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高等数学定积分在物理上的应用教学ppt

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定积分在物理中的应用PPT精品课件

定积分在物理中的应用PPT精品课件
W = 28 (J ) 3
例3 某汽车在高速公路上直线行驶， 刹车后汽车的速度为v(t)＝12－0.6t （m/s），求刹车后汽车需前进多少m才 能停住？
120m
小结作业
1.在物理中，定积分主要应用于求变速
直线运动的位移和变力所作的功，其基
本原理如下：
原理1（求变速直线运动的位移）：
若物体运动的速度函数为v(t)，则物体
作业：
P59练习：1，2. P60习题1.7A组：2，3.
自学导航:
一、动物在自然界 中的作用
问题1：人类是否可以将苍蝇和蚊子赶尽 杀绝？
1、不能，因为在自然界中，某种动物与 其他生物有着直接或者间接的关系，当 某种动物被灭杀后，会间接或者直接影 响其他生物的生存，以至影响到整个自 然界。
2、不能，当某种动物的数量增多时，以 该动物为食的动物也会增多（或它的天 敌也会增多），从而限制了这种动物的 数量。
思考3：根据定积分计算，汽车在这1min
内行驶的路程是多少m？
v(m/s)
ò 10
3tdt＝150
30 A
B
0
ò 40
30dt＝900
C
10
O 10
40 60 t(s)
ò 60 (- 3 t + 90)dt ＝300
40
2
思考4：根据定积分的几何意义，如何计 算汽车在这1min内行驶的路程？
v(m/s)
运输 观赏
耕地 食品
3.动物与基因工程
2.动物与仿生学
动物与仿生萤火虫与冷光 Nhomakorabea保护我们的生存环境
草履虫 蚯蚓
净化污水 改良土壤
啄木鸟和杜鹃 壁虎
森林害虫的天敌 捕捉苍蝇、蚊子

高等数学(同济第六版)课件 第六章 6.3定积分物理应用

高等数学(同济第六版)课件 第六章 6.3定积分物理应用
第三节 定积分在物理学上的应用
一、变力沿直线所作的功
F a x
F
x+dx b
常力 F 沿直线对物体所作的功为：W=F · S 若力是变力： F F ( x )
dW F ( x )dx
W F ( x )dx
a
b
例1 一个带 +q 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点处, 产生一个电场． 若将一个单位正电荷从r 轴上r = a 处 沿 r 轴移动到 r = b处，求场力 F 所作的功． 解 取r为积分变量，
20 x 20 x dW2 (10 0.05)dx (10 )dx 4 80
x
功元素
1 20 x dW [ x (10 )]dx 10 80
20
功
W
0
1 20 x [ x (10 )]dx 10 80
＝217.5(千克米) ＝2131.5(焦耳)
l l 解 取y为积分变量 y [ , ], 2 2 取任一小区间[ y , y+dy ] 小段的质量为 dy ,
小段与质点的距离为 r a y ,
2 2
m dx 引力 dF k 2 , 2 a y amdy dFx k 2 , 2 (a y )
3 2
l y 2 y dy
解 建立坐标系如图
面积元素 2(a x )dx ,
dP ( x 2a ) 2(a x )dx
2a
o
a
2a
7 3 P 2( x 2a )(a x )dx a . 0 3
a
x
三、 引力
质量分别为m1, m2相距为 r 的两个质点间的引力 大小：F k m1m2 , 其中k为引力系数， r2 引力的方向沿着两质点的连线方向． 例6 有一长度为l、线密度为 的均匀细棒， 在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的 质点M， 计算该棒对质点 M 的引力．

定积分在物理的应用ppt课件

定积分在物理的应用ppt课件
变速直线运动程做变速直线运动的物体所经过的路程s等于其速度函数等于其速度函数vvtvt0在时间区间在时间区间ab上的定积分即变力做功力如果物体在变力fx的作用下做直线运动并且物体沿着与的作用下做直线运动并且物体沿着与fx相同的方向从xa移动到xbab那么变力fx所做的功为所做的功为?bavtdt?bafxdx1
A
C．810 ．945 解析 停车时 v(t)＝0D ，由 27－0.9t＝0，
得 t＝30，
30 30 ∴s＝ʃ v ( t )d t ＝ ʃ 0 0 (27－0.9t)dt
＝(27t－0.45t2)|30 0 ＝405.
练习 2．一个弹簧压缩 x cm 可产生 4x N 的力，把它从自然 长度压缩到比自然长度短 5 cm，求弹簧克服弹力所做的 功．
1.7.2
定积分在物理的应用
1．7.2
【学习要求】
定积分在物理中的应用
1．能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力 做功问题. 2.通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问 题，进一步体会定积分的价值． 【学法指导】 利用定积分解决变速直线运动的路程，变力做功等问题， 要特别注意问题的物理意义同时借助定积分的几何意义， 用“数形结合”思想解决问题.
0
将速度转化为 20m/s，设制动后 ts 内速度为 0，路
0
t t 程为 v(t)dt 且 v(t)＝v0＋ adt.
解 (1)a＝－0.4m/s2，v0(t)＝72km/h＝20m/s，设 ts 后的
t t 速度为 v，则 v＝v0＋ adt＝20－ 0.4dt＝20－0.4t.
答 案
b 1.S＝ v(t)dt
a
b 2.W＝ F(x)dx

定积分在物理上的应用ppt

定积分在物理上的应用ppt

解 在 r 轴上, 当单位正电荷从 r 移动到 r+dr 时,
电场力对它所作的功近似为
k
q r2
dr
,
提示：
根据物理学, 在电量为+q的点电荷所产生的电场中, 距离
点电荷r处的单位正电荷所受到的电场力的大小为
Jlin Institute of ChemiFcalTkecrqh2no(lokgy是常数).
p h，这里 是水的比重．如果有一面积为
A 的平板水平地放置在水深为 h 处，那么，平 板一侧所受的水压力为 P p A．
如果平板垂直放置在水中，由于水深不同
的点处压强p 不相等，平板一侧所受的水压力
就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思 想．
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包权
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这一薄层水的重力为 9.8 32 dx
功元素为 dw 88.2 x dx,
o
x x dx
5
x
5
w 0 88.2 x dx
88.2
x2 2
5 0
3462 (千焦)．
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高等数学课件D6_3定积分在物理学上的应用 16页PPT文档

高等数学课件D6_3定积分在物理学上的应用 16页PPT文档

F

k
m1m2 r2
r m1
方向: 沿两质点的连线
若考虑物体对质点的引力, 则需用积分解决 .
例5. 设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒, 在
其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M, 试计算
该棒对质点的引力. 解: 建立坐标系如图. 细棒上小段
y a M d Fx
[x , x d x] 对质点的引力大小为
R
4R g R R2 x2 dx 0 令 x R sin t
奇函数
4R g x R2 x2 R2 arcsin x R
2
2
R0
g R3
O
x
y
xdx
R
x
三、 引力问题
质量分别为 m1 , m2 的质点 , 相距 r ,
m2
二者间的引力 :
大小:
y
1) 当细棒很长时,可视 l 为无穷大 ,
b
此时引力大小为 2k m
y
a
方向与细棒垂直且指向细棒 .
a
2) 若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处

移到 b (a < b) 处时克服引力作的功,
则有
dW


2k
m y
l
1 4y 2 l2 dy
b
W 2km l
dy
a y 4y2 l2
素为
dW F(x)dx
a x xdx b x
因此变力F(x) 在区间 [a ,b]上所作的功为
b
W a F (x) dx
例1. 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 一个单
位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) ,

定积分在物理中的应用课件

定积分在物理中的应用课件

S＝∫10(t2－4t＋3)dt＋∫31（t2－4t＋3）dt＋∫43(t2－ 4t＋3)dt＝∫10(t2－4t＋3)dt－∫31(t2－4t＋3)dt＋∫43(t2－4t ＋3)dt＝13t3－2t2＋3t|10－13t3－2t2＋3t|31＋13t3－2t2＋3t|43 ＝43－0－43＋634－20＝4(m)．
归纳升华 利用定积分求变力做功注意以下两个方面： (1)应将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键 的一步； (2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问 题．
类型 2 利用定积分求变速直线运动的路程或位移
[典例 2] 一质点在直线上从时刻 t＝0(s)开始以速度 v＝t2－4t＋3(m/s)运动，求质点在 t＝4s 时的位置及经过 的路程．
定积分在物理中的应用
1．变速直线运动的路程 做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度 函数 v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即 s ＝_∫__ba_v_(t_)_d_t _.
温馨提示 在求物理运动的路程时要注意：物体运动 的
解：在 t＝4s 时该质点的位移为∫40(t2－4t＋3)dt＝ 13t3－2t2＋3t|40＝43(m)，
即在 t＝4s 时该质点距出发点43(m)． 又因为 v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)， 所以在区间[0，1]及[3，4]上的速度 v(t)≥0，在区间 [1，3]上的速度 v(t)≤0. 所以在 t＝4s 时所经过的路程为
物体在恒力 F(单位：N)的作用下做直线运动，如果 物体沿着与 F 相同的方向移动了 s m，则力 F 所做的功 为 W＝Fs；如果物体在变力 F(x)的作用下沿着与 F(x)相 同的方向从 x＝a 移动到 x＝b，则变力 F(x)做的功 W＝ _∫__ba_F_(_x_)d_x__.

定积分在物理中的应用 课件


为_W_=_F_s_.
2.变力做功：如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并
且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b(a<b)，那么变
力F(x)所做的功为W=
b
a
F(x)dx
.
思考：在计算变力做功时，力与位移的方向有什么关系？ 提示：力与位移的方向一致.
【知识点拨】 1.求变速直线运动物体的路程的方法 (1)如果已知做直线运动物体的路程-时间关系式s(t)，直接求 出在此时间区间内的路程的差即可；如果已知做直线运动物 体的速度-时间关系式v(t)，转化为计算在此时间区间内的定 积分即可.
2.如何求变力与弹簧伸长的函数式？
探究提示：
1.变力的做功公式
W
b
a F(x)dx.
2.利用待定系数法求变力与弹簧伸长的函数式再计算做功.
【解析】1.物体在力F(x)=2x(单位：N)的作用下沿与力F相同
的方向，从x=1处运动到x=3(单位：m)处，则力F做的功为
W
3 1
2xdx
x2
13
8(J).
定积分在物理中的应用
一、变速直线运动的路程 做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数 v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间［a，b］上的定积分，即
s= b v(t)dt . a
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在求变速直线运动的路程时，物体运动的速度一定为
正.( )
(2)一质点运动的速度为v(t)=4t+1(t≥0),则它由t=0到t=4运
类型 二 求变力做功 【典型例题】 1.一物体在力F(x)=2x(单位：N)的作用下 沿与力F相同的方向，从x=1处运动到x=3 (单位：m)处，则力F做的功为______. 2.在弹性限度内，用力把弹簧从平衡位置 拉长10 cm所用的力是200 N，求变力F做的功.

《定积分在几何、物理中的应用》参考课件


定积分求解功和能量
定积分可以计算力学系 统中的功和能量变化， 为能量守恒定律的研究 提供了数学基础。
四、应用举例
垂直于坐标轴的曲线面 积
通过定积分，可以计算曲线 与垂直于坐标轴的轴之间的 面积，如椭圆、以准确计算 球体的体积，为球体的表面 积、密度等相关问题提供了 解决方法。
定积分的符号表示一般用 ∫f(x)dx 表示，计 算方法有黎曼和和定积分的定义公式等。
二、几何中的应用
1
定积分求解曲线下的面积
通过计算定积分，可以准确求解曲线与坐标轴之间的面积，如长方形、三角形等 几何形状。
2
定积分求解旋转体体积
通过定积分的应用，可以计算旋转体的体积，如圆柱体、圆锥体等各种形状的物 体。
3
定积分求解弧长和曲率
定积分在计算曲线的弧长和曲率等几何属性时，起到了重要的作用。
三、物理中的应用
定积分解质点的位 移和速度
定积分可以描述质点在 一段时间内的位移和速 度变化，特别适用于确 定加速度为常数的物理 问题。
定积分求解加速度 和力的关系
通过定积分的运用，可 以推导出质点的加速度 与力的关系，揭示了牛 顿第二定律的深层含义。
《定积分在几何、物理中 的应用》参考课件
定积分是数学中重要的概念，它在几何和物理领域中具有广泛的应用。本课 件将介绍定积分的符号表示和计算方法，以及在几何和物理中的各种应用。
一、介绍
什么是定积分
定积分是对函数在一定区间上的"积分"或 "累加"结果的表示，可以理解为曲线下的 面积。
定积分的符号表示和计算方法
弹簧振动的位移
定积分可用于求解弹簧振动 的位移，帮助我们理解弹簧 振动的规律和特性。

定积分在物理中运用24页PPT

39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
定积分在物理中运用
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道

高等数学定积分在物理上的应用教学pptPPT课件


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2
第五章 定积分及其应用
一.变力沿直线段做功
第三节 定积分在物理上的应用
从物理学知道, 如果常力F作用在物体上, 是物体 沿力的方向移动距离S，那么力F对物体所作的功为
W = FS 如果物体在运动中受到的力是变化的, 则上述公 式已不适用. 下面用定积分微元法来解决此问题.
解 选取坐标系如图, AB的方程为
y x3 6
取 x 为积分变量, 变化范围[0,6]
取代表区间[x, x+dx]，在水下深为x m
处的压强为9.8 x kN/m2，因此与代表区间相应的一
小窄条上所受的压力微元
dP
9.8 x
2
x 6
3
dx
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0 (a2 x2 )32
y
a
M d Fx
d Fy
k
m
a
a
2
x
l 2
a2 x2 0
dF
xdx
2k m l 1
a 4a2 l 2
l 2
o x lx
2
利用对称性
棒对质点引力的水平分力 Fx 0 .
故棒对质点的引力大小为
F
2k m
a
l
1
4a 2 l2
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内容小结:
1. 变力沿直线段做功 2. 液体的侧压力 3. 引力
第三节 定积分在物理上的应用
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第五章 定积分及其应用
第三节 定积分在物理上的应用
例1 设在x轴的原点处放置了一个电量为+q的点电荷 形成一个电场 , 求单位正电荷沿 x 轴从 x=a 移动到 x=b时电场力F(x) 所作的功 ( 如下图所示 ) . 解 当单位正电荷距离原点 r 时, 由库仑定律电场力
a r r dr b kq 则功的元素为 d W d r r2 1 b 1 1 k q k q ( ) 所求功为 a b ra k q 说明 a
o
xdx x l x
2
利用对称性
棒对质点引力的水平分力 Fx 0 . 2 k m l 故棒对质点的引力大小为 F
a
1 4a l
2 2
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第五章 定积分及其应用
第三节 定积分在物理上的应用
棒对质点的引力大小为 F
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q o
1 1
r
第五章 定积分及其应用
第三节 定积分在物理上的应用
二.液体的侧压力
由物理学知道 , 如果有一面积为A的薄板水平地
放置在液体中深为 h 的地方, 那么薄板一侧所受的
压力为P = pA，其中 p = ρhg 是液体中深为 h 处的 压强(ρ是液体的密度) . 如果此薄板垂直地放置在液体中, 由于不同深度 的点处压强不同 , 求薄板一侧所受液体的压力则要 用定积分来解决 .
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第五章 定积分及其应用
第三节 定积分在物理上的应用
例3 一闸门呈倒置等腰梯形垂直地位于水中,两底的 长度分别为4m和 6m, 高为6m, 当闸门上底正好位于 水面时, 求闸门一侧受到的水压力(水密度103kg/m3). 解 选取坐标系如图, AB的方程为
第五章 定积分及其应用
第三节 定积分在物理上的应用
在[0, 6]上积分得
2 x x P 9.8 x 2 3 dx 9.8 3 x 0 9 0 6
6
3 6
9.8 84 8.23 102 (kN) 8.23 105 (N)
2
第五章 定积分及其应用
第三节 定积分在物理上的应用
棒对质点的引力的垂直分力为 l dx 2 Fy 2 k m a 2 2 32 0 (a x )
d Fy
y M a d Fx

x k m a 2 2 2 a a x 0
l 2
dF
l 2
2k m l 1 a 4a 2 l 2
第五章 定积分及其应用
第三节 定积分在物理上的应用
第五章
定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
第二节 定积分在几何上的应用
第三节 定积分在物理上的应用
第五章 定积分及其应用
第三节 定积分在物理上的应用
第三节
定积分在物理上的应用
本节主要内容: 一.变力沿直线段做功 二.液体的侧压力 三.引力
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第五章 定积分及其应用
第三节 定积分在物理上的应用
三.引 力
质量分别为 二者间的引力 : 的质点 , 相距 r ,
m2
r
m1
大小:
方向: 沿两质点的连线
若考虑物体对质点的引力, 则需用积分解决 .
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故垂直分力元素为
l 2
dF
d Fy dF cos dx a m dx k m a k 2 3 2 2 2 2 2 2 a x (a x ) a x
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o
xdx x l x
x y 3 6
取 x 为积分变量, 变化范围[0,6] 取代表区间[x, x+dx]，在水下深为x m 处的压强为9.8 x kN/m2，因此与代表区间相应的一 小窄条上所受的压力微元 dP 9.8 x 2 x 3 dx
6
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第五章 定积分及其应用
第三节 定积分在物理上的应用
设物体在连续变力F(x)作用下沿 x 轴从 x＝a移动到 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .
在其上所作功元
素为
d W F ( x ) dx
a
b
x xdx b x
因此变力F(x) 在区间
a
上所作的功为
W F ( x ) dx
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第五章 定积分及其应用
第三节 定积分在物理上的应用
一.变力沿直线段做功
从物理学知道, 如果常力F作用在物体上, 是物体
沿力的方向移动距离S，那么力F对物体所作的功为
W = FS 如果物体在运动中受到的力是变化的, 则上述公 式已不适用. 下面用定积分微元法来解决此问题.
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2k m l
a
1 4 a 2 l 2
说明 当细棒很长时,可视 l为无穷大, 此时引力大小为
2k m 方向与细棒垂直且指向细棒 . ， a
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第五章 定积分及其应用
第三节 定积分在Biblioteka 理上的应用内容小结:1. 变力沿直线段做功 2. 液体的侧压力 3. 引力
第五章 定积分及其应用
第三节 定积分在物理上的应用
例5 设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒, 在 其中垂线上距 a 单位处有一质量为m的质点M, 计算 该棒对质点的引力 .
解 建立坐标系如图. 细棒上小段
y M dF a x
d Fa y
[ x , x dx] 对质点的引力大小为 m dx dF k 2 a x2