平面图形的密铺

§4.7 平面图形的密铺教学目标(一)知识目标平面图形的密铺及多边形密铺的条件.(二)能力训练目标1.经历探索多边形密铺(镶嵌)条件的过程，进一步发展学生的合情推理能力.2.通过探索平面图形的密铺，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以密铺，并能运用这几种图形进行简单的密铺设计.(三)情感与价值观目标1.在探索活动过程中，培养学生的合作交流意识和一定的审美情感，使学生进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用.2.在探索性活动中，开发、培养学生的创造性思维，使其理论联系实际.教学重点多边形密铺的条件.教学难点运用三角形、四边形或正六边形进行简单的密铺设计.教学过程一、巧设情景问题，引入课题［师］同学们好，老师问大家一个问题：你家铺有地板砖吗？［生齐］铺有地板砖.［师］那你家铺的地板砖是什么图形呢？［生甲］正方形、正六边形.［师］很好，我们经常能见到各种建筑物的地板，观察地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案.(出示投影，展示各种地板图片)［师］这些地板漂亮吗？［生齐］非常漂亮.［师］很好，这种用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺.这节课我们来探索平面图形的密铺.二、讲授新课［师］平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌，在平面上密铺需注意：各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠.大家愿意美化生活环境吗？［生齐］愿意.［师］好，那我们先来探索多边形密铺的条件，大家拿出剪刀和硬纸片分组来做一做：(1)用形状、大小完全相同的三角形能否密铺？(2)用同一种四边形可以密铺吗？用硬纸板剪制若干形状、大小完全相同的四边形做实验，并与同伴交流.(3)在用三角形密铺的图案中，观察每个拼接点处有几个角？它们与这种三角形的三个内角有什么关系？(4)在用四边形密铺的图案中，观察每个拼接点处的四个角与这种四边形的四个内角有什么关系？(学生动手制作、教师强调：)［师］大家要注意：三角形、四边形的形状，可以是任意的，但裁剪出的每种图形一定是全等形.(学生分组拼接、讨论，寻找规律，教师巡视指导)［生甲］用形状、大小完全相同的三角形可以密铺.因为三角形的内角和为180°，所以，用6个这样的三角形就可以组合起来镶嵌成一个平面.从用三角形密铺的图案中，观察到：每个拼接点处有6个角，这6个角分别是这种三角形的内角(其中有三组分别相等)，它们可以组成两个三角形的内角，它们的和为360°.［生乙］用同一种四边形也可以密铺，在用四边形密铺的图案中，每个拼接点处的四个角恰好是一个四边形的四个内角.四边形的内角和为360°，所以它们的和为360°.［生丙］从拼接活动中，我们知道了：要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地密铺一个平面，需使得拼接点处的各角之和为360°.［师］同学们总结得非常好，通过探索活动，我们得知：用形状、大小完全相同的四边形或三角形可以密铺一个平面，那么其他的多边形能否密铺？下面大家来想一想，议一议(出示投影片§4.8 B) (1)正六边形能否密铺？简述你的理由.(2)分析如下图，讨论正五边形不能密铺.(3)还能找到能密铺的其他正多边形吗？(学生分析、讨论、归纳)［生甲］正六边形能密铺.因为正六边形的每个内角都是：6180)26(︒⋅-=120°,在每个拼接点处，恰好能容纳下3个内角，而且相互不重叠，没有空隙.［生乙］正五边形的每个内角都是108°，360不是108的整数倍.如图所示，在每个拼接点处，三个内角之和为324°，小于360°，而四个内角之和都大于360°.［师］很好，乙同学说的也就是：在每个拼结处，拼三个内角不能保证没空隙，而拼四个角时，必定有重叠现象.［生丙］老师，我知道了，要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是360°，在正多边形里，正三角形的每个内角都是60°，正四边形的每个内角都是90°，正六边形的每个内角都是120°，这三种多边形的一个内角的倍数都是360°，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是360°，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以密铺，而其他的正多边形不可密铺.［师］很好，事实上，对于正n 边形，它的每一个内角都为nn ︒⋅-180)2(,在每个拼接点处，设可以将m 个内角彼此无重叠、无缝隙地拼接在一起，由于这些角的和应为360°，因此有nn ︒⋅-180)2(×m =360° 此式可化为：(m －2)(n －2)=4 m 、n 都是正整数. 因此：m －2,n －2都是4的因子. 所以，m 、n 的取值仅有三种可能，即：⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==63 44 36n m n m n m 这正是正多边形的三种可以密铺的情况.当然，一般三角形、四边形也可以密铺.虽然它们的内角未必都相等.(出示投影片§4.8 C)［师］这是用一种正多边形镶嵌平面的三种情况，图案漂亮吗？［生齐］漂亮.［生］老师，我们讨论了用正多边形镶嵌平面，那非正多边形能否镶嵌一个平面呢？ ［师］这个问题我们以后要涉及到，因为用非正多边形镶嵌平面比较复杂，所以这节课我们不进行讨论.三、课堂练习1.如图，在一个正方形的内部按图示(1)的方式剪去一个正三角形，并平移，形成如图(2)所示的新图案，以这个图案为“基本单位”能否进行密铺？说说你的理由.答案：可以进行密铺.因为正方形是可以密铺的.这个题只是在整个密铺图案中，将其中一个正方形的某一部分平移到了另一正方形的相应部位，因而它也是可以密铺的.2.利用习题3.7第三题所得的“鱼”形图案能否密铺？根据上面的思路，自己独立设计一个可以密铺的“基本单位”图形.(二)读一读课本P114漂亮的密铺图案.(三)试一试同时用边长相同的正八边形和正方形能否密铺？用硬纸板为材料进行实验.答案：可以密铺(学生进行操作，来实验，从而得证)(四)看课本P113后总结四、课时小结本节课我们通过活动，探讨，知道任意一个三角形，四边形或正六边形可以镶嵌成一个平面，并且探索出正多边形密铺的条件.即：一种正多边形的一个内角的倍数是否是360°.五、课后作业课本P115习题4.12 1、2、3；试一试。

如何引导学生开展探究性数学学习-------------《平面图形的密铺》教学案例湖北省水果湖第一中学刘军·使用教材义务教育课程标准实验教科书数学（北师大版）八年级下册·教学环境多媒体教室（有视频展示台）一、教学目标1. 知识与技能目标：（1）通过对“拼地板”的探索，让学生经历探索多边形密铺（镶嵌）的条件的过程，强化学生对多边形内角和其及有关几何事实的认识，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以密铺；并能运用这几种图形进行简单的密铺设计；（2）培养学生观察、动手操作能力。

2. 过程与方法目标：渗透初步的数学“建模”思想，引导学生在拼接实验的过程中，通过观察、判断、归纳、总结并发现规律，并能用所发现的规律去解决一些实际问题，进一步发展学生的合情推理能力。

3. 情感与态度目标：（1）让学生进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用，将书本知识与生产生活实践有机地结合；（2）开发、培养学生实践意识、创新精神和团结协作的精神；（3）学生在活动中感受数学的朴实之美，数学的和谐之美，进一步发展学生的审美情趣。

二、教材分析教学重点：探索多边形密铺的条件的过程以及多边形密铺的条件。

教学难点：如何运用多边形的有关知识，解决密铺中的问题，并寻找多边形密铺的条件。

三、学校及学生状况分析我校是湖北省教育厅直属的示范中学，办学条件良好，有一栋教学楼，一栋实验楼，一栋综合楼，一栋办公楼，一个多功能报告厅，3间多媒体教室，每个班配有电脑和大屏幕电视。

本班的学生绝大部分来自武汉大学等高校和省直机关，有较好的学习基础。

四、课前准备教学设备或教辅工具：1．将学生按四人一组进行分组。

2．多媒体、教学图片。

3．颜色各异的各种多边形图纸。

学生课前准备：全等的多边形纸板、胶水、笔、纸等。

五、教学实录1．创设情境，提出本次学习活动的主题师：在我们的周围有一些美丽、神奇的图案，请我们一起来欣赏一组图案：（多媒体展示一组时装秀和密铺图案）师：这些图案有什么共同特征呢？（同学们分组讨论、交流）生：这些图案是用一种或几种形状相同的图形组成的。

4·7 平面图形的密铺1. 密铺的定义用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，叫作平面图形的密铺．2. 密铺的特征（1）边长都相等；（2）顶点公用；（3）在一个顶点处各正多边形的内角和为3600．3. 能够密铺的多边形能够密铺的多边形有三种：三角形、四边形、正六边形.学习中不仅要了解能密铺的多边形有哪些，还要了解为什么这些图形能够密铺，除了通过实际操作探索外，还要明白内在的数学上的理由.因为三角形的内角和是180°，把相同三角形的顶点拼结在一起时能够容纳6个角（其中三组角两两相等，恰好是两个三角形的内角），可以无重叠无空隙地拼接在一起，四边形是同样的解释.正六边形是因为它的每个内角是120°，把三个正六边形拼接在一起，三个内角的和恰为360°，也能无重叠、无空隙地拼接在一起.难点：不理解密铺所具备的条件.密铺所具备的条件是：多边形的几个内角拼在一起，恰好是360°，即这几个内角的和为360°.易错点：误认为边数为偶数的正多边形都能够密铺.比如：认为正八边形、正十边形可以密铺；其实正八边形、正十边形不能密铺，理由是正八边形的每个内角为135°，两个内角拼在一起小于360°，三个内角拼在一起大于 360°.不能无重叠、无空隙地拼在一起；正十边形也是同样的道理. 例1. 由7个大小、形状完全相同的矩形不重复，无重叠地拼成如图所示的大矩形，大矩形的周长为68，则此大矩形的面积为多少？解：设小矩形的长为x ，宽为y ，由图可知：53452y x y y x ++==⎧⎨⎩即：63452y x y x +==⎧⎨⎩∴=∴=y x 410，∴小矩形的面积为4×10=40，大矩形的面积为7×40=280一变：如图所示，正方形是由K 个形状大小完全相同的矩形密铺而成，其中上下各横排2个，中间竖排若干个，求K 的值.一变解：∴中间有4个矩形，∴共有8个矩形，即：K=8.点拨：此种题要与代数知识、及密铺的一些知识结合起来考虑.设正方形的边长为，矩形的宽为，则矩形的长为a x a 2由图可知：，a x a x a 224+==。

八年级数学上册§4.7 平面图形的密铺教案教学目标(一)知识目标平面图形的密铺及多边形密铺的条件.(二)能力训练目标 1.经历探索多边形密铺(镶嵌)条件的过程，进一步发展学生的合情推理能力.2.通过探索平面图形的密铺，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以密铺，并能运用这几种图形进行简单的密铺设计.(三)情感与价值观目标 1.在探索活动过程中，培养学生的合作交流意识和一定的审美情感，使学生进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用. 2.在探索性活动中，开发、培养学生的创造性思维，使其理论联系实际.教学重点：多边形密铺的条件. 教学难点：运用三角形、四边形或正六边形进行简单的密铺设计.教学过程：一、巧设情景问题，引入课题［师］同学们好，老师问大家一个问题：你家铺有地板砖吗？［生齐］铺有地板砖.［师］那你家铺的地板砖是什么图形呢？［生甲］正方形、正六边形.［师］很好，我们经常能见到各种建筑物的地板，观察地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案.(出示投影，展示各种地板图片) ［师］这些地板漂亮吗？［生齐］非常漂亮.［师］很好，这种用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺. 这节课我们来探索平面图形的密铺.二、讲授新课：平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌，在平面上密铺需注意：各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠.大家愿意美化生活环境吗？［生齐］愿意.［师］好，那我们先来探索多边形密铺的条件，大家拿出剪刀和硬纸片分组来做一做：(1)用形状、大小完全相同的三角形能否密铺？(2)用同一种四边形可以密铺吗？用硬纸板剪制若干形状、大小完全相同的四边形做实验，并与同伴交流. (3)在用三角形密铺的图案中，观察每个拼接点处有几个角？它们与这种三角形的三个内角有什么关系？(4)在用四边形密铺的图案中，观察每个拼接点处的四个角与这种四边形的四个内角有什么关系？(学生动手制作、教师强调：)［师］大家要注意：三角形、四边形的形状，可以是任意的，但裁剪出的每种图形一定是全等形.(学生分组拼接、讨论，寻找规律，教师巡视指导) ［生甲］用形状、大小完全相同的三角形可以密铺.因为三角形的内角和为180°，所以，用6个这样的三角形就可以组合起来镶嵌成一个平面.从用三角形密铺的图案中，观察到：每个拼接点处有6个角，这6个角分别是这种三角形的内角(其中有三组分别相等)，它们可以组成两个三角形的内角，它们的和为360°.［生乙］用同一种四边形也可以密铺，在用四边形密铺的图案中，每个拼接点处的四个角恰好是一个四边形的四个内角.四边形的内角和为360°，所以它们的和为360°.［生丙］从拼接活动中，我们知道了：要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地密铺一个平面，需使得拼接点处的各角之和为360°.［师］同学们总结得非常好，通过探索活动，我们得知：用形状、大小完全相同的四边形或三角形可以密铺一个平面，那么其他的多边形能否密铺？下面大家来想一想，议一议(出示投影片§4.8 B) (1)正六边形能否密铺？简述你的理由.(2)分析如下图，讨论正五边形不能密铺.(3)还能找到能密铺的其他正多边形吗？(学生分析、讨论、归纳)［生甲］正六边形能密铺.因为正六边形的每个内角都是：6180)26(︒⋅-=120°,在每个拼接点处，恰好能容纳下3个内角，而且相互不重叠，没有空隙.［生乙］正五边形的每个内角都是108°，360不是108的整数倍.如图所示，在每个拼接点处，三个内角之和为324°，小于360°，而四个内角之和都大于360°.［师］很好，乙同学说的也就是：在每个拼结处，拼三个内角不能保证没空隙，而拼四个角时，必定有重叠现象.［生丙］老师，我知道了，要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是360°，在正多边形里，正三角形的每个内角都是60°，正四边形的每个内角都是90°，正六边形的每个内角都是120°，这三种多边形的一个内角的倍数都是360°，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是360°，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以密铺，而其他的正多边形不可密铺.很好，事实上，对于正n 边形，它的每一个内角都为nn ︒⋅-180)2(,在每个拼接点处，设可以将m 个内角彼此无重叠、无缝隙地拼接在一起，由于这些角的和应为360°，因此有n n ︒⋅-180)2(×m =360° 此式可化为：(m －2)(n －2)=4 m 、n 都是正整数.因此：m －2,n －2都是4的因子. 所以，m 、n 的取值仅有三种可能，即：⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==63 44 36n m n m n m 这正是正多边形的三种可以密铺的情况.当然，一般三角形、四边形也可以密铺.虽然它们的内角未必都相等.［师］这是用一种正多边形镶嵌平面的三种情况，图案漂亮吗？ ［生齐］漂亮.老师，我们讨论了用正多边形镶嵌平面，那非正多边形能否镶嵌一个平面呢？这个问题我们以后要涉及到，因为用非正多边形镶嵌平面比较复杂，所以这节课我们不进行讨论.三、课堂练习1.如图，在一个正方形的内部按图示(1)的方式剪去一个正三角形，并平移，形成如图(2)所示的新图案，以这个图案为“基本单位”能否进行密铺？说说你的理由.答案：可以进行密铺.因为正方形是可以密铺的.这个题只是在整个密铺图案中，将其中一个正方形的某一部分平移到了另一正方形的相应部位，因而它也是可以密铺的.2.利用习题3.7第三题所得的“鱼”形图案能否密铺？根据上面的思路，自己独立设计一个可以密铺的“基本单位”图形.3.读一读课本P114漂亮的密铺图案.4.试一试同时用边长相同的正八边形和正方形能否密铺？用硬纸板为材料进行实验.答案：可以密铺(学生进行操作，来实验，从而得证)5.看课本P113后总结四、课时小结本节课我们通过活动，探讨，知道任意一个三角形，四边形或正六边形可以镶嵌成一个平面，并且探索出正多边形密铺的条件.即：一种正多边形的一个内角的倍数是否是360°.五、课后作业课本P115习题4.12 1、2、3；试一试。

在现代教学中，平面图形的密铺一直是设计、建筑等领域中的重要表现方式，也是教学中必不可少的一部分。

随着时代的发展，平面图形的密铺不再是简单的手工勾画，而是通过计算机软件来实现。

然而，即便是拥有众多计算机软件的辅助，教学效果始终是关注的重点之一。

因此，本文将从学科知识的理解和掌握、教学工具的应用和优化以及教学方式的改进等方面探讨如何提高平面图形的密铺的教学效果。

【一、学科知识的理解和掌握】为了提高平面图形的密铺的教学效果，首先要从学科知识的理解和掌握角度入手。

对于平面图形的密铺，我们需要理解平面几何学中的相关概念和基本知识点，例如角度、边、面等。

同时，在学习过程中，也需要掌握相关的技巧和方法，推导与证明相关的公式和定理，从而更好地理解和掌握平面图形的密铺。

为此，教学方式也很关键。

除了传统的课堂教学外，可以加入小组讨论、实践演练等方式，让学生在集体中相互讲解、交流，促进学科知识的理解和掌握。

【二、教学工具的应用和优化】在现代教学中，教学工具的应用和优化也是非常重要的一环。

对于平面图形的密铺，常用的教学工具就是计算机软件，例如AutoCAD、SketchUp等。

然而，单纯地让学生使用这些软件进行操作，往往难以真正起到提高教学效果的作用。

因此，需要在教学过程中进行优化：比如，通过添加相关的插件，进一步拓展计算机软件的功能，提高学生的使用效率和操作能力；利用虚拟实验室的方式，让学生在模拟环境中进行实际操作，更好地了解平面图形的密铺。

【三、教学方式的改进】教学方式的改进也是提高平面图形的密铺的教学效果的重要环节。

相比于传统的单向传授式教学，当前更为流行的是交互式教学。

在教学过程中，可以采取具有互动性的方式，让学生在教师的指导下自行完成相关的操作，加强学生的自主性和互动性，进一步深化学科知识的理解和掌握。

同时，可以通过项目式教学的方式，让学生通过实际的项目实践，将理论知识应用到实践中，更好地掌握相关的技能和技巧。

密铺的定义与正多边形密铺密铺的定义用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。

正多边形的密铺正六边形可以密铺，因为它的每个内角都是120度，在每个拼接点处恰好能容纳3个内角；正五边形不可以密铺，因为它的每个内角都是108度，而360不是108的整数倍，在每个拼接点处的内角不能保证没空隙或重叠现象；除正三角形、正四边形和正六边形外，其它正多边形都不可以密铺平面。

我们都知道，铺地时要把地面铺满，地砖与地砖之间就不能留有空隙。

如果用的地砖是正方形，它的每个角都是直角，那么4个正方形拼在一起，在公共顶点处的4个角，正好拼成一个360度的周角。

正六边形的每个角都是120度， 3个正六边形拼在一起时，在公共顶点上的3个角度数的和正好也是360度。

除了正方形、长方形以外，正三角形也能把地面密铺。

因为正三角形的每个内角都是60度，6个正三角形拼在一起时，在公共顶点处的6个角的度数和正好是360度。

正因为正方形、正六边形拼合以后，在公共顶点上几个角度数的和正好是360度，这就保证了能把地面密铺，而且还比较美观。

因为只有正三角形、正方形、正六边形的内角为360°的约数，因此正多边形中仅此三者可以密铺。

密铺的示例生活中的密铺由于密铺可以无限地覆盖整个平面，因而常用来进行大面积的装饰。

如：地板、墙纸、街道两旁的地砖，等等。

街道两旁的道路常常用一些几何图案的砖铺成，地砖的形状往往是正方形的，也有长方形的，我们还见过正六边形的地砖。

无论是正方形、长方形、还是正六边形的地砖，都可以将一块地面的中间不留空隙、也不重叠地铺满，这就是密铺。

可密铺的组合1、用正三角形(等边三角形)与正方形可以密铺，它每一顶点处有 3 个正三角形(等边三角形)与 2 个正方形。

2、用正三角形(等边三角形)与正六边形也可以密铺，它每一顶点处有 2 个正三角形与2 个正六边形或4个正三角形与1个正六边形。

《平面图形的密铺》教案第一章：引言教学目标：1. 了解平面图形的密铺的概念和意义。

2. 掌握平面图形的密铺的方法和技巧。

教学内容：1. 介绍平面图形的密铺的定义和作用。

2. 讲解平面图形的密铺的方法和技巧。

教学步骤：1. 引入平面图形的密铺的概念，让学生初步了解。

2. 通过实例展示平面图形的密铺的效果和应用。

3. 讲解平面图形的密铺的方法和技巧，引导学生思考和探索。

4. 让学生进行实践操作，尝试平面图形的密铺。

教学评价：1. 学生能准确描述平面图形的密铺的概念和作用。

2. 学生能掌握平面图形的密铺的方法和技巧，并能够灵活运用。

第二章：矩形的密铺教学目标：1. 了解矩形的密铺的概念和意义。

2. 掌握矩形的密铺的方法和技巧。

教学内容：1. 介绍矩形的密铺的定义和作用。

2. 讲解矩形的密铺的方法和技巧。

教学步骤：1. 引入矩形的密铺的概念，让学生初步了解。

2. 通过实例展示矩形的密铺的效果和应用。

3. 讲解矩形的密铺的方法和技巧，引导学生思考和探索。

4. 让学生进行实践操作，尝试矩形的密铺。

教学评价：1. 学生能准确描述矩形的密铺的概念和作用。

2. 学生能掌握矩形的密铺的方法和技巧，并能够灵活运用。

第三章：三角形的密铺教学目标：1. 了解三角形的密铺的概念和意义。

2. 掌握三角形的密铺的方法和技巧。

教学内容：1. 介绍三角形的密铺的定义和作用。

2. 讲解三角形的密铺的方法和技巧。

教学步骤：1. 引入三角形的密铺的概念，让学生初步了解。

2. 通过实例展示三角形的密铺的效果和应用。

3. 讲解三角形的密铺的方法和技巧，引导学生思考和探索。

4. 让学生进行实践操作，尝试三角形的密铺。

教学评价：1. 学生能准确描述三角形的密铺的概念和作用。

2. 学生能掌握三角形的密铺的方法和技巧，并能够灵活运用。

第四章：平行四边形的密铺教学目标：1. 了解平行四边形的密铺的概念和意义。

2. 掌握平行四边形的密铺的方法和技巧。

教学内容：1. 介绍平行四边形的密铺的定义和作用。