高二数学下9多面体欧拉定理的发现教案

《奇妙的桥》教案之二教学目的：学会“妙、米、仿、入、国、车”7个生字，会认“造、纲、玻、璃、宽、吨、盐、省”8个生字。

正确、流利、有感情地朗读课文。

通过课文的学习，感受桥的奇妙，从而培养学生对科学探究的兴趣。

教学重点：1、正确掌握本课生字。

2、正确、流利、有感情地朗读课文。

3、通过课文的学习，感受桥的奇妙，从而培养学生对科学探究的兴趣。

教学难点：1、正确掌握本课生字。

2、正确、流利、有感情地朗读课文。

教学时间：三课时第一课时教学目的：学习本课生字词。

正确、流利、有感情地朗读课文。

教学重、难点：正确、流利、有感情地朗读课文教学过程：一、联系生活，导入新课课前准备：学生画自己见过的桥。

同学们，你们见过什么样的桥？（学生拿着画介绍，并贴在黑板一角。

）同学们介绍的有木头造的桥，有用石头造的桥，还有用水泥、钢铁造的桥。

我们今天要认识的桥和你们介绍的都不一样。

玻璃、纸、盐各有什么特点？（玻璃脆，易碎；纸薄，易破；盐易化。

）而这些东西却可用造桥呢？此时，你想说什么？板书课题：奇妙的桥。

二、过桥识字游戏。

背景：黑板上画一座桥，生字摆在右边。

学生自由认读生字。

同座互读，正音。

指名上来读会认的字，读对了就请生字“过桥”。

出示生字组成的词语在右边。

学生读词语，把生字和它的朋友送回家。

三、读课文，把句子读通顺。

把生字词送回课文，把课文多读几遍，读通句子。

同座互读课文，听一听课文中的句子读通顺了吗？分自然段读课文，互相评一评。

四、学习生字，指导书写学生自己识记生字“妙”。

指名生分析“妙”字的字形结构。

仔细观察“妙”字在田字格中的位置，说一说在书写时应注意哪些地方？师作示范指导，学生自己练写生字，再与范字作比较。

师选出写得较好的字全班展示。

五、选择自己最喜欢的段落，有感情地朗读。

第二课时教学目的：1、学习本课生字词。

2、正确、流利、有感情地朗读课文。

3、通过课文的学习，感受桥的奇妙，从而培养学生对科学探究的兴趣。

教学重、难点：正确、流利、有感情地朗读课文。

§9.10 研究性课题：多面体欧拉定理的发现（1）教学目标： 1. 通过探索发现欧拉公式的过程，学会提出问题和明确探索方向，体验数学活动的过程，培养创新精神和应用能力；2. 体会数学家的创造性工作，掌握“实验－归纳－猜想－证明”的研究方法；3. 通过介绍数学家欧拉的业绩，激发学生献身科学、勇于探索创新的精神.教学重点：如何发现欧拉公式教学难点：怎样证明欧拉公式教学过程：1.创设情境，提出问题1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家.如图，C60 是由60个C原子构成的分子，它是一个形如足球的多面体. 这个多面体有60个顶点，以每一顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，你能计算出C60 中有多少个五边形和六边形吗？要解决上述问题，就必须弄清多面体的顶点数、棱数和面数的关系. 我们知道，在平面多边形中，多边形的边数b，顶点数d之间有关系b=d；而多面体是多边形在空间的类似，那么在多面体中，它的顶点数、棱数和面数之间有类似的规律吗？2. 实验探索，归纳猜想让我们先观察几个简单的多面体，填写下表：多面体 F V E四面体 4 4 6正方体 6 8 12五棱柱7 10 15四棱锥 5 5 8非凸多面体 6 6 10正八面体8 6 12“屋顶”体9 9 16截顶立方体7 10 15（电脑显示各多面体，学生数数填表）问题1：你能从增减性的角度揭示顶点数、棱数和面数的关系吗？（1）由表中数据，当我们把正方体和八面体对比时，不难发现，面数增加，顶点数反而减少，而棱数未变。

并且五棱柱与八面体对比时，面数增加，顶点数和棱都减少，即V、E并不随F增大而增大，同时指出：V与E同增减的结论也不对；（2）对比正方体与八面体时，发现E未变，但F与V的数值互换，即：立方体：F=6，V=8，E=12 正八面体：F=8，V=6，E=12。

这说明了什么？好像隐约透露出某种联系. 为了弄清这个问题，整理资料，将上表按E 增加的顺序重排，得：多面体 F V E四面体 4 4 6四棱锥 5 5 8 非凸多面体 6 6 10正方体 6 8 12正八面体8 6 12五棱柱7 10 15 截顶立方体7 10 15“屋顶”体9 9 16 观察上表可知：F、V单个看，虽不总是因E的增加而增加，但“总体”看来，却是F+V 随E的增加而增加。

《多面体欧拉公式的发现》教学设计黄石三中吴娅内容提要本文是高二下学期研究性课题《多面体欧拉公式的发现》的教学设计。

我设计的指导思想是“新课程标准”、“人本主义心理学”、“学科网群资源的运用”和“问题探究教学模式”。

在此思想指导下，整个教学设计体现了以学生为主体，关注学生的全面发展和长期发展。

欧拉公式的发现、验证及证明都由学生自己完成，要求学生用“自己”的头脑“亲自”获取知识，教师仅仅是教学活动中的组织者、参与者与合作者。

同时，学生研究的过程也是体验数学大师如何运用数学思想方法的过程，为以后从事研究活动奠定基础。

作为一种现代化的教学手段，本次课多媒体教学有着神奇而独特的作用。

它可以运用图象、声音、颜色、技巧等多种方法把知识展现给学生，既具有直观、形象、生动的特点，又能调动学生的多种感官同时参与学习，便于学生理解知识，并能留下深刻印象，把教学内容制成动画，让学生亲自动手，使他们喜闻乐见，激发了学习兴趣。

正文：一、教学目标（一）认知目标简单多面体的顶点数、面数、棱数关系的发现，欧拉公式的猜想、证明及其应用。

（二）能力目标1．使学生能通过观察、验证具体多面体的顶点数、面数、棱数，从中寻找规律，归纳得出关于欧拉公式的猜想。

2．使学生能从拓扑的角度认识简单多面体的本质。

3．使学生了解欧拉公式的证明思路。

4．培养学生寻求规律、发现规律、认识规律，并利用规律解决问题的能力。

（三）情感目标1．通过介绍数学家的业绩，培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索的科学研究精神，激发学生对科学的热爱和对理想的追求。

2．通过多媒体展示获取知识的现象和过程，激发学生的求知欲望和探究精神。

3．让学生学会交流与合作，形成合作与分享的意识。

教学目标一览表二、课型：课题研究课三、教学重难点重点是欧拉公式的发现，难点是使学生从中体会和学习数学大师研究数学的方法。

四、教材分析本节课“多面体欧拉公式的发现”采用了“研究性课题”的学习形式，其目的在于体现新大纲的特点。

多面体欧拉公式的发现教案●教学目标（一）教学知识点1.简单多面体的V、E、F关系的发现.2.欧拉公式的猜想.3.欧拉公式的证明.（二）能力训练要求1.使学生能通过观察具体简单多面体的V、E、F从中寻找规律.2.使学生能通过进一步观察验证所得的规律.3.使学生能从拓扑的角度认识简单多面体的本质.4.使学生能通过归纳得出关于欧拉公式的猜想.5.使学生了解欧拉公式的一种证明思路.（三）德育渗透目标1.通过介绍数学家的业绩，培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索的科学研究精神、激发学生对科学的热爱和对理想的追求.2.培养学生寻求规律、发现规律、认识规律，并利用规律解决问题的能力.●教学重点欧拉公式的发现.●教学难点使学生从中体会和学习数学大师研究数学的方法.●教学方法指导学生自学法首先通过问题1利用具体实物，从观察入手，培养学生对简单多面体V、E、F关系的感性认识从中寻找规律，问题2让学生作进一步观察、验证得出规律，问题3让学生在认识简单多面体的基础上，通过归纳，得出关于欧拉公式的猜想，再通过问题4让学生了解欧拉公式的证明思路，即从理论上探索对发现规律的证明.以上4个问题逐步深入地展开，旨在不仅使学生在知识上有新的收获，同时应体会和学习研究数学的思想和方法.●教具准备投影片三张第一张：课本P56的问题1及表1（记作§9.9.1 A）第二张：课本P57的问题2及表2（记作§9.9.1 B）第三张：课本P57的问题3及P58的问题4（记作§9.9.1 C）●教学过程Ⅰ.课题导入瑞士著名的数学家，是数学史上的最多产的数学家，他毕生从事数学研究，他的论著几乎涉及18世纪所有的数学分支.比如，在初等数学中，欧拉首先将符号正规化，如f（x）表示函数，e表示自然对数的底，a、b、c表示△ABC的三边等；数学中的欧拉公式、欧拉方程、欧拉常数、欧拉方法、欧拉猜想等.其中欧拉公式的一个特殊公式e iπ+1=0,将数学上的5个常数0、1、i、e、π联在一起；再如就是多面体的欧拉定理V－E+F=2，V、E、F分别代表一简单多面体的顶点、棱和面的数目，今天我们就去体验当年的数学大师是如何运用数学思想和方法发现欧拉公式并给予理论上的推理证明等研究活动，希望大家在活动中要充分展开自己的想象，展开热烈的讨论互相进行数学交流.Ⅱ.讲授新课［师］我们先从一些常见的多面体出发，对它们的顶点数V、面数F、棱数E列出表，请大家观察后填写表1（打出投影片§9.9.1 A）（学生观察，数它们的顶点数V、面数F、棱数E，填入表1）［师］好，大家填的快速而准确，继续观察表1的各组数据，找出顶点数V、面数F及棱数E的关系如何？（学生寻找，可能一时不易得到，教师应给予适当点拨提问）［师］表1中多面体的面数F都随顶点数目V的增大而增大吗？［生］不一定.［师］请举例说明.［生］如八面体和立方体的顶点数由6增大到8，而面数由8减小到6.［师］此时棱的数目呢？［生］棱数都是一样的.［师］所以我们得到：棱的数目也并不随顶点数目的增大而增大.大家从表中还发现了其他的什么规律，请积极观察，勇于发言.［生］当多面体的棱数增加时，它的顶点与面数的变化也有一定规律.［师］举例说明.［生甲］如图中（1）和（2）的棱数由6增大到12，面数由4增大到6，此时的顶点数也在随棱数的增加而增加，即由4增大到8.［师］生甲叙述得严格吗？有不同意见吗？［生乙］顶点数和面数并不是严格按棱数的增大而增大的.［师］请试说说你归纳出来的规律.［生乙］我发现并认为：当顶点数随棱数的增加而减小时，它的面数一定是随棱数的增加而增加的；当面数随棱数的增加而减小时，它的顶点数却是随棱数的增加而增加.［师］生乙归纳得如何？大家对他的叙述同意吗？（可能会有其他想法，教师应给学生充分的时间，让他们畅所欲言，表达他们的新发现，并予以一一指导）［师］上面的归纳引导去猜想，棱数与顶点数+面数即E与V+F是否有某种关系，请大家按这个方向考察表中的数据，发现并归纳出它们都满足的关系.［生］（积极验证，得出）V+F－E=2［师］以上同学们得到的V+F－E=2这个关系式是由表1中的五种多面体得到，那么这个关系式对于其他的多面体是否也成立吗？请大家尽可能的画出多个其他多面体去验证.［生］（许多同学可能举出前面学过的图形）四棱锥、五棱锥、六棱柱等.（教师应启发学生展开想象，举出更多的例子）［生］一个三棱锥截去含3条棱的一个顶得到的图形、一个立方体截去一个角所得的图形等.［师］好，同学们现在想象，例如：n棱锥在它的n边形面上增加一个“屋顶”或截去含n条棱的一个顶后，刚才的猜想是否成立？能证明吗？［生］所得的多面体的棱数E为3n条，顶点数V为2n个，面数V为2+n 个，因2n+（2+n）－3n=2,故满足V+F－E=2这个关系式.［师］请继续来观察一些其他图形的情况.（打出投影片§9.9.1 B）请同学们观察后，将所得数据填入表2中.（学生观察，数它们的顶点数V、面数F、棱数E，并填入表2，可能有些同学出错，教师在巡视时要及时给予指导，帮助学生填完）［师］观察你们的数据，请验证这些图形是否符合前面找出的规律吗？其中哪些图形符合？［生］（1）符合，（2）、（3）不符合.［师］一起来设想问题1和问题2中的图形.在某个橡皮膜上，当橡皮膜变形后，有的地方伸长、有的地方压缩，但不能破裂或折叠，橡皮膜上的图形的形状也跟着改变，这种图形的变化过程我们称之为连续变形.那么请大家试想这些图形中的哪些在连续变形中最后其表面可变为一个球面？（打出投影片§9.9.1 C）［生］问题1中的（1）~（5）和问题2中的（1）个图形表面经过连续变形能变为一个球面.［师］请同学们继续设想问题2中（2）（3）在连续变形中，其表面最后将变成什么图形？［生］问题2中第（2）个图形；表面经过连续变形能变为环面.问题2中第（3）个图形；表面经过连续变形能变为两个对接球面.［师］像以上那些在连续变形中，表面能变为一个球面的多面体叫简单多面体.请大家判断我们前面所学的图哪些是简单多面体？［生］棱柱、棱锥、正多面体、凸多面体是简单多面体.［师］至此，在问题1、2、3的基础上，我们是否可以得到什么猜想？怎样用式子表达？（有了前面积极地认真解决了问题1、2、3后学生不难归纳出）［生］简单多面体的顶点数V、面数F的和与棱数E之间存在规律V+F－E=2.［师］我们将它叫做欧拉公式，以上3个问题的解决让我们体会到了数学家欧拉发现V+F－E=2的过程.那么如何证明欧拉公式呢？请大家打开课本P58的欧拉公式证明方法中的一种，认真体会它的证明思路和其间用到的数学思想.（学生自学、教师查看，发现问题，收集问题下节课处理）Ⅲ.课堂练习课本P练习1、2.611.用三棱柱、四棱锥验证欧拉公式.解：在三棱柱中：V=6，F=5，E=9∵6+5－9=2，∴V+F－E=2在四棱锥中：V=5，F=5，E=8∵5+5－8=2，∴V+F－E=22.一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V和面数F有F=2V －4的关系.解：∵V+F－E=2又∵E =23F ，∴V +F －23F =0，∴F =2V －4 Ⅳ.课时小结本节课，我们一起体验了数学家欧拉运用数学思想与方法去发现公式V +F －E =2的过程；体会到数学家献身科学、勇于探索的科学研究精神；并通过大家自学了解证明欧拉公式成立的一种方法，希望同学们仔细阅读研究，从中提出一些新问题，待我们下节课一起讨论解决.Ⅴ.课后作业（一）课本P 61习题9.9 1、2（二）1.预习内容预习课本P 59的问题52.预习提纲（1）请尝试叙述欧拉公式的证明思路.（2）如何用欧拉公式解决“有没有棱数是7的简单多面体？”（3）为什么正多面体只有五种呢？。

多面体欧拉公式的发现”教学设计“多面体欧拉公式的发现”教学设计一、研究性课题：多面体欧拉公式的发现二、教学目标：1、使学生经历欧拉公式的发现与证明的历程，体验公式发现与证明过程中体现的数学思维方法，提高发现问题、分析问题和解决问题的能力。

2、培养学生实验、观察、归纳及大胆猜想的能力和主动参与探究的学习意识，激发学生学习数学的兴趣，培养学生善于发现、勇于探索的创新精神。

3、学会用计算机进行学习，能访问Internet，成功收集Internet上的相关资料，学会数学主题阅读；对所收集的资料进行分析整理、归纳，并制作电子讲稿或网页来与他人交流共享。

4、能与他人合作，加强协作学习的能力与团队意识、合作精神。

三、教材分析欧拉公式是高中二年级立体几何第9.10节中的研究性课题。

欧拉公式的探讨使学生更深刻理解多面体的性质。

本节内容是大学拓扑学领域内的知识，欧拉示性数刻划了多面体的不变性质。

同时本节内容的学习，对化学学科中分子结构的研究具有重要作用。

因此它具有承上启下、逐类旁通的作用，是不可多得的研究性学习课题之一。

四．教学设计原则：本设计以建构主义理论为指导，充分利用信息技术手段，进行基于资源、基于问题、基于研究、基于活动等方面的教与学，使学生在意义丰富的情景中主动建构知识。

本设计遵循《普通高中数学课程标准》的要求，注重信息技术与数学课程的整合。

本设计的基本原则是：①以学生为中心，设计让学生主动参与学习活动，自主探索，教师是学习的促进者，引导、帮助、监控和评价学生的学习过程。

②改变教师是唯一的“信息源”，充分利用各种信息资源、人力资源来支持学生。

③以“任务驱动”与“问题解决”作为学和研究活动的主体。

④强调“协作学习”。

五、教学时间：一周（两课时及一些课余时间）六、必备技能：Windows 98的操作、上网查阅资料的技能，PorwerPoint演示文稿的制作能力。

七、教学过程：1、准备工作分好若干小组，要求每个小组用纸和细棍（或火柴）等材料制作五种正多面体和一些棱柱、棱锥、棱台的模型。

【课题】研究性课题：多面体欧拉公式的发现（1）【教学目标】1、能通过观察具体简单多面体的V、E、F从中寻找规律.2、能通过进一步观察验证所得的规律.3、能从拓扑的角度认识简单多面体的本质.4、能通过归纳得出关于欧拉公式的猜想.【教学重点】欧拉公式的发现.【教学难点】从中体会和学习数学大师研究数学的方法.【教学过程】一、复习引入欧拉是瑞士著名的数学家，是数学史上的最多产的数学家，他毕生从事数学研究，他的论著几乎涉及18世纪所有的数学分支。

比如，在初等数学中，欧拉首先将符号正规化，如f（x）表示函数，e表示自然对数的底，a、b、c表示△ABC的三边等；数学中的欧拉公式、欧拉方程、欧拉常数、欧拉方法、欧拉猜想等。

其中欧拉公式的一个特殊公式e iπ+1=0,将数学上的5个常数0、1、i、e、π联在一起；再如就是多面体的欧拉定理V－E+F=2，V、E、F分别代表一简单多面体的顶点、棱和面的数目，这就是我们今天要学习的欧拉定理。

二、讲解新课（一）简单多面体1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体。

（二）五种正多面体的顶点数、面数及棱数：发现：它们的顶点数V 、面数F 及棱数E 有共同的关系式：2V F E +-=． 上述关系式对简单多面体都成立欧拉定理：简单多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 有关系式：2V F E +-=证明1：以四面体ABCD 为例来说明：将它的一个面BCD 去掉，并使其变为平面图形，四面体的顶点数V 、棱数E 与剩下的面数()111F F F =-变形后都没有变。

因此，要研究V 、E 和F 的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可。

对平面图形，我们来研究：（1）去掉一条棱，就减少一个面。

多面体欧拉定理的发现(1)【教学目的】1．理解简单多面体的定义2．理解并熟记欧拉公式3．会运用欧拉公式及相关知识进行计算及推理【教学思路】正多面体5种→认识欧拉→拓扑变形→简单多面体概念→研究正多面体V、F、E的关系→欧拉定理→证明→欧拉定理的意义【教学过程】1.(1) 什么叫正多面体？特征？正多面体是一种特殊的凸多面体，它包括两个特征：①每个面都是有相同边数的正多边形；②每个顶点都有相同数目的棱数。

(2) 正多面体有哪几种？展示5种正多面体的模型。

为什么只有5种正多面体？著名数学家欧拉进行了研究，发现了多面体的顶点数、面数、棱数间的关系。

2. 介绍数学家欧拉欧拉（1707～1783）瑞士数学家，大部分时间在俄国和法国度过。

他16岁获硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，并毕生研究数学，是数学史上最“高产”的数学家，在世发表700多篇论文。

他的研究论著几涉及到所有数学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。

欧拉还是数学符号发明者，如用f (x)表示函数、∑表示连加、i表示虚数单位、π、e等。

在多面体研究中首先发现并证明了欧拉公式，今天我们沿着他的足迹探索这个公式。

3.发现关系：V+F-E=2。

是不是所有多面体都有这样的关系呢？如何去研究呢？需要观念和方法上的创新。

4.多面体拓扑变形与简单多面体的概念考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它会连续（不破裂）变形，最后可变成一个球面。

像这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体。

5. 欧拉定理定理 简单多面体的顶点数V 、棱数E 及面数F 间有关系V+F-E=2公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律6. 定理的证明分析：以四面体ABCD 为例。

将它的一个面BCD 去掉，再使它变为平面图 形，四面体的顶点数V 、棱数V 与剩下的面数F 1变形后都没有变（这里F 1=F-1）。

第十课时●课题研究性学习课题：多面体欧拉定理的发现（二）●教学目标（一）教学知识点1.欧拉公式的证明.2.欧拉公式的应用.（二）能力训练要求1.使学生能理解多面体欧拉公式的证明过程并能叙述其证明思路.2.使学生掌握多面体欧拉公式并灵活地将其应用于解题中.（三）德育渗透目标继续培养学生寻求规律、发现规律、认识规律、并利用规律解决问题的能力.●教学重点欧拉公式的应用.●教学难点欧拉公式的证明思路.●教学方法学导式本节课继续上节课对欧拉公式的研究活动，遵循寻求规律——发现规律——认识规律——应用规律的学习过程，对上节课已猜想出的欧拉公式进一步深入研究，探索它的证明思路，让学生了解这种证明思想，进而达到熟练掌握欧拉公式的目标，以便于学生得心应手地将欧拉公式应用到各种问题的解决中.●教具准备投影片三张.第一张：课本P58的C60分子结构问题(记作A)第二张：本课时教案例1（记作B)第三张：本课时教案例2（记作C)●教学过程Ⅰ.课题导入［师］上节课我们已经猜想出了欧拉公式并且同学们也已自学了它的证明过程，这节课我们继续对它的证明方法及其重要应用进行学习和探讨.Ⅱ.讲授新课［师］上节课我们已对课本P57的欧拉公式的证明进行了自学，那么，谁能说一下课本中的证明思路和关键是什么？［生］将立体图形转化为平面图形.［师］好，前面我们经常把不在同一平面中的几何图形的问题转化为同一平面中图形的问题，所以此处如果能把求一个简单多面体的V、F、E三者之间的关系问题，转化为平面中的问题就会前进一大步了.那么课本中是怎样实现转化的呢？［生］把多面体想象成是用橡皮膜做成的，即课本P57图9-87(1)的多面体，将它的底面ABCDE剪掉，然后其余各面拉开铺平，得到如图9-87(2)相应的平面多边形.［师］在这个变化过程中虽然实现了立体图形平面化的目的，但是不是又引起了我们原来多面体的V、F、E的改变呢？为什么？［生］不会引起原来多面体中V、E、F的变化，以上变化过程中只改变了原多面体中各面的大小、各棱的长短，而V 、F 、E 这三个数与各面的大小、各棱的长短是无关的.［师］也就是说只要不改变每个面（多边形）的边数，不使顶点（棱或面）重合，无论怎样改变面的形状的大小及棱的长短，V 、F 、E 这三个数就不变，当然，它们之间的关系也不会改变.好，下面请同学们提出在自学欧拉公式证明过程中所遇到的问题. （学生思考整理问题，教师等待、耐心解释，可能会有以下问题）(1)设多面体各面分别是n 1,n 2,…,n F 边形,则n 1+n 2+…+n F 和多面体的棱数E 有什么关系? (教师应给学生讲清因为多面体中每一条棱同属于两个面,所以有n 1+n 2+…+n F =2E ) (2)怎样说明为什么有“（E -F ）·360°=(V -2)·360°”呢?(教师强调：在变形过程中，原来多面体的面是几边形，它对应的仍是几边形，而多边形的内角和仅与边数有关，所以多面体各面多边形的内角和应等于图9-87(2)中各小多边形及“最大”多边形（即多边形ABCD ）的内角总和.［师］同学们能叙述出证明欧拉公式的思路二吗?［生］(1)将四面体A —BCD 中的一个面BCD 去掉,压缩成平面图形.设这个平面图形的三角形的个数、边、顶点分别为F ′、E ′、V ′,在这个变化过程中边、顶点数不变,因此,只需证明V ′-E ′+F ′=2.(2)将所得平面图形外围线段逐一去掉,每去掉一条线段,V ′不变,E ′、F ′各减少1,因此V ′-E ′+F ′=2不变.这样在剩下的树枝形中,仍有V ′-E ′+F ′=2.(3)从剩下的树枝形中,逐一去掉线段,每去掉一条线段,F ′不变,E ′、V ′各减少1.因此, V ′-E ′+F ′=2不变,这样在剩下的一条线段中显然有V ′-E ′+F ′=2成立,从而欧拉公式V -E +F =2成立.［师］欧拉定理表明，任意的一个简单多面体，经过连续变形后，尽管它的形状可以变化万千，但有一个数始终不变，这就是顶点数+面数-棱数，它总是等于2.所以将2叫做连续变形下的不变数.下面，我们来应用欧拉定理.（打出投影片A ,读题,学生解题,教师巡视）解：设C 60分子中形状为五边形和六边形的面各有x 个和y 个.多面体的顶点数V =60，面数F =x +y ,棱数E =21（3×60），根据欧拉公式，可得 60+（x +y )-21(3×60)=2. 另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示，即21（5x +6y ）= 21(3×60). 由以上两方程可解得 x =12,y =20.答：C 60分子中形状为五边形和六边形的面各有12个和60个. 继续体会欧拉公式的应用.［师］欲求出V 与F 的关系，需结合已知条件寻找V 与E 的关系，再结合欧拉公式得出，具体如何做呢？［生］因此简单多面体每个顶点都有三条棱，而每条棱上有两个顶点，所以有3V =2E ,即E =23V .又因为简单多面体顶点数、棱数、面数之间适合欧拉公式，所以V +F -23V =2，即2V +2F -3V =4.故得V =2F -4. ［师］以上题目要注意准确恰当地将已知条件中关于顶点数与棱数的关系转化成代数关系式.下面请同学们回忆前面所学过的关于正多面体的概念及其种类. ［生］每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体，叫做正多面体.正多面体只有四种：正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体.［师］对于“为什么只有四种正多面体”的问题，今天就可以利用欧拉公式证明了.［生］从正多面体的定义考虑.［师］同学们翻开课本P 59的欧拉公式和正多面体的种类，仔细阅读，体会其中的证明思路与方法.（学生自学，教师查看，解决学生的疑难问题） Ⅲ.课堂练习1.C 70分子是与C 60分子类似的球状多面体结构，它有70个顶点，以每个顶点为一端都有3条棱，各面是五边形或六边形，求C 70分子中五边形和六边形的个数.解：设有x 个五边形和y 个六边形,∴F =x +y .∵E =2370⨯=105, V =70,E =21(5x +6y ), ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=-++.105)65(21,210570y x y x解之得x =12,y =25.答：C 70分子中五边形为12个，六边形为25个.2.设一个凸多面体有V 个顶点，求证:它的各面多边形的内角总和为（V -2）·360°. 证明：设这一凸多面体的各面分别为n 1,n 2,…,n F 边形，则各面多边形内角和是（n 1-2)·180°+(n 2-2)·180°+…+(n F -2)·180°=(n 1+n 2+…+n F )·180°-2F ·180°=(n 1+n 2+…+n F -2F )·180°.∵n 1+n 2+…+n F =2E , ∴原式=（E -F ）·360°. ∵V +F -E =2, ∴E -F =V -2. ∴原式=（V -2）·360°. Ⅳ.课时小结本节课我们探讨了欧拉公式的证明方法及其重要应用，在理解欧拉公式的证明过程的同时重在体会其中的“立体图形平面化”的思想.另外，同学们要适当准确地应用欧拉公式去解决与多面体的顶点数、面数及棱数有关的问题.①②Ⅴ.课后作业（一）求证：如果简单多面体的所有面都是奇数边的多边形，那么面数是偶数.证明：设简单多面体的面数为F ，因为各面的边数为奇数，所以简单多面体各面边数的和为F 个奇数的和,即个F k n m )12()12()12(++++++.当把F 个面拼合成多面体时，两条边合成一条棱，则棱数E =2)12()12()12(个F k n m ++++++=2)(2F k n m ++++ =2F+偶数.因为E 必须为整数，所以（偶数+F ）能被2整除.又因为（偶数+F ）中偶数能被2整除，所以F 必须被2整除，即F 必须为偶数.（二）1.预习内容课本P 61球的概念和性质至P 62结束. 2.预习提纲（1）怎样给球定义呢？（2）准确表述出球心、球的半径、球的直径等概念. （3）尝试归纳并证明球的性质.（4）结合地球仪理解地球上的经纬线，知道某地点的经度与纬度. （5）你怎样理解“球面上，两点之间的最短连线的长度”？ ●板书设计●备课资料欧拉公式的应用举例［例1］一个简单多面体的各面都是三角形，且有6个顶点，求这个简单多面体的面数. 解：因为一个面都有3条边，每两条边合为1条棱, 所以它的面数F 和棱数E 之间有关系E =23F.又由欧拉公式V +F -E =2，且顶点数V =6. ∴F =E +2-V =E +2-6=23F -4. ∴F =8.［例2］证明：没有棱数为7的简单多面体.证明：设一个简单多面体的棱E =7，它的面数为F ，顶点数为V ，那么根据欧拉公式有V +F =E +2=9.又多面体的面数F ≥4,顶点数V ≥4, ∴只能有两种情况：（1）F =4，V =5或（2）F =5，V =4.当F =4时，多面体为四面体，而四面体只有4个顶点，故（1）不可能； 当V =4时，多面体也是四面体，而四面体只有4个面，故（2）不可能. ∴没有棱数为7的简单多面体.［例3］已知一个十二面体共有8个顶点，其中两个顶点处各有6条棱，其他顶点处各有相同数目的棱，则其他顶点处各有几条棱？解：∵F =12，V =8， ∴E =V +F -2=18.∵两个顶点处各有6条棱, ∴余6条棱，6个顶点.而这6个顶点构成六边形，过这6个顶点的棱应该各有4条.注意：本题也可以作为一个数学模型帮助我们去验证上述结果，即作一个六边形，在它所在面的两侧各取一个点，共8个顶点、12个面.从中体会构建数学模型对于解决问题的方便与直观.［例4］证明：四面体的任何两个顶点的连线都是棱，而其他凸多面体都不具有这一性质.证明：设多面体的顶点数V =n ,则它们互相连接成的棱数E =)1(2-n n.每一条棱是两个面的边界，每个面至少有3条棱作边界.∴F ≤32·2n (n -1)=3n(n -1). ∵V +F =E +2, ∴n +3n (n -1)≥2n·(n -1)+2. ∴6n +2n (n -1)≥3n (n -1)+12. ∴n 2-7n +12≤0,(n -3)(n -4)≤0. ∵n ≥4, ∴n =4.［例5］正n (n =4,8,20)面体的棱长为a ,求它们表面积的共同公式. 解：∵正n (n =4,8,20)面体的面都是边长为a 的正三角形, ∴S △=43a 2. ∴它们表面积的共同公式为 S 全=n ·43a 2=43na 2(其中n =4,8,20). ［例6］已知凸多面体的各面都是四边形，求证：F =V -2.证明：∵这个凸多面体每个面都是四边形， ∴每个面都是四条边.又∵多面体相邻两面的两条边合为一条棱, ∴E =24⨯F =2F . 将其代入欧拉公式V +F -E =2中，得F =V -2.注意：教学中可启发学生考虑：各面是三角形或五边形的情况.。

简单多面体的欧拉公式新课程倡导教师对学生最重要的价值引导就是“会做数学”比“会说数学”更重要，课堂始终以“做数学”为主旋律，教师不断地创设有意义的问题情境或教学活动，激励学生在解决问题中学习。

与传统数学相比，现代数学的巨大变化还表现在，通过观察作出猜想、建立模型、然后进行修改调整，成为现代数学家以及应用数学家、工程技术人员的基本思维。

“研究性课题：多面体欧拉定理的发现”是一个探究式、自主学习的课题，在这节课中，我利用网络资源，不断地创设一系列问题情境，引导学生独立自主地发现问题——解决问题——应用知识，提高了学习的效率。

在教学中，我设计了以下几个环节，愿与大家探讨。

一、创设情境提出问题歌尼斯堡问题是学生在课前搜集相关资料的时候找到的一个相关问题，由于它是平面的问题，比较简单易懂。

在课堂上学生积极地向其他同学介绍这个有意思的问题。

不仅扩充了课程资源，也渗透了与图形大小、长短无关的一类几何问题，为接下去的学习活动提供了良好的教学情境。

二、问题驱动自主探究接下来，以网页课件为媒体，开展以下活动：活动一：问题驱动引出定理通过一系列问题，引领学生体验从二维到三维的类比推广，把问题引向未研究过的的领域，并通过学生自己的实践（数正多面体的棱数、面数、顶点数）总结出、有价值的规律。

学生相互交流思考问题。

师生交流后教师给出密码，提供比较完整的问题解答，实现了师生互动与交流。

活动二：实例验证加深理解学生在知道了欧拉定理后，以正四面体为例，通过课件的提示帮助，体会“平面法”验证欧拉定理的思想。

教师布置任务：以同样的思想方法，以正六面体为例，验证欧拉定理。

汇总各小组的研究方案，选代表在黑板上演示，并宜从一些不成立的步骤着手，引导学生找出问题所在，在逐步矫正中，加深学生对“平面法”的理解。

随后由教师提供密码，给出比较完善的方案。

活动三：知识应用解决问题用欧拉定理解决所提出的问题：正多面体为什么只有五种？由学生自己阅读，教师加以点拨即可。

高中新课标选修3－5《多面体欧拉定理的发现》教学设计温州中学黄振【教学背景】数学不应看作真理的汇集，而主要的应看成人类活动的一种创造性的活动。

因而在教学中，如何积极引导学生主动地探索，深刻剖析知识的产生、形成和发展过程，提高学生发现问题和解决问题的能力，这是我经常思考的问题。

过去我认为教师讲得越细，学生学得就越容易，课堂教学效率更高，就像钻山洞一样，老师领着学生钻比学生自己摸索可能更快一些。

可是我没想到，这样做会使学生养成不动脑筋的习惯，只限于被动地听课，而不愿主动地学习。

本节课试图在这一方面做一个尝试。

【教学目标】1.知识目标了解多面体的概念；理解多面体欧拉公式；了解公式的发现过程和证明方法。

2.能力目标①初步了解数学概念和结论的产生过程，提高学生发现问题和解决问题的能力。

②培养学生空间想象能力、逻辑思维能力、人际交往能力和协作能力。

③发展学生的创新意识和创新能力。

3.情感目标①以欧拉公式的探索为载体，体验数学研究的过程和创造的激情。

②体验数学的简洁美（V+F-E=2），激发学生学习数学的兴趣。

【教学重点】欧拉定理的发现和证明。

【教学难点】欧拉定理的证明。

【教学设计】一.创设情境，提出问题播放世界杯主题曲，引出足球话题：四年一度的足球世界杯，被戏称为“绿茵场上的战争”，它令世人瞩目，吸引并造就了无数的球迷。

你也许是一个狂热的球迷，但是你知道足球的黑块和白块是什么图形吗？各有多少块？如果将它看成由这些多边形所围成的几何体，你能算出它的顶点数和棱数吗?（设计意图：让学生体验数学与“现实世界”息息相关，使数学学习发生在真实的世界和背景中，提高学生学习数学的兴趣和参与的程度。

）二.探究猜想，导入定理多面体是由它的面围成的立体图形，这些面的交线形成棱，棱与棱的相交形成顶点。

那么在多面体中，它的顶点数、面数和棱数之间有什么关系？请你来猜一猜。

首先让学生单独思考，然后同桌之间相互讨论。

学生一般会在已学过的多面体（棱柱、棱锥等）中进行探索，得到结果。

假如我是欧拉……——多面体欧拉定理的发现一、教学目的1、了解欧拉公式，并体现公式的发现过程。

2、进一步让学生体会多面体的三种基本量：点、线、面是立体几何的主要研究对象；3、通过体验欧拉公式的发现过程，培养学生自主学习的能力；4、让学生再次体验几何体的美；5、在情感上培养学生换位思考方式及理解伟人的坚韧不拔的精神。

二、教学重点1、体验欧拉公式的发现过程及再次认识组成多面体的基本量：点、线、面；2、让学生在体验过程中培养学生自主学习的能力。

三、教学难点：学生在发现过程中体验到数学思想和方法。

四、教学过程t教案设计说明本节课设计为“研究性学习课题”。

以介绍伟人欧拉的生平作为引入，激发学生学习欧拉公式的兴趣；利用换位思考的形式，让学生假设自己是欧拉，通过一系列问题设计：怎样产生问题——怎样研究问题——怎样完善结论——应用，引导学生进行探究，在探究过程中，亲身体验欧拉公式的发现过程；最后对整个过程进行反思，让知识在反思中得到升华。

本节课这样设计的目的是在知识上，让学生了解欧拉公式，体会欧拉公式给出的是等量关系，这个等量关系刻划的是多面体的拓扑不变性，初步了解拓扑学；并在探究的过程中让学生不断体会到欧拉公式给出的是多面体的顶点数、面数、棱数这三者的数量关系，从而进一步让学生明确多面体的三个基本量：点、线、面。

在情感上，本节课以介绍伟人欧拉的生平作为引入，目的在于让学生了解欧拉，体会欧拉坚韧不拔的精神。

并且让学生假设自己是欧拉，重走欧拉公式的发现历程，进一步激发学生探究的兴趣，同时培养学生换位思考的方式。

在能力上，采用换位思考的方式，让学生假设自己是欧拉，引导学生进行探究，让学生在每一个问题的探究中获取更多的思想和方法。

其中问题一：怎样产生这一想法的解决，让学生通过独立思考、交流讨论和发表见解等形式，领悟到提出问题的重要性，培养学生要问——好问——善问的良好习惯，并从中体会到数学中类比和归纳的思想。

通过前面三大问题的设置：怎样产生问题——怎样研究问题——怎样完善结论，让学生体会得出研究问题的方式方法：提出问题——归纳——猜想——论证，并且培养学生严谨的治学态度。

1《多面体欧拉定理的发现（1）》教学设计温州第51中学 谢尚鸽教学设计前记: 1.教学实践:前年我上过该课,发现该课有下面几个地方比较难处理.(1)引入课题时怎样更好地激发学生的求知欲及探索欲.(2)课堂上如何省时,准确地数出多面体的顶点数,面数与棱数.（3）怎样引导学生构造反例(4)如何自然地提出简单多面体地概念(5)如何更生动地介绍欧拉(6)如何构造平台，让学生自然地证明欧拉公式 (7)课堂上如何有效地促进学生参与(8)如何完整地展现 “发现—猜想—证明”的探索过程. 2.教育理论:美国著名心理学家布鲁纳针对传统的讲授式教学，提出了发现学习的基本模式。

其主要环节是：⑴创设问题情景⑵提出假设⑶检验假设针对以上教学实际中碰到的8个问题,再结合布鲁纳的发现学习理论,下面我谈谈《多面体欧拉定理的发现》第1课时的教学设计. 一.教学目标 (1)知识目标识记欧拉公式，了解公式的发现过程。

(2)能力目标① 培养学生动手、观察、发现、归纳、猜想、探索、解决数学问题的能力。

② 培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力. ③ 培养学生的团结协作能力、创新意识和创新能力. （3）德育与美育目标① 以多面体欧拉公式的探索为载体，体验数学研究的过程和创造的激情。

② 通过数学家业绩的介绍，培养学生学习数学大师严谨的科学态度和不怕困难的顽强精神,从而促进学生非智力因素的发展.③ 体验数学的简洁美（2=-+E F V ）和对称美，激发学生学习数学的兴趣。

二.教学的重点与难点重点是组织全体学生积极地参与多面体欧拉公式的发现。

难点是欧拉公式的证明 三．教学过程 课前准备:课前先把学生分成8个学习小组，确定组长，负责组织讨论及收集数据.上课时把有关多面体顶点数,棱数,面数的数据统计表发给每位同学,同时发给每组一个足球。

1.创设情境:让学生观察足球,提问足球表面有哪些图形?你们知道足球表面有几个顶点,几条棱,几个面? 以小组为单位，要求学生数一数足球的顶点数、面数及边数，填入数据统计表内。

《多面体欧拉公式的发现》教学设计广西柳城县实验中学梁卷明设计指导思想：本课内容是高二下学期研究性课题《多面体欧拉公式的发现》的教学设计片段。

我设计的指导思想是以“新课程标准”、“人本主义心理学”和“问题探究教学模式”。

在此思想指导下，整个教学设计体现了以学生为主体，关注学生的全面发展和长期发展。

欧拉公式的发现、验证及证明都由学生自己去思考，要求学生在研究的过程也是体验数学大师数学思想方法的过程，为以后从事研究活动奠定基础。

作为一种现代化的教学手段，本次课利用玲珑3D几何画板引导学生探究欧拉定理，激发学习兴趣。

教学过程：1.介绍数学家欧拉：数学家欧拉：瑞士著名的数学家欧拉,16岁获硕士学位，是数学史上的最多产的数学家,他毕生从事数学研究,他的论著几乎涉及18世纪所以的数学分支.比如在初等数学中，欧拉首先把符号正规化，如 f(x)表示函数，i表示虚数单位，e表示自然对数的底，a.b.c表示三角形的三边等。

数学中有欧拉公式,欧拉方程.欧拉常数,欧拉方法.欧拉猜想等.欧拉晚年不幸双目失明，在失明后的17年里，他还口述了几本书和约400篇论文．正多面体：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体。

2.提出问题：本节课我们研究多面体的顶点数、面数、棱数三者有什么关系？3.引导学生探究欧拉公式：（1）打开玲珑3D几何画板，画一个任意四面体，提问学生：四面体的顶点数、面数、棱数各是多少？并填入表格的相应位置：（2）利用玲珑3D几何画板切割所画的任意四面体的一个顶点，即得五面体，引导学生探究：这时的顶点数、面数、棱数各增加了多少个？（3）利用玲珑3D几何画板再切割所得的任意五面体的一个顶点，即得六面体，引导学生再探究：这时的顶点数、面数、棱数各增加了多少个？（4）利用玲珑3D几何画板再切割所得的任意六面体的一个顶点，即得七面体，引导学生再探究：这时的顶点数、面数、棱数各增加了多少个？（5）利用玲珑3D几何画板再切割所得的任意七面体的一个顶点，即得八面体，引导学生再探究：这时的顶点数、面数、棱数各增加了多少个？由（2）、（3）、（4）、（5）引导学生发现：增加的顶点数+增加的面数=增加的棱数；再结合(1)可猜想：V+F-E=2 ，（6）让学生自主探究，验证猜想；（7）得出：欧拉公式：多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系：V+F-E=2 。