数量积 向量积 混合积32页PPT

例4. 已知三点 A(1, 2,3), B(3, 4,5),C( 2, 4 ,7 ), 求三
角形 ABC 的面积
B
A
C
例5. 设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转, 导出刚体上
一点 M 的线速度 的表示式 .
解: 在轴 l 上引进一个角速度向量 , 使 , 其
方向与旋转方向符合右手法则 , 在 l 上任取一点 O, 作
4 17
a b 17
3. 在顶点为 A(1,1,2) , B(1,1,0) 和 C(1,3, 1) 的
三角形中, 求 AC 边上的高 BD .
B
解： AC ( 0, 4, 3)
AB ( 0, 2, 2 )
三角形 ABC 的面积为
A
DC
S 1 | AC AB | 1 (2)2 02 02 1
答案: a b 1 ,
a b (1, 1, 3)
cos 1 , sin 11
23
12
2. 已知向量 a , b 的夹角 3 ,且 | a | 2, | b | 3,
4
解：
( ab)( ab)
aa
bb
a 2 2 a b cos b 2
( 2)2 2 2 3 cos 3 32
AMB .
A
B M
例3. 设均匀流速为 的流体流过一个面积为 A 的平 面域 , 且 与该平面域的单位垂直向量 的夹角为 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度
为) .
解: P v
为单位向量
A vn
A
单位时间内流过的体积
v
二、两向量的向量积
引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为 的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力

数量积和向量积的性质和运算法则
数量积的性质
• 数量积满足交换律 • 数量积与向量的模长的
乘积等于两个向量夹角 的余弦值
向量积的性质
• 向量积垂直于参与运算 的两个向量
• 向量积的模长等于以两 个向量为邻边的平行四 边形的面积
数量积和积乘以它们夹角的
• 余向弦量值积的运算法则：向 量积等于两个向量模长 的乘积乘以它们夹角的 正弦值，并与参与运算 的两个向量的法向量方 向相符。
数量积的应用
1 向量投影
在数量积的基础上，我们可以求得一个向量在另一个向量方向上的投影。
2 向量夹角
通过计算数量积的值，可以得到两个向量夹角的余弦值，从而求得它们的夹角。
《数量积和向量积》PPT 课件
本课件将介绍数量积和向量积的定义、基本概念以及它们的性质和运算法则。 还将探讨数量积和向量积在实际应用中的作用和应用实例。
数量积的定义和基本概念
1 数量积的定义
数量积，又称点积或内积，是两个向量之间 的一种运算，用数值表示。
2 向量积的定义
向量积，又称叉积或外积，是两个向量之间 的一种运算，结果是一个新的向量。
3 求垂直分解
数量积可以用来计算一个向量在另一个向量垂直方向上的分量。
向量积的应用
1 平行四边形的面积
向量积的模长等于以两个向量为邻边的平行四边形的面积。
2 三角形的面积
通过计算两个向量的向量积的模长的一半，可以得到以这两个向量为边的三角形的面积。
3 直线的位置关系
通过计算两个向量的向量积，可以判断直线的位置关系，如相交、平行或共面。
应用实例
1
航空工程
数量积和向量积在航空工程中被广泛应
建筑设计

g
l
m
m
存在唯一的有序数对(, )，
= + .
∴ ∙ = ∙ + ∙ .
∵ ∙ = 0， ∙ = 0
∴ ∙ = 0.∴ ⊥ .
因此直线垂直于平面内的任意一条直线，所以 ⊥ .
n
n
g
∠AOB
OB ＝b，则_______＝θ
范围：________
0≤θ≤π
B
b
b
特殊情况：

B
a
a
O
b B
O
b
a
A
B b
O
0
180
a 与 b 同向
a 与 b 反向
A
O
a
a
A
90
a 与 b 垂直，记作 a b
A
空间向量的夹角
定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 OA ＝a，
空间向量的数量积运算
新课导入
平面向量及其线性运算
推
广
空间向量及线性运算
平面向量数量积运算
推
广
空间向量数量积运算
探 究
问题：回忆一下，我们当时是如何研究平面向量的数量积运算？
定义夹角
数量积定义
运算律
运用
知识回顾
定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作 OA ＝a，
<a,b>
叫做向量a与b的夹角．记作: ________
a

a
c
b
称为向
投影向量
向量a向直线l投影
a

a
c
l
投影向量

a 0 (c a ,c oa o ,c ss a o ) , s
b 0 (c b , c o b o , c s b s ) o , s
co a ,sb a b a 0b 0 |a | |||b | ||
ca c o b o c sa c s o b o c sa c s o b 。 o ss
二. 向量的向量积 • 向量的向量积的概念. • 向量的向量积的性质. • 向量的向量积的坐标形式.
1. 向量的向量积的概念 向量积的物理模型
力矩的大小＝力 力的 臂大 的小 长度 方向: 由力臂到力符合右则 手法
设力 F作用于杠杆 P处 上 , 点O
( a b ) ( c d ) a ( c d ) b ( c d )
a c a d b c b d
( a b ) ( a b ) ( a b ) ( a ( b )) a a a ( b ) b a b ( b ) a ( b ) | a a | ||a |b p ||p |a ( a r b b r )jj a a 2 2 b a 2 。 b b a b 2
b c 0 ( 5 ) 3 1 1 ( 3 ) 0 。 (bc) pb r a j|a b | b | | 0 2 3 1 2 1 2 1 1。 0 pa r b j|a a | b | | 4 2 ( 1 1 )2 2 2 1 2。 1
问
位于坐标面上的量非的零特向征是什么？
2. 向量的数量积的性质
性质 1
a b b a (交换 ) 律
证 由数量积的定,义得
a b |a ||b ||c | a o , b ,s b a |b ||a ||c | b o , a ,s 因 c a o , b 为 s c b o , a ,所 s 以

向量场的点乘
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS

c
与向量
(a
c )b
(b
c )a
证垂直[(a.
c
)b
(b
c )a ]
c
[(a c )b c (b c )a c]
(b c)[a c a c]
0
[(a c)b (b c)a]c
高等数学(下册)
二、两向量的向量积
实例 设 O为一根杠杆 L的支点，有一力 F
作用于这杠杆上 P点处．力 F与OP的夹角为
a b axbx ayby azbz .
4.叉积:
i jk
模：a b a b sin
a b ax ay az .
方向：a, b,a b符合右手系
bx by bz
高等数学(下册)
二、 向量关系:
1.二向量平行
a // b a b 0. ax ay az .
2.二向量垂直
.
证 0, a a | a || a | cos | a |2 .
(2)
证
ab ()
0
a
b
ab .
0, | a |
() caosb,0,即
0, | b
= ,
| 0, ab .
2
, cb | cos
0.
高等数学(下册)
数量积符合下列运算规律：
（1）交换律：
bx by bz
a b a b 0.
axbx ayby azbz 0.
3.与a,b同时垂直的向量可取作 n a b.
高等数学(下册)
思考题
已 证知 明|向a量 ab
|2
0 ，b
|
a
|2
|b0|2，(a
b
)

混合积
混合积在解析几何中可以用于表示向量的旋 转和缩放。例如，在三维空间中，混合积可 以用来计算三个向量的旋转角度和缩放因子。
在物理学中的应用
向量积
在物理学中，向量积可以用于描述矢量场中的矢量线。 例如，在电磁学中，向量积可以用来计算磁场中的矢量 线。
混合积
在物理学中，混合积可以用于描述物体的转动惯量。例 如，在刚体动力学中，混合积可以用来计算刚体的转动 惯量。
性质
混合积为标量，其值与三个向量的顺序有关，但与向量的排列顺序无关。
几何意义
几何意义
向量$mathbf{a}$、$mathbf{b}$、 $mathbf{c}$的混合积等于以这三个向量 为邻边的平行六面体的体积。
VS
特殊情况
当其中一个向量是零向量时，混合积为零 ；当两个向量共线时，混合积为零。
运算性质
交换律
$(mathbf{a}, mathbf{b}, mathbf{c}) = (mathbf{c}, mathbf{b}, mathbf{a})$
分配律
$(mathbf{a} + mathbf{b}, mathbf{c}, mathbf{d}) = (mathbf{a}, mathbf{c}, mathbf{d}) + (mathbf{b}, mathbf{c}, mathbf{d})$
运算性质
要点一
分配律
$mathbf{A} times (mathbf{B} + mathbf{C}) = mathbf{A} times mathbf{B} + mathbf{A} times mathbf{C}$。
要点二
结合律
$(mathbf{A} + mathbf{B}) times mathbf{C} = mathbf{A} times mathbf{C} + mathbf{B} times mathbf{C}$。

记做 abc 或a,b,c 或abc .
特别地，当 a b 时，即 aa c 0 或 a,a,c 0.
二、混合积的几何意义
定理 1.9.1 三个不共面向量 a,b, c 的混合积的绝 对值等于以 a,b, c 为棱的平行六面体的体积V ，并 且当 a,b, c 构成右手系时混合积是正数；当a,b, c 构 成左手系时，混合积是负数，
•§1.9 三向量的混合积
一、混合积的概念 二、混合积的几何意义 三、混合积的性质 四、混合积的坐标表示
数的乘法
向量的数量积 向量的向量积
abba
abba
abba
a babab a b a b a b a b a b a b
abcacbc
abcacbc
abcacbc
h
c
b
a
由数量积的定义（ab）c ab c cos S c cos， ab，c
当{O；a，b，c}成右手系时，0 ，h c cos，
2 （ab）c Sh V.
当{O；a，b，c}成左手系时，
，h c co（s ）
2
c cos，
（ab）c Sh V.
ab
h
.
c
2
aa a
2
2
aaa a
aa＝0
a b 0 a 0 或 b 0 a b 0 a 0 或 b 0a b 0 a 0 或 b 0
a ba c bc
a b a c b c a b a c b c
一、混合积的概念
定义 1.9.1 给定空间三个向量 a,b, c ，如果先作前两个 向量 a 与 b 的向量积，再作所得的向量与第三个向量 c 的 数量积，最后得到的这个数叫做三向量 a,b, c 的混合积，