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高等代数学习指导书 丘维声 例题截图

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丘维声高等代数课后习题

丘维声高等代数课后习题

丘维声高等代数课后习题一、基本习题1、求解三元一次方程组（1）2x + y - z = 0x + y + z = 4x - y + z = 2解：设x=x1,y=x2,z=x3则，方程组可以表示为：2x1 + x2 - x3 = 0x1 + x2 + x3 = 4x1 - x2 + x3 = 2解得：x1 = 1x2 = 2x3 = 1即，x=1,y=2,z=12、求x2-2x+1=0的根解：x2-2x+1=0(x-1)2=0即，x1=1,x2=1二、进阶习题1、求证：若A、B、C为不全等的三元组，则A^2+B^2≠C^2证明：若A、B、C为不全等的三元组，则A^2+B^2≠C^2证明：假设A^2+B^2=C^2则有：A^2-C^2=B^2(A-C)(A+C)=B^2若A≠C，则A+C≠0，由此可得：A-C=B^2/(A+C)即，A-C=B^2/(A+C)≠0即，A=C，与假设矛盾，故假设不成立。

综上所述，若A、B、C为不全等的三元组，则A^2+B^2≠C^22、求证：若a、b、c是不全等的实数，则ax2+bx+c=0的根是唯一的证明：若a、b、c是不全等的实数，则ax2+bx+c=0的根是唯一的证明：设ax2+bx+c=0的根为x1、x2则有：ax1^2+bx1+c=0ax2^2+bx2+c=0相减得：a(x1^2-x2^2)+b(x1-x2)=0即：b(x1-x2)=(x2^2-x1^2)a若b≠0，即a、b、c是不全等的实数，则有：x1-x2=b/a即，x1、x2是唯一的实根。

综上所述，若a、b、c是不全等的实数，则ax2+bx+c=0的根是唯一的。

丘维声高等代数5-5

丘维声高等代数5-5

性质3, 如果A是正交矩阵, 则A -1也是正交矩阵;
性质4, 如果A是正交矩阵, 则|A|= 1.
16
定理 A 为正交矩阵的充要条件是 A 的列 （行）向量都是单位向量且两两正交．
证明
a 骣11 珑 a 珑21 珑 珑 L 珑 珑 珑n 1 a 珑 桫
A A' a 12 a 22 L an 2
2.如果a , b 都是列向量, 内积可用矩阵记号表示为 : ( a ,b ) = a b .
'
3
性质 设a ，b ，g Î R , l 为实数，则
n
(1) ( a ,b ) = ( b , a ); ( 2) ( l a ,b ) = l ( a ,b ) ; ( 3) ( a + b , g ) = ( a ,g ) + ( b , g );
则
5 2i A 0 1 i
25
另外对任意n元复向量 X x1, x2 ,, xn ' ， 都有 X 'X ³ 0
当且仅当
X 0
时,等号成立。
26
定理
实对称矩阵的特征值为实数.
从而实对称矩阵的特征向量是实向量.
定理 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量 是正交的。
实对称矩阵的对角化
例, 判断下面矩阵是否可以对角化 ? 骣 1 0 骣 - 1 5 1 1 鼢 珑 鼢 珑 珑 1 1鼢 (2), - 1 2 3 鼢 (1), 珑 0 , 鼢 珑 珑 0 1鼢 鼢 珑 0 5 3 4 鼢 珑 桫 桫
1
欧氏空间
定义 : 在R n 中, 任给两个向量 x y 骣1 骣1 珑 鼢 x 鼢 y2 珑2 鼢 珑 鼢 a = 珑 鼢 b = M, 珑 鼢 M, 珑 鼢 珑 鼢 珑n 鼢 x y 珑 鼢 桫 桫n

丘维声高等代数第六章1

丘维声高等代数第六章1

⎧ x1 = c11 y1 + c12 y2 + " + c1n yn
⎪⎪ ⎨ ⎪
x2
=
c21 y1 + "
c22 y2 "
+" "
+
c2n
yn
⎪⎩ xn = cn1 y1 + cn2 y2 + " + cnn yn
为 x1, x2 ,", xn到 y1, y2 ,", yn的线性替换。
令
X
=
⎜⎛ ⎜ ⎜
f
( x1 ,
x2 ,
x3 ,
x4 )
=
2 x12
+
1 2
x1 x2
+
0 x1 x3
+
0 x1 x4
+
1 2
x2 x1
+
0 x22
+
0x2 x3
+
2 x2 x4
+ 0 x3 x1 + 0 x3 x2 + 1x32 + 0 x3 x4
+ 0 x4 x1 + 2 x4 x2 + 0 x4 x3 + 5 x42
令
⎛ x1 ⎞
X
=
⎜ ⎜
x2
⎟ ⎟
,
⎜ ⎜ ⎝
x3 x4
⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜
2
⎜
1 2
0
0
⎞ ⎟
⎟
A
=
⎜ ⎜
1 2
0
0
2
⎟ ⎟
⎜ ⎜⎜⎝
0 0

丘维声高等代数第十章1

丘维声高等代数第十章1
f ( , ) f ( , ), , V
则称 f 是斜对称的(或反对称的)。
性质 设 f 是有限维线性空间 V 上的一个双线 性函数，则 f 是对称的(或斜对称的)当且仅当 f 的 度量矩阵是对称的(或斜对称的)。
定理 设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间， f是V 上的一个对称双线性函数。则存在 V 的一个基，使 得 f 在这个基下的度量矩阵是对角矩阵。
定义 设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间， f是V 上的一个双线性函数。取定 V 的一个基 1 , 2 , , n ，令
f (1 , 1 ) f ( , ) 2 1 A f ( , ) n 1 f (1 , 2 ) f ( 2 , 2 ) f ( n , 2 ) f (1 , n ) f ( 2 , n ) f ( n , n )
AT X 0 只有零解，从而 X 0 ，所以 。由此
得 rad LV { }。
9
同理可证， rad RV { } 。

▌
定义 设 f 是线性空间 V 上的一个双线性函数， 若
f ( , ) f ( , ), , V
则称 f 是对称的；若
是 K 3 上的一个双线性函数。令 X 0 (0,1, 0)T ，则
X 0 rad LV 。
定义 设 f 是线性空间 V 上的一个双线性函数， 若 rad LV rad RV { } ，则称 f 是非退化的。
7
性质 设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间， f是V 上的一个双线性函数。则 f 是非退化的充分必要条 件是 rank m f n 。 证明 取定 V 的一个基1 , 2 , , n ，设 f 在这 个基下的度量矩阵为 A，则 rank m f rank( A) 。 必要性 设 f 非退化，则 rad LV rad RV { } 。 反证法： 设 rank ( A) rank m f n ， 则齐次线性 方程组 AT X 0 有非零解，任取一个非零解 X 0 。令

丘维声高等代数第七章1

丘维声高等代数第七章1

g=1 2 −1
f =2 3 0 5 h=2 −1 2 4 −2 −1 2 5 −1 − 2 1
r=4 4
11
例 已知
f ( x) = 2x4 − 6x3 + 3x2 − 2x + 5, g( x) = x − 2
求 g( x)除 f ( x)的商式和余式。 解（带余除法）
x − 2 2x4 − 6x3 + 3x2 − 2x + 5 2x3 − 2x2 − x − 4 2x4 − 4x3 − 2x3 + 3x2 − 2x + 5 − 2x3 + 4x2 − x2 − 2x + 5 − x2 + 2x − 4x + 5 − 4x + 8
证明 充分性 设 f ( x) = cg( x), c ∈ K ∗，则 c 也是 K[x]中的多项式，故 g( x) | f ( x)。又 g( x) = 1 f ( x)，
c
所以 f ( x) | g( x)，于是 f ( x) ~ g( x)。
必要性 设 f ( x) ~ g( x)，则 f ( x) | g( x) 且 g( x) | f ( x)，于是存在 h1( x), h2( x) ∈ K[x]，使
例 若 A ∈ K n×n满足：存在正整数 l 使 Al = 0， 则对任意k ∈ K ， I + kA可逆。
4
证明 因为在 K[x]中，
1 − xl = (1 − x)(1 + x + x2 +"+ xl−1 )
把 -kA 代入 x，得
( I + kA)[I + (−kA) + (−kA)2 − " + (−kA)l−1] = I − (−kA)l = I − (−k)l Al = I

高等代数学习指导书-丘维声-例题截图

高等代数学习指导书-丘维声-例题截图

这是丘维声先生《高等代数学习指导书（下册）》里面例题的截图，只截了其中的大部分，而且每节所截例题的情况也可能不同，刚开始漏的比较多，后面的可能比较全了。

我也试着打印了一下，效果还不错；只是没有去排版，每节只写了标题，下面就是例题。

以后可以拿着一两张纸来做题思考，而且不用受答案的干扰。

我希望这个能对大家有用。

不过我要声明一下，这个文件或者习题截图只是用来学习，勿用做他处。

7.1 一元多项式环7.2 整除关系，带余除法7.3 最大公因式7.4 不可约多项式，唯一因式分解定理7.5 重因式7.6多项式的根，复数域上的不可约多项式7.7实数域上不可约多项式，实系数多项式的根7.8有理数域上的不可约多项式7.9多元多项式环7.10对称多项式7.11 结式7.12 域与域上的一元多项式环第八章线性空间8.1 域F上线性空间的基和维数8.2 子空间及其交与和，子空间的直和8.3域F上线性空间的同构8.4商空间第九章线性映射9.1 线性映射及其运算9.2 线性映射的核与像9.3 线性映射和线性变换的矩阵表示9.4线性变换的特征值和特征向量，线性变换的可对角化的条件9.5 线性变换的不变子空间，Hamilton-Cayley定理9.6 线性变换和矩阵的最小多项式9.7 幂零变换的Jordan的标准型9.8 线性变换的Jordan标准型9.9线性变换的有理标准型9.10 线性函数与对偶空间第10章具有度量的线性空间10.1 双线性函数10.2 欧几里得空间10.3正交补，正交投影10.4 正交变换，对称变换。

丘维声高等代数第九章1

l1 1 l2 2 lm m
即
l1 1 lm m km 1 m 1 kn n
因1 , , m , m 1 , , n 线性无关，故
l1 lm km 1 kn 0
满射。
12
注
dim Ker + dim Im = dimV

Ker + Im = V
例 取 K [ x ]n 上的求导变换，则 Ker + Im =K+ K [ x ]n1 K [ x ]n
定义 设 V 与V 都是数域 K 上的线性空间， V 是有限维的，是 V 到V 的线性映射，则称 dim Ker 为线性映射的零度，记为 N()；称 dim Im 为线性映射的秩，记为 rank()。 例 设 V 是数域 K 上的线性空间，是 V 上的 线性变换，若 =，则 Ker Im = V
与是 V 到V 的两个线性映射，是V 到V 的一
个线性映射，则 （1）是 V 到V 的一个线性映射 （2）令 (+ ) = + ， V (k) =k( )， V 则+, k都是 V 到V 的线性映射，称 +是线性 映射与的和，k是数 k 与线性映射 的数量乘 积。
9
= =
因是单射，故 =，由此得 Ker ={ }。 “”任取 , V ，若 =，则
( ) - =
所以 Ker。 又已知 Ker ={ }， 故 即 ，由此得是单射。▌
定理 设 V 与V 都是数域 K 上的线性空间， V 是有限维的，是 V 到V 的线性映射，则有 Ker, Im都是有限维的，并且 dim Ker + dim Im = dimV 证明 ① 因为 V 是有限维的，而 Ker是 V 的 子空间，所以 Ker也是有限维的。 ② 取 Ker的一个基1 , 2 , , m ， 并扩充成 V

丘维声高等代数第五章1


=
⎛ ⎜ ⎝
I3 0
0⎞
0
⎟ ⎠
▌
⎜ ⎝
0
0
0
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
⎟ ⎠
定理 同型矩阵 A 与 B 相抵的充分必要条件是 rank(A) = rank(B)
8
注 （1）作为 K m×n上的等价关系，相抵把 K m×n分成 了若干个相抵等价类； （2）同一相抵类中的矩阵有相同的秩； （3）相抵标准形恰是各相抵类中形式最简单的 矩阵； （4）矩阵的秩是相抵关系下的完全不变量。
第五章 矩阵的相抵与相似
§5.1 等价关系与集合的划分
定义 设 S, M 是两个集合，称下述集合
{ 〈a, b〉 | a ∈ S, b ∈ M }
是 S 与 M 的 Descartes 积(或有序积)，记为 S×M。 Descartes 积中的元素〈a, b〉称为序偶(或有序
对)。对任意两个序偶 〈a, b〉, 〈c, d〉 ，有 〈a,b〉 = 〈c,d〉 ⇔ a = c, b = d
S (n) = {0, 1, 2, , n − 1 }
4
§5.2 矩阵的相抵
定义 设 A 和 B 是两个同型矩阵。若 A 可通过 有限次初等变换化为 B，则称 A 相抵于 B，记为
相抵
A~ B 或 A≅B
定理 设 A 与 B 是两个 m×n 矩阵，则 A 相抵于 B 的充分必要条件是：存在 m 级可逆矩阵 P 与 n 级 可逆矩阵 Q，使 PAQ = B。
1 2
1⎞
−
2
⎟ ⎟
⎜0 0 0 0 0 ⎟
⎜ ⎝
0
0
0 −4
4
⎟ ⎠
⎛1 1 2 1 1 ⎞

高等代数


多元多项式环
全体字符 x1 , x2 , …, xn 的系数在 K 中的
多项式, 在多元多项式加法、乘法运算下,
构成交换幺环, 记作 K[ x1 , x2 , …, xn ]. 可逆元? 满足消去律 (整环) ? 带余除法? 唯一分解性质 ?
字典排序法
f ( x1 , x2 , …, xn ) 的单项式
次数公式
推论: f , g K[ x1 , x2 , …, xn ], 有
deg( f + g ) max { deg( f ) , deg( g ) } ;
deg( f g ) = deg( f ) + deg( g ) .
约定: 零多项式的全次数为 – ∞, 且
(–∞)+(–∞) =–∞
可唯一地写成不可约多项式的乘积.
第七章 多项式环
1 2 3 4 5 6 7 8 一元多项式环 整除性与最大公因式 不可约多项式与唯一分解性质 重因式 C , R 与 Q 上的不可约多项式 多元多项式 对称多项式 有限域
n 元多项式
字符 x1 , x2 , x3 的多项式 :
f ( x1 , x2 , x3 ) = 1 + x1 – 3 x23 + x1 x2 x3 + x17 g ( x1 , x2 , x3 ) = x13 + x23 + x33 – 3 x1 x2 x3
乘积的首项等于多项式首项的乘积.
证: 设在字典排序法下 f = a x1p1 x2p2 xnpn + g = b x1q1 x2q2 xnqn + 则 a0 b0
f g = a b x1p1+q1 x2p2+q2 xnpn+qn +

丘维声高等代数第四章1


（2）
⎛ ⎜⎝
2 −3
⎞ ⎟⎠ [3
4]
例 生产彩电所需零部件的情况与生产零部件 所需原材料的情况分别可用矩阵 S 与 M 表示出来，
⎛1 1 1⎞
⎜
S= ⎜⎜
3 2
⎜ ⎝
1
4 4 1
5
⎟ ⎟
6⎟
1
⎟ ⎠
,
⎛2
M= ⎜⎜⎜⎝
14 1
4 0 2
4 0 1
0⎞
4 10
⎟ ⎟⎟⎠
我们如何导出彩电与原材料的直接联系呢？
an ]
7
性质 矩阵的加法与数量乘法具有下述性质
（1）A+B=B+A （2）（A + B）+ C = A +（B + C） （3）A +（-A）= 0 （4）A + 0 = A （5）1A = A （6）（k l）A = k（l A） （7）（k + l）A = k A + l A （8）k（A + B）= k A + k B
3
求费用最小的方案，即找C 中不同行不同列的 3 个元素，使它们的和最小。
C 中不同行不同列元素的 3 元组共有 6 个
⎜⎛ 53
⎟⎞
⎜ 87 ⎟
⎜⎝
36 ⎟⎠
176
⎜⎛ 53
⎟⎞
⎜
41⎟
⎜⎝ 92 ⎟⎠
186
⎜⎛ 96 ⎟⎞
⎜ 47
⎟
⎜⎝
36 ⎟⎠
179
⎜⎛
37 ⎟⎞
⎜ 47
⎟
⎜⎝ 92 ⎟⎠
176
例
设A
=
⎛1
⎜ ⎝
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这是丘维声先生《高等代数学习指导书（下册）》里面例题的截图，只截了其中的大部分，而且每节所截例题的情况也可能不同，刚开始漏的比较多，后面的可能比较全了。

我也试着打印了一下，效果还不错；只是没有去排版，每节只写了标题，下面就是例题。

以后可以拿着一两张纸来做题思考，而且不用受答案的干扰。

我希望这个能对大家有用。

不过我要声明一下，这个文件或者习题截图只是用来学习，勿用做他处。

7.1 一元多项式环
7.2 整除关系，带余除法
7.3 最大公因式
7.4 不可约多项式，唯一因式分解定理
7.5 重因式
7.6多项式的根，复数域上的不可约多项式
7.7实数域上不可约多项式，实系数多项式的根
7.8有理数域上的不可约多项式
7.9多元多项式环
7.10对称多项式
7.11 结式
7.12 域与域上的一元多项式环
第八章线性空间8.1 域F上线性空间的基和维数
8.2 子空间及其交与和，子空间的直和
8.3域F上线性空间的同构
8.4商空间
第九章线性映射
9.1 线性映射及其运算
9.2 线性映射的核与像
9.3 线性映射和线性变换的矩阵表示
9.4线性变换的特征值和特征向量，线性变换的可对角化的条件
9.5 线性变换的不变子空间，Hamilton-Cayley定理
9.6 线性变换和矩阵的最小多项式
9.7 幂零变换的Jordan的标准型
9.8 线性变换的Jordan标准型
9.9线性变换的有理标准型
9.10 线性函数与对偶空间
第10章具有度量的线性空间10.1 双线性函数
10.2 欧几里得空间
10.3正交补，正交投影
10.4 正交变换，对称变换。