丘维声高等代数第十章2

抽象代数基础丘维声答案【篇一：index】t>------关于模n剩余类环的子环和理想的一般规律[文章摘要]通过对模n剩余类的一点思考，总结出模n剩余类环的子环和理想的规律：所有理想为主理想，可以由n的所有因子作为生成元生成，且这些主理想的个数为n的欧拉数。

使我们得以迅速求解其子环和理想。

[关键字]模n剩余类环循环群子环主理想[正文]模n剩余类是近世代数里研究比较透彻的一种代数结构。

一，定义：在一个集合a里，固定n（n可以是任何形式），规定a元间的一个关系r，arb，当而且只当n|a-b的时候这里，符号n|a-b表示n能整除a-b。

这显然是一个等价关系。

这个等价关系普通叫做模n的同余关系，并且用a?b(n)来表示（读成a同余b模n）。

这个等价关系决定了a的一个分类。

这样得来的类叫做模n的剩余类。

二，我们规定a的一个代数运算，叫做加法，并用普通表示加法的符号来表示。

我们用[a]来表示a所在的剩余类。

规定：[a]+[b]=[a+b];[0]+[a]=[a];[-a]+[a]=[0];根据群的定义我们知道，对于这个加法来说，a作成一个群。

叫做模n剩余类加群。

这样得到的剩余类加群是循环群，并且[1]是其生成元，[0]是其单位元。

三，我们再规定a的另一个代数运算，叫做乘法，并且规定：[a][b]=[ab]；根据环的定义我们知道，对于加法和乘法来说，a作成一个环。

叫做模n剩余类环。

四，关于理想的定义：环a的一个非空子集a叫做一个理想子环，简称为理想，假如：(i) a,b?a?a-b?a；(ii)a?a,b?a?ba,ab?a；所以如果一个模n剩余类环a的子环a要作为一个理想，需要满足： (i) [a],[b]?a?[a-b]?a；(ii)[a]?a,[b]?a?[ba],[ab]?a；由以上四点可得到对一个模n剩余类环，求其所有子环和理想的一个方法。

思路：第一，模n剩余类环对加法构成加群，根据群的定义，找出所有子群；第三，对所有子群，根据环的定义，对乘法封闭，从所有子群里找出所有环；第四，对所有子环，根据理想的定义，找出所有理想。

同济版高等代数与解析几何第十章习题答案习题10.11、写出二次型的矩阵如下：（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--332321211；（2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----23013120012121212323；（3）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000000120100202121； （4）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------0321301221011210n n n n n n ．2、二次型可以表示为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n n n n n n x x x a a a a a a x x x x a x a x a a x a x a x x x x q 212121************),,,(),,,(),,,(),,,(，),,,(21n x x x q 的矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A 2122212121112121),,,(．当，a a a n 时021==== q 的秩为0；当，a a a n 时不全为0,,,21 q 的秩为1．3、二次型的秩未必是A ；应为(),ij b B =其中，2jiij ij a a b +=．4、（1）若A 为反对称矩阵，即A A -='，则AX X AX X X A X AX X '-=''-='-'=')()(，从而 0='A X X ；反之，若对任意X 都有0='A X X ，令)(ij a A =，取())(0,,1,,0i i X ='='ε，则0=='ii i i a A εε．取j i X εε'+'=' ，则0=+++='jj ji ij ii a a a a AX X ，得0=+ji ij a a ，即ji ij a a -=，故A 为反对称矩阵．（2）因对任意n 维向量X ，都有0='A X X ，由（1）知，A A -='． 又由A A ='，因而A A -=，得A=0．（3）因对任意n 维向量X ，都有BXX AX X '='，即0)(=-'X B A X ，又显然B A -是对称矩阵，故由（2）得O B A =-，即A=B ．5、由A 可逆，且A A ='，得A A A A ='-1，故A 与A /合同．6、因A 与B 合同，C 与D 合同，故存在可逆矩阵21,P P ，使 D CP P B AP P ='='2211,．取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21P O O P P ，则P 可逆，且有⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'D O O B P C O O A P ．7、（1）当a >0，b>0时，取⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a P 1001，则P 为可逆实矩阵．且2I AP P ='，从而A 与I 在R 上合同． （2）当0≠ab 时，0,0≠≠b a ，取⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a P 1001，则P 为可逆复矩阵．且2I AP P ='． 习题10.21、（1）)44()2(),,(234222222121321x x x x x x x x x x x q +++++==232221)2()(x x x x +++．令⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=,,2,33322211x y x x y x x y 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=,,2,2333223211y x y y x y y y x 代入原二次型，得2221321),,(y y x x x q +=．所作非退化线性替换是⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=.,2,2333223211y x y y x y y y x （2）对二次型作非退化线性替换⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=.,,33212211y x y y x y y x 得3213212121321)()())((),,(y y y y y y y y y y x x x q ++-++-=.)(22322231322221y y y y y y y y --+=+-=再令⎪⎩⎪⎨⎧==+=,,,3322311y z y z y y z 即⎪⎩⎪⎨⎧==-=.,,3322311z y z y z z y 代入得232221321),,(z z z x x x q --=． 所作的非退化线性替换是⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=.,,3332123211z x z z z x z z z x（3）422241222114321)(),,,(x x x x x x x x x q +-+= =2424422212211)44()(x x x x x x x ++--+ =242424122211)2()(x x x x x +--+ 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+=,,,2,443342222111x y x y x x y x x y 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=--=,,,2,4433422422111y x y x y y x y y y x 代入，得242241214321),,,(y y y x x x x q +-=． （4）2212113)1(22312432221121)()()(),,,(nn n n n n ni n n i ni i n x x x x x x x x x x q +-=-=+++++++=∑∑ ．令⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=--==∑∑,,,,1113312222111n n n n n n n i i n i i x y x x y x x y x x y 即⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=--==∑∑.,,,11131222111n n n nn n ni i i ni i i y x y y x x y x y y x 将变换代入，得22121)1(222432121),,,(n nn n n nn y y y y x x x q +--++++= ．（5）作非退化线性替换⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=+=-=+=-=+=---nn n n n n y y x y y x y y x y y x yy x y y x 212221212434433212211 q 化为222122423222121),,,(n n n y y y y y y x x x q -++-+-=- ．（6）∑∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛==ni nj n i i i j j i i n x a x a x a x x x q 112121))((),,,( ．设0≠i a ，令⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=====+++=++--,,,,,,11112222111n n i i i i i i n n x y x y x y x y x y x a x a x a y即，⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==------====+++---+-,,,,,,111121111221112n n i i n a a i a a i a a a a a i i i i y x y x y y y y y x y x y x y x i n i i i i i i二次型化为：2121),,,(y x x x q n = ．2、（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7230002000122110100100010001121221110 I A ，取⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=2211010023P ，则 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='2700020001AP P ．（2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=100010011112121212121P ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---='232122AP P ；（3）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=3731131,1001021AP P P ． 3、（1）),,(321x x x q 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=212132221A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100310421300010001100010001212132221 I A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100310421P ．经非退化线性替换X=PY ，二次型化为2322213213),,(y y y x x x q +-=．验算： ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='311100310421212132221134012001AP P ．（2）),,(321x x x q 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=011102120A ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100111000400011000100010111021201111 I A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001121212121P ．经非退化线性替换X=PY ，二次型化为2322213214),,(y y y x x x q ++-=．验算： ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='100040001AP P ．4、设A 为秩等于r 的对称矩阵，则存在可逆矩阵P ，使得rr E E E AP P +++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=' 2211011，．1112211111)()()(------'++'+'=p E P P E P P E P A rr令11)(--'=P E P A ii i ，则i i A A ='，且秩),,2,1(1)(r i E A ii i ===秩，同时有 r A A A A +++= 21．5、用A ，B 表示所给两个对角形矩阵，由于二次型2222121212121),,,(),,,(n i i i n n n x x x x x x A x x x x x x q nλλλ+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 可经过非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===ni ni i y x y x y x 2121化得2222211222212211),,,(n n i i i i n y y y y y y x x x q ni n i λλλλλλ+++=+++==()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n y y y B y y y 2121,,,，故A 与B 合同．6、因A 为复数域上的对称矩阵，故存在复数域上的可逆矩阵P 1，使⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='n d d d AP P 002111，因为在复数域内，任何数可开平方，故有112121110000)(--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=P d d d d d d P A n n令112100-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=P d d d P n，则有P P A '=．习题10.31、（1）q 矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=320222021A ，A 的特征多项式())1)(5(232222021+--=---=-x x x x x x A xA ．A 的特征值为2，5，-1．对的特征值2=λ 解齐次方程组0120202021321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x 求得基础解系)2,1,2(1--=η，单位化得),,(3231321--=γ，同理求得属于特征值5，-1的单位特征向量分别为),,(3232312-=γ， ),,(3132323=γ．取正交矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=12222121231U ．则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='152AU U ，q 通对正交的线性替换X=UY ，化为23222132152),,(y y y x x x q -+=． （2）q 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=204060402A ，它的特征多项式为：)2()6(240604022+-=-----=-x x x x x A xI ，A 的特征值为6（二重），-2． 对于特征值6，解齐次方程组：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--321404000404x x x ． 求得一个基础解系为)1,0,1(1-=η，)0,1,0(2=η它们已是正交向量组，将它们单位化，得),0,(21211=γ )0,1,0(2=γ对于特征值-2，同理可求得相应的特征向量)1,0,1(3-=η，单位化得),0,(21213-=γ 取⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2121212100100U ，则U 为正交矩阵，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='200060006AU U ．对二次型作正交线性替换X=UY ，就化成232221266y y y -+． （3）q 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=242422221A ．A 的特殊征多项式)7()2(2+-=-x x A xI ，A 的特征值为2，2，-7．对于特征值2，求得两个相应的线性无关的特征向量)0,1,2(1-=α，)1,0,2(2=α将它们正交化得)0,1,2(11-==αβ，)5,4,2(12=β单位化得)0,,(51521-=γ，),,(5355345322=γ对于特征值-7，求得相应的特征向量为)2,2,1(3-=α单位化得),,(3232313-=γ取⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=32535325345131532520U ，则U 是正交矩阵，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='700020002AU U ， q 可经过正交线性替换X=UY ，化为 232221321722),,(y y y x x x q -+=． （4））q 的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0110,000100100000010010B B B A ．)1)(1(1112+-=-=--=-x x x xx B xI ，B 的特征值为1，-1．对特征值为1，求得B 的属于1特征向量为)1,1(1=α，单位化得),(21211=γ，对于-1，求得相应的特征向量为)1,1(2-=β，单位化得),(21212-=γ．取⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21212121Q ，则Q 为正交矩阵．且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='1001BQ Q ． 令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Q Q U 00，则U为正交矩阵．且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--='100001000010001AU U ．作正交线性替换X=UY ，二次型就化为24232221y y y y -+-． 2、因为A 是实对称矩阵，故它的特征值0λ是实数，从而存在不全为0的实数n x x x ,,,21 使得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x x x x A 21021λ．于是，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n x x A x x x x x x q 212121),,,(),,,()(),,,(22221021021n n n x x x x x x x x x +++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= λλ．3、因为AX X x x x q n '=),,,(21 是实二次型，故存在正交的线性替换X=UY （U 为正交矩阵），使 AX X x x x q n '=),,,(21 =2222211nn y y y λλλ+++ （1） 其中n λλλ,,,21 为A 的全部特征值．由于n λλλ≤≤≤ 21，又由于22221ny y y +++ =Y Y y y y y y y n n '=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 2121),,,(，故对n R 中的任意向量X ，由（1）得='≤'AX X Y Y 1λ2222211nn y y y λλλ+++ Y Y n '≤λ （2） 因为U 为正交矩阵，I U U ='故Y Y IY Y UY U Y UY UY X X '='=''='=')()(从而由（2）得XX AX X X X n '≤'≤'λλ1．4、因为A 为实对称矩阵，所以存在正交矩阵U 使⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='n AU U λλλ0021，这里R n ∈λλλ,,,21 是A 的全部特征值．由于i λ>0，i=1，2，…，n ，故U U U U A n n '⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=221210000λλλλλλU U U U n n '⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλλλλ00002121令U U S n '⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ0021，则S 为实对称矩阵，并且有2S A =． 习题10.41、（1）2221321),,(y y x x x q +=已经是C 上和R 上的典范形； （2）在C 上，对232221321),,(z z z x x x q --=，再作非退化线性替换 ⎪⎩⎪⎨⎧===332211iwz iw z w z ，可化为典范形232221321),,(w w w x x x q ++=； 而在R 上，232221321),,(z z z x x x q --=已经是典范形．（3）在C 上，对242241214321),,,(y y y x x x x q +-=，再作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====344322112z y z y iz y z y ，可化为典范形2322214321),,,(z z z x x x x q ++=；在R 上，对 24221214321),,,(y y y x x x x q +-=，再作非退化实线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====244332112z y z y z y z y ，可化为典范形2322214321),,,(z z z x x x x q -+=． （4）q 在C 上和R 上的典范形都是：2212221n n z z z z ++++-（5）q 在C 上的典范形为：222122221nn n z z z z z +++++++ ；在R 上的典范形为：222122221n n n z z z z z ---++++ ．（6）2121),,,(y x x x q n = 已经是典范形．2、q 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000222222c b ca ba A ．因为0≠ab 故0,0≠≠b a ，从而知A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--abc a a 000000合同． （1）ab>0时，若c=0，则q 的秩r=2，符号差011=-=s ；若c>0，则q 的秩r=3，符号差121-=-=s ； 若c<0，则q 的秩r=3，符号差112=-=s ；（2）ab<0时，若c=0，则q 的秩r=2，符号差011=-=s ；若c>0，则q 的秩r=3，符号差112=-=s ； 若c<0，则q 的秩r=3，符号差121-=-=s ．3、二次型的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++++++++++=)()2(2)1()2(24432)1(3222n n n n n n n n n n n A λλλλλλλλλ可证，A 与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+---0001000200011210n n 合同．因后一矩阵与λ无关，从而得A 的秩和符号差与λ无关，即二次型的秩和符号差与λ无关．4、类数=2)2)(1()1(21++=+++n n n ．n=3时，各类典范形为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111,111,111,111；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011,011,011;⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000;001,001.5、充分性．设实二次型),,,(21n x x x q 的秩为2，且符号差为0，则它可以经非退化线性替换X=PY 化为典范形),,,(21n x x x q =))((21212221y y y y y y -+=-．由X P y '=，可知，11,y y 可由n x x x ,,,21 线性表示．代入上式得),,,(21n x x x q 是两实系数n 元一次齐次多项式的乘积．若q 的秩为1，则q 可经非退化线性替换X=PY 化为典范形2121),,,(y x x x q n = ，同理可得结论成立．必要性．设二次型可分解为),,,(21n x x x q =))((22112211n n n n x b x b x b x a x a x a ++++++ ，其中),,2,1(,n i Rb a i i =∈．若),,,(21n a a a 与),,,(21n b b b 成比例，即ii ka b =，且设1≠a ，可对q 作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+++=n n n n x y x y x a x a x a y 2222111 化为),,,(21n x x x q =21ky ．此时二次型),,,(21n x x x q 的秩为1．若),,,(21n a a a 与),,,(21n b b b 不成比例，不如设),(21a a 与),(21b b 不成比例，则01221≠-b a b a ，从而⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+++=+++=nn n n nn x y x y x b x b x b y x a x a x a y 332211222111是非退化线性变换．对),,,(21n x x x q 作此变换后再作如下线性替换⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=+=nn z y z y z z y z z y 33212211 就得),,,(21n x x x q =222121z z y y -=． 因此，二次型),,,(21n x x x q 的秩为2，并且符号差是零．6、只需证齐次线性方程0='AX A 与AX=0同解．设X 是AX=0的解，则有0='AX A ，即X 也是0='AX A 的解；反之，设X 是0='AX A 的解，则有0='=''O X AX A X ，即0)()(='AX AX ．因为A 为实矩阵，X 为实向量，故AX=0．即X 是AX=0的解，于是，A /A 与A 的秩相同．7、把q 写成),,,(21n x x x q =AX A X ''，),,,(21n x x x X ='，因为A A A A '='')(，得A A '是q 的矩阵，q 的秩等于AA '的秩，由上题得q 的秩等于A 的秩．习题10.51、（1）q 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=621221111A它的顺序主子式为11=D >0，121112==D >0，46212211113==D >0，故q 是正定的． （2）q 的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2010010310420321A 因为A 的2阶顺序主子式042212==D ，由此可知，q 不是正定的．（3）取不全为0的实数1,0,0321===x x x ，有0)1,0,0(=q ，故q 不是正定的．（4）),,,(21n x x x q 的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111121212121212121 A它的k 阶顺序主子式)1()(1111212121212121212121+==k D k k>0，（k=1，2，…,n ）．故q 是正定的． （5）q 的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000100000000010101212121212121A它的k 阶顺序主子式100010000000001011212121212121=k D =)1()(1+k k>0（k=1，2，…,n ）． 故q 是正定的． 2、（1）),,(321x x x q 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3010112λλA ，),,(321x x x q 是正定的充要条件是：A 的顺序主子式221==D >0，22222λλλ-==D >0，23353010112λλλ-==D >0 由此解得：3535<<-λ．所以，当3535<<-λ时，),,(321x x x q 是正定的．（2）),,(321x x x q 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=451151122λλA ， 由于A 的二阶顺序主子式01111=，故不论λ取任何值，q 都不能是正定的．（3）q 的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1000011011011λλλA ， 由λ>0，1112-=λλλ>0，)2()1(1111112-+=--λλλλλ>0，)2()1(2-+=λλA >0．解得λ>2．故当λ>2时，q 是正定的．3、因A 是正定的，故存在可逆实矩阵P ，使P P A '=，由此可得，)(111'=---P P A ，从而1-A 是正定的．4、因A 是正定矩阵，故存在可逆实矩阵Q ，使IAQ Q ='．又因为BQ Q '是实对称矩阵，故存在正交矩阵U ，使U BQ Q U )(''是对角矩阵．令P=QU ，则BP P '是对角矩阵，且I IU U AQU Q U AP P ='=''='也是对角矩阵．5、因A 是实对称矩阵，故对任意实数t ，tI+A 是实对称矩阵． 对A ，存在正交矩阵U ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='n AU U λλλ0021，其中n λλλ,,,21 是A 的全部特征值．于是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+'n n t t t tI U A tI U λλλλλλ0000)(2121，故tI+A 的全部特征值为n t t t λλλ+++,,,21 ．当t 充分大时，i t λ+>0，i=1，2，…,n ．于是，当t 充分大时，tI+A 是正定的．6、因A 是正定矩阵，故存在正交矩阵U ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='n AU U λλλ 00000021，其中n λλλ,,,21 是A 的全部特征值．由于A 是正定的，所以时，i λ>0，i=1，2，…，n ．于是U U U U U U A n n n '⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλλλλλλλ000000212121． 令U U S n '⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ0021，则S 是正定的，且使2S A =．7、因A 是可逆实矩阵，故A A '是正定矩阵．由第6题知，存在正定矩阵S ，使A A '=2S ．于是，SS A S A A )()(121'='=--．令S A U )(1'=-，可证U 是正交矩阵，并且A=US ．8、当n=1时，结论显然成立．假设对于n-1阶正定矩阵，结论成立．现设A 是n 阶正定矩阵，把A 分块为：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-nn n ij a B B A a A 1，其中，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-------1,12,11,11,222211,122111n n n n n n n a a aa a a a a a A，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n n n n a a a B ,121 ．令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---10111B A I P n n ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-='--B A B a I AP P n nn n 1100．因为1-n A 为正定矩阵，故01≥'-B A B n ，当且仅当B=0时，等号成立．由于1='=P P ，所以，()B A B a A P A P A n nn n 11--'-='=，从而nn n a A A 1-≤，当且仅当B=0时等号成立．由归纳假设，1,122111---≤n n n a a a A ，当且仅当1-n A 为对角形时等号成立．所以，nn n n a a a a A 1,12211--≤ ，当且仅当A 为对角形时等号成立．9、当0=A 时，结论成立．当0≠A 时，A 是可逆实矩阵，从而A A '是正定矩阵，并且A A '的主对角线上的元素为222212222221221221211,,,nn n n n n a a a a a a a a a +++++++++ ．利用第8题的结果，得()∏=+++≤'=nj njj j a a a A A A 1222212．10、充分性：若),,,(21n x x x q 的秩和正惯性指数都等于r ，则q 可经过非退化实线性替换X=PY ，变为),,,(21n x x x q =22221r y y y +++ ，从而对任一组实数n x x x ,,,21 由X=PY 可得X P Y 1-=，即可求得相应的实数n r y y y y ,,,,,21 ，使),,,(21n x x x q =22221r y y y +++ 0≥即q 是半正定的．必要性： 设),,,(21n x x x q 是半正定的，则q 的负惯性指数必为零．否则，q 可经非退化实线性替换X=PY ，化为),,,(21n x x x q =221221r p p y y y y ---+++ ，p<r ．于是，当1=r y ，其余0=i y 时，由X=PY 可得相应的值n x x x ,,,21 代入上式得01),,,(21<-=n x x x q ，这与q 是半正定相矛盾． 11、考虑三元二次型C yz B xz A xy z y x z y x q cos 2cos 2cos 2),,(222---++=．它的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=1cos cos cos 1cos cos cos 1C B C A B A A ，容易得它的所有顺序主子式111==D >0，A A AD 22cos 11cos cos -=---=>0，0=A ．所以),,(z y x q 是半正定二次型．故对任意实数x,y,z 有),,(z y x q ≥0，即不等式成立．12、),(y x q 的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=c b b a A它的一切顺序主子式为2,b ac A a a -==．（1）若ac b -2<0，即A >0，则显然q 是正定⇔a>0．（2）若ac b -2>0，即A <0，二次型不是正定的，且秩A=2，故A 的两个特征值21,λλ必异号．从而得到),(y x q 是不定的．（1）的几何意义是：方程),(y x q =1表示中心在原点的椭圆； （2）的几何意义是：方程),(y x q =1表示中心在原点的双曲线．13、因为A <0，故二次型),,,(21n x x x q =AX X '的秩为n ．且不是正定的，故它的负惯性指数至少是1，从而),,,(21n x x x q 可经过非退化实线性替换X=PY ，化为),,,(21n x x x q ==''='APY P Y AX X 221221n p p y y y y ---+++ ， （1）其中p ≤1<n ，当y n=1，其余y i=0时，由X=PY 确定的向量00≠X ，且100-='AX X <0． 14、因为有实n 维向量1X ，使11AX X q '=>0，说q 不是半负定的；又由于有实n 维向量2X ，使22AX X q '=<0，说明q 不是半正定的，从而q 是不定的．故q 的正、负惯性指数都>1，于是q 可经过非退化实线性替换X=PY ，化为),,,(21n x x x q =221221r p p y y y y ---+++其中p≤1<r ．取y 1=1，y r =1，而其余y i =0，代入X=PY 解得向量0≠X ，且有q=='00AX X 221221rp p y y y y ---+++ =010012222=---++ ． 习题10.61、对R k C x g x f b a ∈∈,)(),(],[，有)),(())(()()())()(())()((x g s x f s dxx g dx x f dx x g x f x g x f s b a b a b a +=⎰+⎰=+⎰=+))(()())(())((x f ks dx x f k dx x kf x kf s ba b a =⎰=⎰=．2、由已知得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+1)()()(1)()(1)()(3212121αααααααf f f f f f f ，解得：0)(1=αf ，1)(2=αf ，0)(3=αf ，从而2332211332211)()()()(x f x f x f x x x x f =++=++αααααα．3、对Vx x x n n ∈+++=αααξ 2211，定义n n x a x a x a f +++= 2211)(ξ．容易验证，f 是V 上的一个线性函数，且n i a f i i ,,2,1,)( ==α．又设g 是V 上的另一个线性函数，且满足n i a g i i ,,2,1,)( ==α，则)()()()(221111ξααξf a x a x a x g x x g g n n n i ni i i i i =+++===∑∑== ．所以，fg =.4、假设)(ξf 、)(ξg 都不是零函数，则必存在V∈00,ηξ，使0)(0≠ξf ，0)(0≠ηg ．若0)(0≠ξg 或0)(0≠ηf ，则)(0ξh =)(0ξf 0)(0≠ξg ，或)(0ηh =)(0ηf 0)(0≠ηg ，推出)(ξh 不是零函数；若0)(0=ξg 且0)(0=ηf ，取000ηξζ+=，则)(0ζh =)(00ηξ+f )(00ηξ+g =)(0ξf 0)(0≠ηg ，推出)(ξh 不是零函数．5、（1）是双线性函数；（2）不是双线性函数；（3）当c=0时，是双线性函数；当0≠c ，不是双线性函数．6、(1)利用矩阵迹的性质：)()();()()(S atr aS tr T tr S tr T S tr =+=+直接可验证．（2）当n=3时，设33)(⨯=ij a A ，则)()(),(kl ji kl ijkl ij AE E tr AE E tr E E f ='= ⎩⎨⎧=≠===∑∑==.,,,0)()(3131l j a l j E a tr E E E a tr ikjl ik kl st ji s t st因为),(Y X f 在基}3,2,1,|{=j i E ij 下的度量矩阵是一个23阶矩阵，用分块形式表示为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333231232221131211A A A A A A A A A A ， 其中333231332221231211100),(),(),(),(),(),(),(),(),(I a a a a E E f E E f E E f E E f E E f E E f E E f E E f E E f A ij ij ijijj i j i j i j i j i j i j i j i j i ij =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=． 于是，),(Y X f 在基}3,2,1,|{=j i E ij 下的度量矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333332331323322321313312311I a I a I a I a I a I a I a I a I a A ． 7、（1）),(ηξf 在基4321,,,αααα下的度量矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3124218481024066842),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(44342414433323134232221241312111ααααααααααααααααααααααααααααααααf f f f f f f f f f f f f f f f A ． ),(ηξf 在基4321,,,ββββ下的度量矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------='=75717152315237925115125171AT T B ． （3）设非零向量),,,(4321x x x x =ξ，使0),(=ξξf ，即022432121=--x x x x x ．取0,02431≠====a x x x x ，则0),,,(4321≠=x x x x ξ，并使得0),(=ξξf ．8、（1）因为对一切V ∈η，有0),0(=ηf ，所以Wo ∈，即W 非空．对任意F k k W ∈∈2121,,,ξξ，由0),(1=ηξf 0),(2=ηξf ，对一切V ∈η，得,0),(),(),(22112211=+=+ηξηξηξξf k f k k k f 对一切V ∈η， 即W k k ∈+2211ξξ，故W 是Ｖ的一个子空间．（2）若),(ηξf 是非退化的，则对任意W∈ξ，有0),(=ηξf ，对一切V ∈η，故得o =ξ．于是，W={0}．反之，设W={0}．令0),(=ηξf ，对一切V ∈η，则W∈ξ，但W={0}，故o =ξ．从而),(ηξf 是非退化的．9、（1）对∑=∈=ni i i Vx 1αξ，则)()(2211n n i i x x x f f αααξ+++= )()()(2211n i n i i f x f x f x ααα+++= ．因为，⎩⎨⎧≠==.,0;,1)(j i j i f j i α 代入上式，得i i x f =)(ξ．从而，∑==ni i i f 1)(αξξ．（2）∑=∈=ni i i Vx 1αξ，由（1），有∑==ni i i f 1)(αξξ，故∑∑====ni i i n i i i f f f f f 11)()())(()(αξαξξ∑∑====ni i i ni i i f f f f 11))()(()()(ξαξα，从而，∑==ni ii f f f 1)(α．（3）先证n f f f ,,,21 线性无关．设),,,(,0212211F a a a f a f a f a n n n ∈=+++ ，分别用n ααα,,,21 代入，得到021====n a a a ．因此，n f f f ,,,21 线性无关．又由（2）知，L （V ，F ）中的每向量f 都可以由n f f f ,,,21 线性表示，因而n f f f ,,,21 是L （V ，F ）的基，于是L （V ，F ）的维数也是n ．习题10.71、对任意)(,F M Y X n ∈，由)()(,T tr T tr A A '=='，得),()()())(()(),(X Y f AX Y tr X A Y tr AY X tr AY X tr Y X f ='=''=''='=，所以，),(Y X f 是双线性函数．2、2),(),(2),(),(),(ξηηξξηηξηξf f f f f -++=，令2),(),(1),(ξηηξηξf f f +=，2),(),(2),(ξηηξηξf f f -=，则有=),(1ηξf ),(1ξηf ，),(),(2),(),(2ηξξηηξξηf f f f -==- ，且=),(ηξf ),(1ηξf +),(2ηξf ．唯一性：设),(ηξf 还可分解为=),(ηξf ),(1ηξg +),(2ηξg ，其中),(1ηξg =),(1ξηg ，),(2ηξg =),(2ξηg -．于是，),(),(11ηξηξg f -=),(),(22ηξηξf g - ， （1）),(),(11ηξηξg f -=),(),(11ξηξηg f -=),(),(22ξηξηf g -=),(2ηξg -+),(2ηξf （2）由（1）、（2）得2（),(1ηξf ),(1ηξg -）=0， 从而),(1ηξf =),(1ηξg ，并且),(2ηξg =),(2ηξf ．3、若),(ηξf 是反对称的，则),(ηξf =),(ξηf -，取ηξ=，有 ),(ξξf =),(ξξf -，故),(ξξf =0．反之，若对任意V ∈ξ，有),(ξξf =0，对任意V ∈ηξ,，0=),(ηξηξ++f =),(ξξf +),(ηξf +),(ξηf +),(ηηf=),(ηξf +),(ηξf ．从而),(ηξf =),(ξηf -，即),(ηξf 是反对称的．4、（1）因为2≥n ,所以V 中存在两个线性无关的向量βα,，若0),(=ααf ，则取αξ=，即可．现设0),(≠ααf ，则0),(),(2),(),(2=++=++βββαααβαβαf x f x f x x f 在C 中有解，设一个解为x 0，令βαξ+=0x ，由于βα,线性无关，得0≠ξ，并使得0),(=ξξf ．（2）由（1）知，存在非零的ξ，使0),(=ξξf ．因为f 非退化，所以，必存在γ，使0),(≠γξf ．否则，若对一切0),(,=∈γξγf V ，由f 非退化，得0=ξ，矛盾．取,),(1γγξδf =则有1),(=δξf ．令ξδδδη2),(f -=，则ηξ,线性无关，且0),(),(,1),(===ηηξξηξf f f ．5、取V 的一个基n ααα,,,21 ．对任意Vy y y x x x n n n n ∈+++=+++=αααηαααξ 22112211,，令n n n n y b y b y b f x a x a x a f +++=+++= 2211222111)(,)(ηξ， 其中)(),(21i i i i f b f a αα==．则))(()()(),(2211221121n n n n y b y b y b x a x a x a f f f ++++++== ηξηξ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n y y y b b b a a a x x x 21212121,,,),,,(．由此可得，),(ηξf 在基n ααα,,,21 下的度量矩阵为()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b a a a A 2122212121112121,,,．因为),(ηξf 是对称的，故A 是对称矩阵，因而得i j j i b a b a =，即j j i i b a b a ::=，),,2,1,(n j i =．于是，有),,,(),,,(2121n n b b b a a a λ=．设02≠f ，则0≠λ，且)()(21ξλξf f =，取)()(2ξξf g =，则有)()()()()()(),(2221ηξληξληξηξg g f f f f f ===．6、因为),(ηξf 是反对称的，故存在V 的一个基321,,ααα，使),(ηξf 在这个基下的度量矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=000001010A ，这样，对任意332211αααξx x x ++=，V y y y ∈++=332211αααη有),(ηξf =1221321321),,(y x y x y y y A x x x -=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，令)(1ξf =),(2αξf ，)(2ξf =),(1ξαf ，则21,f f 是V 上的线性函数，且满足),(ηξf =)(1ξf )(2ηf )(1ηf -)(2ξf ．7、设A 是一个n 阶反对称矩阵，取定数域F 上n 维线性空间的一个基n ααα,,,21 ，对Vy y y x x x n n n n ∈+++=+++=αααηαααξ 22112211,，令),(ηξf =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y y y A x x x 2121),,,(，则),(ηξf 是V 上的一个对称双线性函数，且),(ηξf 在基n ααα,,,21 下的度量矩阵恰是A ．由定理10.7.3知，存在V 的一个基n βββ,,,21 ，使),(ηξf 在这个基下的矩阵是⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0001100110 B ．从而，A 与B 合同． 习题10.81、（1）设A 、B 是酉矩阵，则I B B B B I A A A A ='='='=',．于是，I B B IB B B A A B AB A B AB AB ='='=''=''=')())(()()(，从而，AB 是酉矩阵．又因为酉矩阵A 的逆矩阵A A '=-1，所以,)(1A A ='-于是，I AA A A =='---111)(，同理，I A A ='--)(11，故1-A 也是酉矩阵．（2）设A 为酉矩阵，则,I A A ='两边取行列式，得,1||='A 即,1||||=A 故||A 的模的平方等于1，即|A|的模等于1．（3）设λ是酉矩阵A 的特征值，n n C x x x ∈'=),,,(21 ξ是A 的属于特征值λ的特征向量，则0,≠=ξλξξA ．于是，一方面，由,I A A ='得ξξξξξξξξ'=''='=')()()()()(A A A A A A ．另一方面，)()()()()(ξξλλλξλξξξ'='='A A ．所以，ξξξξλλ'=')(．而0||||||222212211>+++=+++='n n n x x x x x x x x x ξξ， 得，1=λλ，故λ的模等于1．2、参考第九章关于欧氏空间标准正交基的讨论．3、若0||||==ηξ，则0==ηξ，V 的任一个酉变换σ都满足ηξσ=)(．若0||||≠=ηξ，取ηηξξηξ||11||11,==，则11,ηξ是两个单位向量．分别将它们扩充为V 的两个规范正交基n n ηηηξξξ,,,;,,,2121 ．则必存在V 的一个线性变换σ，使得i i ηξσ=)(，n i ,,2,1 =．由于σ把V 的规范正交基变为规范正交基，所以σ是酉变换，且ηηηξσξξσ===i ||)(||)(1．4、把Ａ的列n ααα,,,21 看作是n 维酉空间n C 的一个基，对其正次化、单位化变为规范正交基n γγγ,,,21 ，相当于在A 的右边乘一些上三角矩阵，对角线上元素都大于零：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n t t t t t t 000),,,(),,,(222112112121αααγγγ，n i t ii ,,2,1,0 =>． 取12221121121000),,,,(-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==nn n n n t t t t t t T U γγγ，A=UT ，且U ，T 满足要求．唯一性，设另有 11T U A =，实数的上三角形矩阵为对角线上元素全为正为酉矩阵11，T U ，可得 1111--=TT U U ，由11-TT 是对角线元素全是正实数的上三角形矩阵，得11U U -是对角线上元素全为正实数的上三角形矩阵，从而I U U =-11，于是U U =1，进而T T =1．5、对于酉矩阵A ，利用归纳法和第八章特征向量的讨论可知，存在可逆复矩阵P ，使得11A AP P =-是上三角形矩阵．由第4题知，P=UT ，其中U 是酉矩阵，T 是上三角形矩阵，代入可得，111A AUT U T =--．于是有B T TA AU U ==--111是上三角形矩阵．由于AU U B 1-=是酉矩阵，得1)(-'=B ．由此根据B 是上三角形矩阵，可得1)(-'B ，即B 为下三角形矩阵，故B 为对角形矩阵．6、设A 是埃尔米特矩阵，λ是A 的特征值，n n C x x x ∈'=),,,(21 ξ是A 的属于特征值λ的特征向量，则0,≠=ξλξξA ． 于是，由A A ='，得ξξξξξξξλξξξλA A A ''='===)(),(),(),(),()()()(ξξλξξλλξξξξξξ='='='='=A A ．又因为0),(≠ξξ，从而λλ=，即λ是实数．现设μλ,是A 的不同的特征值，ηξ,是A 的分别属于特征值μλ,的特征向量，则μλ,都是实数，并且 0,0,,≠≠==ηξμηηλξξA A ．于是，ηξηξηξηλξηξλA A A ''='===)(),(),(),( ),(),()()(ηξμμηξμηξηξηξ=='='='=A A ． 由于μλ≠，得0),(=ηξ，即ηξ与彼此正交．7、类似第5题中的证明，存在酉矩阵U ，使B AU U =-1是上三角形矩阵．于是，B AU U U A U U A U AU U B ==='''='='----1111)()(．由B '为下三角形矩阵，B 为上三角形矩阵知，B 为对角形矩阵．8、类似第5题中的证明，存在酉矩阵U ，使B AU U =-1是上三角形矩阵，由此 可证B 也是规范矩阵．现令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n b b b b b b B 00022211211，对比B B B B '='对应位置上的元素，可得 )(,0j i bij <=．所以B 是对角形矩阵．。

丘维声高等代数第一版pdf
高等代数是数学中基础面的综合性、应用性强的重要学科，它拓展出
多种分支学科，是更高层次学科，如统计学、概率论等建立在其基础上。

一、高等代数的概念：
高等代数是以数学分析学中重要的思想主题及其应用研究的基础。

它
是一门以基本概念、定义、定理及其应用研究为主要任务的学科，根
据解决问题的方法和思想，可以分为代数学、解析学及其相关学科。

二、应用范围：
高等代数最重要的用途是分析解一般等第方程组，以及求解系数为复
数的方程。

另外，它也被广泛用于几何学的研究，如解析几何学、投
影几何学、无穷几何学等，常用到多项式、根式、变换几何等等。

三、结构体：
1、基础章节：包括基本的概念、定义、定理等，以及其证明的例子；
2、一元多项式章节：包括一元多项式的解析计算、联立方程组求解等；
3、多元代数章节：包括多元代数学、代数拓扑学、多元多项式及其定
义等；
4、解析几何学及线性代数章节：包括向量、矩阵、线性方程组求解等；
5、其它高级应用章节：包括各种应用问题的解决及教学目标，以及其
本质的概念理解等。

四、理解高等代数的重要性：
高等代数的学习不仅仅要掌握基础知识，更重要的是要探索其本质，
了解它对其它数学及相关领域的影响，以及各个子学科的结构及发展
规律。

只有理解高等代数的重要性，才能正确认识和把握它的应用，
灵活运用在工程及其它领域，使高等代数有用武之地。

《咼等代数与解析几何》课程教学大纲一、课程基本信息1、课程名称：高等代数与解析几何（上、下）2、课程编号：03030001/23、课程类别：学科基础课4、总学时/学分：160/105、适用专业：信息与计算科学6、开课学期：第一、二学期二、课程与人才培养标准实现矩阵说明掌握自然科学基础知识和数学专业所需的技术基础及专业知识，掌握分析问题、解决问题的科学方法；通过所学专业基础知识，获取数学专业知识的能力，更新知识和应用知识的能力。

三、课程的地位性质与目的本课程是数学与应用数学专业学生的重要的基础课程，是现代信息科学中不可缺少的数学工具。

高等代数与解析几何最突出的特点就是代数与几何在知识与理论上的有机结合，在思想和方法上的融会贯通。

主要目的是掌握本门课程的基本理论和基本方法；同时通过本课程的教学，锻炼和提高学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力，培养学生创新能力，提高学生的数学素养。

四、学时分配表五、课程教学内容和基本要求总的目标：通过本课程的学习要求学生对高等代数与解析几何的基本概念、基本定理有比较全面、系统认识，能把几何的观点与代数的方法结合起来，“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”，逐步培养学生运用几何与代数相结合的方法分析问题、解决问题的能力，培养学生抽象的思维能力及空间想象能力。

本课程各章的教学内容和基本要求如下：第一章向量代数【教学内容】1、向量的线性运算2、向量的共线与共面3、用坐标表示向量4、线性相关性与线性方程组5、n维向量空间6、几何空间向量的内积7、几何空间向量的外积8、几何空间向量的混合积【基本要求】理解向量的概念，掌握向量的线性运算、内积、外积、混合积运算；熟悉向量间垂直、共线、共面的条件；会用坐标进行向量的运算。

【教学重点及难点】重点：向量的概念，向量的线性运算、内积、外积、混合积运算；用坐标进行向量的运算。

难点：向量间垂直、共线、共面的条件。

第二章行列式【教学内容】1、映射与变换2、置换的奇偶性3、矩阵4、行列式的定义理解n阶行列式的概念及性质，掌握常见类型的行列式的计算；熟悉克拉默法则。

数学物理方程讲义姜礼尚答案11许绍浦《数学分析教程》南京大学出版社这些书应该够了，其他书不一一列举。

从中选择一本当作课本就可以了。

外国数学分析教材：11《微积分学教程》菲赫金格尔茨著数学分析第一名著，不要被它的大部头吓到。

我大四上半年开始看，发现写的非常清楚，看起来很快的。

强烈推荐大家看一下，哪怕买了收藏。

买书不建议看价格，而要看书好不好。

一本好的教科书能打下坚实的基础，影响今后的学习。

12《数学分析原理》菲赫金格尔茨著上本书的简写，不提倡看，要看就看上本。

13《数学分析》卓立奇观点很新，最近几年很流行，不过似乎没有必要。

14《数学分析简明教程》辛钦课后没有习题，但是推荐了《吉米多维奇数学分析习题集》里的相应习题。

但是随着习题集的更新，题已经对不上号了，不过辛钦的文笔还是不错的。

15《数学分析讲义》阿黑波夫等著莫斯科大学的讲义，不过是一本讲义，看着极为吃力，不过用来过知识点不错。

16《数学分析八讲》辛钦大师就是大师，强烈推荐。

17《数学分析原理》rudin中国的数学是从前苏联学来的，和俄罗斯教材比较像，看俄罗斯的书不会很吃力。

不过这本美国的书还是值得一看的。

写的简单明了，可以自己试着把上面的定理推导一遍。

18《微积分与分析引论》库朗又一本美国的经典数学分析书。

有人认为观点已经不流行了，但是数学分析是一门基础课目的是打下一个好的基础。

19《流形上的微积分》斯皮瓦克分析的进一步。

中国的数学分析一般不讲流形上的微积分，不过流形上的微积分是一种潮流，还是看一看的好。

20《在南开大学的演讲》陈省身从中会有一些领悟，不过可惜好像网络上流传的版本少了一些内容。

21华罗庚《高等数学引论》科学出版社数学分析习题集不做题就如同没有学过一样。

希望将课本后的习题一道道自己做完，不要看答案。

买习题集也要买习题集，不买习题集的答案。

1《吉米多维奇数学分析习题集》最近几年人们人云亦云的说这本书多么不好，批评计算题数目过多，不适合数学系等等。

丘维声高等代数勘误-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在概述部分，我们将介绍丘维声高等代数一书中可能存在的勘误问题。

丘维声高等代数是一本经典的数学教材，被广大学生和教师所喜爱和使用。

然而，由于任何一本书都难免存在一些错误或者疏漏，本文将针对此书可能存在的勘误进行深入探讨和修正。

首先，我们将对已经发现的勘误问题进行逐一分析和解释。

这些问题可能涉及到错别字、符号错误、公式推导错误等。

我们将通过具体的实例来说明这些问题的出现原因，并提供正确的内容以供读者参考和理解。

其次，我们将对读者们在使用丘维声高等代数这本教材时可能遇到的疑惑进行专门解答。

我们将解析一些常见的疑问，如某个定理证明的过程不够详细、某个步骤的推导不完整等。

同时，我们还将针对教材中可能存在的一些模糊或难以理解的概念进行解释和澄清，以帮助读者更好地掌握高等代数的知识。

最后，我们将对这些勘误问题的修正进行总结，并展望将来丘维声高等代数可能出现的改进方向。

我们希望通过本文的撰写和勘误工作，能够为读者们提供一个更准确、更完善的丘维声高等代数学习指南，并为教材的进一步优化提供宝贵的意见和建议。

在接下来的篇章中，我们将更详细地介绍并分析这些勘误问题，以期能给读者们带来更高质量的学习体验。

同时，我们也欢迎读者们积极参与讨论和反馈，一起致力于打造一本更加完美的丘维声高等代数教材。

1.2文章结构【1.2 文章结构】本文将按照以下结构展开对丘维声高等代数一书的勘误进行说明和整理：1. 引言：在引言部分，将对本文的概述、文章结构和目的进行简要介绍。

2. 正文：正文部分将分为两个要点，分别对丘维声高等代数一书中出现的错误进行勘误和修正。

2.1 第一个要点：在此部分，我们将详细列举和说明发现在丘维声高等代数一书中的错误，并提供正确的解释和修正方法。

这些错误可能涉及数学概念的解释不准确、公式的推导错误、证明过程的漏洞等等。

通过纠正这些错误，我们将确保读者对丘维声高等代数一书内容的准确理解和正确应用。

这是丘维声先生《高等代数学习指导书（下册）》里面例题的截图，只截了其中的大部分，而且每节所截例题的情况也可能不同，刚开始漏的比较多，后面的可能比较全了。

我也试着打印了一下，效果还不错；只是没有去排版，每节只写了标题，下面就是例题。

以后可以拿着一两张纸来做题思考，而且不用受答案的干扰。

我希望这个能对大家有用。

不过我要声明一下，这个文件或者习题截图只是用来学习，勿用做他处。

7.1 一元多项式环7.2 整除关系，带余除法7.3 最大公因式7.4 不可约多项式，唯一因式分解定理7.5 重因式7.6多项式的根，复数域上的不可约多项式7.7实数域上不可约多项式，实系数多项式的根7.8有理数域上的不可约多项式7.9多元多项式环7.10对称多项式7.11 结式7.12 域与域上的一元多项式环第八章线性空间8.1 域F上线性空间的基和维数8.2 子空间及其交与和，子空间的直和8.3域F上线性空间的同构8.4商空间第九章线性映射9.1 线性映射及其运算9.2 线性映射的核与像9.3 线性映射和线性变换的矩阵表示9.4线性变换的特征值和特征向量，线性变换的可对角化的条件9.5 线性变换的不变子空间，Hamilton-Cayley定理9.6 线性变换和矩阵的最小多项式9.7 幂零变换的Jordan的标准型9.8 线性变换的Jordan标准型9.9线性变换的有理标准型9.10 线性函数与对偶空间第10章具有度量的线性空间10.1 双线性函数10.2 欧几里得空间10.3正交补，正交投影10.4 正交变换，对称变换。