高等代数学习指导书 丘维声 例题截图

丘维声高等代数课后习题一、基本习题1、求解三元一次方程组（1）2x + y - z = 0x + y + z = 4x - y + z = 2解：设x=x1,y=x2,z=x3则，方程组可以表示为：2x1 + x2 - x3 = 0x1 + x2 + x3 = 4x1 - x2 + x3 = 2解得：x1 = 1x2 = 2x3 = 1即，x=1,y=2,z=12、求x2-2x+1=0的根解：x2-2x+1=0(x-1)2=0即，x1=1,x2=1二、进阶习题1、求证：若A、B、C为不全等的三元组，则A^2+B^2≠C^2证明：若A、B、C为不全等的三元组，则A^2+B^2≠C^2证明：假设A^2+B^2=C^2则有：A^2-C^2=B^2(A-C)(A+C)=B^2若A≠C，则A+C≠0，由此可得：A-C=B^2/(A+C)即，A-C=B^2/(A+C)≠0即，A=C，与假设矛盾，故假设不成立。

综上所述，若A、B、C为不全等的三元组，则A^2+B^2≠C^22、求证：若a、b、c是不全等的实数，则ax2+bx+c=0的根是唯一的证明：若a、b、c是不全等的实数，则ax2+bx+c=0的根是唯一的证明：设ax2+bx+c=0的根为x1、x2则有：ax1^2+bx1+c=0ax2^2+bx2+c=0相减得：a(x1^2-x2^2)+b(x1-x2)=0即：b(x1-x2)=(x2^2-x1^2)a若b≠0，即a、b、c是不全等的实数，则有：x1-x2=b/a即，x1、x2是唯一的实根。

综上所述，若a、b、c是不全等的实数，则ax2+bx+c=0的根是唯一的。

习题7.11．在K[x]中，如果f(x)=cg(x)，其中c∈K且c≠0，试问：f(x)与g(x)的次数有什么关系？2．在K[x]中，如果f(x)g(x)=c，其中c∈K且c≠0，试问：f(x)与g(x)的次数各是多少？3．在K[x]中，如果f(x)与g(x)的次数都是3，试问：f(x)+g(x)的次数一定是3吗？4．设R是一个有单位元1（≠0）的环，对于a∈R，如果存在b∈R，使得ab=ba=1，则称a 为可逆元（或称a为单位，注意不要与单位元1混淆），称b是a的逆，记作a−1.证明：K[x]中一个元素f(x)是可逆元当且仅当f(x)是零次多项式。

﹡5. 设R是有单位元1（≠0）的环，证明R中的可逆元不可能是零因子。

6. 设A=22132101000100001n nn nb b b bb b bb----⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭，其中b∈K,求A−1.7. 设A∈M n(K)，并且设A的特征多项式为|λI−A|=（λ−λ1）l1（λ−λ2）l2…(λ−λs)l s，其中λ1、λ2、…、λs是两两不同的复数：l1+l2+…+l s=n. 证明：对于K中任一非零数k，矩阵kA的特征多项式为|λI−kA|=（λ−kλ1）l1（λ−kλ2）l2…(λ−kλs)l s，由此得出，如果λi 是A的l i重特征值，则kλi是kA的l i重特征值。

﹡8. 设A和A的特征多项式同第7题，证明：A2的特征多项式为|λI−A2|=（λ−λ12）l1（λ−λ22）l2…（λ−λs2）l s.由此得出，如果λi是A的l i重特征值，则λi2是A2的l i重特征值。

习题 7.21.证明整除关系的传递性，即在K[x]中，如果f(x)︱g(x),且g(x)︱h(x)，则f(x)︱h(x).2.证明本节的命题2，即在K[x]中，如果g(x)︱f i(x), i=1,2,…,s, 则对于任意u i(x)∈K[x],i=1,2,…,s, 有g(x)︱(u i(x)f1(x)+u2(x)f2(x)+…+u s(x)f s(x)).3.用g(x)除f(x)，求商式与余式.(1)f(x)=x4-3x2-2x-1, g(x)=x2-2x+5；（2）f(x)=x4+x3-2x+3, g(x)=3x2-x+2.4.设f(x)=x4-3x3+a1x+a0,g(x)=x2-3x+1,求g(x)整除f(x)的充分必要条件.5.用综合除法求一次多项式g(x)除f(x)所得的商式与余式.(1)f(x)=3x4-5x2+2x-1,g(x)=x-4;(2)f(x)=5x3-3x+4, g(x)=x+2.﹡6. 设a，b∈Z，如果有h∈Z使得a=hb，则称b整除a，记作b︱a，此时b叫作a的因数（或因子），a叫作b的倍数；否则，称b不能整除a，记作b a，证明：（1）如果a︱b且b︱a（此时称a与b相伴），则a=±b；反之也成立；（2）如果a︱b且b︱c，则a︱c；（3）如果b︱a i，i=1,2，…，s，则对于任意u i∈Z，i=1,2，…，s，有b︱(u1a1+u2a2+…+u s a s).(4)如果b︱a,且a≠0，则|b|≤|a|.习题 7.31.求f(x)与g(x)的最大公因式，并且把(f(x)，g(x))表示成f(x)与g(x)的一个组合：（1）f(x)=x4+3x3-x2-4x-3，g(x)=3x3+10x2+2x-3；（2）f(x)=x4+6x3-6x2+6x-7，g(x)=x3+x2-7x+5.2. 证明：在K[x]中，如果d(x)是f(x)与g(x)的一个组合，并且d(x)是f(x)与g(x)的一个公因式，则d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式.3. 证明：在K[x]中，（f,g）h是fh与gh的一个最大公因式；特别地，若h(x)的首项系数为1，则（fh,gh）=（f,g）h4. 证明：在K[x]中，如果f(x)，g(x)不全为零，则（f(x)(f(x)，g(x))，g(x)(f(x)，g(x)))=1.5. 证明：在K[x]中，如果f(x)，g(x)不全为零，并且u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x),g(x)),则（u(x),v(x)）=1.6. 证明：在K[x]中，如果(f,g)=1.那么(fg,f+g)=1.7. 设f(x)，g(x)∈K[x]，并且a,b,c,d∈K,使得ad-bc≠0. 证明：(af+bg,cf+dg)=(f,g).8. 证明：在K[x]中，如果(f(x),g(x))=1,则对任意正整数m,有（f(x m),g(x m)）=1.9. 证明：K[x]中两个非零多项式f(x)与g(x)不互素的充分必要条件是，存在两个非零多项式u(x),v(x)，使u(x)f(x)=v(x)g(x),deg u(x)<deg g(x),deg v(x)<deg f(x).10. 设f(x),g(x)∈K[x]，K[x]中的一个多项式m(x)称为f(x)与g(x)的一个最小公倍式，如果1）f(x)︱m(x),g(x)︱m(x);2)f(x)与g(x)的任一公倍式（即K[x]中既能被f(x)整除，又能被g(x)整除的多项式）都是m(x)的倍式.(1)证明K[x]任意两个多项式都有最小公倍式，并且在相伴的意义下是唯一的；(2)用[f(x),g(x)]表示首项系数是1的那个最小公倍式，证明：如果f(x),g(x)的首项系数都是1，则[f(x)，g(x)]=f(x)(f(x)，g(x)).∗11. 设A∈Mn(K),f(x),g(x)∈K[x].证明：如果d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式，则齐次线性方程组d(A)X=0的解空间等于f(A)X=0的解空间与g(A)X=0的解空间的交.∗12. 设A∈Mn(K),f1(x),f2(x)∈K[x],记f(x)=f1(x)f2(x).证明：如果(f1(x)，f2(x))=1，则f(A)X=0的任一个解可以唯一地表示成f1(A)X=0的一个解与f2(A)X=0的一个解的和.习题 7.41.证明多项式x2+1在有理数域上不可约.2.分别在复数域，实数域和有理数域上分解下列多项式为不可约因式的乘积.(1)x4+1；（2）x4+4.3.证明：在K[x]中，g2(x)︱f2(x)当且仅当g(x)︱f(x).4.证明本节性质2的逆命题为真，即设p(x)是K[x]中一个次数大于零的多项式，如果对于任意f(x)，g(x)∈K[x]，从p(x)︱f(x)g(x)可以推出p(x)︱f(x)或者p(x)︱g(x)，那么p(x)是不可约多项式.﹡5. 证明：数域K上一个次数大于零的多项式f(x)是K[x]中某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是对于任意g(x)∈K[x]，必有(f(x)，g(x))=1,或者存在一个正整数m，使得f(x)︱g m(x). ﹡6. 证明：数域K上一个次数大于零的多项式f(x)是K[x]中某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是对于任意g(x),h(x)∈K[x]，从f(x)︱g(x)h(x)可以推出f(x)︱g(x),或者存在一个正整数m，使得f(x)︱h m(x).7.在K[x]中，设(f，g i)=1，i=1,2，证明：（f g1，g2）=(g1，g2).习题 7.51.判别下列有理系数多项式有无重因式：（1）f(x)=x3-3x2+4；(2)f(x)=x3+2x2-11x-12.2.a、b应该满足什么条件，下述实系数多项式才能有重因式：f(x)=x3+2ax+b.3.举例说明：K[x]中，一个不可约多项式p(x)是f(x)的导数f′(x)的k-1重因式（k≥2），但是p(x)不是f(x)的k重因式.4.证明：K[x]中，若不可约多项式p(x)是f(x)的导数f′(x)的k-1重因式（k≥1），并且p(x)是f(x)的因式，则p(x)是f(x)的k重因式.5.证明：K[x]中，不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k≥1)的充分必要条件为：p(x)是f(x)，f′(x)，…，f（k−1）(x)的因式，但不是f(k)(x)的因式.6.在Q[x]中求一个没有重因式的多项式g(x)，使它与f(x)含有完全相同的不可约因式（不计重数）；然后求f(x)的标准分解式：f(x)=x5-3x4+2x3+2x2-3x+1.﹡7. 证明：K[x]中一个n次（n≥1）多项式f(x)能被它的导数整除的充分必要条件是它与一个一次因式的n次幂相伴.习题 7.61.设f(x)=x5+7x4+19x3+26x2+20x+8∈Q[x]，判断-2是不是多项式f(x)的根，如果是的话，它是几重根？（提示：用综合除法看x+2能否整除f(x).）2.设f(x)=2x3-7x2+4x+a∈Q[x]，求a值，使f(x)有重根，并且求出相应的重根及其重数. (提示：c∈Q是f(x)的重根⇔x-c是f(x)的重因式⇔x-c是f(x)与f′(x)的公因式⇔x-c是（f(x), f′(x)）的因式.)3.求下列复系数多项式在复数域中的公共根：f(x)=x3-x2-x-2；g(x)=x4-2x3+2x2-3x-2. (提示：a∈C是f(x)与g(x)公共根⇔x-a是f(x)与g(x)的公因式⇔x-a是(f(x),g(x))的因式.)4.设f(x)=x4-5x3+a x2+bx+9∈Q[x]，如果3是f(x)的二重根，求a,b.5.证明：在K[x]中，如果(x+1)︱f(x2n+1)，则（x2n+1+1）︱f(x2n+1).6.设f1(x)，f2(x)∈Q[x]，证明：如果（x2+x+1）︱f1(x3)+x f2(x3),则1是f i(x)的根，i=1,2.7.设C[x]中的多项式f(x)≠0，并且f(x)︱f(x m),其中m是一个大于1的整数，证明f(x)在C中的根只能是零或单位根.8.求复系数多项式x n-1的标准分解式.﹡9. 设K是一个数域，设R是（或者可看成是）K的一个交换扩环，设a∈R，且J a≠{0}，其中J a表示K[x]中那些多项式组成的集合，它们中每一个在R中有根a，即J a={f(x)∈K[x]︱f(a)=0}.证明：（1）J a中存在唯一的首项系数为1的多项式m(x)，使得J a的每个多项式都是m(x)的倍式；（2）如果R是无零因子环，则m(x)在K[x]中不可约.10.证明：数域K上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根.11.设A是数域K上的n级矩阵，证明：A的特征多项式的n个复根的和等于tr（A），n个复根的乘积等于|A|.12.设p(x)是数域K上的一个不可约多项式，证明：如果K[x]中的多项式g(x)与p(x)有一个公共复根，则在K[x]中p(x)︱g(x)习题 7.71.证明：实系数的奇次多项式至少有一个实根.2.求多项式x n-1在实数域上的标准分解式.3.设A是实数域上的n级斜对称矩阵，它的特征多项式|λI−A|记作f(λ).证明：（1）f(λ)的复根都是纯虚数或零；（2）如果A可逆，则f(λ)的不可约因式都是二次的.﹡4. 证明：如果n级实矩阵A与B不相似，则把它们看成复矩阵后仍然不相似.习题 7.81.求下列多项式的全部有理根：（1）2x3+x2-3x+1；（2）2x4-x3-19x2+9x+9.2.下列整系数多项式在有理数域上是否不可约？（1）x4-6x3+2x2+10; (2)7x5+18x4+6x-6; (3)x5+5x3+1; (4)x4-2x3+2x-3;(5)x p+p x2+1,p为奇素数；(6)x3+x2-3x+2; (7)2x3-x2+x+1; (8)x4-5x+1.3. 设n>1，证明：n个互不相同的素数的几何平均数一定是无理数.4. 设f(x)=a n x n+…+a1x+a0是一个次数大于零的整系数多项式，证明：如果a n+a n−1+…+a1+a0是一个奇数，则1和-1都不是f(x)的根.5. 设f(x)是一个次数大于零且首项系数为1的整系数多项式，证明：如果f(0)与f(1)都是奇数，则f(x)没有有理根.6. 设f(x)=x3+a x2+bx+c是整系数多项式，证明：如果（a+b）c是奇数，则f(x)在有理数域上不可约.7. 设a1,a2,…,a n是n个不同的整数，设f(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a n)+1, 证明：如果n是奇数，则f(x)在有理数域上不可约，如果n是偶数，f(x)是否在有理数域上不可约？﹡8.设a 1，a 2，…，a n 是n 个不同的整数，设f(x)=(x-a 1)(x-a 2)…(x-a n )-1，证明f(x)在有理数域上不可约.﹡9.设a 1，a 2，…，a n 是n 个不同的整数，设f(x)=∏(x −a i )2n i=1+1，证明f(x)在Q 上不可约.习题 7.91. 将下列4元多项式按字典排列法排列各单项式的顺序：（1）f(x 1,x 2,x 3,x 4)=x 34x 4-x 13x 2+5x 2x 3x 4+2x 24x 3x 4；(2) f(x 1,x 2,x 3,x 4)=x 13+x 32+3x 1x 22x 4-5x 12x 3x 42-2x 23x 3.2. 把3元齐次多项式f(x 1,x 2,x 3)=x 13+x 23+x 33-3x 1x 2x 3写成两个3元齐次多项式的乘积.3. 设f ，g ∈K[x 1,…,x n ]，且g ≠0.证明：如果对于使g （c 1，…，c n ）≠0的任意一组元素c 1，…，c n ∈K ，都有f （c 1，…，c n ）=0，则f(x 1,…,x n )=0.﹡4. 设f,g ∈K[x 1,…,x n ],如果存在h ∈K[x 1,…,x n ]，使得f=gh ，则称g 整除f ，记作g ︱f. 此时称g 是f 的一个因式. 如果f ︱g ，并且g ︱f ，则称f 与g 是相伴的，记作f ～g ，（1） 证明：f ～g ⇔f 与g 相差一个非零数因子；（2） f ∈K[x 1,…,x n ]称为不可约的，如果f 的因式只有零次多项式以及f 的相伴元，否则称为可约的.证明：在K[x,y]里，多项式x 2-y 是不可约的.习题 7.101. 设f(x 1,x 2,x 3)是数域K 上的一个三元多项式：f(x 1,x 2,x 3)=x 13x 22+x 13x 32+x 12x 23+x 12x 33+x 23x 32+x 22x 33,证明f(x 1,x 2,x 3)是对称多项式.2. 在K[x 1,x 2,x 3]的含有项x 13x 2的对称多项式中，写出项数最少的那个对称多项式.3. 在K[x 1,x 2,x 3]中，用初等对称多项式表出下列对称多项式：（1） x 13x 2+x 1x 23+x 13x 3+x 1x 33+x 23x 3+x 2x 33;（2） x 14+x 24+x 34;（3） (x 1x 2+x 32)(x 2x 3+x 12)(x 3x 1+x 22).4. 在K[x 1,…,x n ]中，用初等对称多项式表出下列对称多项式（n ≥3）：（1）∑x 13； （2）∑x 12x 22x 3.5. 在K[x 1,x 2,x 3]中，利用牛顿公式把幂和s 1,s 2,s 3用初等对称多项式表示.6. 设f(x)是实系数三次多项式，证明：当D(f)=0时，f(x)在C 中有重根，并且f(x)在C 中的根都是实数；当D(f)>0时，f(x)有三个互不相同的实根；当D(f)<0时，f(x)有一个实根，一对共轭虚根7. 设f(x)∈K[x]，并且f(x)的首项系数为1，a ∈K ，g(x)=(x-a)f(x)，证明：D(g)=D(f)f(a)2.8. 求f(x)=x n +a ∈K[x]的判别式.9. 求数域K 上完全三次方程f(x)=x 3+a 1x 2+a 2x+a 3=0的判别式.习题 7.111.证明：域F中没有非平凡的零因子，从而域一定是整环》2.写出模7剩余类域Z7中每个非零元的逆元.﹡3. 令F={{(a b−b a)|a,b∈R}，证明：F对于矩阵的加法与乘法成为一个域，并且域F与复数域同构.4.令F={(a b−b a)|a,b∈Z3}，证明：F是一个有9个元素的域，并且charF=3.5.证明：在特征为p的域F中，下式成立：(a+b)p=a p+b p.6.写出Z2[x]中所有一次多项式和二次不可约多项式.7.设f(x)=x5-x2+1∈Z[x]，判断f(x)在Q上是否不可约.8.设f(x)=x4+3x3+3x2-5∈Z[x]，判断f(x)在Q上是否不可约.习题 8.11.判断下述集合对于所指的运算是否形成实数域R上的线性空间：（1）R[x]中所有2次多项式组成的集合，对于多项式的加法与数量乘法；（2）所有正实数组成的集合R+，加法与数量乘法分别定义为a b=ab，∀a，b∈R+k⊙a=a k，∀a∈R+，k∈R；（3）区间[a，b]上的所有连续函数组成的集合，记作C[a，b]，对于函数的加法与数量乘法.2.判断实数域R上的线性空间R R中的下列函数组是否线性无关？(1)1, cos2x, cos2x; (2)1, cos x, cos2x; cos3x(3)1, sin x, cos x; (4)sin x, cos x, sin2x, cos2x;(5)1, e x, e2x, e3x,…,e nx; (6)x2, x|x|.3. 求第1题的（2）小题中线性空间的一个基和维数.4. 把复数域C看成实数域R上的线性空间，求它的一个基和维数，以及每个复数z=a+bi 在这个基下的坐标.5. 把数域K看成自身上的线性空间，求它的一个基和维数.6. 说明数域K上所有n级对称矩阵组成的集合V1，对于矩阵的加法与数量乘法，形成K上一个线性空间，求V1的一个基和维数.7. 说明数域K上所有n级斜对称矩阵组成的集合V2，对于矩阵的加法与数量乘法，形成K 上一个线性空间，求V2的一个基和维数.8. 说明数域K 上所有n 级上三角矩阵组成的集合W ，对于矩阵的加法与数量乘法，形成K 上一个线性空间，求W 的一个基和维数.9. 在K 3中，设α1=10-1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，α2=211⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，α3=111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，β1=011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，β2=-110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，β3=121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的过渡矩阵，并且求向量α=(2,5,3)′分别在这两个基下的坐标X ，Y.10. 证明：在数域K 上的n 维线性空间V 中，如果每一个向量都可由α1，α2，…，αn 线性表出，则α1，α2，…，αn 是V 的一个基.11. 设X={x 1，x 2，…，x n }，F 是一个域，定义域为X 的所有F 值函数组成的集合记作F X ，它是域F 上的一个线性空间，求F X 的一个基和维数，并且求函数f 在这个基下的坐标.12. 设 V={(x 1x 2+ix 3x 2−ix 3−x 1)|x 1,x 2,x 3∈R}. (1)证明V 对于矩阵的加法和数量乘法是实数域R 上的一个线性空间；(2)求V 的一个基和维数；(3)求V 中元素(x 1x 2+ix 3x 2−ix 3−x 1)在第（2）小题求出的一个基下的坐标.习题 8.21. 判断数域K 上下列n 元方程的解集是否为K n 的子空间：（1） a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n =0;（2） a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n =1;（3） x 12+x 22+x 32+…+x n−12-x n 2=0.2. 设A 是数域K 上的一个n 级矩阵，证明：数域K 上所有与A 可交换的矩阵组成的集合是Mn （K ）的一个子空间，把它记作C （A ）.3. 设A=diag{a 1,a 2,…,a n }，其中a 1,a 2,…,a n 是数域K 中两两不同的数，求C(A)的一个基和维数.4. 设数域K 上的3级矩阵A=(0011004−21)，求C(A)的维数和一个基.5. 在域F 上的线性空间V 中，如果k 1α+k 2β+k 3γ=0，且k 1k 2≠0. 证明：〈α,γ〉=〈β,γ〉.6. 在K 4中（K 是数域），求向量组α1，α2，α3，α4生成的子空间的维数和一个基，设α1=(1，−3，2，−1）‘，α2=（−2，1，5，3）’，α3=（4。

这是丘维声先生《高等代数学习指导书（下册）》里面例题的截图，只截了其中的大部分，而且每节所截例题的情况也可能不同，刚开始漏的比较多，后面的可能比较全了。

我也试着打印了一下，效果还不错；只是没有去排版，每节只写了标题，下面就是例题。

以后可以拿着一两张纸来做题思考，而且不用受答案的干扰。

我希望这个能对大家有用。

不过我要声明一下，这个文件或者习题截图只是用来学习，勿用做他处。

7.1 一元多项式环7.2 整除关系，带余除法7.3 最大公因式7.4 不可约多项式，唯一因式分解定理7.5 重因式7.6多项式的根，复数域上的不可约多项式7.7实数域上不可约多项式，实系数多项式的根7.8有理数域上的不可约多项式7.9多元多项式环7.10对称多项式7.11 结式7.12 域与域上的一元多项式环第八章线性空间8.1 域F上线性空间的基和维数8.2 子空间及其交与和，子空间的直和8.3域F上线性空间的同构8.4商空间第九章线性映射9.1 线性映射及其运算9.2 线性映射的核与像9.3 线性映射和线性变换的矩阵表示9.4线性变换的特征值和特征向量，线性变换的可对角化的条件9.5 线性变换的不变子空间，Hamilton-Cayley定理9.6 线性变换和矩阵的最小多项式9.7 幂零变换的Jordan的标准型9.8 线性变换的Jordan标准型9.9线性变换的有理标准型9.10 线性函数与对偶空间第10章具有度量的线性空间10.1 双线性函数10.2 欧几里得空间10.3正交补，正交投影10.4 正交变换，对称变换。