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第一章数字信号处理概述简答题：1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？答：在A/D变化之前为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。
此滤波器亦称为“抗混叠”滤波器。
在D/A变换之后为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称之为“平滑”滤波器。
判断说明题：2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。
（）答：错。
需要增加采样和量化两道工序。
3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。
（）答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。
因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。
故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。
第二章 离散时间信号与系统分析基础一、连续时间信号取样与取样定理 计算题：1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混叠效应），把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器。
（a ） 如果kHz rad n h 101,8)(=π截止于，求整个系统的截止频率。
（b ） 对于kHz T 201=，重复（a ）的计算。
解 （a ）因为当0)(8=≥ωπωj e H rad 时，在数 — 模变换中)(1)(1)(Tj X Tj X Te Y a a j ωω=Ω=所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为8π=ΩT c因此 Hz Tf c c 6251612==Ω=π 由于最后一级的低通滤波器的截止频率为Tπ，因此对T8π没有影响，故整个系统的截止频率由)(ωj e H 决定，是625Hz 。
第二章习题解答1、求下列序列的z 变换()X z ，并标明收敛域，绘出()X z 的零极点图。
(1) 1()()2nu n (2) 1()()4nu n - (3) (0.5)(1)nu n --- (4) (1)n δ+(5) 1()[()(10)]2nu n u n -- (6) ,01na a <<解：(1) 00.5()0.50.5nn n n zZ u n z z ∞-=⎡⎤==⎣⎦-∑，收敛域为0.5z >，零极点图如题1解图(1)。
(2) ()()014()1414n nn n z Z u n z z ∞-=⎡⎤-=-=⎣⎦+∑，收敛域为14z >，零极点图如题1解图(2)。
(3) ()1(0.5)(1)0.50.5nnn n zZ u n z z --=-∞-⎡⎤---=-=⎣⎦+∑，收敛域为0.5z <，零极点图如题1解图(3)。
(4) [](1Z n z δ+=，收敛域为z <∞，零极点图如题1解图(4)。
(5) 由题可知，101010910109(0.5)[()(10)](0.5)()(0.5)(10)0.50.50.50.50.50.5(0.5)n n nZ u n u n Z u n Z u n z z z z z z z z z z z --⎡⎤⎡⎤⎡⎤--=--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⋅=-----==--收敛域为0z >，零极点图如题1解图(5)。
(6) 由于()(1)nn n a a u n a u n -=+--那么，111()(1)()()()nn n Z a Z a u n Z a u n z z z a z a z a a z a z a ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=---⎣⎦⎣⎦⎣⎦=----=-- 收敛域为1a z a <<，零极点图如题1解图(6)。
(1) (2) (3)(4) (5) (6)题1解图2、求下列)(z X 的反变换。
合工大《数字信号处理》习题答案第2章习 题2.4 设系统分别用下面的差分方程描述，)(n x 与)(n y 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
（1）)()(0n n x n y -= （3）)sin()()(n n x n y ω=解： （1）)()()()()]()([21020121n by n ay n n bx n n ax n bx n ax T +=-+-=+所以是线性系统。
由于)()]([0n n x n x T -= 所以是时不变系统。
（3）)()()sin()]()([)]()([212121n by n ay n n bx n ax n bx n ax T +=+=+ω，所以是线性系统。
)()sin()()]([m n y n m n x m n x T -≠-=-ω，所以不是时不变系统。
2.5 给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果稳定系统，并说明理由。
（1）)1()()(++=n x n x n y （3）)()(n x e n y =解：（1）该系统是非因果系统，因为n 时刻的输出还和n 时刻以后（)1(+n 时间）的输入有关。
如果M n x ≤|)(|，则M n x n x n y 2|)1(||)(||)(|≤++≤，因此系统是稳定系统。
（3）系统是因果系统，因为n 时刻的输出不取决于)(n x 的未来值。
如果M n x ≤|)(|，则M n x n x e e e n y ≤≤≤)|(|)(|||)(|，因此系统是稳定系统。
2.6 以下序列是系统的单位冲激响应)(n h ，试说明该系统是否是因果、稳定的。
（1）)(2)(n u n h n= （3）)2()(+=n n h δ解：（1）当0<n 时，0)(=n h ，所以系统是因果的。
由于所以系统不稳定。
（3）当0<n 时，0)(≠n h ，所以系统是非因果的。
由于所以系统稳定。
==============================绪论==============================1. A/D 8bit 5V 00000000 0V 00000001 20mV 00000010 40mV 00011101 29mV==================第一章 时域离散时间信号与系统==================1.①写出图示序列的表达式答：3)1.5δ(n 2)2δ(n 1)δ(n 2δ(n)1)δ(n x(n)-+---+++= ②用δ(n) 表示y (n )={2,7,19,28,29,15}2. ①求下列周期)54sin()8sin()4()51cos()3()54sin()2()8sin()1(n n n n n ππππ-②判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。
（1）A是常数 8ππn 73Acos x(n)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= （2）)81(j e )(π-=n n x 解： （1） 因为ω=73π, 所以314π2=ω, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T =14。
（2） 因为ω=81, 所以ωπ2=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。
③序列)Acos(nw x(n)0ϕ+=是周期序列的条件是是有理数2π/w 0。
3.加法乘法序列{2，3，2，1}与序列{2，3，5，2，1}相加为__{4，6，7，3，1}__，相乘为___{4，9，10，2} 。
移位翻转：①已知x(n)波形，画出x(-n)的波形图。
②尺度变换：已知x(n)波形，画出x(2n)及x(n/2)波形图。
卷积和：①h(n)*求x(n)，其他02n 0n 3，h(n)其他03n 0n/2设x(n) 例、⎩⎨⎧≤≤-=⎩⎨⎧≤≤= }23,4,7,4，23{0,h(n)*答案：x(n)=②已知x (n )={1,2,4,3},h (n )={2,3,5}, 求y (n )=x (n )*h (n )x (m )={1,2,4,3},h (m )={2,3,5}，则h (-m )={5,3,2}(Step1:翻转)解得y (n )={2,7,19,28,29,15}③(n)x *(n)x 3)，求x(n)u(n u(n)x 2),2δ(n 1)3δ(n δ(n)2、已知x 2121=--=-+-+=}{1,4,6,5,2答案：x(n)=4.如果输入信号为，求下述系统的输出信号。
————第一章———— 时域离散信号与系统理论分析基础本章1.1节“学习要点”和1.2节“例题”部分的内容对应教材第一、二章内容。
为了便于归纳总结，我们将《数字信号处理（第二版）》教材中第一章和第二章的内容合并在一起叙述，这样使读者对时域离散线性时不变系统的描述与分析方法建立一个完整的概念，以便在分析和解决问题时，能全面考虑各种有效的途径，选择最好的解决方案。
1.1 学 习 要 点1.1.1 时域离散信号——序列时域离散信号（以下简称序列）是时域离散系统处理的对象，研究时域离散系统离不开序列。
例如，在时域离散线性时不变系统的时域描述中，系统的单位脉冲响应()n h 就是系统对单位脉冲响应()n δ的响应输出序列。
掌握()n δ的时域和频域特征，对分析讨论系统的时域特性描述函数()n h 和频域特性描述函数()ωj e H 和()z H 是必不可少的。
1. 序列的概念在数字信号处理中，一般用()n x 表示时域离散信号（序列）。
()n x 可看作对模拟信号()t x a 的采样，即()()nT x n x a =，也可以看作一组有序的数据集合。
要点 在数字信号处理中，序列()n x 是一个离散函数，n 为整数，如图1.1所示。
当≠n 整数时，()n x 无定义，但不能理解为零。
当()()nT x n x a =时，这一点容易理解。
当=n 整数时，()()nT x n x a =，为()t x a 在nT t =时刻的采样值，非整数T 时刻未采样，而并非为零。
在学习连续信号的采样与恢复时会看到，()n x 经过低通滤波器后，相邻的()T n nT 1~+之间的()t x a 的值就得到恢复。
例如，()n x 为一序列，取()()2n x n y =，n 为整数是不正确的，因为当=n 奇数时，()n y 无定义（无确切的值）。
2. 常用序列常用序列有六种：①单位脉冲序列()n δ，②矩形序列()n R N ，③指数序列()n u a n，④正弦序列()n ωcos 、()n ωsin ，⑤复指数序列nj eω，⑥周期序列。
合工大《数字信号处理》习题答案第2章习 题2.4 设系统分别用下面的差分方程描述，)(n x 与)(n y 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
（1）)()(0n n x n y -= （3）)sin()()(n n x n y ω=解： （1）)()()()()]()([21020121n by n ay n n bx n n ax n bx n ax T +=-+-=+所以是线性系统。
由于)()]([0n n x n x T -=)()()]([0m n y n m n x m n x T -=--=-所以是时不变系统。
（3）)()()sin()]()([)]()([212121n by n ay n n bx n ax n bx n ax T +=+=+ω，所以是线性系统。
)()sin()()]([m n y n m n x m n x T -≠-=-ω，所以不是时不变系统。
2.5 给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果稳定系统，并说明理由。
（1）)1()()(++=n x n x n y （3）)()(n x e n y =解：（1）该系统是非因果系统，因为n 时刻的输出还和n 时刻以后（)1(+n 时间）的输入有关。
如果M n x ≤|)(|，则M n x n x n y 2|)1(||)(||)(|≤++≤，因此系统是稳定系统。
（3）系统是因果系统，因为n 时刻的输出不取决于)(n x 的未来值。
如果M n x ≤|)(|，则M n x n x e e e n y ≤≤≤)|(|)(|||)(|，因此系统是稳定系统。
2.6 以下序列是系统的单位冲激响应)(n h ，试说明该系统是否是因果、稳定的。
（1）)(2)(n u n h n=（3）)2()(+=n n h δ解：（1）当0<n 时，0)(=n h ，所以系统是因果的。
由于∞⇒+++=∑∞-∞= 210222|)(|n n h所以系统不稳定。
（3）当0<n 时，0)(≠n h ，所以系统是非因果的。
由于1|)(|∑∞-∞==n n h所以系统稳定。
2.7设线性时不变系统的单位脉冲响应)(n h 和输入序列)(n x 如题 2.7图所示，试求输出)(n y 。
解：)()]2(5.0)1()(2[)()()(n x n n n n x n h n y *-+-+=*=δδδ)5()4(2)3(5.4)2()1(2)(5.0)1()2(2)2(5.0)1()(2-+-+-+-+-+-+-+-=-+-+=n n n n n n n n n x n x n x δδδδδδδδ2.8 设线性时不变系统的单位冲激响应)(n h 和输入)(n x 分别有以下三种情况，分别求出输出)(n y 。
（1）4()()h n R n =，5()()x n R n = （3）)(5.0)(n u n h n=，4()()x n R n = 解：（1）45()()()()()y n x n h n R n R n =*=*55555[()(1)(2)(3)]()()(1)(2)(3)()2(1)3(2)4(3)4(4)3(5)2(6)(7)n n n n R n R n R n R n R n n n n n n n n n δδδδδδδδδδδδ=+-+-+-*=+-+-+-=+-+-+-+-+-+-+-（3）4()()()0.5()()ny n x n h n u n R n =*=*1230.5()[()(1)(2)(3)]0.5()0.5(1)0.5(2)0.5(3)n nn n n u n n n n n u n u n u n u n δδδδ---=*+-+-+-=+-+-+-2.10 设系统由下面差分方程描述：)1(21)()1(21)(-++-=n x n x n y n y 设系统是因果的，（1）求该系统的单位抽样响应。
（2）利用卷积和求输入)()(n u en x nj ω=的响应。
2.10 （1）x(n)=δ(n),因为y(n)=h(n)=0,n<0 所以h(0)=0.5y(-1)+x(0)+0.5x(-1)=1 h(1)=0.5y(0)+x(1)+0.5x(0)=1 h(2)=0.5y(1)+x(2)+0.5x(1)=0.5......h(n)=0.5y(n-1)+x(n)+0.5x(n-1)=0.5n-1所以 h(n)= 0.5n-1u(n-1)+δ(n)（2）y(n)=x(n)*h(n)= [0.5n-1u(n-1)+δ(n)]* e jwnu(n)= [0.5n-1u(n-1)]* e jwnu(n)+ e jwnu(n)= [e jwn-0.5n]/ (e jw-0.5)u(n-1)+ e jwnu(n)第3章 习 题3.1 求下列序列的z 变换，并标明收敛域。
（1）)4()(-=n n x δ（2）)(21)(n u n x n⎪⎭⎫⎝⎛=（3）)1(21)(--⎪⎭⎫⎝⎛-=n u n x n解：（1）由z 变换的定义可知，4)4()(-∞-∞=-=-=∑z zn z X n nδ，0z ≠（2）10211121)(21)(--∞=∞-∞=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑z z z n u z X n nn n nn，21||>z（3）n nn n nn z z n u z X -∞--=∞-∞=-∑∑⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121)1(21)(1121112-∞=-=-=∑z z n n n，21||<z 3.2 已知2112523)(---+--=z z z z X ，分别求：（1）收敛域为2||5.0<<z 对应的原序列)(n x ； （2）收敛域2||>z 对应的原序列)(n x 。
解： 22125232523)(2211---=+--=+--=---z z z z z z zz z z z X （1）)1(2)(21)(--+⎪⎭⎫⎝⎛=n u n u n x n n（2）)(]221[)(n u n x n n-⎪⎭⎫⎝⎛=3.3 已知序列)(n x 的傅立叶变换为()j X e ω，试求下列序列的傅立叶变换。
（2）)()(2n x n x *=（4）2)()()(4n x n x n x +-=*解： （2）2()()()()j j nj n j n n X e x n ex n e X e ωωωω*∞∞*-*-=-∞=-∞⎡⎤===⎢⎥⎣⎦∑∑ （4）由于DTFT[)(n x -*]=)(ωj eX *)](Re[2)()()(4ωωωj j j jwe X e X e X e X =+=*3.4 设题3.4图所示的序列)(n x 的傅立叶变换用()j X e ω表示，不直接求出()j X e ω，完成下列运算： （2）ωππωd e X j ⎰-)( （4）ωππωd e X j ⎰-2|)(|解： （2）)(2)(n x d e eX n j j πωωππω=⎰-()2(0)4j X e d x πωπωππ-=⋅=⎰（4）ππωππω28|)(|2|)(|22==∑⎰∞-∞=-n j n x d eX3.5用留数定理法分别求以下)(z X 的z 反变换：（1）21411211)(----=z zz X ， 21||>z ；解：（1）1212111411211)(---+=--=z z z z X dz z z jn x n c 11211121)(--⎰+=π，设c 为21||>z 内的逆时针方向的闭合曲线。
当0≥n 时，n n z z z z 211211111+=+--在c 内有21-=z 一个单极点，则)()21(]21,211[Re )(n u z z s n x n n -=-+=又由于)(n x 是因果序列，故0<n 时，0)(=n x 。
所以)()21()(n u n x n -=3.7 已知下列因果序列)(n x 的z 变换为)(z X ，求该序列的初值)0(x 和终值)(∞x 。
（2）)5.01)(5.01()(111---+-=z z z z X 解： (2) 0)(lim )0(==∞→z X x z0)()1(lim )(1=-=∞→z X z x z3.8 用卷积定理求下列卷积和。
（2）)1()(5)(+*=n u n u n y n解： （2）z z z z z z z z z z z Y ⎪⎭⎫⎝⎛--+--=--=41)155(15)( 5||z <<∞)1(41)1(545)(1+-+=+n u n u n y n3.12 研究一个满足下列差分方程的线性时不变系统，该系统不限定为因果、稳定系统。
利用方程的零、极点图，试求系统单位冲激响应的三种可能选择方案。
)()1()(25)1(n x n y n y n y =++-- 解： 2()2()() 2.51320.5Y z z z z H z X z z z z z ⎡⎤===-⎢⎥-+--⎣⎦(1) 22, ()20.5()3n nz h n u n ⎡⎤>=-⎣⎦ 系统是非稳定但是因果的。
(2) 20.52, ()2(1)0.5()3n nz h n u n u n ⎡⎤<<=---+⎣⎦ 系统是稳定但是非因果的。
(3) 20.5, ()20.5(1)3nn z h n u n ⎡⎤<=----⎣⎦ 系统是非稳定是非因果的。
3.13 （2）已知一离散系统的单位冲激响应为)(]4.05.0[)(n u n h nn-=，写出该系统的差分方程。
解： （2）)(]4.05.0[)(n u n h nn-=21122.09.011.02.09.01.04.05.0)()()(---+-=+-=---==zz z z z z z z z z z X z Y z H )2(2.0)1(9.0)1(1.0)(---+-=n y n y n x n y3.14 已知线性因果系统用下面差分方程描述：)1(9.0)()1(9.0)(-++-=n x n x n y n y（1） 求系统函数)(z H 及单位冲激响应)(n h ； （2） 写出传输函数)(ωj e H 表达式，并定性画出其幅频特性曲线；（3） 设nj en x 0)(ω=，求输出)(n y 。
解： （1）119.019.01)(---+=z z z H11119.018.119.019.01)(-----+=-+=z z z z z H 1()() 1.80.9(1)n y n n u n δ-=+⨯-（2）ωωωj j j e e e H ---+=9.019.01)(极点9.0=z ，零点9.0-=z（3）nj en x 0)(ω= 0000010.9()()10.9j j nj j nj e y n eH eee ωωωωω--+∴==-3.15 若序列)(n h 是实因果序列，其傅立叶变换的实部如下式：ωωωcos 21cos 1)(2a a a e H j R -+-=，1||<a求序列)(n h 及其傅立叶变换)(ωj eH 。
