平面图形的密铺

镶嵌（八年级上P26）1.平面图形的镶嵌(密铺)概念：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形实行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌(密铺)。

2.理解平面图形的密铺：(1)要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地密铺一个平面，需使得拼接点处的各角之和为360°。

(2)单一多边形密铺：任意三角形(6个)、四边形(4个)、正六边形(3个)能够密铺；(3)单一正n边形密铺的条件：假设360°除以正n边形的一个内角等于整数，则能够单独用它密铺；就是说：正多边形的一个内角度数能整除360°。

(4)多种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：a. n个正多边形中的一个内角的倍数的和是360°；b. n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍。

典型例题为了美化校园环境，在学校广场用两种边长相等的正多边形地砖镶地面，现已有一种正方形，则另一种正多边形能够是()A.正三角形B.正五边形C.正六角形D.正三角形或正八边形答案：D解析:分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．解：正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°=360°，∴正三角形能够；正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，正方形的每个内角是90°，108m+90n=360°显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120度．90m+120n=360°，m=4-4/3n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，∵90°+2×135°=360°，∴正八边形能够．应选D．。

如何引导学生开展探究性数学学习-------------《平面图形的密铺》教学案例湖北省水果湖第一中学刘军·使用教材义务教育课程标准实验教科书数学（北师大版）八年级下册·教学环境多媒体教室（有视频展示台）一、教学目标1. 知识与技能目标：（1）通过对“拼地板”的探索，让学生经历探索多边形密铺（镶嵌）的条件的过程，强化学生对多边形内角和其及有关几何事实的认识，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以密铺；并能运用这几种图形进行简单的密铺设计；（2）培养学生观察、动手操作能力。

2. 过程与方法目标：渗透初步的数学“建模”思想，引导学生在拼接实验的过程中，通过观察、判断、归纳、总结并发现规律，并能用所发现的规律去解决一些实际问题，进一步发展学生的合情推理能力。

3. 情感与态度目标：（1）让学生进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用，将书本知识与生产生活实践有机地结合；（2）开发、培养学生实践意识、创新精神和团结协作的精神；（3）学生在活动中感受数学的朴实之美，数学的和谐之美，进一步发展学生的审美情趣。

二、教材分析教学重点：探索多边形密铺的条件的过程以及多边形密铺的条件。

教学难点：如何运用多边形的有关知识，解决密铺中的问题，并寻找多边形密铺的条件。

三、学校及学生状况分析我校是湖北省教育厅直属的示范中学，办学条件良好，有一栋教学楼，一栋实验楼，一栋综合楼，一栋办公楼，一个多功能报告厅，3间多媒体教室，每个班配有电脑和大屏幕电视。

本班的学生绝大部分来自武汉大学等高校和省直机关，有较好的学习基础。

四、课前准备教学设备或教辅工具：1．将学生按四人一组进行分组。

2．多媒体、教学图片。

3．颜色各异的各种多边形图纸。

学生课前准备：全等的多边形纸板、胶水、笔、纸等。

五、教学实录1．创设情境，提出本次学习活动的主题师：在我们的周围有一些美丽、神奇的图案，请我们一起来欣赏一组图案：（多媒体展示一组时装秀和密铺图案）师：这些图案有什么共同特征呢？（同学们分组讨论、交流）生：这些图案是用一种或几种形状相同的图形组成的。

4·7 平面图形的密铺1. 密铺的定义用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，叫作平面图形的密铺．2. 密铺的特征（1）边长都相等；（2）顶点公用；（3）在一个顶点处各正多边形的内角和为3600．3. 能够密铺的多边形能够密铺的多边形有三种：三角形、四边形、正六边形.学习中不仅要了解能密铺的多边形有哪些，还要了解为什么这些图形能够密铺，除了通过实际操作探索外，还要明白内在的数学上的理由.因为三角形的内角和是180°，把相同三角形的顶点拼结在一起时能够容纳6个角（其中三组角两两相等，恰好是两个三角形的内角），可以无重叠无空隙地拼接在一起，四边形是同样的解释.正六边形是因为它的每个内角是120°，把三个正六边形拼接在一起，三个内角的和恰为360°，也能无重叠、无空隙地拼接在一起.难点：不理解密铺所具备的条件.密铺所具备的条件是：多边形的几个内角拼在一起，恰好是360°，即这几个内角的和为360°.易错点：误认为边数为偶数的正多边形都能够密铺.比如：认为正八边形、正十边形可以密铺；其实正八边形、正十边形不能密铺，理由是正八边形的每个内角为135°，两个内角拼在一起小于360°，三个内角拼在一起大于 360°.不能无重叠、无空隙地拼在一起；正十边形也是同样的道理. 例1. 由7个大小、形状完全相同的矩形不重复，无重叠地拼成如图所示的大矩形，大矩形的周长为68，则此大矩形的面积为多少？解：设小矩形的长为x ，宽为y ，由图可知：53452y x y y x ++==⎧⎨⎩即：63452y x y x +==⎧⎨⎩∴=∴=y x 410，∴小矩形的面积为4×10=40，大矩形的面积为7×40=280一变：如图所示，正方形是由K 个形状大小完全相同的矩形密铺而成，其中上下各横排2个，中间竖排若干个，求K 的值.一变解：∴中间有4个矩形，∴共有8个矩形，即：K=8.点拨：此种题要与代数知识、及密铺的一些知识结合起来考虑.设正方形的边长为，矩形的宽为，则矩形的长为a x a 2由图可知：，a x a x a 224+==。

数学中密铺的定义
密铺（Tiling），在数学领域中，尤其是在几何学和组合学里，指的是用一种或多种形状的图形填满平面上一个给定区域的过程，不留任何空隙，也不重叠。

这些图形通常是多边形，如正方形、三角形或其他多边形，它们能够按照一定的规则排列，使得它们的边缘精确对齐，完全覆盖目标区域。

密铺有一些重要的特征：
1. 无空隙：图形之间紧密排列，不存在未被覆盖的空白区域。

2. 不重叠：用于密铺的图形不会相互重叠，每个图形都占据自己独立的空间。

3. 周期性：在密铺中，图形的排列通常具有某种程度的规律性和周期性，可以沿一个或多个方向平移而重现相同的图案。

4. 边界匹配：图形边缘之间的匹配必须精确无误，这样才能保证整个平面的连续性。

密铺可以分为几种类型：
正规铺砌（Regular tiling）：使用同一种多边形进行铺砌，并且每个顶点周围的图形环境和排列顺序都相同。

半正铺砌（Semiregular tiling）：由两种或两种以上不同的多边形构成，这些多边形按照一定的方式组合在一起，并且在顶点处呈现对称性。

阿基米德铺砌（Archimedean tiling）：由两种或两种以上的多
边形组成，这些多边形在顶点处相遇的次数是相同的，但它们的形状不一定相同。

彭罗斯铺砌（Penrose tiling）：非周期的密铺方式，由两种或两种以上的菱形组成，无法通过平移来复制整个图案。

密铺不仅是数学研究的对象，它在艺术、建筑、计算机科学等领域也有广泛的应用。

在数学中，研究密铺可以帮助我们理解平面和空间的填充问题，以及如何利用几何形状创造美观且实用的设计。

济宁第十五中学导学案济宁第十五中学导学案周次 1 课时 4 备课人Zjw教后反思课题8.2简单的平移作图（2）学习目标1、经历对图形进行观察、分析、欣赏和动手操作、画图等过程，掌握有关画图等过程，掌握有关画图的操作技能，发展初步的审美能力，增强对图形欣赏的意识。

2、能在直角坐标系中作出简单平面图形平移后的图形，会根据图形平移前后一对对应点的坐标及其它点的坐标，写出这些点平移后（或前）对应点的坐标。

重点：会根据图形平移前后一对对应点的坐标及其他点的坐标，写出这些点平移后（或前）对应点的坐标。

难点：能在方格纸上作出简单平面图形平移后的图形。

复习引入导入新知1、作图需要的条件是什么？2、作图的方法基本方法是什么？3、想一想：（小组合做）如图中的图形是将点（-2，2），（-1，6），（1，6），（2，2），（-2，2）用线段顺次连接而得到的。

⑴如果将图中图形上所有各点的横坐标分别加6，纵坐标保持不变，你能得到一个怎样的图形？画一画⑵如果再将（1）中得到的图形上所有各点的横坐标保持不变，纵坐标分别减4，你又能得到一个怎样的图形？画一画⑶如果将图中图形上所有各点的横坐标分别加6，纵坐标分别减4，你会得到一个怎样的图形？图形原来的位置、平移的方向以及平移的距离以局部带整体的平移作图方法，确定图形的关键点动手操作，体⑷比较⑴⑵中的两次变化与⑶中的一次变化，你有什么发现？典例精析巩固新知例如图，A,B,C三点的坐标分别为A （1，-1），B(3，1)C (2，3)，将△ABC平移后得到△A＇B＇C＇，已知点A平移到点A＇(-3,1).⑴写出B＇，C＇两点的坐标。

⑵画出△A＇B＇C＇.当堂检测强化新知1.图中的图案是由一个正方形挖去一个半圆和一个等腰直角三角形得到的。

已知这个图案上的点M（1，-3）经过平移后坐标变为M ＇（5，-6）。

⑴分别写出点A，B，C，D平移后得到的点A＇，B＇，C＇，D＇的坐标；⑵画出该图案平移后的图案。