深圳市滨河中学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试题(有答案解析)

一、选择题

1．新冠疫情期间，为支援社区抗疫工作，现将6名医护人员安排到4个社区，每个社区至少安排1名医护人员，则不同的安排方案共有（ ）

A．2640种 B．4800种 C．1560种 D．7200种

2．某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为（ ）

A．60 B．48 C．36 D．24

3．如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方从 1 按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列： 1,3,3,4,6,5,10,...，记此数列的前n项之和为nS，则 21S的值为（ ）

A．66 B．153 C．295 D．361

4．若2020220200122020(12)xaaxaxax，则下列结果不正确的是（ ）

A．01220201aaaa B．20201352019132aaaa

C．20200242020132aaaa D．202012220201222aaa

5．45(1)(1)xx的展开式中，4x的系数为（ ）

A．－40 B．10 C．40 D．45

6．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）

A．48种 B．72种 C．96种 D．144种

7．若(2)nx的展开式中二项式系数最大的项只有第6项，则展开式的各项系数的绝对值．．．之和为( )

A．111 B．102 C．103 D．113 8．二项式31nxx的展开式中第13项是常数项，则n（ ）

A．18 B．21 C．20 D．30

9．甲、乙、丙、丁4人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（ ）

A．840 B．2226 C．2100 D．2352

10．在12202011xx的展开式中, 2x项的系数为( )

A．10 B．25 C．35 D．66

11．已知8290129(3)(23)(1)(1)(1)xxaaxaxax，则6a（ ）

A．1792 B．1792 C．5376 D．5376

12．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是：3.1415926＜＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字有（ ）

A．2280 B．2120 C．1440 D．720

二、填空题

13．函数()yfx的定义域D和值域A都是集合{12,3}，的非空真子集，如果对于D内任意的x，总有()()xfxxfx的值是奇数，则满足条件的函数()yfx的个数是_____；

14．四个不同小球放入编号为1、2、3、4四个盒子中，恰有一个空盒的放法有______种.

15．将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有_______________个

16．已知(12)nx的展开式中，二项式系数的和为64，则它的二项展开式中，系数最大的是第__________项．

17．6人排成一排合影，甲乙相邻但乙丙不相邻，共有____（用数字）种不同的排法.

18．某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开四个班.选课结束后，有四名同学要求改修数学，但每班至多可再接收2名同学，那么不同的分配方案有______（用数字作答）

19．求5221xx的展开式中3x的系数为___.

20．已知423401234(21)(1)(1)(1)(1)xaaxaxaxax，则1234aaaa___________.

三、解答题

21．一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单．

（1）2个相声节目要排在一起，有多少种排法？

（2）2个相声节目彼此要隔开，有多少种排法？

（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？ （4）前3个节目中要有相声节目，有多少种排法？

（要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示）

22．已知函数2lnfxxaxaR.

（1）若21gxfxax，讨论gx的单调性；

（2）当12a时，求证：22nnnfxfxnN.

23．在一次演唱会上共10 名演员（每名演员都会唱歌或跳舞），其中7人能唱歌，6人会跳舞.

（1）问既能唱歌又会跳舞的有几人？

（2）现要选出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少种选派方法？

24．从1,3,5,7,9中任取2个数，从0,2,4,6中任取2个数，

（1）能组成多少个没有重复数字的四位数？

（2）若将（1）中所有个位是5的四位数从小到大排成一列，则第100个数是多少？

25．7个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？

1其中甲不站排头，乙不站排尾；

2其中甲、乙、丙3人两两不相邻；

3其中甲、乙中间有且只有1人；

4其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列．

26．将4个编号为1、2、3、4的小球放人编号为1、2、3、4的盒子中．

（1）恰好有一个空盒，有多少种放法？

（2）每个盒子放一个球，且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？

（3）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．C

解析：C

【分析】

本题首先可以将6名医护人员分为4组，共有65种分组方法，然后将分好的四组全排列，有24种情况，最后两者相乘，即可得出结果. 【详解】

先将6名医护人员分为4组，有两种分组方法：

若分为3、1、1、1的四组，则有3620C种分组方法；

若分为2、2、1、1的四组，则有2226422245CCCA种分组方法，

则一共有204565种分组方法，

再将分好的四组全排列，对应四个社区，有4424A种情况，

则有65241560种不同的安排方式，

故选：C.

【点睛】

本题考查通过排列组合求出所有的安排方案的数目，可分两步进行，先求出有多少种分组，再求出有多少种排列，考查计算能力，是中档题.

2．D

解析：D

【分析】

由排列组合中的相邻问题与不相邻问题得：不同的排课方法数为22222324AAA，得解．

【详解】

先将语文和英语捆绑在一起，作为一个新元素处理，

再将此新元素与化学全排，再在3个空中选2个空将数学和物理插入即可，

即不同的排课方法数为22222324AAA，

故选：D．

【点睛】

本题考查了排列组合中的相邻问题与不相邻问题，属中档题．

3．D

解析：D

【解析】

试题分析：观察杨辉三角结合其中数的来源，可得到这个数列的通项公式.na当n为偶数时，42nna；当n为奇数时，0212322233551,3,6,CCCCCC,所以232138nnnnaC，所以21S22221352124620124622224622758aaaaaaaa122423112475286753618，故选D.

考点：归纳推理与数列求和. 4．B

解析：B

【分析】

令1x，得到0120201aaa，令1x，求得202001220203aaaa，令0x，求得01a，进而逐项判定，即可求解.

【详解】

由题意，二项展开式2020220200122020(12)xaaxaxax，

令1x，可得01220202020(12)1aaaa，①

令1x，可得2020012202020203(123)aaaaa，②

令0x，可得20020(10)1a，③

由①-②，可得20201352019132aaaa，

由①+②，可得20200242020132aaaa，

令12x，可得20202020120220201(12)12222aaaa，

所以202012220201222aaa.

综上可得，A、C、D是正确的，B是错误的.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了二项展开式的系数问题的求解，其中解答中合理利用二项展开式的形式，合理赋值是解答的关键，着重考查推理与计算能力.

5．D

解析：D

【分析】

求出4(1)x中的有理项，再求出5(1)x中的相应项后，按多项式乘法法则计算．

【详解】

44(1)(1)xx展开式通项公式为2144()rrrrrTCxCx，所以0,2,4r时，该项为有理项，x的指数分别为0，1，2，

55(1)(1)xx展开式通项公式为515(1)kkkkTCx，

所以所求4x的系数为04232423454545(1)(1)(1)45CCCCCC，

故选：D．

【点睛】

本题考查二项式定理，掌握二项展开式通项公式是解题关键，对两个二项相乘，注意多项