四边形外心与内心的拓广欧拉定理
金鸣
人们熟知三角形的外接圆与内切圆的欧拉定理：外接圆圆心与内切圆圆心的距离d: d2=R2-2Rr。本文将给出四边形的外接圆心与内切圆心的距离d：d2=R2-2r2，称之为四边形外接圆与内切圆的拓广欧拉定理。应用类似方法可导出任意多边形的外接圆圆心与内切圆圆心的广义欧拉定理。
【关于四边形外接圆与内切圆的拓广欧拉定理】
设四边形ABCD有外接圆O（半径为R）与内切圆Q（半径为r）。那么，其外接圆圆心O与内切圆圆心Q的距离d:
d2=R2-2r2。
【证明】由无妨设点AQOB在同一直线上。令d=OQ。
人生定律大全 人生定律大全 一、31 个生活中的定律 1、巴莱多定律：在任何一组东西中，最重要的只占其中一小部分，约20%，其余80%的尽管是多数，却是次要的。因此又称二八定律（也叫二八法则）。是19 世纪末20 世纪初意大利经济学家巴莱多发明的。 2、墨菲定律：事情如果有变坏的可能，不管这种可能性有多小，它总会发生。最简单的表达形式是越怕出事，越会出事。墨菲定律是美国的一名工程师爱德华?墨菲作出的著名论断，如果有两种选择，其中一种将导致灾难，则必定有人会作出这种选择。
3、约拿情结：渴望成长却又因为某些内在阻碍而害怕成长的畏惧心理拿情 结”( Jonah complex )是美国著名心理学家马斯洛提出的一个心理学名词。简单地说，“约拿情结”就是对成长的恐惧。 4、刺猬效应：教育者与受教育者日常相处只有保持适当的距离，才能取得良好的教育效果。“刺猬效应”来源于西方的一则寓言，说的是在寒冷的冬天里，两只刺猬要相依取暖，一开始由于距离太近，各自的刺将对方刺得鲜血淋漓，后来它们调整了姿势，相互之间拉开了适当的距离，不但互相之间能够取暖，而且很好地保护了对方。 5.青蛙效应：生于忧患，死于安乐。把一只青蛙扔进开水里，它因感受到巨大的痛苦便会用力一蹬，跃出水面，从而获得生存的机会。当把一只青蛙放在一盆温水里并逐渐加热时，由于青蛙已慢慢适应了那惬意的水温，所以当温度已升高到一定程度时，青蛙便再也没有力量跃出水面了。于是，青蛙便在舒适之中被烫死了。 6、马太效应：指强者愈强、弱者愈弱，多的愈多，少的愈少的现象，广泛应用于社会心理学、教育、金融以及科学等众多领域。其名字来自圣经 《新约?马太福音》中的一则寓言：“凡有的，还要加给他叫他多余； 没有的，连他所有的也要夺过来。”“马太效应”与“平衡之道”相悖，与二八定则”有相类之处，是十分重要的自然法则
9.10研究性多面体欧拉定理的发现(一) 教学目的： 1.了解多面体与简单多面体的概念、发现欧拉公式. 2.培养学生发现问题、探究问题、归纳总结能力. 教学重点：欧拉公式的发现过程. 教学难点：欧拉定义及其证明. 授课类型：新授课. 课时安排：3课时. 教具：多媒体、实物投影仪. 内容分析： 本节为研究性课题.通过研究欧拉定理的发现过程，让学生了解欧拉公式及其简单应用，扩大学生的知识面，培养学生学习数学的兴趣. 教学过程： 一、复习引入： 1.欧拉生平事迹简说：欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家.1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝.（详细资料附后） 2.多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．3．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体． 4．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等. 二、讲解新课： 1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面.如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体. 说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体.
⑹ 发现：它们的顶点数V 、面数F 及棱数E 有共同的关 系式：2V F E +-=． 上述关系式对简单多面体都成立. 3.欧拉公式的探究 1．请查出图⑹的顶点数V 、面数F 、和棱数E ，并计算V ＋F －E ＝6+6-10=2 2．查出图⑺中的顶点数V 、面数F 、和棱数E ，并验证上面公式是否还成立？ 3.假如图⑸→图⑻的多面体表面是像皮膜，向内充气则⑸⑹将变成一个球面，图⑺将变成两个紧贴的球面，图⑻将变成一个环面. 可以验证：只有像⑸⑹这样，经过连续变形，表面能变为一个球面的多面体才满足公式V ＋F －E ＝2.这个公式称为欧拉公式，这样的多面体称为简单多面体. 4．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 有关系式： 2V F E +-=． 证明:(方法一 ) (10) D D ⑴如图⑽：将多面体的底面ABC DE 剪掉，抻成平面图形，其顶点、棱数，面数（剪掉面用右图中ABC DE 表示）均没有变，故所有面的内角总和不变. ⑵设左图中共有F 个面，分别是12,,,F n n n 边形，顶点数为V ，棱数为E,则122F n n n E +++=. 左图中，所有面的内角总和为 ?-++?-+?-180)2(180)2(180)2(21F n n n ＝?-+++180)2(21F n n n F ＝?-180)22(F E ()360E F =-? ⑶右图中，所有面的内角总和为 V 360V 2180V 2180()????下下上＋（－）＋（－）剪掉的底面内角和 ＝0V V 2360(2)360V ?=-上上（＋－）
前言世界是纷繁复杂的，很多事情我们虽然习以为常，但并不了解其真相，我们需要用一些理论来揭示事物运行的逻辑规律，推演命运发展的因果关系。我们更需要用一些理论来指导我们的生活和工作，以使我们的生活更加美好，工作更加顺利。 世界上许多神奇的人生定律、法则、效应，运用这些神奇的理论，我们可以解释人生中的诸多现象，使我们能洞悉世事；更重要的是，这些理论能指导我们如何去做，如何去改变我们的命运。不管你是否知道这些定律法则，这些法则和定律都在起着决定性的作用只是我们很少去关注它们。古今中外，那些伟大的成功者，都深谙这些法则与定律的奥妙所在。无论我们是谁，无论我们从事什么职业，我们都需要知道这些法则和定律。 为什么很多人感觉自己工作很尽力，却没有达到预期的效果或者收效甚微？这个问题可以用二八法则来解释：通常我们所做的工作80%都是无用功，只有20%是产生收效的。如何避免这种情况的发生？二八法则告诉我们，要把主要精力放在20%的工作上，让其产生80%的收效。此外，我们还可以用奥卡姆剃刀定律来分析和解决这个问题。奥卡姆剃刀定律认为，在我们做过的事情中，可能绝大部分是毫无意义的，真正有效的活动只是其中的一小部分，而它们通常隐含于繁杂的事物中。找到关键的部分，去掉多余的活动，成功就由复杂变得简单了。 为什么很多人情绪低迷，毫无斗志，乃至平庸一生？这个问题可以用马蝇效应来解释和解决。马蝇效应认为，没有马蝇叮咬，马就会慢慢腾腾，走走停停；如果有马蝇叮咬，马就不敢怠慢，跑得飞快。也就是说，人是需要一根鞭子的，只有被不停地抽打，才不会松懈，才会努力拼搏，不断进步。这根鞭子是压力，是挫折和困难，是危机意识。这一解释不仅适用于个人，同样也适用于企业管理。 为什么同样的两件商品放在一起，一件标价100元，另一件标价1000元，反而1000元的那件商品畅销？这个问题可以用凡勃伦效应来解释。凡勃伦效应认为，一件商品的价格定得越高，就越能受到消费者的注意与青睐。其实，消费者购买这类商品的目的，并不仅仅是为了获得直接的物质满足和享受，更大程度上是为了获得心理上的满足。凡勃伦效应同时告诉我们：不要被事物的外表所蒙蔽，要警惕事物的华而不实，防止花费与收益出现严重偏差。 为什么算命先生有时说得那么准？难道他们真的有未卜先知的能力吗？当然不是。这个问题可以用巴纳姆效应来解释：人常常迷失在自我当中，很容易受到周围信息的暗示，并把他人的言行作为自己行动的参照，常常认为一种笼统的、一般性的人格描述十分准确地揭示了自己的特点。也就是说，算命先生所说的话一般是共性的，即这些话对谁说都能有一定的准确性。人在那种特殊的情况下，就会在无形中把被说中的部分扩大了，所以会感觉很准。对此，巴纳姆效应告诉我们：要认识你自己，要相信你自己，树立科学的人生观，才不会被一些骗子所迷惑。 本书中共介绍了破窗理论、彼得原理、手表定律、羊群效应、二八法则、木桶定律、凡勃伦效应、蝴蝶效应等30个最经典的人生定律、法则、效应。在简单地介绍了每个法则或定律的来源和基本理论后，就如何运用其解释人生中的现象并指导我们的工作和生活等进行了
欧拉定理 认识欧拉 欧拉，瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了47年。欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作：他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。即使在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。欧拉永远是我们可敬的老师。欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。19世纪伟大的数学家高斯（Gauss，1777-1855）曾说过“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等，至今沿用。欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问题，还解决了使牛顿头痛的月离问题。对著名的“哥尼斯堡七桥问题”的完美解答开创了“图论”的研究。欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总有关系V+F-E=2，此式称为欧拉公式。V+F-E 即欧拉示性数，已成为“拓扑学”的基础概念。那么什么是“拓扑学”？欧拉是如何发现这个关系的？他是用什么方法研究的？今天让我们沿着欧拉的足迹，怀着崇敬的心情和欣赏的态度探索这个公式...... 初等数论中的欧拉定理
___五个有趣的人生定律人生感悟 ___五个有趣的人生定律人生感悟 01、苹果定律 如果一堆苹果，有好有坏，你就应该先吃好的，把坏的扔掉，如果你先吃坏的，好的也会变坏，你将永远吃不到好的，人生亦如此。 02、快乐定律 遇事只要你往好处想你就会快乐，就像你如果掉进沟里，你都可以设想说不定刚好有一条鱼钻进你的口袋。 03、幸福定律 如果你不是总是在想自己是否是幸福的时候，你就幸福了。 04、错误定律 人人都会有过失，但只有在重复这些过失的时候，你才犯了错误。
05、沉默定律 在争辩的时候，最难辩倒的观点就是沉默。 06、动力定律 动力往往两种原因，希望或绝望。 07、受辱定律 受辱时的唯一办法就是忽视它，不能忽视它，就藐视它，如果能藐视它也不能，你就只有受辱了。 08、愚蠢定律 愚蠢大多数是在手脚或嘴比大脑行动还快地时候产生的。 09、价值定律 当你拥有某一项东西的时候，你就会发现这种东西并不像你原来所想的那样有价值。
10、化妆定律 在化妆上所花的时间有多少，就表示你自认为要掩饰的缺点有多少。 11、省时定律 如果你一开始就想节省时间，结果是反而要多花数倍的`时间。 12、承诺定律 承诺未必可以保证一定做到，但是如果你没有做出承诺，就算你做到了也没有价值。 13、地位定律 有人站在山脚下，而有人站在山顶上，虽然所处的位置不一样，在两人的眼里的对方却是同样大小。 14、混乱定律
如果你在遇上麻烦时，还是那样谨小慎微，那麻烦就会变成混乱。 15、失败定律 失败并不意味着浪费时间和生命，而往往意味着你可能更好地拥有时间和生命。 16、谈话定律 最使人厌烦的谈话有两种，一是从来不停下来想想，另一种是从来不想停下来。 17、误解定律 被某一个误解，麻烦并不大，被许多人误解了，麻烦就很大了。 18、会议定律 所有重要的决策都是在会议结束或午餐前最后五分钟完成。 19、危难定律
欧拉定理及其应用 欧拉函数phi(m)表示小于等于|m|的自然数中，和m互质的数的个数。 phi(m)=mΠ(1-1/p)//《算法导论》第531页 p|m 证明：若m为一素数p，则phi(m)=p-1。 若m为合数，存在p，使m=pd。 1、若p整除d，对任意a，(a, d) = 1，//注意a属于[1,d)那么(a + d, d) = 1， (a + d, p) = 1， 所以(a + d, m) = 1，所以(a + kd, m) = 1，k = 0, 1, 2, ... , p - 1， 所以phi(m) = p phi(d)。//则有任意和d互质的数加上kd继续互质，所以共有p*phi(d)个 2、若p不能整除d，那么(p, d) = 1，在小于|m|的自然数里，和d互质的有p phi(d)个， 其中phi(d)个是p的倍数，所以phi(m) = (p - 1) phi(d)。//显然，除d、2d、3d……pd能整除外，其余都不能整除 由数学归纳法得到结论。 欧拉定理：如果(a, m) = 1，那么a ^ phi(m) = 1 (mod m)。//可以参考《算法导论》 证明：设R(m) = {r[1], r[2], ... , r[phi(m)]}为和m互质的数的等价类的集合。 那么有(ar[i], m) = 1，ar[i] = ar[j]当且仅当i = j。 所以aR(m) = {ar[i]} = R(m)，a ^ phi(m) Πr[i] = Πar[i] = Πr[i] (mod m)，a ^ phi(m) = 1 (mod m)。 欧拉定理的一个重要意义就是计算a ^ b mod m的时候，若b是一个很大的数时，可以化成a ^ (b mod phi(m)) mod m来计算，明显地，b mod phi(m)是一个比较小的数。 当(a, m)≠1时，设对m分解质因数得到m = Πpi ^ ri，d = (a, m)，m = m1 * m2， 其中m1 = Πpi ^ri，那么(m1, m2) = 1，(a, m2) = 1， pi|d 所以a ^ phi(m2) = 1 (mod m2)。 由欧拉函数的计算公式可以得知phi(m2)|phi(m)，所以a ^ phi(m) = 1 (mod m2)。对任意i，pi|d，都有phi(m) >= log m >= ri，所以m1|d ^ phi(m)，m1|a ^ phi(m)。由于(m1, m2) = 1，所以存在整数r，0 < r < m，r = 1 (mod m2)，r = 0 (mod m1)， 有a ^ phi(m) = r (mod m)。 显然，a ^ 2phi(m) = 1 (mod m2)，a ^ 2phi(m) = 0 (mod m1)，
假如我是欧拉…… ——多面体欧拉定理的发现 一、教学目的 1、了解欧拉公式，并体现公式的发现过程。 2、进一步让学生体会多面体的三种基本量：点、线、面是立体几何的主要研究对象； 3、通过体验欧拉公式的发现过程，培养学生自主学习的能力； 4、让学生再次体验几何体的美； 5、在情感上培养学生换位思考方式及理解伟人的坚韧不拔的精神。 二、教学重点 1、体验欧拉公式的发现过程及再次认识组成多面体的基本量：点、线、面； 2、让学生在体验过程中培养学生自主学习的能力。 三、教学难点：学生在发现过程中体验到数学思想和方法。 四、教学过程
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教案设计说明 本节课设计为“研究性学习课题”。以介绍伟人欧拉的生平作为引入，激发学生学习欧拉公式的兴趣；利用换位思考的形式，让学生假设自己是欧拉，通过一系列问题设计：怎样产生问题——怎样研究问题——怎样完善结论——应用，引导学生进行探究，在探究过程中，亲身体验欧拉公式的发现过程；最后对整个过程进行反思，让知识在反思中得到升华。 本节课这样设计的目的是在知识上，让学生了解欧拉公式，体会欧拉公式给出的是等量关系，这个等量关系刻划的是多面体的拓扑不变性，初步了解拓扑学；并在探究的过程中让学生不断体会到欧拉公式给出的是多面体的顶点数、面数、棱数这三者的数量关系，从而进一步让学生明确多面体的三个基本量：点、线、面。 在情感上，本节课以介绍伟人欧拉的生平作为引入，目的在于让学生了解欧拉，体会欧拉坚韧不拔的精神。并且让学生假设自己是欧拉，重走欧拉公式的发现历程，进一步激发学生探究的兴趣，同时培养学生换位思考的方式。 在能力上，采用换位思考的方式，让学生假设自己是欧拉，引导学生进行探究，让学生在每一个问题的探究中获取更多的思想和方法。其中问题一：怎样产生这一想法的解决，让学生通过独立思考、交流讨论和发表见解等形式，领悟到提出问题的重要性，培养学生要问——好问——善问的良好习惯，并从中体会到数学中类比和归纳的思想。通过前面三大问题的设置：怎样产生问题——怎样研究问题——怎样完善结论，让学生体会得出研究问题的方式方法：提出问题——归纳——猜想——论证，并且培养学生严谨的治学态度。最后问题四的解决，使学生对整个过程进行一个回顾，进行反思和总结，老师对学生的反思总结进行整理和升华，让学生意识到学习中反思和总结的重要性，并最终体会到自主学习的重要性。
生活中30个有趣的人生定律 生活中总有快乐和不快乐的事情发生，快乐的生活也是一辈子，不快乐的生活也是一辈子，为什么不选择快乐的生活呢。关键是心态要乐观健康，认真读一下这30个有趣的人生定律，说不定你会快乐起来。01：苹果定律 如果一堆苹果，有好有坏，你就应该先吃好的，把坏的扔掉，如果你先吃坏的，好的也会变坏，你将永远吃不到好的，人生亦如此。 02：快乐定律 遇事只要你往好处想你就会快乐，就像你如果掉进沟里，你都可以设想说不定刚好有一条鱼钻进你的口袋。 03：幸福定律 如果你不是总是在想自己是否是幸福的时候，你就幸福了。 04：错误定律 人人都会有过失，但只有在重复这些过失的时候，你才犯了错误。 05：沉默定律 在争辩的时候，最难辩倒的观点就是沉默。 06：动力定律 动力往往来源于两种原因，希望或绝望。 07：受辱定律 受辱时的唯一办法就是忽视它，不能忽视它，就藐视它，如果能藐视它也不能，你就只有受辱了。 08：愚蠢定律 愚蠢大多数是在手脚或嘴比大脑行动还快地时候产生的。 09：价值定律 当你拥有某一项东西的时候，你就会发现这种东西并不像你原来所想的那样有价值。10：化妆定律 在化妆上所花的时间有多少，就表示你自认为要掩饰的缺点有多少。 11：省时定律
如果你一开始就想节省时间，结果是反而要多花数倍的时间。 12：承诺定律 承诺未必可以保证一定做到，但是如果你没有做出承诺，就算你做到了也没有价值。13：地位定律 有人站在山脚下，而有人站在山顶上，虽然所处的位置不一样，在两人的眼里的对方却是同样大小。 14：混乱定律 如果你在遇上麻烦时，还是那样谨小慎微，那麻烦就会变成混乱。 15：失败定律 失败并不意味着浪费时间和生命，而往往意味着你可能更好地拥有时间和生命。 16：谈话定律 最使人厌烦的谈话有两种，一是从来不停下来想想，另一种是从来不想停下来。 17：误解定律 被某一个误解，麻烦并不大，被许多人误解了，麻烦就很大了。 18：结局定律 有一个可怕的结局，也比没有任何结局要好。 19：升迁定律 仕入官场，每升一级，人情味就减一份。 20：升值定律 出口转内销，就可以升值，连**都是这样。 21：游戏定律 无论你保龄球打得多“菜”，每次往都可能有一两次全中，令你满意，高兴的下次再来。22：人生定律 拼命想得到的东西，都不是真正最需要的。 23：旅游定律 没有比记忆中更好的风景，所以最好不要故地重游。 24：金钱定律 它不是万能，但是没有它万万不能。 25：财务定律 支票总是姗姗来迟，而帐单总是提前来到。
§4 欧拉定理·费马定理及其对循环小数的应用 欧拉定理及费马定理是数论中非常重要的两个定理，它们在数论中的应用非常广泛。本节应用简化剩余系的理论，推出欧拉定理，再由欧拉定理，推出费马定理。最后还要把欧拉定理应用于循环小数。 定理1（欧拉定理） 设()1,,1m a m >=，则 ()()1mod .m a m ?≡ 证 设()12,, ,m r r r ?是模m 的一个简化剩余系， 因(),1a m =，故()12,, ,m ar ar ar ?也是模m 的一个简化剩余系. 于是， ()() ()()()()()()()()()()1212 12 12 mod , mod , 1mod . m m m m m m ar ar ar r r r m a r r r r r r m a m ??????≡≡≡ 推论（费马定理）若p 是质数，则对任意整数a ，总有 ()mod .p a a p ≡ 证 因p 为质数，故(),1a p =或.p a 若(),1,a p =则由()1p p ?=-及欧拉定理得 ()()1 1mod ,mod .p p a p a a p -≡≡ 若p a ，则显然有()mod .p a a p ≡ 以上两个定理对数论的应用是非常多的。下面仅说明欧拉定理对无限循环小数的应用。 任何一个有理数都可以表示为 a b ，这里,a b 都为整数，且0a >。由带余除法，存在整数(),0q r r b ≤<使得b aq r =+，故 ,0 1.a bq r r r b b b b b +==+≤< 故以下只讨论开区间()0,1中的分数与小数互化。 若对无限小数12 0.,n a a a （i a 是0,1, ,9中的一个数码，1,2,,i =并且从任何一 位以后不全是0）来说，存在非负整数s 及正整数t 使得，对任意正整数1n s ≥+，都有 n n t a a +=，则该无限小数可以写为
[编辑本段] 欧拉定理 1、初等数论中的欧拉定理： 对于互质的整数a和n，有a^φ(n) ≡ 1 (mod n) 证明： 首先证明下面这个命题： 对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n且与n互素的数，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)} 则S = Zn 1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于p互质，因此 任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素 2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj 则a*xi(mod n) ≠ a*xi(mod n)，这个由a、p互质和消去律可以得出。 所以，很明显，S=Zn 既然这样，那么 （a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n) = （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n) = （x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n) 考虑上面等式左边和右边 左边等于(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n) 右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n) 而x1 × x2 × ... × xφ(n)(mod n)和n互质 根据消去律，可以从等式两边约去，就得到： a^φ(n) ≡ 1 (mod n) 推论：对于互质的数a、n，满足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n) 费马定理: a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p) 证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。 同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有a^p ≡ a (mod p) 2、平面几何里的欧拉定理： （1）(Euler定理)设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d2=R2-2Rr． 证明：如右下图，O、I分别为⊿ABC的外心与内心．
研究性课题：多面体欧拉定理的发现 第一课时欧拉定理（一） 教学目标： （一）教学知识点 1.简单多面体的V、E、F关系的发现. 2.欧拉公式的猜想. 3.欧拉公式的证明. （二）能力训练要求 1.使学生能通过观察具体简单多面体的V、E、F从中寻找规律. 2.使学生能通过进一步观察验证所得的规律. 3.使学生能从拓扑的角度认识简单多面体的本质. 4.使学生能通过归纳得出关于欧拉公式的猜想. 5.使学生了解欧拉公式的一种证明思路. （三）德育渗透目标 1.通过介绍数学家的业绩，培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索的科学研究精神、激发学生对科学的热爱和对理想的追求. 2.培养学生寻求规律、发现规律、认识规律，并利用规律解决问题的能力. 教学重点欧拉公式的发现. 教学难点使学生从中体会和学习数学大师研究数学的方法. 教学方法指导学生自学法 首先通过问题1利用具体实物，从观察入手，培养学生对简单多面体V、E、F关系的感性认识从中寻找规律，问题2让学生作进一步观察、验证得出规律，问题3让学生在认识简单多面体的基础上，通过归纳，得出关于欧拉公式的猜想，再通过问题4让学生了解欧拉公式的证明思路，即从理论上探索对发现规律的证明. 以上4个问题逐步深入地展开，旨在不仅使学生在知识上有新的收获，同时应体会和学习研究数学的思想和方法. 教学过程 情境设置 欧拉瑞士著名的数学家，科学巨人，师从数学家约翰·伯努利，有惊人的记忆力，是数学史上的最多产的数学家，他所写的著作达865部（篇），28岁右眼失明，1766年，左眼又失明了，1771年，圣彼得堡一场大火，秧及欧拉的住宅，欧拉虽然幸免于难，可他的藏书及大量的研究成果都化为灰烬。种种磨难，并没有把欧拉搞垮。大火以后他立即投入到新的创作之中。资料被焚，他又双目失明，在这种情况下，他完全凭着坚强的意志和惊人的毅力，回忆所作过的研究。他总是把推理过程想得很细，然后口授，由他的长子记录。他用这种方法又发表了论文４００多篇以及多部专著，这几乎占他全部著作的半数以上，欧拉从19岁开始写作，直到逝世，留下了浩如烟海的论文、著作，甚至在他死后，他留
如果一堆苹果，有好有坏，你就应该先吃好的，把坏的扔掉。如果你先吃坏的，好的也会变坏，你将永远吃不到好的。人生亦如此。 01：苹果定律 如果一堆苹果，有好有坏，你就应该先吃好的，把坏的扔掉，如果你先吃坏的，好的也会变坏，你将永远吃不到好的，人生亦如此。 02：快乐定律 遇事只要你往好处想你就会快乐，就像你如果掉进沟里，你都可以设想说不定刚好有一条鱼钻进你的口袋。 03：幸福定律 如果你不是总是在想自己是否是幸福的时候，你就幸福了。 04：错误定律 人人都会有过失，但只有在重复这些过失的时候，你才犯了错误。 05：沉默定律 在争辩的时候，最难辩倒的观点就是沉默。 06：动力定律 动力往往来源于两种原因，希望或绝望。 07：受辱定律 受辱时的唯一办法就是忽视它，不能忽视它，就藐视它，如果能藐视它也不能，你就只有受辱了。 08：愚蠢定律 愚蠢大多数是在手脚或嘴比大脑行动还快地时候产生的。 09：价值定律 当你拥有某一项东西的时候，你就会发现这种东西并不像你原来所想的那样有价值。 10：化妆定律 在化妆上所花的时间有多少，就表示你自认为要掩饰的缺点有多少。
如果你一开始就想节省时间，结果是反而要多花数倍的时间。 12：承诺定律 承诺未必可以保证一定做到，但是如果你没有做出承诺，就算你做到了也没有价值。 13：地位定律 有人站在山脚下，而有人站在山顶上，虽然所处的位置不一样，在两人的眼里的对方却是同样大小。 14：混乱定律 如果你在遇上麻烦时，还是那样谨小慎微，那麻烦就会变成混乱。 15：失败定律 失败并不意味着浪费时间和生命，而往往意味着你可能更好地拥有时间和生命。 16：谈话定律 最使人厌烦的谈话有两种，一是从来不停下来想想，另一种是从来不想停下来。 17：误解定律 被某一个误解，麻烦并不大，被许多人误解了，麻烦就很大了。 18：会议定律 所有重要的决策都是在会议结束或午餐前最后五分钟完成。 19：危难定律 总是问题越复杂，期限就越短。 20：合作定律 一个人花一个小时可以做好的事情，两个人就要两个小时。 21：游戏定律 无论你保龄球打得多“菜”，每次往都可能有一两次全中，令你满意，高兴的下次再来。
欧拉公式的应用 绪论 本文首先介绍了一下欧拉公式以及推广的欧拉公式，对欧拉公式的特点作了简要的探讨．欧拉公式形式众多，在数学领域内的应用范围很广，本文对欧拉公式在三角函数中的应用作了详细的研究，欧拉公式在求三角级数中的应用中、在证明三角恒等式时、解三角方程的问题时、探求一些复杂的三角关系时，可以避免复杂的三角变换，利用较直观的代数运算使得问题得到解决．另一方面,利用欧拉公式大降幂，能够把高次幂的正余弦函数表示为一次幂函数的代数和,克服了高次幂函数在运算上的不方便． 关键词：欧拉公式三角函数降幂级数三角级数
目录 绪论......................................错误！未定义书签。目录......................................错误！未定义书签。 一、绪论 (1) 二、欧拉公式的证明、特点、作用 (1) 三、欧拉公式在三角函数中的应用 (4) (一) 倍角和半角的三角变换 (4) (二) 积化和差与差化积的三角变换 (4) (三) 求三角表达式的值 (5) (四) 证明三角恒等式 (6) (五) 解三角方程 (7) (六) 利用公式求三角级数的和 (7) (七) 探求一些复杂的三角关系式 (8) (八) 解决一些方程根的问题 (9) (九) 欧拉公式大降幂 (10) 结束语 (15)
一、绪论 欧拉公式形式众多，有多面体欧拉公式、欧拉求和公式、cos sin i e i θθθ=+、欧拉积分等多种形式、立体几何、工程方面等方面．由于欧拉公式有多种形式，在数学领域中的应用范围很广，本文只介绍欧拉公式的一种形式“cos sin i e i θθθ=+”以及这种形式在数学中的应用． 二 、欧拉公式的证明、特点、作用 1748年，欧拉在其著作中陈述出公式cos sin i e i θθθ=+，欧拉公式在数学的许多定理的证明和计算中，有着广泛的应用．它将定义和形式完全不同的指数函数和三角函数联系起来，为我们研究这两种函数的有关运算及其性质架起了一座桥梁．同时我们知道三角函数的恒等变换是中学数学中的一个重要内容，也是一个难点，但由于三角恒等变换所用公式众多，这便给解决三角变换问题带来了诸多不便．下面将通过欧拉公式，将三角函数化为复指数函数，从而将三角变换化为指数函数的代数运算，从而使得问题简单化，并给出了欧拉公式在其它几个方面的应用，在高等数学中的部分应用． 欧拉公式cos sin i e i θθθ =+它的证明有各种不同的证明方法，好多《复变 函数》教科书上，是以复幂级数为工具，定义复变指数函数和复变三角函数来进行证明的．下面我们介绍一种新的证明方法：极限法． 证明 令()1n f z i n θ?? =+ ??? (),R n N θ∈∈． 首先证明 ()lim cos sin n f z i θθ→∞ =+． 因为 arg 1n i narctg n n θθ?? ?? += ? ????? ， 所以 2 2 211cos sin n n i i narctg i narctg n n n n θθθθ????????? ?+=++ ? ? ? ???????? ?????． 从而2 2 2lim 1lim 1cos sin n n n n i narctg i narctg n n n n θθθθ→∞→∞????????? ?+=++ ? ? ? ???????? ?????．
首页男人频道实用软件精彩游戏创意新鲜美化素材电影视频电子书籍留下足迹异次元软件世界找文件 - 网盘搜索引擎你的位置:iPc 首页 > 全部文章 > 感性主义 > 阅读文章268元秒杀iPhone4! 168元秒杀iPad 16G! 30个有趣的人生定律,值得你一看! [ 感性主义 ] 前几天看了一篇文章挺不错的,让我这几天一直都在回味着,所以就转载给大家,让大家跟着我一起分享,分享那文字中给予 我们的快乐,让我们每个人从自己的悲观走出步入欢乐的世界。相信我,准没错! 生活中总有快乐和不快乐的事情发生,快乐的生活也是一辈子,不快乐的生活也是一辈子,为什么不选择快乐的生活呢。关键 是心态要乐观健康,认真读一下这30个有趣的人生定律,说不定你会快乐起来。 01:苹果定律 如果一堆苹果,有好有坏,你就应该先吃好的,把坏的扔掉,如果你先吃坏的,好的也会变坏,你将永远吃不到好的,人生亦如此。 02:快乐定律 遇事只要你往好处想你就会快乐,就像你如果掉进沟里,你都可以设想说不定刚好有一条鱼钻进你的口袋。 03:幸福定律 如果你不是总是在想自己是否是幸福的时候,你就幸福了。 04:错误定律 人人都会有过失,但只有在重复这些过失的时候,你才犯了错误。
05:沉默定律 在争辩的时候,最难辩倒的观点就是沉默。 06:动力定律 动力往往来源于两种原因,希望或绝望。 07:受辱定律 受辱时的唯一办法就是忽视它,不能忽视它,就藐视它,如果能藐视它也不能,你就只有受辱了。 08:愚蠢定律 愚蠢大多数是在手脚或嘴比大脑行动还快地时候产生的。 09:价值定律 当你拥有某一项东西的时候,你就会发现这种东西并不像你原来所想的那样有价值。 10:化妆定律 在化妆上所花的时间有多少,就表示你自认为要掩饰的缺点有多少。 11:省时定律 如果你一开始就想节省时间,结果是反而要多花数倍的时间。 12:承诺定律 承诺未必可以保证一定做到,但是如果你没有做出承诺,就算你做到了也没有价值。 13:地位定律
,三sān ,十shí,个gè,有yǒu ,趣qù,的de ,人rén ,生shēng ,定dìng ,律lǜ 生活中总有和不快乐的事情发生，快乐的生活也是一辈子，不快乐的生活也是一辈子，为什么不选择快乐的生活呢。关键是心态要乐观健康，认真读一下这，说不定你会快乐起来。 01：苹果定律 如果一堆苹果，有好有坏，你就应该先吃好的，把坏的扔掉，如果你先吃坏的，好的也会变坏，你将永远吃不到好的，人生亦如此。 02：快乐定律 遇事只要你往好处想你就会快乐，就像你如果掉进沟里，你都可以设想说不定刚好有一条鱼钻进你的口袋。 03：幸福定律 如果你不是总是在想自己是否是幸福的时候，你就幸福了。 04：错误定律 人人都会有过失，但只有在重复这些过失的时候，你才犯了错误。 05：沉默定律 在争辩的时候，最难辩倒的观点就是沉默。 06：动力定律 动力往往来源于两种原因，希望或绝望。
07：受辱定律 受辱时的唯一办法就是忽视它，不能忽视它，就藐视它，如果能藐视它也不能，你就只有受辱了。 08：愚蠢定律 愚蠢大多数是在手脚或嘴比大脑行动还快地时候产生的。 09：价值定律 当你拥有某一项东西的时候，你就会发现这种东西并不像你原来所想的那样有价值。10：化妆定律 在化妆上所花的时间有多少，就表示你自认为要掩饰的缺点有多少。 11：省时定律 如果你一开始就想节省时间，结果是反而要多花数倍的时间。 12：承诺定律 承诺未必可以保证一定做到，但是如果你没有做出承诺，就算你做到了也没有价值。13：地位定律 有人站在山脚下，而有人站在山顶上，虽然所处的位置不一样，在两人的眼里的对方却是同样大小。 14：混乱定律
多面体欧拉定理的发现(1) 【教学目的】 1．理解简单多面体的定义 2．理解并熟记欧拉公式 3．会运用欧拉公式及相关知识进行计算及推理 【教学思路】 正多面体5种→认识欧拉 →拓扑变形→简单多面体概念 →研究正多面体V、F、E的关系 →欧拉定理→证明 →欧拉定理的意义 【教学过程】 1.(1) 什么叫正多面体？特征？ 正多面体是一种特殊的凸多面体，它包括两个特征： ①每个面都是有相同边数的正多边形；②每个顶点都有相同数目的棱数。 (2) 正多面体有哪几种？展示5种正多面体的模型。为什么只有5种正多面体？ 著名数学家欧拉进行了研究，发现了多面体的顶点数、面数、棱数间的关系。 2. 介绍数学家欧拉 欧拉（1707～1783）瑞士数学家，大部分时间在俄国和法国度过。他16岁获硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，并毕生研究数学，是数学史上最“高产”的数学家，在世发表700多篇论文。他的研究论著几涉及到所有数学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉还是数学符号发明者，如用f (x)表示函数、∑表示连加、i表示虚数单位、π、e等。在多面体研究中首先发现并证明了欧拉公式，今天我们沿着他的足迹探索这个公式。 3. 发现关系：V+F-E=2。是不是所有多面体都有这样的关系呢？如何去研究呢？需要观念和方法上的创新。 4.多面体拓扑变形与简单多面体的概念 考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它会连续（不破裂）变形，最后可变成一个球面。 像这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体。
5. 欧拉定理 定理 简单多面体的顶点数V 、棱数E 及面数F 间有关系 V+F-E=2 公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律 6. 定理的证明 分析：以四面体ABCD 为例。 将它的一个面BCD 去掉，再使它变为平面图 形，四面体的顶点数V 、棱数V 与剩下的面数F 1变形后都没有变（这里F 1=F-1）。因此，要研究V 、E 和F 的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可。 只需平面图形证明：V+F 1-E=1 （1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F 1-E 的值不变。例如去掉BC ，就减少一个面ABC 。同理，去掉棱CD 、BD ，也就各减少一个面ACD 、ABD ，由于V 、F 1-E 的值都不变，因此V+F 1-E 的值不变 （2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F 1-E 的值不变。例如去掉CA ，就减少一个顶点C 。同理去AD 就减少一个顶点D ，最后剩下AB 。 在以上变化过程中，V+F 1-E 的值不变， V+F 1-E=2-0-1=1， 所以 V+F-E= V+F 1-E+1=2。 对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。公式对任意简单多面体都是正确的。 7. 定理的意义（几点说明） （1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律； （2）思想方法创新训练：在定理的发现及证明过程中，在观念上，假设它的表面是橡皮薄 A B D A D B C C B B A D A D C C B B A D A D C B A
2019-2020年高中数学第一册(上)多面体欧拉定理的发现(1) 一、课题：多面体欧拉定理的发现 二、教学目标：1．了解简单多面体的概念； 2．掌握欧拉定理． 三、教学重、难点：欧拉定义及其证明． 四、教学过程： （一）欧拉生平事迹简说：欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家。1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝． （二）新课讲解： 1．简单多面体： 考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么 它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面．如图： 象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面 体，叫做简单多面体． 说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都 是简单多面体． 2．填表： 将五种正多面体的顶点数、面数及棱数分别填表： 发现：它们的顶点数、面数及棱数有共同的关系式：． 上述关系式对简单多面体都成立． 3．欧拉定理： 简单多面体的顶点数、面数及棱数有关系式：．（欧拉公式） 4．定理的证明： （方法一）以四面体为例来说明： 将它的一个面去掉，并使其变为平面图形， 四面体的顶点数、棱数与剩下的面数变形 后都没有变。因此，要研究、和的关系， 只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可． 对平面图形，我们来研究： （1）去掉一条棱，就减少一个面。例如去掉，就减少一个面． 同理，去掉棱、，也就各减少一个面 、． 由于、的值都不变，因此 的值也不变． （2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少
一个顶点。例如去掉，就减少一个顶点． 同理，去掉就减少一个顶点，最后剩下 （如图）． 在此过程中的值不变，但这时面数是，所以的值也不变。 由于最后只剩下，所以， 最后加上去掉的一个面，就得到． （方法二） 把“立体图”的面煎掉后，其余各面铺开。 展开后，各面的棱数和顶点数没有变，而多边形内角和 只与边数有关，所以多面体各个面内角总和不变。 设多面体个面，各面边数分别为，，…，， 则内角总和为12()1802180 F n n n F ++ ?-?+， 设多面体有个顶点，底面是边形，则“展开图”有个顶点在中间， 则内角总和为()180(2)180(2)180(2)360V m m m V -?+-?+-?=-?， ∴12()1802180(2)360 F n n n F V ++?-?=-?+， 又∵， ∴． 5．欧拉示性数： 在欧拉公式中令，叫欧拉示性数。 说明：（1）简单多面体的欧拉示性数． （2）带一个洞的多面体的欧拉示性数．例如：长方体挖去一个洞连结底面相应顶点得到的多面体． 6．例题分析： 例1．一个面体共有8条棱，5个顶点，求？ 解：∵，∴，∴． 例2．一个正面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求？ 解：∵，， ∴， ∴． 五、课堂练习：课本第69页 习题 第4题． 六、小结：欧拉定理及其证明． 七、作业：课本第69页 习题9.10第1题．
课题：9．10研究性课题：多面体欧拉定理的发现(一) 教学目的： 1. 了解多面体与简单多面体的概念、发现欧拉公式 2.培养学生发现问题、探究问题、归纳总结能力 教学重点：欧拉公式的发现过程 教学难点：欧拉定义及其证明 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节为研究性课题通过研究欧拉定理的发现过程，让学生了解欧拉公式及其简单应用，扩大学生的知识面，培养学生学习数学的兴趣 教学过程： 一、复习引入： 1 欧拉生平事迹简说：欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝（详细资料附后） 2多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线． 3．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体． 4．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等 二、讲解新课： 1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体
⑹ ⑸说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体 2．五种正多面体的顶点数、面数及棱数： 正多面体 顶点数V 面数F 棱数E 正四面体 4 4 6 正六面体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 正二十面体 12 20 30 发现：它们的顶点数V 、面数F 及棱数E 有共同的关系 式：2V F E +-=． 上述关系式对简单多面体都成立 3.欧拉公式的探究 1．请查出图⑹的顶点数V 、面数F 、和棱数E ，并计算V ＋F －E ＝6+6-10=2 2．查出图⑺中的顶点数V 、面数F 、和棱数E ，并验证上面公式是否还成立？ 3. 假如图⑸→图⑻的多面体表面是像皮膜，向内充气则⑸⑹将变成一个球面，图⑺将变成两个紧贴的球面，图⑻将变成一个环面。