2018高三数学全国二模汇编(理科)专题12排列组合、二项式定理

一．基础题组1.【河北省邯郸市第一中学2016届高三下学期研六考试数学（理）试题】学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，没接至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（ ） A ．36种 B ．30种 C ．24种 D ．6种 【答案】B 【解析】考点：排列、组合及简单计数问题．2.【河北省衡水中学2016届高三上学期七调考试数学（理）试题】在二项式n的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理数都互不相邻的概率为（ ） A ．16 B ．14 C ．13 D ．512【答案】D 【解析】试题分析：展开式通项为1rn rr r nT C -+=2342n rr rn C x --=⋅⋅（0r n ≤≤），由题意1100222222n n n C C C --⋅=⋅+⋅，8n =．所以当0,4,8r =时1634r-为整数，相应的项为有理数，因此题二项式展开式中共有9项，其中有3项是有理数，6项是无理数，所求概率为636799512A A P A ==．故选D ．考点：二项式定理，古典概型．【名题点睛】本题考查二项式定理与古典概型概率计算，考查等差数列的概念．首先应正确掌握二项式定理，由二项展开式通项公式得各项系数，由等差数列的定义可求得指数n 值，由二项展开式通项中判断有理项的个数为3,9个数全排列，其中求3个有理数互不相邻的方法数时用插入法，即把6个无理数排列，形成7个空档（含两头的），在这7个空档中选取3个排列这3个有理数可得方法数．3.【湖南师范大学附属中学2016届高三上学期月考（三）理科数学试题】现有2个男生，3个女生和1个老师共六人站成一排照相，若两端站男生，3个女生中有且仅有两人相邻，则不同的站法种数是（ ） A ．12 B ．24C ．36D ．48【答案】B 【解析】考点：排列组合．4.【湖南省长沙市雅礼中学2016届高三月考试卷（三）数学（理）试题】用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个【答案】B 【解析】试题分析：据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有342A ⨯个；若万位上排5，则有343A ⨯个.所以共有342A ⨯343524120A +⨯=⨯=个.选B .考点：排列组合.5.【河北省衡水中学2016届高三上学期七调考试数学（理）试题】设2sin 12cos 2x a x dx π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰，则()622x ⎛⋅+ ⎝的展开式中常数项是 . 【答案】－332 【解析】 试题分析：()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ⎛⎫=-+=+=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰，6(=6的展开式的通项为663166((1)2r r r r r rr r T C C x ---+==-⋅⋅，所以所求常数项为3633565566(1)22(1)2T C C --=-⋅⋅+-⋅332=-． 考点：二项式定理的应用，定积分．6.【湖南省长沙市雅礼中学2016届高三月考试卷（三）数学（理）试题】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）. 【答案】45 【解析】考点：二项式定理.7.【河北省邯郸市第一中学2016届高三下学期研六考试数学（理）试题】已知()7270127x m a a x a x a x -=+++ 的展开式中4x 的系数是-35，则127a a a ++= .【答案】1 【解析】试题分析：∵()()772701270x m a a x a x a x a m -=+++⋯+∴=-，．又展开式中4x 的系数是35-，可得()347351C m m ⋅-=-∴=，．∴()701a m =-=．在()7270127x m a a x a x a x -=+++⋯+①，令11x m ==，时，由①可得1201a a a =+++⋯+，当01x m ==，时，01a =-，即1237 1a a a a +++⋯+=．故答案为：1．考点：二项式系数的性质．8.【河北省武邑中学2016届高三上学期期末考试数学（理）试题】若nxx )3(-展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x 项的系数为_______.【答案】15- 【解析】试题分析：在nxx )3(-的展开式中，令1x =，可得nxx )3(-展开式的各项系数绝对值之和为2104210242nn===，∴5n =．故53)x展开式的通项公式为()531523r r rr T C x -+=-⋅⋅，令5312r-=，求得1r =，故展开式中x 项的系数为15-． 考点：二项式定理．【思路点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质.根据nxx )3(-展开式的各项系数绝对值之和为41024n=，求得5n =．在53)x展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于1，求得r 的值，可得展开式中x 项的系数． 二．能力题组1.【湖南省师大附中、长沙一中、长郡中学、雅礼中学2016届高三四校联考数学（理）试题】现定义θθθsin cos i ei +=，其中i 为虚数单位，e 为自然对数的底数，R ∈θ，且实数指数幂的运算性质对θi e 都适用，若θθθθθ4452325505sin cos sin cos cos C C C a +-=，θθθθθ4553235415sin sin cos sin cos C C C b +-=，那么复数bi a +等于（）A ．θθ5sin 5cos i +B ．θθ5sin 5cos i -C ．θθ5cos 5sin i + D ．θθ5cos 5sin i - 【答案】A. 【解析】考点：1.二项式定理；2.新定义问题．【技巧点拨】1.二项展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意项与项结合的合理性和简捷性；2.“赋值法”和“构造法”是解决二项展开式中“系数和”问题的基本思路，也是证明有关组合数恒等式的重要方法3.“配凑法”和“消去法”是解决“整除性问题”或“余数问题”的重要方法.2.【山西省康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中2016届上学期第二次联考数学（理）试题】已知()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L ，则8a 等于( ) A ．－5 B ．5 C ．90 D ．180 【答案】D 【解析】试题分析：因为1010(1)(21)x x +=-+-，所以8a 等于8210(2)454180.C -=⨯=选Ｄ． 考点：二项式定理 【方法点睛】1.求二项展开式项的系数一般分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n≥r)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．2. 明确二项展开式是按那两项展开，有时需作调整.3.【河北省冀州市中学2016届高三上学期一轮复习检测一数学（理）试题】已知51(1)(1)x x-+g 的展开式中(15)r x r Z r ∈-≤≤且的系数为0，则r =________． 【答案】2. 【解析】考点：1、二项式定理.【易错点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，考查了学生应用知识的能力和知识的迁移能力，属中档题.其解题过程中最容易出现以下错误：其一是对二项式定理的公式不熟练，记忆不牢固，进而导致出现错误；其二是不能准确的化简、整理、计算，从而导致出现错误.因此，其解题的关键是正确地运用二项式定理解决实际问题.。

2（2018徐汇二模）. 在61()x x +的二项展开式中，常数项是 （结果用数值表示） 2（2018长嘉二模）. 1()n x x +的展开式中的第3项为常数项，则正整数n = 3（2018杨浦二模）. 若(13)n x +的二项展开式中2x 项的系数是，则 5（2018浦东二模）. 91)x+二项展开式中的常数项为 6（2018普陀二模）. 若321()n x x-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为 7（2018崇明二模）. 若二项式7(2)a x x+的展开式中一次项的系数是70-，则23lim()n n a a a a →∞+++⋅⋅⋅+= 8（2018虹口二模）. 若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则3a 的值等于 8（2018青浦二模）. 621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 9（2018金山二模）. (12)n x +的二项展开式中，含3x 项的系数等于含x 项的系数的8倍，则正整数n =10（2018奉贤二模）. 代数式2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 （用数字作答） 12（2018闵松二模）. 设*n N ∈，n a 为(4)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，324c t =-，t ∈R ，1222[][][]555n n n na a a b =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n n t b c -++的最小值为14（2018宝山二模）. 在62()x x -的二项展开式中，常数项等于（ ）A. 160-B. 160C. 150-D. 15014（2018黄浦二模）.二项式40的展开式中，其中是有理项的项数共有（ ） A. 4项 B. 7项 C. 5项 D. 6项16（2018金山二模）. 若对任意1(,1)2x ∈-，都有2012212n n x a a x a x a x x x=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-，则23a a +的值等于（ ）A. 3B. 2C. 1D. 1-54n =。

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第十二章 排列组合、二项式定理一．基础题组1。

【2017高考上海，2】若排列数6654mP =⨯⨯ ,则m = .【答案】3【解析】由排列数的定义:()66561mP m =⨯⨯-+ ,则：614m -+= ，解得3m = 。

2.【201６高考上海理数】在nx x ⎪⎭⎫⎝⎛-23的二项展开式中,所有项的二项式系数之和为２5６,则常数项等于_＿_＿_____. 【答案】1１２ 【解析】试题分析：【考点】二项式定理【名师点睛】根据二项展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项展开式的通项进行求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等。

3。

【2０１5高考上海理数】在报名的3名男教师和6名女教师中,选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有,则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 【答案】120【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可:55961266120.C C -=-= 【考点定位】排列组合【名师点睛】涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关,排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．“含”与“不含”的问题：“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含",则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．4、【２015高考上海理数】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中,2x 项的系数为 (结果用数值表示）． 【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以2x 项只能在10(1)x +展开式中,即为8210C x ，系数为81045.C = 【考点定位】二项展开式【名师点睛】（1)求二项展开式中的指定项,一般是利用通项公式进行化简通项公式后,令字母的指数符合要求 （求常数项时，指数为零；求有理项时,指数为整数等)，解出项数r ＋1,代回通项公式即可.（2)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决. 5。

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（二）本试题卷共2页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1z的共轭复数为（）AB C D2．若双曲线221yxm-=的一个焦点为()3,0-，则m=（）A．B．C．D．643()fx）ABC D4．函数()12xf x⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,x∈+∞的值域为D，在区间()1,2-上随机取一个数x，则x D∈的概率是（）A．12B．13C．14D．15．记()()()()72701272111x a a x a x a x-=+++++⋅⋅⋅++，则012a a a+++6a⋅⋅⋅+的值为（）A．1 B．2 C．129 D．21886．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．83B．163C．203D．87．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得（）A ．一鹿、三分鹿之一B．一鹿C．三分鹿之二D．三分鹿之一8）A．B．C．D．9．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（）A ．12B ．18C ．120D ．12510．当实数x ，y 满足约束条件3310x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥≥，表示的平面区域为C ，目标函数2z x y =-的最小值为1p ，而由曲线()230y x y =≥，直线3x =及x 轴围成的平面区域为D ，向区域D 内任投入一个质点，该质点落入C 的概率为2p ，则1224p p -的值为（ ）A ．12B ．23C ．35D ．4311．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）AB1- C1D12．已知函数()e e x x f x -=+（其中是自然对数的底数），若当0x >时，()e 1x mf x m -+-≤恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

精品学案：排列，组合和二项式定理高考大纲对排列，组合和二项式定理这一章的考试内容及考试要求为： 1．分类计数和分步计数原理； 2．排列组合公式3．组合组合数公式和组合数的两个性质 4．二项式定理和二项式展开式 考试要求掌握分类计数和分步计数原理，并能用他们解决一些简单的应用问题。

理解排列的意义，掌握排列的计数公式，并能用他解决一些简单的应用问题。

理解组合的意义，掌握组合的计数公式，并能用他解决一些简单的应用问题。

掌握二项式定理和他的展开式的性质，并能用他计算和证明一些简单的应用问题。

要点一计数原理1分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法 要点二排列1．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．2．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mn A 表示3．排列数公式：(1)(2)(1)mn A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）和m n A =!()!n n m -4阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!1=．要点三组合1组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号mn C 表示． 3．组合数公式：(1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C mn -=,,(n m N m n ≤∈*且4组合数的性质1：m n n m n C C -=．规定：10=n C ；2：m n C 1+＝m n C +1-m n C要点四二项式定理1．正确理解二项式展开式中的第r ＋1项，第r ＋1项的二项式系数，第r ＋1项的系数之间的差别．2．二项系数的性质问题求二项式系数最大的项，可直接根据二项式系数的增减性与最大值性质，当为n 奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大，若求系数最大的项，则要根据各项系数的正、负变化情况并采用列不等式组、比较系数法求解．3．二项式的某项系数问题该问题解法多样，既可化归为二项式问题求解，又可从组合角度求解，一般地，三项式（a ＋b＋c）n的展开式中，a p b q c r的系数为4．赋值法在二项展开式中的运用赋值法的模式是：对任意的x∈A，某式子恒成立，那么对A中的特殊值，该式子一定成立．特殊值如何选取？视具体问题而定，没有一成不变的规律，它的灵活性较强，一般x0＝0， 1，－1取较多．一般地，多项式f(x)的各项系数和为f(1)，奇次项系数和为1[(1)(1)]2f f--，偶次项系数和为1[(1)(1)]2f f+-．如二项式系数性质。

1.排列、组合与二项式定理每年交替考查，主要以选择、填空的形式出现，试题难度中等或偏易.2.排列、组合试题具有一定的灵活性和综合性，常与实际相结合，转化为基本的排列组合模型解决问题，需用到分类讨论思想，转化思想.3.与二项式定理有关的问题比较简单，但非二项问题也是今后高考的一个热点，解决此类问题的策略是转化思想.1．两个重要公式(1)排列数公式A m n＝n！n－m！＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，且m≤n)．(2)组合数公式C m n＝n！m！n－m！＝n n－1n－2…n－m＋1m！(n，m∈N*，且m≤n)．2．三个重要性质和定理(1)组合数性质①C m n＝C n－mn(n，m∈N*，且m≤n)；②C m n＋1＝C m n＋C m－1n(n，m∈N*，且m≤n)；③C0n＝1.(2)二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b1＋C2n a n－2b2＋…＋C k n a n－k·b k＋…＋C n n b n，其中通项T r＋1＝C r n a n－r b r.(3)二项式系数的性质①C0n＝C n n，C1n＝C n－1n，…，C r n＝C n－r n；②C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n；③C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1.考点一排列与组合例1．【2017课标II，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种【变式探究】【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A）24 （B）48 （C）60 （D）72【变式探究】(2015·四川，6)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A．144个B．120个C．96个D．72个考点二排列组合中的创新问题例2．用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)【变式探究】设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|x i∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为()A．60 B．90 C．120 D．130考点三二项展开式中项的系数例3．【2016年高考北京理数】在6(12)x -错误!未找到引用源。

专题 排列组合、二项式定理一、选择题1．【2018 ）A. 15B. -15C. 17D. -17 【答案】C2×66ð+1×46ð=17故选：C.点睛：二项展开式求常数项问题主要是利用好通项公式，在进行分类组合很容易解决，注意系数的正负.2．【2018湖南省两市九月调研】若()2018201801201813,x a a x a x x R -=+++∈ ，则22018122018333a a a ⋅+⋅++⋅ 的值为（ ） A. 201821- B. 201881- C. 20182 D. 20188【答案】B【解析】令0x =，得01a =.令3x =，得()20182201820180122018333198a a a a +⋅+⋅++⋅=-= .所以22018201820181220180333881a a a a ⋅+⋅++⋅=-=- . 故选B.3．【2018辽宁省辽南协作校一模】()4x y z ++的展开式共（ ）项 A. 10 B. 15 C. 20 D. 21 【答案】B 【解析】因为()()()()()()444x y⎡⎤++=++=++++++++⎣⎦所以再运用二项式定理展开共有5432115++++=项，应选答案B 。

4．【2018广东省海珠区一模】()()62x y x y +-的展开式中43x y 的系数为（ ） A. 80- B. 40- C. 40 D. 80 【答案】D5．【20184项的二项式系数为20，则） A. 60 B. 60- C. 80 D. 80- 【答案】A【解析】由题意可得3n ð=20，求得n=6，的展并式的通项公式为T r+1=6rð• r=4，展并式中的常数项为46ð•4=60.点睛：利用二项式系数的性质求得n=6，在（x 6的展并式的通项公式中，令x 的幂指数等于零，求得r 的值，可得展并式中的常数项．6．【2018 ）A. －15B. 15C. －20D. 20 【答案】B【解析】试题分析：二项式展开式的通项公式：.要使其为常数，则,即，常数项为.考点：二项式定理.7．【2018河南省新乡市三模】在的展开式中，系数为有理数的项为（ ）A. 第二项B. 第三项C. 第四项D. 第五项 【答案】B8．【2018内蒙古包钢一中一模】把5名师范大学的毕业生分配到A 、B 、C 三所学校，每所学校至少一人。

2018届高三理科数学复习讲义 排列组合二项式定理高考定位一．考场传真1. 【2017课标1，理6】621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35 【答案】C 【解析】因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为44262115C x x x⋅=，故2x 前系数为151530+=，选C. 2．【2017课标3，理4】()()52x y x y +-的展开式中x 3y 3的系数为 A ．80-B ．40-C ．40D ．80【答案】C3．【2017课标II ，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种【答案】D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有24C 种方法，然后进行全排列33A 即可，由乘法原理，不同的安排方式共有234336C A ⨯=种方法。

故选D 。

4．【2017浙江，16】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______中不同的选法．（用数字作答）【答案】660【解析】由题意可得：总的选择方法为411843C C C ⨯⨯种方法，其中不满足题意的选法有411643C C C ⨯⨯种方法，则满足题意的选法有：411411843643660C C C C C C ⨯⨯-⨯⨯=种．5．【2017浙江，13】已知多项式()1x +3()2x +2=5432112345x a x a x a x a x a +++++，则4a =________，5a =________．【答案】16，46．【2017天津，理14】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）【答案】 1080【解析】413454541080A C C A +=7．【2017山东，理11】已知的展开式中含有项的系数是，则 .【答案】()13nx +2x 54n =4【解析】由二项式定理的通项公式，令得：，解得．二．高考研究【考纲解读】1.考纲要求排列、组合、二项式定理（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理：①理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.（2）排列与组合①理解排列、组合的概念.②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.③能解决简单的实际问题.（3）二项式定理①能用计数原理证明二项式定理.②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.2.命题规律：(1)排列、组合与二项式定理每年交替考查，主要以选择、填空的形式出现，试题难度中等或偏易. ()1C 3C 3rr r r r r n n x x +T ==⋅⋅2r =22C 354n ⋅=4n =(2)排列、组合试题具有一定的灵活性和综合性，常与实际相结合，转化为基本的排列组合模型解决问题，需用到分类讨论思想，转化思想. 排列与组合问题一直是高考数学的热点内容之一．从近几年的高考试题统计分析来看，对排列与组合知识的考查均以应用题的形式出现，题型为选择题、填空题，题量最多是一道，分值为5分，属于中档题．内容以考查排列、组合的基础知识为主．高考中对本讲注重基础知识和基本解题方法、规律的考查,以及运算能力的考查,基本都为中等难度试题.最近几个年份考查多少不一.(3)与二项式定理有关的问题比较简单，但非二项问题也是今后高考的一个热点，解决此类问题的策略是转化思想. 考查的重点是二项式定理的通项公式、二项式系数及项的系数；以考查基本概念、基础知识为主，如系数和、求某项的系数、求常数项、求有理项、求所含参数的值或范围等；难度不大，属于中档题和容易题，题型为选择题或填空题．3．学法导航1. 切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．分类时要做到不重不漏．对于复杂的计数问题，可以分类、分步综合应用．2. 要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果．3．解排列、组合的综合应用问题，要按照“先选后排”的原则进行，即一般是先将符合要求的元素取出(组合)，再对取出的元素进行排列，常用的分析方法有：元素分析法、位置分析法、图形分析法．要根据实际问题探索分类、分步的技巧，做到层次清楚，条理分明．区分排列、组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”．递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pq t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解. 4. 组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．5．运用二项式定理一定要牢记通项1r n r r r n T C a b -+=，注意()n a b +与()nb a +虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，我们一定要注意顺序问题.另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指r n C ，而后者是字母外的部分，对于二项式系数问题，应注意以下几点：①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1；②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法；③证明不等式时，应注意运用放缩法. 求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r ，再求1r T +，有时还需先求n ，再求r ，才能求出1r T +. 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏. 对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段. 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.主干整合归纳拓展一．基础知识整合基础知识：1.应用两个计数原理解题的方法(1)在应用分类计数原理和分步计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理．(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．2.排列、组合数公式及相关性质（1）排列数公式：()()()121+---=m n n n n A m n ()!m n n -=！(,,*)≤∈m n m n N ；*)(12)1(!N n n n n A n n ∈⨯⨯⨯-⨯== . （2）组合数公式()(1)(1)!(,,*)(1)21!!⋅-⋅⋅-+===≤∈⋅-⋅⋅⋅- m mn nm m A n n n m n C m n m n N A m m m n m . （3）排列数与组合数的性质排列:11-++=m n m n m n mA A A ；组合:11-++=m nm n m n C C C (,,*)≤∈m n m n N , =k n kC 11k n nC --. 3. 二项式定理()()011*n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --+=+++++∈ ，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式，其中的系数r n C (0,1,2,3,,r n = )叫做二项式系数．式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即展开式的第1r +项；1r n r r r n T C a b -+=.4．二项展开式形式上的特点(1)项数为1n +.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从0n C ，1n C ，一直到1n n C -，n n C .5. 二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即0n n nC C =，11n n n C C -=， ，m n m n n C C -=. (2)增减性与最大值：二项式系数r n C ，当12n r +≤时，二项式系数是递增的；由对称性知：当12n r +>时，二项式系数是递减的．当n 是偶数时，中间的一项2nn C 取得最大值．当n 是奇数时，中间两项12n n C+ 和12n nC -相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和()n a b +的展开式的各个二项式系数的和等于2n ，即012r n n n n n n C C C C +++++= ，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=二．高频考点突破考点1 分类计数原理与分步计数原理【例1】将3本相同的诗集，2本相同的小说全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（ ）A ．24种B ．28种C ．32种D ．36种【分析】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.【规律方法】1. 计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理：如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事，用分类加法计数原理；如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分，用分步乘法计数原理．2.利用分类计数原理解决问题时： (1)将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键．(2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点：①根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；②分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，不能重复；③对于分类问题所含类型较多时也可考虑使用间接法．3.利用分步乘法计数原理解决问题时要注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件．(3)对完成各步的方法数要准确确定．4. 用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析，使问题形象化、直观化．(4)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．5.在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．5. (1)分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．(2)分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．6. 分类加法计数原理的两个条件：(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．分步乘法计数原理的两个条件：(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．(2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键．从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数．【举一反三】【2018江西南昌摸底】某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有A. 120种B. 156种C. 188种D. 240种【答案】A考点2 排列、组合及性质【例2】化简:+2+3+…+n = ．分析：通过组合数性质=将原式转化成相同的系数，然后利用性质可化简原式得到.解析：=，原式=+n +n +n +…+n =++++…+)=． 【规律方法】通过观察式子的结构，利用排列数和组合数的相关性质及二项式系数的相关性质以含有排列、组合数结构的代数式进行化简，有时需要拆分、拼凑项来进行结构重组.【举一反三】设，且，其中当为偶数时，；当为奇数时，． （1）证明：当，时，；（2）记，求的值．1n C 2n C 3n C n n C k n kC 11k n nC --n n n n n n C C C C 2210=++++ 12- n n k n kC 11k n nC --∴01n nC -11n C -21n C -31n C -11n n C --01(n n C -11n C -21n C -31n C -11n n C --12-n n 01212(1)m m n n n n n m S C C C C ---=-+-+- *,m n ∈N m n <n 2n m =n 12n m -=*n ∈N 2n ≥11n n n S S S +-=-01231007201420132012201110071111120142013201220111007S C C C C C =-+-+- S考点3 排列、组合的应用【例3】从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A ．40种 B ．60种 C ．100种 D ．120种 【答案】B【解析】先排星期五,从人中选人有,种,再从剩下的人中选人参加星期六、星期日,有种,故共有种,选B.【规律方法】1.解答排列组合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；5225C 3223A 225310660C A =⨯=(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；(3)“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决．2.解决排列组合问题的13个策略.(1)特殊元素、特殊位置优先法；(2)相邻问题捆绑法；(3)不相邻(相间)问题插空法；(4)多排问题单排法； (5)多元问题分类法；(6)有序分配问题分步法；(7)交叉问题集合法；(8)至少或至多问题间接法；(9)选排问题先选后排法；(10)局部与整体问题排除法；(11)复杂问题转化法；（12）定序问题倍缩法；(13)相同元素分组可采用隔板法.3.对解组合问题，应注意以下四点：(1)对“组合数”恰当的分类计算，是解组合题的常用方法；(2)是用“直接法”还是“间接法”解组合题，其原则是“正难则反”；(3)设计“分组方案”是解组合题的关键所在；(4)分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！.【举一反三】【2018黑龙江齐齐哈尔一模】由1、2、3、4、5、6、7七个数字组成七位数，要求没有重复数字且6、7均不得排在首位与个位，1与6必须相邻，则这样的七位数的个数是（）A. 300B. 338C. 600D. 768【答案】D考点4 二项式定理及应用【例4】已知二项式的展开式中的系数为，则的值为（ ） A. B. C. D.【分析】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数. 【答案】C【规律方法】 1.二项定理问题的处理方法和技巧:⑴运用二项式定理一定要牢记通项，注意与虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分．前者只与和有关，恒为正，后者还与，有关，可正可负．⑵ 对于二项式系数问题，应注意以下几点：912x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x 212-1e a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰212e +232e -232e +252e -1+r r 1+rr 1r n r rr n T C a b -+=()na b +()nb a +r n C n r a b①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1； ②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法； ③证明不等式时，应注意运用放缩法.⑶ 求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求，再求，有时还需先求，再求，才能求出.⑷ 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.⑸ 对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.⑹ 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.⑺ 用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.多项式乘法的进位规则:在求系数过程中,尽量先化简，降底数的运算级别,尽量化成加减运算，在运算过程可以适当注意令值法的运用，例如求常数项，可令.在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别.2. 排列组合在二项展开式中的应用：展开式可以由次数、项数和系数来确定．(1)次数的确定：从个相同的中各取一个(或)乘起来，可以构成展开式中的一项，展开式中项的形式是，其中.(2)项数的确定：满足条件的共组． 即将展开共项，合并同类项后共项．r 1r T +n r 1r T +0x =()na b +n a b +a b p q ma b ,,p q N p q n ∈+=,,p q N p q n ∈+=(),p q 1n +()na b +2n1n +(3)系数的确定：展开式中含()项的系数为 (即个，个的排列数)因此展开式中的通项是： ()这种方法比数学归纳法推导二项式定理更具一般性和创造性，不仅可二项展开，也可三项展开，四项展开等．3. 求几个二项式积的展开式中某项的系数或特定项时，一般要根据这几个二项式的结构特征进行分类搭配，分类时一般以一个二项式逐项分类，分析其他二项式应满足的条件，然后再求解结果．4. 求展开式系数最大项：如求 ()的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为，且第项系数最大，应用从而解出k 来，即得．5. (1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式，应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可． (2)求余数问题时，应明确被除式与除式 ()，商式与余式的关系及余式的范围．(3)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数．解决这类问题时，先要合并通项中同一字母的指数，再根据上述特征进行分析．(4)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式(组)求取值范围．【举一反三】【2018陕西两校联考】()()8411x y ++的展开式中22x y 的系数是（ ）A. 56B. 84C. 112D. 168 【答案】Dp q a b p q n +=p n C p a q b ()na b +1r n r rr n T C a b -+=0,1,2,3,,r n = ()()011*nn n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --+=+++++∈ ()nax b +,a b R ∈1231,,,,n A A A A + k 11k k k k A A A A -+≥⎧⎨≥⎩()f x ()g x ()0g x ≠()q x考点5 赋值法在二项式定理中的应用【例5】若，则的值为（ ）A ．B ．C ．253D ．126【分析】赋值法研究二项式的系数和问题：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b)n 、(ax 2＋bx ＋c)m (a ，b ∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by)n (a ，b ∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可. 【答案】C【解析】令，得，，∴.选C ． 【规律方法】二项式定理是一个恒等式，使用时有两种思路：一是利用恒等定理(两个多项式恒等，则对应项系数分别相等)；二是赋值．二项式定理结合“恒等”与“赋值”两条思路可以使很多求二项展开式的系数的问题迎刃而解．赋值法是处理组合数问题、系数问题的最有效的经典方法，一般对任意，某式子恒成立，则对中的特殊值，该式子一定成立，特殊值如何选取视具体情况决定，灵活性较强，一般取居多.若则设.有：① ②③ ④⑤()()72801281212x x a a x a x a x +-=++++…0127a a a a ++++…2-3-1x =01283a a a a ++++=…()7822256a =⨯-=-0783253a a a ++=--=…A x ∈A x 1,1,0-=x 2012()...,n n n ax b a a x a x a x +=++++()()=+n f x ax b 0(0);a f =012...(1);n a a a a f ++++=0123...(1)(1);n n a a a a a f -+-++-=-0246(1)(1)...;2f f a a a a +-++++=1357(1)(1) (2)f f a a a a --++++=【举一反三】【2018东北名校联考】若()523450123451x a a x a x a x a x a x -=+++++，则012345a a a a a a -+-+-=（ ）A. 0B. 1C. 32D. 1- 【答案】A考点6 二项式定理与其他知识交汇【例6】若，则展开式中常数项为（ ） A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】因为，所以，，常数项为，故选B.【规律方法】二项式定理内容的考查常出现二项式内容与其它知识的交汇、整合，这是命题的一个创新方向．如二项式定理与函数、数列、复数，不等式，三角等其他知识点综合成题时，对其他模块的知识点要能熟练运用.sin()2cos παα-=6tan ()x xα+5216052-160-sin()2cos παα-=sin 2cos ,tan 2x x x ==66tan 2()x x x x α⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭333336622160C x C x ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭【举一反三】若变量满足约束条件，，则取最大值时，二项展开式中的常数项为 .【答案】【解析】画出不等式组表示平面区域如图,由图象可知当动直线经过点时,取最大值.当时,故由二项式展开式的通项公式,由题设可得,所以展开式中的常数项是,故应填答案.原创预测 考题探究1. 2017年3月全国两会在北京召开，现从A 组4人和B 组5人中任取3人参加一项议程讨论，在取出的3人中至少有A 组和B 组各一人的不同取法有（A ）35种 （B ）70种 C. 80种 D. 140种y x ,⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+020202x y x y x 22-+=y x n n nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1224022++-=n x y )4,2(A 22-+=y x n 66=n r rr r r r r r xC xx C T ----+==26666612)1()2(026=--r r2=r 2402264=C 240【答案】B押题依据 本题主要考查分类计数原理、排列组合知识在实际中的应用，考查学生分类讨论的思想和逻辑运算变换的能力.本题是一个常规题,但考查的知识基础,有一定的综合性,符合小题综合化的高考要求.2. 设有序集合对满足：，.记，分别表示集合，中元素的个数，则符合条件，的集合的对数是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由条件，，知，.当，时，显然不成立；当，时，则，，所以，，符合条件的集合对有1对；当，时，则，，所以中的另一个元素从剩下6个数中选一个，故符合条件的集合对有对；当，时，则，，所以中的另两个元素从剩下6个数中选2个，故符合条件的集合对有对；当，时，则，，矛盾；由对称性，剩下的几种情况类似，故符合条件的集合的对数是对，选D.押题依据 本题主要考查两个计数原理、排列组合的灵活应用，意在考查考生的分类讨论的数学思想方法，综合分析问题的能力.本题与集合结合出题,构思比较新.(,)A B {1,2,3,4,5,6,7,8}A B = A B =∅ ||A ||B A B ||A A ∉||B B ∉11224244||A A ∉||B B ∉||A B ∈||B A ∈||0A =||8B =||1A =||7B =7A ∈1B ∈{7}A ={1,2,3,4,5,6,8}B =||2A =||6B =6A ∈2B ∈A 16C 6=||3A =||5B =5A ∈3B ∈A 26C 15=||4A =||4B =4A ∈4B ∈2(01615)044++++=3. 某同学要用红、黄两种颜色给如下图中并排的七个矩形图形涂色，要求每一块矩形只涂一种颜色，要求任意两相邻的两块矩形至多有1块涂红色，且任意相邻三块矩形至少有一块矩形涂红色，则涂色方案有___________种．【答案】12押题依据 本题主要考查计数原理的应用等基础知识，意在考查考生的理解能力，分析问题，解决问题能力及运算能力.涂色问题是高考常考题型，故选此题.4.若已知（）展开式中二项式系数的和为256，则该展开式中含项的系数为 ． 【答案】112【解析】由题知=256，所以=8，所以==，所以=-1，解得=6，所以展开式中含项的系数为=112． 押题依据 本题考查二项式定理，赋值法求系数和等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，本题是一个传统题型，也是高考常考题型，故押此题.(2n x n ∈*N x 12nn 1r T +828C (2)(1)r r r r x x ---38828(1)2C rr r r x ---382r-r x168668(1)2C --5. 【2017年第三次全国大联考（新课标卷Ⅰ）】若，其中，则的值为 .【答案】押题依据 本题考查二项式定理，定积分求值，赋值法求系数和等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，二项式定理，定积分结合出题，在高考中曾经出现过，故押此题.()()62701271x a x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+()π0sin cos da x x x =-⎰0126a a a a +++⋯+1。

2018年全国2卷省份模拟理科数学分类汇编——排列组合二项式定理1.(海南模拟)的展开式中，的系数为（ ）B A. B. C. D.【解析】的通项为：的展开式中，的系数为 故选：B点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数. 2. （辽宁实验中学模拟）把四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有（ ）CA. 12种B. 24种C. 36种D. 48种【解析】从个球中选出个组成复合元素有种方法，再把个元素（包括复合元素）放入个不同的盒子中有 种放法，所以四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有，故选C.3. （西北师大附中模拟）第十九届西北医疗器械展览将于2018年5月18至20日在兰州举行,现将5名志愿者分配到3个不同的展馆参加接待工作，每个展馆至少分配一名志愿者的分配方案种数为 （ ）DA. 540B. 300C. 180D. 1504.(西北师大附中模拟)若20182018012018(12)()x a a x a x x R -=+++∈,则20181222018222a a a +++的值为-1 5. （黑龙江模拟）2212nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项是70，则n = ．4 6. （吉林实验中学模拟）有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是 D(A) （B ） （C ） （D ）1442162884327.(吉林实验中学模拟)的展开式中的常数项为 40 8. （呼和浩特模拟）我国第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼-15”飞机准备着舰，已知乙机不能最先着舰，且丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为（ ）BA ．96B ．48 C.72 D ．369.（银川一中模拟） n x x )1(3-的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 AA ．28B ．－28C ．70D ．－70 10.（西宁第4、5、14中学模拟） 若2550=-⎰dx x n ，则()n x 12-的二项展开式中2x 的系数为_____________．180解析：∵2550=-⎰dx x n ，∴．则的二项展开式中，的系数为．即答案为．11. （重庆7校联盟模拟）二项式展开式中的系数是________.1612.(沈阳模拟）若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置，则共有（ ）种不同的站法.BA ．4B ．8 C.12 D ．2413.( 重庆模拟)已知0a >，且102a x⎛ ⎝的展开式中常数项为5，则a =__________.13 5232x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()()4211x x -+2x。

高三数学2021届高三数学专项训练(2021)?排列、组合二项式定理?1 / 412021届高三数学专项训练〔 09〕?排列、组合二项式定理?一、选择题〔此题每题 5分，共60 分〕1．以下各式中，假设 1 k n, 与C n k不等的一个是〔〕A ．k 1C n k 11B ．nC n k 11 C ． n n C n k1D ．kn C n k 11n 12 kk n 12．二项式(x)7展开式的第 4项与第5项之和为零，那么x 等于 〔〕xA ．1B ．2C ．2D ．463．设(12x)10 a 1 a 2x a 3x 2a 11x 10，那么a 3 a 5 a 7 a 9 a 11等于 〔 〕A ． 10 1 B． 1 10 C ． 1 10 1) ． 1310 1 3 3 (3 () 2 D 24．从10名女学生中选 2名，40 名男生中选 3名，担任五种不同的职务，规定女生不担任其中某种职务，不同的分配方案有 〔 〕A ．A 102A 403 ．C 102C 403A 42A 33 C ．C 102C 403A 55． 2 3 1040 B D CC5．用1，2，3，4，5，6，7七个数字排列组成七位数，使其中偶位数上必定是偶数，那么可得七位数的个数是 〔 〕 A ． 4 B ． 4 3 3 D ． 1 74 43 C ．6A 3 7AAAA26．假设( 3 2x)12 a 0 a 1xa 2x 2 a 12x 12，那么(a 1a 3 a 5 a 11)2 (a 0a 2 a 4 a 12)2的值是 〔 〕A ．1B ．－1 C ．2 D ．－27．在某次数学测验中，学号 i(i 1,2,3,4)的四位同学的考试成绩 f(i) {90,92,93,96,98} ，且满足f(1) f(2) f(3) f(4) ，那么这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为 〔 〕 A ．9种 B ．5种 C ．23种 D ．15种 8．如果一个三位正整数形如“ a1a2a3〞满足a1 a 2且a 3 a 2 ，那么称这样的三位数为凸数〔如120、 363、374等〕，那么所有凸数个数为 〔 〕 A ．240 B ．218 C ．729 D ．920 9．使得多项式81x 4108x 3 54x 2 12x1能被5整除的最小自然数x 为 〔 〕A ．1B ．2C ．3D ．410．假设( x 2 )n 展开式中存在常数项 ,那么n 的值可以是 〔 〕A ．8 3xB ．9C ．10 D ．1211．在 AOB 的OA 边上取m 个点，在OB 边上取n 个点〔均除O 点外〕，连同O 点m 点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有 〔A ．C m 1 1Cn 2 Cn 11Cm 2B ．C m 1C n 2C n 1C m 2 C ．C m 1C n 2C n 1C m 2 C m 1C n 1D ．Cm 1Cn 21 C 12．二项式(2x2)9(x R)的展开式的第7项为 21,那么lim(xx 2x n )的2 4 nA ．1B． 1 C ． 3 D ． 344 44高三数学2021届高三数学专项训练(2021)?排列、组合二项式定理?2 / 42二、填空题〔此题每题 4分，共 16分〕13．二项式(1 1)10的展开式中含 15的项的系数________〔请用数字作答〕2x x14．某学校要从高三的 6个班中派 9名同学参加市中学生外语口语演讲，每班至少派 1人，那么这9 个名额的分配方案共有 种.〔用数字作答〕15．在(1 x x 2)(1x)10的展开式中，x 4项的系数是.16．(理)有四个好友A,B,C,D 经常通 交流信息,在通了三次 后这四人都得悉某一条高考信息,那么第一个 是 A 打的情形共有 种.(文)甲、乙、丙、丁、戊5 名学生进行投篮比赛，决出了第 1至第5名的不同名次，甲、乙两 人向裁判询问成绩。

专题排列组合、二项式定理一、选择题1．【2018河北武邑中点高三上学期五调】3个单位从4名大学毕业生中选聘工作人员，若每个单位至少选聘1人（4名大学毕业生不一定都能选聘上），则不同的选聘方法种数为（）A. 60B. 36C. 24D. 42【答案】A【解析】当4名大学毕业都被选聘上，则有23436636C A=⨯=种不同的选聘方法，当4名大学毕业生有3位被选聘上，则有3424A=种不同的选聘方法，由分类加法计数原理，得不同的选聘方法种数为362460+=.故选A. 2．【2018河北廊坊八中高三模拟试题】为迎接中国共产党十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的6名学生中选派4名学生参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么不同的朗诵顺序的种数为（）A. 320B. 324C. 410D. 416【答案】B【解析】6名学生选派4名参加，共有46360A=种，当甲乙丙都参加且甲乙朗诵次序相邻时，共有种数132 33236C A A=，由去杂法可知所求不同的朗诵顺序的种数为324,选B.3．【2018湖南株洲高三质检一】()1021x x+-展开式中3x的系数为（）A. 10B. 30C. 45D. 210【答案】B4．【2018贵州遵义高三上学期联考二】下边程序框图的算法思路是来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图时，若输入的a b 、分别为16、18，输出的结果为a ，则二项式开式中常数项是（ ）A. -20B. 52C. -192D. -160 【答案】D5．【2018 ）A. 73-B. 61-C. 55-D. 63- 【答案】A【解析】令1x =，得，而常数项为0166329C C -⨯+⨯=，所以展开式中剔除常数项的各项系数和为64973--=-，故选A.6．【2018的展开式中3x 的系数为160-，则m 的值为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 【答案】C令1233r -=，解得3r =，则系数为()()33366C C 20160r r m m m =-=-=-.解得2m =. 故选C.7．【2018四川广安高三一诊】()()5x y x y -+的展开式中， 24x y 的系数为（ ） A. 10- B. 5- C. 5 D. 10 【答案】B【解析】因为()5x y +展开式中， 4x y ， 23x y 的系数分别为43555,10C C ==，所以()()5x y x y -+的展开式中，24x y 的系数为5105-=-,故选B.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1rn rrr n T C ab-+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.8．【2018四川广元高三第一次适应性统考】在0x =处的切线与直线0n x y -=平行，则二项式()()211nx xx ++-展开式中4x 的系数为（ ）A. 120B. 135C. 140D. 100 【答案】B故()()10211x x x ++-展开式中4x 的系数为4199135C C += ，故选B ．9．【2018广西南宁九月摸底】（2x 5的展开式中x 3项的系数为（ ）A. 80B. ﹣80C. ﹣40D. 48 【答案】B，令523r -=，解得1r =，∴展开式中3x 项的系数415280C =-=-，故选B.10．【2018河南郑州高三质检一】在3x⎛+⎝的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为3：2，则2x 的系数为（ ）A. 50B. 70C. 90D. 120 【答案】C令2r =得222235390T C x x ==．所以2x 的系数为90．选C ． 11．【2018四省名校联考一】()()6222a ba b +-的展开式中44a b 的系数为（ ）A. 320B. 300C. 280D. 260 【答案】B【解析】()62a b -展开式的通项为： ()()6616622rrr r r r r r T C a b C a b --+=-=-， 则： ()4464424562240T C a b a b -=-=， ()226224236260T C a b a b -=-=， 据此可得： 44a b 的系数为24060300+=. 本题选择B 选项.12．【2018四川成都七中高三上学期一诊】已知S 为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式【答案】A【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图以及二项式定理，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.13．【2018上海徐汇区一模】现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三从两两不相邻的排法的种数为（）A. 3353P P ⋅B. 863863P P P -⋅C. 3565P P ⋅D. 8486P P -【答案】C【解析】先排剩下5人，再从产生的6个空格中选3个位置排甲、乙、丙三人，即3565P P ⋅，选C.14．【2018陕西西安长安区一中高三上学期质检八】如图，三行三列的方阵中有9个数ij a （i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）111213212223313233a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦【答案】D本题选择D 选项.点睛：解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．15．【2018广东广州高三上学期一调】某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有A. 36种B. 24种C. 22种D. 20种 【答案】B【解析】第一类：男生分为1,1,1，女生全排，男生全排得323212A A ⋅=，第二类：男生分为2,1，所以男生两堆全排后女生全排22232212C A A ⋅=，不同的推荐方法共有121224+= ，故选B.16．【2018河南洛阳高三第一次统测】若0s in a x d x π=⎰，则二项式 ）A. -15B. 15C. -240D. 240【答案】D二、填空题17．【2018河北武邑高三上学期五调】若()()7280128112x x a a x a x a x +-=++++，则1278a a a a ++++的值__________． 【答案】3-【解析】令1x =，得012782a a a a a +++++=-，令0x =，得01a =，则1278213a a a a ++++=--=-.点睛：本题考查二项式定理的应用；在利用二项式定理求二项展开式的系数和时，往往采用赋值法或整体赋值法，要灵活注意展开式中未知数的系数的特点合理赋值，往往是1，0,或1-.18．【2018__________．，得4r =，19.【2018百校联盟一月联考】．若()()()()()()5234540123451222222x x a a x a x a x a x a x --=+-+-+-+-+-，则2a =__________． 【答案】-38【解析】令2x t -=，则2x t =+．由条件可得()()542345012345122t t a a t a t a t a t a t +-+=+++++，故2t 的系数为322542238C C -⋅=-，即238a =-．答案： 38-20．【2018江苏如皋高三上学期质检三】从集合{}1,2,3,4,5,6A =中分别取两个不同的数,a b 作为对数的底数和真数，则事件“对数值大于2”的概率为_______. 【答案】225【解析】从集合{}1,2,3,4,5,6A =中分别取两个不同的数,a b 作为对数的底数和真数，若不含1共有2520A =种，若含1共有5种（注意尽管这五种取法对数值相同，却是不同的抽取方法），所以共有25种，其中大于2的共有2种，所以“对数值大于2”的概率为225，故答案为225.21．【2018河北涞水高三联考】两位同学分4本不同的书，每人至少分1本，4本书都分完，则不同的分法方式共有__________种． 【答案】1422．【2018湖南长沙二模】若()()()21010501210111x x a a x a x a x -=+-+-+⋯+-，则5a =__________． 【答案】251【解析】令1x t -= ，则()()1052100121011.......t t a a t a t a t +-+=++++， 5a 为5t 的系数，其中()101t +展开式中5t 的系数为510C ， ()51t +展开式中5t 的系数为05C ，则5051052521251a C C =-=-=.【点睛】解决二项式定理问题，第一常利用通项公式，求出展开式的某些指定项，第二要熟悉二项式系数及性质，弄清楚二项式系数和项的系数，第三要掌握赋值法求系数和，第四要学会利用换元法转化问题. 23．【2018四川内江一模】()()611x x +-的展开式中， 3x 的系数是_____________.（用数字作答） 【答案】5-【解析】由题意可知， ()61x -展开式的通项为()()616611r rrrr rr T C x C x -+=⋅⋅-=-⋅则()()611x x +-的展开式中，含3x 的项为()()323322333661120155C x x C xx x x -+-=-+=-，所以3x 的系数是5-24．【2018江西重点中学联盟联考一】从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率是________.25．【2018的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________. 【答案】112256，令x =1可得：2n=256，解得n =8，即r =2时,常数项为()22382112T C =-=.故答案为：112.26．【2018上海崇明区一模】从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有_____种不同的选法．（用数字作答） 【答案】78027．【2018河南洛阳高三第一次统测】某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法数有__________种（用数字作答）． 【答案】36【解析】先选出学生选报的社团，共有24C 种选法，再把这3名同学分配到这两个社团，共有22226⨯⨯-=，故恰有2个社团没有同学选报数有36．。

20XX 年高考数学理试题分类汇编：排列组合与二项式定理1. ( 20XX 年新课标Ⅱ卷理) 6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 【答案】D【解析】22234236C C A = ,故选D 。

2. (20XX 年天津卷理) （14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答） 【答案】 1080【解析】413454541080A C C A +=3. ( 20XX 年新课标Ⅱ文) 11.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 (D)A.110B.15C.310D.254. (20XX 年新课标Ⅰ) 6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C 【解析】621(1)(1)x x ++展开式中含2x 的项为224426621130C x C x x x⋅+⋅=，故2x 前系数为30，选C.. 5. (20XX 年江苏卷)23已知一个口袋中有m 个白球，n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥)，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n + 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,,)k m n =+ ．（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，()E X 是X 的数学期望，证明：()()(1)nE X m n n <+-．【解析】（1）11222C C C 22()(1)m n nm nn n mn P A m n m n ++-+==++-. 6. (20XX 年天津卷文) 3）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（A ）45（B ）35（C ）25（D ）15【答案】C7. (20XX 年浙江卷) 13．已知多项式()1x +3()2x +2=5432112345x a x a x a x a x a +++++，则4a =________，5a =________. 【答案】16，4【解析】由二项式展开式可得通项公式为：32r r m m C x C x ，分别取0,1r m ==和1,0r m ==可得441216a =+=，令0x =可得325124a =⨯=8. (20XX 年浙江卷) 16．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______中不同的选法.（用数字作答） 【答案】6609. (20XX 年新课标Ⅲ卷理) (x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为 A ．-80 B ．-40 C ．40 D ．80【答案】C【解析】由()52x y - 展开式的通项公式：()()5152rrrr T C x y -+=- 可得：当3r = 时，()52x x y - 展开式中33x y 的系数为()33252140C ⨯⨯-=- 当2r = 时，()52y x y - 展开式中33x y 的系数为()22352180C ⨯⨯-= ， 则33x y 的系数为804040-= . 本题选择C 选项.10. (20XX 年山东卷理)从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 （A ）518 （B ）49 （C ）59（D ）79 【答案】C【解析】125425989C C =⨯ ,选C. 11. (20XX 年天津卷理) 16.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234.（Ⅰ）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 【答案】 (1)1312 (2) 1148【解析】（Ⅰ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.1111(0)(1)(1)(1)2344P X ==-⨯-⨯-=，11111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23423423424P X ==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=，1111111111(2)(1)(1)(1)2342342344P X ==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=，1111(3)23424P X ==⨯⨯=.所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （Ⅱ）设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为(1)(0,1)(1,0)(0)(1)(1)(0)P Y Z P Y Z P Y Z P Y P Z P Y P Z +====+=====+==1111111142424448=⨯+⨯=. 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148. 12. (20XX 年山东卷理)（11）已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = . 【答案】4【解析】()1C 3C 3rr r r r r n n x x +T ==⋅⋅，令2r =得：22C 354n ⋅=，解得4n =． 13. (20XX 年山东卷理)（18）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙中心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名B 1，B 2， B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示。

教学过程一、考纲解读该部分在高考试卷中一般是1到2个小题，分值在5-10分。

主要考查两个基本原理、排列组合的基础知识和方法，考查二项式定理的基础知识及其简单应用.在复习中要在解一些常规题型上下功夫，需要掌握基本的解题方法.在平时的复习中要能够体会计数原理在概率分布中的应用，特别是用排列组合解决的大题.对于二项式定理，重点考查二项式定理的通项.以及二项式系数和项的系数.二、复习预习（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理①理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理；②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.（2）排列与组合①理解排列、组合的概念.②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.③能解决简单的实际问题.（3）二项式定理①能用计数原理证明二项式定理.②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.三、知识讲解考点1 分类加法计数原理、分步乘法计数原理①理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理；②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.考点2 排列与组合①理解排列、组合的概念.②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.③能解决简单的实际问题.考点3 二项式定理①能用计数原理证明二项式定理.②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.四、例题精析例1 [2014全国1卷] 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率( )A.18B.38C.58D.78【规范解答】解法1.选D（直接法）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有4216=种，周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人一天三人有11428C A=种；②每天2人有22 426C C=种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为867 168 +=；解法2.选D（间接法）4位同学都在周六或周日参加公益活动有2种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1627 168-=；选D.【总结与反思】（1）本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．是一道基础题。

【备战2018高考高三数学全国各地优质模拟试卷分项精品】专题 排列组合、二项式定理一、选择题1．【2018河北武邑中点高三上学期五调】3个单位从4名大学毕业生中选聘工作人员，若每个单位至少选聘1人（4名大学毕业生不一定都能选聘上），则不同的选聘方法种数为（ ） A. 60 B. 36 C. 24 D. 42 【答案】A【解析】当4名大学毕业都被选聘上，则有23436636C A =⨯=种不同的选聘方法，当4名大学毕业生有3位被选聘上，则有3424A =种不同的选聘方法，由分类加法计数原理，得不同的选聘方法种数为362460+=.故选A.2．【2018河北廊坊八中高三模拟试题】为迎接中国共产党十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的6名学生中选派4名学生参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么不同的朗诵顺序的种数为（ ） A. 320 B. 324 C. 410 D. 416 【答案】B【解析】6名学生选派4名参加，共有46360A =种，当甲乙丙都参加且甲乙朗诵次序相邻时，共有种数13233236C A A =，由去杂法可知所求不同的朗诵顺序的种数为324,选B.3．【2018湖南株洲高三质检一】()1021x x +-展开式中3x 的系数为（ ）A. 10B. 30C. 45D. 210 【答案】B4．【2018贵州遵义高三上学期联考二】下边程序框图的算法思路是来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图时，若输入的a b 、分别为16、18，输出的结果为a ，则二项式6⎛⎝的展开式中常数项是（ ）A. -20B. 52C. -192D. -160 【答案】D5．【2018河北衡水金卷高三模拟一】()61231x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（ ）A. 73-B. 61-C. 55-D. 63- 【答案】A【解析】令1x =，得()61231264x x ⎛⎫-+=-=- ⎪⎝⎭，而常数项为0166329C C -⨯+⨯=，所以展开式中剔除常数项的各项系数和为64973--=-，故选A.6．【2018江西临川两校联考】若二项式62m x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为160-，则m 的值为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 【答案】C【解析】二项式62m x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()2612366C ()()C r r r r rr m x m x x ---=-.令1233r -=，解得3r =，则系数为()()33366C C 20160r r m m m =-=-=-.解得2m =. 故选C.7．【2018四川广安高三一诊】()()5x y x y -+的展开式中， 24x y 的系数为（ ） A. 10- B. 5- C. 5 D. 10 【答案】B【解析】因为()5x y +展开式中， 4xy ， 23x y 的系数分别为43555,10C C ==，所以()()5x y x y -+的展开式中，24x y 的系数为5105-=-,故选B.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1r n r rr n T C a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.8．【2018四川广元高三第一次适应性统考】已知函数()3110sin 6f x x x =+在0x =处的切线与直线0nx y -=平行，则二项式()()211nx xx ++-展开式中4x 的系数为（ ）A. 120B. 135C. 140D. 100 【答案】B故()()10211x x x ++-展开式中4x 的系数为4199135C C += ，故选B ．9．【2018广西南宁九月摸底】（2x ﹣1x）5的展开式中x 3项的系数为（ ） A. 80 B. ﹣80 C. ﹣40 D. 48 【答案】B【解析】通项公式()()55521551212rrr r r r rr T Cx C x x ---+⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭，令523r -=，解得1r =，∴展开式中3x 项的系数415280C =-=-，故选B.10．【2018河南郑州高三质检一】在x⎛+⎝的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为3：2，则2x 的系数为（ ）A. 50B. 70C. 90D. 120 【答案】C令2r =得222235390T C x x ==．所以2x 的系数为90．选C ． 11．【2018四省名校联考一】()()6222a ba b +-的展开式中44a b 的系数为（ ）A. 320B. 300C. 280D. 260 【答案】B【解析】()62a b -展开式的通项为： ()()6616622rrr r r r rr T C a b C a b --+=-=-， 则： ()4464424562240T C a b a b -=-=， ()226224236260T C a b a b -=-=，据此可得： 44a b 的系数为24060300+=.本题选择B 选项.12．【2018四川成都七中高三上学期一诊】已知S 为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式6⎛ ⎝的展开式中常数项的系数是（）A. -20B. 20C. 203- D. 60 【答案】A【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图以及二项式定理，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.13．【2018上海徐汇区一模】现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三从两两不相邻的排法的种数为（）A. 3353P P ⋅B. 863863P P P -⋅C. 3565P P ⋅D. 8486P P -【答案】C【解析】先排剩下5人，再从产生的6个空格中选3个位置排甲、乙、丙三人，即3565P P ⋅，选C.14．【2018陕西西安长安区一中高三上学期质检八】如图，三行三列的方阵中有9个数ij a （i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）111213212223313233a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A.37 B. 47 C. 114 D. 1314【答案】D本题选择D 选项.点睛：解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．15．【2018广东广州高三上学期一调】某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有A. 36种B. 24种C. 22种D. 20种 【答案】B【解析】第一类：男生分为1,1,1，女生全排，男生全排得323212A A ⋅=，第二类：男生分为2,1，所以男生两堆全排后女生全排22232212C A A ⋅=，不同的推荐方法共有121224+= ，故选B.16．【2018河南洛阳高三第一次统测】若0sin a xdx π=⎰，则二项式61x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ）A. -15B. 15C. -240D. 240【答案】D二、填空题17．【2018河北武邑高三上学期五调】若()()7280128112x x a a x a x a x +-=++++ ，则1278a a a a ++++ 的值__________． 【答案】3-【解析】令1x =，得012782a a a a a +++++=- ，令0x =，得01a =，则1278213a a a a ++++=--=- .点睛：本题考查二项式定理的应用；在利用二项式定理求二项展开式的系数和时，往往采用赋值法或整体赋值法，要灵活注意展开式中未知数的系数的特点合理赋值，往往是1，0,或1-.18．【2018河南安阳一模】6x ⎛ ⎝展开式中的常数项为__________．【答案】1516【解析】366216612rrrr rr r T C xC x --+⎛⎛⎫==- ⎪ ⎝⎭⎝，令3602r -=，得4r =， ∴常数项为446115216C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．19.【2018百校联盟一月联考】．若()()()()()()5234540123451222222x x a a x a x a x a x a x --=+-+-+-+-+-，则2a =__________．【答案】-38【解析】令2x t -=，则2x t =+．由条件可得()()542345012345122t t a a t a t a t a t a t +-+=+++++，故2t 的系数为322542238C C -⋅=-，即238a =-．答案： 38-20．【2018江苏如皋高三上学期质检三】从集合{}1,2,3,4,5,6A =中分别取两个不同的数,a b 作为对数的底数和真数，则事件“对数值大于2”的概率为_______. 【答案】225【解析】从集合{}1,2,3,4,5,6A =中分别取两个不同的数,a b 作为对数的底数和真数，若不含1共有2520A =种，若含1共有5种（注意尽管这五种取法对数值相同，却是不同的抽取方法），所以共有25种，其中大于2的共有2种，所以“对数值大于2”的概率为225，故答案为225. 21．【2018河北涞水高三联考】两位同学分4本不同的书，每人至少分1本，4本书都分完，则不同的分法方式共有__________种． 【答案】1422．【2018湖南长沙二模】若()()()21010501210111x x a a x a x a x -=+-+-+⋯+-，则5a =__________．【答案】251【解析】令1x t -= ，则()()1052100121011.......t t a a t a t a t +-+=++++， 5a 为5t 的系数，其中()101t +展开式中5t 的系数为510C ， ()51t +展开式中5t 的系数为05C ，则5051052521251a C C =-=-=.【点睛】解决二项式定理问题，第一常利用通项公式，求出展开式的某些指定项，第二要熟悉二项式系数及性质，弄清楚二项式系数和项的系数，第三要掌握赋值法求系数和，第四要学会利用换元法转化问题. 23．【2018四川内江一模】()()611x x +-的展开式中， 3x 的系数是_____________.（用数字作答）【答案】5-【解析】由题意可知， ()61x -展开式的通项为()()616611rrr r rr r T C x C x -+=⋅⋅-=-⋅则()()611x x +-的展开式中，含3x 的项为()()323322333661120155C x x C x x x x -+-=-+=- ，所以3x 的系数是5-24．【2018江西重点中学联盟联考一】从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率是________. 【答案】2325．【2018湖北部分重点高三联考】在2nx ⎫⎪⎭ 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________. 【答案】112【解析】∵在2nx ⎫⎪⎭的二项式中，所有的二项式系数之和为256，令x =1可得：2n=256，解得n =8，∴82x ⎫⎪⎭中, ()848318822rrrr rr r T C C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴当8403r -=,即r =2时,常数项为()22382112T C =-=. 故答案为：112.26．【2018上海崇明区一模】从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有_____种不同的选法．（用数字作答） 【答案】78027．【2018河南洛阳高三第一次统测】某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法数有__________种（用数字作答）． 【答案】36【解析】先选出学生选报的社团，共有24C 种选法，再把这3名同学分配到这两个社团，共有22226⨯⨯-=，故恰有2个社团没有同学选报数有36．。

排列、组合及二项式定理2018年高考试题（理科）
5 c 15D．15
【答案】A
10．（80c．40D．-40
【答案】c
二、填空题
11．（2018年上海市春季高考数学试卷(含答案)）36的所有正约数之和可按如下方法得到因为 ,所以36的所有正约数之和为参照上述方法,可求得2000的所有正约数之和为________________________
【答案】4836
12．（2018年高考四川卷（理））二项式的展开式中,含的项的系数是_________(用数字作答)
【答案】10
13．（2018年上海市春季高考数学试卷(含答案)）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动,选出的3人中男女同学都有的概率为________(结果用数值表示)
【答案】
14．（2018年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯RD版））将六个字母排成一排,且均在的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答)
【答案】480
15．（2018年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））从名骨科名脑外科和名内科医生中选派人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科脑外科和内科医生都至少有人的选派方法种数是___________(用数字作答)
【答案】。

专题 排列组合、二项式定理一、选择题1．【2018四川德阳三校联考】从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A. 48 B. 72 C. 90 D. 96 【答案】D点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题． 2．【2018广西桂梧高中联考】()713x -的展开式的第4项的系数为（ ）A. 3727C -B. 4781C -C. 3727CD. 4781C【答案】A【解析】由题意可得()713x -的展开式的第4项为()33733331771327T C x C x -+=⨯⨯-=-，选A.3．【2018黑龙江齐齐哈尔一模】由1、2、3、4、5、6、7七个数字组成七位数，要求没有重复数字且6、7均不得排在首位与个位，1与6必须相邻，则这样的七位数的个数是（ ） A. 300 B. 338 C. 600 D. 768 【答案】D【解析】当1在首位时，6只有一种排法，7有四种排法，余下四数共有44A 中排法，共有441496A ⨯⨯=种；当1在个位时，同样共有96种；当1即不再首位也不在个位时，先把1和6排好，有224A ⨯种排法，再排7有3种排法，余下四数共有44A 中排法，共有24244A 3576A ⨯⨯⨯=种综上：共有192576+=768 故选：D点睛：本题是一道带有限制条件的排列组合题目，这种问题的常用解题策略有：相邻问题捆绳法，不邻问题插空法，特殊元素（特殊位置）优先分析法，定序问题缩倍法，多排问题单排法，相同元素隔板法等等.4．【2018陕西西安长安区联考】若024n x dx ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则2ny y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为A. 8B. 16C. 24D. 60 【答案】C 【解析】∵()()2002=2sin cos 2cos sin | 2cos cos0sin sin0424220n x dx x x dx x x ππππππ⎛⎫⎛⎫=++=-+=-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰∴42y y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项公式为42142rr r r T C y -+=⋅⋅令420r -=，即2r =∴二项式42y y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中常数项是224224C ⋅=，故选C5．【2018东北名校联考】若()523450123451x a a x a x a x a x a x -=+++++，则012345a a a a a a -+-+-=（ ）A. 0B. 1C. 32D. 1- 【答案】A6．【2018陕西两校联考】()()8411x y ++的展开式中22x y 的系数是（ ）A. 56B. 84C. 112D. 168 【答案】D【解析】根据()81x +和()41y +的展开式的通项公式可得， 22x y 的系数为2284168C C =,故选D.7．【2018广西南宁摸底联考】的展开式中项的系数为（ ）A. 80B.C.D. 48【答案】B 【解析】由题意可得，令r=1,所以的系数为-80.选B.8．【2018云南昆明一中摸底】二项式51x ⎛⎫ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（ ）A. 10B. 10-C. 5D. 5- 【答案】B【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1r n r rr n T C a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.9．【2018广西柳州摸底联考】()62x y -的展开式中， 24x y 的系数为（ ） A. 60 B. 60- C. 240 D. 240- 【答案】C【解析】()()46416624,2240rr r r T C x y r C -+=-∴=-=，选C.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.10．【2018江西南昌摸底】某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有 A. 120种 B. 156种 C. 188种 D. 240种 【答案】A【解析】根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分3种情况讨论：①、甲排在第一位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有336A=种安排方法，则此时有42648⨯⨯=种编排方法；②、甲排在第二位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有336A=种安排方法，则此时有32636⨯⨯=种编排方法；③、甲排在第三位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有336A=种安排方法，则此时有32636⨯⨯=种编排方法；则符合题意要求的编排方法有363648120++=种；故选A．点睛：本题考查排列、组合的应用，注意题目限制条件比较多，需要优先分析受到限制的元素；根据题意，由于节目甲必须排在前三位，对甲的位置分三种情况讨论，依次分析乙丙的位置以及其他三个节目的安排方法，由分步计数原理可得每种情况的编排方案数目，由加法原理计算可得答案．11．【2018广西南宁八中摸底】在的展开式中，含的项的系数是（）A. 60B. 160C. 180D. 240【答案】D12．【2018广东德庆香山一模】从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有( )种.A. 36B. 30C. 12D. 6【答案】A【解析】从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，因为先从其余3人中选出1人担任文艺委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，所以不同的选法共有123436C A=种.本题选择A选项.13．【2018广东德庆香山一模】在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中中山大学2名，暨南大学2名，华南师范大学1名，并且暨南大学和中山大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（）A. 36B. 24C. 22D. 20【答案】B【解析】由题意可分成两类:本题选择B 选项.点睛：分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始终．(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类．(2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间的方法“相互独立，分步完成”．14．【2018陕西名校五校联考】52431x xx ⎛⎛⎫-+- ⎪ ⎝⎭⎝的展开式中常数项为( ) A. 30- B. 30 C. 25- D. 25 【答案】C【解析】51⎛- ⎝ 的通项为()151r r r r T C +=-， 55224311x x x x ⎛⎛⎛⎫-+=- ⎪ ⎝⎭⎝⎝554311xx ⎛⎛-+- ⎝⎝ ，根据式子可知当4r = 或2r = 时有常数项，令4r =()441551T C ⇒=- ; 令()2233521r T C =⇒=-;故所求常数项为13553C C -⨯ 53025=-=- ，故选C.【点睛】求解与二项式相关的复杂式子的一般方法及步骤是： 将复杂式子分解转化成与简单的二项式相关的式子 根据条件找到符合条件的二项式的项， 利用二项式的通项求出符合条件的项， 整合最终得出所求15．【2018江西新余一中二模】在二项式3nx ⎫⎪⎭的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且72A B +=，则展开式中常数项的值为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】B二、填空题16．【2018四川德阳三校联考】已知()727012712x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+,则1a =___________.【答案】14-【解析】含x 的项的系数为()17214C -=-，故填14-.17．【2018福建四校联考】在8x⎛- ⎝的二项展开式中， 2x 的项的系数是_______.（用数字作答）【答案】70【解析】根据二项式定理, 8x⎛- ⎝的通项为()3482181rr r r T C x --+=⋅-⋅，当3422r-=时,即r=4时,可得2570T x =. 即2x 项的系数为70.18．【2018黑龙江齐齐哈尔一模】在()421x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是__________． 【答案】8- 【解析】第一个括号取2x，第二个括号为()114x C - ∴常数项是()1142x 8C x⨯-=- 故答案为： 8-19．【2018江西宜春六校联考】若()1216tan m x x dx -=+⎰，且(20122mm m x a a x a x a x =+++⋯+，则()()220211m m a a a a a -++⋯+-+⋯+的值为__________． 【答案】1点睛：求解这类问题要注意：①区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；②根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1，－1.20．【2018山西山大附中四调】()()()3801121x x a a x ++-=+- ()()282811a x a x +-++- ，则6a =__________．【答案】28【解析】令1x t -= ，则()()382680126821......t t a a t a t a t a t ++-=++++++，设()81t -的展开式含有6t 项， ()8181rr r r T C t -+=-，令86,2r r -== ， 2663828T C t t ==，所以628a =.21．【2018辽宁凌源三校联考】在812x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 项的为p ， 32127x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中含2x -项的为q ，则p q +的最大值为__________.【答案】-【解析】812xx⎛⎫-⎪⎝⎭展开式的通项公式为：8821881122r rr r r r rrT C x x C x---+⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．。