2018闵行区高考数学二模试卷

上海市闵行区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 双曲线22219x y a -=（0a >）的渐近线方程为320x y ±=，则a = 2. 若二元一次方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其解为100x y =⎧⎨=⎩，则12c c += 3. 设m ∈R ，若复数(1)(1)z mi i =++在复平面内对应的点位于实轴上，则m = 4. 定义在R 上的函数()21x f x =-的反函数为1()y f x -=，则1(3)f -= 5. 直线l 的参数方程为112x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则l 的一个法向量为6. 已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n N ∈，{}n a 的前n 项和为n S ，则lim nn nS n a →∞=⋅7. 已知向量a 、b 的夹角为60°，||1a =，||2b =，若(2)()a b xa b +⊥-，则实数x 的值为 8. 若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为 9. 若平面区域的点(,)x y 满足不等式||||14x y k +≤（0k >），且z x y =+的最小值为5-， 则常数k =10. 若函数2()log (1)a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围是 11. 设1234,,,{1,0,2}x x x x ∈-，那么满足12342||||||||4x x x x ≤+++≤的所有有序数对1234(,,,)x x x x 的组数为12. 设*n N ∈，n a 为(4)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，324c t =-，t ∈R ， 1222[][][]555n n n na a ab =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n n t bc -++的最小值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. “0xy =”是“0x =且0y =”成立的（ ） A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件14. 如图，点A 、B 、C 分别在空间直角坐标系O xyz - 的三条坐标轴上，(0,0,2)OC =，平面ABC 的法向量为(2,1,2)n =，设二面角C AB O --的大小为θ，则cos θ=（ ）A. 43B. 53C. 23D. 23-15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列判断一定正确的是（ ） A. 若30S >，则20180a > B. 若30S <，则20180a < C. 若21a a >，则20192018a a > D. 若2111a a >，则20192018a a <16. 给出下列三个命题：命题1：存在奇函数()f x （1x D ∈）和偶函数()g x （2x D ∈），使得函数()()f x g x （12x D D ∈）是偶函数；命题2：存在函数()f x 、()g x 及区间D ，使得()f x 、()g x 在D 上均是增函数，但()()f x g x 在D 上是减函数；命题3：存在函数()f x 、()g x （定义域均为D ），使得()f x 、()g x 在0x x =（0x D ∈）处均取到最大值，但()()f x g x 在0x x =处取到最小值； 那么真命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 、1CC 的中点. （1）求三棱锥E DFC -的体积；（2）求异面直线1A E 与1D F 所成的角的大小.18. 已知函数()3sin cos f x x x ωω=+. （1）当()03f π-=，且||1ω<，求ω的值；（2）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，3a =，3b c +=，当2ω=，()1f A =时，求bc 的值.19. 某公司利用APP 线上、实体店线下销售产品A ，产品A 在上市20天内全部售完，据统计，线上日销售量()f t 、线下日销售量()g t （单位：件）与上市时间t （*t N ∈）天的关 系满足：10110()102001020t t f t t t ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩，2()20g t t t =-+（120t ≤≤），产品A 每件的销售利润为40115()201520t h t t ≤≤⎧=⎨<≤⎩（单位：元）（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）.（1）设该公司产品A 的日销售利润为()F t ，写出()F t 的函数解析式； （2）产品A 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？20. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>），其左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为B ，O 为坐标原点，过2F 的直线l 交椭圆Γ于P 、Q 两点，13sin 3BF O ∠=.（1）若直线l 垂直于x 轴，求12||||PF PF 的值；（2）若2b =，直线l 的斜率为12，则椭圆Γ上是否存在一点E ，使得1F 、E 关于直线l成轴对称？如果存在，求出点E 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设直线1:6l y =上总存在点M 满足2OP OQ OM +=，当b 的取值最小时，求直线l 的倾斜角α.21. 无穷数列{}n a （*n N ∈），若存在正整数t ，使得该数列由t 个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数n ，12,,,n n n t a a a +++⋅⋅⋅中至少有一个等于n a ，则称数列{}n a 具有性质T ，集合*{|,}n P p p a n N ==∈.（1）若(1)n n a =-，*n N ∈，判断数列{}n a 是否具有性质T ；（2）数列{}n a 具有性质T ，且11a =，43a =，82a =，{1,2,3}P =，求20a 的值；（3）数列{}n a 具有性质T ，对于P 中的任意元素i p ，k i a 为第k 个满足k i i a p =的项，记1k k k b i i +=-（*k N ∈），证明：“数列{}k b 具有性质T ”的充要条件为“数列{}n a 是周期为t 的周期数列，且每个周期均包含t 个不同实数”.上海市闵行区区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题1. 双曲线22219x y a -=（0a >）的渐近线方程为320x y ±=，则a = 【解析】2a =2. 若二元一次方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其解为100x y =⎧⎨=⎩，则12c c += 【解析】12103040c c +=+=3. 设m ∈R ，若复数(1)(1)z mi i =++在复平面内对应的点位于实轴上，则m = 【解析】虚部为零，101m m +=⇒=-4. 定义在R 上的函数()21x f x =-的反函数为1()y f x -=，则1(3)f -= 【解析】1213(3)2x f --=⇒=5. 直线l 的参数方程为112x ty t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则l 的一个法向量为【解析】12(1)230y x x y =-+-⇒--=，法向量可以是(2,1)-6. 已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n N ∈，{}n a 的前n 项和为n S ，则lim nn nS n a →∞=⋅【解析】2352n n n S +=，1lim 2n n nS n a →∞=⋅7. 已知向量a 、b 的夹角为60°，||1a =，||2b =，若(2)()a b xa b +⊥-，则实数x 的值为 【解析】(2)()0(21)803a b xa b x x x +⋅-=⇒+--=⇒=8. 若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为 【解析】5R =，4r =，16S π= 9. 若平面区域的点(,)x y 满足不等式||||14x y k +≤（0k >），且z x y =+的最小值为5-， 则常数k =【解析】数形结合，可知图像||||14x y k +=经过点(5,0)-，∴5k = 10. 若函数2()log (1)a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围是 【解析】分类讨论，当01a <<时，没有最小值，当1a >时，即210x ax -+≤有解， ∴02a ∆≥⇒≥，综上，(0,1)[2,)a ∈+∞11. 设1234,,,{1,0,2}x x x x ∈-，那么满足12342||||||||4x x x x ≤+++≤的所有有序数对1234(,,,)x x x x 的组数为【解析】① 1234||||||||2x x x x +++=，有10组；② 1234||||||||3x x x x +++=， 有16组；③ 1234||||||||4x x x x +++=，有19组；综上，共45组 12. 设*n N ∈，n a 为(4)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，324c t =-，t ∈R ， 1222[][][]555n n n na a ab =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n n t bc -++的最小值为【解析】52nnn a =-，2[][]155nn n n na n n n ⋅=-=-，22n n n b -=，22()()n n t b c -++的几何意义为点2(,)2n nn -()n ∈*N 到点3(,2)4t t -的距离，由图得，最小值即(2,1)到324y x =- 的距离，为0.4二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. “0xy =”是“0x =且0y =”成立的（ ） A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【解析】B14. 如图，点A 、B 、C 分别在空间直角坐标系O xyz -的三条坐标轴上，(0,0,2)OC =，平面ABC 的法向量为(2,1,2)n =，设二面角C AB O --的大小为θ，则cos θ=（ ）A.43 B. 53C. 23D. 23- 【解析】42cos 233||||OC n OC n θ⋅===⋅⋅，选C15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列判断一定正确的是（ ）A. 若30S >，则20180a >B. 若30S <，则20180a <C. 若21a a >，则20192018a a >D. 若2111a a >，则20192018a a < 【解析】A 反例，11a =，22a =-，34a =，则20180a <；B 反例，14a =-，22a =，31a =-，则20180a >；C 反例同B 反例，201920180a a <<；故选D16. 给出下列三个命题：命题1：存在奇函数()f x （1x D ∈）和偶函数()g x （2x D ∈），使得函数()()f x g x （12x D D ∈）是偶函数；命题2：存在函数()f x 、()g x 及区间D ，使得()f x 、()g x 在D 上均是增函数，但()()f x g x 在D 上是减函数；命题3：存在函数()f x 、()g x （定义域均为D ），使得()f x 、()g x 在0x x =（0x D ∈）处均取到最大值，但()()f x g x 在0x x =处取到最小值； 那么真命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【解析】命题1：()()0f x g x ==，x ∈R ；命题2：()()f x g x x ==，(,0)x ∈-∞； 命题3：2()()f x g x x ==-，x ∈R ；均为真命题，选D三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 、1CC 的中点. （1）求三棱锥E DFC -的体积；（2）求异面直线1A E 与1D F 所成的角的大小.【解析】（1）121233V =⨯⨯= （2）5524cos 5255θ+-==⋅⋅，所成角为4arccos 518. 已知函数()3sin cos f x x x ωω=+. （1）当()03f π-=，且||1ω<，求ω的值；（2）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，3a =，3b c +=，当2ω=，()1f A =时，求bc 的值.【解析】（1）()2sin()6f x x πω=+，()0336f k πωπππ-=⇒-+=，||1ω<，∴12ω=（2）()1f A =⇒3A π=，由余弦定理，2bc =19. 某公司利用APP 线上、实体店线下销售产品A ，产品A 在上市20天内全部售完，据统计，线上日销售量()f t 、线下日销售量()g t （单位：件）与上市时间t （*t N ∈）天的关 系满足：10110()102001020t t f t t t ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩，2()20g t t t =-+（120t ≤≤），产品A 每件的销售利润为40115()201520t h t t ≤≤⎧=⎨<≤⎩（单位：元）（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）.（1）设该公司产品A 的日销售利润为()F t ，写出()F t 的函数解析式； （2）产品A 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？【解析】（1）22240(30),110()40(10200),101520(10200),1520t t t F t t t t t t t ⎧-+≤≤⎪=-++<≤⎨⎪-++<≤⎩（2）()5000515F t t ≥⇒≤≤，第5天到第15天20. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>），其左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为B ，O 为坐标原点，过2F 的直线l 交椭圆Γ于P 、Q 两点，13sin 3BF O ∠=.（1）若直线l 垂直于x 轴，求12||||PF PF 的值；（2）若2b =，直线l 的斜率为12，则椭圆Γ上是否存在一点E ，使得1F 、E 关于直线l成轴对称？如果存在，求出点E 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设直线1:6l y =上总存在点M 满足2OP OQ OM +=，当b 的取值最小时，求直线l 的倾斜角α.【解析】（1）22231x y b +=，:2l x b =，233PF b =，1533PF b =，12||5||PF PF =实用标准文档 （2）22231x y +=，1:(2)2l y x =-，1(2,0)F -，关于l 对称点216(,)55E --，不在椭圆上 （3）设:(2)l y k x b =-，点差得1:3OM l y x k=-，联立1:6l y =，得(36,6)M k -， 代入直线l ，6(362)k k b =--，∴3336b k k =--≥，33k =-，56πα=21. 无穷数列{}n a （*n N ∈），若存在正整数t ，使得该数列由t 个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数n ，12,,,n n n t a a a +++⋅⋅⋅中至少有一个等于n a ，则称数列{}n a 具有性质T ，集合*{|,}n P p p a n N ==∈.（1）若(1)n n a =-，*n N ∈，判断数列{}n a 是否具有性质T ；（2）数列{}n a 具有性质T ，且11a =，43a =，82a =，{1,2,3}P =，求20a 的值；（3）数列{}n a 具有性质T ，对于P 中的任意元素i p ，k i a 为第k 个满足k i i a p =的项，记1k k k b i i +=-（*k N ∈），证明：“数列{}k b 具有性质T ”的充要条件为“数列{}n a 是周期为t 的周期数列，且每个周期均包含t 个不同实数”.【解析】（1）2t =，对任意正整数n ，2n n a a +=恒成立，∴具有性质T（2）分类讨论，得结论，6n ≥，{}n a 有周期性，周期为3，∴2082a a ==（3）略。

(2018虹口二模5) 已知函数f (x)2xx2 1x 0，则f1[f1( 9)]—2018上海高三数学二模——函数汇编2(2018宝山二模)10.设奇函数f(x)定义为R，且当x 0时，f(x) x m 1 (这里xm为正常数).若f(x) m 2对一切x 0成立，则m的取值范围是答案：2,(2018宝山二模)15.若函数f x x R满足f 1 x、f 1 x均为奇函数，则下列四个结论正确的是( ) (A) f x为奇函数(B) f x为偶函数(C) f x 3为奇函数(D) f x 3为偶函数答案：C(2018宝山二模)19.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技术具有方法简便且经济效益好的特点，研究表明: 用该技术进行淡水养虾时，在一定的条件下，每尾虾的平均生长速度为g(x)(单位：千克/年)养殖密度为x,x 0 (单位：尾/立方分米)。

当x不超过4时，g(x)的值恒为2 ;当4 x 20 , g(x)是x的一次函数，且当x达到20时，因养殖空间受限等原因，g(x)的值为0.(1 )当0 x 20时，求函数g(x)的表达式。

(2)在(1)的条件下，求函数f (x) x g(x)的最大值。

2,x 0,41 5 , x N ； (2) 12.5千克/立方分米x ,x 4,208 2答案：(1) g x【解析】f 1(x) 、X, x 0, f 1( 9)3, f 1[f 1( 9)] f 1 (3) 2log 2(x 1), x 07 1(2018虹口二模11) [x]是不超过x 的最大整数，贝U 方程(2X )2 - [2X ] - 0满足x 14 4的所有实数解是 _________ 【解析】当 0x1 , [2x ] 1(2x )2 2 x 1 ；当 x 0 , [2x ] 0 , (2x )2 -,2 4••• x 1，二满足条件的所有实数解为x 0.5或x 1 (2018 虹口二模 21)已知函数 f(x) ax 3 x a (a R , x R ), g(x) 二(x R ).1 x(3)证明：函数f (x)存在零点q ，使得a q q 4q -q 3n 2成立的充要条件是34a.3I 解析】(1) f(二)02aq q 4 q - q 3n 2成立，根据无穷等比数列相关性质，q ( 1,1),1 qqV4 ^4结合第(2)问，a 茲 在(1,-］上递减，在［ ----------------------- ,1)上递增，1 q 32 2 q 诉V4 、、、二 a ( ------ )min g( ^ )-，反之亦然. 1 q 23(1) 如果x 4是关于x 的不等式2f (x) 0的解，求实数a 的取值范围;(2) (2)根据单调性定义分析，在(3) “函数 f (x)存在零点q ，使得a q q 4 q -3n 2q成立”说明判断g(x)在(1,,1)的单调性，并说明理由;和,1)上递增;(1,丁上递减，在（2018杨浦二模1）函数y Igx 1的零点是________________答案：x 10（2018杨浦二模17）（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用•据市场分析，每辆单车的营运累计利润y（单位：元）与营运天数x x N*满足1 2y x 60x 800.2（1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围;（2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润—的值最大?x【解】（1）要使营运累计收入高于800元，人 1 2令—x260x 800 800 , ............................................ 2 分2解得40 x 80. ........................................ 5分所以营运天数的取值范围为40到80天之间. ........................ 7分(2018杨浦二模21)(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小 题满分8分)记函数f(x)的定义域为D.如果存在实数a 、b 使得f(a x) f (a x) b 对任意满足a x D 且a x D 的x 恒成立，则称f (x)为 函数•1(1) 设函数f(x) 1，试判断f(x)是否为 函数，并说明理由；x1(2) 设函数g(x) 2—t ，其中常数t 0,证明：g(x)是 函数；(3) 若h(x)是定义在R 上的 函数，且函数h(x)的图象关于直线x m ( m 为常数)对称，试判断h(x)是否为周期函数？并证明你的结论•【解】1(1)f (x)1 是 函数... 1分x理由如下：f (x)1 1的定义域为｛ x |x 0｝，x只需证明存在实数 a ， b 使得 f (a x) f (a x)b 对任意x a 恒成立•1 1a x a x（2） 丫x1 800 x 60 ..........2 x.................................. 9 分2、400 60 20当且仅当 1 800 —x 时等号成立，解得x 400…2 x................ 1分 所以每辆单车营运 400天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大为 20元每天.…14分由f(a x) f (a x)b，得——2b，即b 2a x a x(a x)(a x)所以(b 2)(a2x2)2a对任意x a恒成立即b 2,a 0.从而存在a 0,b 2，使f (a x) f (a x) b 对任意x a 恒成立.所以f(x) 11是函数.x(取 t x 2m 2a 由(3)得)(2)记g(x)的定义域为D ，只需证明存在实数a ，b 使得当a x D 且a x D 时，g(a x) g(a x)b 恒成立，即1 2ax t1 2ax tb 恒成立.所以 2a x t 2a x t b(2a x t)(2a x t)，化简得，(1 bt)(2a x 2a x)2ab(2 2t ) 2t .所以 1 bt 0,b(22a t 2) 2t 0•因为 tlOg 2 | t | ,1即存在实数a ，b 满足条件，从而g(x) 一—是函数•2x t10分所以h(m x) h(m x)(1),又因为h(a x) h(a x) b(2),h(x 2m 2a) h[m (x m 2a)]由(1 )h[m (x m 2a)] h(2a 由(2)b h[a (a x)] b h(x)......... 12分所以当m a 时，x) h[a (a x)](3)所以 h(x 4m 4a)h[(x 2m 2a) 2m 2a] b h(x 2m 2a)(3)函数h(x)的图象关于直线x m ( m 为常数)对称,(x 4再利用(3)式，h(x 4m 4a) b [b h(x)] h(x).所以f(x)为周期函数，其一个周期为 4m 4a. .............. 15分当 m a 时，即 h(a x) h(a x)，又 h(a x) b h(a x),b所以h(a x)-为常数.2所以函数h(x)为常数函数，bh(x 1) h(x) - , h(x)是一个周期函数......... 17分综上，函数h(x)为周期函数。

2018年上海市闵行区高考数学二模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 双曲线x 2a −y 29=1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a ＝________【答案】2【考点】双曲线的离心率 【解析】根据题意，由双曲线的标准方程可得渐近线方程，结合题意可得3a =32，解可得a 的值． 【解答】 根据题意，双曲线x 2a−y 29=1的焦点在x 轴上，其渐近线方程y ＝±3a x ，若双曲线的渐近线方程为3x ±2y ＝0，即y ＝±32x 则有3a =32，则a ＝2；2. 若二元一次方程组的增广矩阵是(12c 134c 2)，其解为{x =10y =0 ，则c 1+c 2=________【答案】 40【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组 【解析】由题意{c 1=10+2×0=10c 2=3×10+4×0=30 ，由此能求出c 1+c 2的值． 【解答】∵ 二元一次方程组的增广矩阵是(12c 134c 2)，其解为{x =10y =0 ，∴ {c 1=10+2×0=10c 2=3×10+4×0=30，∴ c 1+c 2=10+30=40．3. 设m ∈R ，若复数z =(1+mi)(1+i)在复平面内对应的点位于实轴上，则m =________ 【答案】 −1【考点】 复数的运算 【解析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由虚部等于0求解即可得答案． 【解答】∵ 复数z =(1+mi)(1+i)=1−m +(1+m)i 在复平面内对应的点位于实轴上， ∴ 1+m =0，即m =−1．4. 定义在R 上的函数f(x)=2x −1的反函数为y =f −1(x)，则f −1(3)=________ 【答案】 2【考点】 反函数 【解析】求出函数的解析式，代值计算即可． 【解答】∵ f(x)=2x −1，∴ y =f −1(x)=log 2(x +1)， ∴ f −1(3)=2．5. 直线l 的参数方程为{x =1+ty =−1+2t （t 为参数），则l 的一个法向量为________【答案】 (2, −1) 【考点】直线的参数方程 【解析】根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程，分析可得直线l 的方向向量，进而由方向向量的定义分析可得答案． 【解答】根据题意，直线l 的参数方程为{x =1+ty =−1+2t ，则直线的普通方程2x −y −3=0， 其一个方向向量为(1, 2)， 则其一个法向量为(2, −1)；6. 已知数列{a n }，其通项公式为a n =3n +1，n ∈N ∗，{a n }的前n 项和为S n ，则limn→∞S nn∗a n=________【答案】 12【考点】数列的求和 数列的极限 【解析】由等差数列的求和公式和极限的运算性质，计算可得所求值． 【解答】数列{a n }，其通项公式为a n =3n +1，n ∈N ∗， {a n }的前n 项和为S n ， 可得S n =12n(4+3n +1)=3n 2+5n2，则limn→∞S nn∗a n=limn→∞3n 2+5n2n(3n+1)=lim n→∞3+5n 6+2n=3+06+0=12，7. 已知向量a →、b →的夹角为60∘，|a →|=1，|b →|=2，若(a →+2b →)⊥(xa →−b →)，则实数x 的值为________ 【答案】 3【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】根据题意，由数量积的计算公式可得a →⋅b →的值，又由向量垂直与向量数量积的关系可得(a →+2b →)⋅(xa →−b →)=xa →2+a →⋅b →+2xa →⋅b →−2b →2=x +(2x −1)−8=0，解可得x的值，即可得答案． 【解答】根据题意，向量a →、b →的夹角为60∘，|a →|=1，|b →|=2，则a →⋅b →=1×2×12=1，若(a →+2b →)⊥(xa →−b →)，则(a →+2b →)⋅(xa →−b →)=xa →2−a →⋅b →+2xa →⋅b →−2b →2=x +(2x −1)−8=0， 解可得x =3；8. 若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为________ 【答案】 16π【考点】球的体积和表面积 【解析】先求出球的半径，然后利用球的半径、球心到平面α的距离，平面α截球所得圆面的半径三者满足勾股定理可计算出截面圆的半径，从而求出截面圆的面积． 【解答】设球的半径为R ，球心到平面α的距离为d ，平面α截球所得圆面的半径为r ，则d =3， 由于球的表面积为100π，即4πR 2=100π，则R =5， 由勾股定理可得r =2−d 2=√52−32=4，因此，平面α截球所得圆面的面积为πr 2=π×42=16π，9. 若平面区域的点(x, y)满足不等式|x|k+|y|4≤1(k >0)，且z =x +y 的最小值为−5，则常数k =________ 【答案】 5【考点】 简单线性规划 【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最小值，转化求解k即可．【解答】平面区域的点(x, y)满足不等式|x|k +|y|4≤1(k>0)，可行域如图：可知图象|x|k +|y|4=1(k>0)，经过点(−5, 0)，目标函数取得最小值，∴k=510. 若函数f(x)=log a(x2−ax+1)(a>0且a≠1)没有最小值，则a的取值范围是________【答案】(0, 1)∪[2, +∞)【考点】对数函数的图象与性质【解析】当0<a<1时，没有最小值，当a>1时，即x2−ax+1≤0有解，△=a2−4≥0，解得a≥2，由此能求出a的取值范围．【解答】函数f(x)=log a(x2−ax+1)(a>0且a≠1)没有最小值，当0<a<1时，没有最小值，当a>1时，即x2−ax+1≤0有解，∴△=a2−4≥0，解得a≥2，综上，a的取值范围是(0, 1)∪[2, +∞)．11. 设x1，x2，x3，x4∈{−1, 0, 2}，那么满足2≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|≤4的所有有序数对(x1, x2, x3, x4)的组数为________【答案】45【考点】分类加法计数原理【解析】根据分类计数原理可得．【解答】①|x1|+|x2|+|x3|+|x4|=2，0+0+0+2=2，有4种，1+0+1+0=2，有6种，故有10组；②：|x1|+|x2|+|x3|+|x4|=3，0+1+1+1=3，有4种，0+1+2+0=3，有C41C31=12种，故有16组；③：|x1|+|x2|+|x3|+|x4|=4，1+1+1+1=4，有1种，0+1+1+2=4，有C41C31=12种，0+0+2+2=4，有12C41C31=6种，故有19组；综上，共45组，12. 设n∈N∗，a n为(x+4)n−(x+1)n的展开式的各项系数之和，c=34t−2，t∈R，b n=[a15]+[2a252]+...+[na n5n]（[x]表示不超过实数x的最大整数），则(n−t)2+(b n+c)2的最小值为________ 【答案】425【考点】二项式定理的应用【解析】令x=1可得，a n=5n−2n，[na n5n ]=[n−n∗2n5nbrack=n−1，b n=n2−n2，则(n−t)2+(b n+c)2的几何意义为点(n, n2−n2)(n∈N∗)到点(t, 2−34t)的距离，然后由点到直线的距离公式求解即可得答案．【解答】令x=1可得，a n=5n−2n，[na n5n ]=[n−n∗2n5nbrack=n−1，b n=[a15]+[2a252]+...+[na n5n]=1+2+...+(n−1)=n2−n2，则(n−t)2+(b n+c)2的几何意义为点(n, n2−n2)(n∈N∗)到点(t, 2−34t)的距离的平方，最小值即(2, 1)到y=2−34x的距离d的平方，∵d=√32+42=0.4，∴(n−t)2+(b n+c)2的最小值为425．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）“xy=0”是“x=0且y=0”成立的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】由xy=0得x=0或y=0，即当x=0，y≠0时，也成立，但x=0且y=0不成立，若x=0且y=0，则xy=0成立，即“xy=0”是“x=0且y=0”成立的必要不充分条件，如图，点A、B、C分别在空间直角坐标系O−xyz的三条坐标轴上，OC→=(0, 0, 2)，平面ABC的法向量为n→=(2, 1, 2)，设二面角C−AB−O的大小为θ，则cosθ=()A.43B.√53C.23D.−23【答案】 C【考点】二面角的平面角及求法 【解析】 利用cosθ=OC →∗n→|OC →|∗|n →|直接求解．【解答】∵ 点A 、B 、C 分别在空间直角坐标系O −xyz 的三条坐标轴上， OC →=(0, 0, 2)，平面ABC 的法向量为n →=(2, 1, 2)， 二面角C −AB −O 的大小为θ， ∴ cosθ=OC →∗n→|OC →|∗|n →|=42×3=23．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断一定正确的是（ ） A.若S 3>0，则a 2018>0 B.若S 3<0，则a 2018<0C.若a 2>a 1，则2019>a 2018D.若1a 2>1a 1，则a 2019<a 2018【答案】 D【考点】等比数列的前n 项和 【解析】A ．反例，a 1=1，a 2=−2，a 3=4，即可判断出正误；B ．反例，a 1=−4，a 2=2，a 3=−1，即可判断出正误；C ．反例同B 反例； 进而判断出D 的正误． 【解答】A ．反例，a 1=1，a 2=−2，a 3=4，则a 2008<0；B ．反例，a 1=−4，a 2=2，a 3=−1，则a 2008>0；C ．反例同B 反例，a 2019<0<a 2018；给出下列三个命题：命题1：存在奇函数f(x)(x ∈D 1)和偶函数g(x)(x ∈D 2)，使得函数f(x)g(x)(x ∈D 1∩D 2)）是偶函数；命题2：存在函数f(x)、g(x)及区间D ，使得f(x)、g(x)在D 上均是增函数，但f(x)g(x)在D上是减函数；命题3：存在函数f(x)、g(x)（定义域均为D），使得f(x)、g(x)在x=x0(x o∈D)处均取到最大值，但f(x)g(x)在x=x0处取到最小值；那么真命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据题意，举例说明命题是否正确即可．【解答】对于命题1，当f(x)=g(x)=0，x∈R时；满足f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)g(x)是偶函数；对于命题2，当f(x)=g(x)=x，x∈(−∞, 0)时，满足f(x)、g(x)在D上均是增函数，但f(x)g(x)在D上是减函数；对于命题3：当f(x)=g(x)=−x2，x∈R时，f(x)、g(x)在x=0处均取到最大值，但f(x)g(x)在x=0处取到最小值；综上，命题1，2，3均为真命题．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别是AB、CC1的中点．（1）求三棱锥E−DFC的体积；（2）求异面直线A1E与D1F所成的角的大小．【答案】∵在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别是AB、CC1的中点．∴点E到平面DFC的距离d=AD=2S△DFC=12×FC×DC=12×1×2=1，∴三棱锥E−DFC的体积V=13×S△DFC×d=13×1×2=23．取BB1的中点G，连结A1G，EG，则A1G // D1F，∴∠EA1G是异面直线A1E与D1F所成的角（或所成角的补角），∵A1G=√A1B12+B1G2=√4+1=√5，A1E=A1G=√5，EG=√BE2+BG2=√1+1=√2，∴cos∠EA1G=A1E2+A1G2−EG22×A1E×A1G =2×5×5=45，∴∠EA1G=arccos45，∴异面直线A1E与D1F所成角为arccos45．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算异面直线及其所成的角【解析】（1）点E到平面DFC的距离d=AD=S△DFC=12×FC×DC=12×1×2=1，由此能求出三棱锥E−DFC的体积．（2）取BB1的中点G，连结A1G，EG，则A1G // D1F，从而∠EA1G是异面直线A1E与D1F所成的角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A1E与D1F所成角．【解答】∵在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别是AB、CC1的中点．∴点E到平面DFC的距离d=AD=2S△DFC=12×FC×DC=12×1×2=1，∴三棱锥E−DFC的体积V=13×S△DFC×d=13×1×2=23．取BB1的中点G，连结A1G，EG，则A1G // D1F，∴∠EA1G是异面直线A1E与D1F所成的角（或所成角的补角），∵A1G=√A1B12+B1G2=√4+1=√5，A1E=A1G=√5，EG=√BE2+BG2=√1+1=√2，∴cos∠EA1G=A1E2+A1G2−EG22×A1E×A1G =2×√5×√5=45，∴∠EA1G=arccos45，∴异面直线A1E与D1F所成角为arccos45．已知函数f(x)=√3sinωx+cosωx．（1）当f(−π3)=0，且|ω|<1，求ω的值；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=√3，b+c=3，当ω=2，f(A)=1时，求bc的值．【答案】函数f(x)=√3sinωx+cosωx=2sin(ωx+π6)．∵f(−π3)=0，即−πω3+π6=kπ，k∈Z且|ω|<1，∴ω=12．由ω=2，f(A)=1，即2sin(2A+π6)=1∵0<A<π∴A=π3由余弦定理，cosA=b2+c2−a22bc即bc=(b+c)2−bc−a2解得：bc=2．【考点】三角函数中的恒等变换应用正弦函数的图象【解析】（1）利用辅助角公式化简，f(−π3)=0，且|ω|<1，即可求解ω的值；（2）由a=√3，b+c=3，当ω=2，f(A)=1时，利用余弦定理即可求解bc的值．【解答】函数f(x)=√3sinωx+cosωx=2sin(ωx+π6)．∵f(−π3)=0，即−πω3+π6=kπ，k∈Z且|ω|<1，∴ω=12．由ω=2，f(A)=1，即2sin(2A+π6)=1∵0<A<π∴A=π3由余弦定理，cosA=b2+c2−a22bc即bc=(b+c)2−bc−a2解得：bc=2．某公司利用APP线上、实体店线下销售产品A，产品A在上市20天内全部售完，据统计，线上日销售量f(t)、线下日销售量g(t)（单位：件）与上市时间t(t∈N∗)天的关系满足：f(t)={10t,1≤t ≤10−10t +200,10<t ≤20 ，g(t)=−t 2+20t(1≤t ≤20)，产品A 每件的销售利润为ℎ(t)={40;1≤t ≤1520;15<t ≤20 （单位：元）（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）．（1）设该公司产品A 的日销售利润为F(t)，写出F(t)的函数解析式；（2）产品A 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？ 【答案】F(t)={40(−t 2+30t),1≤t ≤1040(−t 2+10t +200),10<t ≤1520(−t 2+10t +200),15<t ≤20．令F(t)≥5000，①当1≤t ≤10时，40(−t 2+30t)≥5000，解得5≤t ≤25， ∴ 5≤t ≤10．②当10<t ≤15时，40(−t 2+10t +200)≥5000，解得−5≤t ≤15， ∴ 10<t ≤15．③当15<t ≤20时，20(−t 2+10t +200)≥5000，方程无解． 综上，5≤t ≤15．∴ 产品上市的第5天到第15天给公司带来的日销售利润不低于5000元． 【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】（1）根据利润公式和产品销量得出F(t)的解析式； （2）分情况解不等式得出t 的范围． 【解答】F(t)={40(−t 2+30t),1≤t ≤1040(−t 2+10t +200),10<t ≤1520(−t 2+10t +200),15<t ≤20．令F(t)≥5000，①当1≤t ≤10时，40(−t 2+30t)≥5000，解得5≤t ≤25， ∴ 5≤t ≤10．②当10<t ≤15时，40(−t 2+10t +200)≥5000，解得−5≤t ≤15， ∴ 10<t ≤15．③当15<t ≤20时，20(−t 2+10t +200)≥5000，方程无解． 综上，5≤t ≤15．∴ 产品上市的第5天到第15天给公司带来的日销售利润不低于5000元．已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，其左、右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为B ，O 为坐标原点，过F 2的直线l 交椭圆Γ于P 、Q 两点，sin∠BF 1O =√33． （1）若直线l 垂直于x 轴，求|PF 1||PF 2|的值；（2）若b =√2，直线l 的斜率为12，则椭圆Γ上是否存在一点E ，使得F 1、E 关于直线l成轴对称？如果存在，求出点E 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设直线l 1:y =√6上总存在点M 满足OP →+OQ →=2OM →，当b 的取值最小时，求直线l 的倾斜角α． 【答案】∵ sin∠BF 1O =√33，∴ ba =√33，∴ c =√a 2−b 2=√2b ，∴ 直线l 的方程为：x =√2b ．把x =√2b 代入椭圆方程可得：2b 23b +y 2b =1，解得y P =√33b ，∴ |PF 2|=√33b ，∴ |PF 1|=√4c 2+(√33b)2=5√33b ，∴ |PF 1||PF 2|=5．b =√2时，椭圆的标准方程为：x 26+y 22=1．c =2．F 2(2, 0)，直线l 的方程为：y =12(x −2)， 设点关于l 对称点E(m, n)，则n2=12(2+m2−2)，nm−2×12=−1，解得m =−25，n =−165，即E(−25, −165)． 代入椭圆方程：425×6+16225×2≠1，因此点E 不在椭圆上．设l:y =k(x −√2b)，(k <0) 代入椭圆的方程可得：x 23b 2+k 2(x−√2b)2b 2=1，化为：(1+3k 2)x 2−6√2k 2bx +6k 2b 2−3b 2=0， ∴ x 1+x 2=6√2k 2b 1+3k 2， ∵ 直线l 1:y =√6上总存在点M 满足OP →+OQ →=2OM →， ∴ 点M 是线段PQ 的中点．∴ x M =3√2k 2b 1+3k 2，y M =k(3√2k 2b1+3k2−√2b)=√6，解得：b =−√3(1+3k 2)k，∴ x M =−3√6k ，可得M(−3√6k,√6)， ∴ b =−√3(1+3k 2)k=−√3k−3√3k ≥6，当且仅当k =−√33时，b 取得最小值6．直线l 的倾斜角α满足：tanα=−√33，α=5π6．【考点】 椭圆的定义【解析】（1）由sin∠BF 1O =√33，可得b a =√33，c =√a 2−b 2=√2b ，可得直线l 的方程为：x =√2b ．把x =√2b 代入椭圆方程可得：2b 23b 2+y 2b 2=1，解得y P ，可得|PF 2|，|PF 1|．即可得出|PF 1||PF 2|．（2）b =√2时，椭圆的标准方程为：x 26+y 22=1．c =2．F 2(2, 0)，直线l 的方程为：y =12(x −2)，设点关于l 对称点E(m, n)，则n2=12(2+m 2−2)，n m−2×12=−1，解出代入椭圆方程验证即可得出结论．（3）设l:y =k(x −√2b)，(k <0)．代入椭圆的方程可得：x 23b 2+k 2(x−√2b)2b 2=1，化为：(1+3k 2)x 2−6√2k 2bx +6k 2b 2−3b 2=0，根据直线l 1:y =√6上总存在点M 满足OP →+OQ →=2OM →，可得点M 是线段PQ 的中点．利用根与系数的关系、中点坐标公式可得：b =−√3(1+3k 2)k，即可得出．【解答】∵ sin∠BF 1O =√33，∴ b a =√33，∴ c =√a 2−b 2=√2b ，∴ 直线l 的方程为：x =√2b ．把x =√2b 代入椭圆方程可得：2b 23b2+y 2b 2=1，解得y P =√33b ，∴ |PF 2|=√33b ，∴ |PF 1|=(√33=5√33b ，∴ |PF 1||PF 2|=5．b =√2时，椭圆的标准方程为：x 26+y 22=1．c =2．F 2(2, 0)，直线l 的方程为：y =12(x −2)， 设点关于l 对称点E(m, n)，则n2=12(2+m2−2)，n m−2×12=−1，解得m =−25，n =−165，即E(−25, −165)． 代入椭圆方程：425×6+16225×2≠1，因此点E 不在椭圆上． 设l:y =k(x −√2b)，(k <0) 代入椭圆的方程可得：x 23b 2+k 2(x−√2b)2b 2=1，化为：(1+3k 2)x 2−6√2k 2bx +6k 2b 2−3b 2=0，∴ x 1+x 2=6√2k 2b1+3k2，∵ 直线l 1:y =√6上总存在点M 满足OP →+OQ →=2OM →，∴ 点M 是线段PQ 的中点．∴ x M =3√2k 2b 1+3k2，y M =k(3√2k 2b1+3k2−√2b)=√6，解得：b =−√3(1+3k 2)k，∴ x M =−3√6k ，可得M(−3√6k,√6)， ∴ b =−√3(1+3k 2)k=−√3k−3√3k ≥6，当且仅当k =−√33时，b 取得最小值6．直线l 的倾斜角α满足：tanα=−√33，α=5π6．无穷数列{a n }(n ∈N ∗)，若存在正整数t ，使得该数列由t 个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数n ，a n+1，a n+2，…a n+t 中至少有一个等于a n ，则称数列{a n } 具有性质T ，集合P ={p|p =a n , n ∈N ∗}．（1）若a n =(−1)n ，n ∈N ∗，判断数列{a n } 是否具有性质T ；（2）数列{a n } 具有性质T ，且a 11，a 4=3，a 8=2，P ={1, 2, 3}，求a 20的值；（3）数列{a n } 具有性质T ，对于P 中的任意元素p i ，a i k 为第k 个满足a i k =p i 的项，记b k =i k+1−i k (k ∈N ∗)，证明：“数列{b k }具有性质T ”的充要条件为“数列{a n } 是周期为t 的周期数列，且每个周期均包含t 个不同实数”． 【答案】∵ a n =(−1)n ，∴ {a n }是由2个不同元素组成的无穷数列，且是周期为2的周期数列， 故t =2，{a n }是周期为2的周期数列，对任意的正整数n ，有a n+2=a n ，满足性质T 的条件， 故数列{a n } 具有性质T ；由a 1=1，a 4=3，a 8=2，P ={1, 2, 3}，可知t =3，考虑a 8后面连续三项a 9，a 10，a 11，若a 11≠2，由a 8=2及T 性质知，a 9，a 10中必有一个数为2，于是，a 8，a 9，a 10中有两项为2，故必有1或3不在其中，不妨设为i(i =1或3)，考虑a 1，a 2，…，a 7中，最后一个等于i 的项，则该项的后三项均不等于i ，故不满足性质T 中的条件，矛盾，于是a 11=2． 同理可得：a 14=a 17=a 20=2；证明：充分性、由数列{a n } 是周期为t 的周期数列，每个周期均包含P 中t 个不同元素， 对于P 中的任意元素p i ，a i k 为第k 个满足a i k =p i 的项，故由周期性得：i k+1=i k +t ， 于是，b k =i k+1−i k =t ，数列{b k }为常数列，显然满足性质T ．必要性、取足够大的N ，使a 1，a 2，a 3，…，a N 包含P 中t 个所有互不相等的元素，考虑a N 后的连续t 项a N+1，a N+2，…，a N+t ，对于P 中任意元素p i ，必等于a N+1，a N+2，…，a N+t 中的某一个，否则考虑a 1，a 2，…，a N 中最后一个等于p i 的项，该项不满足性质T 中的条件，矛盾． 由p i 的任意性知，a N+1，a N+2，…，a N+t 这t 个元素恰好等于P 中t 个互不相同的元素， 再由数列{a n } 性质T 中的条件得，a N+t+1=a N+1，a N+t+2=a N+2，…于是对于P 中的任意元素p i ，存在N′，有b k =i k+1−i k =t(n ≥N′)，即数列{b N′+k }为常数列，而数列{b k}满足性质T，故{b k}为常数列，从而{a n}是周期数列，故数列{a n}是“周期为t的周期数列，且每个周期均包含t个不同实数”．【考点】数列的应用【解析】（1）由数列通项公式可得{a n}是由2个不同元素组成的无穷数列，且是周期为2的周期数列，对任意的正整数n，有a n+2=a n，满足性质T的条件，故数列{a n}具有性质T；（2）由题意可知t=3，考虑a8后面连续三项a9，a10，a11，由反证法说明a11= 2．同理可得：a14=a17=a20=2；（3）充分性、由数列{a n}是周期为t的周期数列，每个周期均包含P中t个不同元素，对于P中的任意元素p i，a ik 为第k个满足a ik=p i的项，由周期性得i k+1=i k+t，可得b k=i k+1−i k=t，则数列{b k}为常数列，满足性质T．必要性、取足够大的N，使a1，a2，a3，…，a N包含P中t个所有互不相等的元素，考虑a N后的连续t项a N+1，a N+2，…，a N+t，对于P中任意元素p i，必等于a N+1，a N+2，…，a N+t中的某一个，否则考虑a1，a2，…，a N中最后一个等于p i的项，该项不满足性质T中的条件，矛盾．由p i的任意性知，a N+1，a N+2，…，a N+t这t个元素恰好等于P中t个互不相同的元素，再由数列{a n}性质T中的条件得，a N+t+1=a N+1，a N+t+2=a N+2，…，于是对于P中的任意元素p i，存在N′，有b k=i k+1−i k=t(n≥N′)，即数列{b N′+k}为常数列，而数列{b k}满足性质T，故{b k}为常数列，从而{a n}是周期数列．【解答】∵a n=(−1)n，∴{a n}是由2个不同元素组成的无穷数列，且是周期为2的周期数列，故t=2，{a n}是周期为2的周期数列，对任意的正整数n，有a n+2=a n，满足性质T的条件，故数列{a n}具有性质T；由a1=1，a4=3，a8=2，P={1, 2, 3}，可知t=3，考虑a8后面连续三项a9，a10，a11，若a11≠2，由a8=2及T性质知，a9，a10中必有一个数为2，于是，a8，a9，a10中有两项为2，故必有1或3不在其中，不妨设为i(i=1或3)，考虑a1，a2，…，a7中，最后一个等于i的项，则该项的后三项均不等于i，故不满足性质T中的条件，矛盾，于是a11=2．同理可得：a14=a17=a20=2；证明：充分性、由数列{a n}是周期为t的周期数列，每个周期均包含P中t个不同元素，对于P中的任意元素p i，a ik 为第k个满足a ik=p i的项，故由周期性得：i k+1=i k+t，于是，b k=i k+1−i k=t，数列{b k}为常数列，显然满足性质T．必要性、取足够大的N，使a1，a2，a3，…，a N包含P中t个所有互不相等的元素，考虑a N后的连续t项a N+1，a N+2，…，a N+t，对于P中任意元素p i，必等于a N+1，a N+2，…，a N+t中的某一个，否则考虑a1，a2，…，a N中最后一个等于p i的项，该项不满足性质T中的条件，矛盾．由p i的任意性知，a N+1，a N+2，…，a N+t这t个元素恰好等于P中t个互不相同的元素，再由数列{a n}性质T中的条件得，a N+t+1=a N+1，a N+t+2=a N+2，…于是对于P中的任意元素p i，存在N′，有b k=i k+1−i k=t(n≥N′)，即数列{b N′+k}为常数列，而数列{b k}满足性质T，故{b k}为常数列，从而{a n}是周期数列，故数列{a n}是“周期为t的周期数列，且每个周期均包含t个不同实数”．。

市闵行区2018届高三二模数学试卷一.填空题（本大题共12题,1・6每题4分，7・12每题5分，共54分）2 21.双曲线二一二=1（6/>0）的渐近线方程为3x±2y = 0,则。

= ______________9（\ ? c\fr = 1（）2•若二元一次方程组的增广矩阵是1，其解为「二，则q+q=3.设meR,若复数z = （l +〃4）（1 +。

在复平而对应的点位于实轴上，则〃?=4.定义在R上的函数/（幻=2'-1的反函数为y = /7（x）,则尸⑶=5.直线/的参数方程为《一.八（/为参数），则/的一个法向量为y = -\ + 2tC6.已知数列｛〃〃｝,其通项公式为q=3〃 + 1, 〃£“，｛/｝的前〃项和为S”，则lim—」一二J—〃. a7.已知向量a、/；的夹角为60。

，1/7 1=2,若（〃 + 2/；），（刈一/；）,则实数x的值为8.若球的表面积为100%，平而。

与球心的距离为3,则平而。

截球所得的圆面面积为一9.若平而区域的点（.y）满足不等式巴+ 1］（1 （攵>0）,且z = x+y的最小值为一5, k 4则常数％=10.若函数/（x） = logaCT—ax + l）（4>0且aH1）没有最小值，则。

的取值围是11.设为/2，0xw｛T，°，2｝，那么满足29% 1 + 1勺1 + 1勺+ MK4的所有有序数对（% ,七，刍，A4）的组数为312.设〃wN ,。

“为（x + 4）〃—（x + l）〃的展开式的各项系数之和，c =」/ —2, feR, 4（bl表示不超过实数X的最大整数），则（〃一尸+（2+。

尸=1凯争H…的最小值为二.选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)13. “冷，=0” 是“x = 0且)，=0” 成立的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D,既非充分也非必要条件14.如图，点A、B、。

闵行区、松江区2017-2018学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 双曲线的渐近线方程为，则_____________．【答案】【解析】试题分析：双曲线的渐近线为，因为与重合，所以．考点：双曲线的渐近线．2. 若二元一次方程组的增广矩阵是，其解为则______.【答案】【解析】由题意可知，二元一次方程组的解为：，即：，据此可得：.3. 设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则______．【答案】【解析】，复数在复平面内对应的点位于实轴上，则复数的虚部为零，，解得：.4. 定义在上的函数的反函数为，则________.【答案】【解析】求解指数方程：可得：，由反函数的定义与性质可得.5. 直线的参数方程为（为参数），则的一个法向量为__________.【答案】不唯一【解析】消去参数可得直线的普通方程为：，整理为一般式即：，则直线的法向量可以是(不唯一，与之平行即可).6. 已知数列，其通项公式为，，的前项和为，则_________.【答案】【解析】由数列的通项公式可得数列为等差数列，且，则其前n项和，故，则.7. 已知向量、的夹角为，，，若，则实数的值为___________.【答案】【解析】由题意可得：，且，则：，据此有：，解得：.8. 若球的表面积为，平面与球心的距离为，则平面截球所得的圆面面积为__________．【答案】【解析】设球的半径为，则，解得：，设截面圆的半径为，则,则平面截球所得的圆面面积.9. 若平面区域的点满足不等式，且的最小值为，则常数_______. 【答案】【解析】绘制不等式表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点处取得最小值，即：.若约束条件中含参数，可行域无法确定，此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值，来确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域，从而确定参数的值10. 若函数没有最小值，则的取值范围是____________.【答案】【解析】分类讨论：当时，，函数没有最小值，当时，应满足有解，故，综上可得，的取值范围是.11. 设，那么满足的所有有序数组的组数为___________.【答案】【解析】分类讨论：①，则这四个数为或，有组；②，则这四个数为或，有组；③，则这四个数为或或，有组；综上可得，所有有序数组的组数为.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．12. 设，为的展开式的各项系数之和，，，表示不超过实数的最大整数.则的最小值为___________. 【答案】【解析】利用赋值法，令可得：，，利用数学归纳法证明：，当时，成立，假设当时不等式成立，即，当时：据此可知命题成立，则，，，故，的几何意义为点到点的距离，如图所示，最小值即到的距离，由点到直线距离公式可得的最小值为.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。

2018年上海市闵行区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）在下列各式中，二次单项式是（）A．x2+1 B．xy2C．2xy D．（﹣）22．（4分）下列运算结果正确的是（）A．（a+b）2=a2+b2B．2a2+a=3a3C．a3•a2=a5 D．2a﹣1=（a≠0）3．（4分）在平面直角坐标系中，反比例函数y=（k≠0）图象在每个象限内y 随着x的增大而减小，那么它的图象的两个分支分别在（）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D．第三、四象限4．（4分）有9名学生参加校民乐决赛，最终成绩各不相同，其中一名同学想要知道自己是否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差5．（4分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形6．（4分）点A在圆O上，已知圆O的半径是4，如果点A到直线a的距离是8，那么圆O与直线a的位置关系可能是（）A．相交B．相离C．相切或相交D．相切或相离二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：|﹣1|+22=．8．（4分）在实数范围内分解因式：4a2﹣3=．9．（4分）方程=1的根是．10．（4分）已知关于x的方程x2﹣3x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是．11．（4分）已知直线y=kx+b（k≠0）与直线y=﹣x平行，且截距为5，那么这条直线的解析式为．12．（4分）某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为．13．（4分）已知一个40个数据的样本，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为10，5，7，6，第五组的频率是0.10，则第六组的频数为．14．（4分）如图，已知在矩形ABCD中，点E在边AD上，且AE=2ED．设=，=，那么=（用、的式子表示）．15．（4分）如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1与a2互为相反数，b1与b2相等，c1与c2互为倒数，那么称这两个函数为“亚旋转函数”．请直接写出函数y=﹣x2+3x﹣2的“亚旋转函数”为．16．（4分）如果正n边形的中心角为2α，边长为5，那么它的边心距为．（用锐角α的三角比表示）17．（4分）如图，一辆小汽车在公路l上由东向西行驶，已知测速探头M到公路l的距离MN为9米，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为0.6秒，并测得点A的俯角为30o，点B的俯角为60o．那么此车从A到B的平均速度为米/秒．（结果保留三个有效数字，参考数据：≈1.732，≈1.414）18．（4分）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=12，DC=7，cos∠ABC=，点E在线段AD上，将△ABE沿BE翻折，点A恰巧落在对角线BD上点P处，那么PD=．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：+（﹣1）2018﹣2cos45°+8．20．（10分）解方程组：21．（10分）已知一次函数y=﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边在第一象限内作直角三角形ABC，且∠BAC=90°，tan∠ABC=．（1）求点C的坐标；（2）在第一象限内有一点M（1，m），且点M与点C位于直线AB的同侧，使=S△ABC，求点M的坐标．得2S△ABM22．（10分）为了响应上海市市政府“绿色出行”的号召，减轻校门口道路拥堵的现状，王强决定改父母开车接送为自己骑车上学．已知他家离学校7.5千米，上下班高峰时段，驾车的平均速度比自行车平均速度快15千米/小时，骑自行车所用时间比驾车所用时间多小时，求自行车的平均速度？23．（12分）如图，已知在△ABC中，∠BAC=2∠C，∠BAC的平分线AE与∠ABC 的平分线BD相交于点F，FG∥AC，联结DG．（1）求证：BF•BC=AB•BD；（2）求证：四边形ADGF是菱形．24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）求证：∠DAB=∠ACB；（3）点Q在抛物线上，且△ADQ是以AD为底的等腰三角形，求Q点的坐标．25．（14分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点F在线段AB上，以点B为圆心，BF为半径的圆交BC于点E，射线AE交圆B于点D（点D、E不重合）．（1）如果设BF=x，EF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；（2）如果=2，求ED的长；（3）联结CD、BD，请判断四边形ABDC是否为直角梯形？说明理由．2018年上海市闵行区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）在下列各式中，二次单项式是（）A．x2+1 B．xy2C．2xy D．（﹣）2【分析】根据单项式的定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：2xy是二次单项式，故选：C．2．（4分）下列运算结果正确的是（）A．（a+b）2=a2+b2B．2a2+a=3a3C．a3•a2=a5 D．2a﹣1=（a≠0）【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（A）原式=a2+2ab+b2，故A错误；（B）2a2+a中没有同类项，不能合并，故B错误；（D）原式=，故D错误；故选：C．3．（4分）在平面直角坐标系中，反比例函数y=（k≠0）图象在每个象限内y 随着x的增大而减小，那么它的图象的两个分支分别在（）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D．第三、四象限【分析】直接利用反比例函数的性质进而分析得出答案．【解答】解：∵反比例函数y=（k≠0）图象在每个象限内y随着x的增大而减小，∴k＞0，∴它的图象的两个分支分别在第一、三象限．故选：A．4．（4分）有9名学生参加校民乐决赛，最终成绩各不相同，其中一名同学想要知道自己是否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差【分析】9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【解答】解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．故选：B．5．（4分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形，故本选项错误；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形知：当AC⊥BD时，四边形ABCD 是菱形，故本选项错误；C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知：当∠ABC=90°时，四边形ABCD 是矩形，故本选项错误；D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知：当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故本选项正确；综上所述，符合题意是D选项；故选：D．6．（4分）点A在圆O上，已知圆O的半径是4，如果点A到直线a的距离是8，那么圆O与直线a的位置关系可能是（）A．相交B．相离C．相切或相交D．相切或相离【分析】根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．【解答】解：∵点A在圆O上，已知圆O的半径是4，点A到直线a的距离是8，∴圆O与直线a的位置关系可能是相切或相离，故选：D．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：|﹣1|+22=5．【分析】原式利用绝对值的代数意义，以及乘方的意义计算即可求出值．【解答】解：原式=1+4=5，故答案为：58．（4分）在实数范围内分解因式：4a2﹣3=．【分析】符合平方差公式的特点，可以直接分解．平方差公式a2﹣b2=（a+b）（a ﹣b）．【解答】解：4a2﹣3=．故答案为：．9．（4分）方程=1的根是1．【分析】本题思路是两边平方后去根号，解方程．【解答】解：两边平方得2x﹣1=1，解得x=1．经检验x=1是原方程的根．故本题答案为：x=1．10．（4分）已知关于x的方程x2﹣3x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是m．【分析】由根的情况，由根的判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x﹣m=0没有实数根，∴△＜0，即（﹣3）2﹣4（﹣m）＜0，解得m＜﹣，故答案为：m＜﹣．11．（4分）已知直线y=kx+b（k≠0）与直线y=﹣x平行，且截距为5，那么这条直线的解析式为y=﹣x+5．【分析】根据互相平行的直线的解析式的值相等确定出k，根据“截距为5”计算求出b值，即可得解．【解答】解：∵直线y=kx+b平行于直线y=﹣x，∴k=﹣．又∵截距为5，∴b=5，∴这条直线的解析式是y=﹣x+5．故答案是：y=﹣x+5．12．（4分）某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为．【分析】随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用绿灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时，是绿灯的概率为多少即可．【解答】解：抬头看信号灯时，是绿灯的概率为．故答案为：．13．（4分）已知一个40个数据的样本，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为10，5，7，6，第五组的频率是0.10，则第六组的频数为8．【分析】首先根据频率=频数÷总数，计算从第一组到第四组的频率之和，再进一步根据一组数据中，各组的频率和是1，进行计算．【解答】解：根据题意，得：第一组到第四组的频率和是=0.7，又∵第五组的频率是0.10，∴第六组的频率为1﹣（0.7+0.10）=0.2，∴第六组的频数为：40×0.2=8．故答案为：8．14．（4分）如图，已知在矩形ABCD中，点E在边AD上，且AE=2ED．设=，=，那么=﹣（用、的式子表示）．【分析】根据=+，只要求出、即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，AD∥BC，∴==，==，∵AE=2DE，∴=，∵=+．∴=﹣，故答案为﹣．15．（4分）如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1与a2互为相反数，b1与b2相等，c1与c2互为倒数，那么称这两个函数为“亚旋转函数”．请直接写出函数y=﹣x2+3x﹣2的“亚旋转函数”为y=x2+3x﹣．【分析】根据“亚旋转函数”的定义解答．【解答】解：∵y=﹣x2+3x﹣2中a=﹣1，b=3，c=﹣2，且﹣1的相反数是1，与b 相等的数是3，﹣2的倒数是﹣，∴y=﹣x2+3x﹣2的“亚旋转函数”为y=x2+3x﹣．故答案是：y=x2+3x﹣．16．（4分）如果正n边形的中心角为2α，边长为5，那么它的边心距为cotα（或）．（用锐角α的三角比表示）【分析】根据三角函数解答即可．【解答】解：如图所示：∵正n边形的中心角为2α，边长为5，∵边心距OD=（或），故答案为：（或），17．（4分）如图，一辆小汽车在公路l上由东向西行驶，已知测速探头M到公路l的距离MN为9米，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为0.6秒，并测得点A的俯角为30o，点B的俯角为60o．那么此车从A到B的平均速度为17.3米/秒．（结果保留三个有效数字，参考数据：≈1.732，≈1.414）【分析】根据题意需求AB长．由已知易知AB=BM，解直角三角形MNB求出BM 即AB，再求速度，与限制速度比较得结论．注意单位．【解答】解：在Rt△AMN中，AN=MN×tan∠AMN=MN×tan60°=9×=9．在Rt△BMN中，BN=MN×tan∠BMN=MN×tan30°=9×=3．∴AB=AN﹣BN=9﹣3=6．则A到B的平均速度为：==10≈17.3（米/秒）．故答案为：17.3．18．（4分）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=12，DC=7，cos∠ABC=，点E在线段AD上，将△ABE沿BE翻折，点A恰巧落在对角线BD上点P处，那么PD=12﹣12．【分析】过点C作CF⊥AB于点F，则四边形AFCD为矩形，根据矩形的性质可得出BF=5，结合cos∠ABC=，可得出CF的长度，进而可得出AD的长度，在Rt △BAD中利用勾股定理可求出BD的长度，由折叠的性质可得出BP=BA=12，再由PD=BD﹣BP即可求出PD的长度．【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F，则四边形AFCD为矩形，如图所示．∵AB=12，DC=7，∴BF=5．又∵cos∠ABC=，∴BC=13，CF==12．∵AD=CF=12，AB=12，∴BD==12．∵△ABE沿BE翻折得到△PBE，∴BP=BA=12，∴PD=BD﹣BP=12﹣12．故答案为：12﹣12．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：+（﹣1）2018﹣2cos45°+8．【分析】直接利用二次根式的性质和分数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式=﹣1+1﹣2×+2=﹣+2=2．20．（10分）解方程组：【分析】先将第二个方程分解因式可得：x﹣2y=0或x+y=0，分别与第一个方程组成新的方程组，解出即可．【解答】解：由②得：（x﹣2y）（x+y）=0，x﹣2y=0或x+y=0…………………………………………（2分）原方程组可化为，………………………………（2分）解得原方程组的解为，…………………………………（5分）∴原方程组的解是为，……………………………………（6分）21．（10分）已知一次函数y=﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边在第一象限内作直角三角形ABC，且∠BAC=90°，tan∠ABC=．（1）求点C的坐标；（2）在第一象限内有一点M（1，m），且点M与点C位于直线AB的同侧，使=S△ABC，求点M的坐标．得2S△ABM【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A，B点坐标，根据勾股定理，可得A的长，根据锐角三角函数，可得AC，根据相似三角形的判定与性质，可得DC，AD，根据点的坐标，可得答案．（2）根据面积的和差，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：（1）令y=0，则﹣2x+4=0，解得x=2，∴点A坐标是（2，0）．令x=0，则y=4，∴点B坐标是（0，4）．∴AB===2．∵∠BAC=90°，tan∠ABC==，∴AC=AB=．如图1，过C点作CD⊥x轴于点D，∠BAO+∠ABO=90°，∠BAO+∠CAD=90°，∵∴∠ABO=∠CAD，，∴△OAB∽△DAC．∴===，∵OB=4，OA=2，∴AD=2，CD=1，∴点C坐标是（4，1）．=AB•AC=×2×=5．（2）S△ABC=S△ABC，∵2S△ABM∴S=．△ABM∵M（1，m），∴点M在直线x=1上；令直线x=1与线段AB交于点E，ME=m﹣2；如图2，分别过点A、B作直线x=1的垂线，垂足分别是点F、G，∴AF+BG=OA=2；=S△BME+S△AME=ME•BG+ME•AF=ME（BG+AF）∴S△ABM=ME•OA=×2×ME=，∴ME=，m﹣2=，m=，∴M（1，）．22．（10分）为了响应上海市市政府“绿色出行”的号召，减轻校门口道路拥堵的现状，王强决定改父母开车接送为自己骑车上学．已知他家离学校7.5千米，上下班高峰时段，驾车的平均速度比自行车平均速度快15千米/小时，骑自行车所用时间比驾车所用时间多小时，求自行车的平均速度？【分析】根据题目中的关键语句“骑自行车所用时间比驾车所用时间多小时”，找到等量关系列出分式方程求解即可．【解答】解：设自行车的平均速度是x千米/时．根据题意，列方程得﹣=，解得：x1=15，x2=﹣30．经检验，x1=15是原方程的根，且符合题意，x2=﹣30不符合题意舍去．答：自行车的平均速度是15千米/时．23．（12分）如图，已知在△ABC中，∠BAC=2∠C，∠BAC的平分线AE与∠ABC 的平分线BD相交于点F，FG∥AC，联结DG．（1）求证：BF•BC=AB•BD；（2）求证：四边形ADGF是菱形．【分析】（1）根据两角对应相等可得：△ABF∽△CBD，列比例式得：，则BF•BC=AB•BD．（2）先根据三角形全等证明：AF=FG，再根据两组对边分别平行证明：四边形ADGF是平行四边形，所以四边形ADGF是菱形．【解答】证明：（1）∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAF=2∠EAC．∵∠BAC=2∠C，∴∠BAF=∠C=∠EAC．又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC．∵∠ABF=∠C，∠ABD=∠DBC，∴△ABF∽△CBD．…………………………………………………（1分）∴．………………………………………………………（1分）∴BF•BC=AB•BD．………………………………………………（1分）（2）∵FG∥AC，∴∠C=∠FGB，∴∠FGB=∠FAB．………………（1分）∵∠BAF=∠BGF，∠ABD=∠GBD，BF=BF，∴△ABF≌△GBF．∴AF=FG，BA=BG．…………………………（1分）∵BA=BG，∠ABD=∠GBD，BD=BD，∴△ABD≌△GBD．∴∠BAD=∠BGD．……………………………（1分）∵∠BAD=2∠C，∴∠BGD=2∠C，∴∠GDC=∠C，∴∠GDC=∠EAC，∴AF∥DG．……………………………………（1分）又∵FG∥AC，∴四边形ADGF是平行四边形．……………………（1分）∴AF=FG．……………………………………………………………（1分）∴四边形ADGF是菱形．……………………………………………（1分）24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）求证：∠DAB=∠ACB；（3）点Q在抛物线上，且△ADQ是以AD为底的等腰三角形，求Q点的坐标．【分析】（1）将A（1，0）、C（0，3）代入抛物线的解析式可求得关于a、c的方程组，解得a、c的值可求得抛物线的解析式，最后依据配方法可求得抛物线的顶点坐标；（2）首先求得A点的坐标，即可证得OA=OC=3．得出∠CAO=∠OCA，然后根据勾股定理求得AD、DC、AC，进一步证得△ACD是直角三角形且∠ACD=90°，解直角三角形得出tan∠OCB==，tan∠DAC==，即可证得∠DAC=∠OCB，进而求得∠DAC+∠CAO=∠BCO+∠OCA，即∠DAB=∠ACB；（3）令Q（x，y）且满足y=﹣x2﹣2x+3，由已知得出QD2=QA2，即（x+3）2+y2=（x+1）2+（y﹣4）2，化简得出x﹣2+2y=0，然后与抛物线的解析式联立方程，解方程即可求得．【解答】解：（1）把B（1，0）和C（0，3）代入y=ax2﹣2x+c中，得，解得，∴抛物线的解析式是：y=﹣x2﹣2x+3，∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴顶点坐标D（﹣1，4）；（2）令y=0，则﹣x2﹣2x+3=0，解得x1=﹣3，x2=1，∴A（﹣3，0），∴OA=OC=3，∴∠CAO=∠OCA，在Rt△BOC中，tan∠OCB==，∵AC==3，DC==，AD==2，∴AC2+DC2=20=AD2；∴△ACD是直角三角形且∠ACD=90°，∴tan∠DAC===，又∵∠DAC和∠OCB都是锐角，∴∠DAC=∠OCB，∴∠DAC+∠CAO=∠BCO+∠OCA，即∠DAB=∠ACB；（3）令Q（x，y）且满足y=﹣x2﹣2x+3，A（﹣3，0），D（﹣1，4），∵△ADQ是以AD为底的等腰三角形，∴QD2=QA2，即（x+3）2+y2=（x+1）2+（y﹣4）2，化简得：x﹣2+2y=0，由，解得，．∴点Q的坐标是（，），（，）．25．（14分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点F在线段AB上，以点B为圆心，BF为半径的圆交BC于点E，射线AE交圆B于点D（点D、E不重合）．（1）如果设BF=x，EF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；（2）如果=2，求ED的长；（3）联结CD、BD，请判断四边形ABDC是否为直角梯形？说明理由．【分析】（1）先利用勾股定理AB=10，进而EH=x，EH=x，FH=x，利用勾股定理建立函数关系式；（2）先判断出∠CAE=∠EBP=∠ABC，进而得出△BEH≌△BEG，即可求出BE，即可得出结论；（3）分两种情况，讨论进行判断即可得出结论．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠ACB=90°∴AB=10，如图1，过E作EH⊥AB于H，在Rt△ABC中，sinB=，cosB=在Rt△BEH中，BE=BF=x，∴EH=x，BH=x，∴FH=x，在Rt△EHF中，EF2=EH2+FH2=（x）2+（x）2=x2，∴y=x（0＜x＜8）（2）如图2，取的中点P，联结BP交ED于点G∵=2，P是的中点，EP=EF=PD．∴∠FBE=∠EBP=∠PBD．∵EP=EF，BP过圆心，∴BG⊥ED，ED=2EG=2DG，又∵∠CEA=∠DEB，∴∠CAE=∠EBP=∠ABC，又∵BE是公共边，∴△BEH≌△BEG．∴EH=EG=GD=x．在Rt△CEA中，∵AC=6，BC=8，tan∠CAE=tan∠ABC=，∴CE=AC•tan∠CAE==∴BE=8﹣=∴ED=2EG=x=，（3）四边形ABDC不可能为直角梯形，①当CD∥AB时，如图3，如果四边形ABDC是直角梯形，只可能∠ABD=∠CDB=90°．在Rt△CBD中，∵BC=8．∴CD=BC•cos∠BCD=，BD=BC•sin∠BCD==BE．∴=，；∴．∴CD不平行于AB，与CD∥AB矛盾．∴四边形ABDC不可能为直角梯形，②当AC∥BD时，如图4，如果四边形ABDC是直角梯形，只可能∠ACD=∠CDB=90°．∵AC∥BD，∠ACB=90°，∴∠ACB=∠CBD=90°．∴∠ABD=∠ACB+∠BCD＞90o．与∠ACD=∠CDB=90°矛盾．∴四边形ABDC不可能为直角梯形．即：四边形ABDC不可能是直角梯形。

2018届上海市闵行区高三下学期教育质量调研考试（二模）上海市闵行区2018届高三下学期教育质量调研考试（二模）地理试题（考试时间120分钟满分150分）考生注意：1.全卷共11页，包括两大题，第一大题（1-30小题）为选择题，第二大题（31-54小题）为综合分析题。

第二大题综合分析题包括共同部分（31-46小题）和选择部分（47-54小题）。

所有考生应完成第一大题和第二大题的共同部分试题；第二大题的选择部分分为A、B 两组，两组试题分值相同：A组（47-50小题）为考试手册中“任选模块一”的试题，B组（51-54小题）为“任选模块二”的试题；考生须任选一组答题，如果考生应答了两组试题，只对A组的应答进行评分。

2.请将全部答案写在答题纸上。

3.答题前，先将自己的姓名、学校填写清楚，并填涂准考证号，请仔细核对。

答题时选择题用２B铅笔按要求涂写，综合分析题用黑色水笔填写。

4.考试后只交答题纸，试卷由自己保留。

一、选择题(每小题只有一个正确答案。

每小题2分，共60分)（一）“Hi，有人在吗？”，2月13日(农历正月十四)早上849，休眠了十几天的“月球车玉兔”微博再次发声，一句简单的问候立刻引发了8万多次转发和5万余条评论。

1.玉兔的供电系统自其顶部的太阳能电池板，下列选项正确的是：A.玉兔每天600醒1800入眠B.玉兔休眠状态发生在月球进入月夜的时候C.月球自转一周的时间约需十几天D.早上849，玉兔大约位于上海的正南方2.人类把月球作为宇宙空间探测的第一站的主要原因是月球A.有高真空、强辐射、微重力的环境B.是距离地球最近的自然天体C.昼夜周期较长D.体积小，容易探测3.满月一般发生在农历十五，近两年元宵月却都是“十五的月亮十七圆”，根本原因是A.29.53天只是月相变化的平均周期B.月球的自转周期与公转周期相同C.朔望月比恒星月多2.21日D.白道面与黄道面有5o09′的交角（二）地球表面时刻不停地进行着水循环，读下图回答：4.据图中水平衡数值的大小判断A.低纬度地区大；降水多，蒸发弱B.低纬度地区小；降水少，蒸发弱C.高纬度地区大；降水多，蒸发弱D.高纬度地区小；降水少，蒸发弱5.从图中不同纬度海陆水平衡的差异可以推断出A.形成陆地降水的水汽主要自中低纬度海洋B.形成海洋降水的水汽主要自大陆C.形成陆地降水的水汽主要自高纬度海洋D.形成陆地降水的水汽主要自陆地（三）如右图，一艘轮船沿图中的航线从印度洋驶向大西洋，行进到①处时正看到海上日落，此时刚好是北京时间000。

2018闵行区初三数学二模试卷（考试时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答 题一律无效．3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证 明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．在下列各式中，二次单项式是 （A ）21x +；（B ）213xy ；（C ）2xy ；（D ）21()2-．2．下列运算结果正确的是 （A ）222()a b a b +=+； （B ）2323a a a +=； （C ）325a a a ⋅=；（D ）112(0)2a a a-=≠． 3．在平面直角坐标系中，反比例函数(0)ky k x=≠图像在每个象限内y 随着x 的增大而减小，那么它的图像的两个分支分别在 （A ）第一、三象限； （B ）第二、四象限； （C ）第一、二象限；（D ）第三、四象限．4．有9名学生参加校民乐决赛，最终成绩各不相同，其中一名同学想要知道自己是否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的 （A ）平均数；（B ）中位数；（C ）众数；（D ）方差． 5．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是 （A ）当AB = BC 时，四边形ABCD 是菱形； （B ）当AC ⊥BD 时，四边形ABCD 是菱形； （C ）当∠ABC = 90o 时，四边形ABCD 是矩形；（D ）当AC = BD 时，四边形ABCD 是正方形．6．点A 在圆O 上，已知圆O 的半径是4，如果点A 到直线a 的距离是8，那么圆O 与直线a 的位置关系可能是（A ）相交； （B ）相离； （C ）相切或相交； （D ）相切或相离．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：21+2-= ▲ ．8．在实数范围内分解因式：243x -= ▲ ． 91=的解是 ▲ ．10．已知关于x 的方程230x x m --=没有实数根，那么m 的取值范围是 ▲ ．11．已知直线(0)y kx b k =+≠与直线13y x =-平行，且截距为5，那么这条直线的解析式为 ▲ ．12．一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小杰过马路时，恰巧是绿灯的概率是 ▲ ．13．已知一个40个数据的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别是10、5、7、6，第五组的频率是0.1，那么第六组的频数是 ▲ ．14．如图，已知在矩形ABCD 中，点E 在边AD 上，且AE = 2ED ．设BA a =uu r r ，BC b =uu u r r，那么CE =uu u r▲ （用a r 、b r 的式子表示）．15．如果二次函数2111y a x b x c =++（10a ≠，1a 、1b 、1c 是常数）与2222y a x b x c =++（20a ≠，2a 、2b 、2c 是常数）满足1a 与2a 互为相反数，1b 与2b 相等，1c 与2c 互为倒数，那么称这两个函数为“亚旋转函数”．请直接写出函数232y x x =-+-的“亚旋转函数”为 ▲ ．16．如果正n 边形的中心角为2α，边长为5，那么它的边心距为 ▲ ．（用锐角α的三角比表示）17．如图，一辆小汽车在公路l 上由东向西行驶，已知测速探头M 到公路l 的距离MN为9米，测得此车从点A 行驶到点B 所用的时间为0.6秒，并测得点A 的俯角为30o ，点B 的俯角为60o ．那么此车从A 到B 的平均速度为 ▲ 米/秒．（结果保1.732≈1.414）18．在直角梯形ABCD 中，AB // CD ，∠DAB = 90o ，AB = 12，DC = 7，5cos 13ABC ∠=，点E 在线段AD 上，将△ABE 沿BE 翻折，点A 恰巧落在对角线BD 上点P 处，那么PD = ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）ABD C （第14题图）E ABDC（第18题图）B MN （第17题图） l120183(1)2cos45+8-+--o．20．（本题满分10分）解方程组：221;20.y xx xy y-=⎧⎨--=⎩21．（本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分）已知一次函数24y x=-+的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边在第一象限内作直角三角形ABC，且∠BAC = 90o，tan ABC∠=（1）求点C的坐标；（2）在第一象限内有一点M（1，m），且点MC位于直线AB的同侧，使得ABCABMSS∆∆=2求点M的坐标．22．（本题满分10分）为了响应上海市市政府“绿色出行”的号召，减轻校门口道路拥堵的现状，王强决定改父母开车接送为自己骑车上学．已知他家离学校7.5千米，上下班高峰时段，驾车的平均速度比自行车平均速度快15千米／小时，骑自行车所用时间比驾车所用时间多14小时，求自行车的平均速度？23．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，已知在△ABC中，∠BAC=2∠C，∠BAC的平分线AE与∠ABC的平分线BD 相交于点F，FG∥AC，联结DG．（1）求证：BF BC AB BD⋅=⋅；（2）求证：四边形ADGF是菱形．24．（本题满分12分，其中每小题各4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线22y ax x c=-+与x轴交于AE G CFD（第23题图）（第21题图）点A 和点B （1，0），与y 轴相交于点C （0，3）． （1）求抛物线的解析式和顶点D 的坐标； （2）求证：∠DAB=∠ACB ；（3）点Q 在抛物线上，且△ADQ 是以AD 为底的等腰三角形，求Q 点的坐标． 25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB = 90o ，AC =6，BC = 8，点F 在线段AB 上，以点B 为圆心，BF 为半径的圆交BC 于点E ，射线AE 交圆B 于点D （点D 、E 不重合）． （1）如果设BF = x ，EF = y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出它的定义域；（2）如果»»2EDEF ，求ED 的长； （3）联结CD 、BD ，请判断四边形ABDC 是否为直角梯形？说明理由．（备用图）CBA （第25题图） CB EF D A2018闵行区数学二模参考答案及评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．C ；2．C ；3．A ；4．B ；5．D ；6．D ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．5； 8．2x x +-（； 9．1x =； 10．94m <-； 11．153y x =-+； 12．512； 13．8； 14．13a b -r r ； 15．2132y x x =+-； 16．5cot 2α（或52tan α）；17．17.3； 18．12．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．解：原式112+……………………………………（2分+2分+2分+2分）2=．……………………………………………………………………（2分）20．解：由②得：20x y -=，+0x y =…………………………………………（2分）原方程组可化为120y x x y -=⎧⎨-=⎩，10y x x y -=⎧⎨+=⎩………………………………（2分）解得原方程组的解为21x y =-⎧⎨=-⎩，1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩…………………………………（5分）∴原方程组的解是21x y =-⎧⎨=-⎩，1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………………………（1分）21．解：（1）令0y =，则240x -+=，解得：2x =，∴点A 坐标是（2，0）．令0x =，则4y =，∴点B 坐标是（0，4）．………………………（1分）∴AB =．………………………………（1分）∵90BAC ∠=o ，1tan 2ABC ∠=，∴AC =．过C 点作CD ⊥x 轴于点D ，易得OBA DAC ∆∆∽．…………………（1分） ∴2AD =，1CD =，∴点C 坐标是（4，1）．………………………（1分） （2）11522ABC S AB AC ∆=⋅=⨯=．………………………………（1分）∵2ABM ABC S S ∆∆=，∴52ABM S ∆=．……………………………………（1分）∵(1M ，)m ，∴点M 在直线1x =上；令直线1x =与线段AB 交于点E ，2ME m =-；……………………（1分） 分别过点A 、B 作直线1x =的垂线，垂足分别是点F 、G ，∴AF +BG = OA = 2；……………………………………………………（1分）∴111()222ABM BME AME S S S ME BG ME AF ME BG AF ∆∆=+=⋅+⋅=+1152222ME OA ME =⋅=⨯⨯=…………………（1分）∴52ME =，522m -=，92m =，∴(1M ，92）．……………………（1分）22．解：设自行车的平均速度是x 千米／时．………………………………………（1分）根据题意，列方程得7.57.51154x x -=+；……………………………………（3分）化简得：2154500x x +-=；………………………………………………（2分） 解得：115x =，230x =-；…………………………………………………（2分）经检验，115x =是原方程的根，且符合题意，230x =-不符合题意舍去．（1分）答：自行车的平均速度是15千米／时．………………………………………（1分）23．证明：（1）∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAC =2∠BAF =2∠EAC ．∵∠BAC =2∠C ，∴∠BAF =∠C =∠EAC ．…………………………（1分） 又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠DBC ．……………………………（1分） ∵∠ABF =∠C ，∠ABD =∠DBC ，∴ABF CBD ∆∆∽．…………………………………………………（1分） ∴AB BF BC BD=．………………………………………………………（1分） ∴BF BC AB BD ⋅=⋅．………………………………………………（1分） （2）∵FG ∥AC ，∴∠C =∠FGB ，∴∠FGB =∠F AB ．………………（1分）∵∠BAF =∠BGF ，∠ABD =∠GBD ，BF =BF ，∴ABF GBF ∆∆≌．∴AF =FG ，BA =BG ．…………………………（1分） ∵BA =BG ，∠ABD =∠GBD ，BD =BD ， ∴ABD GBD ∆∆≌．∴∠BAD =∠BGD ．……………………………（1分） ∵∠BAD =2∠C ，∴∠BGD =2∠C ，∴∠GDC =∠C ， ∴∠GDC =∠EAC ，∴AF ∥DG ．……………………………………（1分） 又∵FG ∥AC ，∴四边形ADGF 是平行四边形．……………………（1分） ∴AF =FG ．……………………………………………………………（1分） ∴四边形ADGF 是菱形．……………………………………………（1分）24．解：（1）把B （1，0）和C （0，3）代入22y ax x c =-+中，得9603a c c ++=⎧⎨=⎩，解得13a c =-⎧⎨=⎩．……………………………………（2分）∴抛物线的解析式是：223y x x =--+．……………………………（1分） ∴顶点坐标D （－1，4）．……………………………………………（1分） （2）令0y =，则2230x x --+=，13x =-，21x =，∴A （－3，0）∴3OA OC ==，∴∠CAO =∠OCA ．…………………………………（1分）在Rt BOC ∆中，1tan 3OB OCB OC ∠==．………………………………（1分）∵AC =DC =AD =， ∴2220AC DC +=，220AD =；∴222AC DC AD +=，ACD ∆是直角三角形且90ACD ∠=o ，∴1tan 3DC DAC AC ∠==，又∵∠DAC 和∠OCB 都是锐角，∴∠DAC =∠OCB ．…………………（1分） ∴DAC CAO BCO OCA ∠+∠=∠+∠，即DAB ACB ∠=∠．……………………………………………………（1分） （3）令(Q x ，)y 且满足223y x x =--+，(3A -,0)，(1D -，4）∵ADQ ∆是以AD 为底的等腰三角形，∴22QD QA =，即2222(3)(1)(4)x y x y ++=++-，化简得：220x y -+=．………………………………………………（1分） 由222023x y y x x -+=⎧⎨=--+⎩，……………………………………………………（1分）解得11118x y ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，22118x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴点Q的坐标是⎝⎭，⎝⎭．…（2分）25．解：（1）在Rt △ABC 中，6AC =，8BC =，90ACB ∠=o∴10AB =．……………………………………………………………（1分） 过E 作EH ⊥AB ，垂足是H ，易得：35EH x =，45BH x =，15FH x =．…………………………（1分）在Rt △EHF 中，222223155EF EH FH x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴(08)y x x =<<．………………………………………（1分+1分）（2）取»ED的中点P ，联结BP 交ED 于点G ∵»»2EDEF =，P 是»ED 的中点，∴»»»EP EF PD ==． ∴∠FBE =∠EBP =∠PBD ．∵»»EP EF=，BP过圆心，∴BG⊥ED，ED =2EG =2DG．…………（1分）又∵∠CEA =∠DEB，∴∠CAE=∠EBP=∠ABC．……………………………………………（1分）又∵BE是公共边，∴BEH BEG∆∆≌．∴35EH EG GD x===．在Rt△CEA中，∵AC = 6，8BC=，tan tan AC CECAE ABCBC AC∠=∠==，∴66339tan822CE AC CAE⨯⨯=⋅∠===．……………………………（1分）∴9169782222BE=-=-=．……………………………………………（1分）∴6672125525ED EG x===⨯=．……………………………………（1分）（3）四边形ABDC不可能为直角梯形．…………………………………（1分）①当CD∥AB时，如果四边形ABDC是直角梯形，只可能∠ABD =∠CDB = 90o．在Rt△CBD中，∵8BC=，∴32cos5CD BC BCD=⋅∠=，24sin5BD BC BCD BE =⋅∠==∴321651025CDAB==，32853245CEBE-==∴CD CE AB BE≠．∴CD不平行于AB，与CD∥AB矛盾．∴四边形ABDC不可能为直角梯形．…………………………（2分）②当AC∥BD时，如果四边形ABDC只可能∠ACD =∠CDB = 90o．∵AC∥BD，∠ACB = 90o，∴∠ACB =∠CBD = 90o．∴∠ABD =∠ACB +∠BCD > 90o．与∠ACD =∠CDB = 90o矛盾．∴四边形ABDC不可能为直角梯形．…………………………（2分）。

2018年上海市闵行区高考数学二模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）双曲线（a＞0）的渐近线方程为3x±2y＝0，则a＝2．（4分）若二元一次方程组的增广矩阵是，其解为，则c1+c2＝3．（4分）设m∈R，若复数z＝（1+mi）（1+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则m＝4．（4分）定义在R上的函数f（x）＝2x﹣1的反函数为y＝f﹣1（x），则f﹣1（3）＝5．（4分）直线l的参数方程为（t为参数），则l的一个法向量为6．（4分）已知数列{a n}，其通项公式为a n═3n+1，n∈N*，{a n}的前n项和为S n，则＝7．（5分）已知向量、的夹角为60°，||＝1，||＝2，若（）⊥（x），则实数x的值为8．（5分）若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为9．（5分）若平面区域的点（x，y）满足不等式（k＞0），且z＝x+y的最小值为﹣5，则常数k＝10．（5分）若函数f（x）＝log a（x2﹣ax+1）（a＞0且a≠1）没有最小值，则a的取值范围是11．（5分）设x1，x2，x3，x4∈{﹣1，0，2}，那么满足2≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|≤4的所有有序数对（x1，x2，x3，x4）的组数为12．（5分）设n∈N*，a n为（x+4）n﹣（x+1）n的展开式的各项系数之和，c＝，t∈R，b n＝[]+[]+…+[]（[x]表示不超过实数x的最大整数），则（n﹣t）2+（b n+c）2的最小值为二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）“xy＝0”是“x＝0且y＝0”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．（5分）如图，点A、B、C分别在空间直角坐标系O﹣xyz的三条坐标轴上，＝（0，0，2），平面ABC的法向量为＝（2，1，2），设二面角C﹣AB﹣O的大小为θ，则cosθ＝（）A．B．C．D．15．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列判断一定正确的是（）A．若S3＞0，则a2018＞0B．若S3＜0，则a2018＜0C．若a2＞a1，则2019＞a2018D．若，则a2019＜a201816．（5分）给出下列三个命题：命题1：存在奇函数f（x）（x∈D1）和偶函数g（x）（x∈D2），使得函数f（x）g（x）（x∈D1∩D2））是偶函数；命题2：存在函数f（x）、g（x）及区间D，使得f（x）、g（x）在D上均是增函数，但f（x）g（x）在D上是减函数；命题3：存在函数f（x）、g（x）（定义域均为D），使得f（x）、g（x）在x＝x0（x o∈D）处均取到最大值，但f（x）g（x）在x＝x0处取到最小值；那么真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB、CC1的中点．（1）求三棱锥E﹣DFC的体积；（2）求异面直线A1E与D1F所成的角的大小．18．（14分）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx．（1）当f（﹣）＝0，且|ω|＜1，求ω的值；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a＝，b+c＝3，当ω＝2，f（A）＝1时，求bc的值．19．（14分）某公司利用APP线上、实体店线下销售产品A，产品A在上市20天内全部售完，据统计，线上日销售量f（t）、线下日销售量g（t）（单位：件）与上市时间t（t∈N*）天的关系满足：f（t）＝，g（t）＝﹣t2+20t（1≤t≤20），产品A每件的销售利润为h（t）＝（单位：元）（日销售量＝线上日销售量+线下日销售量）．（1）设该公司产品A的日销售利润为F（t），写出F（t）的函数解析式；（2）产品A上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？20．（16分）已知椭圆Γ：（a＞b＞0），其左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为B，O为坐标原点，过F2的直线l交椭圆Γ于P、Q两点，sin．（1）若直线l垂直于x轴，求的值；（2）若b＝，直线l的斜率为，则椭圆Γ上是否存在一点E，使得F1、E关于直线l 成轴对称？如果存在，求出点E的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设直线l1：y＝上总存在点M满足＝2，当b的取值最小时，求直线l的倾斜角α．21．（18分）无穷数列{a n}（n∈N*），若存在正整数t，使得该数列由t个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数n，a n+1，a n+2，…a n+t中至少有一个等于a n，则称数列{a n} 具有性质T，集合P＝{p|p＝a n，n∈N*}．（1）若a n＝（﹣1）n，n∈N*，判断数列{a n} 是否具有性质T；（2）数列{a n} 具有性质T，且a11，a4＝3，a8＝2，P＝{1，2，3}，求a20的值；（3）数列{a n} 具有性质T，对于P中的任意元素p i，为第k个满足＝p i的项，记b k＝i k+1﹣i k（k∈N*），证明：“数列{b k}具有性质T”的充要条件为“数列{a n} 是周期为t的周期数列，且每个周期均包含t个不同实数”．2018年上海市闵行区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）双曲线（a＞0）的渐近线方程为3x±2y＝0，则a＝2【解答】解：根据题意，双曲线的焦点在x轴上，其渐近线方程y＝±x，若双曲线的渐近线方程为3x±2y＝0，即y＝±x则有＝，则a＝2；故答案为：2．2．（4分）若二元一次方程组的增广矩阵是，其解为，则c1+c2＝40【解答】解：∵二元一次方程组的增广矩阵是，其解为，∴，∴c1+c2＝10+30＝40．故答案为：40．3．（4分）设m∈R，若复数z＝（1+mi）（1+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则m＝﹣1【解答】解：∵复数z＝（1+mi）（1+i）＝1﹣m+（1+m）i在复平面内对应的点位于实轴上，∴1+m＝0，即m＝﹣1．故答案为：﹣1．4．（4分）定义在R上的函数f（x）＝2x﹣1的反函数为y＝f﹣1（x），则f﹣1（3）＝2【解答】解：∵f（x）＝2x﹣1，∴y＝f﹣1（x）＝log2（x+1），∴f﹣1（3）＝2．故答案为：2．5．（4分）直线l的参数方程为（t为参数），则l的一个法向量为（2，﹣1）【解答】解：根据题意，直线l的参数方程为，则直线的普通方程2x﹣y﹣3＝0，其一个方向向量为（1，2），则其一个法向量为（2，﹣1）；故答案为：（2，﹣1）．6．（4分）已知数列{a n}，其通项公式为a n═3n+1，n∈N*，{a n}的前n项和为S n，则＝【解答】解：数列{a n}，其通项公式为a n═3n+1，n∈N*，{a n}的前n项和为S n，可得S n＝n（4+3n+1）＝，则＝＝＝＝，故答案为：．7．（5分）已知向量、的夹角为60°，||＝1，||＝2，若（）⊥（x），则实数x的值为3【解答】解：根据题意，向量、的夹角为60°，||＝1，||＝2，则•＝1×2×＝1，若（）⊥（x），则（）•（x）＝x2﹣•+2x•﹣22＝x+（2x﹣1）﹣8＝0，解可得x＝3；故答案为：3．8．（5分）若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为16π【解答】解：设球的半径为R，球心到平面α的距离为d，平面α截球所得圆面的半径为r，则d＝3，由于球的表面积为100π，即4πR2＝100π，则R＝5，由勾股定理可得，因此，平面α截球所得圆面的面积为πr2＝π×42＝16π，故答案为：16π．9．（5分）若平面区域的点（x，y）满足不等式（k＞0），且z＝x+y的最小值为﹣5，则常数k＝5【解答】解：平面区域的点（x，y）满足不等式（k＞0），可行域如图：可知图象（k＞0），经过点（﹣5，0），目标函数取得最小值，∴k＝5故答案为：5．10．（5分）若函数f（x）＝log a（x2﹣ax+1）（a＞0且a≠1）没有最小值，则a的取值范围是（0，1）∪[2，+∞）【解答】解：函数f（x）＝log a（x2﹣ax+1）（a＞0且a≠1）没有最小值，当0＜a＜1时，没有最小值，当a＞1时，即x2﹣ax+1≤0有解，∴△＝a2﹣4≥0，解得a≥2，综上，a的取值范围是（0，1）∪[2，+∞）．故答案为：（0，1）∪[2，+∞）．11．（5分）设x1，x2，x3，x4∈{﹣1，0，2}，那么满足2≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|≤4的所有有序数对（x1，x2，x3，x4）的组数为45【解答】解：①|x1|+|x2|+|x3|+|x4|＝2，0+0+0+2＝2，有4种，1+0+1+0＝2，有6种，故有10组；②：|x1|+|x2|+|x3|+|x4|＝3，0+1+1+1＝3，有4种，0+1+2+0＝3，有C41C31＝12种，故有16组；③：|x1|+|x2|+|x3|+|x4|＝4，1+1+1+1＝4，有1种，0+1+1+2＝4，有C41C31＝12种，0+0+2+2＝4，有C41C31＝6种，故有19组；综上，共45组，故答案为：45．12．（5分）设n∈N*，a n为（x+4）n﹣（x+1）n的展开式的各项系数之和，c＝，t∈R，b n＝[]+[]+…+[]（[x]表示不超过实数x的最大整数），则（n﹣t）2+（b n+c）2的最小值为【解答】解：令x＝1可得，，[]＝，b n═[]+[]+…+[]＝1+2+…+（n﹣1）＝，则（n﹣t）2+（b n+c）2的几何意义为点（n，）（n∈N*）到点（t，）的距离的平方，最小值即（2，1）到的距离d的平方，∵d＝，∴（n﹣t）2+（b n+c）2的最小值为．故答案为：．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）“xy＝0”是“x＝0且y＝0”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：由xy＝0得x＝0或y＝0，即当x＝0，y≠0时，也成立，但x＝0且y＝0不成立，若x＝0且y＝0，则xy＝0成立，即“xy＝0”是“x＝0且y＝0”成立的必要不充分条件，故选：B．14．（5分）如图，点A、B、C分别在空间直角坐标系O﹣xyz的三条坐标轴上，＝（0，0，2），平面ABC的法向量为＝（2，1，2），设二面角C﹣AB﹣O的大小为θ，则cosθ＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵点A、B、C分别在空间直角坐标系O﹣xyz的三条坐标轴上，＝（0，0，2），平面ABC的法向量为＝（2，1，2），二面角C﹣AB﹣O的大小为θ，∴cosθ＝＝＝．故选：C．15．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列判断一定正确的是（）A．若S3＞0，则a2018＞0B．若S3＜0，则a2018＜0C．若a2＞a1，则2019＞a2018D．若，则a2019＜a2018【解答】解：A．反例，a1＝1，a2＝﹣2，a3＝4，则a2008＜0；B．反例，a1＝﹣4，a2＝2，a3＝﹣1，则a2008＞0；C．反例同B反例，a2019＜0＜a2018；故选：D．16．（5分）给出下列三个命题：命题1：存在奇函数f（x）（x∈D1）和偶函数g（x）（x∈D2），使得函数f（x）g（x）（x∈D1∩D2））是偶函数；命题2：存在函数f（x）、g（x）及区间D，使得f（x）、g（x）在D上均是增函数，但f（x）g（x）在D上是减函数；命题3：存在函数f（x）、g（x）（定义域均为D），使得f（x）、g（x）在x＝x0（x o∈D）处均取到最大值，但f（x）g（x）在x＝x0处取到最小值；那么真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：对于命题1，当f（x）＝g（x）＝0，x∈R时；满足f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）g（x）是偶函数；对于命题2，当f（x）＝g（x）＝x，x∈（﹣∞，0）时，满足f（x）、g（x）在D上均是增函数，但f（x）g（x）在D上是减函数；对于命题3：当f（x）＝g（x）＝﹣x2，x∈R时，f（x）、g（x）在x＝0处均取到最大值，但f（x）g（x）在x＝0处取到最小值；综上，命题1，2，3均为真命题．故选：D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB、CC1的中点．（1）求三棱锥E﹣DFC的体积；（2）求异面直线A1E与D1F所成的角的大小．【解答】解：（1）∵在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB、CC1的中点．∴点E到平面DFC的距离d＝AD＝2S△DFC＝＝1，∴三棱锥E﹣DFC的体积V＝＝．（2）取BB1的中点G，连结A1G，EG，则A1G∥D1F，∴∠EA1G是异面直线A1E与D1F所成的角（或所成角的补角），∵A1G＝＝＝，A1E＝A1G＝，EG＝＝＝，∴cos∠EA1G＝＝＝，∴∠EA1G＝arccos，∴异面直线A1E与D1F所成角为arccos．18．（14分）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx．（1）当f（﹣）＝0，且|ω|＜1，求ω的值；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a＝，b+c＝3，当ω＝2，f（A）＝1时，求bc的值．【解答】解：（1）函数f（x）＝sinωx+cosωx＝2sin（ωx）．∵f（﹣）＝0，即＝kπ，k∈Z且|ω|＜1，∴．（2）由ω＝2，f（A）＝1，即2sin（2A）＝1∵0＜A＜π∴A＝由余弦定理，cos A＝即bc＝（b+c）2﹣bc﹣a2解得：bc＝2．19．（14分）某公司利用APP线上、实体店线下销售产品A，产品A在上市20天内全部售完，据统计，线上日销售量f（t）、线下日销售量g（t）（单位：件）与上市时间t（t∈N*）天的关系满足：f（t）＝，g（t）＝﹣t2+20t（1≤t≤20），产品A每件的销售利润为h（t）＝（单位：元）（日销售量＝线上日销售量+线下日销售量）．（1）设该公司产品A的日销售利润为F（t），写出F（t）的函数解析式；（2）产品A上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？【解答】解：（1）F（t）＝．（2）令F（t）≥5000，①当1≤t≤10时，40（﹣t2+30t）≥5000，解得5≤t≤25，∴5≤t≤10．②当10＜t≤15时，40（﹣t2+10t+200）≥5000，解得﹣5≤t≤15，∴10＜t≤15．③当15＜t≤20时，20（﹣t2+10t+200）≥5000，方程无解．综上，5≤t≤15．∴产品上市的第5天到第15天给公司带来的日销售利润不低于5000元．20．（16分）已知椭圆Γ：（a＞b＞0），其左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为B，O为坐标原点，过F2的直线l交椭圆Γ于P、Q两点，sin．（1）若直线l垂直于x轴，求的值；（2）若b＝，直线l的斜率为，则椭圆Γ上是否存在一点E，使得F1、E关于直线l 成轴对称？如果存在，求出点E的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设直线l1：y＝上总存在点M满足＝2，当b的取值最小时，求直线l的倾斜角α．【解答】解：（1）∵sin，∴＝，∴c＝＝b，∴直线l的方程为：x＝b．把x＝b代入椭圆方程可得：+＝1，解得y P＝b，∴|PF2|＝b，∴|PF1|＝＝b，∴＝5．（2）b＝时，椭圆的标准方程为：+＝1．c＝2．F2（2，0），直线l的方程为：y＝（x﹣2），设点关于l对称点E（m，n），则＝，×＝﹣1，解得m＝﹣，n＝﹣，即E（﹣，﹣）．代入椭圆方程：+≠1，因此点E不在椭圆上．（3）设l：y＝k（x﹣b），（k＜0）代入椭圆的方程可得：+＝1，化为：（1+3k2）x2﹣6k2bx+6k2b2﹣3b2＝0，∴x1+x2＝，∵直线l1：y＝上总存在点M满足＝2，∴点M是线段PQ的中点．∴x M＝，y M＝k（﹣b）＝，解得：b＝，∴x M＝﹣3k，可得M，∴b＝＝﹣﹣3k≥6，当且仅当k＝﹣时，b取得最小值6．直线l的倾斜角α满足：tanα＝，α＝．21．（18分）无穷数列{a n}（n∈N*），若存在正整数t，使得该数列由t个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数n，a n+1，a n+2，…a n+t中至少有一个等于a n，则称数列{a n} 具有性质T，集合P＝{p|p＝a n，n∈N*}．（1）若a n＝（﹣1）n，n∈N*，判断数列{a n} 是否具有性质T；（2）数列{a n} 具有性质T，且a11，a4＝3，a8＝2，P＝{1，2，3}，求a20的值；（3）数列{a n} 具有性质T，对于P中的任意元素p i，为第k个满足＝p i的项，记b k＝i k+1﹣i k（k∈N*），证明：“数列{b k}具有性质T”的充要条件为“数列{a n} 是周期为t的周期数列，且每个周期均包含t个不同实数”．【解答】（1）解：∵a n＝（﹣1）n，∴{a n}是由2个不同元素组成的无穷数列，且是周期为2的周期数列，故t＝2，{a n}是周期为2的周期数列，对任意的正整数n，有a n+2＝a n，满足性质T的条件，故数列{a n} 具有性质T；（2）解：由a1＝1，a4＝3，a8＝2，P＝{1，2，3}，可知t＝3，考虑a8后面连续三项a9，a10，a11，若a11≠2，由a8＝2及T性质知，a9，a10中必有一个数为2，于是，a8，a9，a10中有两项为2，故必有1或3不在其中，不妨设为i（i＝1或3），考虑a1，a2，…，a7中，最后一个等于i的项，则该项的后三项均不等于i，故不满足性质T中的条件，矛盾，于是a11＝2．同理可得：a14＝a17＝a20＝2；（3）证明：充分性、由数列{a n} 是周期为t的周期数列，每个周期均包含P中t个不同元素，对于P中的任意元素p i，为第k个满足的项，故由周期性得：i k+1＝i k+t，于是，b k＝i k+1﹣i k＝t，数列{b k}为常数列，显然满足性质T．必要性、取足够大的N，使a1，a2，a3，…，a N包含P中t个所有互不相等的元素，考虑a N后的连续t项a N+1，a N+2，…，a N+t，对于P中任意元素p i，必等于a N+1，a N+2，…，a N+t中的某一个，否则考虑a1，a2，…，a N中最后一个等于p i的项，该项不满足性质T中的条件，矛盾．由p i的任意性知，a N+1，a N+2，…，a N+t这t个元素恰好等于P中t个互不相同的元素，再由数列{a n} 性质T中的条件得，a N+t+1＝a N+1，a N+t+2＝a N+2，…于是对于P中的任意元素p i，存在N′，有b k＝i k+1﹣i k＝t（n≥N′），即数列{b N′+k}为常数列，而数列{b k}满足性质T，故{b k}为常数列，从而{a n}是周期数列，故数列{a n} 是“周期为t的周期数列，且每个周期均包含t个不同实数”．。

上海市闵行区中考二模数 学 试 卷（考试时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答 题一律无效．3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证 明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．如果单项式13a x y +-与212b x y 是同类项，那么a 、b 的值分别为 （A ）1a =，3b =； （B ）1a =，2b =； （C ）2a =，3b =； （D ）2a =，2b =．2．如果点P （a ，b ）在第四象限，那么点Q （－a ，b －4）所在的象限是（A ）第一象限； （B ）第二象限； （C ）第三象限； （D ）第四象限．3．3月14日，“玉兔号”月球车成功在距地球约384400公里远的月球上自主唤醒，将384400保留2个有效数字表示为（A ）380000； （B ）3.8×105； （C ）38×104； （D ）3.844×105．4．某商场一天中售出李宁运动鞋11双，其中各种尺码的鞋的销售量如下表所示，（A ）25，24.5； （B ）24.5，25；（C ）26，25；（D ）25，25．5．下列四个命题中真命题是（A ）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；（B ）对角线垂直且相等的四边形是菱形；（C ）对角线相等且互相平分的四边形是矩形； （D ）四边都相等的四边形是正方形． 6．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡比为41:3i =的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为（A ）5m ； （B ）6m ； （C ）7m ； （D ）8m ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7 ▲ ．8．在实数范围内分解因式：241x x -+= ▲ ．9．关于x 的方程2230x x m +-=有实数根，那么实数m 的取值范围是▲ ． 10．已知函数(1)()3x f x x -=-，那么(1)f -= ▲ ．11．如果反比例函数的图象过点（－1，2），那么它在每个象限内y随x 的增大而 ▲ ．12．把函数22y x =的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的二次函数解析式是 ▲ ．13．一个骰子六个面上的数字分别为1、2、3、4、5、6，投掷一次，（第6题图）向上的一面是合数的概率是 ▲ ．14．已知：233m a b =- ，1124n b a =+ ，则4m n -＝ ▲ ．15．如图，直线AB ∥CD ∥EF ，那么∠α＋∠β－∠γ＝ ▲ 度． 16．如图，已知DE ∥BC ，且EF ︰BF ＝3︰4，那么AE ︰AC ＝ ▲ ． 17．如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC =8，BC =6，两等圆⊙A 、⊙B 外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为 ▲ ．（保留π）18．如图，已知△ACB 与△DEF是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm ，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图所示的形状，使点B 、C 、F 、D 在同一条直线上，且点C与点F 重合，将△ACB 绕点C 顺时针方向旋转，使得点E 在AB 边上，AC 交DE 于点G ，那么线段FG 的长为 ▲ cm （保留根号）．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：12322cos 45|81|----- ．20．（本题满分10分）（第17题图） （第16题图） （第15题图） A E C (F )B （第18题图）解方程组：113,231 1.2x x y x x y ⎧+=⎪-⎪⎨⎪-=⎪-⎩21．（本题共2小题，每小题5分，满分10分）已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中， 小圆的半径长为4，大圆的弦AB 与小圆交于C 、D 两点，且AC =CD ，∠COD = 60°．求：（1）求大圆半径的长；（2）如果大圆的弦AE 长为AEO 的余切．并直接判断弦AE 与小圆的位置关系．22．（本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题4分，满分10分）某校九年级二班为开展“迎五一劳动最光荣”的主题班会活动，派小明和小丽两位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品．已知该超市的宝克牌钢笔每支8元，英雄牌钢笔每支4.8元，他们要购买这两种笔共40支．小明和小丽根据主题班会活动的设奖情况，决定所购买的宝克牌钢笔的数量要少于英雄牌钢笔的数量的12，但又不少于英雄牌钢笔的数量的14，如果他们买了宝克牌钢笔x 支，买这两种笔共花了y 元．（1）请写出y （元）关于x （支）的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；（2）请帮助他们计算一下，这两种笔各购买多少支时，所花的钱最少，此时花了多少元？23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）ADEG HEA BC （第21题图）D O已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AB、AD为腰作等腰三角形△ABF和等腰三角形△ADE，且顶角∠BAF=∠DAE，联结BD、EF相交于点G，BD与AF相交于点H．（1）求证：BD=EF；（2）当线段FG、GH和GB满足怎样的数量关系时，四边形ABCD是菱形，并加以证明．24．（本题共2题，每小题6，满分12分）已知：如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C 两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线2y ax bx c=++经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）点P为线段OC 上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM（第24题图）为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．（本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分，满分14分）已知：如图①，△ABC中，AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC．CE 是△ABC的外角∠ACD的平分线，交BI延长线于E，联结CI．（1）设∠BAC =2α．如果用α表示∠BIC 和∠E ，那么∠BIC = ，∠E = ；（2）如果AB =1，且△ABC 与△ICE 相似时，求线段AC 的长； （3）如图②，延长AI 交EC 延长线于F ，如果∠α=30°，sin ∠F=35，设BC =m ，试用m 的代数式表示BE ．（第25题图②）FABCDEI（第25题图①）ABCDEI闵行区2018学年第二学期九年级质量调研考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．A ； 2．C ； 3．B ； 4．D ； 5．C ； 6．A ． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7． 8．(22x x --； 9．m ≥98-； 10．14-； 11．增大；12．22(3)2y x =--； 13．13； 14．823a b - ；15．180； 16．3︰4； 17．254π；18三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．解：原式1114=-+…………………………………（2分+2分+2分+2分）14=-．…………………………………………………………………（2分）20．解：设1u x=，12v x y=-，则原方程组可化为331u v u v +=⎧⎨-=⎩．……………………(2分) 解这个方程组，得12u v =⎧⎨=⎩．………………………………………………（2分）于是，得11122x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩即1122x x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩．……………………………………（2分）解方程组得132x y =⎧⎪⎨=⎪⎩． ………………………………………………………（2分）经检验132x y =⎧⎪⎨=⎪⎩是原方程组的解．……………………………………………（1分）所以，原方程组的解是132x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ ……………………………………………（1分）21．解：（1）过O 作OF ⊥CD ，垂足为F ，联结OA ．∵ OC = OD = 4，∠COD = 60°，∴ OC = OD = CD = 4． 又∵AC =CD ，∴ AC = CD =4．………………………………………（1分）∵ OF ⊥CD ，且OF 过圆心，CD = 4 ， ∴CF = FD= 2．∴ AF =6．…………………………………………（1分）在Rt △COF中，222CO OF CF =+，∴ OF= ．………………（1分）在Rt △AOF中，222AO OF AF =+，∴ AO= ．………………（1分） 即：大圆半径的长为．……………………………………………（1分）（2）过O 作OG ⊥AE ，垂足为G ．∵ OG ⊥AE ，且OG 过圆心，AE= ∴AG =EG=1分）在Rt △EOG 中，222EO EG OG =+， ∵OE=，∴OG =4．……………………………………………（1分）在Rt △EOG中，cot EG AEO OG∠===∴cot AEO ∠=2分）答： 弦AE 与小圆相切．………………………………………………（1分）22．解：（1）根据题意，得 8 4.8(40) 3.2192y x x x =⋅+-=+．…………………（3分）根据题意，得定义域为1(40)21(40)4x x x x ⎧<-⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩．………………………………（1分）解得，定义域为8≤ x ＜403的整数．…………………………（1分+1分）（2）由于一次函数 3.2192y x =+的k ＞0．所以 y 随x 的增大而增大． 因此，当x =8时花的钱最少．…………………………………………（2分）4032x -=， 3.28192217.6y =⨯+=．………………………………（1分）答：当购买英雄牌钢笔32支，宝克牌钢笔8支时，所花的钱最少，此时花了217.6元．………………………………………………（1分）23．（1）证明：∵ ∠BAF =∠DAE ，∴∠BAF+∠FAD =∠DAE +∠FAD ，即∠BAD =∠FAE ．………（1分）在△BAD 和△FAE 中∵ AB =AF ，∠BAD =∠FAE ，AD =AE ，……………………………（3分）∴△BAD ≌△FAE（SAS ）．……………………………………（1分）∴BD =EF ．…………………………………………………………（1分） （2）当线段满足2FG GH GB =⋅时，四边形ABCD 是菱形．…………………（1分）证明：∵2FG GH GB =⋅，∴FG GH BGFG=． 又∵∠BGF =∠FGB ，∴△GHF ∽ △GFB ．∴ ∠EFA =∠FBD ．………………………（1分）∵△BAD ≌ △FAE ， ∴ ∠EFA =∠ABD ． ∴ ∠FBD =∠ABD ．…………………………………………………（1分）∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD // BC ．∴ ∠ADB =∠FBD ． ∴ ∠ADB =∠ABD ．…………………………………………………（1分）∴AB =AD ．……………………………………………………………（1分）又∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ 四边形ABCD 是菱形．…………………………………………（1分）24．解：（1）∵ 抛物线2y ax bx c =++经过点O 、A 、C ，可得c = 0，…………（1分）∴2421a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得32a =-，72b =；………………………………（2分）∴ 抛物线解析式为23722y x x =-+．…………………………………（1分）对称轴是直线76x =…………………………………………………（1分）顶点坐标为（76，4924）……………………………………………（1分）（2）设点P 的横坐标为t ，∵PN ∥CD ，∴ △OPN ∽ △OCD ，可得PN =2t ，∴P （t ，2t ）．……（1分）∵点M 在抛物线上，∴M （t ，23722t t -+）．…………（1分）如解答图，过M 点作MG ⊥AB 于G ，过P 点作PH ⊥AB 于H ，AG = y A －y M = 2－（23722t t -+）=237222t t -++，BH = PN =2t ．…（1分）当AG =BH 时，四边形ABPM 为等腰梯形， ∴2372222tt t -++=，……………………………………………………（1分）化简得3t 2－8t + 4=0，解得t 1=2（不合题意，舍去），t 2=23，………（1分）∴点P 的坐标为（23，13）． ∴存在点P （23，13），使得四边形ABPM 为等腰梯形．……………（1分）25．解：（1）∠BIC = 90°＋α，…………………………………………………（2分）∠ E =α．…………………………………………………………（2分）（2）由题意易证得△ICE是直角三角形，且∠E = α．当△ABC ∽△ICE时，可得△ABC是直角三角形，有下列三种情况：①当∠ABC = 90°时，∵∠BAC = 2α，∠E = α；∴只能∠E = ∠BCA，可得∠BAC =2∠BCA．∴∠BAC = 60°，∠BCA = 30°．∴AC =2 AB．∵AB = 1 ，∴AC = 2．…………………（2分）②当∠BCA = 90°时，∵∠BAC = 2α，∠E = α；∴只能∠E = ∠ABC，可得∠BAC =2∠ABC．∴∠BAC = 60°，∠ABC = 30°．∴AB =2 AC．∵AB = 1 ，∴AC = 1．………………（2分）2③当∠BAC = 90°时，∵∠BAC = 2α，∠E = α；∴∠E = ∠BAI = ∠CAI =45°．∴△ABC是等腰直角三角形．即AC = AB．∵AB = 1 ，∴AC = 1．…………………（2分）∴综上所述，当△ABC ∽△ICE时，线段AC的长为1或2或1．2（3）∵∠E = ∠CAI，由三角形内角和可得∠AIE = ∠ACE．∴ ∠AIB = ∠ACF ．又∵∠BAI = ∠CAI ， ∴ ∠ABI = ∠F ． 又∵BI 平分∠ABC ， ∴ ∠ABI = ∠F =∠EBC ． 又∵∠E是公共角， ∴ △EBC ∽△EFI ．…………………………（2分）在Rt △ICF 中，sin ∠F=35，设IC = 3k ，那么CF = 4k ，IF = 5k ．在Rt △ICE 中，∠E =30°，设IC = 3k ，那么CE =k ，IE = 6k ．∵△EBC ∽△EFI ．∴BC IF BEFE ==又∵BC =m ， ∴BE =．………………………………（2分）。