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于是 F abdFabf(x)dx
以上方法称为 “微元法”
微元法解决实际问题的一般步骤如下：
(1) 根据问题的具体情况，选取一个变量 例如取 x
为积分变量，并确定它的变化区间 [a,b];
(2)在 [a,b]上任取一个 [x,x小 d区 x]， 求出间 所求量
F的 微元 f(x)d， x
(3)
FabdF
再将区间 [x i 1 ,x i]记 [x ,x 为 d]x
yf(x)
dA
则 Ai f(xi1)xi可写为
Ai
Af(x)dx
o a xxi1ixxi dbxx
称 f(x)dx为面积A的微元，记为 dA
即 dA f(x)dx就是定积分的被积表达式
于是
A
abdA
b
a
f
(x)dx
一般地，当所求量F符合下列条件： (1) F是与x的 变变 量化 [a,b]有 区关 间的量；
xxdxb x
b
Aa[f(x)g(x)d ] x
yg(x)
熟记
求 x ( y ) 由 x ,( y （ ) （ y ） 且 ( y ))
及直y线 c,yd所围成的平面A图 . 形面积
用微元法：
y
d
取y为积分变量.
ydy
dA[(y)(y)d]y
y
dA x(y)
Acd[(y)(y)d] y
第三步： 求和
n
A f (i )xi .
i1
y
yf(x)
Ai
第四步： 取极限
o a x i1 ix i b x
n
Alimf 0i1
(i
)xi
b
a
f
(x)dx
其中 m 1in{a xix }
总结：上述四步中，由第一步知，所求面积A这个量与
[a,b] 有关，如果把区间 [a,b] 分成许多小区间，则所求
o x(y)
c
x
熟记
例1 计算由抛物线 y x , x1,x轴所围成的图形
的面积A .
解 用微元法
取x为积分变量， 积分区间[0为,1]. dA xdx
y x
dA xxdx 1
A
01dA
1
0
x dx
2 3
例 2计 算 由 两 条 抛 物 线 y2x和 yx2所 围 成 的
图 形 的 面 积 A .
1 3
y
方法二：选择 y 作积分变量
1
确解定得积y=分0,区y=间1 ：从由而得yy 到2积xx2分区间y+dyy
[0,1], 在[0,1] 区间上任取一小区 o
间 [y,yd]y
y2 x
dA
y x2
x
面Байду номын сангаас微元 dA?( yy2)dy
A 01dA 01(
yy2)dy
2 3
3
y2
y3 1
3
0
1 3
个小曲边梯形。所求的曲边梯形面积A为每个小曲边梯
n
形面积之和 即 A Ai
y
i 1
第二步：近似 任i 取 [x i 1 ,x i]
yf(x)
Ai
以f(i )为高 ，xixi1xi为底
o a x i1 ix i b x
的小矩形面积 f(i)xi 近似代替小曲边梯形面积
Ai 即 A if(i) x i
设 yf(x)在 [a,b]上连且 续 f(x， )0，
则由y曲 f线 (x)、 及直线 x a ,x b ,y 0
所围成的曲边梯形的面积
Aabf(x)dx
其求解步骤如下：
y
yf(x)
A
oa
bx
第一步：分割 将区间 [a,b] 任意分成 n个小区间
[x i 1 ,x i]i (1 ,2 , ,n )由此曲边梯形就相应地分成 n
解 方法一：选择 x 作积分变量 y
确定积分区间：
由
y y
x2 2 x
解x得 0,x1从而得到积分区间
y2 x dA y x2
[0,1],在[0,1]区间上任取一小区
间 [x,xd]x
o
x xdx1
x
面积微元 dA?( xx2)dx
A 01dA01(
xx2)dx
2 3 3 x2
x3 1
3
0
的面积A这个量就相应地分成许多部分量，而A是所有 部分量的和，这种性质称为所求量A对区间 [a,b] 具有 可加性. [a,b]是定积分的积分区间。
上述第二步中的近似表达式 A if(i) x i
可确定定积分的被积表达式 f(x)dx 方法是：
取i xi1,于是有 A if(x i 1) x i y
例 3 计 算 由 曲 线 y 2 2 x 和 直 线 y x 4 所 围
成的图形的面积.
y+dy
解 求两曲线的交点
y
y2 2x
(2 , 2 )(,8 ,4 ).
y x4
选 x 作积分变量时，需求
则
S
b
a
f
(x)dx
S oa bx
2 )如[a 果 ,b ]上 f(在 x ) 0 ，y
则
b
a
f
(x)dx
S
a
b
o
x
S
即
b
S f(x)dx
a
yf(x)
3) 若f(x)在[a,b]区间上时正时 如图负，
则 a bf(x)dx S1S2 S1S2?ab| f(x)| dx
y
S1 oa
yf(x)
bx S2
b
a
f
(x)dx
以上步骤要熟练掌握!
注意 微元法解决实际问题的使用对象：
具有可加性的量 如：平面图形的面积；
体积； 平面曲线的弧长； 变力做功； 液体的压力；
引力和平均值; 等等.
二、平面图形的面积
（一）、在直角坐标系下的面积问题
1. f(x)在[a,b]上所围的面积
1）如果在[a,b]上f(x)0 y yf(x)
定积分的应用
• 内容提要
1.元素法； 2.平面图形的面积； 3.立体的体积。
• 教学要求
1.熟练掌握应用微元法去解决积分中的实 际应用题 ；
2.熟悉各种平面面积的积分表达方法； 3.熟练掌握应用微元法求体积的方法； 4. 能用定积分表达某些物理量 。
一、 定积分的微元法
回顾 用定积分求曲边梯形面积的问题：
(2) F对于区 [a,b间 ]具有可加 即如 性果， [把 a,b]
分成许多部分区间 ，则F相应地许 分多 成部
分量 ，而F等于许多部分量的和这；是F量 可 以用定积分表示的前提 . (3)在 [a,b]的任意 [x,x 小 d]区 x 上相间 ， 应分量 F的近似值可表 f(x示 )dx为 ， 将f(x)dx称为 F的微元, 且记d作F,即 dF f(x)d.x 这就给出了定积分的被积表达式 f(x)dx
2. 由 f(x)g ,(x)及 xa,xb所围平面. 图
设f(x)、 g(x)在 [a,b]上连且 续 f(x， )g(x)， 求y 由 f ( x )y , 曲 g ( x ) 及 线 x 直 a ,x b线
所围成的平面图形面积A.
用微元法：
y
取x为积分变量.
yf(x)
dA[f(x)g(x)d]x o a
