2018届杨浦区高考数学二模有答案

2019年杨浦区高三二模数学答案杨浦区2018学年度第二学期高三年级模拟质量调研 数学学科试卷评分标准2019.4.考生注意： 1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将查对后的条形码贴在指定地点上.本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有2题，满分54分，第题每题 4分，第～12 题每题分）17考生应在答题纸的相应地点直接填写结果.321.2.543.34.5.56.7.[1 2]. 29. 110.2a11.412.155|1 |2235二、选择题（此题共有题，满分20分，每题 5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应地点，将代表正确选项的小方格涂黑13.C14.A15.A16.D三、解答题（本大题共有 5题，满分 76分）解答以下各题一定在答题纸的相应地点写出必要的步骤.17（此1分小题分小8分题满分4，第满分，第题满分）.解：（1）由于函数ytanx的定义域为{x|x k,kZ}2分2所以函数f x 的定义域为{x|xk,kZ}6分（2）f(x)(1sinx)2sinxcosxcosx2sinxcosx2sin2xsin2x1cos2x12sin(2x)，10分4令f(x)2，即sin(2x)22由x(0,)得，2x7)，12分44故2x或3，即x或（舍）.14分4441/612019年杨浦区高三二模数学答案18.（此题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）解：（1）p(5)12001025950，3分p(5)的实质意义是：当地铁的发车时间隔为5分钟时，地铁载客量为950；7分（2）当2t10时，Q720060(10t)2336036060(t36)840，t t-6012840120等号建立当且仅当t6；10分当10t20时，Q6120033603603840360t t3840-3602410等号建立当且仅当t113分故当发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净利润最大，最大净利润为120元.14分19.（此题满分14分，第小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由已知，该“堑堵”的底面是等腰直角三角形，且斜边长为2，相应的高为1棱柱的侧24分棱长为故该堑堵的体积为1222；6分2（2）V BAACC2V BAAC2V A21ABC ACBCAA11111321(AC 2BC2)1AB2433等号建立的充要条件是AC BC2；8分以C为原点，CB,CA,CC1为坐标轴建系，则B(2,0,0),C1(0,0,2),A1(0,2,2)，2/622019年杨浦区高三二模数学答案则CB(2,0,0),CA 1 (0,2,2)，设面A 1BC 的法向量为n 1 (a,b,c)，2a 0,令c1，得n 1 (0,2,1)，故2c2b0,同理可得，面 A 1BC 1的法向量为n 2(2,0,1)，12分故n 1与n 2的夹角知足：cos1，3由图可知，所求二面角为锐角，故所求为arccos 114分320.（此题满分 16分，第1小题满分 4分，第2小题满分 5分，第3小题满分 7分）解：（1 ）解法一：不如假定C 在第一象限，令C(2cos,3sin)(0)，2则S2cos23sin3s in(2 )，2分由2(0，)，得S(0,43 ]；4分解法二：不如假定 Cx 0,y 0在第一象限，则x02y0211分43有12x02y02所以x0y033分43S 4x0y04得S(0,43]；4分（2）解法一：直线l的方程为y mk(x1)，代入3x24y2120，( 4k23)x28k(mk)x4(mk)2120，6分64k2(mk)24(4k23)[4(mk)212]48[4k2(mk)23]0，即4k2(mk)230，7分又M为中点，故4k(mk)1，得m3，4k3，k8分4k代入4k2(mk)20得，(2k1)(2k1)(4k23)，3/632019年杨浦区高三二模数学答案而(2k1)(4k23)，故2k0，即k19分2解法二：设P x1,y1,Qx2,y2，22y123x1x2则，x1y11,x221两式相减整理得x124y1y2 343即k3x1x24y1y2x1x21,y1y2m,由题意得22于是k36分4m中点M12m21解得0m（要说明原因，不然扣2分）1,m在椭圆内部，则34故k 19分2（3）当x 0 0时，EF 1RF 2EF 2RF 1 ，所以，存在实数知足条件， 则1；10分直线ER 的方程为y0(x x0) x0(y y 0)0，3则R(x0,0)，12分|EF 1|2|RF 2|2(x 01)2y 02 (1 1x0)2414分故|EF 2|2|RF 1|2(x 01)2y02(1 1x0)4(x 01)233x 02(4x 0)2(4x 0)2(4x 0)4 132(4x 0)2(4x 0)2 (4x 0)2(x 0 1)34x所以，1。

2018杨浦区初三数学二模（满分150分，考试时间100分钟）2018.4一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】 1.下列各数是无理数的是（ ）(A)︒60cos (B)1.3 (C)半径为1cm 的圆周长 （D ）38 2.下列运算正确的是（ ）（A ）m n m 2=⋅ （B ）632)(m m = （C ）33)(mn mn = （D ）326m m m =÷ 3.若y x 33->，则下列等式一定成立的是（ ）(A) 0>+y x （B ）0>-y x （C ）0<+y x （D ）0<-y x 4.某校120名学生某一周用于阅读课外书籍的时间的频率分布直方图如图1所示，其中阅读时间是8-10小时的组频数和组频率分别是（ ）(A)15和0.125 （B ）15和0.25 (C)30和0.125 （D ）30和0.255.下列图形是中心对称图形的是（ ）(A) (B) (C) (D) 6.如图2，半径为1的圆1O 与半径为3的圆2O 内切，如果半径为2的圆与圆1O 和圆2O 都相切，那么这样的圆的个数是（ ） （A ）1 (B) 2 (C) 3 (D)40.1500.1250.1000.0750.0500.025小时数（个）频率组距图112108642（图2）O 2O 1二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7.计算=+-+)()(b a b b a a . 8.当0,0,a b <>时，化简=b a 2 . 9. 函数211++-=x xy 中，自变量x 取值范围是 . 10. 如果反比例函数x k y =的图像经过点),2(1y A 与),3(2y B ，那么21y y的值等于 . 11. 三人中至少两人性别相同的概率是 . 12. 25位同学10秒钟跳绳的成绩汇总如下表；人数 1 2 3 4 5 10 次数15825101720那么跳绳的中位数是 .13.李明早上骑自行车上学,中途因道路施工推车步行了一段路,到学校共用时15分钟。

2018高三理科二模数学试卷（杨浦等区附答案）
5 c 高三年级静安、杨浦、青浦、宝区高考模拟考试
数学试卷（理科） 201804
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．已知全集，集合，则
2．若复数满足（是虚数单位），则
3．已知直线的倾斜角大小是，则
4．若关于的二元一次方程组有唯一一组解，则实数的取值范围是
5．已知函数和函数的图像关于直线对称，
则函数的解析式为
6．已知双曲线的方程为，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为7．函数的最小正周期
8．若展开式中含项的系数等于含项系数的8倍，则正整数9．执行如图所示的程序框图，若输入的值是，则输出的值是10．已知圆锥底面半径与球的半径都是，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，
那么这个圆锥的母线长为．
11．某中学在高一年级开设了门选修，每名学生必须参加这门选修中的一门，对于该年级的
甲、乙、丙名学生，这名学生选择的选修互不相同的概率是 (结果用最简分数表示)．
12．各项为正数的无穷等比数列的前项和为，若，则其比的取值范围是
13．已知两个不相等的平面向量， ( )满足| |＝2，且与－的夹角为120°，。

2018年江苏省高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B中元素的个数为．2．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为．3．已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为．4．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为．5．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．6．已知，那么tanβ的值为．7．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为．8．在三角形ABC中，，则的最小值为．9．已知数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}满足，且b1018=1，则a2018的值为．10．已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为．11．已知函数，若方程f（x）=﹣x有且仅有一解，则实数a的取值范围为．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a ∈R），则线段PQ长度的最小值为．13．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2018个等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M2018，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x 轴上方；以此类推，过M2018点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4189，P4180两点，P4189点在x轴上方，则4180条直线AP1，AP2，…，AP4180的斜率乘积为．14．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．16．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．（I）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD 平行．17．已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点．（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若AT=eAB，求椭圆C的离心率；（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．18．如图，，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．（Ⅰ）当无人侦察机在CD上飞行t分钟至点E时，试用t和θ表示无人侦察机到O点的距离OE；（Ⅱ）若无人侦察机在C点处雷达就开始开机，且θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．19．已知数列{a n }满足．数列{a n }前n 项和为S n ．（Ⅰ） 求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值； （Ⅲ）是否存在正整数m ，使得恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由．20．已知函数f （x ）=xlnx ﹣ax 2+a （a ∈R ），其导函数为f ′（x ）． （Ⅰ）求函数g （x ）=f ′（x ）+（2a ﹣1）x 的极值；（Ⅱ）当x ＞1时，关于x 的不等式f （x ）＜0恒成立，求a 的取值范围．三.附加题部分【选做题】（本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A ．[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分） 21．若AB 为定圆O 一条弦（非直径），AB=4，点N 在线段AB 上移动，∠ONF=90°，NF 与圆O 相交于点F ，求NF 的最大值．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 22．已知矩阵，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=．求A 的逆矩阵．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．过点P （﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 24．设 x ，y ，z ∈R +，且x +y +z=1，求证：．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p ，摸出白球概率为q ，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n 次试验总得分为S n ”． （Ⅰ）当时，记ξ=|S 3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当时，求S 8=2且S i ≥0（i=1，2，3，4）的概率．26．数列{a n }各项均为正数，，且对任意的n ∈N *，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．2018年江苏省高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B中元素的个数为3．【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集，即可作出判断．【解答】解：由A中不等式解得：﹣2＜x＜2，即A=（﹣2，2），∵B={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，0，1}，则集合A∩B中元素的个数为3，故答案为：32．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据向量的复数运算和向量的模即可求出．【解答】解：（2﹣3i）z=3+2i，∴z====i，∴|z|=1，故答案为：1．3．已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为2．【考点】极差、方差与标准差．【分析】先求出这组数据的平均数，由此能求出这组数据的方差．【解答】解：∵一组数据8，10，9，12，11，∴这组数据的平均数=（8+10+9+12+11）=10，这组数据的方差为S2= [（8﹣10）2+（10﹣10）2+（9﹣10）2+（12﹣10）2+（11﹣10）2]=2．故答案为：2．4．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为15．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序代码可得：程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当l=1时，满足进行循环的条件，S=3，l=4；当l=4时，满足进行循环的条件，S=9，l=7；当l=7时，满足进行循环的条件，S=15，l=10；当l=10时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为15．故答案为：155．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出这2只球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出这2只球颜色不同的概率．【解答】解：∵袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，从中随机一次摸出2只球，∴基本事件总数n==6，这2只球颜色不同包含的基本事件个数m==3，∴这2只球颜色不同的概率为p==．故答案为：．6．已知，那么tanβ的值为3．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，利用两角和的正切函数公式即可化简求值．【解答】解：∵，∴cosα=﹣=﹣，tanα==﹣2，∴tan（α+β）===，整理可得：tanβ=3．故答案为：3．7．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为+12．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】利用勾股定理可得侧面三角形的斜高h，利用等腰三角形与等边三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：侧面三角形的斜高h==2，∴该正六棱锥的表面积S=+6×=+12，故答案为： +12．8．在三角形ABC中，，则的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可根据条件得到，而由可得到，两边平方并进行数量积的运算便可得到，这样根据不等式a2+b2≥2ab即可得出的范围，从而得出的范围，即得出的最小值．【解答】解：根据条件，=；∴；由得，；∴；∴==，当且仅当即时取“=”；∴；∴的最小值为．故答案为：．9．已知数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}满足，且b1018=1，则a2018的值为1．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知结合，得到a2018=b1b2…b2018=（b1b2018）•（b2b2018）…（b1018b1018）•b1018，结合b1018=1，以及等比数列的性质求得答案．【解答】解：，且a1=1，得b1=，b2=，∴a3=a2b2=b1b2，b3=，∴a4=a3b3=b1b2b3，…a n=b1b2…b n．﹣1∴a2018=b1b2…b2018=（b1b2018）•（b2b2018）…（b1018b1018）•b1018，∵b1018=1，∴b1b2018=b2b2018=…=b1018b1018=（b1018）2=1，∴a2018=1，故答案为：1．10．已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】正数a，b满足2ab+b2=b+1，可得：a=＞0．则a+5b=+5b=+，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正数a，b满足2ab+b2=b+1，∴a=＞0．则a+5b=+5b=+≥+=，当且仅当b=，a=2时取等号．故答案为：．11．已知函数，若方程f（x）=﹣x有且仅有一解，则实数a的取值范围为a≥﹣1或a=﹣2．．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据指数函数的图象，结合图象的平移可知当a≥﹣1时，2x+a在x≤0时，与y=﹣x 有一交点，而x++a在x＞0无交点，符合题意；再考虑当a＜﹣1时的情况，结合图象的平移和二次函数的知识求出a的取值．【解答】解：根据指数函数的图象易知：当a≥﹣1时，y=2x+a在x≤0时，与y=﹣x有一交点，y=x++a在x＞0与y=﹣x无交点，符合题意；当a＜﹣1时，只需x++a=﹣x有且仅有一根，△=a2﹣8=0，解得a=﹣2．故答案为a≥﹣1或a=﹣2．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a ∈R），则线段PQ长度的最小值为0．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】求出圆的方程并化为标准形式，由条件求得点Q（3a，4a+5）到圆心（﹣1，0）的距离d的最小值，将d的最小值减去圆的半径，即为所求．【解答】解：∵点A（3，0），动点P满足PA=2PO，设P（x，y），则有（x﹣3）2+y2=4x2+4y2，∴（x+1）2+y2=4，表示以（﹣1，0）为圆心、半径等于2的圆．点Q（3a，4a+5）到圆心（﹣1，0）的距离d==≥，故距离d可以是2，此时PQ=0，故线段PQ长度的最小值为0．13．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2018个等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M2018，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x 轴上方；以此类推，过M2018点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4189，P4180两点，P4189点在x轴上方，则4180条直线AP1，AP2，…，AP4180的斜率乘积为﹣2﹣2018．【考点】椭圆的简单性质．【分析】运用椭圆的离心率公式，可得a2=2b2=2c2，设M n的坐标为（t，0），直线方程为y=k （x﹣t），代入椭圆方程，运用韦达定理，再由直线的斜率公式，化简整理，可得•=，再由等分点，设出t的坐标，化简整理，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得e==，可得a2=2b2=2c2，设M n的坐标为（t，0），直线方程为y=k（x﹣t），代入椭圆方程x2+2y2=2b2，可得（1+2k2）x2﹣4tk2x+2k2t2﹣2b2=0，即有x1+x2=，x1x2=，•=•======，可令t=﹣，﹣，…，﹣，﹣，0，，，…，，，即有AP1，AP2，…，AP4180的斜率乘积为•（•…•）••（•…•）=﹣．故答案为：﹣2﹣2018．14．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为[3，+∞）．【考点】分段函数的应用．【分析】根据凸函数和凹函数的定义，作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：满足条件有的函数为凸函数，f（x）=，作出函数f（x）的图象，由图象知当x≤a时，函数f（x）为凸函数，当x≥a时，函数f（x）为凹函数，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则a≥3即可，故实数a的取值范围是[3，+∞），故答案为：[3，+∞）二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知可得3sinA=2sinB，由已知可求sinA，利用大边对大角可得A为锐角，可求cosA，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可求sinC的值．（Ⅱ）由已知及正弦定理可求a=，余弦定理可求c=，利用余弦定理可得cosB=0，从而可求sinB=1，sinA=，利用大边对大角及同角三角函数基本关系式可求cosA，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵3a=2b，∴3sinA=2sinB又∵B=60°，代入得3sinA=2sin60°，解得sinA=．∵a：b=2：3，∴A＜B，即cosA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．…（Ⅱ）∵3a=2b，可得：a=，，∴==，解得：c2=，c=，∴cosB===0，可得：sinB=1，∵3sinA=2sinB=2，可得：sinA=，A为锐角，可得cosA==．∴sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=﹣cosA=﹣．…16．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．（I）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD 平行．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．【分析】（1）在平面ABCD内过A作CD的垂线AP，则AP⊥平面CDE，于是AP⊥DE，结合AD⊥DE，得出DE⊥平面ABCD；（2）使用反证法证明，假设MN∥平面ABCD，由线面平行的性质得MN∥BC，与已知矛盾．【解答】证明：（1）过A作AP⊥CD，垂足为P，∵平面ABCD⊥平面CDE，平面ABCD∩平面CDE=CD，AP⊂平面ABCD，AP⊥CD，∴AP⊥平面CDE，∵DE⊂平面CDE，∴AP⊥DE，又∵DE⊥AD，AD⊂平面ABCD，AP⊂平面ABCD，AD∩AP=A，∴DE⊥平面ABCD．（2）假设MN∥平面ABCD，∵MN⊂平面BCE，平面BCE∩平面ABCD=BC，∴MN∥BC，∴，与M是BE的中点，N是CE的三等分点相矛盾．∴MN不可能与平面ABCD平行．17．已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点．（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若AT=eAB，求椭圆C的离心率；（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）将直线l：y=ex+a代入椭圆方程，运用判别式，结合离心率公式，化简整理即可得证；（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（﹣，0），B（0，a），运用向量共线的坐标表示，解方程可得离心率；（Ⅲ）设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1和中点坐标公式，求得F'的坐标，计算|F'F1|，即可得到所求最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：直线l：y=ex+a代入椭圆，可得（b2+a2e2）x2+2ea3+a4﹣a2b2=0，可得判别式为4a2e6﹣4（b2+a2e2）（a4﹣a2b2）=﹣4（a4b2﹣a2b4﹣a4e2b2）=﹣4[a2b2（a2﹣b2）﹣a2c2b2]=0，即有直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（﹣，0），B（0，a），由（Ⅰ）可得x T=﹣=﹣=﹣ea，由=e，可得﹣ea+=e（0+），即e2+e﹣1=0，解得e=（负的舍去）：（Ⅲ）证明：设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），即有=﹣，=+a，结合e=，b2+c2=a2，解得m=﹣c，n=2a，即为F'（﹣c，2a），则|F'F1|=2a．故直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．18．如图，，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．（Ⅰ） 当无人侦察机在CD 上飞行t 分钟至点E 时，试用t 和θ表示无人侦察机到O 点的距离OE ；（Ⅱ）若无人侦察机在C 点处雷达就开始开机，且θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．【考点】解三角形的实际应用． 【分析】（I ）在△OCE 中，CE=15t ，使用余弦定理表示出OE ；（II ）令f （t ）=OE 2﹣r 2，通过导数判断f （t ）的单调性计算f （t ）的最小值，判断OE 与测控半径r 的大小关系． 【解答】解：（I ）在△OCE 中，CE=15t ，OC=90，由余弦定理得OE 2=OC 2+CE 2﹣2OC •CEcos θ=8100+225t 2﹣2700tcos θ． ∴OE=．（II ）令f （t ）=OE 2﹣r 2=225t 2﹣1350t +8100﹣9t 3，令r=3t =81，解得t=9．∴0≤t ≤9 ∴f ′（t ）=﹣27t 2+450t ﹣1350=﹣27（t ﹣）2+1875﹣1350＜0．∴f （t ）在[0，9]上是减函数．f （9）=225×92﹣1350×9+8100﹣9×93＞0． ∴当0≤t ≤9时，f （t ）＞0，即OE ＞r ． ∴雷达不能测控到无人侦察机．19．已知数列{a n }满足．数列{a n }前n 项和为S n ．（Ⅰ） 求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值； （Ⅲ）是否存在正整数m ，使得恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）化简可得数列{a n }的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n }的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，从而写出通项公式；（Ⅱ）分类讨论即方程的解；=3m﹣1﹣1+m2，从而可得（Ⅲ）化简S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=3m﹣1+m2，S2m﹣1=1+，从而讨论求值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴数列{a n}的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n}的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，故a n=；=m•2•m﹣1=m+2，（Ⅱ）若m为奇数，则a m a m+1无解；=（m+1）2•m﹣2=2•m，若m为偶数，则a m a m+1即=2，解得，m=2；综上所述，m=2；（Ⅲ）由题意知，S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=（1+3+5+…+2m﹣1）+（2+6+18+…+2•3m﹣1）=•m+=3m﹣1+m2，=1+2+3+6+…+2m﹣1S2m﹣1=（1+3+5+…+2m﹣1）+（2+6+18+…+2•3m﹣2）=•m+﹣2•3m﹣1=3m﹣1﹣1+m2，故==1+，若m=1，则=3=a3，若=1时，即m=2时，=2=a2，所有满足条件的m值为1，2．20．已知函数f（x）=xlnx﹣ax2+a（a∈R），其导函数为f′（x）．（Ⅰ）求函数g（x）=f′（x）+（2a﹣1）x的极值；（Ⅱ）当x＞1时，关于x的不等式f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出满足条件的a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由题知x＞0，f'（x）=lnx﹣2ax+1，则g（x）=f'（x）+2a（x﹣1）=lnx﹣x+1，，当0＜x＜1时，，g（x）为增函数；当x＞1时，，g（x）为减函数．所以当x=1时，g（x）有极大值g（1）=0，g（x）无极小值．（Ⅱ）由题意，f'（x）=lnx﹣2ax+1，（ⅰ）当a≤0时，f'（x）=lnx﹣2ax+1＞0在x＞1时恒成立，则f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）＞f（1）=0在（1，+∞）上恒成立，与已知矛盾，故a≤0不符合题意．（ⅱ）当a＞0时，令φ（x）=f'（x）=lnx﹣2ax+1，则，且．①当2a≥1，即时，，于是φ（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以φ（x）＜φ（1）=1﹣2a≤0，即f'（x）＜0在x∈（1，+∞）上成立．则f（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以f（x）＜f（1）=0在x∈（1，+∞）上成立，符合题意．②当0＜2a＜1，即时，＞1，，若，则φ'（x）＞0，φ（x）在上单调递增；若，则φ'（x）＜0，φ（x）在上单调递减．又φ（1）=1﹣2a＞0，所以φ（x）＞0在上恒成立，即f'（x）＞0在上恒成立，所以f（x）在上单调递增，则f（x）＞f（1）=0在上恒成立，所以不符合题意．综上所述，a的取值范围．三.附加题部分【选做题】（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A．[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．若AB为定圆O一条弦（非直径），AB=4，点N在线段AB上移动，∠ONF=90°，NF与圆O相交于点F，求NF的最大值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由NF=，线段OF的长为定值，得到需求解线段ON长度的最小值，由此能求出结果．【解答】解：∵ON⊥NF，∴NF=，∵线段OF的长为定值，即需求解线段ON长度的最小值，弦中点到圆心的距离最短，此时N为BE的中点，点F与点B或E重合，∴|NF|max=|BE|=2．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=．求A的逆矩阵．【考点】特征向量的意义．【分析】根据矩阵特征值和特征向量的性质代入列方程组，求得a、b、c和d的值，求得矩阵A，丨A丨及A*，由A﹣1=×A*，即可求得A﹣1．【解答】解：矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，∴=6，即=，属于特征值1的一个特征向量为=．∴=，=，∴，解得：，矩阵A=，丨A丨==6，A*=，A﹣1=×A*=，∴A﹣1=．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A、B两点．求线段AB 的长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线的参数方程为：（t为参数）．曲线ρ2cos2θ=4即ρ2（cos2α﹣sin2α）=4，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入化为直角坐标方程．把直线参数方程代入可得：t2﹣6t+10=0，利用|AB|=|t1﹣t2|=即可得出．【解答】解：过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线的参数方程为：（t为参数），曲线ρ2cos2θ=4即ρ2（cos2α﹣sin2α）=4化为x2﹣y2=4，把直线参数方程代入可得：t2﹣6t+10=0，∴t1+t2=6，t1t2=10．∴|AB|=|t1﹣t2|===．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．设x，y，z∈R+，且x+y+z=1，求证：．【考点】不等式的证明．【分析】由x，y，z∈R+，且x+y+z=1，可得+≥2=2x，同理可得+≥2y， +≥2z，累加即可得证．【解答】证明：由x，y，z∈R+，且x+y+z=1，可得+≥2=2x，同理可得+≥2y，+≥2z，三式相加，可得+++x+y+z≥2（x+y+z），即为++≥x+y+z，则++≥1成立．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p，摸出白球概率为q，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n次试验总得分为S n”．（Ⅰ）当时，记ξ=|S3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当时，求S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）当时，ξ=|S3|的可能取值为1，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．（Ⅱ）由题意前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球；若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球．由此能求出S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率．【解答】解：（Ⅰ）当时，ξ=|S3|的可能取值为1，3，P（ξ=1）=+=，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：ξ 1 3PEξ==．（Ⅱ）∵，S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4），∴前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球，若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球，∴S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率：p=（）•（）5•（）3=．26．数列{a n}各项均为正数，，且对任意的n∈N*，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．【考点】数列递推式．【分析】（1）把已知数列递推式取倒数，可得，然后利用累加法证得答案；=a n+a n2＞a n，然后利用放缩法得a1＜a2＜…a2018（2）把代入已知递推式，得a n+1＜1＜a2018＜a2019＜…，从而说明存在n∈N*，使得a n＞1，且n的最小值为2018．【解答】（1）证明：由，得，即，∴，，…，累加得：，即，∵a n＞0，∴；∴数列a n单调递增，=a n+a n2＞a n，（2）解：当时，a n+1得，=a n+a n2，得由a n+1，∴，∵a i＞0（i=1，2，…，2018），∴，则a2018＜1；又，∴×2018=1．即a2018＞1．即数列{a n}满足a1＜a2＜…a2018＜1＜a2018＜a2019＜…，综上所述，存在n∈N*，使得a n＞1，且n的最小值为2018．2018年10月17日。

杨浦区2017学年度第二学期高三年级模拟质量调研语文学科试卷〔答案做在答题卡上〕〔满分150分钟，时间150分钟〕 2018年4月一、积累运用〔10分〕1、按要求填空。

〔5分〕〔1〕，长安不见使人愁。

〔李白《登金陵凤凰台》〕〔2〕，尽西风，季鹰归未。

〔辛弃疾《水龙吟·》〕〔3〕韩愈在《师说》中客观的指出弟子不一定不与老师，老师也不一定比弟子贤能，其原因在于“，〞。

[考点]默写，高中必背古诗文[解析]略[答案]1、总为浮云能蔽日 2、休说鲈鱼堪脍登建康赏心亭 3、闻道有先后术业有专攻2、按要求选择。

〔5分〕〔1〕同学们在毕业二十年后聚会，各自事业有成，班主任想要用一句古诗词来表达此刻的喜悦激动的心情，恰当的一句是〔〕。

A、芳林新叶催陈叶，流水前波让后波。

B、长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

C、江山代有才人出，各领风骚数百年。

D、宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

[考点]课外文学常识积累。

[解析]从语境来判断，班主任应该是想感慨学生很出色，比他自己都还优秀，是赞学生，所以选A.[答案]A〔2〕填入下面语段空白处的语句，最恰当的是〔〕？这在很多人看来是一个不可理喻，甚至有点蠢的问题，但却是我们必须弄明白的问题。

电影是人类历史上最伟大的发明之一，自然有其独特的魅力所在。

可是作为最古老的艺术形式之一的戏剧也不能被我们忘记，因为其生动的现场总是充满了震撼人心的力量，让我们站在生活之上俯瞰生活。

A、有了戏剧，为什么会出现电影这项发明B、有了电影，为什么人们还需要看戏剧电影和戏剧C、哪一种艺术形式最终会永远被人铭记D、电影和戏剧对于我们日常生活的意义究竟在哪里？[考点]语境判断[解析]由这“可是作为最古老的艺术形式之一的戏剧也不能被我们忘记〞，可判断，问的是，戏剧和电影的问题，选B比较合适。

[答案]B二、阅读〔70分〕（一）阅读下文，完成第3-7题。

〔15分〕①任何文字都是为了满足交际需要，适应口语发展而创造出来的。

杨浦区2018学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷及答案 2018.12.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.2． 本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1．设全集{}=1,2,3,4,5U ，若集合{}3,4,5A =，则U A =ð ▲ ．2．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为 ▲ ． 3．已知双曲线221x y -=，则其两条渐近线的夹角为 ▲________．4. 若nb a )(+展开式的二项式系数之和为8，则n = ▲________．5. 若实数,x y 满足 221x y +=，则xy 的取值范围是▲________．6. 若圆锥的母线长=l )(5cm ，高)(4cm h =，则这个圆锥的体积等于▲________()3cm . 7. 在无穷等比数列{}n a 中，121lim()2n n a a a →∞+++=，则1a 的取值范围是▲________． 8. 若函数1()ln1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+. 且B A ⊆， 则实数a 的取值范围为▲________．9. 在行列式中，第3行第2列的元素的代数余子式记作，则的零点是▲________10. 已知复数1cos 2()i z x f x =+，2cos )i z x x =++ (,R x λ∈，i 为虚数单位）．在复平面上，设复数12,z z 对应的点分别为12,Z Z ，若︒=∠9021OZ Z ，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最小正周期 ▲________． 11. 当a x <<0时，不等式2)(1122≥-+x a x 恒成立，则实数a 的最大值为 ▲________． 274434651xx--()f x 1()y f x =+12. 设d 为等差数列}{n a 的公差，数列}{n b 的前n 项和n T ，满足)N ()1(21*∈-=+n b T n n n n ，且25b a d ==. 若实数)3,N }(|{*32≥∈<<=∈+-k k a x a x P m k k k ，则称m 具有性质k P .若n H 是数列}{n T 的前n 项和，对任意的*N ∈n ，12-n H 都具有性质k P ，则所有满足条件的k 的值为▲________.二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13. 下列函数中既是奇函数，又在区间[-1,1]上单调递减的是 ………( ). x x f arcsin )(=. lg y x =.()f x x =-.()cos f x x =14. 某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人. 现随机选派2人参加一个象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为 ………( )()A .310()B .35()C .25()D .2315. 已知x x f θsin log )(=，，设sin cos ,2a f θθ+⎛⎫=⎪⎝⎭b f =，sin 2sin cos c f θθθ⎛⎫=⎪+⎝⎭，则c b a ,,的大小关系是 ………( )()A .b c a ≤≤.()B .a c b ≤≤. ()C .a b c ≤≤.()D .c b a ≤≤.16. 已知函数nx x m x f x ++⋅=22)(，记集合},0)(|{R x x f x A ∈==，集合},0)]([|{R x x f f x B ∈==，若B A =，且都不是空集，则n m +的取值范围是………( )()A . [0,4) ()B . [1,4)- ()C . [3,5]- ()D . [0,7)()A ()B ()C ()D )2,0(πθ∈三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，1PA AB ==，2AD =，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动.（1）求三棱锥E PAD -的体积；（2）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有AF PE ⊥.18. （本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且5cos 13B =． （1）若4sin 5A =，求cos C ； （2）若4b =，求证：5-≥⋅BC AB ．19. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）上海某工厂以x 千克/小时的速度匀速生产一种产品，每一小时可获得的利润是)315(xx -+元，其中101≤≤x .（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求x 的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润.20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线x y C 4:2=上存在不同的两点B A ,，满足PB PA ,的中点均在抛物线C 上.（1）求抛物线C 的焦点到准线的距离；（2）设AB 中点为M ，且),(),,(M M P P y x M y x P ，证明：M P y y =；（3）若P 是曲线221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的最小值.21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分） 记无穷数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，其中*N ∈n . (1) 若2cos2n n n a π=+，请写出3b 的值； (2) 求证：“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等差数列”的充要条件；(3) 若对任意n ，有||2018n a <, 且||1n b =，请问：是否存在*K ∈N ，使得对于任意不小于K 的正整数n ，有1n n b b += 成立？请说明理由．青浦区2018学年第一学期高三年级期终学业质量调研测试数学参考答案及评分标准 2018.12说明1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．第17题至第21题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1．{}1-； 2．“若a b <，则22am bm <”； 3．()2,3-；4．43； 5．12π；67．(0,4)(4,8)； 8．32；9. 80； 10. 14；11．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦；12.1,3⎤⎦.二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13. A ；14. D ； 15．C ；16. C .三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：（1）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中， ∵1AA ⊥平面ABCD ，AD ⊂≠平面ABCD ， ∴1AA AD ⊥，故14AA =， ∴正四棱柱的侧面积为(43)448⨯⨯=， 体积为2(3)436⨯=．（2）建立如图的空间直角坐标系O xyz -，由题意 可得(0,0,0)D ,(3,3,0)B ,1(3,0,4)A ,(0,0,0)D ,3(,0,2)2E ,1(0,0,4)AA =，3(,3,2)2BE =--，设1AA 与BE 所成角为α，直线BE 与平面ABCD 所成角为θ，则11cos ||||AA BEAA BE α⋅===⋅ 又1AA是平面ABCD 的一个法向量， 故sin cos θα==，θ=．所以直线BE 与平面ABCD所成的角为arcsin61． 【另法提示：设AD 中点为G ，证EBG ∠即为BE 与平面ABCD 所成的角，然后解直角三角形EBG ，求出EBG ∠】arctan 1518．（本题满分14分）第（1）小题满分8分，第（2）小题满分6分.解：（1）,1,01BP t CP t t ==-≤≤45DAQ θ∠=︒-,1tan(45)1tDQ tθ-=︒-=+, 12111t tCQ t t-=-=++所以211t PQ t +===+ 故221111211t t l CP CQ PQ t t t t t+=++=-++=-++=++ 所以△CPQ 的周长l 是定值2（2）111221ABP ADQ ABCD t t S S S S t ∆∆-=--=--⨯+正方形122(1)221t t=-++≤+当且仅当1t =时，等号成立所以摄像头能捕捉到正方形ABCD 内部区域的面积S至多为22hm19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：（1）因为函数()3g x x =是函数()3mf x x x=+在区间[)+∞4，上的弱渐近函数， 所以()()1mf xg x x-=≤ ，即m x ≤在区间[)+∞4，上恒成立， 即444m m ≤⇒-≤≤（2）()()2f x g x x x -==[)2,+x ∈∞，()()22(f x g x x x ∴-==-A DCBθP Q45令2()()()2(x xh x f x g x x=-===任取122x x≤<，则2212311x x≤-<-≤<120xx<<12()()h x h x⇒>⇒<即函数()()()2(h x f x g x x=-=在区间[)2,+∞上单调递减，所以(()()0,4f x gx-∈-，又([]0,41,1-⊆-，即满足()2g x x=使得对于任意的[)2,x∈+∞有()()1f xg x-≤恒成立，所以函数()2g x x=是函数()f x=在区间[)2,+∞上的弱渐近函数．20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.解：（1）242a a=⇒=，又双曲线的渐近线方程为y=，所以bba==双曲线的标准方程是221412x y-=．（2）法一：由题不妨设11()A x，22(,)B x，则1212(,)22x xP+，由P在双曲线上，代入双曲线方程得124x x⋅=；法二：当直线AB的斜率不存在时，显然2x=±，此时124xx⋅=；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为(0,y kxt k k=+≠≠则由y kx tAy=+⎛⎧⎪⇒⎨=⎪⎩同理y kx tBy=+⎛⎧⎪⇒⎨=⎪⎩此时223,33kt t P k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭代入双曲线方程得224(3)t k =-，所以212243t x x k ⋅==-（3）①对称中心：原点；对称轴方程：,y y x ==②顶点坐标：3,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，322⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭；焦点坐标：(，(1,-实轴长：2a =、虚轴长：22b =、焦距：24c =③范围：()0,,2,x y ⎡≠∈-∞+∞⎣④渐近线：0,3x y x ==21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.解：（1）因为数列{}n b 是“Γ数列”，且11b =，3k =、4d =、0c =，所以当1n ≥，n *∈N 时，310n b +=，又*2016672N 3=∈，即20170b =， 20182017044b b d =+=+=，20192018448b b d =+=+= （2）因为数列{}n b 是“Γ数列”，且12b =，4k =、2d =、1c =()()()414344341434243434312336n n n n n n n n n n b b cb b b d b b d b b d b d +---------=-=⨯+-=+-=+-==则数列前4n 项中的项43n b -是以2为首项，6为公差的得差数列，易知{}4n b 中删掉含有43n b -的项后按原来的顺序构成一个首项为2公差为2的等差数列，41543()n n S b b b -∴=+++()()()()23467846454442414+n n n n n n b b b b b b b b b b b b -----++++++++++++⎡⎤⎣⎦2(1)3(31)26(3)2212822n n n n n n n n --=+⨯+⨯+⨯=+ 43nn S λ≤⋅，43nn S λ∴≤，设2412833n n n n S n n c +==，则()max n c λ≥，22211112(1)8(1)12824820333n n n n n n n n n n n c c +++++++-++-=-=当1n =时，2248200n n -++>，12c c <；当2n ≥，n *∈N 时，2248200n n -++<，1n n c c +<，∴123c c c <>>，∴()2max 649n c c ==， 即()2max 649n c c λ≥==（3）因为{}n b 既是“Γ数列”又是等比数列，设{}n b 的公比为1n nb q b +=，由等比数列的通项公式有1n n b bq -=，当m *∈N 时，21k m k m b b d ++-=，即()11km km km bq bq bq q d +-=-=① 1q =，则0d =，n b b =； ② 1q ≠，则()1kmd qq b=-，则kmq 为常数，则1q =-，k 为偶数，2d b =-，()11n n b b -=-； 经检验，满足条件的{}n b 的通项公式为n b b =或()11n n b b -=-.。

杨浦区2018学年度第二学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷 2019.4.考生注意： 1. 答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上.2. 本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 函数2()12sin f x x =-的最小正周期是▲________．2. 方程组310,2540x y x y -+=⎧⎨+-=⎩的增广矩阵为▲________．3. 若幂函数()kf x x =的图像过点（4，2），则(9)f =▲________．4. 若的二项展开式中项的系数是，则▲________．5. 若复数z 满足()234i a bi +=+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），则22a b +=▲________．6. 函数()1log 3a y x =-++(0a >且1a ≠)的反函数为()1f x -，则()11f --=▲________. 7. 函数arcsin 211x x y =-的值域是▲________.8. 哥德巴赫猜想是“每个大于的2偶数可以表示为两个素数的和”，如835=+．在不超过13的素数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率是▲________（用分数表示）.9. 若定义域为(,0)(0,)-∞+∞U 的函数⎪⎩⎪⎨⎧<+>-=-0,2,0,21)(x m x x f x x是奇函数，则实数m的值为▲________.10. 古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何()13nx +2x 54n =问题：在平面上给定两点)0,(),0,(a B a A -，动点P 满足||||PA PB λ=（其中a 和λ是正常数，且1λ≠），则P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”. 该圆的半径为 ▲________．11. 若ABC ∆的内角C B A ,,，其中G 为ABC ∆的重心，且0GA GB ⋅=u u u r u u u r，则Ccos 的最小值为▲________．12. 定义域为集合{1,2,3,,12}L 上的函数)(x f 满足：① 1)1(=f ； ②|(1)()|1(1,2,,11)f x f x x +-==L ； ③)12(),6(),1(f f f 成等比数列. 这样的不同函数)(x f 的个数为▲________．二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13. 若x 、y 满足0,2,0,x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩ 则目标函数2f x y =+的最大值为……………………( ))(A 1 )(B 2 )(C 3 )(D 414. 已知命题:α “双曲线的方程为()2220x y a a -=>”和命题β：“双曲线的两条渐近线夹角为2π”，则α是β的 ……………………（ ）)(A 充分非必要条件 )(B 必要非充分条件)(C 充要条件 )(D 既非充分也非必要条件 15. 对于正三角形T ，挖去以三边中点为顶点的小正三角形，得到一个新的图形，这样的过程称为一次“镂空操作”. 设T 是一个边长为1的正三角形，第一次“镂空操作”后得到图1，对剩下的3个小正三角形各进行一次“镂空操作”后得到图2，对剩下的小三角形重复进行上述操作. 设n A 是第n 次挖去的小三角形面积之和（如1A 是第1次挖去的中间小三角形面积，2A 是第2次挖去的三个小三角形面积之和），n S 是前n 次挖去的所有三角形的面积之和，则=∞→n n S lim ……………………（ ）)(A 43 )(B 33 )(C 23 )(D 2116. 已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为,,a b c , 且87cos =A . I 为ABC ∆内部的一点，且0a IA b IB c IC ++=u u r u u r u u r r ，若AI x AB y AC =+u u r u u u r u u u r，则y x +的最大值为………( ))(A 45 )(B 21 )(C 65 )(D 54三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数()(1tan )sin 2f x x x =+⋅． （1）求()f x 的定义域；（2）求函数()()2F x f x =-在区间(0,π)内的零点．18.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）上海地铁四通八达，给市民出行带来便利. 已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔 t （单位：分钟）满足：220t ≤≤，t ∈N . 经测算，地铁载客量)(t p 与发车时间间隔t 满足：()212001010,210()1200,1020t t p t t ⎧--≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩，， 其中t ∈N .（1）请你说明()5p 的实际意义； （2）若该线路每分钟的净收益为6()3360360p t Q t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；堑堵指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的的三棱柱.（1）某堑堵的三视图，如图1，网格中的每个小正方形的边长为1，求该堑堵的体积；（2）在堑堵111C B A ABC -中，如图2，BC AC ⊥，若21==AB A A ，当阳马C C AA B 11-的体积最大时，求二面角11C B A C --的大小.图1 图220.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）已知椭圆134:22=+Ωy x 的左右两焦点分别为12,F F .（1）若矩形ABCD 的边AB 在y 轴上，点D C ,均在Ω上，求该矩形绕y 轴旋转一周所得圆柱侧面积S 的取值范围；（2）设斜率为k 的直线l 与Ω交于Q P ,两点，线段PQ 的中点为)0)(,1(>m m M ，求证：21-<k ；（3）过Ω上一动点()00,E x y 作直线134:00=+yy x x l ，其中00y ≠，过E 作直线l的垂线交x 轴于点R . 问是否存在实数λ，使得1221EF RF EF RF λ⋅=⋅恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分）已知数列}{n a 满足：21111,8n n a a a m +==+，其中R N ∈∈m n ,*.（1）若21,,a m a 成等差数列，求m 的值； （2）若0=m ，求数列}{n a 的通项n a ；（3）若对任意正整数n ，都有4<n a ，求m 的最大值.杨浦区2018学年度第二学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷评分标准 2019.4.考生注意： 1. 答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上.2. 本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1. π2.⎪⎪⎭⎫⎝⎛--452131 3. 3 4. 4 5. 5 6. 2- 7. ]22,221[ππ+-8. 32 9. 1- 10.|1|22λλ-a 11. 5412. 155 二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.C 14.A 15.A 16.D三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）因为函数tan y x =的定义域为},2|{Z k k x x ∈+≠ππ ……2分所以函数()f x 的定义域为},2|{Z k k x x ∈+≠ππ ……6分（2）x x xxx f cos sin 2)cos sin 1()(⋅+= x x x 2sin 2cos sin 2+= x x 2cos 12sin -+= )42sin(21π-+=x ， ……10分令2)(=x f ，即22)42sin(=-πx 由),0(π∈x 得，)47,4(42πππ-∈-x ， ……12分 故442ππ=-x 或π43，即4π=x 或2π（舍）. ……14分 18.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）解：（1）95025101200)5(=⨯-=p ， ……3分)5(p 的实际意义是：当地铁的发车时间隔为5分钟时，地铁载客量为950； ……7分（2）当102<≤t 时，840)36(603603360)10(6072002++-=----=tt t t Q ，1208401260=+⨯≤-等号成立当且仅当6=t ； ……10分 当2010≤≤t 时，3603840360336012006-=--⨯=tt Q24360103840=≤- 等号成立当且仅当10=t ……13分故当发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大净收益为120元. ……14分19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）由已知，该“堑堵”的底面是等腰直角三角形，且斜边长为2，相应的高为1 棱柱的侧棱长为2 ……4分故该堑堵的体积为221221=⨯⨯⨯； ……6分（2）12132221111AA BC AC V V V ABC A C AA B C C AA B ⨯⨯⨯===--- 3431)(31222==+≤AB BC AC等号成立的充要条件是2==BC AC ； ……8分以C 为原点，1,,CC CA CB 为坐标轴建系， 则)2,2,0(),2,0,0(),0,0,2(11A C B ，则)2,2,0(),0,0,2(1==CA ，设面BC A 1的法向量为),,(1c b a n =，故⎪⎩⎪⎨⎧=+=,022,02c b a 令1=c ，得)1,2,0(1-=n ， 同理可得，面11BC A 的法向量为)1,0,2(2=n ， ……12分 故1n 与2n 的夹角θ满足：31cos =θ， 由图可知，所求二面角为锐角，故所求为31arccos ……14分20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分） 解：（1）解法一：不妨假设C 在第一象限，令)20)(sin 3,cos 2(πααα<<C ，则)2sin(34sin 32cos 22απααπ=⋅⋅=S ，……2分 由)0(2πα，∈，得]34,0(π∈S ； ……4分解法二：不妨假设()00,C x y 在第一象限，则2200143x y += ……1分有1≥ 所以00x y ≤3分004S x y π=≤ 得]34,0(π∈S ； ……4分（2）解法一：直线l 的方程为)1(-=-x k m y ，代入0124322=-+y x ，012)(4)(8)34(222=--+-++k m x k m k x k ，……6分0]3)(4[48]12)(4)[34(4)(64222222>+--=--+--=∆k m k k m k k m k ，即03)(422>+--k m k ， ……7分 又M 为中点，故134)(42=+--k k m k ，得km 43-=，0<k ， ……8分 代入03)(422>+--k m k 得，0)34)(12)(12(2>++-k k k ， 而0)34)(12(2<+-k k ，故012<+k ，即21-<k ……9分 解法二：设()()1122,,,P x y Q x y ，则，222211221,14343x y x y +=+=两式相减整理得1212121234y y x x x x y y -+=--+ 即121234x x k y y +=-+由题意得121,2x x +=12,2y y m += 于是34k m=- ……6分 中点()1,M m 在椭圆内部，则221143m +< 解得302m <<（要说明理由，否则扣2分） 故12k <-……9分 （3）当00x =时， 1221EF RF EF RF ⋅=⋅，所以，存在实数满足条件，则1λ=； ……10分 直线ER 的方程为0)(4)(30000=---y y xx x y ， 则)0,4(x R ， ……12分 故20202020*********2212)411()411()1()1(||||||||x x y x y x RF EF RF EF +-⨯+-++=⋅⋅=λ ……14分 1)4()4()4()4()4()4(433)1(433)1(2020202020202020220=+-⨯-+=+-⨯-+--++=x x x x x x x x x x 所以，1=λ。

杨浦区2018学年度第二学期高三年级学业质量调研数学学科试卷（理科）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上2.本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 1.函数()f x =的定义域是 .2.若集合()(){}22,1,,,2x A x y y B x y x Z y Z ⎧⎫⎪⎪=+<=∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则AB的元素个数为 . 3.若42321xx=，则x 的值是 .4.62x ⎛ ⎝的展开式中的常数项的值是 .5.某射击选手连续射击5枪命中环数分别为：9.7,9.9,10.1,10.2,10.1，则这组数据的方差为.6.对数不等式()()331log log 0x a x +->的解集是1,93⎛⎫⎪⎝⎭，则实数a 的值为 . 7.极坐标方程sin 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭所表示的曲线围成的图形面积为 .8.如图，根据该程序框图，若输出的y 为2，则输入的x 的值为 .9.若正数,a b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是 .10.已知12,e e 是不平行的向量，设1212,a e ke b ke e =+=+，则a 与b 共线的充要条件是实数k 等于 . 11.已知方程()210x px p R -+=∈的两根为12x x 、，若121x x-=，则实数p 的值为 .12.已知从上海飞往拉萨的航班每天有5班，现有甲、乙、丙三人选在同一天从上海出发去拉萨，则他们之中正好有两个人选择同一航班的概率为 .13.已知*N n ∈，在坐标平面中有斜率为n 的直线nl 与圆222xy n +=相切，且nl 交y 轴的正半轴于点nP ，交x 轴于点nQ ，则2lim2n n x P Q n →∞的值为 .14.对于自然数*N 的每一个非空子集，我们定义“交替和”如下：把子集中的元素从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替ACB∙∙∙地加减各数，例如{}1,2,4,6,9的交替和是964216-+-+=；则集合{}1,2,3,4,5,6,7的所有非空子集的交替和的总和为 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15.“2a ≤-”是“函数()()21R f x xax x =++∈只有一个零点”的 （ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件16.在复平面中，满足等式112z z +--=的z 所对应点的轨迹是（ ）A.双曲线B.双曲线的一支C.一条射线D.两条射线17.设反比例函数()1f x x=与二次函数()2g x axbx =+的图像有且仅有两个不同的公共点()()1122,,,A x y B x y ，且12xx <，则12y y =A.2或12B.2-或12- C.2或12-18.如图，设店A在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 弦AP 的长为d ，则函数()d f l =的图像大致是（ ）A. B. C.D.三 .解答题（本大题满分74）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.ABC19.（本题满分12分）如图，一条东西走向的大江，其河岸A 处有人要渡江到对岸B 处，江面上有一座大桥AC ，已知B 在A 的西南方向，C 在A 的南偏西15︒，10BC =公里.现有两种渡江方案：方案一：开车从大桥AC 渡江到C 处，然后再到B 处； 方案二：直接坐船从A 处渡江到对岸B 处.若车速为每小时60公里，船速为每小时45公里（不考虑水流速度），为了尽快到达B 处，应选择哪个方案？说明理由.20.（本题满分14分，其中第一小题7分，第二小题7分） 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD上的动点.（1）试确定点F 的位置，使得1D E ⊥平面1AB F ; （2）当1D E ⊥平面1AB F 时，求二面角1CEF A --的大小（结果用反三角函数表示）.A 1C21.（本题满分14分，其中第一小题4分，第二小题5分，第三小题5分） 已知函数()()31R 31x x t f x t ⋅-=∈+是奇函数. （1）求t 的值；（2）求()f x 的反函数()1f x -；（3）对于任意的0m >，解不等式：()131logxf x m-+>.22.（本题满分16分，其中第一小题5分，第二小题5分，第三小题6分） 数列{}na 满足11a=，2a r =（0r >），令1n n n b a a +=⋅，{}n b 是公比为()0,1q q q ≠≠-的等比数列，设212nn n ca a -=+.（1）求证：()11n nc r q -=+⋅；（2）设{}nc 的前n 项和为nS ，求1lim n nS →∞的值；（3）设{}nc 前n 项积为nT ，当12q =-时，nT 的最大值在8n =和9n =的时候取到，求n 为何值时，nT 取到最小值.23.（本题满分18分，其中第一小题6分，第二小题6分，第三小题6分） 已知抛物线()2:20C ypx p =>的焦点F ，线段PQ 为抛物线C 的一条弦.（1）若弦PQ 过焦点F ，求证：11FP FQ+为定值； （2）求证:x 轴的正半轴上存在定点M ，对过点M 的任意弦PQ ，都有2211MPMQ +为定值；（3）对于（2）中的点M 及弦PQ ，设PM MQ λ=，点N 在x 轴的负半轴上，且满足()NM NP NQ λ⊥-，求N 点坐标.。

杨浦区2018学年度第二学期高三年级学业质量调研数学理 2018.04.12一、填空题1.函数()f x =的定义域为 .2.已知线性方程组的增广矩阵为11334a -⎛⎫⎪⎝⎭，若该线性方程组的解为12-⎛⎫⎪⎝⎭，则实数a = .3.计算2123lim 1n nn →∞+++++= .4.若向量a、b满足||1,||2a b ==，且a与b的夹角为π3，则||a b +=.5.若复数1234,12z i z i =+=-，其中i 是虚数单位，则复数12||z z i+的虚部为 . 6.61(x-的展开式中，常数项为.7.已知ABC △的内角A 、B 、C 所对应边的长度分别为a 、b 、c ，若a cb ac a b b--=，则角C 的大小是 .8.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且满足：174a a =，则数列2{log }n a 的前7项之和为 .9.在极坐标系中曲线C ：2cos ρθ=上的点到(1,π)距离的最大值为 .10.袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为1至5，从袋中随机抽取3只，若以ξ表示取到球中的最大号码，则ξ的数学期望是 .11.已知双曲线2214y x -=的右焦点为F ，过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P ，M 在直线PF 上，且满足0OM PF ⋅=，则||||PM PF = .12.现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有 .（用数字作答）13.若关于x 的方程54(4)|5|x x m xx+--=在(0,)+∞内恰有三个相异实根，则实数m 的取值范围为 .14.课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法.祖暅原理也可用来求旋转体的体积.现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式.请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为221425x y +=，将此椭圆绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于 .二、选择题15.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,)+∞上递增的是（ ）A.||2x y = B.ln y x = C.13y x = D.1y x x=+16.已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，则“π3α<”是“k <（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件 17.设x ,y ,z 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（ ）A.2211x x x x++≥C.1||2x y x y-+-≥ D.||||||x y x z y z --+-≤18.已知命题：“若a ,b 为异面直线，平面α过直线a 且与直线b 平行，则直线b 与平面α的距离等于异面直线a ,b 之间的距离”为真命题.根据上述命题，若a ,b 为异面直线，且它们之间的距离为d ，则空间中与a ,b 均异面且距离也均为d 的直线c 的条数为（ ）A0条 B.1条 C.多于1条，但为有限条D.无数多条 三、解答题19.如图，底面是直角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，1112AC BC AA ===，D 是棱1AA 上的动点.(1)证明：1DC BC ⊥； (2)求三棱锥1C BDC -的体积.20.某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA 及PB ,现打算用它们和两面成直角的墙OM 、ON 围成一个如图所示的四边形菜园OAPB (假设OM 、ON 这两面墙都足够长).已知|PA |=|PB |=10 (米),π4AOP BOP ∠=∠=,OAP OBP ∠=∠.设OAP θ∠=，四边形OAPB 的面积为S .(1)将S 表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围； (2)求出S 的最大值，并指出此时所对应θ的值.21.已知函数2()log (21)x f x ax =++，其中a ∈R .(1)根据a 的不同取值，讨论()f x 的奇偶性，并说明理由； (2)已知a >0，函数()f x 的反函数为1()f x -，若函数1()()y f x f x -=+在区间[1,2]上的最小值为21log 3+，求函数()f x 在区间[1,2]上的最大值.22.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为F 与短轴的两个端点组成一个正三角形.若直线l 与椭圆C 交于11(,)A x y 、22(,)B x y ，且在椭圆C 上存在点M ，使得：3455OM OA OB =+（其中O为坐标原点），则称直线l 具有性质H . (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 垂直于x 轴，且具有性质H ，求直线l 的方程； (3)求证：在椭圆C 上不存在三个不同的点P 、Q 、R ，使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H .23.已知数列{}n a 和{}n b 满足：11,(1)(1),n n a na n a n n n λ+==+++∈*N ,且对一切n ∈*N ,均有12(2)n a n bb b =.(1)求证：数列{}n a n为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)若2λ=，求数列{}n b 的前n 项和n S ；(3)设()n n n n na b c n a b -=∈*N ，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，问：是否存在正整数λ，对一切n ∈*N ，均有4n T T ≥恒成立.若存在，求出所有正整数λ的值；若不存在，请说明理由.19、（1）证明：因为直三棱柱111ABC A B C -中，CC 1⊥平面ABC ，所以，CC 1⊥BC ，又底面ABC 是直角三角形，且AC ＝BC ＝1，所以AC ⊥BC ， 又1ACCC ＝C ，所以，BC ⊥平面ACC 1A 1，所以，BC ⊥DC 1（2）11C BDC B CDC V V --=＝111211323⨯⨯⨯⨯=20（1）在三角POB 中，由正弦定理，得：103sin()sin44OB ππθ=-，得OB ＝10（cos sin θθ+） 所以，S ＝121010(cos sin )sin 2θθθ⨯⨯⨯+＝2100(sin cos sin )θθθ+，（2）S ＝2100(sin cos sin )θθθ+＝250(2sin cos 2sin )θθθ+ ＝50(sin 2cos 21)θθ-+＝)504πθ-+所以，21、（1）当a ＝－12时，21()log (21)2x f x x =-++，定义域为R ，21()log (21)2xf x x --=++2112log ()22x x x +=+＝221log (21)log 22x x x ++-＝21log (21)2x x -++＝()f x ，偶函数。