2018年浦东区高三二模数学word版(附解析)

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上海市青浦区2018届高三二模数学试卷2018。

04一. 填空题（本大题共12题，1—6每题4分,7-12每题5分，共54分） 1. 不等式|3|2x -<的解集为2. 若复数z 满足2315z i -=+(i 是虚数单位)，则z =3。

若1sin 3α=，则cos()2πα-=4. 已知两个不同向量(1,)OA m =,(1,2)OB m =-，若OA AB ⊥,则实数m = 5。

在等比数列{}n a 中,公比2q =，前n 项和为n S ，若51S =，则10S =6。

若x 、y 满足21020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩,则2z x y =-的最小值为7. 如图所示，一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为8。

621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 9. 高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A +的概率分别为78、34、512,这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这 位考生至少得2个A +的概率是10。

已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21x f x =-，函数2()2g x x x m =-+，如果对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f x g x ≤，则实数m 的取值范围是 11.已知曲线:C y =:2l y =，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q ，使得0AP AQ +=，则m 取值范围是12. 已知22sin 1cos 1a a M a a θθ-+=-+（,a θ∈R ，0a ≠)，则M 的取值范围是二。

2018届上海市高三数学二模分类汇编一、填空题1.集合1.设全集R U =，若集合{}2,1,0=A ，{}21|<<-=x x B ，()B C A U ⋂= .【答案】{}2【来源】18届宝山二模1【难度】集合、基础题2.集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=02x x x A ，{|}B x x Z =∈，则A B ⋂等于 ． 【答案】{}1或{}1=x x 【来源】18届奉贤二模1【难度】集合、基础题3. 已知(,]A a =-∞，[1,2]B =，且A B ≠∅I ，则实数a 的范围是【答案】1a ≥【来源】18届虹口二模1【难度】集合、基础题4．已知集合{}{}1,2,31,A B m ==，，若3m A -∈，则非零实数m 的数值是 ．【答案】2【来源】18届黄浦二模1【难度】集合、基础题5．已知集合},2,1{m A =，}4,2{=B ，若}4,3,2,1{=B A Y ，则实数=m _______．【答案】3【来源】18届长嘉二模1【难度】集合、基础题6. 设集合1|,2x M y y x R ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，()()()1|1112,121N y y x m x x m ⎧⎫⎛⎫==+-+--≤≤⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是 .【答案】(1,0)-【来源】18届普陀二模11【难度】集合、中档题7．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U .【答案】]3,1[-【来源】18届徐汇二模1【难度】集合、基础题8. 已知集合{|(1)(3)0}P x x x =+-<，{|||2}Q x x =>，则P Q =I【答案】(2,3)【来源】18届金山二模3【难度】集合、基础题9.已知集合{1,0,1,2,3}U =-，{1,0,2}A =-，则U C A =【答案】{1,3}【来源】18届崇明二模1【难度】集合、基础题2.命题、不等式1．不等式|1|1x ->的解集是 ．【答案】(,0)(2,)-∞+∞U【来源】18届黄浦二模2【难度】不等式、基础题2．已知函数2()(02)f x ax bx c a b =++<<对任意R x ∈恒有()0f x ≥成立，则代数式(1)(0)(1)f f f --的最小值是 ． 【答案】3【来源】18届黄浦二模2【难度】不等式、压轴题3．不等式|3|2x -<的解集为__________________． 【答案】{}15x x <<或()1,5【来源】18届青浦二模1【难度】不等式、基础题4．若为等比数列，0n a >，且2018a =，则2017201912a a +的最小值为 ． {}n a【答案】4【来源】18届杨浦二模10【难度】不等式、中档题5. 函数9y x x=+，(0,)x ∈+∞的最小值是 【答案】6【来源】18届金山二模4【难度】不等式、基础题3.函数1.给出下列函数：①1y x x=+；②x x y +=2；③2x y =；④23y x =；⑤x y tan =；⑥()sin arccos y x =；⑦(lg lg 2y x =-．从这7个函数中任取两个函数，则其中一个是奇函数另一个是偶函数的概率是 ． 【答案】37【来源】18届奉贤二模9【难度】函数、中档题2.已知函数()()θ-=x x f 2sin 5，⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ，[]π5,0∈x ，若函数()()3-=x f x F 的所有零点依次记为n x x x x ,,,,321Λ，且n n x x x x x <<<<<-1321Λ，*N n ∈若π283222212321=++++++--n n n x x x x x x Λ，则=θ ． 【答案】9π【来源】18届奉贤二模12【难度】函数、压轴题3.已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则11[(9)]f f ---= 【答案】-2【来源】18届虹口二模5【难度】函数、基础题4.若函数()f x =是偶函数，则该函数的定义域是 ．【答案】[2,2]-【来源】18届黄浦二模3【难度】函数、基础题5.已知函数)1lg()(2ax x x f ++=的定义域为R ，则实数a 的取值范围是_________．【答案】]1,1[-【来源】18届长嘉二模10【难度】函数、中档题6.若函数1()21f x x m =-+是奇函数，则实数m =________.【答案】12【来源】18届普陀二模2【难度】函数、基础题7.若函数()f x =()g x ，则函数()g x 的零点为________.【答案】x =【来源】18届普陀二模3【难度】函数、基础题8.已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21x f x =-，函数 2()2g x x x m =-+. 如果对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f x g x ≤，则实数m 的取值范围是 .【答案】5m ≥-【来源】18届青浦二模10【难度】函数、中档题9.若函数222(1)sin ()1x x f x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 1g x M m x M m x =+++-⎡⎤⎣⎦图像的一个对称中心是 ． 【答案】114⎛⎫⎪⎝⎭， 【来源】18届徐汇二模11【难度】函数、中档题10.设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，2()log (1)f x x =+，则函数()f x 在[1,2]上的解析式是【答案】2()log (3)f x x =-【来源】18届崇明二模9【难度】函数、中档题4.指数函数、对数函数1.方程33log (325)log (41)0x x ⋅+-+=的解x = ．【答案】2【来源】18届黄浦二模6【难度】对数函数、基础题2.[]x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)[2]044x x -⋅-=满足1x <的所有实数解是 【答案】12x =或1x =- 【来源】18届虹口二模11【难度】指数函数、中档题3.若实数x 、y 满足112244+++=+y x y x ，则y x S 22+=的取值范围是____________．【答案】]4,2(【来源】18届长嘉二模12【难度】指数函数、压轴题4.函数()lg(32)x xf x =-的定义域为_____________．【答案】(0,)+∞【来源】18届徐汇二模3【难度】对数函数、基础题5.定义在R 上的函数()21x f x =-的反函数为1()y f x -=，则1(3)f -= 【答案】2【来源】18届松江二模4【难度】指数函数、基础题6.若函数2()log (1)a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围【答案】()[)0,12,+∞U【来源】18届松江二模10【难度】指数函数、中档题7.函数lg 1y x =-的零点是 ．【答案】10x =【来源】18届杨浦二模1【难度】对数函数、基础题8.函数lg y x =的反函数是【答案】1()10x f x -=【来源】18届金山二模2【难度】对数函数、基础题5. 三角函数1.已知在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为AB ∠∠，，C ∠所对的边．若222b c a +-=，则A ∠= ． 【答案】4π或045 【来源】18届奉贤二模5【难度】三角函数、基础题2.已知ABC ∆的三内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，若2222sin a b c bc A =+-，则内角A 的大小是 ． 【答案】4π【来源】18届黄浦二模4【难度】三角函数、基础题3.若1sin 3α=，则cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______________． 【答案】13【来源】18届青浦二模3【难度】三角函数、基础题4.在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222()tan b c a A bc +-=，则角A 的大小为________.【答案】6π 【来源】18届普陀二模5【难度】三角函数、基础题5..函数()x x x f 4cos 4sin 2=的最小正周期为 . 【答案】4π 【来源】18届宝山二模4【难度】三角函数、基础题6.已知22s 1(,,0)cos 1a a in M a a a a θθθ-+=∈≠-+R ，则M 的取值范围是 ．【答案】⎣⎦ 【来源】18届青浦二模12【难度】三角函数、压轴题7. 函数3sin(2)3y x π=+的最小正周期T = 【答案】π【来源】18届金山二模1【难度】三角函数、基础题8.若53sin )cos(cos )sin(=---x y x x y x ，则y 2tan 的值为 【答案】2424.77-或 【来源】18届杨浦二模9【难度】三角函数、中档题9.在ABC △中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，2a =，2sin sin A C =． 若B 为钝角，412cos -=C ，则ABC ∆的面积为 ．【来源】18届杨浦二模11【难度】三角函数、中档题10. 若2018100922sin (2cos )(3cos cos )(1cos cos )αββαβα--≥---+，则sin()2βα+= 【答案】-1或1【来源】18届金山二模12【难度】三角函数、压轴题题6. 数列1.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且2a 、4a 、3a 成等差数列，则q =【答案】1或12- 【来源】18届虹口二模7【难度】数列、基础题2.已知数列{}n a 是共有k 个项的有限数列，且满足11(2,,1)n n nn a a n k a +-=-=-L ，若1224,51,0k a a a ===，则k = ．【答案】50【来源】18届黄浦二模11【难度】数列、中档题3.设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠），若m 是等比数列{}n a （*N n ∈）的公比，且2462018()7f a a a a =L ，则22221232018()()()()f a f a f a f a ++++L 的值为_________. 【答案】1990-【来源】18届普陀二模9【难度】数列、中档题4.在等比数列{}n a 中，公比2q =，前n 项和为n S ，若51S =，则10S = ．【答案】33【来源】18届青浦二模5【难度】数列、基础题7. 向量1.如图，已知O 为矩形4321P P P P 内的一点，满足7,543131===P P OP OP ，，则24OP OP ⋅u u u r u u u r 的值为 .【答案】-4【来源】18届宝山二模11【难度】向量、中档题2.已知向量a r 在向量b r 方向上的投影为2-，且3b =r ，则a b ⋅r r = ．(结果用数值表示)【答案】-6【来源】18届黄浦二模5【难度】向量、基础题3.在△ABC 中，M 是BC 的中点，︒=∠120A ，21-=⋅，则线段AM 长的最小值为____________． 【答案】21 【来源】18届长嘉二模114.已知曲线C y =：2l y =：，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q ，使得0AP AQ +=u u u r ，则m 取值范围是 ．11、 【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【来源】18届青浦二模11【难度】向量、中档题5.已知向量a r 、b r 的夹角为60°，||1a =r ，||2b =r ，若(2)()a b xa b +⊥-r r r r ，则实数x 的值为【答案】3【来源】18届松江二模7【难度】向量、基础题6.点1F ，2F 分别是椭圆22:12x C y +=的左、右两焦点，点N 为椭圆C 的上顶点，若动点M 满足：2122MN MF MF =⋅u u u u r u u u u r u u u u r ，则122MF MF +u u u u r u u u u r 的最大值为__________.【答案】6【来源】18届普陀二模12【难度】向量、压轴题7.已知两个不同向量(1,)OA m =u u u r ，(1,2)OB m =-u u u r ，若OA AB ⊥u u u r u u u r ，则实数m =____________．【答案】1【来源】18届青浦二模48.已知非零向量OP uuu r 、OQ uuu r 不共线，设111m OM OP OQ m m =+++u u u u r u u u r u u u r ，定义点集{|}||||FP FM FQ FM A F FP FQ ⋅⋅==u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r . 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式12||||F F k PQ ≤u u u u r u u u r 恒成立，则实数k 的最小值为 ． 【答案】34【来源】18届杨浦二模12【难度】向量、压轴题9.已知向量,a b r r的夹角为锐角，且满足||a =r、||b =r ，若对任意的{}(,)(,)||1,0x y x y xa yb xy ∈+=>r r ，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅r r 的最小值为 . 【答案】815【来源】18届徐汇二模12【难度】向量、压轴题10. 在平面四边形ABCD 中，已知1AB =，4BC =，2CD =，3DA =，则AC BD ⋅u u u r u u u r的值为【答案】10【来源】18届崇明二模12【难度】向量、压轴题8. 解析几何1.设抛物线的焦点坐标为()01，，则此抛物线的标准方程为 .【答案】24y x =【来源】18届宝山二模2【难度】解析几何、基础题2.抛物线2y x =的焦点坐标是 ． 【答案】（0，14） 【来源】18届奉贤二模3【难度】解析几何、基础题3.椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为 【答案】2mn 【来源】18届虹口二模10【难度】解析几何、中档题4.角的始边是x 轴正半轴，顶点是曲线2522=+y x 的中心，角的终边与曲线2522=+y x 的交点A 的横坐标是3-，角的终边与曲线2522=+y x 的交点是B ，则过B 点的曲线2522=+y x 的切线方程是 ．（用一般式表示）11、【答案】7241250x y ±+=【来源】18届奉贤二模11【难度】解析几何、压轴题5.直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a =【答案】2【来源】18届虹口二模2【难度】解析几何、基础题 ααα26.已知平面直角坐标系xOy 中动点),(y x P 到定点)0,1(的距离等于P 到定直线1-=x 的距离，则点P 的轨迹方程为______________．【答案】x y 42=【来源】18届长嘉二模4【难度】解析几何、基础题7. 抛物线212x y =的准线方程为_______.【答案】3y =-【来源】18届普陀二模1【难度】解析几何、基础题8.双曲线22219x y a -=（0a >）的渐近线方程为320x y ±=，则a = 【答案】2a =【来源】18届松江二模1【难度】解析几何、基础题9.已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=.当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是 .【答案】2220x y x y +--=【来源】18届徐汇二模10【难度】解析几何、中档题10.已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-，则a = . 【答案】1【来源】18届徐汇二模4【难度】解析几何、基础题11.若双曲线222161(0)3x y p p -=>的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p = ．【答案】4【来源】18届杨浦二模8【难度】解析几何、中档题12.平面上三条直线210x y -+=，10x -=，0x ky +=，如果这三条直线将平面化分为六个部分，则实数k 的取值组成的集合A =【答案】{2,1,0}--【来源】18届金山二模10【难度】解析几何、中档题13.已知双曲线22:198x y C -=，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作一直线与双曲线C 的右半支交于P 、Q 两点，使得190F PQ ∠=︒，则1F PQ ∆的内切圆的半径r =【答案】2【来源】18届金山二模11【难度】解析几何、中档题14.已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为 （结果保留π）【答案】12π【来源】18届崇明二模6【难度】解析几何、基础题15. 已知椭圆2221x y a+=（0a >）的焦点1F 、2F ，抛物线22y x =的焦点为F ，若 123F F FF =u u u r u u u u r ，则a =【来源】18届崇明二模8【难度】解析几何、中档题9. 复数1.设z 是复数，()a z 表示满足1n z =时的最小正整数n ，i 是虚数单位，则⎪⎭⎫⎝⎛-+i i a 11=______．【答案】4【来源】18届奉贤二模7【难度】复数、基础题2.已知α是实系数一元二次方程22(21)10x m x m --++=的一个虚数根，且||2α≤，则实数m 的取值范围是 ．【答案】3(4-【来源】18届黄浦二模8【难度】复数、中档题3.已知复数z 满足i 342+=z （i 为虚数单位），则=||z ____________． 【答案】5【来源】18届长嘉二模3【难度】复数、基础题4.若复数z 满足2315i z -=+（i 是虚数单位），则=z _____________． 【答案】512i - 【来源】18届青浦二模2【难度】复数、基础题5.设m ∈R ，若复数(1)(1)z mi i =++在复平面内对应的点位于实轴上，则m =【答案】-1【来源】18届松江二模3【难度】复数、基础题6.若复数z 满足1z =，则z i -的最大值是 ．【答案】2【来源】18届杨浦二模6【难度】复数、中档题7.i 是虚数单位，若复数(12)()i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为【答案】-2【来源】18届崇明二模3【难度】复数、基础题10. 立体几何1.已知球的俯视图面积为π，则该球的表面积为 .【答案】4π【来源】18届宝山 二模5【难度】立体几何、基础题2.已知半径为2R 和R 的两个球，则大球和小球的体积比为 ．【答案】8或1:8【来源】18届奉贤 二模2【难度】立体几何、基础题3.长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++=4.2【答案】2【来源】18届虹口 二模4【难度】立体几何、中档题4.如图，长方体1111ABCD A B C D -的边长11AB AA ==，AD =O ，则A 、1A 这两点的球面距离等于 【答案】3π 【来源】18届虹口 二模9【难度】立体几何、中档题5.将圆心角为32π，面积为π3的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为___________．【答案】π322【来源】18届长嘉二模7【难度】立体几何、中档题6.三棱锥ABCP-及其三视图中的主视图和左视图如下图所示，则棱PB的长为________．【答案】24【来源】18届长嘉二模8【难度】立体几何、中档题7.如图所示，一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为__________．【答案】4π【来源】18届青浦二模7【难度】立体几何、中档题8.若一个球的体积为323π，则该球的表面积为_________．【答案】16π【来源】18届徐汇二模5【难度】立体几何、基础题9.若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 .【答案】15π【来源】18届徐汇二模8【难度】立体几何、中档题10.若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为【答案】16π【来源】18届松江二模8【难度】立体几何、中档题11.若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3,3,2的三角形， 则该圆锥的体积是 ．【来源】18届杨浦二模7【难度】立体几何、中档题12.记球1O 和2O 的半径、体积分别为1r 、1V 和2r 、2V ，若12827V V =，则12r r = 【答案】23【来源】18届金山二模6【难度】立体几何、中档题11. 排列组合、概率统计、二项式定理1.某次体检，8位同学的身高（单位：米）分别为68.1，71.1，73.1，63.1，81.1，74.1，66.1，78.1，则这组数据的中位数是 (米）.【答案】1.72【来源】18届宝山二模3【难度】统计、基础题2.若B A 、满足()()()525421===AB P B P A P ，，，则()()P AB P AB -= . 【答案】310【来源】18届宝山二模9【难度】概率、中档题3.在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，要求男、女都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）【答案】1688【来源】18届宝山二模7【难度】排列组合、中档题4.从集合{1,1,2,3}-随机取一个为m ，从集合{2,1,1,2}--随机取一个为n ，则方程221x y m n+=表示双曲线的概率为 【答案】12【来源】18届虹口二模6【难度】概率、中档题5.若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则3a 的值等于【答案】20【来源】18届虹口二模8【难度】二项式、中档题6.已知某市A社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是人．【答案】140【来源】18届黄浦二模9【难度】概率统计、中档题7.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是．(结果用数值表示) 10．【答案】5 16【来源】18届黄浦二模10 【难度】概率统计、中档题8.nxx⎪⎭⎫⎝⎛+1的展开式中的第3项为常数项，则正整数=n___________．【答案】4【来源】18届长嘉二模2【难度】二项式、基础题9.某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0、1、2、3的四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球编号相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．则顾客抽奖中三等奖的概率为____________．9．【答案】167【难度】概率统计、中档题10.代数式2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 ．（用数字作答） 【答案】3【来源】18届奉贤二模10【难度】二项式、中档题11.书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》，现将这五本书从左到右摆放在一起，则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为_______（结果用数值表示）.【答案】24【来源】18届普陀二模4【难度】二项式、基础题12.若321()n x x-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_________.5 【答案】5【来源】18届普陀二模6【难度】二项式、基础题13.某单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（假设每辆车最多只获一次赔偿）.设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为120和121，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为_________（结果用最简分数表示）.【答案】221【难度】概率统计、中档题14.设1234,,,{1,0,2}x x x x ∈-，那么满足12342||||||||4x x x x ≤+++≤的所有有序数对 1234(,,,)x x x x 的组数为【答案】45【来源】18届松江二模11【难度】排列组合、压轴题15.设*n N ∈，n a 为(4)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，324c t =-，t ∈R1222[][][]555n n n na a a b =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n n t b c -++的最小值为 【答案】25【来源】18届松江二模12【难度】二项式、压轴题16.在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项是 .【答案】20【来源】18届徐汇二模2【难度】二项式、基础题17.621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为______________．8、30【答案】30【来源】18届青浦二模8【难度】二项式、中档题18.高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A +的概率分别为78、34、512，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个A +的概率是 ． 【答案】151192【来源】18届青浦二模9【难度】概率统计、中档题19.将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向量()2,2a m n =--r ，向量()1,1b =r ，则向量a b ⊥r r 的概率．．是 . 【答案】16【来源】18届徐汇二模9【难度】概率统计、中档题20.若的二项展开式中项的系数是，则n = ．【答案】4【来源】18届杨浦二模3【难度】概率统计、基础题21.掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为 ． ()13nx +2x 542【来源】18届杨浦二模4【难度】概率统计、基础题22.若一个布袋中有大小、质地相同的三个黑球和两个白球，从中任取两个球，则取出的两球中恰是一个白球和一个黑球的概率是 【答案】11322535C C C ⋅= 【来源】18届金山二模8【难度】概率统计、中档题23.(12)n x +的二项展开式中，含3x 项的系数等于含x 项的系数的8倍，则正整数n =【答案】5【来源】18届金山二模9【难度】二项式、中档题24.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 石（精确到小数点后一位数字）【答案】169.1【来源】18届崇明二模5【难度】统计、基础题25. 若二项式7(2)a x x+的展开式中一次项的系数是70-，则23lim()n n a a a a →∞+++⋅⋅⋅+=3【来源】18届崇明二模7【难度】二项式、基础题26.某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在 相邻车位的概率是 【答案】47【来源】18届崇明二模10【难度】概率、中档题12. 行列式、矩阵、程序框图1.若某线性方程组对应的增广矩阵是421m m m ⎛⎫⎪⎝⎭，且此方程组有唯一一组解，则实数m 的取值范围是【答案】0D ≠，即2m ≠±【来源】18届金山二模7【难度】矩阵、中档题2.三阶行列式130124765x-中元素5-的代数余子式为()x f ，则方程()0f x =的解为____． 【答案】2log 3x =【来源】18届奉贤二模6【难度】矩阵、中档题3.若二元一次方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其解为100x y =⎧⎨=⎩，则12c c += 【答案】 40【来源】18届松江二模2【难度】矩阵、基础题4.函数()2sin cos 1()11x x f x +-=的最小正周期是___________．【答案】π【来源】18届徐汇二模7【难度】矩阵、基础题5.若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛210221c c 的解为⎩⎨⎧==31y x ，则=+21c c . 【答案】9【来源】18届宝山二模6【难度】矩阵、基础题6.已知函数2sin cos 2()1cos x x f x x -=，则函数()f x 的单调递增区间 是 ． 【答案】3[,],Z 88k k k ππππ-+∈【来源】18届黄浦二模7【难度】矩阵、基础题7.已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是111012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y += 【答案】5【来源】18届崇明二模2【难度】矩阵、基础题8.若2log 1042x -=-，则x =【答案】4【来源】18届崇明二模4 【难度】行列式、基础题13. 数学归纳法、极限1.已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n N ∈，{}n a 的前n 项和为n S ，则limnn nS n a →∞=⋅【答案】12【来源】18届松江二模6 【难度】极限、基础题2.计算：=+∞→142limn nn ．【答案】12【来源】18届杨浦二模2 【难度】极限、基础题14. 参数方程、线性规划1.已知实数,x y 满足20102x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数2u x y =+的最大值是 ．【答案】4 【来源】18届奉贤二模4 【难度】线性规划、中档题2.设变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥,043,04,1y x y x x 则目标函数y x z -=3的最大值为_________．【答案】4 【来源】18届长嘉二模6 【难度】线性规划、基础题3.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为24x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C的参数方程为cos 1sin 2x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则直线l 与椭圆C 的公共点坐标为__________.【答案】(24-【来源】18届普陀二模8 【难度】参数方程、中档题4.设变量x 、y 满足条件0220x y x y y x y m-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩，若该条件表示的平面区域是三角形，则实数m 的取值范围是__________. 【答案】4(0,1][,)3+∞U 【来源】18届普陀二模10 【难度】参数方程、中档题5.若,x y 满足2,10,20,x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩则2z x y =-的最小值为____________．【答案】12-【来源】18届青浦二模6 【难度】参数方程、中档题6.已知实数x y ，满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，． 则目标函数z x y =-的最小值为___________．【答案】-1【来源】18届徐汇二模6 【难度】线性规划、基础题7.若x 、y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2f x y =+的最大值为 ．【答案】3【来源】18届杨浦二模5 【难度】线性规划、基础题8.直线l 的参数方程为112x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则l 的一个法向量为【答案】()2,1- 【来源】18届松江二模5 【难度】线性规划、基础题9.若平面区域的点(,)x y 满足不等式||||14x y k +≤（0k >），且z x y =+的最小值为5-，则常数k = 【答案】5k =【来源】18届松江二模9 【难度】线性规划、中档题10.已知,x y ∈R，且满足00y y y +≤-≥≥⎪⎩，若存在θ∈R 使得cos sin 10x y θθ++=成立，则点(,)P x y 构成的区域面积为【答案】6π【来源】18届崇明二模11 【难度】线性规划、中档题15.其它1.函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<<⋅⋅⋅<且12,,,[0,8]n x x x π⋅⋅⋅∈（10n ≥），记1223341|()()||()()||()()||()()|n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-+⋅⋅⋅+-，则M的最大值等于 【答案】16【来源】18届虹口二模12 【难度】其它、压轴题 二、选择题1.命题、不等式)(C 充要条件． )(D 既不充分也不必要条件．【答案】 B 【来源】18届宝山二模13 【难度】命题与条件、基础题2.在给出的下列命题中，是ggg假命题的是 答( )．(A )设O A B C 、、、是同一平面上的四个不同的点，若(1)(R)OA m OB m OC m =⋅+-⋅∈u u u r u u u r u u u r，则点A B C 、、必共线(B )若向量a b r r 和是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量c r都可以表示为(R)c a b λμμλ=+∈r r r、，且表示方法是唯一的(C )已知平面向量OA OB OC u u u r u u u r u u u r、、满足||||(0)OA OB OC r r ==>u u u r u u u r u u u r |=|，且0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ， 则ABC ∆是等边三角形(D )在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量a b c d r r r u r、、、，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直【答案】D【来源】18届黄浦二模16 【难度】命题与条件、压轴题3.唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。

2018年杨浦区高三二模数学W o r d版(附解析)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN上海市杨浦区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 函数lg 1y x =-的零点是 2. 计算：2lim41n nn →∞=+3. 若(13)n x +的二项展开式中2x 项的系数是54，则n =4. 掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为5. 若x 、y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2f x y =+的最大值为6. 若复数z 满足1z =，则z i -的最大值是7. 若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3、3、2则该圆锥的体积是8. 若双曲线2221613x y p-=(0)p >的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p =9. 若3sin()cos cos()sin 5x y x x y x ---=，则tan 2y 的值为10. 若{}n a 为等比数列，0n a >，且20182a =，则2017201912a a +的最小值为 11. 在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2a =，2sin sin A C =.若B 为钝角，1cos24C =-，则ABC ∆的面积为12. 已知非零向量OP 、OQ 不共线，设111mOM OP OQ m m =+++，定义点集{|}||||FP FM FQ FMA F FP FQ ⋅⋅==. 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ上时，不等式12||||F F k PQ ≤恒成立，则实数k 的最小值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的图象如图所示，则ϕ的值为（ ）A. 4πB. 2πC. 2π- D. 3π-14. 设A 、B 是非空集合，定义：{|A B x x A B ⨯=∈且x 已知{|A x y ==，{|1}B x x =>，则A B ⨯等于（ ） A.[0,1](2,)+∞ B. [0,1)(2,)+∞ C.[0,1] D. [0,2]15. 已知22110a b +≠，22220a b +≠，则“11220a b a b =”是“直线1111:0l a x b y c ++=与 2222:0l a x b y c ++=平行”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要 16. 已知长方体的表面积为452，棱长的总和为24. 则长方体的体对角线与棱所成角的最大 值为（ ）A. 1arccos 3B. arccos 3C.D.三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用，据市场分析，每辆单车的营运累计利润y （单位：元）与营运天数x ()x ∈*N 满足函数关系式21608002y x x =-+-.（1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围； （2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润yx的值最大？18. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱AB 上的动点.（1）求证：11DA ED ⊥；（2）若直线1DA 与平面1CED 所成的角是45，请你确定点E 的位置，并证明你的结论.19. 已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足12a =，1n n n S na a λμ-=+，其中2n ≥，n ∈*N ，λ，μ∈R .（1）若0λ=，4μ=，12n n n b a a +=-（n ∈*N ），求数列{}n b 的前n 项和； （2）若23a =，且32λμ+=，求证：数列{}n a 是等差数列.20. 已知椭圆222:9x y m Ω+=(0)m >，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与Ω有两个交点A 、B ，线段AB 的中点为M .（1）若3m =，点K 在椭圆Ω上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF ⋅的范围；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）若l 过点(,)3mm ，射线OM 与Ω交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．21. 记函数()f x 的定义域为D . 如果存在实数a 、b 使得()()f a x f a x b -++=对任意满足a x D -∈且a x D +∈的x 恒成立，则称()f x 为ψ函数.（1）设函数1()1f x x =-，试判断()f x 是否为ψ函数，并说明理由； （2）设函数1()2x g x t=+，其中常数0t ≠，证明：()g x 是ψ函数；（3）若()h x 是定义在R 上的ψ函数，且函数()h x 的图象关于直线x m =（m 为常数）对称，试判断()h x 是否为周期函数？并证明你的结论.上海市杨浦区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 函数lg 1y x =-的零点是 【解析】lg 1010x x -=⇒=2. 计算：2lim41n nn →∞=+【解析】123. 若(13)n x +的二项展开式中2x 项的系数是54，则n =【解析】223544nC n =⇒=4. 掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为【解析】125. 若x 、y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2f x y =+的最大值为【解析】三个交点为(1,1)、(0,0)、(2,0)，所以最大值为3 6. 若复数z 满足1z =，则z i -的最大值是【解析】结合几何意义，单位圆上的点到(0,1)7. 若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3、3、2则该圆锥的体积是【解析】13V π=⋅⋅=8. 若双曲线2221613x y p-=(0)p >的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p =【解析】2234164p p p +=⇒=9. 若3sin()cos cos()sin 5x y x x y x ---=，则tan 2y 的值为【解析】3sin 5y =-，3tan 4y =±，24tan 27y =±10. 若{}n a 为等比数列，0n a >，且2018a =2017201912a a +的最小值为 【解析】20192017220172019201820182124a a a a a ++=≥= 11. 在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2a =，2sin sin A C =.若B 为钝角，1cos24C =-，则ABC ∆的面积为【解析】2a =，4c =，21cos212sin sin C C C =-=-⇒=cos C =，sin A =cos A =sin sin()B A C =+=，1242S =⨯⨯=12. 已知非零向量OP 、OQ 不共线，设111m OM OP OQ m m =+++，定义点集 {|}||||FP FM FQ FMA F FP FQ ⋅⋅==. 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ上时，不等式12||||F F k PQ ≤恒成立，则实数k 的最小值为【解析】建系，不妨设(1,0)P -，(1,0)Q ，∴1(,0)1m M m -+，3m ≥，11[,1)12m m -∈+， ∴3FP MP FQ MQ =≥，设(,)F x y ，∴2222(1)9(1)x y x y ++≥-+，即2259()416x y -+≤，点F 在此圆内，∴12max 33||242F F =⨯=，33224k k ≤⇒≥二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的图象如图所示，则ϕ的值为（ ）A. 4πB. 2π C. 2π- D. 3π-【解析】T π=，2ω=，()122f ππϕ=⇒=-，选C 14. 设A 、B 是非空集合，定义：{|A B x x A B ⨯=∈且}x A B ∉.已知{|A x y =，{|1}B x x =>，则A B ⨯等于（ ） A.[0,1](2,)+∞ B. [0,1)(2,)+∞ C.[0,1] D. [0,2]【解析】[0,2]A =，[0,)A B =+∞，(1,2]A B =，选A 15. 已知22110a b +≠，22220a b +≠，则“11220a b a b =”是“直线1111:0l a x b y c ++=与 2222:0l a x b y c ++=平行”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要 【解析】11220a b a b =推出直线平行或重合，选B 16. 已知长方体的表面积为452，棱长的总和为24. 则长方体的体对角线与棱所成角的最大 值为（ ）A. 1arccos 3B. arccos 3C.D.【解析】设三条棱a b c ≤≤，∴454ab ac bc ++=，6a b c ++=，222272a b c ++=， 222224522[(6)]4a b c a bc a a a ++≥+=+--，整理得2430a a -+≤，∴12a ≤≤，∴最短棱长为1，cos 9θ==，选D三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用，据市场分析，每辆单车的营运累计利润y （单位：元）与营运天数x ()x ∈*N 满足函数关系式21608002y x x =-+-.（1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围； （2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润yx的值最大？【解析】（1）要使营运累计收入高于800元，令80080060212>-+-x x ， ……2分 解得8040<<x . ………………………………………5分 所以营运天数的取值范围为40到80天之间 .………………………………7分（2）6080021+--=x x x y 6020≤-= …………………………………9分 当且仅当18002x x=时等号成立，解得400x = (12)分所以每辆单车营运400天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大为20元每天 .…14分18. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱AB 上的动点. （1）求证：11DA ED ⊥；（2）若直线1DA 与平面1CED 所成的角是45，请你确定点E 的位置，并证明你的结论.【解析】以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，C (0,1,0) ，D 1(0,1,2) ，A 1(1,0,1)，设(1,,0)E m (01)m ≤≤ （1）证明：1(1,0,1)DA =，1(1,,1)ED m =--………2分 111(1)0()110DA ED m ⋅=⨯-+⨯-+⨯=………4分 所以DA 1⊥ED 1. ……………6分另解：1ADA AE 平面⊥，所以D A AE 1⊥. ……………2分 又11AD D A ⊥，所以AE D D A 11平面⊥. ……………………………4分 所以11DA ED ⊥……………………………6分（2）以A 为原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴、AA 1为z 轴建立空间直角坐标系…………7分所以)1,0,0(1A 、)0,1,0(D 、)0,1,1(C 、)1,1,0(1D ，设t AE =，则)0,0,(t E ………8分 设平面CED 1的法向量为),,(z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01CD 可得⎩⎨⎧=--=+-0)1(0y x t z x ，所以⎩⎨⎧-==xt y xz )1(，因此平面CED 1的一个法向量为)1,1,1(-t ………10分由直线1DA 与平面1CED 所成的角是45，可得||||45sin 11n DA =︒……11分 可得1)1(12|11|222+-+⋅+-=t t ，解得21=t ………13分 由于AB =1，所以直线1DA 与平面1CED 所成的角是45时，点E 在线段AB 中点处. …14分19. 已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足12a =，1n n n S na a λμ-=+，其中2n ≥，n ∈*N ，λ，μ∈R .（1）若0λ=，4μ=，12n n n b a a +=-（n ∈*N ），求数列{}n b 的前n 项和； （2）若23a =，且32λμ+=，求证：数列{}n a 是等差数列.【解析】（1）14-=n n a S ，所以n n a S 41=+.两式相减得1144-+-=-n n n n a a S S . 即1144-+-=n n n a a a………2分所以)2(2211-+-=-n n n n a a a a ，即12-=n n b b ，………3分又8412==a S ，所以6122=-=a S a ，得22121=-=a a b ………4分 因此数列{}n b 为以2为首项，2为公比的等比数列.n n b 2=，前n 项和为221-+n …7分（2）当n = 2时，1222a a S μλ+=，所以μλ2623+=+. 又32λμ+=，可以解得12λ=，1μ=………9分所以12-+=n n n a a n S ，n n n a a n S ++=++1121，两式相减得111221-++-+-+=n n n n n a a a na n a 即112221-++-=-n n n a a n a n . 猜想1+=n a n ，下面用数学归纳法证明： (10)分① 当n = 1或2时，1121+==a ，1232+==a ，猜想成立； ② 假设当k n ≤（2,*≥∈k N k ）时，1k a k =+ 成立 则当1+=k n 时，2))1(22(12)22(1211+=++--=+--=-+k k k k k a a k k a k k k 猜想成立. 由①、②可知，对任意正整数n ，1+=n a n .………13分所以11=-+n n a a 为常数，所以数列{}n a 是等差数列.………14分另解：若23a =，由12212a a a a +=+λμ，得562=+λμ，又32+=λμ，解得112==，λμ． ………9分 由12a =，23a =，12λ= ，1μ=，代入1n n n S na a λμ-=+得34a =，所以1a ，2a ，3a 成等差数列，由12n n n n S a a -=+，得1112n n n n S a a +++=+， 两式相减得：111122n n n n n n n a a a a a ++-+=-+-，即11(1)(2)20n n n n a n a a +-----= 所以 21(1)20n n n na n a a ++---= ………11分相减得：2112(1)(2)220n n n n n na n a n a a a ++---+--+=所以2111(2)2(2)0n n n n n n n a a a a a a +++--++-+= 所以221111-222(2)(2)(2)(1)n n n n n n n n n a a a a a a a a a n n n +++---+=--+=-+- 1321(2)(2)(1)2n a a a n n --==-+-， 因为12320a a a -+=，所以2120n n n a a a ++-+=，即数列{}n a 是等差数列.………14分20. 已知椭圆222:9x y m Ω+=(0)m >，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与Ω有两个交点A 、B ，线段AB 的中点为M . （1）若3m =，点K 在椭圆Ω上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF ⋅的范围；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）若l 过点(,)3m m ，射线OM 与Ω交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．【解析】（1）椭圆99:22=+Ωy x ，两个焦点)22,0(1F 、)22,0(2-F ，设),(y x K 所以8)22,()22,(2221-+=---⋅--=⋅y x y x y x KF KF由于9922=+y x ，所以2299x y -=，188)99(22221+-=--+=⋅x x x KF …3分由椭圆性质可知11≤≤-x ，所以]1,7[21-∈⋅KF KF……………5分 （2）设直线b kx y l +=:（0,0≠≠k b ），),(11y x A ，),(22y x B ，),(00y x M ，所以21x x 、为方程222)(9m b kx x =++的两根，化简得02)9(2222=-+++m b kbx x k ， 所以922210+-=+=k kb x x x ，99922200+=++-=+=k b b k b k b kx y . ……………8分 kx y k OM 900-==，所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积等于9-为定值. …………10分（3）∵直线l 过点(,)3m m ，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠．设),(p p y x P 设直线m m x k y l +-=)3(:（0,0≠≠k m ），即m mk kx y +-=3. 由（2）的结论可知x ky OM 9:-=，代入椭圆方程2229m y x =+得8192222+=k k m x p …12分 由（2）的过程得中点)9)3(9,9)3((22+-+--k km m k k mk m M ， ……………14分 若四边形OAPB 为平行四边形，那么M 也是OP 的中点，所以p x x =02， 得819)93(4222222+=+-k k m k mk mk ，解得74±=k 所以当l的斜率为44OAPB 为平行四边形． ……………16分21. 记函数()f x 的定义域为D . 如果存在实数a 、b 使得()()f a x f a x b -++=对任意满足a x D -∈且a x D +∈的x 恒成立，则称()f x 为ψ函数.（1）设函数1()1f x x=-，试判断()f x 是否为ψ函数，并说明理由； （2）设函数1()2x g x t =+，其中常数0t ≠，证明：()g x 是ψ函数； （3）若()h x 是定义在R 上的ψ函数，且函数()h x 的图象关于直线x m =（m 为常数）对称，试判断()h x 是否为周期函数？并证明你的结论.【解析】（1）1()1f x x=-是ψ函数 . ……1分理由如下：1()1f x x=-的定义域为{|0}x x ≠， 只需证明存在实数a ，b 使得()()f a x f a x b -++=对任意x a ≠±恒成立. 由()()f a x f a x b -++=，得112b a x a x +-=-+，即2()()a x a x b a x a x ++-+=-+. 所以22(2)()2b a x a +-=对任意x a ≠±恒成立. 即2,0.b a =-= 从而存在0,2a b ==-，使()()f a x f a x b -++=对任意x a ≠±恒成立. 所以1()1f x x=-是ψ函数. …………4分 （2）记()g x 的定义域为D ，只需证明存在实数a ，b 使得当a x D -∈且a x D +∈时，()()g a x g a x b -++=恒成立，即1122a x a x b t t -++=++恒成立.所以22(2)(2)a x a x a x a x t t b t t +-+-+++=++， ……5分 化简得，22(1)(22)(2)2a x a x a bt b t t +--+=+-.所以10bt -=,22(2)20a b t t +-=. 因为0t ≠，可得1b t=，2log ||a t =, 即存在实数a ，b 满足条件，从而1()2x g x t=+是ψ函数. …………10分 （3）函数)(x h 的图象关于直线x m =（m 为常数）对称， 所以)()(x m h x m h +=- （1）， ……………12分 又因为b x a h x a h =++-)()( （2），所以当a m ≠时，)]2([)22(a m x m h a m x h -++=-+由（1） )]([)2()]2([x a a h x a h a m x m h -+=-=-+-=由（2） )()]([x h b x a a h b -=---= （3）所以)22(]22)22[()44(a m x h b a m a m x h a m x h -+-=-+-+=-+ （取a m x t 22-+=由（3）得）再利用（3）式，)()]([)44(x h x h b b a m x h =--=-+.所以()f x 为周期函数，其一个周期为a m 44-. ……………15分 当a m =时，即)()(x a h x a h +=-，又)()(x a h b x a h +-=-， 所以2)(b x a h =+为常数. 所以函数)(x h 为常数函数， 2)()1(b x h x h ==+，)(x h 是一个周期函数. ……………17分 综上，函数)(x h 为周期函数 ……………18分（其他解法参考评分标准，酌情给分）。

C.充要条件D.既非充分也非必要上海市黄浦区2018届高三二模数学试卷.填空题(本大题共 12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54 分)1. 已知集合A 1,2,3，B 1,m ，若3mA ，则非零实数m 的数值是 ________________________2. 不等式|1 x| 1的解集是 _____________3. 若函数f(x) ,8 ax 2x 2是偶函数，则该函数的定义域是 ___________________2 2 24. 已知 ABC 的三内角A B 、C 所对的边长分别为 a 、b 、c ，若a b c 2bcsi nA ， 则内角A 的大小是 _________5. 已知向量a 在向量b 方向上的投影为 2，且|b| 3，则a b= ___________(结果用数值表示)6. 方程 log 3(3 2x 5) log 3(4x 1) 0 的解 x ______________2sinxcos2x 7. 已知函数f (x) ，则函数f(x)的单调递增区间是 _____________1cosx8.已知 是实系数一元二次方程 x 2 (2m 1)x m 2 1 0的一个虚数根，且| | 2，则实数m 的取值范围是 __________9. 已知某市A 社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至 65岁的居民有900人•为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用 分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了 50人，试问这次抽样调查抽取的人数是 _________ 人(结果用数值表示)a 1 24, a 251, a k也一的最小值是 _____________ f(0) f( 1)二.选择题(本大题共 4题，每题5分，共20分)13.空间中，“直线m 平面 ”是“直线m 与平面 内无穷多条直线都垂直”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件 2018.0410.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷 5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是 ____________11.已知数列a n 是共有k 个项的有限数列，且满足a n 1 — (na n2,L ,k 1)，若212.已知函数 f (x) ax bx c(0 2ab)对任意x R 恒有f(x) 0成立，则代数式114.二项式C.X 3_严的展开式中，其中是有理项的项数共有（ ） A. 4项B. 7项C. 5项D. 6项x y 315.实数x 、y 满足约束条件x 0,y 0，则目标函数x y 1w 2xy 3取大值疋（）A. 0B. 1C. 2D. 316.在给出的下列命题中，是假命题的是（)A.设O 、A 、B 、C 是冋平面上四个不冋的若OA m OB(1 m) OC(m R),则点A B C 必共线B.若向量a 和b 是平面上的两个不平行的向量，则平面上的任一向量c 都可以表示UL UUL UULuurr LLLC . 已知平面向量 OA 、 OB 、 OC 满足| OA | |OB||OC | r (r 0),uuu LULT r且OB OC 0，则 AB 是等边三角形D.在平面 上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量a 、b 、c 、d ,使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直三.解答题(本大题共 5题，共14+14+14+16+18=76分)17. 在四棱锥 P-ABCD 中，PA 平面 ABCD , AB 丄 AD , BC // AD , BC 1 , CD .2 ,CDA 45 .（1）画出四棱锥 P-ABCD 的主视图； （2 ）若PA BC ，求直线PB 与平面PCD 所成角的大小•（结果用反三角函数值表示）r br ar cR ），且表示方法是唯一的18. 某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA 10米，OB x米，0 x 10，线段BA、线段CD与弧BC、弧AD的长度之和为30米，圆心角为弧度.(1 )求关于x的函数解析式；(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时,y的值最大？并求出最大值19.已知动点M(x, y)到点F(2,0)的距离为d1，动点M(x, y)到直线x 3的距离为d?，且鱼_6d2 3 .(1)求动点M (x, y)的轨迹C的方程；(2)过点F作直线I : y k(x 2) (k 0)交曲线C于P、Q两点，若△ OPQ的面积S OPQ 3 (O是坐标系原点)，求直线l的方程•2x, 1 x 0,20.已知函数f(x) 2 x 1, 0 x 1.(1)求函数f (x)的反函数f 1(x)；(2)试问：函数f (x)的图像上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；(3)若方程f(x) 2.1 x2 | f(x) 2 .1 X2 I 2ax 4 0的三个实数根x n X2、X3满足论X2 X3，且X3 X2 2(X2 xj，求实数a的值.6列d n 是数列C n 的“伴随数列” •已知数列 b n 是a .的伴随数列，解答下列问题: (1 )若b n a n (n N *)，b i2，求数列 a .的通项公式a .；(2) 若b n 1 1 出(n N *)，0为常数，求证：数列｛(鸟)2｝是等差数列;a na 1a nb *(3)若b n 1.2 n (n N )，数列a n 是等比数列，求 ⑦、d 的数值•21.定义：若数列 C n 和d n 满足c n 0 , d n 0 ,且C n 1n N ，则称数c nd n参考答案.填空题1. 2 2.( ,0) U (2, )3. [2,2]4.45. 6 6. 2 7. [k8,k8],k Z8.(j, 3] 49. 140105 11. 50 12.316(2 )根据题意，可算得 AB 1,AD 2.令z 2，可得y 1,x 1,故平面PCD 的一个法向量为n (1,1,2).r mu一设直线PB 与平面PCD 所成角的大小为 ，则sin甲農1 —.二.选择题 13. A 14. B15. D16. DUlID UULT于是，有 PB (1,0, 1),CDTHIH (1,1,0),PD (0,2,T UULTn CD 1).0,x y 设平面PCD 的法向量为n(x,y,z)，则T即Jn PD0,2y z0, 0.三.解答题又PA BC 1，按如图所示建立空间直角坐标系, 可得，A(0,0,0), B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0), P(0,0,1).|n ||PB| 6arcs点所以直线PB与平面PCD所成角的大小为618.解：(1)根据题意，可算得弧 BC X (m ), 弧 AD 10(m ).又 BA CD 弧BC 弧CD 30,于是， 10x 10 x x10302x 10所以，(0 x 10).x 10(2 )依据题意，可知y S 扇OADS扇OBC12 21 2 10X2化简，得 yx 2 5x 50 (x 5)2 225245225 2于是，当x (满足条件0 X 10 )时，y max (m ).45225答所以当x米时铭牌的面积最大，且最大面积为 平方米.24点O 到直线丨的距离d 」2k 1 .由 S OPQ . 3 ,5/1 k 212k 23k 2 得2」Fk 227k 3k 26 3，化简得k 4 2k 2 1 0 ,解得k 1，且满足 0,即1都符合题意•因此，所求直线的方程为0或x y 2 0.19.解：(1)结合题意，可得d 1, (x 2)2 y 2a |x3|.又 dL_6 3 d 2因此，所求动点(2) 设点 曰是,(X 2)y—，化简得—32M (x, y)的轨迹C 的方程是 —6曰是,联立方程组2X6 y专1,k(x 2),得(13k 2)x 2 Pg, yj 、Q(X 2, y 2)，则 xX212k 2 1 3k 2 弦 |PQ| ..(X 1 X 2)2 (y 1 y 2)2.1 k 22乞1.6 22y- 1.212k 2x x^212k 2 6 12k 2 6 2，1 3k 212k 21 3k2 0.12k 2 6 1 3k 2 ，2x, 1 x 0,20.解：(1) Q f (x)= 2x2 1, 0 x 1.当1x0 时，f(x) 2x,且0 f(x) 2.由y 2x,得x y，互换x与y，可得f 1(x) x(0 x 2).2 2当0 x 1 时，f(x) x2 1,且-1 f (x) 0.由y x2 1，得x 1+y，互换x与y，可得f ^x) ^.i+x( 1 x 0).11x, 0<x 2,f 1(x) 2_.1 x, 1 x 0.(2)函数图像上存在两点关于原点对称.设点A(x°,y°)(0 x。

2018届上海市高三年级检测试卷（二模模拟）数学（理）一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.若2sin 2cos 2θθ+=-，则cos θ=2.若bi ia-=-11，其中b a ,都是实数，i 是虚数单位，则bi a += 3.现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ，都取到奇数的概率为4.抛物线22y x =的焦点为F ，点00(,)M x y 在此抛物线上，且52MF =，则0x =______5.某市连续5天测得空气中PM2.5（直径小于或等于2.5微米的颗粒物）的数据（单位：3/g m m ）分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为6.平行四边形ABCD 中，AB =（1，0），AC =（2，2），则AD BD ⋅ 等于7.已知关于x 的二项式n xa x )(3+展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为8.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，60B =︒，则b =9.用半径为210cm ，面积为π2100cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是10.已知椭圆12222=+by a x （0>>b a1-，短轴长为椭圆方程为 11.设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++若“对于任意[)+∞∈,0x ，()1f x a <+”是假ss ，则a 的取值范围为12.已知,66⎛⎫∈- ⎪⎝⎭p p q ，等比数列{}n a 中，11a =，343a =q ，数列{}n a 的前2018项的和为0，则q 的值为 13.][x 表示不超过x 的最大整数，若函数a xx x f -=][)(，当0>x 时，)(x f 有且仅有3个零点，则a 的取值范围为 .14.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：2216x y +=，点(1,2)P ，M ，N 为圆O 上不同的两点，且满足0PM PN ⋅= ．若PQ PM PN =+ ，则PQ的最小值为二． 选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分．15.如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 点是A ．A B.BC ．C 16.“lim,lim n n n n a A b B →∞→∞==”是“lim nn na b →∞存在”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件.C.充分条件.D.既不充分也不必要条件. 17.已知函数()sin 2x f x x =∈R ，，将函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐不变），得到函数()g x 的图象，则关于()()f x g x ⋅有下列ss ，其中真ss 的个数是 ①函数()()y f x g x =⋅是奇函数； ②函数()()y f x g x =⋅不是周期函数；③函数()()y f x g x =⋅的图像关于点(π，0)中心对称； ④函数()()y f x g x =⋅A.1B.2C.3D.418.如图，E 、F 分别为棱长为1的正方体的棱11A B 、11B C 的中点，点G 、H 分别为面对角线AC 和棱1DD 上的动点（包括端点），则下列关于四面体E FGH -的体积正确的是A 此四面体体积既存在最大值，也存在最小值；B 此四面体的体积为定值；C 此四面体体积只存在最小值；D 此四面体体积只存在最大值。

⎨ ⎩- = > 上海市杨浦区 2018 届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分） 1. 函数 y = lg x - 1 的零点是2. 计算： lim2n=n →∞4n +13. 若(1 + 3x )n 的二项展开式中 x 2 项的系数是54 ，则 n =4. 掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为⎧x - y ≥ 05. 若 x 、 y 满足⎪x + y ≤ 2 ，则目标函数 f = x + 2 y 的最大值为⎪ y ≥ 0 6. 若复数 z 满足 z = 1，则 z - i 的最大值是7. 若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为 3、3、2 的三角形， 则该圆锥的体积是8. 若双曲线 x3 16 y 22p2 1 ( p 0) 的左焦点在抛物线 y = 2 px 的准线上，则 p =9. 若sin(x - y ) cos x - cos(x - y )sin x = 3，则tan 2 y 的值为510. 若{a }为等比数列， a > 0 ，且 a = 2 ，则 1 + 2的最小值为n n 20182a 2017 a 201911. 在△ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ， a = 2 ， 2sin A = sin C . 若 B 为钝角， cos 2C = - 1，则∆ABC 的面积为4uuur 12. 已知非零向量OP 、OQ 不共线，设OM = u u r u u u r u u u r u u u r 1 m +1 u u u r OP + m m +1 u u u r OQ ，定义点集A = {F | FP ⋅ FM = FQ ⋅ FM} . 若对于任意的 m ≥ 3 ，当 F ， F ∈ A 且不在直线 PQ 上时，u u r u u u r 1 2| FP | | FQ |不等式| F 1F 2 | ≤ k | PQ |恒成立，则实数k 的最小值为二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13. 已知函数 f (x ) = sin(x +) (> 0 , ||< ) 的图象如图所示，则的值为（）A.B.42C. -2D. -3y1O42x-1332214. 设 A 、B 是非空集合，定义： A ⨯ B = {x | x ∈ A U B 且 x ∉ A I B } .已知 A = {x | y = 2x - x 2 }， B = {x | x > 1}，则 A ⨯ B 等于（ ）A. [0,1] U (2, +∞)B. [0,1) U (2, +∞)C. [0,1]D. [0, 2]15. 已知 a 2 + b 2 ≠ 0 ， a 2 + b 2 ≠ 0 ，则“a 1b 1= 0 ”是“直线l : a x + b y + c= 0 与1122a 2b 21111l 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 平行”的（）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要16. 已知长方体的表面积为 45 ，棱长的总和为 24. 则长方体的体对角线与棱所成角的最大2值为（）A. arccos 13B. arccos2 3C. arccos 39 D. arccos 69三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用， 据市场分析，每辆单车的营运累计利润 y （单位：元）与营运天数 x (x ∈ N * ) 满足函数关系式 y = - 1x 2 + 60x - 800 .2（1） 要使营运累计利润高于 800 元，求营运天数的取值范围；（2） 每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润 y的值最大？x18. 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，点 E 是棱 AB 上的动点.（1） 求证： DA 1 ⊥ ED 1 ；（2） 若直线 DA 1 与平面CED 1 所成的角是 45 ，请你确定点 E 的位置，并证明你的结论.19. 已知数列{a } ，其前 n 项和为 S ，满足 a = 2 ， S = na + a，其中 n ≥ 2 ， n ∈ N * ，n， ∈ R .n1nnn -1（1）若= 0 ， = 4 ， b = a- 2a （ n ∈ N * ），求数列{b } 的前 n 项和；nn +1nn（2）若 a = 3 ，且+= 3，求证：数列{a } 是等差数列.22n20. 已知椭圆Ω : 9x 2 + y 2 = m 2 (m > 0) ，直线l 不过原点 O 且不平行于坐标轴， l 与Ω 有两 个交点 A 、B ，线段 AB 的中点为 M .（1） 若 m = 3 ，点 K 在椭圆Ω 上， F 1 、 F 2 分别为椭圆的两个焦点，求 KF 1 ⋅ KF 2 的范围；（2） 证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （3） 若l 过点(m, m ) ，射线 OM 与Ω 交于点 P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？ 3若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．21. 记函数 f (x ) 的定义域为 D . 如果存在实数 a 、b 使得 f (a - x ) + f (a + x ) = b 对任意满足 a - x ∈ D 且 a + x ∈ D 的 x 恒成立，则称 f (x ) 为ψ 函数.（1） 设函数 f (x ) = 1 -1，试判断 f (x ) 是否为ψ 函数，并说明理由；x（2） 设函数 g (x ) =12x+ t，其中常数t ≠ 0 ，证明： g (x ) 是ψ 函数； （3） 若 h (x ) 是定义在 R 上的ψ 函数，且函数 h (x ) 的图象关于直线 x = m （m 为常数）对称，试判断 h (x ) 是否为周期函数？并证明你的结论.2 2 2 n ⎨ ⎩- = > 上海市杨浦区 2018 届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分） 1. 函数 y = lg x - 1 的零点是【解析】lg x -1 = 0 ⇒ x = 10 2. 计算： lim2n=n →∞4n +1【解析】 123. 若(1 + 3x )n 的二项展开式中 x 2 项的系数是54 ，则 n =【解析】C 2 32 = 54 ⇒ n = 44. 掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为【解析】 12⎧x - y ≥ 0 5. 若 x 、 y 满足⎪x + y ≤ 2 ，则目标函数 f ⎪ y ≥ 0 = x + 2 y 的最大值为【解析】三个交点为(1,1) 、(0,0) 、(2,0) ，所以最大值为 36. 若复数 z 满足 z = 1，则 z - i 的最大值是【解析】结合几何意义，单位圆上的点到(0,1) 的距离，最大值为 27. 若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为 3、3、2 的三角形， 则该圆锥的体积是1 【解析】V = ⋅⋅2 =3 38. 若双曲线 x 3 16 y 2 2p 2 1 ( p 0) 的左焦点在抛物线 y = 2 px 的准线上，则 p =p 2 p 2【解析】3 + = ⇒ p = 416 49. 若sin(x - y ) cos x - cos(x - y )sin x = 3，则tan 2 y 的值为5【解析】sin y = - 3 ， tan y = ± 3 ， tan 2 y = ± 245 4 710. 若{a }为等比数列， a > 0 ，且 a = 2 ，则 1 + 2的最小值为n n 20182a 2017 a 2019【解析】1 + 2= a 2019 + 2a 2017 ≥ 2 2a 2018= 4a a a 2 a 22017 2019 2018 2018332 2∈ 11. 在△ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ， a = 2 ， 2sin A = sin C . 若 B 为钝角， cos 2C = - 1，则∆ABC 的面积为4【解析】 a = 2 ， c = 4 ， cos 2C = 1 - 2sin 2 C = - 1 ⇒ sin C =10， cos C =6，44 4sin A =10 ， cos A = 54 ， sin B = sin( A + C ) = 15 ， S = 1 ⨯ 2 ⨯ 4 ⨯ 15 = 8 8 uuur 4 1 u u u r 2 4m u u u r 12. 已知非零向量OP 、OQ 不共线，设OM =u u r u u u r u u u r u u u r m +1 OP +m +1 OQ ，定义点集 A = {F | FP ⋅ FM = FQ ⋅ FM} . 若对于任意的 m ≥ 3 ，当 F ， F ∈ A 且不在直线 PQ 上时，u u r u u u r 1 2| FP | | FQ |不等式| F 1F 2 | ≤ k | PQ |恒成立，则实数k 的最小值为m -1 【解析】建系，不妨设 P (-1,0) ， Q (1,0) ，∴ M ( ,0) ， m ≥ 3 ， m +1m -1 1[ ,1) ，m +1 2∴ FP = MP ≥ 3 ，设 F (x , y ) ，∴ (x +1)2 + y 2≥ 9 ，即(x - 5 )2 + y 2 ≤ 9 ，点 F 在此圆内， FQ MQ u u u u r (x -1)2 + y 2 3 3 3 3 4 16 ∴| F 1F 2 |max = 2 ⨯ 4 = 2 ， 2 ≤ 2k ⇒ k ≥ 4二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13. 已知函数 f (x ) = sin(x +) (> 0 , ||< ) 的图象如图所示，则的值为（）A.B.42C. -2D. -3 【解析】T =，= 2 ， f = 1 ⇒ = -，选 C ( )2 2 14. 设 A 、B 是非空集合，定义： A ⨯ B = {x | x ∈ A U B 且 x ∉ A IB } .已知 A = {x | y = 2x - x 2 }， B = {x | x > 1}，则 A ⨯ B 等于（ ）A. [0,1] U (2, +∞)B. [0,1) U (2, +∞)C. [0,1]D. [0, 2]【解析】 A = [0, 2]， A U B = [0, +∞) ， A I B = (1, 2] ，选 A 15. 已知 a 2 + b 2 ≠ 0 ， a 2 + b 2 ≠ 0 ，则“a 1b 1= 0 ”是“直线l : a x + b y + c= 0 与1122a 2b 21111l 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 平行”的（）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要a 1 【解析】a 2b 1= 0 推出直线平行或重合，选 Bb 215 y1O42x-12 3 616. 已知长方体的表面积为 45 ，棱长的总和为 24. 则长方体的体对角线与棱所成角的最大2值为（）A. arccos 13B. arccos2 3C. arccos 39 D. arccos 69【解析】设三条棱 a ≤ b ≤ c ，∴ ab + ac + bc =45， a + b + c = 6 ， a 2 + b 2 + c 2 =27，42a 2 +b 2 +c 2 ≥ a 2 + 2bc = a 2 + 2[ 45- a (6 - a )] ，整理得 a 2 - 4a + 3 ≤ 0 ，∴1 ≤ a ≤ 2 ，4 ∴最短棱长为 1，体对角线长为 3 6 ， cos = = 2 6，选 D9三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用， 据市场分析，每辆单车的营运累计利润 y （单位：元）与营运天数 x (x ∈ N * ) 满足函数关系式 y = - 1x 2 + 60x - 800 .2（1） 要使营运累计利润高于 800 元，求营运天数的取值范围；（2） 每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润 y的值最大？x【解析】（1）要使营运累计收入高于 800 元，令- 1x 2 + 60x - 800 > 800 ， ……2 分2解得40 < x < 80 ....................................................................................................... 5 分所以营运天数的取值范围为 40 到 80 天之间 ................................................................ 7 分（2） y= - 1 x - 800 + 60 ≤ -2 + 60 = 20…………………………………9 分x 2 x 当且仅当 1 x = 800时等号成立，解得 x = 400…………………………12 分2 x所以每辆单车营运 400 天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大为 20 元每天 .…14 分18. 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，点 E 是棱 AB 上的动点.（1） 求证： DA 1 ⊥ ED 1 ；（2） 若直线 DA 1 与平面CED 1 所成的角是 45 ，请你确定点 E 的位置，并证明你的结论.【解析】以 D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则 D (0,0,0) ， A (1,0,0) ， B (1,1,0) ，C (0,1,0) ，D 1(0,1,2) ，A 1(1,0,1)，设E (1, m ,0) (0 ≤ m ≤ 1)z D 1C 1（1）证明： DA 1 = (1, 0,1) ， ED 1 = (-1, -m ,1) ………2 分⋅ = 1⨯ (-1) + 0 ⨯ (-m ) + 1⨯1 = 0 ………4 分 A 1B 1DA 1 ED 1 D C y所以 DA 1⊥ED 1 ..................... 6 分A EBx400⎨ ⎩ 另解： AE ⊥ 平面ADA 1 ，所以 AE ⊥ A 1D ....................................................................................... 2 分 又 A 1D ⊥ AD 1 ，所以 A 1D ⊥ 平面D 1 AE ......................................................................... 4 分 所以 DA 1 ⊥ ED 1……………………………6 分（2）以 A 为原点，AB 为 x 轴、AD 为 y 轴、AA 1 为 z 轴建立空间直角坐标系 ............... 7 分 所以 A 1 (0,0,1) 、 D (0,1,0) 、C (1,1,0) 、 D 1 (0,1,1) ，设 AE = t ，则 E (t ,0,0)………8 分 设平面 CED的法向量为n = (x , y , z ) ，由⎧⎪n ⋅ C D 1 = 0 可得⎧- x + z = 0 ，1 ⎨⎪⎩n ⋅ C E = 0⎩(t -1)x - y = 0 所以⎧z = x ⎨ y = (t -1)x，因此平面 CED 1 的一个法向量为(1, t -1,1) ………10 分由直线 DA 与平面CED 所成的角是 45 ，可得sin 45︒ =| DA 1 ⋅ n |……11 分1可 得 2 = 2 1，解得t = 12 | DA 1 || n |………13 分由于 AB =1，所以直线 DA 1 与平面CED 1 所成的角是 45 时，点 E 在线段 AB 中点处. …14 分19. 已知数列{a } ，其前 n 项和为 S ，满足 a = 2 ， S =na + a，其中 n ≥ 2 ， n ∈ N *n，， ∈ R .n1nnn -1（1）若= 0 ， = 4 ， b = a- 2a （ n ∈ N * ），求数列{b } 的前 n 项和；nn +1nn（2）若 a = 3 ，且+= 3，求证：数列{a } 是等差数列.2 2n【解析】（1） S n = 4a n -1 ，所以 S n +1 = 4a n .两式相减得 S n +1 - S n = 4a n - 4a n -1 . 即 a n +1 = 4a n - 4a n -1………2 分 所以 a n +1 - 2a n = 2(a n - 2a n -1 ) ，即b n = 2b n -1 ，………3 分 又 S 2 = 4a 1 = 8 ，所以 a 2 = S 2 - a 1 = 6 ，得b 1 = a 2 - 2a 1 = 2………4 分因此数列{b } 为以 2 为首项，2 为公比的等比数列. b = 2n ，前 n 项和为2n +1 - 2…7 分nn（2）当 n = 2 时， S 2 = 2a 2 + a 1 ，所以3 + 2 = 6+ 2. 又+ = 3，可以解得= 1 ， = 1 ………9 分所以 S n = n a 2 n + a n -1 2 ， S = n +1 a n +1 2 n +1 + a n 2，两式相减得a n +1 = n +1 a 2n +1 - n a 2 n + a n - a n -1 即 n -1 a 2=n - 2 a n +1 2 n + a n -1 . 猜想a n = n +1，下面用数学归纳法证明： ………10 分① 当 n = 1 或 2 时， a 1 = 2 = 1+1 ， a 2 = 3 = 2 +1，猜想成立；|1- t +1| 2 ⋅ 1+ (t -1)2 +1k 1 ② 假设当 n ≤ k （ k ∈ N *, k ≥ 2 ）时， a = k +1 成立则当 n = k +1 时， a k +1 =2 k -1 ( k - 2 a 2 k+ a k -1 ) = 2 k -1 ( k - 2 (k +1) + k ) = k + 2 猜想成立.2由①、②可知，对任意正整数 n ， a n = n +1 ............................................... 13 分 所以 a n +1 - a n = 1为常数，所以数列{a n } 是等差数列 ................................................ 1 4 分 另解：若a 2 3 ，由a 1 a 2 2a 2 a 1 ，得5 6 2，又 3 ，解得 1， 1 ． ................................................................................................ 9 分2 2由 a = 2 ， a = 3 ， = 1， = 1，代入 S = na + a 得 a = 4 ，1 2 2n n n -1 3所以 a ， a ， a 成等差数列，由 S = n a + a，得 S = n + 1 a + a ，1 2 3 n 2 n n -1 n +12 n +1 n两式相减得： a = n + 1 a - n a + a - a ，即(n -1)a - (n - 2)a - 2a = 0n +1 2 n +1 2 n n n -1n +1 n n -1所以 na n +2 - (n -1)a n +1 - 2a n = 0 ………11 分相减得： na n +2 - 2(n -1)a n +1 + (n - 2)a n - 2a n + 2a n -1 = 0所以 n (a n +2 - 2a n +1 + a n ) + 2(a n +1 - 2a n + a n -1 ) = 02 22所以(a n +2 - 2a n +1 + a n ) = - n (a n +1 - 2a n + a n -1 ) = n (n -1) (a n- 2a n -1 + a n -2 )(-2)n -1= = n (n -1) 2(a 3 - 2a 2 + a 1 ) ，因为 a 1 - 2a 2 + a 3 = 0 ，所以 a n +2 - 2a n +1 + a n = 0 ，即数列{a n } 是等差数列 ............. 14 分20. 已知椭圆Ω : 9x 2 + y 2 = m 2 (m > 0) ，直线l 不过原点 O 且不平行于坐标轴， l 与Ω 有两 个交点 A 、B ，线段 AB 的中点为 M .（1） 若 m = 3 ，点 K 在椭圆Ω 上， F 1 、 F 2 分别为椭圆的两个焦点，求 KF 1 ⋅ KF 2 的范围；（2） 证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （3） 若l 过点(m, m ) ，射线 OM 与Ω 交于点 P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？ 3若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．【解析】（1）椭圆Ω : 9x 2 + y 2 = 9 ，两个焦点 F (0,2 2) 、 F 2 (0,-2 2) ，设 K (x , y )所以 KF ⋅ KF = (-x ,2 - y ) ⋅ (-x ,-2 - y ) = x 2 + y 2 - 81 2由于9x 2 + y 2 = 9 ，所以 y 2 = 9 - 9x 2 ， KF ⋅ KF = x 2 + (9 - 9x 2 ) - 8 = -8x 2 +1…3 分1 2由椭圆性质可知-1 ≤ x ≤ 1 ，所以 KF 1 ⋅ KF 2 ∈[-7,1]……………5 分（2）设直线l : y = kx + b （ b ≠ 0, k ≠ 0 ）， A (x 1, y 1 ) ， B (x 2 , y 2 ) ， M (x 0 , y 0 ) ， 2 2所以 x 1、x 2 为方程9x + (kx + b ) = m 的两根，化简得(k + 9)x + 2kbx + b - m = 0 ， 2 2 2 2 2 2 2x + x kb k 2b 9b所以 x 0 = 1 2 = - 2 k 2 + 9 ， y 0 = kx 0 + b = - k 2 + 9 + b = k 2+ 9. ……………8 分 k = y 0 = - 9，所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积等于-9 为定值 ................. 10 分 OM（3）∵直线l 过点 m( , m ) 3，∴ l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是 k > 0 ， k ≠ 3 ．设 P (x , y ) 设直线l : y = k (x - m ) + m （ m ≠ 0, k ≠ 0 ），即 y = kx - mk+ m .p p 3 92 2 23 2m 2k 2 由（2）的结论可知OM : y = - x ，代入椭圆方程9x + yk= m 得 x p = 9k 2 + 81 …12 分 (m - mk )k 9(m - km)由（2）的过程得中点 M (-3 , 3 ) ， ..................................................... 14 分 k 2 + 9 k 2 + 9若四边形OAPB 为平行四边形，那么 M 也是 OP 的中点，所以2x 0 = x p ，mk 2mk - 得4( 3 )2 = k 2 + 9m 2k 2 9k 2 + 81 ，解得k = 4 ± 所以当l 的斜率为4 - 或4 + 7 时，四边形OAPB 为平行四边形． ..................... 16 分21. 记函数 f (x ) 的定义域为 D . 如果存在实数 a 、b 使得 f (a - x ) + f (a + x ) = b 对任意满足 a - x ∈ D 且 a + x ∈ D 的 x 恒成立，则称 f (x ) 为ψ 函数.（1） 设函数 f (x ) = 1 -1，试判断 f (x ) 是否为ψ 函数，并说明理由；x（2） 设函数 g (x ) =12x+ t，其中常数t ≠ 0 ，证明： g (x ) 是ψ 函数； （3） 若 h (x ) 是定义在 R 上的ψ 函数，且函数 h (x ) 的图象关于直线 x = m （m 为常数）对称，试判断 h (x ) 是否为周期函数？并证明你的结论. 【解析】（1） f (x ) = 1-1是ψ 函数. ……1 分x理由如下： f (x ) = 1-1的定义域为{x | x ≠ 0}，x只需证明存在实数 a ， b 使得 f (a - x ) + f (a + x ) = b 对任意 x ≠ ±a 恒成立.由 f (a - x ) + f (a + x ) = b ，得 1 + 1- 2 = b ，即b + 2 = a + x + a - x .a - x a + x (a - x )(a + x )所以(b + 2)(a 2 - x 2 ) = 2a 对任意 x ≠ ±a 恒成立.即b = -2, a = 0.从而存在a = 0, b = -2 ，使 f (a - x ) + f (a + x ) = b 对任意 x ≠ ±a 恒成立.所以 f (x ) = 1-1是ψ 函数 .......................................................................................... 4 分x77 x k（2）记g( x) 的定义域为D ，只需证明存在实数a ，b 使得当a -x ∈D 且a +x ∈D 时，g(a -x) +g(a +x) =b 恒成立，即12a-x +t+12a+x +t=b 恒成立.所以2a+x+t + 2a-x+t =b(2a+x+t)(2a-x+t) ， (5)分化简得，(1-bt)(2a+x+ 2a-x) =b(22a+t 2) - 2t .所以1 -bt = 0 , b(22a+t 2 ) - 2t = 0 . 因为 t ≠ 0 ，可得b =1 ， a = log | t | ,t 2即存在实数 a ，b 满足条件，从而 g( x) = 12x+t是ψ函数...................................... 10 分（3）函数h(x) 的图象关于直线x =m （m 为常数）对称，所以h(m -x) =h(m +x)又因为h(a -x) +h(a +x) =b （1）， ...................................................... 12 分（2），所以当 m ≠a 时， h(x + 2m - 2a) =h[m + (x +m - 2a)]由（1）=h[m - (x +m - 2a)] =h(2a -x) =h[a + (a -x)]由（2）=b -h[a - (a -x)] =b -h(x) （3）所以h(x + 4m - 4a) =h[(x + 2m - 2a) + 2m - 2a] =b -h(x + 2m - 2a)（取t =x + 2m - 2a 由（3）得）再利用（3）式， h(x + 4m - 4a) =b -[b -h(x)] =h(x) .所以f (x) 为周期函数，其一个周期为4m - 4a ...................................................... 15 分当m =a 时，即h(a -x) =h(a +x) ，又h(a -x) =b -h(a +x) ，所以h(a +x) =b为常数. 所以函数h(x) 为常数函数，2h(x +1) =h(x) =b，h(x) 是一个周期函数.............................................................. 17 分2综上，函数h(x) 为周期函数..................................................................................... 18 分（其他解法参考评分标准，酌情给分）。

黄浦区2018年高考模拟考数学试卷一、填空题：1. 已知集合，若，则非零实数的数值是_________．【答案】【解析】由题，若则此时B集合不符合元素互异性，故若则符合题意；若则不符合题意.故答案为 22. 不等式的解集是______________．【答案】【解析】或.即答案为.3. 若函数是偶函数，则该函数的定义域是_______________．【答案】【解析】因为函数是偶函数，则函数的定义域解得故函数的定义域为.及答案为.4. 已知的三内角所对的边长分别为，若，则内角的大小是__________．【答案】【解析】由已知，可得由余弦定理可得故答案为.5. 已知向量在向量方向上的投影为，且，则=_______．(结果用数值表示) 【答案】【解析】由题向量在向量方向上的投影为，即即答案为-6.6. 方程的解_________．【答案】【解析】或（舍）即，解得即答案为 2.7. 已知函数，则函数的单调递增区间是________．【答案】【解析】由题函数则函数的单调递增区间解得即函数的单调递增区间为.即答案为.8. 已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】设，则．则也是一元二次方程的一个虚数根，∵实系数一元二次方程有虚数根，∴，解得．∴的取值范围是．故答案为．【点睛】本题考查了实系数一元二次方程有虚数根的充要条件及其根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档础题．9. 已知某市社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是________人．【答案】【解析】根据题意可得抽样比为则这次抽样调查抽取的人数是即答案为140.10. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是_____．(结果用数值表示)【答案】【解析】一枚硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率故答案为．11. 已知数列是共有个项的有限数列，且满足，若，则_____________．【答案】【解析】由题数列是共有个项的有限数列，且满足，则，则……以上各式子同向相加，将代入可得（舍）.故答案为50.12. 已知函数对任意恒有成立，则代数式的最。

上海市浦东新区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 21lim1n n n →+∞+=-2. 不等式01xx <-的解集为3. 已知{}n a 是等比数列，它的前n 项和为n S ，且34a =，48a =-，则5S =4. 已知1()f x -是函数2()log (1)f x x =+的反函数，则1(2)f -=5. 91()x x+二项展开式中的常数项为6. 椭圆2cos 3sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的右焦点坐标为7. 满足约束条件242300x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数32f x y =+的最大值为8. 函数23()cos sin 22f x x x =+，x ∈R 的单调递增区间为 9. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水 面的宽为 米10. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0)、(1,0,1)、(0,1,1)、(1,1,0)，则该四面体的体积为11. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是增函数，如果对于任意[1,2]x ∈，(1)(3)f ax f x +≤-恒成立，则实数a 的取值范围是12. 已知函数2()57f x x x =-+，若对于任意的正整数n ，在区间5[1,]n n+上存在1m +个 实数0a 、1a 、2a 、⋅⋅⋅、m a ，使得012()()()()m f a f a f a f a >++⋅⋅⋅+成立，则m 的最大 值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知方程210x px -+=的两虚根为1x 、2x ，若12||1x x -=，则实数p 的值为（ ） A. 3± B. 5± C. 3，5 D. 3±，5±14. 在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）1212||||||z z z z +≤+；（2）1212||||||z z z z ⋅=⋅；（3）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅，相应的在向量运算中，下列式子：（1）||||||a b a b +≤+；（2）||||||a b a b ⋅=⋅；（3）()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，正确的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 315. 唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。

2018年浦东高三数学 二模测试卷(满分：150分，完卷时间：120分钟)一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 21lim1n n n →+∞+=- 2. 不等式01x x <-的解集为 3. 已知{}n a 是等比数列，它的前n 项和为n S ，且34a =，48a =-，则5S = 4. 已知1()f x -是函数2()log (1)f x x =+的反函数，则1(2)f -=5. 91)x二项展开式中的常数项为 6.椭圆2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的右焦点坐标为 7. 满足约束条件242300x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数32f x y =+的最大值为 8.函数2()cos 22f x x x =+，x ∈R 的单调递增区间为 9. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水 面的宽为米10. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0)、(1,0,1)、(0,1,1)、(1,1,0)，则该四面体的体积为11. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是增函数，如果对于任意[1,2]x ∈，(1)(3)f ax f x +≤-恒成立，则实数a 的取值范围是12. 已知函数2()57f x x x =-+，若对于任意的正整数n ，在区间5[1,]n n+上存在1m +个实数0a 、1a 、2a 、⋅⋅⋅、m a ，使得012()()()()m f a f a f a f a >++⋅⋅⋅+成立，则m 的最大值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知方程210x px -+=的两虚根为1x 、2x ，若12||1x x -=，则实数p 的值为（ ）A.14. 在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）1212||||||z z z z +≤+；（2）1212||||||z z z z ⋅=⋅；（3）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅，相应的在向量运算中，下列式子：（1）||||||a b a b +≤+ ；（2）||||||a b a b ⋅=⋅ ；（3）()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ ，正确的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 315. 唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。

2018年上海市高三数学下册第二次调研考试试题数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程．请把答案直接填写在答案卷上．．．．.1、已知集合{}},12,3,1{,,32--==m B m A 若B A ⊆，则实数m 的值为2、若复数i i a i z (),)(2(--=为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为3、一个几何体的主视图与左视图都是边长为2的正方形，其俯视图是直径为的圆，则该几何体的表面积为4、如图，给出一个算法的伪代码， Read x If Thenx 0≤ ()x x f 4← Else()x x f 2← IfEnd ()x f int Pr 则=+-)2()3(f f5、已知直线2121//,023)2(:6:l l a y x a l ay x l 则和=++-=++的充要条件是a=6、高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，┅，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为7、在一次招聘口试中，每位考生都要在5道备选试题中随机抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格，若一位考生只会答5道题中的3道题，则这位考生能够及格的概率为8、设方程=+-∈=+k k k x x x x则整数若的根为),21,21(,4200 9、已知函数)2009(.4)20091(,2log log )(32f f b a x f xx 则若=+-=的值为 10、已知平面区域}{}{02,0,4),(,0,0,6),(≥-≥≤=≥≥≤+=y x y x y x A y x y x y x U ，若向区域U 内随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为11、已知抛物线)1)0(22m M p px y ，（上一点>=到其焦点的距离为5，双曲线122=-ay x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a=12、已知平面向量b c b a c b a c b a 与，的夹角为与且满足0135,0,,=++的夹角为0120，==a c则,213、函数]32,32[sin 2ππ--=在区间x x y 上的最大值为 14、如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则表上数字标签：原点处标0，点（1，0）处标1，点（1，-1）处标2，点（0，-1）处标3，点（-1，-1）处标4，点（-1，0）标5，点（-1，1）处标6，点（0，1）处标7，以此类推，则标签22009的格点的坐标为二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）在斜三角形ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c 且AA C A ac c a b cos sin )cos(222+=--.(1)求角A ； (2)若2cos sin >CB，求角C 的取值范围。