数学活动：平面图形的密铺.ppt

A、3
B、4
C、5
D、6
设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正 六边形的角.
60m120n 360 mn 14,nm22
正五边形不可以密铺
❖小结：
同学们，通过我们的实验，大家 可以发现：每个拼接点处，当几个多 边形的内角和能成为360度，则可以密 铺，否则将无法进行密铺的。
变化的正方形
在一个正方形的内部剪去一个正三角形，并平移，形 成图所示的新图案，以它为“基本单位”能否进行密 铺?为什么？
为什么它 们
可以组合 呢？？？
经典的设计
拼 装 结 果 不 唯 一
精彩的设计
多 彩 的 设 计
简 约 实 效 的 设 计
小结:
1.平面图形的密铺指没有空隙和不 重叠的拼接; 2.用一种多边形密铺时,三角形,四 边形,正六边形都能密铺.
密铺在现实生活中应用非 常广泛.
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
1、下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是（ D） A、三角形 B、正方形 C、任意四边形 D、正八边形
2、用正方形一种图形进行平面镶嵌时，在它的一个顶点周围的 正方形的个数是（ B ）
A、 3
B 、4
C、5
D 、6
3、如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的 每一个顶点周围都有6个正多边形，则该正多边形的边数为（ A ）
正五边形可以密铺吗？
108度
13 2
啊!拼不了啦, 为什么呢?你 能说说道理 吗?
108度×( ？) ≠360度
正三角形
能否 平面 镶嵌
能
正方形
能
正五边形
不能

苏教版五年级数学下册
奇妙的图形密铺
教学目标
1.通过观察生活中常见的密铺图案，初步理解密 铺的含义。 2.通过拼摆各种图形，认识一些可以密铺的平面 图形，初步探索密铺的特点，在探究规律的过程 中培养同学们的观察、猜测、验证、推理和交流 的能力。 3.通过欣赏密铺图案和设计简单的密铺图案，体 会到图形之间的转换，充分感受数学知识与生活 的密切联系，经历欣赏数学美、创造数学美的过 程。
埃 舍 尔 的 作 品
用眼睛去发现美 用心灵去感受美 用智边，无时无刻不在 装点着我们的生活！希望大家学了今天的 知识，能用眼睛去发现美，用心灵去感受 美，用智慧去创造美。同时，它还是一门 学问，在美丽的密铺后，还有太多的数学 奥秘等待我们去探索。
正三角形能密铺
正五边形不 能密铺
你知道吗？
密铺图形奇妙而美丽，古往今来，不少艺术 家都在这方面进行过研究，其中最富有趣味的是 荷兰艺术家埃舍尔，他到西班牙旅行参观时，对 一种名为阿罕伯拉宫的建筑有很深刻的印象，并 得到启发，创造了各种并不局限于几何图形的密 铺图案。这些图案包括鱼、青蛙、狗、人、蜥蜴， 甚至是他凭空想象的物体。他创造的艺术作品， 结合了数学与艺术，给人留下深刻印象，更让人 对数学产生另一种看法。
这些图片分别是由哪些图形拼成的 ?
这些平面图形在拼的时候有没有什么共
同的地方？
无空隙 不重叠
像这样把一种或几种平面图形既无空隙，又 不重叠地铺在平面上，这种铺法数学上称它为 “密铺”
下面的三幅图，可以看作是密铺吗？为 什么？
密 铺 在 生 活 中 的 应 用
平行四边形能密铺

心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
150 ° 156 °
18
160 °
20
162 °
30
36
…
168 ° 170 °
பைடு நூலகம்
若用两种不同的正多边形密铺，该怎样选择?若 一个拼接点处有三个不同正多边形，请选出一 个组合。
（三角形与四边形，三角形与六边形，三角形与十二边 形，四边形与八边形；四边形，六边形，十二边形）
随堂练习: p114.第一题
能进行密铺的关键是什么?
只需拼接点处的各角之和为360度.
问题探究：
正五边形能进行密铺吗,为什么？
还能找到其他的正多边形进行密铺吗？
36°
正多边形边数与一个内角度数的关系：
边数
3
一个内角 大小
60 °
4
90 °
5
6
8
108 ° 120 ° 135 °
9
140 °
边数
一个内 角大小
10
144°
12
15
上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱
如图,在一个正方形的内部剪去一个正三角形 并平移,形成一个新的基本图案,以这个新图案 能否进行密铺?
小结：
▪ 1、密铺的定义 ▪ 2、能用一种多边形密铺有哪些？ ▪ 3、密铺的关键是什么？

形状、大小完全相同的平行四边形可以密铺。
猜一猜：
哪些图形可以密铺？
（ ）（ ） （ ） （ ） （ ）（ ）
怎样知道大家 的猜测是否正 确呢？
咱们来试一 试吧！
汇报：
（×）（√） （√） （√） （×） （√） 正三角形、长方形、梯形、正六边 形可以进行密铺 。 圆形和正五边形不能进行密铺。
不能密铺。
用了（12 ）块，所占 面积是（ 6 ）平方厘 米。
在我的图案中，
用了（12）块，所占面积是 （6 ）平方厘米。
用了（12）块，所占面积是 （ 6 ）平方厘米。
让我们放飞理想， 翱翔于数学殿堂。
先看下面几个密铺的图案
观察下图，这些图形在拼接时有什么特点?
平面图形的密铺
用形状、大小完全相同的一种 或几种平面图形进行拼接，彼此之 间不留空隙、不重叠地铺成一片，
这就是平面图形的密铺，又称作
平面图形的镶嵌。
下面我们具体来研究下密铺现象
猜一猜形状、大小完全相同的 平行四边形可以密铺吗？
看我的！
呀，可以！
我的也 可以。
1.用形状、大小完全相同的任意
三角形能否密铺？
1Leabharlann 3122
2
2
2
2
1
31
31
31
31
3
31
3
2
2
2
2
1
31
31
3
2
形状、大小完全相同的三角形可以密铺
在用三角形密铺的图案中，观察每个拼接点处有几个角？
它们与这种三角形的三个内角有什么关系？
1
3
1
2
2
2
2
2

为什么可以呢？
为什么三角形和四边形都可以密铺呢？
密铺的定义 用形状、大小完全相同的一种或几种平 面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺 成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形 的镶嵌。 三角形的内角和是180°，是一个周角的一半，四边 形的内角和是360°，正好是一个周角，所以三角形 和四边形都可以密铺。
交流反思
1.请按照下面的方法试一试，你有什么发现？
2.在上面的活动中，你有什么收获？还有那些想要进一步研究的 问题？
密铺与图形的 角有关系······
让我们继续写下去！ 所有的图形 都能密铺吗？
结合下面的图形说一说：真的什么图形都能密铺吗？Βιβλιοθήκη 并不是所有图形都可以密铺的：
正三角形、正四边形和正六边形外，其它正多边形都不可 以密铺。 正六边形可以密铺，因为它的每个内角都是120°，在每个拼接 点处恰好能容纳3个内角；正五边形不可以密铺，因为它的每 个内角都是108度，而360°不是108的整数倍，在每个拼接点 处的内角不能保证没空隙或重叠现象；除正三角形、正四边形 和正六边形外，其它正多边形都不可以密铺平面。
1.什么图形可以密铺？
2.为什么有的图形可以密铺呢？
来聊聊你的收获吧！
谢谢大家！
数学好玩
探索：密铺
观察下列图片，说一说什么是密铺。
密铺，即面图形的镶嵌，用形状、大小完全相同的几种 或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重 叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图 形的镶嵌。
提出问题
什么图形可以密铺？
为什么有的图形可以密铺呢？
······
这些问题，我们都留到课后来探索 相信认真听讲的你，马上就会解答出来！
本次活动任务： 三角形能不能密铺？ 四边形可不可以？

不能密铺
正九边形(一个内角是140度)
不能密铺
正十边形(一个内角是144度)
不能密铺
ppt课件
18
早在公元前300年
让我告诉你
前后，亚历山大的巴
鲁士就研究过蜜蜂房
的形状，他认为蜂房里到处是等边的正六边形
图案，非常匀称规则．蜜蜂凭着它本能的智慧，
选择了边数最多的正六边形．这样，它们就可
以用同样多的原材料，使蜂房具有最大的容量，
啊!拼不了啦,
为什么呢?你
13 2
能说说道理
吗?
∠1+∠2+∠3=?
ppt课件
13
平 面 图形 的
密铺
请你想一想,这些图形在ppt课拼件 接时有什么特点? 14
平面密铺的特点
（1）用一种或几种全等图形进行拼 接.
（2）拼接处不留空隙、不重叠. （3）能连续铺成一片.
ppt课件
15
图案中每一个交叉点，周围各个角的度数和是 360º，即为密铺图形。
个公共顶点处几个内角
的和为360°，两个正
多边形就能进行镶嵌。
ppt课件
41
小结
（1）密铺的定义
（2）用多边形进行密铺时，相拼接的边相等， 每个拼接点处各个角的和等于360度
（3）用同一种三角形和同一种四边形都可以 进行密铺
（4）如果只用一种正多边形密铺，那么只有 正三角形，正方形和正六边形可以密铺
ppt课件
42
ppt课件
43
34 43
1 2
3
4
12
2 3
1
4
ppt课件
25
2
2
1
3
1
3

，还能降低建筑物的重量和成本。
新技术的应用
总结词
随着数字化和智能化技术的快速发展，新的 设计软件和制造技术为平面图形的密铺提供 了更高效和精准的实现方式。
详细描述
利用计算机辅助设计软件，设计师可以更加 方便地创建和修改密铺图案。同时，提供了可能。这些技术不仅可以提高 设计效率，还能降低生产成本，实现个性化 定制。
01
拼图需要多块不同形状的图形拼 凑在一起，而密铺则是由单一或 多个相同或不同形状的图形完整 地填满一个平面。
02
拼图通常需要一定的技巧和耐心 ，而密铺则更多地关注图形的特 性和规律。
02 常见的平面图形
三角形
三角形可以密铺成平面图案，通过将等边或等腰三角形进行拼接，可以形成丰富多 样的图案。
三角形密铺时，需要确保相邻的三角形之间没有空隙，并且每个三角形的顶点都与 其它三角形的顶点相接。
在实际应用中，这一规则对于保证密 铺的质量和效果至关重要，任何边长 的不匹配都可能导致密铺失败或效果 不佳。
这一规则确保了密铺的连续性和完整 性，使得图形之间无缝衔接，形成连 续的表面覆盖。
完全相等的角
与边长相等的规则类似，所有用于密铺 的图形角度也必须完全相等。这要求在 密铺过程中，每个图形的内角和外角都
密铺的特性
密铺图形之间没有重叠，也没有 空隙，能够完全填满一个封闭的 空间。
密铺的特性
01
02
03
完整性
密铺图形能够完全填满一 个平面，不留任何空隙。
无重叠性
密铺图形之间不会出现重 叠现象，每个图形都有其 固定的位置。
无空隙性
密铺图形之间没有空隙， 紧密相连，形成一个完整 的图案。
密铺与拼图的区别
装饰画制作

无论什么形状的图形，如果能既无 空隙又不重叠地铺在平面上，这种铺法 就叫做密铺。
猜一猜：哪些图形可以密铺？
怎样知道大家 的猜测是否正 确呢？
咱方形能密铺
平行四边行 形能密铺
正
三
1
31
3
边
6
6
形
可
以
密
60度 ×6 ＝360度
铺
梯形能密铺
正六边形能密铺
正 五 边 形 不 可 以 密 铺
拼 装 结 果 不 唯 一
简 约 实 效 的 设 计
奇 妙 的 镶 嵌 图 案
你知道吗？
密铺图形奇妙而美丽，古往今来，不少艺 术家都在这方面进行过研究，其中最富有趣味的 是荷兰艺术家埃舍尔，他创造了各种并不局限于 几何图形的密铺图案。这些图案包括鱼、青蛙、 狗、人、蜥蜴，甚至是他凭空想象的物体。他创 造的艺术作品，结合了数学与艺术，给人留下深 刻印象。
1080 1080
1080 1080
❖小结：
同学们，通过我们的实验，大家 可以发现：每个拼接点处，当几个多 边形的内角和能成为360度，则可以密 铺，否则将无法进行密铺的。
用同一种平面图形如果不 能密铺,用两种或者两种以上平 面图形能不能密铺呢?
你能从七巧板中选出两种不同的图形 密铺一个平面吗？
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月10日星期日2022/4/102022/4/102022/4/10 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/102022/4/102022/4/104/10/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/102022/4/10April 10, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。

内角和 180°360°540°720° （ n -2）180°
每个内角的度数 60° 90° 108°120°（ n -2）180°／ n
能否密铺
能 能否 能
否
乘胜前进
请同学们用准备好的多边形进行试验探索：用形状、 大小完全相同的任意三角形能否密铺？用形状、大 小完全相同的任意四边形能否密铺？其它多边形呢？
能否密铺
成果展示 正三角形、正方形、正六边形可以密铺。
正多边形边数 3 4 5
内角和 180°360°
每个内角的度数 60° 90°
能否密铺
能能
6 720° 120°
能
n (＞6)
密铺时：在每个拼接点处，所有角之和为3600。 相邻的边一般长度要相等。
成果展示
正三角形、正方形、正六边形可以密铺。 正五边形为什么不可以密铺？
2. 用多边形进行密铺时，要注意两点： ①两个多边形在拼接时，相邻的边一般长度要相等； ②几个多边形在每个拼接点处的角之和为3600。
3. 三角形、四边形和正六边形都可以单独密铺。
密铺在现实生活中应用非常广泛
课后作业
1、优化测试P51-52 2、注意观察周围的密铺图案，欣赏的同时，分析是由什 么“基本图形”铺成的。 3、自己创作一幅漂亮的密铺图案。
成果展示
12
3 3
12
3 2
21
3 3
1 2
12
1
1 23
3 2
13
2 13 32
1
21
11
12
31
3
21 3
2
3
21 3

3 2
22 311 3
12
31

感谢您的观看
THANKS
常见的无限密铺图形包括平心线、三 角形平分线等。
无限密铺的数学原理在于，对于一组 特定的几何图形，可以通过数学计算 和证明，证明它们可以无限地重复排 列，形成一个完整的图案。
无限密铺的特性包括无限性、重复性 和规律性，这些特性使得无限密铺在 数学、美学和艺术等领域有着广泛的 应用。
03
密铺在艺术中的应用
拓扑学
拓扑学是研究图形或物体在连续变形下保持不变性质的数学分支。密铺问题在拓扑学中也有着重要的应用，例 如在研究地图的染色问题中，密铺理论可以提供重要的思路和方法。
物理学领域
固体物理学
在固体物理学中，密铺理论被广泛应用于晶体结构的研究。 晶体中的原子或分子通过特定的排列方式，以最小能量状态 稳定存在，这些排列方式与密铺理论密切相关。
。
常见的平面密铺图形有正方形、等边三角形 、正六边形等。
平面密铺的数学原理在于，对于任意一个正 多边形，都可以找到另一个正多边形，其内 角和它相加等于360度，从而在平面上实现 无空隙密铺。
平面密铺的特性包括对称性、重复性和统一 性，这些特性使得密铺图形具有很高的美学 价值。
空间密铺
空间密铺的数学原理在于，对于 任意一个几何体，都可以找到其 他几何体，使得它们组合后能够 占据整个空间。
空间密铺的特性包括空间性、层 次性和立体感，这些特性使得空 间密铺在建筑设计、装饰艺术等 领域有着广泛的应用。
01
空间密铺是指将几何体按照一定 的规律和顺序进行排列，使得它 们之间没有空隙和重叠。
02
03
04
常见的空间密铺几何体包括球体 、立方体、圆柱体等。
无限密铺
无限密铺是指将一组特定的几何图形 无限地重复排列，不留空隙和重叠。