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多面体欧拉公式的发现欧拉公式是数学中的一项重要发现，它描述了多面体的顶点、边和面之间的关系。
发现这个公式的历史可以追溯到18世纪，当时瑞士数学家欧拉在研究多面体时首次提出了这个公式。
多面体是由平面面构成的立体，它可以是凸多面体（所有面都凸），也可以是非凸多面体（至少有一个面是凹的）。
欧拉公式适用于任何类型的多面体，它给出了多面体中顶点、边和面的数量之间的关系。
欧拉公式的数学表达式为：V-E+F=2，其中V表示多面体的顶点数，E 表示边数，F表示面数。
这个公式很简洁，却能揭示多面体的基本性质。
让我们来探索一下欧拉公式的发现过程。
首先，我们从最简单的多面体开始，即立方体。
立方体有8个顶点，12条边和6个面。
代入欧拉公式：8-12+6=2，等号左边的结果与右边的结果相等。
这意味着欧拉公式在立方体上成立。
接下来，让我们考虑一个更复杂的多面体，例如八面体。
八面体有6个顶点、12条边和8个面。
再次代入欧拉公式：6-12+8=2，等号左边的结果与右边的结果相等。
欧拉公式在八面体上同样成立。
通过反复尝试，我们可以发现，无论是简单的立方体还是复杂的八面体，欧拉公式都成立。
这提示我们欧拉公式可能是普适的。
更进一步，我们可以通过归纳法来证明欧拉公式对于任意多面体都成立。
假设对n-1个面的多面体，欧拉公式成立。
现在考虑多面体增加一个面的情况。
如果我们在新面上加上一个新顶点，那么顶点数V将增加1，边数E将增加至少3（因为每个新面至少有3条边相邻），面数F将增加1、根据归纳法的假设，对于n-1个面的多面体，欧拉公式成立，即V-E+F=2(V+1)-(E+3)+(F+1)=V-E+F+2=2+2=4所以对于n个面的多面体，欧拉公式仍然成立。
通过归纳法的推理，我们可以证明欧拉公式对于任意多面体都成立。
总结起来，欧拉公式的发现是通过观察不同形状的多面体并尝试找到它们之间的共同点。
通过代入不同的数值并观察等式的平衡，欧拉发现了顶点、边和面的数量之间的关系，并提出了著名的欧拉公式。
欧拉多面体公式证明欧拉多面体公式，也被称为欧拉公式，是数学中的一个重要定理，它描述了一个多面体的面数、顶点数和边数之间的关系。
这个公式被广泛应用于几何学和拓扑学领域，它的证明过程既有逻辑性又有美感，让人感叹数学的奇妙。
在开始证明之前，先来回顾一下欧拉多面体公式的表达方式。
设一个多面体的面数为F，顶点数为V，边数为E，那么根据欧拉多面体公式：F + V - E = 2证明的过程可以分为两个部分：首先是证明欧拉多面体公式对于凸多面体成立，然后是证明对于非凸多面体也成立。
对于凸多面体来说，首先我们可以通过归纳法证明一个特殊情况，即当多面体只有一个面、一个顶点和一条边时，欧拉公式成立。
接着，我们假设当多面体的面数小于等于n时，欧拉公式成立，然后考虑当多面体的面数为n+1时的情况。
假设这个多面体有m个面，n个顶点和p条边。
我们可以通过将一个面切割成三个面，增加三个顶点和三条边的方式，来构造一个新的多面体。
这样，我们得到的新多面体的面数为m+2，顶点数为n+3，边数为p+3。
根据归纳假设，原多面体满足欧拉公式，即m + n - p = 2。
而新多面体的面数、顶点数和边数分别为m+2、n+3和p+3，所以根据欧拉公式，有(m+2) + (n+3) - (p+3) = 2。
整理后得到 m + n - p = 2，即新多面体也满足欧拉公式。
这样就证明了欧拉公式对于凸多面体成立。
接下来考虑非凸多面体的情况。
非凸多面体可以看作是由多个凸多面体通过共享顶点组合而成的。
我们可以通过将非凸多面体切割成凸多面体，然后分别证明欧拉公式对于每个凸多面体都成立，最后再将它们的公式相加来证明欧拉公式对于非凸多面体成立。
总结一下，欧拉多面体公式证明的关键是通过归纳法来证明对于凸多面体和非凸多面体都成立。
通过将多面体切割成更小的多面体，然后利用归纳假设来推导出新多面体的面数、顶点数和边数之间的关系，最终得到欧拉公式成立的结论。
通过这个证明过程，我们不仅可以理解欧拉多面体公式的推导过程，还可以感受到数学中的美妙和逻辑性。
§ 9.10研究性课题：多面体欧拉定理的发现(1)教学目标：1•通过探现欧拉公式的过程，学会提出问题和明确探索方向，体验数学活动的过程，培养创新精神和应用能力；教学重点：教学难点：2.体会数学家的创造性工作，掌握“实验一归纳一猜想一证明”的研究方法；3.通过介绍数学家欧拉的业绩，激发学生献身科学、勇于探索创新的精神如何发现欧拉公式怎样证明欧拉公式教学过程:创设情境，提出问题1996年的诺贝尔化学奖授予对发现Ceo有重大贡献的三位科学家如图，C60是由60个C原子构成的分子，它是一个形如足球的多面体•这个多面体有60个顶点，以每一顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，你能计算出Ceo中有多少个五边形和六边形吗？要解决上述问题，就必须弄清多面体的顶点数、棱数和面数的尖系•我们知道'在平面多边形中'多边形的边数b,顶点数d之间有尖系b=d ;而多面体是多边形在空间的类似，那么在多面体中，它的顶点数、棱数和面数之间有类似的规律吗？2.实验探索，归纳猜想让我们先观察几个简单的多面体，填写下表:多面体F V E四面体446正方体6812五棱柱71015四棱锥558非凸多面体6610正八面体8612“屋顶”体9916截顶立方体71015(问题1 :你能从增减性的角度揭示顶点数、棱数和面数的尖系吗?(1)由表中数据，当我们把正方体和八面体对比时，不难发现，面数增加，顶点数反而减少，而棱数未变。
并且五棱柱与八面体对比时，面数增加，顶点数和棱都减少，即V、E并不随F增大而增大，同时指出：V与E同增减的结论也不对；(2 )对比正方体与八面体时，发现E未变，但F与V的数值互换，即：立方体：F=6, V=8 , E=12 正八面体：F=8 , V=6 , E=12。
这说明了什么？好像隐约透露出某种联系•为了弄清这个问题'整理资料'将上表按E 增加的顺序重排，得:多面体F V E四面体446四棱锥558非凸多面体6610正方体68121.观察上表可知：F、V单个看，虽不总是因E的增加而增加，但“总体”看来，却是F+V随E的增加而增加。
芯衣州星海市涌泉学校多面体欧拉定理的发现〔2〕一、课题：多面体欧拉定理的发现〔2〕二、教学目的：欧拉定理的应用．三、教学重、难点：欧拉定理的应用．四、教学过程：〔一〕复习：1．简单多面体的定义；2．欧拉定理；3．正多面体的种类．〔二〕新课讲解：例1．由欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种． 证明：设正多面体的每个面的边数为n ，每个顶点连有m 条棱，令这个多面体的面数为F ，每个面有n 条边，故一一共有nF 条边，由于每条边都是两个面的公一一共边，故多面体棱数2nFE =〔1〕令这个多面体有V 个顶点，每一个顶点处有m 条棱，故一一共有mV 条棱。
由于每条棱有两个顶点，故多面体棱数2mVE =〔2〕 由〔1〕〔2〕得：2E Fn =，2E V m =代入欧拉公式：222E E E m n +-=． ∴11112m n E+-=〔3〕，∵又3m ≥，3n ≥，但m ，n 不能同时大于3，〔假设3m >，3n >，那么有11102m n +-≤，即10E≤这是不可能的〕∴m ，n 中至少有一个等于3．令3n =，那么1111032m E +-=>， ∴116m >，∴5m ≤，∴35m ≤≤．同样假设3m =可得35n ≤≤． 例2．欧拉定理在研究化学分子构造中的应用：1996年诺贝尔化学奖授予对发现60C 有重大奉献的三位科学家。
60C 是由60个C 原子构成的分子，它是形如足球的多面体。
这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，计算60C 分子中五边形和六边形的数目．解：设60C 分子中有五边形x 个，六边形y 个。
60C 分子这个多面体的顶点数60V =，面数F x y =+，棱数1(360)2E =⨯⨯，由欧拉定理得：160()(360)22x y ++-⨯=〔1〕，另一方面棱数可由多边形的边数和来表示，得11(56)(360)22x y +=⨯〔2〕，由〔1〕〔2〕得：12x =，20y = ∴60C 分子中五边形有12个，六边形有20个．例3．一个正多面体各个面的内角和为20π，求它的面数、顶点数和棱数．解：由题意设每一个面的边数为m ,那么(2)20F m ππ-=，∴(2)20F m -=， ∵2mF E =，∴10E F =+,将其代入欧拉公式2V F E +-=,得12V =,设过每一个顶点的棱数为n ,那么62n E V n ==，12n F m =得121262n n m +-=,即5213n m+=〔1〕, ∵3m ≥，∴5n ≤,又3n ≥，∴n 的可能取值为3，4,5,当3n =或者者4n =时〔1〕中m 无整数解；当5n =,由〔1〕得3m =,∴30E =,∴20F =，综上可知:30E=，12V =，20F =.五、小结：1．欧拉定理的应用；2．会用欧拉公式2V F E +-=解决简单多面体的顶点数、面数和棱数的计算问题．六、作业：课本第69页习题9．10第2，3题．。
多面体欧拉定理定理简单多面体的顶点数V、棱数E及面数F间有关系对于简单多面体，有著名的欧拉公式：V-E+F=2简单多面体即表面经过连续变形可以变为球面的多面体。
多面体欧拉定理式中V表示多面体的顶点数，E表示棱数，F表示面数。
定理一证分析：以四面体ABCD为例。
将它的一个面BCD去掉，再使它变为平面图形，四面体的顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变（这里F1=F-1）。
因此，要研究V、E和F的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可。
只需平面图形证明：V+F1-E=1（1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E的值不变。
例如去掉BC，就减少一个面ABC。
同理，去掉棱CD、BD，也就各减少一个面ACD、ABD，由于V、F1-E的值都不变，因此V+F1-E的值不变（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E的值不变。
例如去掉CA，就减少一个顶点C。
同理去AD就减少一个顶点D，最后剩下AB。
在以上变化过程中，V+F1-E的值不变，V+F1-E=2-0-1=1，所以V+F-E= V+F1-E+1=2。
对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。
公式对任意简单多面体都是正确的。
定理意义（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律；（2）思想方法创新训练：在定理的发现及证明过程中，在观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；在方法上将底面剪掉，然后其余各面拉开铺平，化为平面图形（立体图→平面图）。
（3）引入拓扑新学科：“拉开图”与以前的展开图是不同的，从立体图到拉开图，各面的形状，以及长度、距离、面积、全等等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。
事实上，定理在引导大家进入一个新几何学领域：拓扑学。
我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。
（4）给出多面体分类方法：在欧拉公式中，令f(p)=V+F-E，f(p)叫做欧拉示性数。
多面体欧拉公式的推理过程
多面体欧拉公式的推理过程如下：
1.设想这个多面体是先有一个面，然后将其他各面一个接一个地添装上去。
因为一共有F个面，因
此要添(F-1)个面。
2.考察第Ⅰ个面，设它是n边形，有n个顶点，n条边，这时E=V，即棱数等于顶点数。
3.添上第Ⅱ个面后，因为一条棱与原来的棱重合，而且有两个顶点和第Ⅰ个面的两个顶点重合，所
以增加的棱数比增加的顶点数多1，因此，这时E=V+1。
4.以后每增添一个面，总是增加的棱数比增加的顶点数多1。
例如，增添两个面后，有关系E=V+2；
增添三个面后，有关系E=V+3；……增添(F-2)个面后，有关系E=V+(F-2)。
5.最后增添一个面后，就成为多面体，这时棱数和顶点数都没有增加。
因此，关系式仍为E=V+(F-2)。
即F+V=E+2。
这个公式叫做欧拉公式，它表明2这个数是简单多面体表面在连续变形下不变的数。
以上是多面体欧拉公式的推理过程，希望对您有所帮助。
研究性课题：多面体欧拉定理的发现第一课时欧拉定理（一）教学目标：（一）教学知识点1.简单多面体的V、E、F关系的发现.2.欧拉公式的猜想.3.欧拉公式的证明.（二）能力训练要求1.使学生能通过观察具体简单多面体的V、E、F从中寻找规律.2.使学生能通过进一步观察验证所得的规律.3.使学生能从拓扑的角度认识简单多面体的本质.4.使学生能通过归纳得出关于欧拉公式的猜想.5.使学生了解欧拉公式的一种证明思路.（三）德育渗透目标1.通过介绍数学家的业绩，培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索的科学研究精神、激发学生对科学的热爱和对理想的追求.2.培养学生寻求规律、发现规律、认识规律，并利用规律解决问题的能力.教学重点欧拉公式的发现.教学难点使学生从中体会和学习数学大师研究数学的方法.教学方法指导学生自学法首先通过问题1利用具体实物，从观察入手，培养学生对简单多面体V、E、F关系的感性认识从中寻找规律，问题2让学生作进一步观察、验证得出规律，问题3让学生在认识简单多面体的基础上，通过归纳，得出关于欧拉公式的猜想，再通过问题4让学生了解欧拉公式的证明思路，即从理论上探索对发现规律的证明.以上4个问题逐步深入地展开，旨在不仅使学生在知识上有新的收获，同时应体会和学习研究数学的思想和方法.教学过程情境设置欧拉瑞士著名的数学家，科学巨人，师从数学家约翰·伯努利，有惊人的记忆力，是数学史上的最多产的数学家，他所写的著作达865部（篇），28岁右眼失明，1766年，左眼又失明了，1771年，圣彼得堡一场大火，秧及欧拉的住宅，欧拉虽然幸免于难，可他的藏书及大量的研究成果都化为灰烬。
种种磨难，并没有把欧拉搞垮。
大火以后他立即投入到新的创作之中。
资料被焚，他又双目失明，在这种情况下，他完全凭着坚强的意志和惊人的毅力，回忆所作过的研究。
他总是把推理过程想得很细，然后口授，由他的长子记录。
他用这种方法又发表了论文４００多篇以及多部专著，这几乎占他全部著作的半数以上，欧拉从19岁开始写作，直到逝世，留下了浩如烟海的论文、著作，甚至在他死后，他留下的许多手稿还丰富了后47年的圣彼得堡科学院学报。
多面体欧拉定理的发现本论文主要讲述多面体欧拉定理的发现，证明与完善，及其拓展应用前言多面体欧拉定理是著名瑞士数学家莱昂哈德·欧拉所提出的.欧拉,出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城,13岁就进巴塞尔大学读书,得到当时最有名的数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli,1667-1748年）的精心指导．有许多关于欧拉的传说。
比如，欧拉心算微积分就像呼吸一样简单。
有一次他的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字，两人相差一个单位，欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行全部运算，最后把错误找了出来。
欧拉创作文章的速度极快，通常上一本书还没有印刷完，新的手稿就写好了，导致他的写作顺序与出版顺序常常相反，让读者们很郁闷。
而且，收集这些数量庞大的手稿也是一件困难的事情。
瑞士自然科学会计划出一部欧拉全集，这本全集编了将近100年，终于在上个世纪90年代基本完成，没想到圣彼得堡突然又发掘出一批他的手稿，使得这本全集至今仍未完成。
欧拉在数学上的建树很多,对著名的哥尼斯堡七桥问题的解答开创了图论的研究.欧拉还发现,不论什么形状的凸多面体,其顶点数V、棱数E、面数F之间总有V-E+ F=2这个关系.V-E F 被称为欧拉示性数,成为拓扑学的基础概念.以欧拉的名字命名的数学公式、定理等在数学书籍中随处可见, 与此同时,他还在物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面取得了辉煌的成就.欧拉还创设了许多数学符号,例如π（1736年）,i（1777年）,e （1748年）,sin和cos（1748年）,tg（1753年）,△x（1755年）,∑（1755年）,f(x)（1734年)等.1733年,年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授．1735年,欧拉解决了一个天文学的难题（计算彗星轨道）,这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决,而欧拉却用自己发明的方法,三天便完成了．然而过度的工作使他得了眼病,并且不幸右眼失明了,这时他才28岁．据说是因为操劳过度，也有一说是因为观察太阳所致.尽管如此他仍然靠心算完成了大量论文。
●教学时间第十课时●课题§9.9.2 研究性课题：多面体欧拉公式的发现（二）●教学目标（一）教学知识点1.欧拉公式的证明.2.欧拉公式的应用.（二）能力训练要求1.使学生能理解多面体欧拉公式的证明过程并能叙述其证明思路.2.使学生掌握多面体欧拉公式并灵活地将其应用于解题中.（三）德育渗透目标继续培养学生寻求规律、发现规律、认识规律、并利用规律解决问题的能力.●教学重点欧拉公式的应用.●教学难点欧拉公式的证明思路.●教学方法学导式本节课继续上节课对欧拉公式的研究活动，遵循寻求规律——发现规律——认识规律——应用规律的学习过程，对上节课已猜想出的欧拉公式进一步深入研究，探索它的证明思路，让学生了解这种证明思想，进而达到熟练掌握欧拉公式的目标，以便于学生得心应手地将欧拉公式应用到各种问题的解决中.●教具准备投影片三张第一张：课本P59问题5（1）（2）（记作§9.9.2 A）第二张：本课时教案例1（记作§9.9.2 B）第三张：本课时教案例2（记作§9.9.2 C）●教学过程Ⅰ.课题导入［师］上节课我们已经猜想出了欧拉公式并且同学们也已自学了它的证明过程，这节课我们继续对它的证明方法及其重要应用进行学习和探讨.Ⅱ.讲授新课［师］上节课我们已对课本P58的欧拉公式的证明进行了自学，那么，谁能说一下课本中的证明思路和关键是什么？［生］将立体图形转化为平面图形.［师］好，前面，我们经常使用把不在同一平面中的几何图形的问题转化为同一平面中图形的问题，所以此处如果能把求一个简单多面体的V、F、E三者之间的关系问题，转化为平面中的问题就会前进一大步了.那么课本中是怎样实现转化的呢？［生］把多面体想成是用橡皮膜做成的，即课本P58图9—85的多面体，将它的底面ABCDE剪掉，然后其余各面拉开铺平，得到如图9—86相应的平面多边形.［师］在这个变化过程中虽然实现了立体图形平面化的目的，但是不是又引起了我们原来多面体的V、F、E的改变了呢？为什么？［生］不会引起原来多面体中V 、E 、F 的变化，以上变化过程中只改变了原多面体各面的大小，各棱的长短，而V 、F 、E 这三个数与各面的大小、各棱的长短是无关的.［师］也就是说只要不改变每个面（多边形）的边数，不使顶点（棱或面）重合，无论怎样改变面的形状的大小及棱的长短，V 、F 、E 这三个数就不变，当然，它们之间的关系也不会改变.好，下面请同学提出在自学欧拉公式证明过程中所遇到的问题.（学生思考整理问题，教师等待、耐心解答，可能会问到以下问题）①在课本P 59的3.计算多边形内角和（2）中n 1+n 2+…+n F 和多面体的棱数E 有什么关系？说明理由.（教师应给学讲清因为多面体每一条棱同属于两个面，所以有n 1+n 2+…+n F =2E ） ②怎样理解P 59的3.计算多边形内角和（4）中的“全体多边形”？（教师应给学生说清是各小多边形及最大多边形ABCDE ）③怎样说明为什么有“（E －F ）·360°=（V －2）·360°”?（教师应再次强调给学生：在变形过程中，原来多面体的面是几边形，它对应的仍是几边形，而多边形的内角和仅与边数有关，所以多面体各面多边形的内角和应等于图9—86中各小多边形及“最大”多边形（即多边形ABCDE ）的内角总和.［师］欧拉定理表明，任意的一个简单多面体，经过连续变形后，尽管它的形状可以变化万千，但有一个数始终不变，这就是：顶点数+面数－棱数，它总是等于2.所以将2叫做连续变形下的不变数.下面，我们来应用欧拉定理.（打出投影片§9.9.2 A,读题）［师］问题5的（1）是关于化学上C 60分子的结构问题，也是欧拉公式的应用问题（以下过程教师板书）解：设C 60分子中形状为五边形和六边形的面各有x 个和y 个.多面体的顶点数V =60，面数F =x +y ,棱数E =21（3×60），根据欧拉公式，可得 60+（x +y ）－21（3×60）=2 另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示，即21（5x +6y ）=21（3×60） 由以上两方程可解得x =12,y =20答：C 60分子中形状为五边形和六边形的面各有12个和60个.［师］对于问题5（2）则通常先假设一个简单多面体的棱数E =7，再根据欧拉公式进行推理论证.（师生共同写出以下过程）解：假设一个简单多面体的棱数E =7，根据欧拉公式V +F －E =2，得V +F =7+2=9因多面体的顶点数V ≥4，面数F ≥4,所以只有两种情况：V =4，F =5或V =5，F =4，因为4个顶点的多面体只有是四面体，而四面体也只有4个面，所以上述两种情况（V +F =9）都不存在.答：没有棱数是7的简单多面体.［师］通过问题5两个小题的分析之后，你体会到解决（1）的关键是什么？［生甲］利用欧拉公式列出一个等式.［生乙］利用棱数与边数的关系列出一个等式.［师］甲、乙两位同学说得都对，解决（1）的关键就是找等量关系，即根据欧拉公式及棱数与边数的关系列出两个变量关系.再思考（1）中应用了数学的什么重要思想？［生］方程思想.［师］对，本题也旨在培养同学们利用方程解未知量的思想.对于解决（2）的关键又是什么呢？［生］V ≥4,F ≥4是一个几何体为凸多面体的必要条件.本题中抓住F =4与V =4必然同时成立引出矛盾.［师］这也是凸多面体具有的一条重要性质，希望同学们能够注意.继续体会欧拉公式的应用.（打出投影片§9.9.2 B,读题）［例1］已知，一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，求证：V =2F －4.［师］欲求出V 与F 的关系，需结合已知条件寻找V 与E 的关系，再结合欧拉公式得出，具体如何做呢？［生］因此简单多面体每个顶点都有三条棱，而每条棱上有两个顶点，所以有3V =2E 即E =23V .又因为简单多面体顶点数、棱数、面数之间适合欧拉公式，所以V +F －23V =2， 即2V +2F －3V =4.故得V =2F －4.［师］以上题目要注意准确恰当地将已知条件中关于顶点数与棱数的关系转化成代数关系式.下面请同学们回忆前面所学过的关于正多面体的概念及其种类.［生］每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体，叫做正多面体.正多面体只有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体.［师］对于“为什么只有五种正多面体”的问题，今天就可以利用欧拉公式证明了. （打出投影片§9.9.2 C,读题）［例2］证明：正多面体只有四种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.［师］解决这个问题，应从什么地方入手考虑？［生］从正多面体的定义考虑.［师］同学们翻开课本P 63欧拉公式和正多面体的种类，仔细阅读，体会其中的证明思路与方法.（学生自学，教师查看，解决学生疑难问题）Ⅲ.课堂练习课本P 61习题9.9 3、4.P 61习题9.9 3:C 70分子是与C 60分子类似的球状多面体结构，它有70个顶点，以每个顶点为一端都有3条棱，各面是五边形或六边形，求C 70分子中五边形和六边形的个数.答案：设有x 个五边形和y 个六边形∴F =x +y ,∵E =2370 =105∵V =70,E =21（5x +6y ） ∵⎪⎩⎪⎨⎧=+=-++105)65(21210570y x y x 解之得x =12,y =25答：C 70分子中五边形为12个，六边形为25个.P 61习题9.9.4:设一个凸多面体有V 个顶点，求证它的各面多边形的内角总和为（V －2）· 360°.证明：设这一凸多面体的各面分别为n 1,n 2,…,n F 边形，则各面多边形内角和是（n 1－2）·180°+（n 2－2）·180°+…+（n F －2）·180°=（n 1+n 2+…+n F ）·180°－2F · 180°=（n 1+n 2+…+n F －2F ）·180°∵n 1+n 2+…+n F =2E∴原式=（E －F ）·360°∵V +F －E =2∴E －F =V －2∴原式=（V －2）·360°Ⅳ.课时小结本节课我们探讨了欧拉公式的证明方法及其重要应用，在理解欧拉公式的证明过程的同时重在体会其中的“立体图形平面化”的思想.另外，同学们要适当准确地应用欧拉公式去解决与多面体的顶点数、面数及棱数有关的问题.Ⅴ.课后作业（一）求证：如果简单多面体的所有面都是奇数边的多边形，那么面数是偶数.证明：设简单多面体的面数为F ，因为各面的边数为奇数，所以简单多面体各面边数的和为F 个奇数的和.即)12()12()12(++++++k n m .当把F 个面拼合成多面体时，两条边合成一条棱，则棱数E =22)(22)12()12()12(F F k n m k n m +=++++=++++++偶数 因为E 必须为整数，所以（偶数+F ）能被2整除，又因为（偶数+F ）中偶数能被2整除，所以F 必须被2整除，即F 必须为偶数.（二）1.预习内容课本P 651.球的概念和性质至P 66结束2.预习提纲（1）怎样给球定义呢？（2）准确表述出球心、球的半径、球的直径等概念.（3）尝试归纳并证明球的性质.（4）结合地球仪理解地球上的经纬线，知道某地点的经度与纬度.（5）你是怎样理解“球面上，两点之间的最短连线的长度”？①②。
欧拉多面体公式的证明欧拉多面体公式，这可是个有趣的家伙！咱们一起来瞧瞧它的证明到底是怎么回事。
记得有一次，我在教室里给学生们讲欧拉多面体公式，有个小调皮鬼一脸疑惑地问我：“老师，这公式到底有啥用啊？”我笑了笑，没有直接回答他，而是先从最简单的多面体开始讲起。
咱们先来说说什么是欧拉多面体公式。
它说的是对于任何一个凸多面体，其顶点数 V、棱数 E 和面数 F 之间都存在一个固定的关系：V -E +F = 2 。
那怎么来证明这个公式呢？咱们可以用一种叫做“逐步去面”的方法。
想象一下，有一个多面体，就拿最简单的四面体来说吧。
它有 4 个顶点，6 条棱，4 个面。
这时候顶点数 4 减去棱数 6 再加上面数 4 ，正好等于 2 。
那对于更复杂的多面体呢？咱们可以逐步地去掉一个面。
比如说，有一个五面体，咱们先去掉一个面，然后把这个面和周边的棱想象成一个平面图形。
在这个过程中，顶点数V 和棱数E 的变化是有规律的。
每次去掉一个面，棱数就会减少一条，顶点数不变或者减少一个。
咱们再深入一点，假设现在有一个六面体，就像一个立方体。
咱们去掉一个面，这时候顶点数可能不变，棱数少了一条，面数也少了一个。
但神奇的是，按照欧拉多面体公式去计算，结果依然是 2 。
我曾经让学生们自己动手制作一些简单的多面体模型，然后通过数数的方式来验证这个公式。
有个小组特别认真，他们做了一个三棱柱，数来数去，发现怎么都符合公式，那兴奋劲儿，就好像发现了新大陆！还有一种证明方法是利用数学归纳法。
先证明对于最简单的多面体，比如四面体，公式成立。
然后假设对于 n 个面的多面体公式成立，再去证明对于 n + 1 个面的多面体公式也成立。
这个过程就像是爬楼梯，一步一步，稳稳当当，最终就能证明对于所有的凸多面体，欧拉多面体公式都是成立的。
回到最开始那个小调皮鬼的问题，欧拉多面体公式到底有啥用？其实啊，它不仅仅是一个数学上的结论，更反映了多面体的一种内在结构规律。
研究性课题：多面体欧拉定理的发现第一课时欧拉定理（一）教学目标：（一）教学知识点1.简单多面体的V、E、F关系的发现.2.欧拉公式的猜想.3.欧拉公式的证明.（二）能力训练要求1.使学生能通过观察具体简单多面体的V、E、F从中寻找规律.2.使学生能通过进一步观察验证所得的规律.3.使学生能从拓扑的角度认识简单多面体的本质.4.使学生能通过归纳得出关于欧拉公式的猜想.5.使学生了解欧拉公式的一种证明思路.（三）德育渗透目标1.通过介绍数学家的业绩，培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索的科学研究精神、激发学生对科学的热爱和对理想的追求.2.培养学生寻求规律、发现规律、认识规律，并利用规律解决问题的能力.教学重点欧拉公式的发现.教学难点使学生从中体会和学习数学大师研究数学的方法.教学方法指导学生自学法首先通过问题1利用具体实物，从观察入手，培养学生对简单多面体V、E、F关系的感性认识从中寻找规律，问题2让学生作进一步观察、验证得出规律，问题3让学生在认识简单多面体的基础上，通过归纳，得出关于欧拉公式的猜想，再通过问题4让学生了解欧拉公式的证明思路，即从理论上探索对发现规律的证明.以上4个问题逐步深入地展开，旨在不仅使学生在知识上有新的收获，同时应体会和学习研究数学的思想和方法.教学过程情境设置欧拉瑞士著名的数学家，科学巨人，师从数学家约翰·伯努利，有惊人的记忆力，是数学史上的最多产的数学家，他所写的著作达865部（篇），28岁右眼失明，1766年，左眼又失明了，1771年，圣彼得堡一场大火，秧及欧拉的住宅，欧拉虽然幸免于难，可他的藏书及大量的研究成果都化为灰烬。
种种磨难，并没有把欧拉搞垮。
大火以后他立即投入到新的创作之中。
资料被焚，他又双目失明，在这种情况下，他完全凭着坚强的意志和惊人的毅力，回忆所作过的研究。
他总是把推理过程想得很细，然后口授，由他的长子记录。
他用这种方法又发表了论文４００多篇以及多部专著，这几乎占他全部著作的半数以上，欧拉从19岁开始写作，直到逝世，留下了浩如烟海的论文、著作，甚至在他死后，他留下的许多手稿还丰富了后47年的圣彼得堡科学院学报。
数学方面：他的论著几乎涉及18世纪所有的数学分支.比如，在初等数学中，欧拉首先将符号正规化，如f（x）表示函数，e表示自然对数的底，a、b、c表示△ABC的三边等；数学中的欧拉公式、欧拉方程、欧拉常数、欧拉方法、欧拉猜想等.其中欧拉公式的一个特殊公式,将数学上的5个常数0、1、i、e、π联在一起；再如就是多面体的欧拉定理V－E+F=2，V、E、F分别代表一简单多面体的顶点、棱和面的数目物理方面：他创立了分析力学、刚体力学，研究和发展了弹性理论、振动理论以及材料力学，在光学上也有杰出的贡献，古典力学的基础是牛顿奠定的，而欧拉则是其主要建筑师，他研究了天文学，并与达朗贝尔、拉格朗日一起成为天体力学的创立者，流体力学的创始人。
其它方面：欧拉在搞科学研究的同时，还把数学应用到实际之中，为俄国政府解决了很多科学难题，为社会作出了重要的贡献。
如菲诺运河的改造方案，宫延排水设施的设计审定，为学校编写教材，帮助政府测绘地图；在度量衡委员会工作时，参加研究了各种衡器的准确度。
另外，他还为科学院机关刊物写评论并长期主持委员会工作。
他不但为科学院做大量工作，而且挤出时间在大学里讲课，作公开演讲，编写科普文章，为气象部门提供天文数据，协助建筑单位进行设计结构的力学分析，他把自己所建立的理想流体运动的基本方程用于人体血液的流动，从而在生物学上添上了他的贡献，又以流体力学、潮汐理论为基础，丰富和发展了船舶设计制造及航海理论。
今天我们就去体验当年的数学大师是如何运用数学思想和方法发现欧拉公式并给予理论上的推理证明等研究活动，希望大家在活动中要充分展开自己的想象，展开热烈的讨论互相进行数学交流.探索研究问题1：下列共有五个正多面体，分别数出它们的顶点数V、面数F和棱数E，并填表1正多面体顶点数V面数F棱数E正四面体446正六面体8612观察表中填出的数据，请找出顶点数V、面数F及棱数E之间的规律。
教师巡视指导，如正十二面体，先定面数E＝12；再定棱数，每个面有5条棱，共有12×5＝60条，由于每条棱都是两个面的公共边，所以上面的计算每条棱被算过两次，于是棱数E＝60/2＝30；最后算顶点数，每个顶点处连有三条棱，所以它共有3V条棱，又因为每条棱连着两个顶点，所以上面的计算每条棱被算过两次，因此实际上只有3V/2条棱，即E＝3V/2，所以V＝20。
表1中多面体的面数F都随顶点数目V的增大而增大吗？不一定.请举例说明.如八面体和立方体的顶点数由6增大到8，而面数由8减小到6.此时棱的数目呢？棱数都是一样的.所以我们得到：棱的数目也并不随顶点数目的增大而增大.大家从表中还发现了其他的什么规律，请积极观察，勇于发言.当多面体的棱数增加时，它的顶点与面数的变化也有一定规律.上面的归纳引导去猜想，棱数与顶点数+面数即E与V+F是否有某种关系，请大家按这个方向考察表中的数据，发现并归纳出它们都满足的关系.（积极验证，得出）V+F－E=2以上同学们得到的V+F－E=2这个关系式是由表1中的五种多面体得到，那么这个关系式对于其他的多面体是否也成立吗？请大家尽可能的画出多个其他多面体去验证.（许多同学可能举出前面学过的图形）四棱锥、五棱锥、六棱柱等.（教师应启发学生展开想象，举出更多的例子）一个三棱锥截去含3条棱的一个顶得到的图形、一个立方体截去一个角所得的图形等.好，同学们现在想象，例如：n棱锥在它的n边形面上增加一个“屋顶”或截去含n条棱的一个顶后，刚才的猜想是否成立？能证明吗？所得的多面体的棱数E为3n条，顶点数V为2n个，面数V为2+n 个，因2n+（2+n）－3n=2,故满足V+F－E=2这个关系式.请继续来观察下面的图形，填表2，并验证得出的公式工V＋F－E＝2_A（学生观察，数它们的顶点数V、面数F、棱数E，并填入表2，可能有些同学出错，教师在巡视时要及时给予指导，帮助学生填完）观察你们的数据，请验证这些图形是否符合前面找出的规律吗？其中哪些图形符合？一起来设想问题1和问题2中的图形.在某个橡皮膜上，当橡皮膜变形后，有的地方伸长、有的地方压缩，但不能破裂或折叠，橡皮膜上的图形的形状也跟着改变，这种图形的变化过程我们称之为连续变形.那么请大家试想这些图形中的哪些在连续变形中最后其表面可变为一个球面？问题1中的（1）~（5）和问题2中的（1）个图形表面经过连续变形能变为一个球面.请同学们继续设想问题2中⑴~⑻在连续变形中，其表面最后将变成什么图形？问题2中第⑻个图形；表面经过连续变形能变为环面像以上那些在连续变形中，表面能变为一个球面的多面体叫简单多面体.请大家判断我们前面所学的图哪些是简单多面体？棱柱、棱锥、正多面体、凸多面体是简单多面体.简单多面体的顶点数V、面数F的和与棱数E之间存在规律V+F－E=2.我们将它叫做欧拉公式，以上3个问题的解决让我们体会到了数学家欧拉发现V+F－E=2的过程.那么如何证明欧拉公式呢？请大家打开课的欧拉公式证明方法中的一种，认真体会它的证明思路和其间用到本P65的数学思想.（学生自学、教师查看，发现问题，收集问题下节课处理）在欧拉公式中，令f(p)＝V＋F－E。
f(p)叫做欧拉示性数。
简单多面体的欧拉示性数反思应用例1用三棱柱、四棱锥验证欧拉公式.解：在三棱柱中：V=6，F=5，E=9∵6+5－9=2，∴V+F－E=2在四棱锥中：V=5，F=5，E=8∵5+5－8=2，∴V+F－E=2例2 一个简单多面体的各面都是三角形，且有6个顶点，求这个简单多面体的面数.解：因为一个面都有3条边，每两条边合为1条棱.所以它的面数F和棱数E之间有关系E=3F/2.又由欧拉公式V+F－E=2，且顶点数V=6.∴F=E+2－V=E+2－6=3F/2－4∴F=8例3 证明：没有棱数为7的简单多面体.证明：设一个简单多面体的棱E=7，它的面数为F，顶点数为V，那么根据欧拉公式有V+F=E+2=9.又多面体的面数F≥4,顶点数V≥4,∴只能有两种情况：（1）F=4，V=5或（2）F=5，V=4当F=4时，多面体为四面体，而四面体只有4个顶点，故（1）不可能；当V=4时，多面体也是四面体，而四面体只有4个面，故（2）不可能.∴没有棱数为7的简单多面体.例4 已知一个十二面体共有8个顶点，其中两个顶点处各有6条棱，其他顶点处各有相同数目的棱，则其他顶点处各有几条棱？解：∵F=12，V=8，∴E=V+F－2=18∵两个顶点处各有6条棱∴余6条棱，6个顶点而这6个顶点构成六边形，过这6个顶点的棱应该各有4条.注意：本题也可以作为一个数学模型帮助我们去验证上述结果，即作一个六边形，在它所在面的两侧各取一个点，共8个顶点、12个面.从中体会构建数学模型对于解决问题的方便与直观.例5 证明：四面体的任何两个顶点的连线都是棱，而其他凸多面体都不具有这一性质.证明：设多面体的顶点数V=n,则它们互相连接成的棱数E=n(n－1)/2每一条棱是两个面的边界，每个面至少有3条棱作边界. ∴F ≤232n ⋅（n －1）=3n （n －1） ∵V +F =E +2∴n +3n （n －1）≥2n ·（n －1）+2, ∴6n +2n （n －1）≥3n （n －1）+12, ∴n 2－7n +12≤0,（n －3）（n －4）≤0. ∵n ≥4,∴n =4.例6 正n （n =4,8,20）面体的棱长为a ,求它们表面积共同公式. 解：∵正n （n =4,8,20）面体的面都是边长为a 的正三角形. ∴S △=43a 2∴它们表面积的共同公式为 S 全=n ·43432=a na 2（其中n =4,8,20）归纳总结本节课，我们一起体验了数学家欧拉运用数学思想与方法去发现公式V +F －E =2的过程；体会到数学家献身科学、勇于探索的科学研究精神；并通过大家自学了解证明欧拉公式成立的一种方法，希望同学们仔细阅读研究，从中提出一些新问题，待我们下节课一起讨论解决.作业（一）P 69 习题9.10 1、21、已知，凸多面体的各面都是四边形，求证：F =V －2 证明：∵这个凸多面体每个面都是四边形， ∴每个面都是四条边.又∵多面体相邻两面的两条边合为一条棱 ∴E =24F =2F ， 将代入欧拉公式V +F －E =2中，得F =V －2注意：数学中可启发学生考虑：各面是三角形或五边形的情况. 2、一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V 和面数F 有F =2V －4的关系.解：∵V +F －E =2 又∵E =23F ，∴V +F －23F=0，∴F =2V －4 （二）预习提纲（1）请尝试叙述欧拉公式的证明思路.（2）如何用欧拉公式解决“有没有棱数是7的简单多面体？” （3）为什么正多面体只有五种呢？ 第二课时 多面体欧拉公式的发现（二） 教学目标 （一）教学知识点 1.欧拉公式的证明.2.欧拉公式的应用.（二）能力训练要求1.使学生能理解多面体欧拉公式的证明过程并能叙述其证明思路.2.使学生掌握多面体欧拉公式并灵活地将其应用于解题中.（三）德育渗透目标继续培养学生寻求规律、发现规律、认识规律、并利用规律解决问题的能力.教学重点欧拉公式的应用.教学难点欧拉公式的证明思路.教学方法学导式本节课继续上节课对欧拉公式的研究活动，遵循寻求规律——发现规律——认识规律——应用规律的学习过程，对上节课已猜想出的欧拉公式进一步深入研究，探索它的证明思路，让学生了解这种证明思想，进而达到熟练掌握欧拉公式的目标，以便于学生得心应手地将欧拉公式应用到各种问题的解决中.教学过程情境设置上节课我们已经猜想出了欧拉公式并且同学们也已自学了它的证明过程，这节课我们继续对它的证明方法及其重要应用进行学习和探讨.探索研究的欧拉公式的证明进行了自学，那么，谁能上节课我们已对课本P65说一下课本中的证明思路和关键是什么？将立体图形转化为平面图形.下面我们运用拓扑变换的手段，将空间图形转化为平面图形进行证明证法一：（1）假想一凸多面体的面用薄橡皮做成，内部是空的，现破掉一个面，把其余的面展平并保持原表面的多边形的边数不变，成为一个平面网络，这时V、E不变，只是F少1，于是即证在网络中V－E+F=1.（2）在网络中的多边形边数若大于3，由于每增加一条对角线，则E、F各加上1，V－E+F不变，于是尽可能增加对角线，使网络成为全由三角形组成的网络.（3）边缘上的三角形若有一个边不是与其他三角形共边，去掉这边，则V不变，E、F各减少1；若有两边不与其他三角形共边，去掉这两边，则F、V各减少1，E减少2，这样逐步可把“周围”的三角形一一去掉（如图）.（4）最后剩下一个三角形，显然满足V－E+F=1，从而在凸多面体中，V－E+F=2.证法二：设F个面分别为n1,n2,…,n F边形，则所有面角总和∑a=（n1－2）π+（n2－2）π+…+（n F－2）π=（n1+n2+…+n F）π－2Fπ=2Eπ－2Fπ①如上面展成平面网络后，设去掉的一个面为n边形，可得到一个由n 边形围成的网络，内部有V－n个点.则∑a=（n－2）π+（n－2）π+（V－n）2π=（n－2）2π+（V－n）2π②由①、②易得我们所得到的式子.欧拉定理表明，任意的一个简单多面体，经过连续变形后，尽管它的形状可以变化万千，但有一个数始终不变，这就是：顶点数+面数－棱数，它总是等于2.所以将2叫做连续变形下的不变数.反思应用例1 1996年的诺贝尔奖授于对发现C有重大贡献的三位科学家。
