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高等代数课件ppt1.2

高等代数课件ppt1.2

仍为数域 P上的多项式．
f ( x) g( x) 0
2) f ( x ), g ( x ) P [ x ]
① ( f ( x ) g ( x )) m ax( ( f ( x )), g ( x ))) ② 若 f ( x ) 0, g ( x ) 0, 则 f ( x ) g ( x ) 0, 且
个非负整数，形式表达式
a n x a n1 x
n n1
a1 x a 0
其中 a 0 , a 1 , a n
P,
称为数域P上的一元多项式．
常用 f ( x ), g ( x ), h ( x ) 等表示．
§1.2 一元多项式
注： 多项式
①
ai x
i
f ( x ) a n x a n1 x
加法： 若 n m , 在 g ( x ) 中令
bn bn 1 bm 1 0
则
f ( x) g( x)

n
( a i bi ) x i . bi ) x i
减法： f ( x ) g ( x )
§1.2 一元多项式
i0 n
(a
i0
i
乘法：
f ( x ) g ( x ) a n bm x
n m
( a n bm 1 a n 1bm ) x
n m 1

( a 1 b 0 a o b1 ) x a 0 b) x
i
s1 i j s
注:
f ( x)g( x)
( f ( x ) g ( x )) ( f ( x )) ( g ( x ))

高等代数第一讲代数系统PPT课件

高等代数第一讲代数系统PPT课件
带余除法; 带余除法;
称K为F的子域，F称 而为K的扩域。 则有 deg (fg)=deg f+deg g
C的子域被称作数域，
有理数Q域 是最小的数 --是 域任意数域的子
II Polynomial form
§1- 1基本概念与运算
定义1：（i）设F为一个域X是 ，不属F于 的 任一个符号，则形如
例3：n阶可逆方阵的全体通（常按矩阵的 乘法）是乘法群。一称般为线性.－ 群－ generallineargrou简 p 记为 GLn(F).
而 SLn(F＝ ) ｛AMn(F)detA＝1｝ 称为特殊线性群S－ pe－ ciaLl ineargroup
定义中的恒元和逆是元乘都在左边的， 可以证明，乘在右有边相也同的性质。 即 aa－1＝e, ae＝a.
X5 4 X 4 3 X 3 2 X 2 X 1
4X 3
4 45
23 X 2
23 X 3
117 X
23 5 23
586
117 X 2
117 5 117
586 X 586 5 586
r(X)= 2931
于是 q(X)4X323 X211X758,r6(X)29,3 f(X)q(X)(X5)r(X) . r(X)f(5)
若 defgdegg ，则 q令 0。 rf即可
记 fanXnan 1Xn 1 a1Xa0， an0
gbm Xmbm 1Xm 1 b1Xb0，令
q1
an bm
Xnm,
则gq1与f 的首项相同
q1
an bm
Xnm,
则gq1与f 的首项相
f gq1 f1的次数 f 低 比，f1对 同样讨
存在 q1,,qs使 de r0 g de g或 g r00

丘维声高等代数第十章2

丘维声高等代数第十章2

(k) = k
因此，是 V 上的线性变换。▌ 性质 实内积空间 V 上的正交变换是 V 到自身 的同构映射。 证明 只需证明正交变换是单射：设是 V 上 的正交变换，任取 , V ，若 =，则
| |2 ( , ) ( ( ), ( )) | ( ) |2 | |2 | |2 0
所以
2 , U
从而 2 U ，由此得 1 2 U U ，即
V U U
所以 ( , ) 0 设 U U ， 则 U 且 U ， 从而 ，即U U { } 。 综上所述，V U U 。 ▌
T 1
4.326 A 1.739
T
由 X 是 () 的最小二乘解，可得
k 1.739kg / cm
于是，此弹簧的受力方程为
12
y 4.326 1.739 x
▌
推论 设 AX 是不相容线性方程组，这里
A R mn , R m 。若 rank( A ) = n，则此方程组有
AX AX ( AX , AX ) 0 ( AX )T AX 0 ( AX )T A 0 AT ( AX ) 0
AT AX AT
故 X 应为线性方程组
AT AX AT
③
的解。 可以证明 对任意 A R mn , R m ，线性方
1
( 2 , j ) ( 1 , j ) ( , j ) (1 , j ) ( , j ) ( , 1 )( 1 , j ) ( , m )( m , j ) ( , j ) ( , j )( j , j ) ( , j ) ( , j ) 0

高等代数ppt课件

高等代数ppt课件
1）如果f(x)与g(x)都等于0，那么0就是f(x)和g(x)的一个最大公因 式；
2）如果g(x) ︳f(x)，那么g(x)就是f(x)与g(x)的一个最大公因式；
§4.2 最大公因式
一、最大公因式的概念
1、公因式：如果多项式(x) 即是 f (x)的因式，又是g(x)的因式， 则称(x)为 f (x) 和 g(x) 的公因式。
3) f (x)g(x) = g(x) f (x);
4) (f (x)g(x)) h(x)=f (x)(g(x) h(x)); 5) f (x)(g(x)＋h(x))=f (x)g(x)＋f (x) h(x).
关于多项式的和与积的次数,我们有
引理4.1.1 设f (x)，g(x)是F[x]中非零多项式．则 (i) 当f (x)＋g(x)≠0时,
deg( f (x)＋g(x))≤max{deg f (x),deg g(x)}. (ii) deg( f (x)g(x)) = deg f (x)＋deg g(x). 推论4.1.2 设f (x), g(x) , h(x) ∈F[x]. (i) 如果f (x) g(x)=0，那么f (x) =0，或者 g(x)=0; (ii) 如果f (x) g(x) = f (x) h(x)，且f (x)≠0，那么g(x) =h(x).
这里当m＜n时， bm+1=…=bn= 0.
多项式f (x)与g(x)的积f (x)g(x)是指多项式 c0＋c1x＋c2x2＋…＋ckxk＋…＋cn+mxn+m,
其中 ck= aibj i jk
k=1,2,3, …,n+m.
对多项式g(x) = b0＋b1x＋b2x2＋…＋b m1x m1＋bmxm, 所谓g(x) 的负多项式－g(x) 是指多项式

丘维声高等代数第十章1

丘维声高等代数第十章1
f ( , ) f ( , ), , V
则称 f 是斜对称的(或反对称的)。
性质 设 f 是有限维线性空间 V 上的一个双线 性函数，则 f 是对称的(或斜对称的)当且仅当 f 的 度量矩阵是对称的(或斜对称的)。
定理 设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间， f是V 上的一个对称双线性函数。则存在 V 的一个基，使 得 f 在这个基下的度量矩阵是对角矩阵。
定义 设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间， f是V 上的一个双线性函数。取定 V 的一个基 1 , 2 , , n ，令
f (1 , 1 ) f ( , ) 2 1 A f ( , ) n 1 f (1 , 2 ) f ( 2 , 2 ) f ( n , 2 ) f (1 , n ) f ( 2 , n ) f ( n , n )
AT X 0 只有零解，从而 X 0 ，所以 。由此
得 rad LV { }。
9
同理可证， rad RV { } 。

▌
定义 设 f 是线性空间 V 上的一个双线性函数， 若
f ( , ) f ( , ), , V
则称 f 是对称的；若
是 K 3 上的一个双线性函数。令 X 0 (0,1, 0)T ，则
X 0 rad LV 。
定义 设 f 是线性空间 V 上的一个双线性函数， 若 rad LV rad RV { } ，则称 f 是非退化的。
7
性质 设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间， f是V 上的一个双线性函数。则 f 是非退化的充分必要条 件是 rank m f n 。 证明 取定 V 的一个基1 , 2 , , n ，设 f 在这 个基下的度量矩阵为 A，则 rank m f rank( A) 。 必要性 设 f 非退化，则 rad LV rad RV { } 。 反证法： 设 rank ( A) rank m f n ， 则齐次线性 方程组 AT X 0 有非零解，任取一个非零解 X 0 。令

第一章 高等代数多项式PPT课件

第一章 高等代数多项式PPT课件
例 3 设f (x)，g(x)，h(x)∈P [x]，其中h(x) ≠ 0。证明： h(x) | (f (x)-g(x))
当且仅当f (x)与g(x)除以h(x)所得的余式相等。
编辑版pppt
20
多项式
三、整除的性质
§3 整除的概念和性质
性质1 (a) 对任意的 f (x)∈P [x]，有 f (x) | f (x)； (b) 对任意的 f (x)∈P [x]， 有 f (x) | 0； (c) 对任意的 f (x)∈P [x]，a ≠ 0，有 a | f (x)；
( f ( x ) g ( x ) m ) ( f ( x ) a ( g ) ( x x ) , )
② (f( x ) g ( x ) ) (f( x ) ) ( g ( x ))
编辑版pppt
16
多项式
§2 一元多项式的定义和运算
推论1：f (x)•g(x) = 0当且仅当f (x) = 0或 g(x) = 0。
编辑版pppt
7
多项式
§1 数环和数域
根据数集对运算的封闭情况，可以得到两类数集：
数环和数域。
一、数环
定义1：若P是由一些复数组成的非空集合，若数集P对加、 减、乘三种运算都封闭，即对a，b∈P，总有a+b，a-b， a•b∈P，则称数集P是一个数环。
例如：整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C都是数环。
问题：数域P上的多项式 f(x) 与 g(x) 的整除性是否会因为 数域的扩大而改变？
编辑版pppt
23
多项式
§4 最大公因式
§4 最大公因式
一、两个多项式的最大公因式
定义1：对任意的f (x)，g(x)∈P [x]，若存在h(x)∈P [x] ， 使得

高等代数课件PPT之第1章多项式

高等代数课件PPT之第1章多项式

2.多项式的运算 设f (x)，g(x)为数域P上的一元多项式，不妨令
f ( x ) ai x i , g( x ) b j x j
n m i 0 j 0
加法： f (x)g(x) (ai bi ) x i , 当n m 乘法：f (x)g(x) anbm x n m (anbm1 an1bm ) x n m1 a0b0
其中r(x)=0或 (r(x))< ( g(x) ).
余式
称上式中的q(x) 为g(x) 除f (x)的商， r(x)为g(x) 除f (x)的余式.
（带余除法）定理证明
存在性 若f(x)=0 , 取q(x)=r(x) =0即可.以下设f (x)0. (f(x))=n,( g(x) )=m. 对 f (x) 的次数n作数学归纳法. 当n<m时,取q(x)=0, r(x) = f (x)， 有 f (x) = q(x) g(x) + r(x) ，结论成立.
例1
a b 2 (a、b是有理数)的数 所有形如 Q( 2 ) . 构成一个数域
(ii)对四则运算封闭.事实上
解 (i) 0,1 Q( 2 );
, Q( 2 ),设 a b 2 , c d 2 , 有 (a c) (b d ) 2 Q( 2 ) (ac 2bd) (ad bc) 2 Q( 2 ) 设 a b 2 0，则a b 2 0且 c d 2 (c d 2)(a b 2) a b 2 (a b 2)(a b 2) ac 2bd ad bc 2 2 2 Q( 2) 2 2 a 2b a 2b
i 0
n m s0

高等代数(绪论)讲解PPT课件

高等代数(绪论)讲解PPT课件

开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，
也就是说，秦九韶那时候就得到了高次方程的一般
解法。
17
2020年9月28日
在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由 有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式—— Cardan公式。
在数学史上，三次方程的根的公式应归功于从 1496到1526年在意大利的波伦亚（Bologna）大学当教 授的Scipione del Ferro.他发现的精确年代并不知道， 但是我们知道在1541年前不久，意大利数学家塔塔里 亚(Niccolo Tartaglia)或许已知道有del Ferro的解但又 独自地发现了它。
序结构: 集合上的顺序关系,----如: 数的大小, 个子的高矮等 → 序代数, 格论等;
拓扑结构: 集合上连续性等----如: 曲线与直线 的关系 →数学分析,点集拓扑,代数拓扑等
三大结构的相互重叠, 组合构成各个不同 的数学分支,构成现代数学这座高楼大厦.
10
2020年9月28日
数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多 个主要分支学科的庞大的“共和国”。
2020年9月28日
高等代数
1
任课教师
汪仲文，教授，博士，硕士研究生导师，数统学院副院长， 喀什师范学院首届“教学名师” 。
本科，1994年毕业于喀什师范学院数学系
硕士，2006年毕业于新疆大学数学与系统科学学院
博士， 2010年毕业于南开大学数学科学学院
办公地点：3号楼210室 办公电话：2891005 电子信箱：
12
2020年9月28日
二、代数发展简史
“代数”一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、
天文学家阿尔•花拉子米（约780－850，唐朝）一本著

丘维声高等代数第九章1

丘维声高等代数第九章1
l1 1 l2 2 lm m
即
l1 1 lm m km 1 m 1 kn n
因1 , , m , m 1 , , n 线性无关，故
l1 lm km 1 kn 0
满射。
12
注
dim Ker + dim Im = dimV

Ker + Im = V
例 取 K [ x ]n 上的求导变换，则 Ker + Im =K+ K [ x ]n1 K [ x ]n
定义 设 V 与V 都是数域 K 上的线性空间， V 是有限维的，是 V 到V 的线性映射，则称 dim Ker 为线性映射的零度，记为 N()；称 dim Im 为线性映射的秩，记为 rank()。 例 设 V 是数域 K 上的线性空间，是 V 上的 线性变换，若 =，则 Ker Im = V
与是 V 到V 的两个线性映射，是V 到V 的一
个线性映射，则 （1）是 V 到V 的一个线性映射 （2）令 (+ ) = + ， V (k) =k( )， V 则+, k都是 V 到V 的线性映射，称 +是线性 映射与的和，k是数 k 与线性映射 的数量乘 积。
9
= =
因是单射，故 =，由此得 Ker ={ }。 “”任取 , V ，若 =，则
( ) - =
所以 Ker。 又已知 Ker ={ }， 故 即 ，由此得是单射。▌
定理 设 V 与V 都是数域 K 上的线性空间， V 是有限维的，是 V 到V 的线性映射，则有 Ker, Im都是有限维的，并且 dim Ker + dim Im = dimV 证明 ① 因为 V 是有限维的，而 Ker是 V 的 子空间，所以 Ker也是有限维的。 ② 取 Ker的一个基1 , 2 , , m ， 并扩充成 V

丘维声高等代数第五章1

丘维声高等代数第五章1

=
⎛ ⎜ ⎝
I3 0
0⎞
0
⎟ ⎠
▌
⎜ ⎝
0
0
0
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
⎟ ⎠
定理 同型矩阵 A 与 B 相抵的充分必要条件是 rank(A) = rank(B)
8
注 （1）作为 K m×n上的等价关系，相抵把 K m×n分成 了若干个相抵等价类； （2）同一相抵类中的矩阵有相同的秩； （3）相抵标准形恰是各相抵类中形式最简单的 矩阵； （4）矩阵的秩是相抵关系下的完全不变量。
第五章 矩阵的相抵与相似
§5.1 等价关系与集合的划分
定义 设 S, M 是两个集合，称下述集合
{ 〈a, b〉 | a ∈ S, b ∈ M }
是 S 与 M 的 Descartes 积(或有序积)，记为 S×M。 Descartes 积中的元素〈a, b〉称为序偶(或有序
对)。对任意两个序偶 〈a, b〉, 〈c, d〉 ，有 〈a,b〉 = 〈c,d〉 ⇔ a = c, b = d
S (n) = {0, 1, 2, , n − 1 }
4
§5.2 矩阵的相抵
定义 设 A 和 B 是两个同型矩阵。若 A 可通过 有限次初等变换化为 B，则称 A 相抵于 B，记为
相抵
A~ B 或 A≅B
定理 设 A 与 B 是两个 m×n 矩阵，则 A 相抵于 B 的充分必要条件是：存在 m 级可逆矩阵 P 与 n 级 可逆矩阵 Q，使 PAQ = B。
1 2
1⎞
−
2
⎟ ⎟
⎜0 0 0 0 0 ⎟
⎜ ⎝
0
0
0 −4
4
⎟ ⎠
⎛1 1 2 1 1 ⎞

丘维声版 高等代数详解 PPT 第八章1

丘维声版 高等代数详解 PPT 第八章1

第八章 线性空间代数系统 n Km n K ×[]K xV非空集合 n 元向量m ×n 矩阵一元多项式任意元素数域 一般数域K 一般数域K 一般数域K 一般数域K 代数运算向量加法 向量数乘矩阵加法 矩阵数乘多项式加法 多项式数乘？性质 （1）~（8）（1）~（8）（1）~（8）？§1.1 线性空间的结构一、线性空间的定义与性质定义 设V 是一个非空集合，K 为数域。

在V 上定义了一个称为加法的代数运算：对,V αβ∀∈，在V 中都有唯一的一个元素γ与它们对应，称之为α与β的和，记作 γαβ=+；在K 与V 之间定义了一个称为数量乘法的运算：对V α∀∈及k K ∀∈，在V 中都有唯一的一个元素β与它们对应，称之为k 与α的数量乘积，记作k βα=。

如果上述两种运算满足以下八条运算规律：对,,,,V k l K αβγ∀∈∀∈（1）α +β = β +α（2）(α + β)+ γ = α +(β + γ)（3）V 中存在元素，记为θ 或0 ，使α + θ = α，V α∀∈称θ 为V 的零元素（4）对V α∀∈，V 中存在元素β，使 α +β = θ 称β为α的负元素（5）1α = α（6）(kl ) α = k (l α)（7）(k + l )α = k α + l α（8）k (α + β)= k α + k β则称V 构成数域K 上的一个线性空间。

例 数域K 上全体n 元向量的集合n K 对向量的加法及数量乘法，构成K 上的线性空间（称为数组向量空间）。

例 数域K 上全体m n ×矩阵的集合m nK×（也记为()m n M K ×）对矩阵的加法及数量乘法，构成K 上的线性空间（称为矩阵空间）。

例 数域K 上全体一元多项式的集合[]K x 对多项式的加法及数量乘法，构成K 上的线性空间。

对正整数n ，令{}[]()|()[],deg ()n K x f x f x K x f x n =∈<则[]n K x 对多项式的加法及数量乘法也作成K 上的线性空间。

高等代数课件PPT之第4章矩阵

高等代数课件PPT之第4章矩阵

简记
aE.
0 0 a
例如
2 0 0 0 0 2 0 0 2E 0 0 2 0 0 0 0 2
amn bmn
称为矩阵A与B的和. 记作
C AB
aij
bij
.
mn
注：只有同型的两个矩阵才能进行加法运算.
矩阵减法
设A
aij
,
mn
a11
A
aij
mn
a21
a12 a1n
a22
a2n
称为A的负矩阵.
am1
am2
amn
0 0 0
O
0mn
30
32
34
利润矩阵
由已知得
B
15
17.5
20
1220.5
总3.问A利B题2333润80241W:10521的这2L18330销一C售天31560F8利内7B1106.润，O5 总最0322B2和A小5711是号1.22这275500..多55牛里 设9少仔为7A.？裤5A23915872778.05..65521432.5（
14
13.
解法2
3 10
1 4 2 2 1 0 17
ABT
BT AT
7
2
0
0
3
14
13
1 3 1 1 2 3 10
5.几类特殊矩阵(方阵) (1)对角矩阵
对角阵 单位阵、零阵 数量阵 上（下）三角阵 对称矩阵与反对称矩阵
定义 主对角线以外元素均为零的n级方阵称为对角
矩阵.
k 1
bs2
bsn
c记21作Ca=2A1bB1.1 a22b21 a2s bs1

丘维声高等代数第六章2

丘维声高等代数第六章2

A
=
⎜ ⎜⎜⎝
−1 0
2 −1
−31⎟⎟⎟⎠
它的特征值 2,2 + 3 ,2 − 3均大于零，故正定。▌
例 设 A是正定矩阵，则 A−1也是正定矩阵。 证明 ∵ A 是正定矩阵 ∴ 存在可逆矩阵 B，使 A = BT B 。故 A可 逆。 又 A 是实对称矩阵，故
( A−1 )T = ( AT )−1 = A−1 即 A−1也是实对称矩阵。
即 g = Y T BY 是正定二次型。
（2）设 g = Y T BY 是正定二次型。因 g = Y T BY 可通过可逆线性替换 Y = C −1X 化为 f = X T AX ， 故由（1）的结论可得 f = X T AX 是正定二次型。
同理可证， f 与 g 也同为负定、半正定、半负 定或不定。▌
（1）设 f = X T AX 正定。任取 β0 ≠ θ ，要证
β
T 0
Bβ
0
>
0
令
α0 = Cβ0
则由 C 可逆，可得 α0 ≠ θ 。因 f = X T AX 正定，
9
故
α
T 0
Aα
0
> 0 。于是，
β0T
Bβ0
=
β
T 0
(CT
AC )β0
= (Cβ0 )T A(Cβ0 ) = α0T Aα0 > 0
b1 y12 + " + bp y2p − bp+1 y2p+1 − " − br yr2
其中 b1,", br > 0。
再令
y1 =
1 b1
z1 ,", yr
=

丘维声高等代数第九章3

丘维声高等代数第九章3

当 2 t l 时，把上式中的 t 换成 t -1，得 rank B t 1 N ( t ) 2 N ( t 1) ( l t 1) N ( l ) （） 当 t 1时， （）式左端为 rank B0 rankI r ， （ ） 式右端为
10
则 A1 的最小多项式是 m1 ( ) ( a )5 ( b ) 2 ， A2 的最小多项式是 m2 ( ) ( 1) 2 ( 2) 。
定义 设 为数域 K 上线性空间 W 上的一个线 性变换， W 。若存在正整数 t，使
t 1 0 ， t 0
l

l j 1 lj j =0， j
0
定义 满足l = 0 的线性变换称为幂零变换； 使l = 0 成立的最小正整数 l 称为的幂零指数。 满足 Al = 0 的矩阵 A 称为幂零矩阵；使 Al = 0 成立的最小正整数 l 称为 A 的幂零指数。
j = |W j -j 就是W j 上的幂零变换。
N (1) 2 N (2) lN ( l )
恰是 B 中全部 Jordan 块的级数之和，故等于 B 的 级数 r。所以， （）式对1 t l 都成立。 把（）式与前面一式相减，得 rank B t 1 rank B t = N ( t ) N ( t 1) N ( l ) 对1 t l ，把上式中的 t 换成 t +1，得 rank B t rank B t 1 = N ( t 1) N ( t 2) N ( l ) 上面两式再次相减，得 rank B t 1 +rank B t 1 2rank B t = N ( t ) （） 当 t l 时， （）式左端为 rank B l 1 +rank B l 1 2rank B l = rank B l 1 [ l ( l 1)]N ( l )

高等代数第7章线性变换PPT课件

高等代数第7章线性变换PPT课件

特征向量定义
对应于特征值m的非零向量x称为A的对应于特征值 m的特征向量。
设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向 量x，使得Ax=mx成立，则称m是A的一个特 征值。
求解方法
通过求解特征多项式f(λ)=|A-λE|的根得到特 征值，再代入原方程求解对应的特征向量。
特征多项式及其性质分析
特征多项式定义
量子力学
在量子力学中，特征值和特征向量用 于描述微观粒子的状态和能量级别。
图像处理
在图像处理中，特征值和特征向量可 以用于图像压缩和图像识别等任务。
经济学
在经济学中，特征值和特征向量可以 用于分析和预测经济系统的稳定性和 发展趋势。
04
线性变换对角化条
件及步骤
可对角化条件判断方法
判断矩阵是否可对角化
线性变换的性质与 矩阵性质对应
线性变换的性质如保持加法、 数乘等运算可以通过其对应的 矩阵性质来体现。例如，两个 线性变换的和对应两个矩阵的 和；线性变换的复合对应两个 矩阵的乘积等。
02
线性变换矩阵表示
法
标准基下矩阵表示法
定义
设V是n维线性空间，e1,e2,...,en 是V的一个基，T是V上的一个线 性变换，则T在基e1,e2,...,en下的 矩阵A称为T在基e1,e2,...,en下的 标准矩阵表示。
计算矩阵的高次幂
对于可对角化的矩阵A，可以利用对角化公式A=PDP^(-1)将A的高次幂转化为对角矩阵D的高次幂， 从而简化计算过程。
求解线性方程组
对于系数矩阵为可对角化矩阵的线性方程组，可以通过对角化将系数矩阵转化为对角矩阵，进而 简化方程组的求解过程。
计算行列式和逆矩阵
对于可对角化的矩阵A，其行列式值等于对角矩阵D的行列式值，逆矩阵可以通过对角化公式求得， 从而简化相关计算。

高代--行列式代数余子式展开.ppt

高代--行列式代数余子式展开.ppt

a11

a1j

a1n
an1 an j ann
j – 1次
其中
a11 a1j a1n



0 aij 0



an1 an j ann
aij Aij
aij
(1)ij 2
a1j
an j
00 a11 a1n Mij an1 ann
a11 a12 a14 M 23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
(2, 3) 元的代数余子式 A23
A23 (1)23 M23
• 在 n 阶行列式中, 划去第 i 行, 第 j 列, 余下的元素按原次序排成的 n - 1 阶 行列式称为 ( i , j ) 元的余子式, 记为 M i j .
行列式值不变.
作业：
§2.3 1 (2) (3), 2 (2), 3 (2), 4 (2) §2.4 1 (2) (4), 2, 4, 6, 9
补充题: 求 M12 3M22 2M32
1842 3425 A 2462 0706
Matlab 求简化阶梯矩阵
>> B = [ 2,4,1,5; 3,2,6,9; 3,7,1,8 ] B=


| A | ai1 ai2 ain


an1 an2 ann
a11 a12 a1n


a11 a12 a1n


ai1 0 0 0 ai2 ain




an1 an2 ann an1 an2 ann
证明:
a11 a12 a1n
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5
6
5.5重因式
5.6多项式的根，多项 式函数，复数域上的不
可约多项式
第五章一元多项 式环
第五章一元多 项式环
0 1 阅读材料1拉格朗日（Lagrange） 插值公式
0 2 5.7实数域上的不可约多项式
0 3 5.8有理数域上的不可约多项式
04
5.9模m剩余类环，域，域的特 征
0 5 阅读材料2一元分式域
补充题七
10 第八章具有度量的线性空间
第八章具有度量的线性空间
8.1实线性空间的内积，
1
实内积空间的度量概念
8.2标准正交基，正交矩
阵
2
8.3正交补，实内积空间
3
的保距同构
8.4正交变换 4
8.5对称变换，实对称矩
5
阵的对角化
阅读材料6二次曲线的类
型，二次曲线的不变量
6
第八章具有 度量的线性
空间
01 阅 读 材 料 7二次曲面 02 8 .6 酉 空间
的类型
03
04 8 . 7 酉 变 换 ， H e r m i t e 变
8.8*线性变换的伴随
换，Hermite型
变换，正规变换
05 8 .9 * 正 交空间与 辛空 06 补 充 题 八
间
11 第九章n元多项式环
第九章n元多项式 环
9.1n元多项式环的概念和通用性 质 9.2对称多项式，数域K上一元多 项式的判别式 9.3结式
09 第七章双线性函数，二次型
第七章双线性函数，二次型
7.1双线性函数的表达式
1
和性质
7.2对称和斜对称双线性
函数
2
7.3双线性函数空间，
3
Witt消去定理
阅读材料5双线性函数的
秩
4
7.4二次型和它的标准形
5
7.5实（复）二次型的规
范形
6
第七章双线性函数， 二次型
7.6实（复）正定二次型，正定 矩阵
高等代数(丘维声著)
演讲人
2 0 2 X - 11 - 11
01 前言
前言
02 引言
引言
0.1高等代数的研究对象 0.2按照数学的思维方式 学习数学 0.3映射的乘法，可逆映 射 小窗口关于无限集的基数
03 第一章线性方程组的解法
第一章线性方程组 的解法
1.1高斯消元法 1.2线性方程组解的情况及其判 定 1.3数域 补充题一
6.7线性变换与矩阵可对
1
角化的充分必要条件
6.8线性变换的不变子空间，
Hamilton-Cayley定理
2
6.9线性变换与矩阵的最
3
小多项式
6.10幂零变换的Jordan
标准形
4
6.11线性变换的Jordan
5
标准形阅读材料3矩阵相似的完 Nhomakorabea全不变量
6
第六章线性映射
6.12*线性变换的有理标准形 阅读材料4矩阵相似的完全不变 量（续） 6.13线性函数，对偶空间 补充题六
3.10集合的划分，等 价关系
3.12商空间
第三章线性空间
补充题三
06 第四章矩阵的运算
第四章矩 阵的运算
0 1
4.1矩阵的加法， 数量乘法与乘法 运算
0 2
4.2矩阵乘积的 秩，坐标变换公 式
0 3
4.3M<sub>s×n </sub>（K）的 基和维数，特殊矩 阵
0 4
4.4可逆矩阵
0 5
01
3.1线性空 间的定义和
性质
04
3.4极大线 性无关组， 向量组的秩
02
3.2线性子 空间
05
3.5基，维 数
03
3.3线性相 关与线性无 关的向量组
06
3.6矩阵的 秩
第三章线性空间
3.7线性方程组有解判 别准则
3.9子空间的交与和， 子空间的直和
3.11线性空间的同构
3.8齐次（非齐次）线 性方程组解集的结构
4.5n级矩阵乘积 的行列式
0 6
4.6矩阵的分块
第四章矩阵的运算
4.7Binet-Cauchy公式 4.8矩阵的相抵，矩阵的广义逆 补充题四
07 第五章一元多项式环
1
2
5.1一元多项式环的概 念及其通用性质
5.2带余除法，整除关 系
3
4
5.3最大公因式，互素 的多项式
5.4不可约多项式，唯 一因式分解定理
0 6 补充题五
08 第六章线性映射
第六章线 性映射
0 1
6.1线性映射的 定义和性质
0 2
6.2线性映射的 运算
0 3
6.3线性映射的 核与像
0 4
6.4线性变换和 线性映射的矩阵
0 5
6.5线性变换在 不同基下的矩阵 之间的关系，相 似的矩阵
0 6
6.6线性变换与 矩阵的特征值和 特征向量
第六章线性映射
12 参考文献
参考文献
感谢聆听
04 第二章行列式
第二章行列 式
0 1 2.1n元排列 0 2 2.2n阶行列式的定义 0 3 2.3行列式的性质 0 4 2.4行列式按一行（列）展开 0 5 2.5克拉默（Cramer）法则，行列
式的几何意义
0 6 2.6行列式按k行（列）展开
第二章行列式
补充题二
05 第三章线性空间
第三章线性空间