里，正三角形的每个内角都是60°，正四边形的每个内角都是90°，正六边形的每个内角都是120°，这三种多边形的一个内角的倍数都是360°，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是360°，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以密铺，而其他的正多边形不可密铺.［师］很好，事实上，对于正n 边形，它的每一个内角都为nn ︒⋅-180)2(,在每个拼接点处，设可以将m 个内角彼此无重叠、无缝隙地拼接在一起，由于这些角的和应为360°，因此有nn ︒⋅-180)2(×m =360° 此式可化为：(m －2)(n －2)=4 m 、n 都是正整数. 因此：m －2,n －2都是4的因子. 所以，m 、n 的取值仅有三种可能，即：⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==63 44 36n m n m n m 这正是正多边形的三种可以密铺的情况.当然，一般三角形、四边形也可以密铺.虽然它们的内角未必都相等.(出示投影片§4.8 C)［师］这是用一种正多边形镶嵌平面的三种情况，图案漂亮吗？［生齐］漂亮.［生］老师，我们讨论了用正多边形镶嵌平面，那非正多边形能否镶嵌一个平面呢？ ［师］这个问题我们以后要涉及到，因为用非正多边形镶嵌平面比较复杂，所以这节课我们不进行讨论.三、课堂练习1.如图，在一个正方形的内部按图示(1)的方式剪去一个正三角形，并平移，形成如图(2)所示的新图案，以这个图案为“基本单位”能否进行密铺？说说你的理由.答案：可以进行密铺.因为正方形是可以密铺的.这个题只是在整个密铺图案中，将其中一个正方形的某一部分平移到了另一正方形的相应部位，因而它也是可以密铺的.2.利用习题3.7第三题所得的“鱼”形图案能否密铺？根据上面的思路，自己独立设计一个可以密铺的“基本单位”图形.(二)读一读课本P114漂亮的密铺图案.(三)试一试同时用边长相同的正八边形和正方形能否密铺？用硬纸板为材料进行实验.答案：可以密铺(学生进行操作，来实验，从而得证)(四)看课本P113后总结四、课时小结本节课我们通过活动，探讨，知道任意一个三角形，四边形或正六边形可以镶嵌成一个平面，并且探索出正多边形密铺的条件.即：一种正多边形的一个内角的倍数是否是360°.五、课后作业课本P115习题4.12 1、2、3；试一试。

镶嵌（八年级上P26）1.平面图形的镶嵌(密铺)概念：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形实行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌(密铺)。

2.理解平面图形的密铺：(1)要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地密铺一个平面，需使得拼接点处的各角之和为360°。

(2)单一多边形密铺：任意三角形(6个)、四边形(4个)、正六边形(3个)能够密铺；(3)单一正n边形密铺的条件：假设360°除以正n边形的一个内角等于整数，则能够单独用它密铺；就是说：正多边形的一个内角度数能整除360°。

(4)多种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：a. n个正多边形中的一个内角的倍数的和是360°；b. n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍。

典型例题为了美化校园环境，在学校广场用两种边长相等的正多边形地砖镶地面，现已有一种正方形，则另一种正多边形能够是()A.正三角形B.正五边形C.正六角形D.正三角形或正八边形答案：D解析:分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．解：正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°=360°，∴正三角形能够；正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，正方形的每个内角是90°，108m+90n=360°显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120度．90m+120n=360°，m=4-4/3n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，∵90°+2×135°=360°，∴正八边形能够．应选D．。

如何引导学生开展探究性数学学习-------------《平面图形的密铺》教学案例湖北省水果湖第一中学刘军·使用教材义务教育课程标准实验教科书数学（北师大版）八年级下册·教学环境多媒体教室（有视频展示台）一、教学目标1. 知识与技能目标：（1）通过对“拼地板”的探索，让学生经历探索多边形密铺（镶嵌）的条件的过程，强化学生对多边形内角和其及有关几何事实的认识，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以密铺；并能运用这几种图形进行简单的密铺设计；（2）培养学生观察、动手操作能力。

2. 过程与方法目标：渗透初步的数学“建模”思想，引导学生在拼接实验的过程中，通过观察、判断、归纳、总结并发现规律，并能用所发现的规律去解决一些实际问题，进一步发展学生的合情推理能力。

3. 情感与态度目标：（1）让学生进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用，将书本知识与生产生活实践有机地结合；（2）开发、培养学生实践意识、创新精神和团结协作的精神；（3）学生在活动中感受数学的朴实之美，数学的和谐之美，进一步发展学生的审美情趣。

二、教材分析教学重点：探索多边形密铺的条件的过程以及多边形密铺的条件。

教学难点：如何运用多边形的有关知识，解决密铺中的问题，并寻找多边形密铺的条件。

三、学校及学生状况分析我校是湖北省教育厅直属的示范中学，办学条件良好，有一栋教学楼，一栋实验楼，一栋综合楼，一栋办公楼，一个多功能报告厅，3间多媒体教室，每个班配有电脑和大屏幕电视。

本班的学生绝大部分来自武汉大学等高校和省直机关，有较好的学习基础。

四、课前准备教学设备或教辅工具：1．将学生按四人一组进行分组。

2．多媒体、教学图片。

3．颜色各异的各种多边形图纸。

学生课前准备：全等的多边形纸板、胶水、笔、纸等。

五、教学实录1．创设情境，提出本次学习活动的主题师：在我们的周围有一些美丽、神奇的图案，请我们一起来欣赏一组图案：（多媒体展示一组时装秀和密铺图案）师：这些图案有什么共同特征呢？（同学们分组讨论、交流）生：这些图案是用一种或几种形状相同的图形组成的。

平面图形的密铺教学目标教学知识点：了解的含义 . 掌握哪些平面图形可以密铺，密铺的理由及简单的密铺设计.能力训练要求：经历探索多边形密铺条件的过程，进一步发展学生的合情推理能力 .通过探索，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以密铺，并能运用这几种图形进行简单的密铺设计 .情感与价值观要求：是体现电冰箱在现实生活中应用的一个方面；也是开发、培养学生创造性思维的一个重要渠道。

教学重点：三角形、四边形和正六边形可以密铺。

教学难点：用同一种平面图形或者几种平面图形可以密铺的条件。

教学过程：一. 巧设情景问题，引入课题我们经常能见到各种建筑物的地板，观察地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案 . 这些地板漂亮吗？这种用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是 .这节课我们来探索 .二. 讲授新又称做平面图形的镶嵌，在平面上密铺需注意：各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠 . 那我们先来探索多边形密铺的条件，大家拿出准备好的剪刀和硬纸片分组来做一做：用形状、大小完全相同的三角形能否密铺？用同一种四边形可以密铺吗？用硬纸板剪制若干形状、大小完全相同的四边形做实验，并与同伴交流 .在用三角形密铺的图案中，观察每个拼接点处有几个角？它们与这种三角形的三个内角有什么关系？在用四边形密铺的图案中，观察每个拼接点处的四个角与这种四边形的四个内角有什么关系？1．用形状、大小完全相同的三角形可以密铺 . 因为三角形的内角和为 180°，所以，用 6 个这样的三角形就可以组合起来镶嵌成一个平面 .从用三角形密铺的图案中，观察到：每个拼接点处有 6 个角，这 6 个角分别是这种三角形的内角，它们可以组成两个三角形的内角，它们的和为 360° .．用同一种四边形也可以密铺，在用四边形密铺的图案中，观察到：每个拼接点处的四个角恰好是一个四边形的四个内角 . 四边形的内角和为 360°，所以它们的和为 360° .．从拼接活动中，我们知道了：要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地密铺一个平面，需使得拼接点处的各角之和为 360°.通过探索活动，我们得知：用形状、大小完全相同的四边形或三角形可以密铺一个平面，那么其他的多边形能否密铺？下面大家来想一想，议一议：正六边形能否密铺？简述你的理由 . 分析如下图，讨论正五边形不能密铺 . 还能找到能密铺的其他正多边形吗？小节：要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是 360 °，在正多边形里，正三角形的每个内角都是60°，正四边形的每个内角都是90°，正六边形的每个内角都是120°，这三种多边形的一个内角的倍数都是 360°，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是 360°，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以密铺，而其他的正多边形不可密铺一般三角形、四边形也可以密铺 . 虽然它们的内角未必都相等.三 . 课堂练习：课本 P114 如图，在一个正方形的内部按图示的方式剪去一个正三角形，并平移，形成如图所示的新图案，以这个图案为“基本单位”能否进行密铺？说说理由 .利用习题 3.7 第三题所得的“鱼”形图案能否密铺？根据上面的思路，自己独立设计一个可以密铺的“基本单位” 图形.答案：可以密铺 . 试一试：同时用边长相同的正八边形和正方形能否密铺？用硬纸板为材料进行实验 . 答案：可以密铺四．. 课时小结本节课我们通过活动，探讨，知道任意一个三角形，四边形或正六边形可以镶嵌成一个平面，并且探索出正多边形密铺的条件 . 即：一种正多边形的一个内角的倍数是否是360°.五 . 课后作业课本 P115 习题 4.131 、2、3 六．课后探索：探索用两种正多边形镶嵌平面的条件 . 过程：让学生先从简单的两种正多边形开始探索 . 正三角形与正方形正方形的每个内角是90°，正三角形的每个内角是60°，对于某个拼结点处，设有 x 个 60°角，有 y 个 90 角，则：0x+90y=360即： 2x+3y=12又 x、 y 是正整数解得： x=3,y=2 即：每个顶点处用正三角形的三个内角，正方形的两个内角进行拼接 .正三角形与正六边形正三角形的每个内角是 60°，正六边形的每个内角是 120°，对于某个拼结点处，设有 x 个 60°角，有 y 个 120° 角，即：0x+120y=360°即 x+2y=6x、 y 是正整数解得：即：每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形，或者用二个正三角形和两个正六边形，如下图 .正三角形和正十二边形与前一样讨论，得每个顶点处用一个正三角形和两个正十二边形由以上讨论可找到镶嵌平面的条件 .结论：由 n 种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件： n 个正多边形中的一个内角的和的倍数是 360° ;n 个正多边形的边长相等，或其中一个或 n 个正多边形的边长是另一个或 n 个正多边形的边长的整数倍。

平面图形的密铺
探索平面图形的密铺，了解它的定义、重要性以及在实际生活和数学领域中 的应用。
什么是平面图形的密铺？
平面图形的密铺是指将一个或多个几何图形重复无缝地填充平面，使整个平面覆盖无遗。
为什么要学习平面图形的密铺？
1 美学价值
2 数学应用
3 创造力培养
平面图形的密铺可以创造出 美观的图案和装饰，提升空 间的美感。
平面图形密铺的稳定性与对称性
1 稳定性
密铺的图案应该能够保持平衡和稳定，不易倾斜或塌陷。
2 对称性
对称的图案可以增加美感和吸引力，使整个设计更加平衡。
平面图形密铺在日常生活中的应用
1
地板和墙面瓷砖
通过平面图形的密铺，可以打造出独特的地板和墙面装饰效果。
2
纺织品设计
பைடு நூலகம்
平面图形的密铺经常用于设计纺织品，如窗帘、地毯和床上用品。
制作自己的平面图形密铺
利用几何板或计算机软件，你可以创建自己的平面图形密铺图案。发挥创意， 加入你的个性。
选择合适的材料和工具
平面图形模具
可以使用模具来制作符合规定 形状的平面图形。
数学工具
尺子、直角板等工具可以帮助 你精确测量和绘制图形。
颜料和画笔
如果你想制作手绘的密铺图案， 准备一些颜料和画笔。
平面图形密铺的发展
探索平面图形密铺的未来发展，挖掘现有技术的不足和未解决的问题。
创新思维对平面图形密铺的影响和作用
研究创新思维如何推动平面图形密铺的发展和应用，探索破旧立新的可能性。
平面图形密铺在现代艺术设计 中的应用
探索平面图形密铺在现代艺术中的独特应用，结合数学原理和艺术创意。
平面图形密铺与可持续发展的 关系

4·7 平面图形的密铺1. 密铺的定义用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，叫作平面图形的密铺．2. 密铺的特征（1）边长都相等；（2）顶点公用；（3）在一个顶点处各正多边形的内角和为3600．3. 能够密铺的多边形能够密铺的多边形有三种：三角形、四边形、正六边形.学习中不仅要了解能密铺的多边形有哪些，还要了解为什么这些图形能够密铺，除了通过实际操作探索外，还要明白内在的数学上的理由.因为三角形的内角和是180°，把相同三角形的顶点拼结在一起时能够容纳6个角（其中三组角两两相等，恰好是两个三角形的内角），可以无重叠无空隙地拼接在一起，四边形是同样的解释.正六边形是因为它的每个内角是120°，把三个正六边形拼接在一起，三个内角的和恰为360°，也能无重叠、无空隙地拼接在一起.难点：不理解密铺所具备的条件.密铺所具备的条件是：多边形的几个内角拼在一起，恰好是360°，即这几个内角的和为360°.易错点：误认为边数为偶数的正多边形都能够密铺.比如：认为正八边形、正十边形可以密铺；其实正八边形、正十边形不能密铺，理由是正八边形的每个内角为135°，两个内角拼在一起小于360°，三个内角拼在一起大于 360°.不能无重叠、无空隙地拼在一起；正十边形也是同样的道理. 例1. 由7个大小、形状完全相同的矩形不重复，无重叠地拼成如图所示的大矩形，大矩形的周长为68，则此大矩形的面积为多少？解：设小矩形的长为x ，宽为y ，由图可知：53452y x y y x ++==⎧⎨⎩即：63452y x y x +==⎧⎨⎩∴=∴=y x 410，∴小矩形的面积为4×10=40，大矩形的面积为7×40=280一变：如图所示，正方形是由K 个形状大小完全相同的矩形密铺而成，其中上下各横排2个，中间竖排若干个，求K 的值.一变解：∴中间有4个矩形，∴共有8个矩形，即：K=8.点拨：此种题要与代数知识、及密铺的一些知识结合起来考虑.设正方形的边长为，矩形的宽为，则矩形的长为a x a 2由图可知：，a x a x a 224+==。

成 ３０ ， ６ 。 因而 可 由 以下 几 种 铺 法 ． 解 ： 法 如 图 ４所 示 ： 铺
． ．． ．＋ ； ＋ 。＋ 。． ； ． ． ．
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－ 致掌大世界 ０。 ． ◆ ． ◆ ． ＋＋ 。． ＋ ＿ ． 。； 。； 。
图 ３
三角形可 以密铺 ； 因为正方 形的内角是 ９ 。 ３０ ９ 。 ０ ，６ 。÷ ０ ：４ 所 以正 方形 可 以密 铺 ； ， 因为 正 六 边形 的 内角 是 １０ ，６ 。 ２ 。 ， 以正六 边形 可 以密铺． ２ 。３０ ÷１０ ＝３ 所 而正 五
图４
一
一
一
一
～
一
～
一
一
一
知识 点 ２ 能 密 铺 的 同一 种 图 形 ： 当 绕一 点 拼 在 一 起 的 几 个 多 边 形 的 内 角 加 在 一 起 恰好组成一个周角时 ， 或者说当一个正 多边形 的内角能 整 除 ３０ 时 ， 个 正 多 边形 就 可 以密铺 ． ６。 这 因 为正 三 角 形 的 内角 是 ６ 。３０ ÷ ０ ＝ ， 以 正 ０ 。６ 。 ６ 。 ６ 所
２
实践与应用 ： 请用正三角形和正方形尽 可能多的设 计出不 同效果的铺满平面的方法． 分析 可用正三角形 和正方形绕一点混铺 ， 也可以 绕一点分别利用一种单独铺设 ； 正三角形 的内角是 ６ 。 ｏ， 正方形 的内角是 ９ 。 当 ３个 ６ 。 ２个 ９ 。 一点时 ， ０， ｏ与 ０绕 可 围 成一 个 ３０ ； ６ 。６个 ６ 。 围 成 ３０ ； ｏ可 ６ 。４个 ９ 。 可 围 ０也

，还能降低建筑物的重量和成本。
新技术的应用
总结词
随着数字化和智能化技术的快速发展，新的 设计软件和制造技术为平面图形的密铺提供 了更高效和精准的实现方式。
详细描述
利用计算机辅助设计软件，设计师可以更加 方便地创建和修改密铺图案。同时，提供了可能。这些技术不仅可以提高 设计效率，还能降低生产成本，实现个性化 定制。
01
拼图需要多块不同形状的图形拼 凑在一起，而密铺则是由单一或 多个相同或不同形状的图形完整 地填满一个平面。
02
拼图通常需要一定的技巧和耐心 ，而密铺则更多地关注图形的特 性和规律。
02 常见的平面图形
三角形
三角形可以密铺成平面图案，通过将等边或等腰三角形进行拼接，可以形成丰富多 样的图案。
三角形密铺时，需要确保相邻的三角形之间没有空隙，并且每个三角形的顶点都与 其它三角形的顶点相接。
在实际应用中，这一规则对于保证密 铺的质量和效果至关重要，任何边长 的不匹配都可能导致密铺失败或效果 不佳。
这一规则确保了密铺的连续性和完整 性，使得图形之间无缝衔接，形成连 续的表面覆盖。
完全相等的角
与边长相等的规则类似，所有用于密铺 的图形角度也必须完全相等。这要求在 密铺过程中，每个图形的内角和外角都
密铺的特性
密铺图形之间没有重叠，也没有 空隙，能够完全填满一个封闭的 空间。
密铺的特性
01
02
03
完整性
密铺图形能够完全填满一 个平面，不留任何空隙。
无重叠性
密铺图形之间不会出现重 叠现象，每个图形都有其 固定的位置。
无空隙性
密铺图形之间没有空隙， 紧密相连，形成一个完整 的图案。
密铺与拼图的区别
装饰画制作

在现代教学中，平面图形的密铺一直是设计、建筑等领域中的重要表现方式，也是教学中必不可少的一部分。

随着时代的发展，平面图形的密铺不再是简单的手工勾画，而是通过计算机软件来实现。

然而，即便是拥有众多计算机软件的辅助，教学效果始终是关注的重点之一。

因此，本文将从学科知识的理解和掌握、教学工具的应用和优化以及教学方式的改进等方面探讨如何提高平面图形的密铺的教学效果。

【一、学科知识的理解和掌握】为了提高平面图形的密铺的教学效果，首先要从学科知识的理解和掌握角度入手。

对于平面图形的密铺，我们需要理解平面几何学中的相关概念和基本知识点，例如角度、边、面等。

同时，在学习过程中，也需要掌握相关的技巧和方法，推导与证明相关的公式和定理，从而更好地理解和掌握平面图形的密铺。

为此，教学方式也很关键。

除了传统的课堂教学外，可以加入小组讨论、实践演练等方式，让学生在集体中相互讲解、交流，促进学科知识的理解和掌握。

【二、教学工具的应用和优化】在现代教学中，教学工具的应用和优化也是非常重要的一环。

对于平面图形的密铺，常用的教学工具就是计算机软件，例如AutoCAD、SketchUp等。

然而，单纯地让学生使用这些软件进行操作，往往难以真正起到提高教学效果的作用。

因此，需要在教学过程中进行优化：比如，通过添加相关的插件，进一步拓展计算机软件的功能，提高学生的使用效率和操作能力；利用虚拟实验室的方式，让学生在模拟环境中进行实际操作，更好地了解平面图形的密铺。

【三、教学方式的改进】教学方式的改进也是提高平面图形的密铺的教学效果的重要环节。

相比于传统的单向传授式教学，当前更为流行的是交互式教学。

在教学过程中，可以采取具有互动性的方式，让学生在教师的指导下自行完成相关的操作，加强学生的自主性和互动性，进一步深化学科知识的理解和掌握。

同时，可以通过项目式教学的方式，让学生通过实际的项目实践，将理论知识应用到实践中，更好地掌握相关的技能和技巧。

济宁第十五中学导学案济宁第十五中学导学案周次 1 课时 4 备课人Zjw教后反思课题8.2简单的平移作图（2）学习目标1、经历对图形进行观察、分析、欣赏和动手操作、画图等过程，掌握有关画图等过程，掌握有关画图的操作技能，发展初步的审美能力，增强对图形欣赏的意识。

2、能在直角坐标系中作出简单平面图形平移后的图形，会根据图形平移前后一对对应点的坐标及其它点的坐标，写出这些点平移后（或前）对应点的坐标。

重点：会根据图形平移前后一对对应点的坐标及其他点的坐标，写出这些点平移后（或前）对应点的坐标。

难点：能在方格纸上作出简单平面图形平移后的图形。

复习引入导入新知1、作图需要的条件是什么？2、作图的方法基本方法是什么？3、想一想：（小组合做）如图中的图形是将点（-2，2），（-1，6），（1，6），（2，2），（-2，2）用线段顺次连接而得到的。

⑴如果将图中图形上所有各点的横坐标分别加6，纵坐标保持不变，你能得到一个怎样的图形？画一画⑵如果再将（1）中得到的图形上所有各点的横坐标保持不变，纵坐标分别减4，你又能得到一个怎样的图形？画一画⑶如果将图中图形上所有各点的横坐标分别加6，纵坐标分别减4，你会得到一个怎样的图形？图形原来的位置、平移的方向以及平移的距离以局部带整体的平移作图方法，确定图形的关键点动手操作，体⑷比较⑴⑵中的两次变化与⑶中的一次变化，你有什么发现？典例精析巩固新知例如图，A,B,C三点的坐标分别为A （1，-1），B(3，1)C (2，3)，将△ABC平移后得到△A＇B＇C＇，已知点A平移到点A＇(-3,1).⑴写出B＇，C＇两点的坐标。

⑵画出△A＇B＇C＇.当堂检测强化新知1.图中的图案是由一个正方形挖去一个半圆和一个等腰直角三角形得到的。

已知这个图案上的点M（1，-3）经过平移后坐标变为M ＇（5，-6）。

⑴分别写出点A，B，C，D平移后得到的点A＇，B＇，C＇，D＇的坐标；⑵画出该图案平移后的图案。

内角和 180°360°540°720° （ n -2）180°
每个内角的度数 60° 90° 108°120°（ n -2）180°／ n
能否密铺
能 能否 能
否
乘胜前进
请同学们用准备好的多边形进行试验探索：用形状、 大小完全相同的任意三角形能否密铺？用形状、大 小完全相同的任意四边形能否密铺？其它多边形呢？
能否密铺
成果展示 正三角形、正方形、正六边形可以密铺。
正多边形边数 3 4 5
内角和 180°360°
每个内角的度数 60° 90°
能否密铺
能能
6 720° 120°
能
n (＞6)
密铺时：在每个拼接点处，所有角之和为3600。 相邻的边一般长度要相等。
成果展示
正三角形、正方形、正六边形可以密铺。 正五边形为什么不可以密铺？
2. 用多边形进行密铺时，要注意两点： ①两个多边形在拼接时，相邻的边一般长度要相等； ②几个多边形在每个拼接点处的角之和为3600。
3. 三角形、四边形和正六边形都可以单独密铺。
密铺在现实生活中应用非常广泛
课后作业
1、优化测试P51-52 2、注意观察周围的密铺图案，欣赏的同时，分析是由什 么“基本图形”铺成的。 3、自己创作一幅漂亮的密铺图案。
成果展示
12
3 3
12
3 2
21
3 3
1 2
12
1
1 23
3 2
13
2 13 32
1
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3
21 3
2
3
21 3

3 2
22 311 3
12
31

密铺的定义与正多边形密铺密铺的定义用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。

正多边形的密铺正六边形可以密铺，因为它的每个内角都是120度，在每个拼接点处恰好能容纳3个内角；正五边形不可以密铺，因为它的每个内角都是108度，而360不是108的整数倍，在每个拼接点处的内角不能保证没空隙或重叠现象；除正三角形、正四边形和正六边形外，其它正多边形都不可以密铺平面。

我们都知道，铺地时要把地面铺满，地砖与地砖之间就不能留有空隙。

如果用的地砖是正方形，它的每个角都是直角，那么4个正方形拼在一起，在公共顶点处的4个角，正好拼成一个360度的周角。

正六边形的每个角都是120度， 3个正六边形拼在一起时，在公共顶点上的3个角度数的和正好也是360度。

除了正方形、长方形以外，正三角形也能把地面密铺。

因为正三角形的每个内角都是60度，6个正三角形拼在一起时，在公共顶点处的6个角的度数和正好是360度。

正因为正方形、正六边形拼合以后，在公共顶点上几个角度数的和正好是360度，这就保证了能把地面密铺，而且还比较美观。

因为只有正三角形、正方形、正六边形的内角为360°的约数，因此正多边形中仅此三者可以密铺。

密铺的示例生活中的密铺由于密铺可以无限地覆盖整个平面，因而常用来进行大面积的装饰。

如：地板、墙纸、街道两旁的地砖，等等。

街道两旁的道路常常用一些几何图案的砖铺成，地砖的形状往往是正方形的，也有长方形的，我们还见过正六边形的地砖。

无论是正方形、长方形、还是正六边形的地砖，都可以将一块地面的中间不留空隙、也不重叠地铺满，这就是密铺。

可密铺的组合1、用正三角形(等边三角形)与正方形可以密铺，它每一顶点处有 3 个正三角形(等边三角形)与 2 个正方形。

2、用正三角形(等边三角形)与正六边形也可以密铺，它每一顶点处有 2 个正三角形与2 个正六边形或4个正三角形与1个正六边形。

初中数学实验创新设计方案平面图形的密铺1、实验主题：平面图形的密铺知识在生活中有着广泛的应用，其中最典型最常见的就是铺地板。

其特点是使用的基本图形简单，构造的图案美观，随处可见。

符合初中生的认知水平，能够吸引初中生的兴趣，具有说服力。

所以本节课，我们从生活中的“铺地板”入手，研究其中蕴含的平面图形的密铺知识。

在《新课程标准》中对图形的密铺作出明确的要求：知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以图形的密铺，并能运用这几种图形进行简单的图形的密铺设计。

而平面图形的密铺知识在生活中也有着广泛的应用，其中最典型最常见的就是铺地板。

其特点是使用的基本图形简单，构造的图案美观，随处可见。

符合初中生的认知水平，能够吸引初中生的兴趣，具有说服力。

所以本节课，从生活中的“铺地板”入手，研究其中蕴含的平面图形的密铺知识。

试图通过研究用一种正多边形进行铺地板的条件，使学生了解平面图形的密铺的含义，能够综合应用多边形内角和知识解决平面图形的密铺问题，力图培养学生的动手能力、探究能力、问题意识和合作意识，体会数形结合的数学思想以及从特殊到一般的数学方法。

此外，由用一种正多边形铺地板可以延伸到对用两种正多边形进行铺地板，用三种正多边形进行铺地板的思考和研究，也可以拓展到对用任意三角形和任意四边形进行铺地板的研究。

从深度和广度上都有进一步探究的空间。

2、实验目的“课题学习”作为初中数学四大领域之一，是新课程标准的一大特色。

是在教师的指导下，以问题为核心、以问题解决为目标开展的探究式学习活动。

在初中阶段，通过一些具有挑战性的研究课题，让学生获得初步的研究经验，发展一定的研究能力。

七年级学生的自我意识、好奇心、表现欲和认知能力都处在上升的阶段。

这一时期，对培养学生的学习兴趣、动手能力和思考能力至关重要，也是预防厌学情绪的关键时期。

所以，我们可以充分利用如《平面图形的密铺》这样的课题学习来保护和提升学生学习数学的热情和信心，使学生开阔眼界、拓展知识、培养问题意识和创新精神。

《平面图形的密铺》教案一、教学目标：知识与技能：1. 学生能够理解平面图形的密铺的概念。

2. 学生能够运用平面图形的密铺原理进行实际问题的解决。

过程与方法：1. 学生通过观察、操作、交流等活动，培养空间观念和逻辑思维能力。

2. 学生能够运用画图工具或手工绘制出平面图形的密铺图形。

情感态度价值观：1. 学生体验数学与实际生活的联系，培养学习数学的兴趣。

2. 学生在解决实际问题的过程中，培养合作意识与团队精神。

二、教学重点与难点：重点：1. 平面图形的密铺概念的理解。

2. 平面图形的密铺方法的掌握。

难点：1. 平面图形的密铺原理的应用。

2. 复杂平面图形的密铺方法的探索。

三、教学准备：教师准备：1. 平面图形的密铺的相关教学材料。

2. 画图工具（如彩笔、直尺、剪刀等）。

学生准备：1. 完成预习任务，了解平面图形的密铺的基本概念。

2. 准备好画图工具。

四、教学过程：1. 导入：教师通过展示一些生活中的实例，如瓷砖铺贴、地板图案等，引导学生观察并思考这些实例中的平面图形的密铺现象。

2. 新课讲解：教师介绍平面图形的密铺的概念，讲解密铺的原理和方法，并通过示例进行讲解。

3. 实践操作：学生分组进行实践操作，运用画图工具或手工绘制出不同平面图形的密铺图形。

4. 交流分享：学生展示自己的作品，分享在操作过程中的发现和感悟，师生共同讨论并总结密铺的方法和技巧。

5. 巩固练习：教师给出一些实际问题，学生独立解决，运用密铺原理进行图形设计或计算。

五、作业布置：1. 绘制一个自己设计的平面图形的密铺图形，并写上设计思路和感受。

2. 完成课后练习题，巩固所学知识。

六、教学评价：1. 学生能够准确地解释平面图形的密铺的概念。

2. 学生能够熟练地运用平面图形的密铺原理进行实际问题的解决。

3. 学生能够通过实践操作，展示自己的创新能力和团队合作精神。

七、教学拓展：1. 引导学生探索更多平面图形的密铺方法，如五边形、六边形等。