当前位置：文档之家 › 定积分在几何学上的应用精品PPT课件

定积分在几何学上的应用精品PPT课件

  • 格式：pptx
  • 大小：3.56 MB
  • 文档页数：76

下载文档原格式

  / 76

合集下载

数学：171《定积分在几何中的应用》课件新人教A版选修

数学：171《定积分在几何中的应用》课件新人教A版选修
图1.7 1.从 图 中 可
y
y x2
1
C
B
y2 x
DAo1x以 看 出,所 求 图 形 的 面积可以转化为两
图1.7 1
个 曲 边 梯 形 面 积 的 差,进 而 可 以 用 定 积 分 求 面
积 S.为 了 确 定 出 被 积 函 数 和积 分 的 上 、 下 限,
我 们 需 要 求 出 两 条 曲 线的 交 点 的 横 坐 标.
还需把所求图形的面积 分成两部分 S1和 S 2. 为了确定出被积函数和 积分的上、下限 ,需
要求出直线 y x 4与曲线 y 2x 的交点
的横坐标 ， 直线 y x 4与 x轴的交点 .
编辑ppt
6
y
yx4
解 作出直线 y x4,曲线
4
y 2x的草图,所求面积为2
y 2x S2
图1.7
1.7 定积分的简单应用
编辑ppt
1
我们已经看,定到积分可以用来计边算曲 梯形的面,求 积变速运动物体的.事位实移 上,定积分有着广泛的.下应面用我们介绍 定积分的一些简单. 应用
编辑ppt
2
1.7.1 定积分在几何中的应用
编辑ppt
3
例1 计算由曲线y2
x,y x2所围图形 的 面 积S. 分析 首先画草图
3
3
2
0
4编辑ppt
43
7
思考本题还有其他解 ?如法果吗,有 请 写出你的解 ,并法 比较一下这些 . 解法
由 上 面 例 题 可 以 发 ,在现利 用 定 积 分 求 平 面 图 形 的 面 积,一时般 要 先 画 出 它 的 草 图,再 借 助 图 形 直 观 确被定积出函 数 以 及 积 分 的 上 、.下 限

§54定积分在几何上的应用2 优质课件

§54定积分在几何上的应用2 优质课件
(3)确定上下曲线：f2(x)= x , f1(x)=x2.
(4)确定面积元素：
dA ( x x2)dx
(5)计算积分
A
1
(
x x2 )dx
11
x 2dx
1 x2dx
0
0
0

[2 3
3
x2
]10
[1 3
x3 ]10

21 1 33 3
x x dx
例2 计算抛物线 y 2 2x与直线y x4 所围成的图形 的面积.
所围成的图形的面积.
解 A 2 1 [2a(2 cos )]2 d 02
2a 2 2 (4 4 cos cos2 )d
0
.
18a2
三、体积
1.旋转体的体积（P293）
旋转体都可以看作是由连续曲线y f (x)、直线 x a、 x b及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体. •旋转体的体积元素
y x3 6x
于是所求面积 A A1 A2
A 0 (x3 6x x2 )dx 3 (x2 x3 6x)dx
2
0

[
1 4
x4

3x2

1 3
x3
]02

[1 3
x3

1 4
x4

3x2
]30
16 63 253. 3 4 12
说明：注意各积分区间上被积函数的形式．
线 yf1(x) 与 yf2(x) 及 左 右 两 条 直线x a与x b所围成.
在点x 处的面积增量的近似值为
[f2(x) f1(x)]dx,

定积分在几何中的应用 课件

定积分在几何中的应用 课件

1.由抛物线y2=x与直线x=2所围成的图形的面积为_______.
2.求y=-x2与y=x-2围成图形的面积S.
【解析】1.由
y2
得x,其交点为(2,
)，(22,
)，所 以2 结合
x 2,
抛物线的对称性和定积分的概念，所围成的图形的面积
为 2 2 0
xdx
4 3
3
x.2
|02
8
2 3
答案：8 2
①当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图1，则
b
a
f
x dx
=S上.
②当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图2，则
b
a
f
x
dx
=-S下.
③当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图3，
则
b
a
f
x
dx
=S上-S下，若S上＝S下，则
b
a
f
x dx
=0.
(2)由两条曲线f(x)，g(x)和直线x=a，x=b(a<b)所围成的平面 图形的面积S.
0
1
2.求由曲线y＝
x
，y＝2－x，y＝－1
3
x所围成图形的面积.
【解析】1.选C.阴影部分的面积
S= ［1 x2 1 ］dx 2 x2 1 dx
0
1
= 2 x2 ，1 d故x 选C. 0
2.方法一：解题流程：
画图形
画出草图，如图所示.
求交点
用积分 表示
计算
解方程组
y
x,
x y 2,
3
2.如图，由
y y
Байду номын сангаас

高等数学ppt课件：定积分的几何应用

高等数学ppt课件：定积分的几何应用

到的旋转体体积为
证 对于任意 x [a, b] ， 用过点 x 且与 x 轴 垂直的平面截该旋转体， 则截面是一个半 径为 f ( x) 的圆盘（见图） ，
因此， A( x) πf 2 ( x) ，故旋转体的体积
V π f 2 ( x)dx
a
b
39-13
推论 6.2.3
将由 y 轴，直线 y c, y d (c d ) 及连续曲线 x ( y )
x [a, a] 且垂直于 x 轴的平面截楔形体的
截面为一直角三角形，其面积为 1 2 1 2 2 2 2 A( x) a x a x tan (a x 2 ) tan 2 2
故由定理 6.2.3，所求体积为
a x 3 a 2a 3 1 2 2 2 tan V A( x)dx tan (a x )dx tan (a x ) 0 a a 3 3 2 a
A


1 2 dA r ( )d ． 2
39-7
例 6.2.4 求双纽线 r 2 a 2 cos 2 所围平 面图形的面积，其中常数 a 0 ．
y o
4
a x
4
解 由对称性，求出第 I 象限内的面积，然后乘以 4 即可．
而双纽线 r 2 a 2 cos 2 在原点处有两条切线，其中位于 π 第 I 象限内部分的切线方程为 (如图)．因此，在第 I 4 π [0, ] ，由定理 6.2.2 可得 象限内， 4
1 2 A r ( )d ． 成曲边扇形的面积为 2 证 运用微元法来证明 .选取θ为积分变量，则
[ , ] ，在 [ , ] 上任取小区间 [ , d ] ，

精品课件-高等数学定积分在几何上的应用ppt

精品课件-高等数学定积分在几何上的应用ppt

第二节 定积分在几何上的应用
例3 求由 y=cosx, y=sinx 在区间 [0, ] 上所围成的图 形的面积.
两曲线的交点
y sin x

y

cos
x

( , 4
2) 2
A1
A2
A A1 A2



4 (cos x sin x)dx
0
(sin x cos x)dx
x(t) ye of Information and Technology
y2 2x
y x4
A42y4y22dy1.8
Nanjing College of Information and Technology
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
问题 若选x为积分变量呢？ 4
SS1 S2

2
[
2x (
2 x )]dx
第二节 定积分在几何上的应用
应用微元法解决定积分应用问题的步骤是:
1) 选取积分变量, 确定它的变化区间[a,b];
2) 在区间[a, b]上任取一个小区间[x,x+dx], 并在小区
间上找出所求量F的微元 dF = f(x)dx (局部近似值) ;
3) 求定积分 F
b
f (x)dx
a
Nanjing College of Information and Technology
ΔA≈ f(x)dx
面积元素
dA
yf(x)
记作dA
o a xxdbxx
(2) 将这些面积元素在[a,b]上“无限累加”得
b
b
Alim f(x)dx f ( x)dx d A

高等数学(第三版)课件：定积分的应用

高等数学(第三版)课件：定积分的应用

线 y f ( x，) 直线 x a, x b (a b) 与
• x 轴围成的面积是在x 轴上方和下方曲边梯形
面积的差.
• • 同样可由微元法分析
•⒉ 一般地，根据微元法由曲线 y f ( x), y g( x),
• ( f ( x) g( x)) 及直线x a, x b 所围的图形
• 面积.（右图所示）
• 解: 取 为积分变量,
•
面积微元为
d
A
1 2
(a )2
d
• 于是
A 2 1 (a )2d a 2 2
02
23
2 4 a 2 3
03
• 例5 计算双纽线 r 2 a2 cos2 (a 0)
•
所围成的平面图形的面积（下图所示）
• 解 因 r 2 0,故 的变化范围是 [ 3 , 5 ,]
• ⑴分割区间[a,b],将所求量(曲边梯形面积 A )
分为部分量(小曲边梯形面积 Ai）之和;
• ⑵确定各部分量的近似值(小矩形面积);
Ai f (i )xi
• ⑶求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和);
n
A f (i )xi
i 1
• ⑷对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）.
n
A lim 0
• 它表示高为f ( x) 、底为 dx 的一个矩形面积.
• ⑵由定积分几何意义可知,当 f (x) 0 时,由曲
线 y f (x)，直线 x a, x b (a b) 与 x 轴所围成
的曲边梯形的面积A为
A
b
f (x)dx
.
a
• ⑶当 f ( x)在区间 [a, b]上的值有正有负时，则曲
•

高等数学第六章第二节定积分在几何学上的应用课件.ppt


解:
cos x 0,
2
x
2
s
2
2
2 2 0
1 y2 dx 1 ( cos x)2 dx
2 2
2 cos x dx
0
2
2
2
2
sin
x 2
2
0
4
的弧长.
例11. 计算摆线
一拱
的弧长 .
y
解: ds
(dd
x t
)2
(
d d
y t
)
2
d
t
o
a2 (1 cos t)2 a2 sin2 t d t
1 y2 dx
因此所求弧长
s b 1 y2 dx a
b
a
1 f 2(x) dx
y
y f (x)
ds
o a xxdxb x
(2) 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
因此所求弧长
s
2 (t) 2 (t) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
y b
o x ax
则 V 2 a y2 dx 0
(利用对称性)
2
b2 a2
a
(a
2
x2
)
dx
0
2
b2 a2
a2 x
1 3
x3
a 0
4 ab2
3
方法2 利用椭圆参数方程
则 V 20a y2 dx 2 ab2 sin3t d t
2 ab2 2 1
3
4 ab2
3
特别当b
=
a

( 人教A版)定积分在几何中的应用课件 (共36张PPT)


A.b[f(x)－g(x)]dx a
C.b|f(x)－g(x)|dx a
B.b[g(x)－f(x)]dx a
D.b[fx－gx]dx
a
解析：因为 f(x)，g(x)两条曲线上下位置关系不确定，故选 C.
答案：C
2．曲线 y＝x2 与直线 x＋y＝2 围成的图形面积为( )
A．5
9 B.2
C．4 解析：如图，解方程组y＝x2，
t 0，12
1 2
12，1
S′ －
0
＋
S
极小值
所以当t＝12时，S最小，且Smin＝14.
怎样解答与曲边图形有关的综合问题？ 解决与曲边图形有关的综合问题，关键是要正确分析题意，先分清是求曲边 图形面积，还是利用曲边图形面积解决其他问题，再正确作出图形，确定积 分区间和被积函数，然后根据条件，建立等量关系或方程进行求解．
x
∴S＝
2 x2dx＋
x0 x0
[x2－(2x0x－x02)]dx
0
2
＝112x30.
∴112x30＝112，x0＝1. ∴切点为(1,1)，切线方程为 y＝2x－1.
因对图形特征认识不清致误
[典例] 求由抛物线 y2＝8x(y＞0)与直线 x＋y－6＝0 及 y＝0 所围成图形的面积 S.
[解析] 由题意，作出简图(如图)并解方程组y2＝8xy＞0 x＋y－6＝0 得 x＝2， 所以 y2＝8x(y＞0)与直线 x＋y－6＝0 的交点坐标为(2,4)．
0
0
8x)dx. (2)应用定积分求平面图形的面积时，正确分析图形特征，将复杂的面积问题分为
几部分来求解，若更换积分变量应相应的将被积函数及积分界限均改变.
[随堂训练] 1．若 y＝f(x)与 y＝g(x)是[a，b]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线 x

定积分的几何应用课件


电场中的电势
总结词
定积分可计算电场中的电势
详细描述
在静电场中，电势差与电场强度成正比。通过定积分可以计算出 某一点处的电势，即对电场强度进行积分。
公式表示
电势 = ∫E·dl
05
定积分的近似计算
方法
矩形法
总结词
矩形法是一种简单直观的定积分近似计算方法，通过将积分 区间划分为若干个小的矩形，然后求和来逼近定积分。
详细描述
辛普森法则是梯形法的一种改进，它考虑了函数在积分区间的整体变化趋势，将 积分区间分成若干个小的子区间，然后在每个子区间上应用梯形法来逼近定积分 。辛普森法则的精度比矩形法和梯形法更高，但计算量也相对较大。
THANKS
感谢您的观看
3
曲边三角形面积的近似计算
在无法直接计算定积分的情况下，可以使用近似 方法计算曲边三角形的面积，如矩形法、梯形法 等。
任意图形的面积
任意图形面积的计算
01
通过定积分计算任意图形的面积，首先需要找到图形的边界曲
线表达式，然后确定上下限，最后计算定积分。
任意图形面积的几何意义
02
任意图形面积表示的是边界曲线围成的平面区域面积。
详细描述
矩形法的基本思想是将积分区间分成若干个小的矩形，每个 矩形的宽度为小区间的宽度，高度为函数在相应小区间的平 均值。然后，将这些矩形的面积加起来，得到的就是定积分 的近似值。
梯形法
总结词
梯形法是一种基于几何直观的定积分近似计算方法，通过将积分区间划分为若干个小的梯形，然后求 和来逼近定积分。
围绕旋转轴旋转的平面图形被称为 旋转面。
旋转体的体积公式
圆柱的体积公式
V = πr²h，其中r是底面半径，h是高。

定积分的简单应用PPT优秀课件(定积分在几何中的应用等3个)


x轴所围成的图形是什么？各顶点的坐标
是什么？
y
y＝x－4
4
y = 2x
(8,4)
(0,0)
O
4 8x
(4,0)
思考2：如何将该图形的面积转化为曲边
梯形的面积？ y
y＝x－4
4 C
y = 2x
B
A
O
D4 8 x
S＝S曲边梯形OABC－S三角形ABD.
思考3：该图形的面积用定积分怎样表
示？
y
y＝x－4
f(x)所围成的曲边梯形的面积为S，则.
b
S = ò | f(x)| dx a
y y＝|f(x)|
Oa
bx
y＝f(x)
作业： P58练习：（1），（2）. P60习题1.7B组：1，2，3.
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
DA
O
1
y2＝x x
蝌 1
S= xdx-
1x2dx
0
0
思考4：利用微积分基本定理计算，该图
形的面积等于多少？
y
y＝x2
y2＝x
Hale Waihona Puke 1C BDAO
1
x
S
=
2x23 3
|10
-
1x3 3
|10=
1 3
探究（二）：直线y＝x－4与曲线y = 2x 及x轴所围成图形的面积
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2 sin 2 t dt
0
4
a
2
b
12
2
ab
当 a = b 时得圆面积公式
例4. 求由摆线x a (t sin t), y a (1 cost) (a 0)
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解:
2
AdA0 a
(1
cos
t)
a
(1
cos t )
d
t
a2 2 (1 cos t)2 d t 0
面积(a 0).
解 dA 1 a2(1 cos )2 d
d
2
利用对称性知
A 2 1 a2 (1 cos )2 d
20
a2
(1 2cos cos2 )d
0
a2
3
2
2 sin
1 4
sin 2
0
3 2
a2 .
例. 计算心形线 r a(1 cos ) (a 0) 与圆 r a
4 3 a2
3
点击图片任意处 播放开始或暂停
例 6 求双纽线 2 a2 cos 2 所围平面图形
的面积.
解 由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积来自y xA 4 A1
A 4 4 0
1 a2 cos 2d
2
a2.
A1
2 a2 cos 2
例 7 求心形线 a(1 cos ) 所围平面图形的
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、
直线 x a 、 x b及x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x ，
y
y f (x)
x [a,b]
在[a, b]上任取小区 o
转构成一个底半径为r 、高为h的圆锥体，计算
圆锥体的体积．
y
P
解 直线 OP方程为
y r x
o
h
r
h
x
取积分变量为 x ， x [0, h]
在[0, h]上任取小区间[ x, x dx]，
以dx 为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄片的
体积为
y
dV
hr
x
2
dx
o
P
r
h
x
圆锥体的体积
V
h 0
1. 3
例 计算由曲线 y x3 6x和 y x2所围成的
图形的面积.
解 两曲线的交点
y x3 6x
y
x2
y x2
y x3 6x
(0,0), (2,4), (3,9).
选 x 为积分变量 x [2, 3]
(1) x [2, 0], dA1 ( x3 6x x2 )dx (2) x [0,3], dA2 ( x2 x3 6x)dx
y x4
y2 2x
选 y 为积分变量 y [2, 4]
dA y 4 y2 dy
2
4
A dA 18. 2
如果曲边梯形的曲边为参数方程
x y
(t) (t)
曲边梯形的面积 A t2 (t) (t)dt. t1
（其中t1和t 2 对应曲线起点与终点的参数值）
在[t1,t2]（或[t2,t1]）上x (t ) 具有连续导数， y (t )连续.
例3.
求椭圆 x2 a2
y2 b2
1所围图形的面积 .
解: 利用对称性 ,有 d A y dx
y b
a
A 40 y d x
利用椭圆的参数方程
o xxdxa x
x y
a cost b sin t
(0 t 2 )
应用定积分换元法得
A 4
0
b sin t (a sin t) dt
4ab
于是所求面积 A A1 A2
A
0 ( 2
x3
6x
x2
)dx
3(x2 0
x3
6 x )dx
253 . 12
说明：注意各积分区间上被积函数的形式．
问题：积分变量只能选 x吗
？
例 2 计算由曲线 y2 2x和直线 y x 4所围
成的图形的面积.
解 两曲线的交点
y2 2x y x4
(2,2), (8,4).
x x dx
x
间[ x, x dx]，
取以dx 为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄
片的体积为体积元素， dV [ f ( x)]2 dx
旋转体的体积为 V b [ f ( x)]2 dx a
例 8 连接坐标原点O 及点 P(h, r)的直线、直线
x h及 x轴围成一个直角三角形．将它绕 x轴旋
所围图形的面积 .
1 2cos cos2
解: 利用对称性 , 所求面积
A 1a2 2
2
2
1 2
a
2
(1
cos
)2 d
1 2
(1
cos
2
)
1 a2 a2 2
2
(3 2
2
cos
1 2
cos
2 )
y
d
1 a2 a2 (3 2)
2
4
5 a2 2a2
4
o
a 2a x
二、体积
1.旋转体的体积
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA 1 ( )2 d
2
所求曲边扇形的面积为
( )
d
A 1 2 ( ) d 2
x
例5. 计算阿基米德螺线 a (a 0) 对应 从 0 变
到2 所围图形面积 .
解: A 2 1 (a )2 d 02
a2 2
13
3
2
0
2 a
o
x
d
r h
x
2
dx
r 2 h2
x3 h 3 0
hr2 . 3
例. 计算由椭圆
x2 a2
y2 b2
1
所围图形绕
x
轴旋转而
转而成的椭球体的体积.
y
解: 方法1 利用直角坐标方程
第二节
第六章
定积分在几何学上的应用
一、 平面图形的面积 二、体积 三、 平面曲线的弧长 四、 旋转体的侧面积 (补充)
一、 平面图形的面积
1.直角坐标系情形
y y f (x)
y
y f2(x)
o a x x dxb x 曲边梯形的面积
A
b
a
f
(
x)dx
y f1( x)
o a xx dxb x 曲边梯形的面积
A
b[ a
f2(x)
f1( x)]dx
例 1 计算由两条抛物线 y2 x 和 y x2 所围成的
图形的面积.
解 两曲线的交点
(0,0) (1,1) 选 x 为积分变量 x [0,1]
x y2 y x2
面积元素 dA ( x x2 )dx
A
1
0 (
x
x2 )dx
2 3
3
x2
x3 3
1 0
y
4a2 2 sin 4 t d t
0
2
8a2 sin4 u d u 0
16 a2 2 sin 4 u d u 0
o
(令u t ) 2
16a2 3 1 3 a2
42 2
2 a x
2. 极坐标情形
设( ) C[ , ] , ( ) 0 ,求由曲线 ( ) 及 射线 , 围成的曲边扇形的面积 . 在区间[ , ]上任取小区间 [ , d ]