北京十一学校2018高三数学二模

海淀区高三年级第二学期期末练习数学（文科）2018.5第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集{1,2,3,4,5,6},U = 集合{1,2,4},{1,3,5}A B ==，则()U A B I ð= （A ）{1} （B ）{3,5} （C ）{1,6} （D ）{1,3,5,6} （2）已知复数z 在复平面上对应的点为(1,1)-，则（A ） 1i z =-+ （B ） 1i z =+ （C ） +i z 是实数 （D ） +i z 是纯虚数 （3）若直线0x y a ++=是圆2220x y y +-=的一条对称轴，则a 的值为 （A ） 1 （B ） 1- （C ） 2 （D ） 2- （4）已知0x y >>，则 （A ）11x y>（B ） 11()()22x y >（C ） cos cos x y >（D ） ln(1)ln(1)x y +>+（5）如图，半径为1的圆内有一阴影区域，在圆内随机撒入一大把豆子，共n 颗，其中落在阴影区域内的豆子共m 颗，则阴影区域的面积约为（A ）m n （B ） n m （C ）m n π （D ） n mπ（6）设C 是双曲线，则 “C 的方程为2214y x -=”是“C 的渐近线方程为2y x =±”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）某校为了解高一年级300名学生对历史、地理学科的选课情况，对学生进行编号，用1，2，……300表示，并用(,i i x y ）表示第i 名学生的选课情况.其中01,i i i x ⎧=⎨⎩第名学生不选历史第名学生选历史，，01,i i i y ⎧=⎨⎩第名学生不选地理第名学生选地理.， 根据如图所示的程序框图，下列说法中错误的是 （A ）m 为选择历史的学生人数 （B ）n 为选择地理的学生人数（C ）S 为至少选择历史、地理一门学科的学生人数（D ）S 为选择历史的学生人数与选择地理的学生人数之和（8）如图，已知直线y kx =与曲线()y f x =相切于两点，函数()(0)g x kx m m =+>，则函数()()()F x g x f x =- （A ）有极小值，没有极大值 （B ）有极大值，没有极小值（C ）至少有两个极小值和一个极大值 （D ）至少有一个极小值和两个极大值第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

海淀区高三年级第二学期期末练习第一部分(选择题 共40 分)、选择题共8小题，每小题5分，共40分•在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项.(1 )已知全集 U {1,2,3,4,5,6},集合 A {1,2,4}, B {1,3,5},则(e u A) I B =(A ) {1}( B ) {3,5}(2) 已知复数z 在复平面上对应的点为(A ) z+1是实数 (C ) z+i 是实数 (3) 已知x y 0 ,贝y1 1(A )x y(C ) cosx cosy2 2(4) 若直线x y a 0是圆x y(A) 1(B )1(5) 设曲线C 是双曲线，则“ C 的方程为的(A )充分而不必要条件 (C )充分必要条件(6) 关于函数 f x sinx xcosx ,(A) f x 是奇函数 (B) 0不是f x 的极值点数 学(理科)2018.5(C) {1 ,6}( D ) {1,3,5,6}(1, 1)，则(B) z+1是纯虚数 (D)z+i 是纯虚数11 (B ) G )x (1)y22(D ) ln(x 1) In (y 1)2y 0的一条对称轴，则 a 的值为(C)2(D )22x 2 - 1”是“ C 的渐近线方程为y 2x4(B )必要而不充分条件 (D )既不充分也不必要条件 F 列说法错误的是(C) f x在(—,2)上有且仅有3个零点(D) f x的值域是R(7) 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是(A) 求首项为1,公比为2的等比数列的前2017项的和 (B) 求首项为1,公比为2的等比数列的前2018项的和 (C) 求首项为1,公比为4的等比数列的前1009项的和 (D) 求首项为1,公比为4的等比数列的前1010项的和 (8) 已知集合M {x N *|1 x 15}，集合A,A,A 满足① 每个集合都恰有5个元素 ② AUAUA M .集合A 中元素的最大值与最小值之和称为集合A 的特征数，记为X i ( i 1,2,3 ),则X 1 X 2 X 3的值不可能为()•(A ) 37 (B ) 39 (C ) 48(D ) 57第二部分(非选择题 共110分)、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试 （文史类）2018．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}2320A x x x =-+<，{}1B x x =≥，则=ABA ．(],2-∞B ．()1+∞，C ．()12，D ．[)1+∞， 2.计算()21i -=A.2iB. 2i -C. 2i -D. 2+i3.已知,x y 满足不等式组220101,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，，则3z y x =-的最小值是A.1B.3-C.1-D.72-4.在ABC △中，ππ1,,64a A B =∠=∠=，则c =A.5.“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 如图，角α，β均以Ox 为始边，终边与单位圆O 分别交于点A ，B ，则OA OB ⋅=A. sin()αβ-B. sin()αβ+C. cos()αβ-D. cos()αβ+7.已知定义在R 上的奇函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，且0a b +>，0b c +>，0a c +>，则()()()f a f b f c ++的值A ． 恒为正B ．恒为负C ．恒为0D ．无法确定8.某校中国象棋社团组织比赛.采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次却比其他人都少.则本次比赛的参赛人数至少为 A. 5 B. 6 C. 7 D.8第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9.执行如图所示的程序框图，则输出的S = ．10.双曲线22143x y -=的焦点坐标是_________，渐近线方程是___________．11. 已知0,0x y >>，且满足4x y +=，则lg lg x y +的最大值为 .12. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是_________.13.在平面直角坐标系xOy 中，点P （不过原点）到x 轴，y 轴的距离之和的2倍等于点P 到原点距离的平方.则点P 的轨迹所围成的图形的面积是 .14. 如图，已知四面体ABCD 的棱AB //平面α，且AB =，其余的棱长均为1．四面体ABCD 以AB 所在的直线为轴旋转x 弧度，且四面体ABCD 始终在水平放置的平面α的上方．如果将四面体ABCD 在平面α内正投影面积看成关于x 的函数，记为()S x ，则函数()S x 的最小正周期为 ；()S x 的最小值为 ．俯视图三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15． (本小题满分13分)已知函数()2sin (sin cos )f x x x x a =+-的图象经过点(,1)2π，a ∈R ． （Ⅰ）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最小值．16．(本小题满分13分)已知数列{}n a 的前n 项和2(,,*)n S pn qn p q n =+∈∈R N ，且143,24a S ==．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．某市的一个义务植树点，统计了近10年栽种侧柏和银杏的数据（单位：株），制表如下：平均数；（Ⅱ）从统计的数据中，在栽种侧柏与银杏数量之差的绝对值不小于300株的年份中，任意抽取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏数量多的概率.18．(本小题满分14分)如图,在四棱锥P ABCD -中，△PBC 是等腰三角形，且3PB PC ==.四边形ABCD 是直角梯形，ABDC ，AD DC ⊥，5,4,3AB AD DC ===.（Ⅰ）求证：AB //平面PDC ；（Ⅱ）当平面PBC ⊥平面ABCD 时，求四棱锥P ABCD -的体积；（Ⅲ）请在图中所给的五个点,,,,P A B C D 中找出两个点，使得这两点所在直线与直线BC垂直，并给出证明．．.已知椭圆2222:1(0)x y W a b a b +=>>，其左顶点A 在圆22:4O x y +=上（O 为坐标原点）． （I ）求椭圆W 的方程；(II) 过点A 作直线AQ 交椭圆W 于另外一点Q ，交y 轴于点R .P 为椭圆W 上一点,且//OP AQ ，求证：2AQ AR OP⋅为定值.20． (本小题满分13分)已知函数()e xf x x =，()1g x ax =+，a ∈R .（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线()y g x =垂直，求a 的值； （Ⅱ）若方程()()0f x g x -=在(2,2)-上恰有两个不同的实数根，求a 的取值范围; （Ⅲ）若对任意1[2,2]x ∈-，总存在唯一的2(,2)x ∈-∞，使得21()()f x g x =，求a 的取值范围.北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试答案（文史类） 2018．5二、填空题（本题满分30分）三、解答题（本题满分80分） 15. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）根据题意得2sin(sin cos )1222a πππ+-=，即2(10)1a +-=， 解得1a =． ()2s i n (s i n c o sf x x x x =+- 22sin 2sin cos 1x x x =+-sin 2cos 2x x =-)4x π=-．由222242k x k πππ-+π≤-≤+π（k ∈Z ），得322244k x k ππ-+π≤≤+π， 所以388k x k ππ-+π≤≤+π， 所以函数()f x 的单调递增区间是3[,88k k k ππ-+π+π](∈)Z ．……………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知())4f x x π=-． 当[0,]2x π∈时，2[,]444x ππ3π-∈-，所以sin(2)124x π-≤-≤．所以1()f x -≤≤ 所以当244x ππ-=-，即0x =时，()f x 取得最小值1-．……………13分 16. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）根据题意得3,16424.p q p q +=⎧⎨+=⎩即3,4 6.p q p q +=⎧⎨+=⎩. 解得1,2.p q =⎧⎨=⎩ 所以22n S n n =+. 当2n ≥时，221(2)[(1)2(1)]21nn n a S S n n n n n -=-=+--+-=+．因为13211a ==⨯+也适合上式，所以21(*)n a n n =+∈N . ……………7分（Ⅱ）因为23121242n n n n b b +++==，且131228a b ===， 所以数列{}n b 是以8为首项，4为公比的等比数列，所以8(14)8(41)143n nn T -==--．……………… 13分17. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）这10年中栽种银杏数量的中位数为3700株.设平均数为x ，则34003300360036003700420044003700+4200+4200=383010x +++++++=株.……… 4分（Ⅱ）根据表中数据，满足条件的年份有2009，2010，2011，2013，2014共5年.从这5年中抽取2年，有2009，2010；2009，2011；2009，2013；2009，2014；2010，2011；2010，2013；2010，2014；2011，2013；2011，2014；2013，2014共10种情况.设事件A 表示“任取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏的数量多”.则事件A 包括2009，2010；2009，2013；2009，2014；2010，2011；2011，2013；2011，2014共6种情况.所以63()==105P A . 答：任取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏的数量多的概率为35………………13分 18. （本小题满分14分） 证明：（Ⅰ）因为ABDC ，又因为AB PDC ⊄平面，DC PDC ⊂平面， 所以//AB 平面PDC ． ……3分（Ⅱ）取BC 中点F ，连接PF .又因为PB PC =，所以PF BC ⊥，又因为平面PBC ⊥平面ABCD ， 平面PBC平面ABCD =BC ，所以PF ⊥平面ABCD .在直角梯形ABCD 中，因为ABDC ，且AD DC ⊥，4,3AD DC ==，5AB =，所以BC =1=(35)4162ABCD S +⨯=梯形.又因为3PB =，BF ,所以2PF =.所以1132162333P ABCD ABCD V S PF -=⋅=⋅⋅=梯形.……………… 9分 （Ⅲ）,A P 点为所求的点. 证明如下：连接,AF AC . 在直角梯形ABCD 中，因为AB DC ，且AD DC ⊥，4,3AD DC ==，所以5AC =.因为5AB =，点F 为BC 中点，所以AF BC ⊥. 又因为BC PF ⊥,AFPF F =，所以BC PAF ⊥平面.又因为PA PAF ⊂平面，所以PA BC ⊥.…………14分 19. （本小题满分14分）解：（I ）因为椭圆W 的左顶点A 在圆22:4O x y +=上， 令0y =，得2x =±，所以2a =．，所以c e a ==，所以c =所以2221b a c =-=， 所以W 的方程为2214x y +=．…………5分 (II)证明：设00(,)P x y ，易知00x ≠，有222200001,444x y x y 即+=+=， 设(,)Q Q Q x y ，直线AQ 方程为00(2)y y x x =+，联立22001,4(2).x y y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即 22222200000(4)161640x y x y x y x +++-=，即2222000440x y x y x ++-=， 所以2024Q x y -+=-，即2024Q x y =-，所以，2200224244Q x y y +=-+=-. 故有：2022002(44)22=2Q x AQ AR AQ AR y OPOPx x x OP+⋅-⨯⋅=⋅==. …………14分. 20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知()(1)x f x x e '=+，(0)1f '=，因为曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线()y g x =垂直，所以1a =-.……………… 3分（Ⅱ）令()()()h x f x g x =-，(2,2)x ∈-.则()(1)e ,()(2)e 0x x h x x a h x x '''=+-=+>所以，()h x '在区间(2,2)-上单调递增.依题意，(2)0(2)0h h '-<⎧⎨'>⎩ ，解得221(,3e )e a ∈-.所以0(2,2)x ∃∈-，使得0()0h x '=，即00(1)e 0x x a +-=, 于是()h x 的最小值为0000()e 1x h x x ax =--.依题意，0(2)0(2)0()0h h h x ->⎧⎪>⎨⎪<⎩，，，因为000020000000()e 1e (1)e 1e 10x x x x h x x ax x x x x =--=-+-=--<,所以，解得22111(,e )e 22a ∈+-.……………… 8分 （Ⅲ） ()(1)e x f x x '=+⋅，令()0f x '=，得1x =-.当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '<，函数()f x 为减函数； 当(12)x ∈-，时，()0f x '>，函数()f x 为增函数. 所以函数()f x 的最小值1(1)ef -=-. 又2(2)2e f =.显然当0x <时，()0f x <.令2()e ,1x t x x x =<-.则2()(2)e .x t x x x '=+令()0t x '=，得2x =-或0.所以()t x 在()2-∞-，内为增函数，在()21--，内为减函数. 所以max 24()(2)1et x t =-=<.所以2e 1x x <. 又1x <-，所以1e x x x>. 而当1x <-时，()11,0x ∈-， 所以当(],1x ∈-∞-时，1(),0e f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭； 当(1,0)x ∈-时，1(),0e f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.(1) 当0a =时，()1g x =，符合题意； (2) 当0a >时，易得()[21,21]g x a a ∈-++.依题意2210212e a a -+≥⎧⎨+<⎩，，所以21,21e ,2a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪<-⎪⎩所以此时102a <≤.(3) 当0a <，则()[2121]g x a a ∈+-+，，依题意2210212e a a +≥⎧⎨-+<⎩，， 所以21,21e ,2a a ⎧≥-⎪⎪⎨⎪>-+⎪⎩所以102a -≤<. 综上11[,]22a ∈-. ……………13分。

西城区高三模拟测试数学（文科） 2018.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的 四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|01}A x x =<<，2{|20}B x x x =-<，则下列结论中正确的是 （A ）A B =∅ （B ）A B =R （C ）A B ⊆ （D ）B A ⊆2．复数11i =- （A ）1i 22+ （B ）1i22-+（C ）1i22--（D ）1i 22-3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是 （A ）1y x=（B ）2y x = （C ）cos y x = （D ）ln ||y x =-4．某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的侧棱长是（A（B（C ）（D ）5．向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若向量λ+a b 与c共线，则实数λ= （A ）2-（B ）1-（C ）1 （D ）26．设,a b ∈R ，且0ab ≠．则“1ab >”是“1a b>”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．设不等式组1,3,25xx yx y⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≥≤表示的平面区域为D．若直线0ax y-=上存在区域D上的点，则实数a的取值范围是（A）1[,2]2（B）1[,3]2（C）[1,2]（D）[2,3]8．地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（A）A （B）B （C）D （D）E第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．函数1||2yx=+的最大值是____．10．执行如右图所示的程序框图，输出的k值为____．11．在△ABC中，3a=，2b=，4cos5B=，则sin A=____．12．双曲线22:1916y xC-=的焦距是____；若圆222(1)(0)x y r r-+=>与双曲线C的渐近线相切，则r=____．13．为绿化生活环境，某市开展植树活动．今年全年植树6.4万棵，计划3年后全年植树12.5万棵．若植树的棵数每年的增长率均为a ，则a =____．14．已知函数2,1,()1,1,2x a x f x x a x ⎧+⎪=⎨+>⎪⎩≤ 其中a ∈R .如果函数()f x 恰有两个零点，那么a 的取值范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，111a b ==，22a b =，432a b +=． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．16．（本小题满分13分）已知函数cos2()sin cos xf x x x=+．（Ⅰ）求()f x 的定义域； （Ⅱ）求()f x 的取值范围．17．（本小题满分13分）在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a ，b 的值； （Ⅱ）试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数；（III ）某研究机构提出，可以选取常数0 4.5X =，若一名从业者该项身体指标检测值大于0X ，则判断其患有这种职业病；若检测值小于0X ，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率．18．（本小题满分14分）如图，梯形ABCD 所在的平面与等腰梯形ABEF 所在的平面互相垂直，////AB CD EF ，AB AD ⊥，G 为AB 的中点．2CD DA AF FE ====，4AB =．（Ⅰ）求证：//DF 平面BCE ； （Ⅱ）求证：平面BCF ⊥平面GCE ； （Ⅲ）求多面体AFEBCD 的体积．19．（本小题满分13分）已知函数ln ()xf x ax x =-，曲线()y f x =在1x =处的切线经过点(2,1)-．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设1b >，求()f x 在区间1[,]b b上的最大值和最小值．20．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2222 1 (0)x y a b a b+=>>(0,1)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线y x =与椭圆C 交于A ，B 两点，斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，与直线y x =交于点P （点P 与点A ，B ，M ，N 不重合）． （ⅰ）当1k =-时，证明：||||||||PA PB PM PN =； （ⅱ）写出||||||||PA PB PM PN 以k 为自变量的函数式（只需写出结论）．西城区高三模拟测试数学（文科）参考答案及评分标准2018.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．A 3．D 4．B 5．D 6．D 7．B 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．12 10．511．91012．10，35 13．25% 14．1[2,)2--注：第12题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ． 依题意，得 21,2(13).d q d q +=⎧⎨++=⎩ (2)分解得 2,3,d q =⎧⎨=⎩或1,0.d q =-⎧⎨=⎩（舍去） ……………… 4分所以 21n a n =-，13n n b -=． (6)分（Ⅱ）因为 1213n n n a b n -+=-+， ……………… 7分所以 21[135(21)](1333)n n S n -=++++-+++++ (9)分[1(21)]13213nn n +--=+-………………11分2312n n -=+． ………………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由 sin cos 0x x +≠， ……………… 2分得 π)04x +≠， (3)分所以 ππ4x k +≠，其中k ∈Z ． ……………… 4分所以()f x 的定义域为π{|π,}4x x k k ∈≠-∈R Z ． (5)分（Ⅱ）因为 22cos sin ()sin cos x xf x x x-=+ (7)分cos sin x x =- ……………… 9分π)4x =+． (11)分由（Ⅰ）得 ππ4x k +≠，其中k ∈Z ， 所以 π1cos()14x -<+<， (12)分所以 ()f x 的取值范围是(． ………………13分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为3.4100408.5⨯=人． ……………… 2分10.100.350.250.150.100.05a =-----=，10.100.200.300.40b =---=． (4)分（Ⅱ）指标检测值不低于5的样本中，有患病者40(0.300.40)28⨯+=人，未患病者60(0.100.05)9⨯+=人，共37人． (6)分此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数约为378500031450100⨯=人． (8)分（Ⅲ）当0 4.5X =时，在100个样本数据中， 有40(0.100.20)12⨯+=名患病者被误判为未患病， (10)分有60(0.100.05)9⨯+=名未患病者被误判为患病者， ………………12分因此判断错误的概率为21100． ………………13分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为 //CD EF ，且CD EF =，所以 四边形CDFE 为平行四边形，所以 //DF CE ． …… 2分因为 DF ⊄平面BCE ，…… 3分所以 //DF 平面BCE ．…… 4分 （Ⅱ）连接FG ．因为 平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD I 平面ABEF AB =，AD AB ⊥，所以 AD ⊥平面ABEF ，所以 BF AD ⊥． (6)分因为 G 为AB 的中点，所以 //AG CD ，且AG CD =；//EF BG ，且EF BG =， 所以 四边形AGCD 和四边形BEFG 均为平行四边形．所以 //AD CG ， 所以 BF CG ⊥． (7)分因为 EF EB =，所以 四边形BEFG 为菱形，所以 BF EG ⊥． (8)分所以 BF ⊥平面GCE ． (9)分所以 平面BCF ⊥平面GCE ． ………………10分（Ⅲ）设 BF GE O =I ．由（Ⅰ）得 //DF CE ，所以 //DF 平面GCE ， 由（Ⅱ）得 //AD CG ，所以 //AD 平面GCE ， 所以 平面//AD F 平面GCE ，所以 几何体AD F GCE -是三棱柱． (11)分由（Ⅱ）得 BF ⊥平面GCE ．所以 多面体AFEBCD 的体积 ADF GCE B GCE V V V --=+ (12)分13GCE GCE S FO S BO ∆∆=⋅+⋅43GCE S FO ∆=⋅ (14)分19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的导函数为221ln ()x ax f x x --'=， (2)分所以(1)1f a '=-． 依题意，有 (1)(1)112f a --=--，即1112a a -+=--， ……………… 4分解得 1a =． (5)分（Ⅱ）由（Ⅰ）得221ln ()x xf x x --'=．当0<<1x 时，210x ->，ln 0x ->，所以()0f x '>，故()f x 单调递增；当>1x 时，210x -<，ln 0x -<，所以()0f x '<，故()f x 单调递减．所以 ()f x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减． (8)分因为 101b b<<<， 所以 ()f x 最大值为(1)1f =-． ……………… 9分设 111()()()()ln h b f b f b b b b b b=-=+-+，其中1b >． (10)分则 21()(1)ln 0h b b b '=->， 故 ()h b 在区间(1,)+∞上单调递增． (11)分所以 ()(1)0h b h >=， 即 1()()f b f b>， (12)分故 ()f x 最小值为11()ln f b b b b=--． (13)分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得c a =， 1b =， 且 222a b c =+． ……………… 2分解得 a ． ……………… 3分所以 椭圆C 的方程是 2213x y +=． ……………… 4分（Ⅱ）（ⅰ）由 22,33,y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得A ，(B ． ……………… 5分1k =-时，设直线l 的方程为y x t =-+．由 22,33,y x t x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 2246330x tx t -+-=． ……………… 6分令223648(1)0t t ∆=-->，解得 24t <．设 1122(,),(,)M x y N x y ，则 1232t x x +=，212334t x x -⋅=． ……………… 8分由 ,,y x t y x =-+⎧⎨=⎩ 得(,)22t t P ． ……………… 9分所以 23||||2t PA PB -=． ………………10分因为 1||PM x ==-，同理2||PN x =-．所以 12||||222t t PM PN x x =-⋅-2233324224t t t t -=-⋅+ 232t -=.所以 ||||||||PA PB PM PN =． ………………12分 （ⅱ）22||||13||||2(1)PA PB k PM PN k +=+．………………14分。

2018年北京市十一学校高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．(★)已知，则A∩B=（）A．[-3，0）B．[-3，0]C．（0，+∞）D．[-3，+∞）2．(★)若复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数为（）A．B．C．D．3．(★)已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．-＞0B．sin x-sin y＞0C．（）x-（）y＜0D．ln x+ln y＞04．(★★)已知p：∃x＞0，e x-ax＜1成立，q：函数f（x）=-（a-1）x是减函数，则p是q 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．(★)若函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．B．C．D．6．(★)四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）A．B．C．D．7．(★★)在平面直角坐标系中，如果我们定义两点A（x 1，y 1）、B（x 2，y 2）的距离d（A，B）为：d（A，B）=max{|x 1-x 2|，|y 1-y 2|}，则单位圆（到原点O（0，0）的距离等于1的所有点的轨迹）的面积为（）A．πB．1C．2D．48．(★★)已知点A（-1，-1）．若曲线T上存在两点B，C，使△ABC为正三角形，则称T为“正三角形”曲线．给定下列三条曲线：①x+y-3=0（0≤x≤3）；②x 2+y 2=2（- ；③y= （x＞0）．其中，“正三角形”曲线的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．(★★)已知角α终边上一点P的坐标是（2sin2，-2cos2），则sinα= ．10．(★★)过双曲线的右焦点F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为E，O为坐标原点，若∠OFE=2∠EOF，则b= ．11．(★★★)已知在△ABC所在平面内有两点P、Q，满足+ =0，+ + = ，若| |=4，| |=2，S △APQ= ，则•的值为．12．(★★★)设S n为数列{a n}的前n项和，已知a 1=2，对任意p、q∈N *，都有a p+q=a*）的最小值为．p+a q，则f（n）= （n∈N13．(★★★)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为万元．14．(★★★)已知函数．①若a=1时f（x）-t有3个零点，则t的取值范围为；②若f（x）的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则a的取值范围是．三、解答题（本题共6个小题，共80分）15．(★★★)如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4．（Ⅰ）求∠ACP；（Ⅱ）若△APB的面积是，求sin∠BAP．16．(★★★)2018年2月25日第23届冬季奥运会在韩国平昌闭幕，中国以1金6银2铜的成绩结束本次冬奥会的征程．某校体育爱好者协会在高三年级某班进行了“本届冬奥会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），按分层抽样从被调查的学生中随机抽取了11人，具体的调查结果如表：（Ⅰ）若该班女生人数比男生人数多4人，求该班男生人数和女生人数（Ⅱ）在该班全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；（Ⅲ）若从该班调查对象中随机选取2人进行追踪调查，记选中的2人中对“本届冬奥会中国队表现”满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望．17．(★★★)如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD= BC=2，E是BC的中点，AE∩BD=M，将△BAE沿着AE翻折成△B 1AE，使平面B 1AE⊥平面AECD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面B 1DM；（Ⅱ）求二面角D-AB 1-E的余弦值；（Ⅲ）在线段B 1C上是否存在点P，使得MP∥平面B 1AD，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．(★★★★)已知抛物线E：x 2=2py（p＞0），其焦点为F，过F且斜率为1的直线被抛物线截得的弦长为8．（1）求抛物线E的方程；（2）设A为E上一动点（异于原点），E在点A处的切线交x轴于点P，原点O关于直线PF的对称点为点B，直线AB与y轴交于点C，求△OBC面积的最大值．19．(★★★★★)已知函数f（x）=e x-1+a，函数g（x）=ax+lnx，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）与直线y=x相切，求a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：f（x）≥g（x）+1；（Ⅲ）若函数f（x）与函数g（x）的图象有且仅有一个公共点P（x 0，y 0），证明：x 0＜2．20．(★★★★★)某条公路上依次有10个车站A 0，A 1，…，A 9，相邻两站（如A 0与A 1、A 1与A 2…）间距离均为1km，某货车从A 0站出发，跑遍各站，运送货物，且货车在每站只停留一次，最终返回A 0站，由于货运需要，货车不一定顺次停车．（如可能从出发到返回依次停车于A 0→A 5→A 4→A 8→A 7→A 3→A 6→A 2→A 9→A 1→A 0）；（1）若货车按上述示例送货，其总里程是多少？（写出结果即可）（2）求该货车可能行驶的最小里程？（3）求该货车可能行驶的最大里程？并求达到该最大里程的停靠方案数有多少种？。

2018北京十一学校高三数 学（理） （二模） 2018.4.25总分：150分 时间：120分钟一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1.已知{}{}|31,|3x A x B x y x =<==+，则AB =（ ）A.[)3,0- B. []3,0- C. ()0,+∞ D.[)3,-+∞ 解析：{}{}|0,|3A x x B x x =<=≥-，所以A B =[)3,0-2.若复数z 满足1ziz i=-，其中i 是虚数单位，则复数z 的共轭复数为（ ） A. 1122i -+ B. 1122i -- C. 1122i - D.1122i +解析：zi z i =-，所以(1)11(1)(1)2i i i iz i i i +-+===--+，所以12i z --= 3.已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则( )A.1x －1y ＞0B.sin x －sin y ＞0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＜0 D.ln x ＋ln y ＞0解析：函数y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，所以1x ＜1y ，即1x －1y ＜0，A 错；函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上不是单调函数，B 错；函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上单调递减，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y＜0，所以C 正确；ln x ＋ln y ＝ln xy ，当x ＞y ＞0时，xy 不一定大于1，即不一定有ln xy ＞0，D 错. 4.已知:0,1xp x e ax ∃>-<成立, :q 函数()()1x f x a =--是减函数, 则p 是q 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：:0,1xp x e ax ∃>-<即0,1x x e ax ∃><+结合xy e =在(0,0)处切线为1y x =+，可知1a >；q中，11a ->，所以2a >，可知1a >是2a >的必要不充分条件.5.若函数()f x 的图像如图所示，则()f x 的解析式可能是（ )A ．21()1x e f x x -=-B ．2()1xe f x x =-C. 321()1x x f x x ++=- D ．421()1x x f x x ++=- 解析：可知()0f x <在(1,1)-恒成立，排除,A C ，再结合单调性可知，只有B 符合，因为222-2-1()(1（））xx x e f x x '=-在(,1)-∞-递增，(1,12)--递增，(12,1)-递减，(1,12)+递减，(12,)++∞递增6.四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 不存在相邻的两个人站起来的概率为（ ） A.14 B.716 C.12 D.916解析：古典概型，4人共有16种．可能4人都不站起来，有1种；可能只有1个人站起来有4种；可能相对的两人站起来，有2种，共7种，所以概率为716， 7.在平面直角坐标系中，如果我们定义两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的距离(,)d A B 为：{}1212(,)max ,d A B x x y y =--，则单位圆（到原点(0,0)O 的距离等于1的所有点的轨迹）的面积为（ ）A.πB.1C.2D.48．已知点(1,1)A --．若曲线T 上存在两点,B C ，使ABC △为正三角形，则称T 为“正三角形”曲线．给定下列三条曲线：①30(03)x y x +-=≤≤；②222(20)x y x +=-≤≤；③1(0)y x x=->． 其中，“正三角形”曲线的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：①设线段30(03)x y x +-=≤≤为MN ，则18MN =，17AM =，60MAN ∠>︒，一定可以在MN 上找到,B C 满足题意； ②画个图显然不对；③法一：（戴老师）考虑以A 为圆心的动圆A e ，当A e 的半径r 在()0,+∞上变化时，A e 与1y x=-从没有交点到相切相交，设交点为PQ ，研究PAQ ∠的变化趋势，至少能取到()0,90︒，因此必有r 可以满足60PAQ ∠=︒；法二：设1(0)y x x=->上有两动点P 、Q 满足60PAQ ∀∠=︒且AP 到AQ 为顺时针旋转。

北京市西城区 2018年高三二模试卷数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共 40分）一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共40 分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1 ．已知会合 A { x | x2 0} ， B { x | x a} ，若A B A ，则实数 a 的取值范围是（）（A）(, 2]（B）[2,)（C）(,2]（D）[2,) 2．在复平面内，复数z=(1 2i) 2对应的点位于（）（ A ）第一象限（B ）第二象限（ C）第三象限（D ）第四象限3 ．直线y2x 为双曲线 C：x2y21(a 0, b 0)的一条渐近线，则双曲线 C 的离心率a2b2是（）（A）5（ B ）5（C）3（ D）3 221/154．某四棱锥的三视图以下图，记 A 为此棱锥全部棱的长度的会合，则（）（A）2? A，且4? A（B）2? A，且4? A（C）2? A，且25? A44（D）2? A，且17? A1111正 (主 )视图侧 (左 )视图俯视图5．设平面向量 a ，b， c 均为非零向量，则“ a (b c)0 ”是“b c ”的（）（ A ）充足而不用要条件（B）必需而不充足条件（ C）充足必需条件（D）既不充足也不用要条件6．如图，暗影地区是由函数y cos x的一段图象与xy轴围成的关闭图形，那么这个暗影地区的面积是（）Oπ3π x22（ A ）1（B）2（C）π（D）π2x≥0,7. 在平面直角坐标系≥所表示的平面地区是，不等式组xOy 中，不等式组y 0,x y8≤0≤ ≤0 x 4,所表示的平面地区是. 从地区中随机取一点P(x, y) ，则P为地区内的点的0≤ y≤10概率是（）（A）1（B）3（C）3（D）1 45452/158. 设为平面直角坐标系xOy 中的点集，从中的随意一点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为 M ， N ，记点 M 的横坐标的最大值与最小值之差为x( ) ，点N的纵坐标的最大值与最小值之差为y() .若是边长为 1 的正方形，给出以下三个结论：○x() 的最大值为 2 ；1○x()y()的取值范围是 [2, 22] ；2○x()y() 恒等于0.3此中全部正确结论的序号是（）○○○○○○ ○○（A） 1（B）2 3（C）1 2（D）1 2 3第Ⅱ卷（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．( x1) 6的二项睁开式中，常数项为______．x110. 在△ ABC 中，若a 4 ， b 3 ，cos A_____；B_____．，则 sin A311 ．如图， AB 和 CD是圆 O 的两条弦，AB 与 CD 订交于点E，且CE DE 4 ，AE: BEAC______.开始4:1 ，则 AE ______；BDa =3,i=1A是i>10否. O1a输出 aaaC D1结束EB i=i+112．履行以下图的程序框图，输出的 a 值为 ______．13. 设抛物线C：y24x 的焦点为F，M为抛物线C上一点，3/15N (2,2) ，则 | MF | | MN |的取值范围是.14. 已知 f 是有序数对会合M = {( x, y) | x 挝N* , y N*}上的一个映照，正整数数对( x, y) 在映射 f 下的象为实数 z，记作 f ( x, y) = z .对于随意的正整数m, n (m > n)，映照f由下表给出：( x, y)(n, n)(m, n)(n, m)f ( x, y)n m - n m+ n则 f (3,5) = __________，使不等式 f (2 x, x) ≤ 4 建立的x的会合是_____________.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13 分）在平面直角坐标系xOy 中，点 A(cos , 2 sin) ， B(sin,0) ，此中R .2πAB 的坐标；（Ⅰ）当时，求向量3（Ⅱ）当[0,π]时，求 | AB |的最大值. 216．（本小题满分13 分）为认识某校学生的视力状况，现采纳随机抽样的方式从该校的 A ，B 两班中各抽 5 名学生进行视力检测．检测的数据以下：A 班 5 名学生的视力检测结果：，，，， 4.9.B 班 5 名学生的视力检测结果：，，，， 4.5.（Ⅰ）分别计算两组数据的均匀数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？（Ⅱ）由数据判断哪个班的 5 名学生视力方差较大？（结论不要求证明）（Ⅲ）现从A班的上述5 名学生中随机选用 3 名学生，用X 表示此中视力大于 4.6 的人4/15数，求 X 的散布列和数学希望.17．（本小题满分14 分）如图，在三棱锥P ABC中，PA底面ABC，AC BC ，H为PC的中点，M 为AH 的中点，PA AC 2 ， BC 1.（Ⅰ）求证：AH平面PBC；（Ⅱ）求 PM 与平面AHB成角的正弦值；（Ⅲ）设点N 在线段PB上，且PN，MN //平面ABC，务实数的值. PBPHMACB18．（本小题满分13 分）已知函数f ( x)e x 1，此中a R. ax24x 4（Ⅰ）若 a0，求函数 f (x) 的极值；（Ⅱ）当 a1时，试确立函数 f ( x) 的单一区间. 19．（本小题满分14 分）设 A, B 是椭圆 W : x2y 21上不对于坐标轴对称的两个点，直线AB 交x轴于点 M 43（与点 A, B 不重合），O为坐标原点.（Ⅰ）假如点M 是椭圆W的右焦点，线段MB 的中点在y轴上，求直线AB 的方程；5/15（Ⅱ）设 N 为x轴上一点，且OM ON 4 ，直线AN与椭圆W的此外一个交点为C，证明：点 B 与点 C 对于x轴对称.20．（本小题满分 13分）在无量数列 { a n }中， a1 1 ，对于随意 n N*，都有 a n N*， a n a n 1.设 m N*，记使得 a n≤ m 建立的n 的最大值为 b m.（Ⅰ）设数列 {a n } 为1，，，，，写出 b1， 2 ， 3 的值；357b b（Ⅱ）若 { b n } 为等差数列，求出全部可能的数列{ a n } ；（Ⅲ）设 a p q ， a1a2a p A ，求 b1b2b q的值.（用 p, q, A 表示）北京市西城区2018 年高三二模试卷参照答案及评分标准6/15高三数学 （理科）8540.1 D2 B3 A4 D5 B6 B7 C8 D6530.9 202 2π 103 411 82121313 [3,+ )14 8{1,2}10 11 142 3 .680 . .1513AB(sincos , 2 sin )22πcossin2π 2π 1 34sin3cos33 22 sin2π62 sin32AB (13 , 6) .62 2AB(sincos , 2 sin )| AB |2 (sincos ) 2 (2 sin )27 1 sin 22sin 28 1 sin 2 1 cos2922 sin(2 π10) .47/150 ≤≤π2 π π 5π114 ≤ 2≤.442π 5π 222 (2) 3 124|AB||AB| 242π3 .132 |AB |1613A 5x A =25B 5 x B =35=4.5 .A .4 B 5.7A52.X012.8P(XC 33190)3C 510P( XC 32C 123 101)C 535P( XC 13 C 223 112).C 5310XX0 1 2P1 3 3 1051012E(X) 01 1 32 36 . 1310 510 517148/15PA ABC BC ABCPA BC1 AC BC PA AC ABC PAC2 AH PACBC AH.3PA AC，PCHAH PCPC BC CAH PBC .5ABC A AD // BC，BC PACAD PACPA ABCPA AC ADAADAC AP xyzA(0,0,0)P(0,0,2)B(1,2,0) C (0,2,0)H (0,1,1)11) .M (0,,226AHB n( x, y , z)zAH(0,1,1) AB(1,2,0)P n AH0,y z0,x 2 y0,H n AB0,z 1n (2,1,1) .8MA NPMAHB C yD(0,1,3)x BPM229/1520( 1)13)PM n 1(sin cos PM , n22PM n562sin215 .1015PB(1,2,2)PN PBPN(,2 , 2 )PM(0, 1,3)221,32 ).MN PN PM( ,21222MN //ABCABCAP(0,0, 2)MN AP 3 40314.418.13e x1{ x | x R x1} .1 f ( x)44xf (x)e x 1(4 x 4) 4e x 14xe x 1(4 x4)2(4 x4)2 .3f( x)0x0x f (x) f( x)x( ,1)( 1,0) f (x)f ( x)0(0,)510/15故 f (x) 的单一减区间为(, 1)，(1,0) ；单一增区间为(0,) ．因此当 x0 时，函数 f (x)有极小值 f (0)e6 分.4（Ⅱ）解：由于 a 1 ，因此 ax24x 4 ( x 2) 2(a 1)x20 ，因此函数 f (x) 的定义域为R，7 分求导，得 fe x 1 (ax24x4)e x 1 (2ax4)e x 1 x(ax42a)8 分( x)(ax24x4)2(ax24x4) 2，令 f (x)0，得 x10 ， x2249 分，a当 1a2时， x2x1，当 x 变化时， f (x)和 f( x) 的变化状况以下：x(, 24)24( 24,0)0(0,)a a af ( x)00f ( x)↗↘↗故函数 f ( x) 的单一减区间为( 24,0) ，单一增区间为 (, 24) ，(0,) ．a a11 分当 a2时， x2 x1 0 ，由于 f(x)2e x 1x2≥ 0 ，（当且仅当x0时， f(x)0 ）(2 x24x4) 2因此函数 f ( x) 在R单一递加.12 分当 a 2 时，x2x1，当 x 变化时， f (x) 和 f ( x) 的变化状况以下：x( ,0)0(0, 24)24(24,)a a a11/15f ( x)00f ( x)↗↘↗故函数 f ( x) 的单一减区间为 ( 0,24) ，单一增区间为( ,0)，(24) ．,a a综上，当 1 a 2 时， f ( x)的单一减区间为( 24,0) ，单一增区间为(, 24) ，a a(0,) ；当 a 2 时，函数 f ( x) 在R单一递加；当a 2 时，函数 f ( x)的单一减区间为( 0,24) ；单一增区间为(,0) ，(24,)．13 分a a19．（本小题满分14 分）（Ⅰ）解：椭圆 W 的右焦点为M (1,0) ， 1 分由于线段 MB 的中点在y轴上，因此点 B 的横坐标为1，由于点 B 在椭圆W上，将 x 1 代入椭圆W的方程，得点 B 的坐标为( 1,3) . 3 分2因此直线 AB （即 MB ）的方程为3x 4 y 3 0 或 3x 4 y 3 0 . 5 分（Ⅱ）证明：设点 B 对于 x 轴的对称点为B1（在椭圆W上），要证点 B 与点 C 对于x轴对称，只需证点 B1与点C重合，.又由于直线AN 与椭圆W的交点为C（与点 A 不重合），因此只需证明点A， N ，B1三点共线.7分以下给出证明：由题意，设直线AB 的方程为y kx m(k 0) , A( x1 , y1) , B(x2, y2 ) ，则 B1 ( x2 ,y2 ) .12/153x2 4 y212,y kx m,(34k 2 ) x28kmx4m2 12 09(8 km) 24(34k 2 )(4 m212)0x1x28kmx1x24m 2 1210 34k 234k2.y kx my0M(m,0)4k,0)kOM ON4N(11mNA NB1k NA k NB1y1y2x2 y1y14kx1 y2y24kk NA kNB m m 4k4k4k 14kx1x2(x1)( x2)m m m4k4kmx2 y1 y1x1 y2y2m m4k m) 4kx2 (kx1m)(kx1m)x1( kx2 m)(kx2m m2kx1x2(m4k 2)( x1x2 ) 8km122k( 4m212 )( m4k2)(8km) 8k34k2m34k 28m2k24k8m2k32k 324k32k 334k 2013k NA kNB10A N B1B C x.1413/152013b1 1 b2 1 b3 2 .31 a1a2a3a na n N*a n≥n.4a n≤m nb m a n≤m 1n b m 1b1 1 b m≤ b m 1 (m N*).5 a2 kk≥2 .k2a2k >2n≥2a n 2≥≥k 1 . n3a nb2 1 b k 2 .{ b n }d b2b10b n1n N*.b k2( k 2)a2 2 .6a1a2a3a nb22{b n }b n nn N*.7 a n≤ mnb ma n≤na n≥n a n n .814/15a2 k ( k1)a1a2a3a nb1b2bk 11b k2{ b n }1k1a2a19 a3l ( l k)b k bk 1bl 12b l3{ b n }2l k a3a210{ b n}p1a p a p 1.11b1b2b q(a2a1 ) 2( a3a2 )( p 1)(a p a p 1 ) pa1a2ap 1( p 1)a p ppa p p (a1a2a p 1a p ) p(q1) A .b1b2b q p( q 1) A .1315/15。

2018北京市各城区二模数学(文科)分类汇编之立体几何含答案D（Ⅱ）当平面PBC ⊥平面ABCD 时,求四棱锥P ABCD -的体积; （Ⅲ）请在图中所给的五个点,,,,P A B C D 中找出两个点,使得这两点所在的直线与直线BC 垂直,并给出证明．．. 解析:（Ⅰ）因为//AB CD ,CD ⊂平面PDC ,AB ⊄平面PDC 所以//AB 平面PDC（Ⅱ）在梯形ABCD 中,过点C 作CF AB ⊥于F ,取CD 中点E ,连接PE , 因为PC PB = 所以在PCB 中,PE BC ⊥,因为面PBC ⊥面ABCD ,面PBC 面=ABCD BC 所以PE ⊥面ABCD因为//CD AB ，AD CD ⊥,CF AB ⊥,5,4,3AB AD DC === 所以4,2CF BF ==在CFB 中,2225BC CF BF =+=222PE PE CE =-=因为()162ABCD AB DC S +==梯形 所以13233P ABCD ABCD V S PE -==梯形取BC 的中点E ,连接PEEBFCAB 1C 1A 1因为PB PC =,所以PB BC ⊥,则2352PE =-= 因为平面PBC ⊥平面ABCD ,平面PBC 平面ABCD BC =,PB BC ⊥所以PB ⊥平面ABCD则四棱锥P ABCD -的体积为:1(35)4322323S +⨯=⨯⨯=（Ⅲ）点P 和点A ,连接AC 和AE则22345AC AB =+==,AE 平分BC ,所以AE BC ⊥ 又PE BC ⊥,PE ⊂平面PAE ,AE ⊂平面PAE ,AE PE E =所以BC ⊥平面PAE ,PA ⊂平面PAE ,所以BC PA ⊥ 即证点P 和点A 所在的直线PA 与直线BC 垂直.【东城二模】（18）（本小题14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AC BC ⊥，1AC BC CC ==，E ，F 分别为11A B ，BC 的中点．EDCBAP（Ⅰ）求证：1AC C F ⊥；（Ⅱ）求证：BE ∥平面11AC F ；（Ⅲ）在棱1CC 上是否存在一点G ，使得平面1B EG ⊥平面11AC F ？说明理由．（18）（共14分）解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，因为侧棱垂直于底面，所以1CC ⊥平面ABC ． 所以1CCAC⊥．因为AC BC ⊥，1CCBC C=，所以AC ⊥平面11BCC B ．因为1C F ⊂平面11BCC B ，所以1AC C F⊥．………5分HEBFCAB 1C 1A 1G EBFC1C 1A 1（Ⅱ）取11A C 中点H ，连结EH ，FH ．则EH∥11B C ，且1112EH B C =，又因为BF ∥11B C ，且1112BF B C =，所以EH ∥BF ，且EH BF =． 所以四边形BEHF 为平行四边形． 所以BE ∥FH ．又BE ⊄平面11AC F ，FH ⊂平面11AC F ，所以BE∥平面11AC F． ………10分（Ⅲ）在棱1CC 上存在点G ，且G 为1CC 的中点． 连接1,EG GB ．在正方形11BB C C 中， 因为F 为BC 中点，所以△11B C G≌△1C CF．所以11190C CF B GC∠+∠=︒．所以11B GC F ⊥．由（Ⅰ）可得AC ⊥平面11BB C C ，因为AC //11A C ，所以11A C ⊥平面11BB C C ．因为1B G ⊂平面11BB C C ，所以111ACB G⊥． 因为1111ACC F C =，所以1B G ⊥平面11AC F ．因为1B G ⊂平面1B EG ，所以平面1B EG ⊥平面11AC F． (14)分【西城二模】（18．（本小题满分14分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，////⊥，G为AB的中AB CD EF，AB AD点．2AB=．====，4CD DA AF FE（Ⅰ）求证：//DF平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCF⊥平面GCE；（Ⅲ）求多面体AFEBCD的体积．18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为//=，CD EF，且CD EF所以四边形CDFE为平行四边形，所以//DF CE．……2分因为DF⊄平面BCE，……3分所以//DF平面BCE．……4分（Ⅱ）连接FG．因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD平面ABEF AB=，AD AB⊥，所以AD⊥平面ABEF，所以BF AD⊥．………………6分因为G为AB的中点，所以//=，EF BG，且EF BG=；//AG CD，且AG CD所以四边形AGCD和四边形BEFG均为平行四边形．所以//AD CG，所以⊥．………………7分BF CG因为EF EB=，所以四边形BEFG为菱形，所以BF EG⊥．………………8分所以BF⊥平面GCE．………………9分所以平面BCF⊥平面GCE．………………10分（Ⅲ）设BF GE O=．由（Ⅰ）得//DF平面GCE，DF CE，所以//由（Ⅱ）得//AD平面GCE，AD CG，所以//所以平面//AD F平面GCE，所以几何体AD F GCE-是三棱柱．………………11分由（Ⅱ）得BF ⊥平面GCE ． 所以多面体AFEBCD的体积ADF GCE B GCEV V V --=+………………12分13GCE GCE S FO S BO∆∆=⋅+⋅4833GCE S FO ∆=⋅=．………………14分【海淀二模】（17）（本小题14分）如图，已知菱形AECD的对角线,AC DE交于点F，点E为的AB中点.将三角形ADE沿线段DE折起到PDE的位置，如图2所示.（Ⅰ）求证：DE⊥平面PCF；；（Ⅱ）证明：平面PBC⊥平面PCF；CFM平面PEN？若（Ⅲ）在线段,M N，使得平面//PD BC上是否分别存在点,存在，请指出点,M N的位置，并证明；若不存在，请说明理由.17．（本小题14分）（Ⅰ）证明：折叠前，因为四边形AECD为菱形，所以AC DE⊥；所以折叠后，,⊥⊥, DE PF DE CF又,,=⊂平面PCF，PF CF F PF CF所以DE⊥平面PCF…………………4分（Ⅱ）因为四边形AECD为菱形，所以//,DC AE DC AE=.又点E为AB的中点，所以//,DC EB DC EB=.所以四边形DEBC为平行四边形.所以//CB DE. 又由（Ⅰ）得，DE⊥平面PCF,所以CB⊥平面PCF. 因为CB⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面. …PCF………………9分（Ⅲ）存在满足条件的点,M N ,且,M N 分别是PD 和BC的中点.如图，分别取PD 和BC 的中点,M N . 连接,,,EN PN MF CM .因为四边形DEBC 为平行四边形，所以1//,2EF CN EF BC CN ==. 所以四边形ENCF 为平行四边形. 所以//FC EN .在PDE ∆中，,M F 分别为,PD DE 中点， 所以//MF PE .又,EN PE ⊂平面,PEN PE EN E=,,MF CF ⊂平面CFM ,所以平面//CFM 平面PEN. …………………14分【昌平二模】 18.（本小题14分） 如图，四边形ABCD 是正方形，平面ABCD ⊥平面ABEF，//,AF BE ,2,1AB BE AB BE AF ⊥===．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDE ； （Ⅱ）求证： //AC 平面DEF ；（III ）求三棱锥D -FEB 的体积. 18.（共14分）证明：（I ）因为正方形ABCD ,所以AC BD ⊥. 又因为平面ABEF ⊥平面ABCD , 平面ABEF 平面ABCD=AB ,,AB BE ⊥BE ⊂平面ABEF ,所以BE ⊥平面ABCD. 又因为AC ⊂平面ABCD. 故BE ⊥AC. 又因为BE BD B=， 所以AC ⊥平面BDE.--------------------5分 （II ）取DE 的中点G ，连结OG ,FG ，因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 的中点．则OG //BE ，且12OG BE =．FEBOADCGFEBOADC由已知AF //BE ，且12AF BE=，则//AF OG 且AF OG =， 所以四边形AOGF 为平行四边形，所以AO //FG ，即AC //FG ．因为AC ⊄平面DEF ，FG ⊂平面DEF ， 所以AC //平面DEF ． --------------------10分（III ）因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，平面ABEF 平面ABCD=AB ,所以//,AD BC AD AB ⊥.由（I ）知，BE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD 所以BE AD ⊥ 所以AD ⊥平面BEF .所以11143323D BEF BEF V S AD BE AB AD -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=.--------------------14分【顺义二模】18. （本小题满分13分）如图,直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为1,1,2AB AC BC ===,D 是BC 的中点.. （Ⅰ）求证:AD ⊥平面11B BCC ;（Ⅱ）求证:1//A B 平面1ADC ;（Ⅲ）求三棱锥11B ADC -的体积.【房山二模】 （18）（本小题14分）如图1，正六边形ABCDEF 的边长为2，O 为中心，G 为AB 的中点.现将四边形DEFC 沿CF 折起到四边形11D E FC 的位置，使得平面ABCF ⊥平面11D E FC ，如图2.（Ⅰ）证明：1D F ⊥平面1E OG ；（Ⅱ）求几何体1E -OFAG 的体积；（Ⅲ）在直线AB 上是否存在点H ，使得1//D H 平面1E OG？如果存在，求出AH 的长；如果不存在，请说明理由.（18）（Ⅰ）证明:图（1）中OG CF ⊥∴图（2）中，OG CF ⊥又面11CD E F ABCF ⊥面，11CD E FABCF=CF面面11OG CD E F ∴⊥面111D F CD E F ⊂面1OG D F∴⊥O又为CF 的中点11OF//D E =∴，又111E D EF =∴四边形11E D OF 为菱形ADEF.O图1 图21EC1DA FOG11D F OE ∴⊥1OG OE =O11D F E OG∴⊥面…………5分（Ⅱ）图二中，过1E 作1E M FO ⊥，垂足为M111111OG CD E F E M CD E F E M OG⊥⊂∴⊥面，面OG FO O=11E M AGOF E M∴⊥∴面为1E -OFAG的高，12sin603E M=︒133322OFAG S =(1+2)=四1332V Sh ∴==…………10分（Ⅲ）过C 作,CH AB ⊥交AB 的延长线于点H//CH OG ∴= 又111//,OE CD CDCH C=11D CH//E OG∴面面1111D H D CH D H//E OG⊂∴面面四边形OGHC为矩形23GH=CO=AH=∴∴ …………14分1EBC1DAFOGMH。

北京市西城区2018年高三二模试卷数学（理科） 2018.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{0,1}A =，{1,0,3}B a =-+，且A B ⊆，则a 等于 （A ）1（B ）0（C ）2-（D ）3-2.已知i 是虚数单位，则复数23z i+2i 3i =+所对应的点落在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3.在ABC ∆中，“0AB BC ⋅>”是“ABC ∆为钝角三角形”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件4.已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC .则下列结论不正确．．．的是 （A ）//CD 平面PAF （B ）DF ⊥平面PAF （C ）//CF 平面PAB （D ）CF ⊥平面PAD5.双曲线22221x y a b-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=相切，则双曲线离心率为（A（B（C ）2（D ）3 6.函数sin()(0)y x ϕϕ=π+>的部分图象如右图所示，设P 是图象的最高点，,A B 是图象与x 轴的交点，则tan APB ∠=（A ）10 （B ）8（C ）87（D ）477．已知数列{}n a 的通项公式为13n a n =-，那么满足119102k k k a a a +++++=的整数k（A ）有3个 （B ）有2个 （C ）有1个（D ）不存在8．设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22a b +（A ）最小值为15 （B）最小值为5 （C ）最大值为15（D第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．在ABC ∆中，若2B A =，:a b =A =_____. 10.在521()x x+的展开式中，2x 的系数是_____. 11．如图，AB 是圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD切圆O 于点C .已知圆O2OP =，则PC =______；ACD ∠的大小为______.12.在极坐标系中，点(2,)2A π关于直线:cos 1l ρθ=的对称点的一个极坐标为_____.13．定义某种运算⊗，a b ⊗的运算原理如右图所示.设()(0)(2)f x x x x =⊗-⊗.则(2)f =______；()f x 在区间[2,2]-上的最小值为______.14.数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n λ+-=+，其中λ∈R ， ⋅⋅⋅=,2,1n ．①当0λ=时，20a =_____；②若存在正整数m ，当n m >时总有0n a <，则λ的取值范围是_____.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数cos 2()sin()4x f x x π=+.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）若4()3f x =，求s i n 2x 的值.16.（本小题满分13分）如图，已知菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=,AC BD O =.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD =B ACD -.（Ⅰ）若点M 是棱BC 的中点，求证://OM 平面ABD ； （Ⅱ）求二面角A B D O --的余弦值；（Ⅲ）设点N 是线段BD 上一个动点，试确定N点的位置，使得CN =.17.（本小题满分13分）甲班有2名男乒乓球选手和3名女乒乓球选手，乙班有3名男乒乓球选手和1名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选2名选手参加体育交流活动.（Ⅰ）求选出的4名选手均为男选手的概率.（Ⅱ）记X 为选出的4名选手中女选手的人数，求X 的分布列和期望. M18.（本小题满分14分）已知函数()(1)e (0)xa f x x x=->，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积；（Ⅱ）若函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e ，求a 的值.19.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y M a b +=(0)a b >>角形周长为246+．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ， 求ABC ∆面积的最大值．20.（本小题满分13分）若,,21A A …m A 为集合,2,1{=A …，n}(n ≥2且)n ∈*N 的子集，且满足两个条件：②U U 21A A …A A m =U ；②对任意的A y x ⊆},{，至少存在一个,3,2,1{∈i …,m}，使}{},{x y x A i =⋂或}{y . 则称集合组,,21A A …m A 具有性质P . 如图，作n 行m 列数表，定义数表中的第k 行第l 列的数为⎩⎨⎧∉∈=)(0)(1l l kl A k A k a .（Ⅰ）当4n =时，判断下列两个集合组是否具有性质P ，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；集合组1：123{1,3},{2,3},{4}A A A ===； 集合组2：123{2,3,4},{2,3},{1,4}A A A ===. （Ⅱ）当7n =时，若集合组123,,A A A 具有性质P ，请先画出所对应的7行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合123,,A A A ；（Ⅲ）当100n =时，集合组12,,,t A A A 是具有性质P 且所含集合个数最小的集合组，求t 的值及++21A A …+i A 的最小值.（其中||i A 表示集合i A 所含元素的个数）。

西城区高三模拟测试数学（理科） 2018.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|01}A x x =<<，2{|20}B x x x =-<，则下列结论中正确的是 （A ）A B =∅I （B ）A B =R U （C ）A B ⊆（D ）B A ⊆2．若复数z 满足(1i)1z -⋅=，则z = （A ）1i 22+ （B ）1i22-+（C ）1i22--（D ）1i 22-3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,1)上单调递减的是 （A ）1y x=（B ）2y x = （C ）||2x y = （D ）cos y x =4．某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的侧面积是 （A ）12（B ）（C ）（D ）5．向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若向量λ+a b 与c共线，则实数λ= （A ）2-（B ）1-（C ）1（D ）26．已知点(0,0)A ，(2,0)B ．若椭圆22:12x y W m +=上存在点C ，使得△ABC 为等边三角形，则椭圆W 的离心率是（A ）12（B （C （D7．函数()f x a ．则“0a ≥”是“0[1,1]x ∃∈-，使0()0f x ≥”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件8．在直角坐标系xOy 中，对于点(,)x y ，定义变换σ：将点(,)x y变换为点(,)a b ，使得tan ,tan ,x a y b =⎧⎨=⎩ 其中ππ,(,)22a b ∈-．这样变换σ就将坐标系xOy 内的曲线变换为坐标系aOb 内的曲线． 则四个函数12(0)y x x =>，22(0)y x x =>，3e (0)x y x =>， 4ln (1)y x x =>在坐标系xOy 内的图象，变换为坐标系aOb 内的四条曲线（如图）依次是 （A ）②，③，①，④ （B ）③，②，④，① （C ）②，③，④，① （D ）③，②，①，④第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知圆C 的参数方程为2cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则圆C 的面积为____；圆心C 到直线:340l x y -=的距离为____．10．241()x x +的展开式中2x 的系数是____．11．在△ABC 中，3a =，2b =，π3A ∠=，则cos2B =____．12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若11a =，23S S >，则数列{}n a 的通项公式可以是____．13．设不等式组 1,3,25x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≥≤ 表示的平面区域为D ．若直线0ax y -=上存在区域D 上的点，则实数a 的取值范围是____．14．地铁某换乘站设有编号为 A ，B ，C ，D ，E 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()(1tan )sin 2f x x x =+⋅． （Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）若(0,π)α∈，且()2f α=，求α的值．16．（本小题满分14分）如图，梯形ABCD 所在的平面与等腰梯形ABEF 所在的平面互相垂直，////AB CD EF ，AB AD ⊥．2CD DA AF FE ====，4AB =．（Ⅰ）求证：//DF 平面BCE ； （Ⅱ）求二面角C BF A --的余弦值；（Ⅲ）线段CE 上是否存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ？请说明理由．17．（本小题满分13分）在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a ，b 的值；（Ⅱ）在该指标检测值为4的样本中随机选取2人，求这2人中有患病者的概率；（III ）某研究机构提出，可以选取常数*00.5()X n n =+∈N ，若一名从业者该项身体指标检测值大于0X ，则判断其患有这种职业病；若检测值小于0X ，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病．写出使得判断错误的概率最小的0X 的值及相应的概率（只需写出结论）．18．（本小题满分14分）已知直线:1l y kx =+与抛物线2:4C y x =相切于点P ． （Ⅰ）求直线l 的方程及点P 的坐标；（Ⅱ）设Q 在抛物线C 上，A 为PQ 的中点．过A 作y 轴的垂线，分别交抛物线C 和直线l 于M ，N ．记△PMN 的面积为1S ，△QAM 的面积为2S ，证明：12S S =．19．（本小题满分13分）已知函数ln ()xf x ax x=-，曲线()y f x =在1x =处的切线经过点(2,1)-． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设1b >，求()f x 在区间1[,]b b 上的最大值和最小值．20．（本小题满分13分）数列n A ：12,,,(2)n a a a n L ≥的各项均为整数，满足：1(1,2,,)i a i n -=L ≥，且123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L ，其中10a ≠．（Ⅰ）若3n =，写出所有满足条件的数列3A ； （Ⅱ）求1a 的值；（Ⅲ）证明：120n a a a +++>L ．西城区高三模拟测试数学（理科）参考答案及评分标准2018.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．A 3．D 4．B 5．D 6．C 7．A 8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．π，65 10．611．13 12．2n -+（答案不唯一） 13．1[,3]214．D注：第9题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数tan y x =的定义域是π{|π,}2x x k k ∈≠+∈R Z ，所以()f x 的定义域为π{|π,}2x x k k ∈≠+∈R Z ． ……………… 4分（Ⅱ）()(1tan )sin 2f x x x =+⋅sin (1)sin 2cos xxx =+⋅……………… 5分 2sin 22sin x x =+ ……………… 6分sin2cos21x x =-+ ……………… 7分π)14x -+．……………… 8分由()2f α=，得πsin(2)4α-=． ……………… 9分因为 0πα<<，所以ππ7π2444α-<-<， ………………10分 所以 ππ244α-=，或π3π244α-=． ………………11分 解得 π4α=，或π2α=（舍去）． ………………13分16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为 //CD EF ，且CD EF =， 所以 四边形CDFE 为平行四边形，所以 //DF CE ． …… 2分因为 DF ⊄平面BCE ，…… 3分所以 //DF 平面BCE ．…… 4分 （Ⅱ）在平面ABEF 内，过A 作Az AB ⊥．因为 平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD I 平面ABEF AB =， 又 Az ⊂平面ABEF ，Az AB ⊥， 所以 Az ⊥平面ABCD ，所以 AD AB ⊥，AD Az ⊥，Az AB ⊥．如图建立空间直角坐标系A xyz -． ……………… 5分 由题意得，(0,0,0)A ，(0,4,0)B ，(2,2,0)C，E，F ． 所以 (2,2,0)BC −−→=-，(0,BF −−→=-． 设平面BCF 的法向量为(,,)x y z =n ，则 0,0,BC BF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即220,30.x y y -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令1y =，则1x =，z=n ． ……………… 7分 平面ABF 的一个法向量为 (1,0,0)=v ， ……………… 8分 则cos ,||||⋅〈〉==n v n v n v ． 所以 二面角C BF A --． ………………10分 （Ⅲ）线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，理由如下： ………………11分解法一：设平面ACE 的法向量为111(,,)x y z =m ，则 0,0,AC AE −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩m m即1111220,30.x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩令11y =，则11x =-，1z =(1,1,=-m ． ………………13分因为 0⋅≠m n ，所以 平面ACE 与平面BCF 不可能垂直，从而线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ． ………………14分 解法二：线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，理由如下： …………11分 假设线段CE 上存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ， 设 CG CE λ−−→−−→=，其中[0,1]λ∈．设 222(,,)G x y z，则有222(2,2,)(2,)x y z λλ--=-， 所以 222x λ=-，22y λ=+，2z =，从而(22,2,)G λλ-+，所以(22,2)AG λλ−−→=-+． ………………13分 因为 AG ⊥平面BCF ，所以 //AG n ． 所以有22211λλ-+==， 因为 上述方程组无解，所以假设不成立．所以 线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ． ………………14分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为 3.4100408.5⨯=人．… 2分 10.100.350.250.150.100.05a =-----=，10.100.200.300.40b =---=． ……………… 4分（Ⅱ）指标检测数据为4的样本中，有患病者400.208⨯=人，未患病者600.159⨯=人． ……………… 6分 设事件A 为“从中随机选择2人，其中有患病者”．则 29217C 9(A)C 34P ==， ……………… 8分所以 25(A)1(A)34P P =-=． ……………… 9分 （Ⅲ）使得判断错误的概率最小的0 4.5X =． ………………11分当0 4.5X =时，判断错误的概率为21100． ………………13分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由 21,4y kx y x=+⎧⎪⎨=⎪⎩ 得 22(24)10k x k x +-+=． ① ……………… 2分依题意，有0k ≠，且22(24)40k k ∆=--=．解得 1k =． ……………… 3分所以直线l 的方程为1y x =+． ……………… 4分 将 1k = 代入①，解得 1x =，所以点P 的坐标为(1,2)． ……………… 5分 （Ⅱ）设 (,)Q m n ， 则 24n m =，所以 12(,)22m n A ++． ……………… 7分 依题意，将直线 22n y +=分别代入抛物线C 与直线l ， 得 2(2)2(,)162n n M ++，2(,)22n n N +． ……………… 8分因为 22(2)444441||16216164n n n n m n m n MN +-+-+-+=-===， ……… 10分 221(2)(88)(44)||21616m n m n n AM +++-++=-=(88)(444)1164m m n m n +-++-+==， ………………12分所以 ||||AM MN =． ………………13分 又 A 为PQ 中点，所以P Q ，两点到直线AN 的距离相等，所以 12S S =． ………………14分19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的导函数为221ln ()x ax f x x --'=， ……………… 2分所以(1)1f a '=-． 依题意，有 (1)(1)112f a --=--，即1112a a -+=--， ……………… 4分 解得 1a =． ……………… 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得221ln ()x xf x x --'=．当0<<1x 时，210x ->，ln 0x ->，所以()0f x '>，故()f x 单调递增；当>1x 时，210x -<，ln 0x -<，所以()0f x '<，故()f x 单调递减．所以 ()f x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减． ……………… 8分因为 101b b<<<， 所以 ()f x 最大值为(1)1f =-． ……………… 9分 设 111()()()()ln h b f b f b b b b b b =-=+-+，其中1b >． ………………10分则 21()(1)ln 0h b b b'=->，故 ()h b 在区间(1,)+∞上单调递增． ………………11分所以 ()(1)0h b h >=， 即 1()()f b f b>， ………………12分故 ()f x 最小值为11()ln f b b b b=--． ………………13分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）满足条件的数列3A 为：1,1,6--；1,0,4-；1,1,2-；1,2,0-． ……………… 3分 （Ⅱ）11a =-． ……………… 4分否则，假设11a ≠-，因为10a ≠，所以11a ≥．又23,,,1n a a a -L ≥，因此有 12312312222n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+L1232(1)2(1)2(1)2(1)n n n ---+-⋅+-⋅++-⋅+-L ≥123222211n n n ---=-----=L ，这与123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L 矛盾！所以11a =-． ……………… 8分 （Ⅲ）先证明如下结论：{1,2,,1}k n ∀∈-L ，必有12122220n n n k k a a a ---⋅+⋅++⋅L ≤.否则，令 12122220n n n k k a a a ---⋅+⋅++⋅>L ，注意左式是2n k -的整数倍，因此 12122222n n n k n k k a a a ----⋅+⋅++⋅L ≥． 所以有：11 / 11 12312312222n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+L 122(1)2(1)2(1)2(1)n k n k n k -----+-⋅+-⋅++-⋅+-L ≥ 1222221n k n k n k -----=-----L 1=，这与123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L 矛盾！ 所以 12122220n n n k k a a a ---⋅+⋅++⋅L ≤． ………………10分 因此有：112123121212312210,20,420,2220,2220.k k k k n n n n a a a a a a a a a a a a a a -------<⋅+⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅+⋅++⋅+LL LL ≤≤≤≤ 将上述1n -个不等式相加得 12121(21)(21)(21)0n n n a a a ---⋅-+⋅-++⋅-<L ， ① 又 123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L ， ②两式相减即得 120n a a a +++>L ． ………………13分。

西城区高三模拟测试数学（文科）2018.5第Ⅰ卷（选择题（选择题 共共40分）分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的 四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|01}A x x =<<，2{|20}B x x x =-<，则下列结论中正确的是，则下列结论中正确的是 （A ）AB =Æ（B ）A B =R（C ）A B Í （D ）B A Í2．复数11i =-（A ）1i 22+（B ）1i22-+（C ）1i22--（D ）1i 22-3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+¥上单调递减的是上单调递减的是 （A ）1y x=（B ）2y x = （C ）cos y x = （D ）ln ||y x =-4．某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的．某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的侧棱长是侧棱长是（A ）10 （B ）11（C ）410 （D ）4115．向量,,a b c 在正方形格中的位置如图所示．若向量l +a b 与c共线，则实数l = （A ）2-（B ）1-（C ）1 （D ）26．设,a b ÎR ，且0ab ¹．则“1ab >”是“1a b>”的”的（A ）充分而不必要条件）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件）既不充分也不必要条件7．设不等式组．设不等式组 1,3,25x x y x y ìï+íï+î≥≥≤ 表示的平面区域为D ．若直线0ax y -=上存在区域D 上的点，上的点，则实数a 的取值范围是的取值范围是 （A ）1[,2]2 （B ）1[,3]2（C ）[1,2]（D ）[2,3]8．地铁某换乘站设有编号为．地铁某换乘站设有编号为 A ，B ，C ，D ，E 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安的五个安全出口．若同时开放其中的两个安 全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：名乘客所需的时间如下：安全出口编号安全出口编号 A ，B B ，C C ，D D ，E A ，E 疏散乘客时间（s ）120 220 160 140 200 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是 （A ）A （B ）B （C ）D （D ）E 第Ⅱ卷（非选择题（非选择题 共共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．函数1||2y x =+的最大值是____．10．执行如右图所示的程序框图，输出的k 值为____．11．在△ABC 中，3a =，2b =，4cos 5B =，则sin A =____．17．（本小题满分13分）分）在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a ，b 的值；的值；（Ⅱ）试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数；的从业者的人数；（III ）某研究机构提出，可以选取常数0 4.5X =，若一名从业者该项身体指标检测值大于0X ，则判断其患有这种职业病；若检测值小于0X ，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率．名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率．18．（本小题满分14分）如图，梯形ABCD 所在的平面与等腰梯形A B E F 所在的平面互相垂直，////AB CD EF ，AB AD ^，G 为AB 的中点．2CD DA AF FE ====，4AB =．（Ⅰ）求证：//DF 平面BCE ； （Ⅱ）求证：平面BCF ^平面GCE ； （Ⅲ）求多面体AFEBCD 的体积．的体积．19．（本小题满分13分）已知函数ln ()xf x ax x =-，曲线()y f x =在1x =处的切线经过点(2,1)-．（Ⅰ）求实数a 的值；的值；（Ⅱ）设1b >，求()f x 在区间1[,]b b 上的最大值和最小值．上的最大值和最小值．20．（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221 1 ((0)x y a b a b +=>>的离心率为63，经过点(0,1)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；的方程；（Ⅱ）设直线y x =与椭圆C 交于A ，B 两点，斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，与直线y x=交于点P （点P 与点A ，B ，M ，N 不重合）． （ⅰ）当1k =-时，证明：||||||||PA PB PM PN =； （ⅱ）写出||||||||PA PB PM PN 以k 为自变量的函数式（只需写出结论）．)(21)](1333)nn -+-+++++2)π2)π)2,2)……………………………… 8分（Ⅲ）当0 4.5X =时，在100个样本数据中，个样本数据中， 有40(0.100.20)12´+=名患病者被误判为未患病，名患病者被误判为未患病， ………………10分有60(0.100.05)9´+=名未患病者被误判为患病者，名未患病者被误判为患病者， ………………12分 因此判断错误的概率为21100． ………………13分 18．（本小题满分14分）分）解：（Ⅰ）因为（Ⅰ）因为 //CD EF ，且CD EF =，所以所以所以 四边形CDFE 为平行四边形，为平行四边形，所以所以 //DF CE ． ………… 2分因为因为 DF Ë平面BCE ，……，…… 3分所以所以 //DF 平面BCE ．……．…… 4分 （Ⅱ）连接FG ．因为因为 平面ABCD ^平面ABEF ，平面ABCD I 平面ABEF AB =，AD AB ^， 所以所以 AD ^平面ABEF ，所以所以 BF AD ^． ………………6分 因为因为 G 为AB 的中点，的中点，所以所以 //AG CD ，且AG CD =；//EF BG ，且EF BG =， 所以所以 四边形AGCD 和四边形BEFG 均为平行四边形．均为平行四边形．所以所以 //AD CG ， 所以所以所以 BF CG ^． ……………………………… 7分因为因为 EF EB =，所以所以 四边形BEFG 为菱形，为菱形，所以所以 BF EG ^． ……………………………… 8分 所以所以 BF ^平面GCE ． ……………………………… 9分所以所以所以 平面BCF ^平面GCE ． ………………10分 （Ⅲ）设（Ⅲ）设 BF GE O =I ．由（Ⅰ）得由（Ⅰ）得 //DF CE ，所以，所以 //DF 平面GCE ，由（Ⅱ）得由（Ⅱ）得 //AD CG ，所以，所以 //AD 平面GCE ，所以所以 平面//AD F 平面GCE ，所以所以 几何体AD F GCE -是三棱柱．是三棱柱． ………………11分 由（Ⅱ）得由（Ⅱ）得 BF ^平面GCE ． 所以所以 多面体AFEBCD 的体积的体积ADF GCEB GCEVVV--=+………………12分13GCEGCE SFO S BOD D =×+×48333GCE S FO D=×=． ………………14分19．（本小题满分13分）分）解：（Ⅰ）()f x 的导函数为221ln ()x ax f x x --¢=， ……………………………… 2分所以(1)1f a ¢=-． 依题意，有依题意，有(1)(1)112f a --=--，即 1112a a-+=--， ……………………………… 4分 解得解得 1a =． ……………………………… 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得221ln ()x xf x x --¢=．当0<<1x 时，210x ->，ln 0x ->，所以()0f x ¢>，故()f x 单调递增；单调递增；当>1x 时，210x -<，ln 0x -<，所以()0f x ¢<，故()f x 单调递减．单调递减．所以所以 ()f x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+¥上单调递减．上单调递减． ……………………………… 8分因为因为 101b b <<<， 所以所以 ()f x 最大值为(1)1f =-． ……………………………… 9分设 111()()()()ln h b f b f b b b b b b =-=+-+，其中1b >． ………………10分则 21()(1)ln 0h b b b¢=->，故 ()h b 在区间(1,)+¥上单调递增．上单调递增． ………………11分所以所以 ()(1)0h b h >=， 即 1()()f b f b>， ………………12分)63的方程是3x +33(,)22A 33,)22--32=，334t -=．(,)22t t 23332222222t t t -=-×+=．22111()()2222ttt x y -+-=-，同理222t =-．12222t t -×-·11· 2233324224t t t t -=-×+ 232t -=. 所以所以 ||||||||PA PB PM PN =． ………………12分 （ⅱ）22||||13||||2(1)PA PB k PM PN k +=+． ………………14分“”——。

2018年北京市东城区高考数学二模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x+1＜0}，B＝{x|x﹣4≤0}，则∁U（A∩B）＝（）A．{x|x≤﹣1或x＞4}B．{x|x≥﹣1或x＜4}C．{x|x≥﹣1}D．{x|x＞4}2．（5分）某校高一年级有400名学生，高二年级有360名学生，现用分层抽样的方法在这760名学生中抽取一个样本．已知在高一年级中抽取了60名学生，则在高二年级中应抽取的学生人数为（）A．66B．54C．40D．363．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x值为9，则输出的y值为（）A．0B．1C．2D．44．（5分）若x2＜log2（x+1），则x的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（﹣1，0）D．（0，+∞）5．（5分）已知圆x2+y2﹣4x+a＝0截直线所得弦的长度为，则实数a的值为（）A．﹣2B．0C．2D．66．（5分）设a，b，c∈R，则“a+b＞c”是“a＞c且b＞c”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知m是平面α的一条斜线，直线l过平面α内一点A，那么下列选项中能成立的是（）A．l⊂α，且l⊥m B．l⊥α，且l⊥m C．l⊥α，且l∥m D．l⊂α，且l∥m 8．（5分）已知函数f（x）＝x sin x，现给出如下命题：①当x∈（﹣4，﹣3）时，f（x）≥0；②f（x）在区间（0，1）上单调递增；③f（x）在区间（1，3）上有极大值；④存在M＞0，使得对任意x∈R，都有|f（x）|≤M．其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．②④D．③④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若复数（a+i）（1+i）为纯虚数，则实数a＝．10．（5分）若双曲线的一条渐近线方程为2x﹣y＝0，则双曲线的离心率为．11．（5分）若x，y满足，则3x+2y的最小值为．12．（5分）已知向量，满足||＝||＝1，且•（）＝，则与夹角的大小为．13．（5分）在△ABC中，，a＝2b，则＝；sin B＝．14．（5分）血药浓度（SerumDrugConcentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度（单位：mg/ml），通常用血药浓度来研究药物的作用强度．如图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度的变化情况，其中点A i的横坐标表示服用第i种药后血药浓度达到峰值时所用的时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度第二次达到峰值一半时所用的时间（单位：h），点A i的纵坐标表示第i种药的血药浓度的峰值．（i＝1，2，3）①记V i为服用第i种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，则V1，V2，V3中最大的是；②记T i为服用第i种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间，则T1，T2，T3中最大的是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知{a n}是公差为2等差数列，数列{b n}满足b1＝1，，且（a n+1）b n+1＝nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和S n．16．（13分）已知函数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）的对称轴方程；（Ⅱ）当时，f（x）≥m恒成立，求实数m的最大值．17．（13分）2017年北京市百项疏堵工程基本完成．有关部门为了解疏堵工程完成前后早高峰时段公交车运行情况，调取某路公交车早高峰时段全程所用时间（单位：分钟）的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A组，从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组．A组：128，100，151，125，120．B组：100，102，96，101，a．已知B组数据的中位数为100，且从中随机抽取一个数不小于100的概率是．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）该路公交车全程所用时间不超过100分钟，称为“正点运行”．从A，B 两组数据中各随机抽取一个数据，求这两个数据对应的两次运行中至少有一次“正点运行”的概率；（Ⅲ）试比较A，B两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义．18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AC⊥BC，AC ＝BC＝CC1，E，F分别为A1B1，BC的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥C1F；（Ⅱ）求证：BE∥平面A1C1F；（Ⅲ）在棱CC1上是否存在一点G，使得平面B1EG⊥平面A1C1F？说明理由．19．（13分）设函数f（x）＝2lnx﹣x2+ax+2．（Ⅰ）当a＝3时，求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若直线y＝﹣x+1是曲线y＝f（x）的切线，求a的值．20．（14分）已知椭圆的右焦点为F（1，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）A，B是椭圆C在y轴右侧部分上的两个动点，若原点O到直线AB的距离为，证明：△ABF的周长为定值．2018年北京市东城区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x+1＜0}，B＝{x|x﹣4≤0}，则∁U（A∩B）＝（）A．{x|x≤﹣1或x＞4}B．{x|x≥﹣1或x＜4}C．{x|x≥﹣1}D．{x|x＞4}【解答】解：A＝{x|x＜﹣1}，B＝{x|x≤4}；∴A∩B＝{x|x＜﹣1}；∴∁U（A∩B）＝{x|x≥﹣1}．故选：C．2．（5分）某校高一年级有400名学生，高二年级有360名学生，现用分层抽样的方法在这760名学生中抽取一个样本．已知在高一年级中抽取了60名学生，则在高二年级中应抽取的学生人数为（）A．66B．54C．40D．36【解答】解：某校高一年级有400名学生，高二年级有360名学生，现用分层抽样的方法在这760名学生中抽取一个样本．在高一年级中抽取了60名学生，设在高二年级中应抽取的学生人数为x，则，解得x＝54．∴在高二年级中应抽取的学生人数为54人．故选：B．3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x值为9，则输出的y值为（）A．0B．1C．2D．4【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝9满足条件x＞2，执行循环体，x＝7满足条件x＞2，执行循环体，x＝5满足条件x＞2，执行循环体，x＝3满足条件x＞2，执行循环体，x＝1不满足条件x＞2，退出循环，y＝21＝2，输出y的值为2．故选：C．4．（5分）若x2＜log2（x+1），则x的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（﹣1，0）D．（0，+∞）【解答】解：分别画出y＝x2与y＝log2（x+1）的图象，如图所示：结合图象可得满足x2＜log2（x+1）时x的取值范围是（0，1），故选：A．5．（5分）已知圆x2+y2﹣4x+a＝0截直线所得弦的长度为，则实数a的值为（）A．﹣2B．0C．2D．6【解答】解：圆x2+y2﹣4x+a＝0的圆心C（2，0），半径r＝＝，∵圆x2+y2﹣4x+a＝0截直线所得弦的长度为，圆心C（2，0）到直线x﹣的距离d＝＝1，∴2＝2＝2，解得a＝0．故选：B．6．（5分）设a，b，c∈R，则“a+b＞c”是“a＞c且b＞c”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“a＞c且b＞c”⇒a+b＞2c，不一定得出a+b＞c，反之也不成立，例如取a＝1，b＝3，c＝2．∴“a+b＞c”是“a＞c且b＞c”的既不充分也不必要条件．故选：D．7．（5分）已知m是平面α的一条斜线，直线l过平面α内一点A，那么下列选项中能成立的是（）A．l⊂α，且l⊥m B．l⊥α，且l⊥m C．l⊥α，且l∥m D．l⊂α，且l∥m 【解答】解：由m是平面α的一条斜线，直线l过平面α内一点A，知：在A中，l⊂α，且l与m相交或异面，有可能垂直，故A正确；在B中，l⊂α，故B错误；在C中，l⊂α，故C错误；在D中，l与m平行或相交，故D错误．故选：A．8．（5分）已知函数f（x）＝x sin x，现给出如下命题：①当x∈（﹣4，﹣3）时，f（x）≥0；②f（x）在区间（0，1）上单调递增；③f（x）在区间（1，3）上有极大值；④存在M＞0，使得对任意x∈R，都有|f（x）|≤M．其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【解答】解：当x∈（﹣4，﹣π）时，sin x＞0，f（x）＜0，故①为假命题；f′（x）＝sin x+x cos x，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0恒成立，故f（x）在区间（0，1）上单调递增，故②为真命题；∵f′（1）＝sin1+cos1＞0，f′（3）＝sin3+3cos3＜0，且f′（x）在在区间（1，3）上连续，故存在x0∈（1，3），使x∈（1，x0）时，f′（x）＞0，x∈（x0，3）时，f′（x）＜0，故当x＝x0时，f（x）取极大值，故③为真命题；由函数f（x）＝x sin x不存在最大值和最小值，故不存在M＞0，使得对任意x∈R，都有|f（x）|≤M．故④为假命题，故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若复数（a+i）（1+i）为纯虚数，则实数a＝1．【解答】解：∵（a+i）（1+i）＝（a﹣1）+（a+1）i为纯虚数，∴，即a＝1．故答案为：1．10．（5分）若双曲线的一条渐近线方程为2x﹣y＝0，则双曲线的离心率为．【解答】解：∵双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为2x﹣y＝0，∴b＝2a，∴c＝a，∴双曲线的离心率是e＝＝．故答案为：．11．（5分）若x，y满足，则3x+2y的最小值为12．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，令z＝3x+2y，则y＝﹣x+，显然直线过A（2，3）时，z最小，故z是最小值是12，故答案为：12．12．（5分）已知向量，满足||＝||＝1，且•（）＝，则与夹角的大小为．【解答】解：根据题意，设向量与夹角为θ，向量，满足||＝||＝1，若•（）＝，则有•﹣2＝cosθ﹣1＝﹣，解可得cosθ＝，又由0≤θ≤π，则θ＝；故答案为：．13．（5分）在△ABC中，，a＝2b，则＝2；sin B＝．【解答】解：根据题意，设b＝t，则a＝2b＝2t，则c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝4t2+t2﹣2×2t×＝4t2，则c＝2t，则＝＝2；则cos B＝＝＝，则sin B＝＝；故答案为：2，．14．（5分）血药浓度（SerumDrugConcentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度（单位：mg/ml），通常用血药浓度来研究药物的作用强度．如图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度的变化情况，其中点A i的横坐标表示服用第i种药后血药浓度达到峰值时所用的时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度第二次达到峰值一半时所用的时间（单位：h），点A i的纵坐标表示第i种药的血药浓度的峰值．（i＝1，2，3）①记V i为服用第i种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，则V1，V2，V3中最大的是V1；②记T i为服用第i种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间，则T1，T2，T3中最大的是T3．【解答】解：由图可知，第一种新药在最短时间内达到峰值，且峰值最大，则服用第一种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度V1最大；服用第三种新药后血药浓度达到峰所有时间最长，则服用第3种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间T3最大．故答案为：V1；T3．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知{a n}是公差为2等差数列，数列{b n}满足b1＝1，，且（a n+1）b n+1＝nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）∵（a n+1）b n+1＝nb n，∴n＝1时，（a1+1）b2＝b1，∵b1＝1，，∴（a1+1）×＝1，解得a1＝1．∵{a n}是公差为2等差数列，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．n∈N*．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：a n＝2n﹣1．∵（a n+1）b n+1＝nb n．∴2nb n+1＝nb n．∴b n+1＝b n．∴数列{b n}是首项为1，公比为的等比数列．∴S n＝＝2，n∈N*．16．（13分）已知函数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）的对称轴方程；（Ⅱ）当时，f（x）≥m恒成立，求实数m的最大值．【解答】解：（Ⅰ）函数＝2sin•﹣2cos•+2cos＝sin+cos＝2sin（+），因为y＝sin x的对称轴方程为x＝kπ+，k∈Z，所以，+＝kπ+，k∈Z，即x＝2kπ+，所以，曲线y＝f（x）的对称轴方程为x＝2kπ+，k∈Z．（Ⅱ）当时，+∈[，π]，所以当，即当时，f（x）取得最小值为0．根据f（x）≥m恒成立，可得实数m的最大值为0．17．（13分）2017年北京市百项疏堵工程基本完成．有关部门为了解疏堵工程完成前后早高峰时段公交车运行情况，调取某路公交车早高峰时段全程所用时间（单位：分钟）的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A组，从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组．A组：128，100，151，125，120．B组：100，102，96，101，a．已知B组数据的中位数为100，且从中随机抽取一个数不小于100的概率是．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）该路公交车全程所用时间不超过100分钟，称为“正点运行”．从A，B 两组数据中各随机抽取一个数据，求这两个数据对应的两次运行中至少有一次“正点运行”的概率；（Ⅲ）试比较A，B两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）因为B组数据的中位数为100，所以a≤100．因为从B组中随机抽取一个数不小于100的概率是，所以a≥100．所以a＝100．…………（5分）（Ⅱ）从A组中取到128，151，125，120时，B组中符合题意的取法为100，96，100，共4×3＝12种；从A组中取到100时，B组中符合题意的取法为100，102，96，101，100，共1×5＝5种；因此符合题意的取法共有12+5＝17种，而所有不同的取法共有5×5＝25种，所以该路公交车至少有一次“正点运行”的概率．…………（10分）（Ⅲ）B组的方差小于A组的方差，说明疏堵工程完成后，该路公交车全程所用时间更加稳定，而且“正点运行”率高，运行更加有保障．…………（13分）18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AC⊥BC，AC ＝BC＝CC1，E，F分别为A1B1，BC的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥C1F；（Ⅱ）求证：BE∥平面A1C1F；（Ⅲ）在棱CC1上是否存在一点G，使得平面B1EG⊥平面A1C1F？说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵侧棱垂直于底面，∴CC1⊥平面ABC，则CC1⊥AC．∵AC⊥BC，CC1∩BC＝C，∴AC⊥平面BCC1B1．∵C1F⊂平面BCC1B1，∴AC⊥C1F；（Ⅱ）证明：取A1C1的中点H，连结EH，FH．则EH∥B1C1，且，又∵BF∥B1C1，且，∴EH∥BF，且EH＝BF．∴四边形BEHF为平行四边形，则BE∥FH．又BE⊄平面A1C1F，FH⊂平面A1C1F，∴BE∥平面A1C1F；（Ⅲ）解：在棱CC1上存在点G，且G为CC1的中点．证明：连接EG，GB1．在正方形BB1C1C中，∵F为BC中点，∴△B1C1G≌△C1CF．∴∠C1CF+∠B1GC1＝90°，则B1G⊥C1F．由（Ⅰ）可得AC⊥平面BB1C1C，∵AC∥A1C1，∴A1C1⊥平面BB1C1C．∵B1G⊂平面BB1C1C，∴A1C1⊥B1G．∵A1C1∩C1F＝C1，∴B1G⊥平面A1C1F．∵B1G⊂平面B1EG，∴平面B1EG⊥平面A1C1F．19．（13分）设函数f（x）＝2lnx﹣x2+ax+2．（Ⅰ）当a＝3时，求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若直线y＝﹣x+1是曲线y＝f（x）的切线，求a的值．【解答】解：函数f（x）＝2lnx﹣x2+ax+2，则f（x）的定义域为（0，+∞）．（Ⅰ）当a＝3时，f（x）＝2lnx﹣x2+3x+2，所以．令，得﹣2x2+3x+2＝0，因为x＞0，所以x＝2．f（x）与f'（x）在区间（0，+∞）上的变化情况如下：所以f（x）的单调递增区间为（0，2），单调递减区间（2，+∞）．f（x）有极大值2ln2+4，f（x）无极小值，（Ⅱ）因为f（x）＝2lnx﹣x2+ax+2，所以．设直线y＝﹣x+1与曲线y＝f（x）的切点为（x0，f（x0）），所以，即．又因为，即所以．设g（x）＝2lnx+x2﹣1，因为，所以g（x）在区间（0，+∞）上单调递增．所以g（x）在区间（0，+∞）上有且只有唯一的零点．所以g（1）＝0，即x0＝1．所以a＝﹣1．20．（14分）已知椭圆的右焦点为F（1，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）A，B是椭圆C在y轴右侧部分上的两个动点，若原点O到直线AB的距离为，证明：△ABF的周长为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得解得所以椭圆C的方程为+＝1，（Ⅱ）①当AB垂直于x轴时，AB方程为，，，证明：F（1，0），|AF|＝|BF|＝＝2﹣因为，所以|AF|+|BF|+|AB|＝4．②当AB不垂直于x轴时，设AB程为y＝kx+m，原点O到直线AB的距离为，所以，即m2＝3（1+k2）．由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，即（3+4k2）x2+8kmx+12k2＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝．所以|AB|＝•＝•＝因为A，B在y轴右侧，所以mk＜0，所以|AB|＝﹣．所以|AF|2＝（x1﹣1）2+y12＝（x1﹣1）2+3（1﹣）＝（x1﹣2）2，所以|AF|＝2﹣x1，同理|BF|＝2﹣x2．所以|AF|+|BF|＝4﹣（x1+x2）＝4+．所以|AF|+|BF|+|AB|＝4+﹣＝4．综上，△ABF的周长为4。

word.北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（二）高三数学 （理科）本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合{|12}A x x =-<<，{|2B x x =<-或1}x >，则A B =（A ）{|2x x <-或1}x > （B ）{|2x x <-或1}x >- （C ）{|22}x x -<< （D ）{|12}x x <<（2）复数(1+i)(2-i)=（A ）3+i （B ）1+i （C ）3-i （D ）1-i（3）在5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，3x 的系数为10，则实数a 等于（A ）1- （B ）12（C ）1 （D ）2 （4）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线的倾斜角为60º，且与椭圆x 25+y 2＝1有相等的焦距，则C 的方程为（A ）x 23－y 2＝1 （B ）x 29－y 23＝1 （C ）x 2－y 23＝1 （D ）x 23－y 29＝1（5）设a ，b 是非零向量，则“|a ＋b |＝|a |－|b |”是“a // b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分word.，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图.若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为12,m m ；平均数分别为12,s s ，则下面正确的是 （A ） 1212,m m s s （B ）1212,m m s s （C ）1212,m m s s （D ）1212,m m s s（7）已知函数a x x g x x f +==2)(,log )(2，若存在]2,21[,21∈x x ，使得)()(21x g x f =，则a 的取值范围是（A ）[5,0] （B ）(,5][0,) （C ）(5,0) （D ）(,5)(0,)（8）A ，B ，C ，D 四名工人一天中生产零件的情况如图所示，每个点的横、纵坐标分别表示该工人一天中生产的I 型、 II 型零件数，则下列说法错误．．的是 （A ）四个工人中，D 的日生产零件总数最大（B ）A ，B 日生产零件总数之和小于C ，D 日生产零件 总数之和（C ）A ，B 日生产I 型零件总数之和小于II 型零件总数之和 （D ）A ，B ，C ，D 日生产I 型零件总数之和小于II 型零件总数之和第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

、选择题：本大题共合题目要求的一项1 .已知集合北京市西城区2018年高三二模试卷数学(理科) 第I卷(选择题共40分)8小题，每小题A 二{x|x -2 ：：0},2 .在复平面内，复数(A )第一象限(C)第三象限2018.5 5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符B二｛x | x ：：： a｝，若A「| B二A，则实数a的取值范围是(B) [-2, ：：) (C) (-：：，2]2z=(1 2i)对应的点位于(B )第二象限(D )第四象限(D) [2,：：)2x 3 .直线y = 2x为双曲线C: 一2a 七=1(a 0,b 0)的一条渐近线，则双曲线bC的离心率是()(A) ...5 (B(C) 3(D)4 •某四棱锥的三视图如图所示，记 A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则(A) 2? A ，且 4? A(B)v 2? A ，且4? A(C) 2? A ，且 2、5? A (D) ,2 ? A ，且...17 ? A5•设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“ a （b-c ） =0 ”是“ b 二c ”的（）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件6•如图，阴影区域是由函数 y^cosx 的一段图象与 xx >0,7.在平面直角坐标系 xOy 中，不等式组 y 》0, 所表示的平面区域是〉，不等式组x y -8< 0'所表示的平面区域是 P .从区域G 中随机取一点P （x, y ），则P 为区域B 内的点的 0< y <10概率是（）/八133 1 (A)-(B )-(C )-(D )-4545轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（ ）'y才O n x2 2(A) 1(C )7C(D) n)侧（左）视图8.设门为平面直角坐标系 xOy 中的点集，从中的任意一点 P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足 分别为M ,N ，记点M 的横坐标的最大值与最小值之差为 x （「），点N 的纵坐标的最大值 与最小值之差为y （「）.若门是边长为1的正方形，给出下列三个结论： ①x （门）的最大值为.2 ；D x （「）• y （「）的取值范围是［2, 2,2］；第H 卷（非选择题共110 分）、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.1 69. ______________________________________ (x+—)的二项展开式中，常数项为 •x110. 在厶 ABC 中，若 a=4 , b=3 , cosA = —，贝U sinA= _____ ； B= ____311 .如图，AB 和CD 是圆0的两条弦，AB 与CD 相交于点 E ，且CE = DE = 4 ,12 •执行如图所示的程序框图，输出的a 值为 ______ xCO -yC 1)恒等于 0.AE: BE =4:1，贝U AE -AC开始BDi=i+1213.设抛物线C: y =4x 的焦点为F , M 为抛C其中所有正确结论的序号是（）a =3,i=11N(2,2) U|MF | • |MN |的取值范围是14.已知f是有序数对集合M二｛(x, y)|x挝N ,y N ｝上的一个映射，正整数数对(x,y)在映射f下的象为实数乙记作f (x, y) = z.对于任意的正整数m, n (m> n)，映射f由下表给出:则f (3,5)= _________ ，使不等式f(2x, x) < 4成立的x的集合是__________________三、解答题：本大题共6小题，共80分•解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中，点A(cosr「2sin旳,B(sin二0)，其中"R .2 n T(I)当时，求向量AB的坐标；3n T(H)当才［0,—］时，求|AB |的最大值.216.(本小题满分13分)为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的 A , B两班中各抽5名学生进行视力检测.检测的数据如下：A班5名学生的视力检测结果： 4.3, 5.1, 4.6, 4.1, 4.9.B班5名学生的视力检测结果： 5.1 , 4.9, 4.0, 4.0, 4.5.(I)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？(n)由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大？(结论不要求证明)(川) 现从A班的上述5名学生中随机选取3名学生，用X表示其中视力大于 4.6的人数，求X的分布列和数学期望17.(本小题满分14分)如图，在三棱锥P—ABC中，PA_底面ABC , AC _ BC , H为PC的中点，M为AH 的中点，PA=AC=2，BC=1.(I)求证：AH _ 平面PBC ;(H)求PM与平面AHB成角的正弦值；PN(川)设点N在线段PB上，且，MN//平面ABC，求实数■的值.PB18.(本小题满分13分)x +e已知函数f(x)二一2，其中a R.ax +4x +4(I)若a=0，求函数f (x)的极值；(n)当a・1时，试确定函数f(x)的单调区间19.(本小题满分14分)2 2设A,B是椭圆W:亍•器1上不关于坐标轴对称的两个点，直线AB交x轴于点M(与点代B不重合)，0为坐标原点(I)如果点M是椭圆W的右焦点，线段MB的中点在y轴上，求直线AB的方程;(n)设N为x轴上一点，且OM QN =4，直线AN与椭圆W的另外一个交点为C,证明：点B与点C关于x轴对称.20.(本小题满分13分)在无穷数列｛a*｝中，印=1，对于任意n • N*，都有a* • N , a n：：：a n彳•设N* , 记使得a* < m成立的n的最大值为b m.(I)设数列｛a*｝为1, 3, 5,乙…，写出b i, b2, b3的值；(n)若｛b n｝为等差数列，求出所有可能的数列｛a n｝；(川)设a^q , a i • a2 • 111 a^ A，求b i J|| ■ b q的值.(用p,q, A 表示)北京市西城区2018年高三二模试卷参考答案及评分标准sin r - COST - sinN — cos2n 1；33一云…一云吟6所以AB高三数学（理科）2018.5 、 选择题: 本大题共 8小题， 每小题5分，共40分. 1. D 2 . B 3 . A 4 . D 5.B 6 . B7 .C8 . D _ 、 填空题:本大题共 6小题，每小题5分，共30分.202、.2 冗 910. 一3 4118212 1313[3,+：：)14. 8{1,2}三、解答题：本大题共 6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分15. （本小题满分13分）(I)解：由题意，得AB = (sin v - cos 二 一2 sin v), 2).（n ）解：因为注：第10, 11, 14题第一问2分，第二问3分.AB = (sin v - COST , 2 sin 旳,所以|AB|2=(si n 八cos*2(-・ 2 si nJ2=1 -sin 2^ 2sin J .................. 8 分=1 -si n2^ 1-cos2 二.......... 9 分=2 - ,2sin(2寸n). .......... 10分4n因为0 w 寸w —,2n n , 5 n 所以—w 2— w ........... 11分444所以当•亠 2时，|忑|2取到最大值| AB|^^-,2 （ 「2）=3 ,……12分4 42n即当时，|AB|取到最大值.3........... 13分16. （本小题满分13分）从数据结果来看A 班学生的视力较好. 解：B 班5名学生视力的方差较大则X 的所有可能取值为0 , 1, 2.C 31所以P （x ；P （X =1）=晋=| ；C 5 5所以随机变量X 的分布列如下:12分13 3 6 故 E （X ） =01 2 - 解：A 班5名学生的视力平均数为 x A =4.3+5.1+4.6+4.1 4.9=4.6，B 班5名学生的视力平均数为 x B =5.1+4.9+4.0+4.0 4.5=4.5.（出解：由（I ）知，A 班的5名学生中有2名学生视力大于4.6.10分c ；c 2P （X =2）诗唏11分13分10 510 5 17.（本小题满分14分）(I)证明：因为PA _底面ABC , BC二底面ABC ,所以PA_BC ,又因为AC _ BC , PA" AC 二A ,所以BC _平面PAC ,又因为AH 平面PAC ,所以BC _ AH •因为PA二AC, H是PC中点，所以AH _ PC ,又因为PC「|BC二C ,所以AH —平面PBC. .......... 5分(n)解：在平面ABC中，过点A作AD//BC,因为BC _平面PAC，所以AD _平面PAC，由PA_底面ABC，得PA，AC，AD两两垂直，所以以A为原点，AD，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，1 15，M(0,2,2).设平面AHB的法向量为n = (x, y, z)，因为AH =(0,1,1)"AB =(120)n AH =0,由得n AB =0, y z = 0, x 2y = 0,令z =1,得n =(2, -1,1). .......... 8分设PM与平面AHB成角为二,因为PM6分PM即 sin (2115)15(川)解：因为詣=(1,2,-2), "PN = PB ，所以 PN =( ■ ,2 ■ , -2 ),-* 1 3又因为PM =(0,丄，),2 2所以 sin 日=cos v PM , n > =PM n 27 + (—1)x 丄十仆(一卫)2 210分所以因为1 3MN =PN - PM -( ,2 , 2 ).••…2 2MN //平面ABC，平面ABC的法向量-(0,0,2),12分所以MNAP解得14分18.(本小题满分13分)ex +(I)解：函数f (x) 的定义域为{X I x • R，且x = -1} . .......... 1分4x +4e x 1(4x 4) -4e x 1(4x +4)24xe (4x 4)2.令f (x) =0,得x = 0,当x变化时，f (x)和f (x)的变化情况如下:故f(x)的单调减区间为(-：：，-1), (-1,0);单调增区间为(0, • ：：) •e所以当x =0时，函数f(x)有极小值f(0)................. 6分4(n)解：因为a 1 ,2 2 2所以 ax 4x 4 =(x 2) (a -1)x 0 ,所以函数f (x)的定义域为R ,4令 f (x) =0，得 x , =0 , X 2 =2,........... 9 分a当 1 ： ：a : 2 时，X 2 ： x , 当x44故函数f (x)的单调减区间为(2,0)，单调增区间为(-：：,2) , (0,.a a.......... 11分当 a 2 时，x 2 x 1,当x 当a =2时， x2 二片,因为f (x)二2e x 1x 2 .22》0 ,(当且仅当X=0时，f (x) =0 )(2x 2 4x 4)2所以函数f(x)在R 单调递增.12分求导，得f (xr 皿 +4x +4) -e x 卑(2ax + 4) 2 2(ax 4x 4)e x ^x(ax + 4 _2a)(ax 2 4x 4)2 '4 4故函数f(x)的单调减区间为(0,2 )，单调增区间为(-：：，0) , (2 .a a4 4综上，当1 ：： a :: 2时，f (x)的单调减区间为(2 ,0)，单调增区间为(-：：，2 ),a a (0, •：：)；当a =2时，函数f(x)在R单调递增；当a 2时，函数f (x)的单调减区间为4 413分(0,2 )；单调增区间为(-：：，0) , (2 -一，，：).a a19.(本小题满分14分)(I)解：椭圆W的右焦点为M(1,0)，............... 1分因为线段MB的中点在y轴上，所以点B的横坐标为-1, 因为点B在椭圆W上，3将X - -1代入椭圆W的方程，得点B的坐标为(-1,_—). ................. 3分2所以直线AB (即MB )的方程为3x-4y-3 = 0或3x，4y-3 = 0. .................. 5分(n)证明：设点B关于x轴的对称点为B1(在椭圆W上)，要证点B与点C关于x轴对称，只要证点B1与点C重合，.又因为直线AN与椭圆W的交点为C (与点A不重合)，所以只要证明点A , N , B1三点共线. ........... 7分以下给出证明：由题意，设直线AB 的方程为y 二kx • m(k =0) , A(x1, y1), B(x2, y2)，则B1(x2^y2).得(3 4k2)x2 8kmx 4m2-12=0,所以厶=(8km)2-4(3 4k2)(4m2-12) 0,28km 4m -12x1 x2 2，X t X2〒1 2 3 4k2 1 2 3 4k2在y二kx・m中，令y=0，得点M的坐标为（一m ,0）,k由OM ON =4，得点N的坐标为（-坐,0）,m8m 2k -24k -8m 2k -32k 324k 32k 33+4k 2=0，所以 k NA - k NB 1- 0，所以点A ，N ，B 1三点共线， 即点B 与点C 关于x 轴对称.20.(本小题满分13分)(I)解：4=1 , b 2 =1, 6=2.................. 3分(n)解：由题意，得 1 = a 1 ::: a 2 ::: a 3 ：：： 11( ::: a* ：：：()| , 结合条件a* • N ,得a n >10分11分设直线NA ,NB 1的斜率分别为k NA , k N B 1,,乂 4k 4kX2% y 1 xy y 2_______ m m“ 4k 、“ 4k ，(x)(X )* 议 =4k 一 4k _为 X 2m m中斗 4k 4k 因为 x 2y ( y 1 ^y 2 y 2m m4k 4k= x 2(k% m) (kx-! m) x 1 (kx 2 m) (kx 2 m) ——则 k NA - k NB 112分= 2^2 (m M)(x 1 x 2) 8km =2k (4m 2 -12 3 4k 2)(m4k 2m)( 8 km 3 4k 213分14分n . ........... 4分又因为使得a* < m成立的n的最大值为b m，使得a* < m 1成立的n的最大值为b m d 所以b1 =1，b m < b m1(m・N *). ................ 5 分设a2 = k，则k》2.假设k 2，即a2 = k >2 ,则当*》2时，a* 2 ；当*》3时，a*> k 1.所以b2 =1 , b k = 2 .因为｛b*｝为等差数列，所以公差d = b2—bi =0 ,所以b* =1，其中*• N*.这与b k = 2(k 2)矛盾，所以a2 = 2 . ................. 6分又因为a1 p ：：：丨1( ::: a*汕I ,所以b2 =2 ,由｛b*｝为等差数列，得b*二*，其中*■ N . ........... 7分因为使得a*< m成立的*的最大值为b m ,所以a*< * ,由a*> *，得a* = *. .......... 8 分(川)解：设a^k (k . 1),因为印：:：a2 心3 ::： |1( ::: a n 训 | ,所以b] =||(=bk」=1，且bk = 2 ,所以数列｛b n｝中等于1的项有k -1个，即a2 - a,个；........... 9分设a3 =l (Ik),则b k =b k 1 =|l(二b 丄=2 ,且b| =3 ,所以数列｛b n｝中等于2的项有I - k个，即a3 -a2个；........... 10分以此类推，数列｛b n｝中等于p -1的项有a p-a p」个. ........... 11分所以b b2 111 b q -aj 2(a3 -a2)• ()1 (p -1)(a^a p d) p 二-a1 - a2 T I ( - a p 二• ( P - 1)a p p=pap p -⑻ a2 111 • ap」ap)二p(q 1)-A.即b1 b2 • III b q = p(q，1) - A . ........... 13分21 / 15。