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综合实践活动：课题多面体欧拉定理的发现研究过程一、引言多面体欧拉定理是数学中的一项重要成果，它揭示了多面体的结构特征与顶点、边和面的关系。
本文将深入探讨多面体欧拉定理的发现研究过程，从历史背景、重要人物、关键实践活动等多个角度进行分析，以期对多面体欧拉定理的研究有更全面、详细、完整的了解。
二、历史背景多面体欧拉定理最早可以追溯到18世纪，当时数学家欧拉第一次提出了这个问题并得出了规律。
然而，在欧拉之前，古希腊数学家已经开始研究多面体，比如柏拉图就研究过正多面体。
多面体欧拉定理的发现离不开这些前人的努力，他们的研究奠定了基础。
三、欧拉的贡献3.1 多面体的定义在研究多面体欧拉定理之前，欧拉首先对多面体进行了界定。
他定义多面体为一个封闭的凸多面体，其由有限个平面多边形围成。
这个定义奠定了欧拉研究的基础。
3.2 欧拉公式的提出欧拉在研究多面体时，发现了一个有趣的公式，即多面体的顶点数、边数和面数之间存在着一个固定的关系：顶点数加上面数等于边数加2。
这个公式后来被称为欧拉公式。
3.3 通过多面体实践验证为了验证欧拉公式的正确性，欧拉进行了大量的实践活动。
他通过构建各种多面体，比如立方体、四面体、正六面体等，计算它们的顶点数、边数和面数，结果都符合欧拉公式的规律。
通过实践活动，欧拉成功地验证了自己的猜想，并得出了多面体欧拉定理。
四、多面体欧拉定理的证明欧拉提出的多面体欧拉定理虽然在实践中得到了验证，但其证明却花费了许多时间。
直到1864年，数学家C.A.根特梅尔提出了一种较为简洁的证明方法，被广泛接受并被视为多面体欧拉定理的正式证明。
4.1 根特梅尔的证明思路根特梅尔的证明思路非常巧妙，他首先考虑了二面体图（dual graph）的概念，即将多面体的面变成图的顶点，将多面体的边变成图的边。
然后，通过对二面体图进行分析，运用图的性质和拓扑学的知识，他得出了多面体欧拉定理的证明。
4.2 证明的要点根特梅尔的证明主要包括以下要点： - 根据二面体图的性质，证明了二面体图的性质与多面体的结构有关。
研究性课题：多面体欧拉公式的发现（一）●教学目标(一)教学知识点1．简单多面体的V、E、F关系的发现．2．欧拉公式的猜想．3．欧拉公式的证明．(二)能力训练要求1．使学生能通过观察具体简单多面体的V、E、F从中寻找规律．2．使学生能通过进一步观察验证所得的规律．3．使学生能从拓扑的角度认识简单多面体的本质．4．使学生能通过归纳得出关于欧拉公式的猜想．5．使学生了解欧拉公式的一种证明思路．(三)德育渗透目标1．通过介绍数学家的业绩，培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索的科学研究精神、激发学生对科学的热爱和对理想的追求．2．培养学生寻求规律、发现规律、认识规律，并利用规律解决问题的能力．●教学重点欧拉公式的发现．●教学难点使学生从中体会和学习数学大师研究数学的方法．●教学方法指导学生自学法首先通过问题1利用具体实物，从观察入手，培养学生对简单多面体V、E、F关系的感性认识并从中寻找规律；问题2让学生作进一步观察、验证得出规律；问题3让学生在认识简单多面体的基础上，通过归纳，得出关于欧拉公式的猜想，再通过问题4让学生了解欧拉公式的证明思路，即从理论上探索对发现规律的证明．以上4个问题逐步深入地展开，旨在不仅使学生在知识上有新的收获，同时应体会和学习研究数学的思想和方法．●教具准备投影片三张：第一张：课本P56的问题1及表1(记作§9．9．1 A)第二张：课本P57的问题2及表2(记作§9．9．1 B)第三张：课本P57的问题3及P58的问题4(记作§9．9．1 C)●教学过程Ⅰ．课题导入瑞士著名的数学家欧拉，是数学史上的最多产的数学家，他毕生从事数学研究，他的论著几乎涉及18世纪所有的数学分支．比如，在初等数学中，欧拉首先将符号正规化，如f(x)表示函数，e表示自然对数的底，a、b、c表示△ABC的三边等；数学中的欧拉公式、欧拉方程、欧拉常数、欧拉方法、欧拉猜想等．其中欧拉公式的一个特殊公式e iπ＋1＝0，将数学上的5个常数0、1、i、e、π联在一起；再如就是多面体的欧拉定理V-E＋F＝2，V、E、F分别代表一简单多面体的顶点、棱和面的数目，今天我们就去体验当年的数学大师是如何运用数学思想和方法发现欧拉公式并给予理论上的推理证明等研究活动，希望大家在活动中要充分展开自己的想象，展开热烈的讨论互相进行数学交流．Ⅱ．讲授新课［师］我们先从一些常见的多面体出发，对它们的顶点数V、面数F、棱数E列出表，请大家观察后填写表1(打出投影片§9．9．1 A)(学生观察，数它们的顶点数V、面数F、棱数E，填入表1) ［师］好，大家填的快速而准确，继续观察表1的各组数据，找出顶点数V、面数F及棱数E的关系如何？(学生寻找，可能一时不易得到，教师应给予适当点拨提问)［师］表1中多面体的面数F都随顶点数目V的增大而增大吗？［生］不一定．［师］请举例说明．［生］如八面体和立方体的顶点数由6增大到8，而面数由8减小到6．［师］此时棱的数目呢？［生］棱数都是一样的．［师］所以我们得到：棱的数目也并不随顶点数目的增大而增大．大家从表中还发现了其他的什么规律，请积极观察，勇于发言．［生］当多面体的棱数增加时，它的顶点与面数的变化也有一定规律．［师］举例说明．［生甲］如图中(1)和(2)的棱数由6增大到12，面数由4增大到6，此时的顶点数也在随棱数的增加而增加，即由4增大到8．［师］生甲叙述得严格吗？有不同意见吗？［生乙］顶点数和面数并不是严格按棱数的增大而增大的．［师］请试说说你归纳出来的规律．［生乙］我发现并认为：当顶点数随棱数的增加而减小时，它的面数一定是随棱数的增加而增加的；当面数随棱数的增加而减小时，它的顶点数却是随棱数的增加而增加．［师］生乙归纳得如何？大家对他的叙述同意吗？(可能会有其他想法，教师应给学生充分的时间，让他们畅所欲言，表达他们的新发现，并予以一一指导)［师］上面的归纳引导去猜想，棱数与顶点数＋面数即E与V＋F是否有某种关系，请大家按这个方向考察表中的数据，发现并归纳出它们都满足的关系．［生］(积极验证，得出)V＋F-E＝2［师］以上同学们得到的V＋F-E＝2这个关系式是由表1中的五种多面体得到，那么这个关系式对于其他的多面体是否也成立吗？请大家尽可能的画出多个其他多面体去验证．［生］(许多同学可能举出前面学过的图形)四棱锥、五棱锥、六棱柱等．(教师应启发学生展开想象，举出更多的例子)［生］一个三棱锥截去含3条棱的一个顶得到的图形、一个立方体截去一个角所得的图形等．［师］好，同学们现在想象，例如：n棱锥在它的n边形面上增加一个“屋顶”或截去含n条棱的一个顶后，刚才的猜想是否成立？能证明吗？［生］所得的多面体的棱数E为3n条，顶点数V为2n个，面数F为2＋n个，因2n＋(2＋n)-3n＝2，故满足V＋F-E＝2这个关系式．［师］请继续来观察一些其他图形的情况．(打出投影片§9．9．1 B)请同学们观察后，将所得数据填入表2中．(学生观察，数它们的顶点数V、面数F、棱数E，并填入表2，可能有些同学出错，教师在巡视时要及时给予指导，帮助学生填完)［师］观察你们的数据，请验证这些图形是否符合前面找出的规律吗？其中哪些图形符合？［生］(1)符合，(2)、(3)不符合．［师］一起来设想问题1和问题2中的图形．在某个橡皮膜上，当橡皮膜变形后，有的地方伸长、有的地方压缩，但不能破裂或折叠，橡皮膜上的图形的形状也跟着改变，这种图形的变化过程我们称之为连续变形．那么请大家试想这些图形中的哪些在连续变形中最后其表面可变为一个球面？(打出投影片§9．9．1 C)［生］问题1中的(1)~(5)和问题2中的(1)图形表面经过连续变形能变为一个球面．［师］请同学们继续设想问题2中(2)(3)在连续变形中，其表面最后将变成什么图形？［生］问题2中第(2)个图形，表面经过连续变形能变为环面；问题2中第(3)个图形，表面经过连续变形能变为两个对接球面．［师］像以上那些在连续变形中，表面能变为一个球面的多面体叫简单多面体．请大家判断我们前面所学的图哪些是简单多面体？［生］棱柱、棱锥、正多面体、凸多面体是简单多面体．［师］至此，在问题1、2、3的基础上，我们是否可以得到什么猜想？怎样用式子表达？(有了前面积极地认真解决了问题1、2、3后学生不难归纳出)［生］简单多面体的顶点数V、面数F的和与棱数E之间存在规律V＋F-E＝2．［师］我们将它叫做欧拉公式，以上3个问题的解决让我们体会到了数学家欧拉发现V＋F-E＝2的过程．那么如何证明欧拉公式呢？请大家打开课本P58的欧拉公式证明方法中的一种，认真体会它的证明思路和其间用到的数学思想．(学生自学、教师查看，发现问题，收集问题下节课处理)Ⅲ．课堂练习课本P61练习1、2．1．用三棱柱、四棱锥验证欧拉公式．解：在三棱柱中：V＝6，F＝5，E＝9，∵6＋5-9＝2，∴V＋F-E＝2。
多面体欧拉定理的发现我们知道，平面多边形由它的边围成，它的顶点数与边数相等，按边数可以对多边形进行分类，同类的多边形具有某些相同的性质。
多面体是由它的面围成立体图形，这些面的交线形成棱，棱与棱相交形成顶点。
在研究多面体的分类等问题中，人们逐步发现它的顶点数，面数和棱数之间有特定的关系。
以下我们将体验这种关系的发现及证明过程。
探索研究问题1：下列共有五个正多面体，分别数出它们的顶点数V、面数F和棱数E，并填表1观察表中填出的数据，请找出顶点数V、面数F及棱数E之间的规律。
教师巡视指导，如正十二面体，先定面数E＝12；再定棱数，每个面有5条棱，共有12×5＝60条，由于每条棱都是两个面的公共边，所以上面的计算每条棱被算过两次，于是棱数E＝60/2＝30；最后算顶点数，每个顶点处连有三条棱，所以它共有3V条棱，又因为每条棱连着两个顶点，所以上面的计算每条棱被算过两次，因此实际上只有3V/2条棱，即E＝3V/2，所以V＝20。
表1中多面体的面数F都随顶点数目V的增大而增大吗？（不一定）.请举例说明.（如八面体和立方体的顶点数由6增大到8，而面数由8减小到6）.此时棱的数目呢？（棱数都是一样的）.所以我们得到：棱的数目也并不随顶点数目的增大而增大.大家从表中还发现了其他的什么规律，请积极观察，勇于发言.（当多面体的棱数增加时，它的顶点与面数的变化也有一定规律）.上面的归纳引导去猜想，棱数与顶点数+面数即E与V+F是否有某种关系，请大家按这个方向考察表中的数据，发现并归纳出它们都满足的关系.（积极验证，得出）V+F－E=2以上同学们得到的V+F－E=2这个关系式是由表1中的五种多面体得到，那么这个关系式对于其他的多面体是否也成立吗？请大家尽可能的画出多个其他多面体去验证.（许多同学可能举出前面学过的图形）四棱锥、五棱锥、六棱柱等.（教师应启发学生展开想象，举出更多的例子）一个三棱锥截去含3条棱的一个顶得到的图形、一个立方体截去一个角所得的图形等.好，同学们现在想象，例如：n棱锥在它的n边形面上增加一个“屋顶”或截去含n条棱的一个顶后，刚才的猜想是否成立？能证明吗？所得的多面体的棱数E为3n条，顶点数V为2n个，面数V为2+n 个，因2n +（2+n ）－3n =2,故满足V +F －E =2这个关系式.请继续来观察下面的图形，填表2，并验证得出的公式工V ＋F －E ＝2_A（学生观察，数它们的顶点数V、面数F、棱数E，并填入表2，可能有些同学出错，教师在巡视时要及时给予指导，帮助学生填完）观察你们的数据，请验证这些图形是否符合前面找出的规律吗？其中哪些图形符合？一起来设想问题1和问题2中的图形.在某个橡皮膜上，当橡皮膜变形后，有的地方伸长、有的地方压缩，但不能破裂或折叠，橡皮膜上的图形的形状也跟着改变，这种图形的变化过程我们称之为连续变形.那么请大家试想这些图形中的哪些在连续变形中最后其表面可变为一个球面？问题1中的（1）~（5）和问题2中的（1）个图形表面经过连续变形能变为一个球面.请同学们继续设想问题2中⑴~⑻在连续变形中，其表面最后将变成什么图形？问题2中第⑻个图形；表面经过连续变形能变为环面像以上那些在连续变形中，表面能变为一个球面的多面体叫简单多面体.请大家判断我们前面所学的图哪些是简单多面体？棱柱、棱锥、正多面体、凸多面体是简单多面体.简单多面体的顶点数V、面数F的和与棱数E之间存在规律V+F －E=2.我们将它叫做欧拉公式，以上3个问题的解决让我们体会到了数学家欧拉发现V+F－E=2的过程.那么如何证明欧拉公式呢？请大家打开课本P65的欧拉公式证明方法中的一种，认真体会它的证明思路和其间用到的数学思想.（学生自学、教师查看，发现问题，收集问题下节课处理）在欧拉公式中，令f(p)＝V＋F－E。
高二数学第九节多面体欧拉公式的发现知识精讲人教版1.多面体的概念和分类由若干个多边形所围成的几何体，叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点.把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸面体，图1是凸多面体，图2不是凸多面体，前面学过的棱柱，棱锥都是凸多面体.一个多面体至少有四个面，多面体按它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体.2.正多面体的概念为了更好地弄清正多面体的概念，我们讲一讲与多面体有关的一些其他概念.多面角：从一点出发并且不在同一平面内的几条射线，以及每两条相邻射线之间的平面部分叫组成的图形.如图所示是一个多面角，记作多面体S—ABCD，或者多面角S.图中射线如SA叫做多面角的棱，S叫做顶点，相邻两棱如SA、SB之间的平面部分叫做多面角的面，∠ASB为多面角的面角.每相邻两个面角间的二面角为多面角的二面角，如E —SA—B.正多面体：如果面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角，这样的多面体叫做正多面体.3.正多面体的性质(i)正多面体的所有的棱，所有的面角和所有的二面角都相等.(ii)经过正多面体上各面的中心所在面的垂线相交于一点，这点到各顶点的距离相等，到各面的距离也相等.(iii)正多面体各面经过它中心的垂线的交点叫做正多面体的中心.定理：任何正多面体有一个内接球和一个外切球，这两个球同心.(iv)正多面体只存在五种：因为一个多面角的面数至少是三，并且它的各面角的和必须小于360°，而正n 边形的每个内角等于nn ︒⋅-180)2(，所以，由正三角形组成的正多面体只有三种：正四面体、正八面体和正十二面体；由正方形组成的正多面体只有一种：正六面体；由正五边形组成的正多面体也只有一种：正十二面体.书中是这样定义的正多面体：每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同的数目的棱的凸多面体，叫做正多面体.其实质是一样的.4.欧拉公式如果简单多面体的顶点数为V ，面数F ，棱数E ，那么V+F-E ＝2，这个公式叫做欧拉公式.计算棱数E 常见方法： (1)E ＝V+F-2(2)E ＝各面多边形边数和的一半 (3)E ＝顶点数与共顶点棱数积的一半【重点难点解析】本节是新增内容，教学要求只是了解，作为知识的综合性与联系，重点应掌握正多面体的概念，尤其是正四面体和正方体的性质，难点是欧拉公式例1 下列几何体是正多面体的是( ) A.长方体 B.正四棱柱C.正三棱锥D.棱长都相等的三棱锥 解 选D.因为棱长都相等的三棱锥就是正四面体.例2 对于下列命题：(1)底面是正多边形的，而侧棱长与底面边界长都相等的棱锥是正多面体；(2)正多面体的面不是三角形，就是正方形；(3)若长方体的各侧面都是正方形时，它就是正多面体；(4)正三棱锥就是正四面体，其中正确的序号是 .解 (2)显然不对，∵正十二面体每个面都是全等的正五边形.(1)所给的几何体是正棱锥，作为正棱锥每个侧面都是全等的正三角形，底面正多边形是任意的，而作为正多面体的所有面必须是全等的正多边形，故(1)、(4)不对.∴应填(3).例3 一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有 条棱， 面；②如果它是棱柱，那么它有 条棱 个面.解 ①如果它是棱锥，则是七棱锥，有14条棱，8个面 ②如果它是棱柱，则是四棱柱，有12条棱，6个面【难题巧解点拨】例1 一个凸多面体的各面都是五边形，求多面体的顶点数V 与面数F 之间的关系. 解 ∵凸多面体各面是五边形，且面数为F.∴该凸多面体的棱数E ＝25F ，代入欧拉公式：V+F-25F ＝2 即2V-3F ＝4.例2 一凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形的内角总和为( ) A.5400° B.6480° C.7200° D.7920° 解 由欧拉公式，V ＝E-F+2＝30-12+2＝20∴内角总和为(V-2)×360°＝6480° ∴应选B.例3 将边长为a 的正方体各侧面中心连结起来得到一个正八面体，求此正八面体的体积.解 根据正方体与正八面体的联系.可知正八面体的高为a ，侧棱长为22)2()2(a a ＝22a ，而正八面体可分为两个正四棱锥. 故 V ＝2×(22a)2×2a ×31＝62a .说明 用分割的方法把八面体分割成两个锥体，然后求体积.例4 在正四面体ABCD 中，E 、F 分别为棱AD 、BC 的中点，连接AF 、CE ， (1)求异面直线AF 、CE 所成角的大小； (2)求CE 与底面BCD 所成角的大小.解 (1)如图所示，设正四体棱长为a.在平面AFD 内作EG ∥AF 交DF 于G ，那么CE 与GE 所成非钝角的角就是异面直线AF 、CE 所成的角.由于正四面体的各个面是正三角形，所以AF ＝CE ＝DF ＝23a,GF ＝EG ＝21AF ＝43a,CG 2＝CF 2+GF 2＝(21a)2+(23a)2，即CG 2＝167a 2，于是CG ＝47a.在ΔCEG 中，cos ∠CEG ＝GE CE CG GE CE ⋅-+2222，所以cos ∠CEG ＝32，于是∠CEG ＝arccos32. 因此AF 、CE 所成的角为arccos32. (2)设A 在底面内射影为O ，连AO ，则AO ⊥平面BCD ，在平面AFD 内作EH ∥AO 交FD 于H ，那么EH ⊥平面BCD ，且EH ＝2122OD AD -＝2122)2332(a a ⋅-＝66a,CE ＝23a ，显然∠ECH 就是CE 底面BCD 所成的角.在Rt ΔEHC 中，sin ∠ECH ＝CEEH＝66a ∶23a ＝32，所以∠ECH ＝arcsin 32.例5 如图所示，四面体ABCD 的棱长为1，求AB 与CD 之间的距离.分析 AB 与CD 显然异面，这是求解异面直线间的距离问题，取AB 、CD 的中点E ，F ，连EF ，可设想EF 就是公垂线段。
几何体欧拉定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：几何体欧拉定理，又称为多面体定理，是数学中一个非常重要的定理，它描述了几何体中顶点数、棱数和面数之间的关系。
欧拉定理被认为是数学之美的一个重要组成部分，它深刻地揭示了空间几何结构的内在规律，对于研究几何体的性质和特征具有重要的指导意义。
欧拉定理的内容非常简洁，但却蕴含着深刻的数学思想。
欧拉定理的表述是：对于任意一个凸多面体，顶点数、棱数和面数之间的关系可以用公式V - E + F = 2来表达，其中V代表顶点数，E代表棱数，F代表面数。
这个公式也可以用更直观的方式来理解：一个凸多面体的顶点数减去棱数再加上面数等于2。
欧拉定理的历史可以追溯到18世纪，由瑞士数学家欧拉首次提出。
他在研究五棱柱和六棱柱时，发现了这个定理。
当时，欧拉并没有给出定理的证明，但他提出的这个概念却引起了数学家们的极大兴趣。
后来的数学家们通过不断的研究和探索，最终证明了这个定理的正确性，并将其推广到各种类型的多面体中。
欧拉定理的证明并不复杂，但却是十分巧妙的。
证明的基本思路是通过对几何体的结构特征进行分析，找出其中的一些规律，从而推导出V - E + F = 2这个公式。
证明的过程中需要运用到一些复杂的几何性质和数学方法，但总体来说，证明欧拉定理并不需要太高深的数学知识，只需要一些基本的几何学和代数学知识即可完成。
欧拉定理的意义不仅在于它揭示了凸多面体中顶点、棱和面之间的关系，更重要的是它对于几何学和拓扑学的发展产生了深远的影响。
欧拉定理为研究几何体的性质和特征提供了一个重要的理论基础，同时也为拓扑学的发展开辟了新的研究方向。
欧拉定理在数学领域中被广泛应用，成为了数学研究的一个重要工具。
除了在数学领域中的应用外，欧拉定理还有着许多实际的应用价值。
例如，在计算机图形学中，欧拉定理被用来优化多边形网格模型的构建和处理，通过对模型的顶点、棱和面进行分析，可以更好地理解和优化模型的结构，提高计算效率和图形质量。
《多面体欧拉公式的发现》教学设计黄石三中吴娅内容提要本文是高二下学期研究性课题《多面体欧拉公式的发现》的教学设计。
我设计的指导思想是“新课程标准”、“人本主义心理学”、“学科网群资源的运用”和“问题探究教学模式”。
在此思想指导下，整个教学设计体现了以学生为主体，关注学生的全面发展和长期发展。
欧拉公式的发现、验证及证明都由学生自己完成，要求学生用“自己”的头脑“亲自”获取知识，教师仅仅是教学活动中的组织者、参与者与合作者。
同时，学生研究的过程也是体验数学大师如何运用数学思想方法的过程，为以后从事研究活动奠定基础。
作为一种现代化的教学手段，本次课多媒体教学有着神奇而独特的作用。
它可以运用图象、声音、颜色、技巧等多种方法把知识展现给学生，既具有直观、形象、生动的特点，又能调动学生的多种感官同时参与学习，便于学生理解知识，并能留下深刻印象，把教学内容制成动画，让学生亲自动手，使他们喜闻乐见，激发了学习兴趣。
正文：一、教学目标（一）认知目标简单多面体的顶点数、面数、棱数关系的发现，欧拉公式的猜想、证明及其应用。
（二）能力目标1．使学生能通过观察、验证具体多面体的顶点数、面数、棱数，从中寻找规律，归纳得出关于欧拉公式的猜想。
2．使学生能从拓扑的角度认识简单多面体的本质。
3．使学生了解欧拉公式的证明思路。
4．培养学生寻求规律、发现规律、认识规律，并利用规律解决问题的能力。
（三）情感目标1．通过介绍数学家的业绩，培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索的科学研究精神，激发学生对科学的热爱和对理想的追求。
2．通过多媒体展示获取知识的现象和过程，激发学生的求知欲望和探究精神。
3．让学生学会交流与合作，形成合作与分享的意识。
教学目标一览表二、课型：课题研究课三、教学重难点重点是欧拉公式的发现，难点是使学生从中体会和学习数学大师研究数学的方法。
四、教材分析本节课“多面体欧拉公式的发现”采用了“研究性课题”的学习形式，其目的在于体现新大纲的特点。
一、课题：多面体欧拉定理的发现三、教学重、难点：欧拉定理的应用．四、教学过程：（一）复习：1．简单多面体的定义；2．欧拉定理；3．正多面体的种类．（二）新课讲解：例1．由欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种． 证明：设正多面体的每个面的边数为，每个顶点连有条棱，令这个多面体的面数为，每个面有条边，故共有条边，由于每条边都是两个面的公共边，故多面体棱数 （1）令这个多面体有个顶点，每一个顶点处有条棱，故共有条棱。
由于每条棱有两个顶点，故多面体棱数 （2）由（1）（2）得：，代入欧拉公式：．∴ （3），∵又，，但，不能同时大于，（若，，则有，即这是不可能的）∴，中至少有一个等于．令，则，∴，∴，∴．同样若可得．例2．欧拉定理在研究化学分子结构中的应用：1996年诺贝尔化学奖授予对发现有重大贡献的三位科学家。
是由60个原子构成的分子，它是形如足球的多面体。
这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，计算分子中五边形和六边形的数目． 解：设分子中有五边形个，六边形个。
分子这个多面体的顶点数，面数，棱数，由欧拉定理得：160()(360)22x y ++-⨯= （1），另一方面棱数可由多边形的边数和来表示，得 （2），由（1）（2）得：， ∴分子中五边形有12个，六边形有20个．例3．一个正多面体各个面的内角和为，求它的面数、顶点数和棱数．解：由题意设每一个面的边数为,则，∴，∵，∴,将其代入欧拉公式,得,设过每一个顶点的棱数为,则，得,即（1）,∵，∴,又，∴的可能取值为，,,当或时（1）中无整数解；当,由（1）得,∴, ∴，综上可知:，，.五、小结：1．欧拉定理的应用；2．会用欧拉公式解决简单多面体的顶点数、面数和棱数的计算问题．六、作业：课本第69页 习题9．10第2，3题．一、课题：多面体欧拉定理的发现阅读材料：走近欧拉欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家。
9.10 多面体欧拉定理的发现(1)齐鲁石化五中翟慎佳2003.3 【目的与要求】1．理解简单多面体的定义2．理解并熟记欧拉公式3．会运用欧拉公式及相关知识进行计算及推理【教学思路】正多面体5种→认识欧拉→拓扑变形→简单多面体概念→研究正多面体V、F、E的关系→欧拉定理→证明→欧拉定理的意义【教学过程】1.(1) 什么叫正多面体？特征？正多面体是一种特殊的凸多面体，它包括两个特征：①每个面都是有相同边数的正多边形；②每个顶点都有相同数目的棱数。
(2) 正多面体有哪几种？展示5种正多面体的模型。
为什么只有5种正多面体？著名数学家欧拉进行了研究，发现了多面体的顶点数、面数、棱数间的关系。
2. 介绍数学家欧拉欧拉（1707～1783）瑞士数学家，大部分时间在俄国和法国度过。
他16岁获硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，并毕生研究数学，是数学史上最“高产”的数学家，在世发表700多篇论文。
他的研究论著几涉及到所有数学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。
欧拉还是数学符号发明者，如用f (x)表示函数、∑表示连加、i表示虚数单位、π、e等。
在多面体研究中首先发现并证明了欧拉公式，今天我们沿着他的足迹探索这个公式。
3.要观念和方法上的创新。
4.多面体拓扑变形与简单多面体的概念考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它会连续（不破裂）变形，最后可变成一个球面。
像这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体。
5. 欧拉定理定理 简单多面体的顶点数V 、棱数E 及面数F 间有关系V+F-E=2公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律6. 定理的证明分析：以四面体ABCD 为例。
将它的一个面BCD 去掉，再使它变为平面图形，四面体的顶点数V 、棱数V 与剩下的面数F 1变形后都没有变（这里F 1=F-1）。
因此，要研究V 、E和F 的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可。
多面体欧拉定理的发现本论文主要讲述多面体欧拉定理的发现，证明与完善，及其拓展应用前言多面体欧拉定理是著名瑞士数学家莱昂哈德·欧拉所提出的.欧拉,出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城,13岁就进巴塞尔大学读书,得到当时最有名的数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli,1667-1748年）的精心指导．有许多关于欧拉的传说。
比如，欧拉心算微积分就像呼吸一样简单。
有一次他的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字，两人相差一个单位，欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行全部运算，最后把错误找了出来。
欧拉创作文章的速度极快，通常上一本书还没有印刷完，新的手稿就写好了，导致他的写作顺序与出版顺序常常相反，让读者们很郁闷。
而且，收集这些数量庞大的手稿也是一件困难的事情。
瑞士自然科学会计划出一部欧拉全集，这本全集编了将近100年，终于在上个世纪90年代基本完成，没想到圣彼得堡突然又发掘出一批他的手稿，使得这本全集至今仍未完成。
欧拉在数学上的建树很多,对著名的哥尼斯堡七桥问题的解答开创了图论的研究.欧拉还发现,不论什么形状的凸多面体,其顶点数V、棱数E、面数F之间总有V-E+ F=2这个关系.V-E F 被称为欧拉示性数,成为拓扑学的基础概念.以欧拉的名字命名的数学公式、定理等在数学书籍中随处可见, 与此同时,他还在物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面取得了辉煌的成就.欧拉还创设了许多数学符号,例如π（1736年）,i（1777年）,e （1748年）,sin和cos（1748年）,tg（1753年）,△x（1755年）,∑（1755年）,f(x)（1734年)等.1733年,年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授．1735年,欧拉解决了一个天文学的难题（计算彗星轨道）,这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决,而欧拉却用自己发明的方法,三天便完成了．然而过度的工作使他得了眼病,并且不幸右眼失明了,这时他才28岁．据说是因为操劳过度，也有一说是因为观察太阳所致.尽管如此他仍然靠心算完成了大量论文。
多面体欧拉公式证明欧拉公式是数学中最著名的定理之一，它被广泛应用于各个领域，如拓扑学、几何学、计算机图形学等。
欧拉公式最初是由瑞士数学家欧拉在1736年发表的一篇论文中提出的，该定理描述了一个多面体的顶点数、边数和面数之间的关系。
在本文中，我们将探讨欧拉公式的证明以及它在几何学和计算机图形学中的应用。
欧拉公式的表述如下：对于一个凸多面体，它的顶点数、边数和面数之间满足以下关系： V-E+F=2其中，V表示多面体的顶点数，E表示多面体的边数，F表示多面体的面数。
证明欧拉公式欧拉公式的证明可以通过归纳法来完成。
首先，我们可以证明对于一个点、一条线和一个面的多面体，欧拉公式成立。
这个多面体只有一个顶点、一条边和一个面，因此：V=1，E=1，F=1将这些值代入欧拉公式中，得到：1-1+1=1这个结论是正确的。
现在，我们考虑一个多面体，它有n个顶点、m条边和k个面。
我们假设对于任意一个顶点数小于n、边数小于m、面数小于k的多面体，欧拉公式都成立。
我们需要证明当顶点数为n、边数为m、面数为k时，欧拉公式也成立。
我们可以从多面体的一个顶点开始考虑。
这个顶点连接了一些边，这些边构成了一些面。
我们可以将这些面分成两类：与这个顶点相邻的面，和不与这个顶点相邻的面。
我们用F1表示与这个顶点相邻的面的个数，用F2表示不与这个顶点相邻的面的个数。
同样地，我们用E1表示与这个顶点相邻的边的个数，用E2表示不与这个顶点相邻的边的个数。
我们可以将多面体分成若干个部分，每个部分都是一个凸多面体。
这些部分可以通过将与这个顶点相邻的面删除而得到。
这些部分的顶点数、边数和面数分别为v1、e1和f1，其中v1<E1。
因此，根据归纳假设，每个部分都满足欧拉公式：v1-e1+f1=2将这些方程相加，得到：v1-e1+f1+v2-e2+f2+...+vk-ek+fk=2k我们发现，这个等式左边的每一项都可以转化成与这个顶点相邻的面、边和顶点的个数。
9.10研究性多面体欧拉定理的发现(一)教学目的：1.了解多面体与简单多面体的概念、发现欧拉公式.2.培养学生发现问题、探究问题、归纳总结能力.教学重点：欧拉公式的发现过程.教学难点：欧拉定义及其证明.授课类型：新授课.课时安排：3课时.教具：多媒体、实物投影仪.内容分析：本节为研究性课题.通过研究欧拉定理的发现过程，让学生了解欧拉公式及其简单应用，扩大学生的知识面，培养学生学习数学的兴趣.教学过程：一、复习引入：1.欧拉生平事迹简说：欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家.1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝.（详细资料附后）2.多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．3．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体．4．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等.二、讲解新课：1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面.如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体.说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体.正多面体顶点数V面数F棱数E正四面体 4 4 6正六面体8 6 12正八面体 6 8 12正十二面体20 12 30正二十面体12 20 30⑹⑸发现：它们的顶点数V 、面数F 及棱数E 有共同的关系式：2V F E +-=．上述关系式对简单多面体都成立.3.欧拉公式的探究1．请查出图⑹的顶点数V 、面数F 、和棱数E ，并计算V ＋F －E ＝6+6-10=22．查出图⑺中的顶点数V 、面数F 、和棱数E ，并验证上面公式是否还成立？3.假如图⑸→图⑻的多面体表面是像皮膜，向内充气则⑸⑹将变成一个球面，图⑺将变成两个紧贴的球面，图⑻将变成一个环面.可以验证：只有像⑸⑹这样，经过连续变形，表面能变为一个球面的多面体才满足公式V ＋F －E ＝2.这个公式称为欧拉公式，这样的多面体称为简单多面体.4．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 有关系式：2V F E +-=．证明:(方法一)(10)AB CD EA 1B 1C 1D 1E 1E 1D 1C 1B 1A 1E D C⑴如图⑽：将多面体的底面ABC DE 剪掉，抻成平面图形，其顶点、棱数，面数（剪掉面用右图中ABC DE 表示）均没有变，故所有面的内角总和不变.⑵设左图中共有F 个面，分别是12,,,F n n n 边形，顶点数为V ，棱数为E,则122F n n n E +++=. 左图中，所有面的内角总和为 ︒-++︒-+︒-180)2(180)2(180)2(21F n n n＝︒-+++180)2(21F n n n F＝︒-180)22(F E()360E F =-︒⑶右图中，所有面的内角总和为V 360V 2180V 2180()⋅︒︒︒下下上＋（－）＋（－）剪掉的底面内角和＝0V V 2360(2)360V ︒=-上上（＋－）⑷()360E F -︒＝0(2)360V -整理得2V F E +-=.（方法二）以四面体ABCD 为例来说明：将它的一个面BCD 去掉，并使其变为平面图形，四面体的顶点数V 、棱数E 与剩下的面数(1)F -变形后都没有变.因此，要研究V 、E 和F 的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可.对平面图形，我们来研究：（1）去掉一条棱，就减少一个面.例如去掉BC ，就减少一个面ABC ．同理，去掉棱CD 、BD ，也就各减少一个面ACD 、ABD ．所以(1)F E --、V 的值都不变，因此(1)V F E +--的值也不变.（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点.例如去掉CA ，就减少一个顶点C ．同理，去掉DA 就减少一个顶点D ，最后剩下AB （如图）．在此过程中V E -的值不变，但这时面数F 是0，所以(1)V F E +--的值也不变.由于最后只剩下AB ，所以(1)2011V F E +--=+-=，最后加上去掉的一个面，就得到2V F E +-=．4．欧拉示性数：在欧拉公式中令()f p V F E =+-，()f p 叫欧拉示性数.说明：（1）简单多面体的欧拉示性数()2f p =．（2）带一个洞的多面体的欧拉示性数()0f p =．例如：长方体挖去一个洞连结底面相应顶点得到的多面体()1616320f p =+-=．三、讲解范例：例1.一个n 面体共有8条棱，5个顶点，求n .解：∵2V F E +-=，∴25F E V =+-=，∴5n =．例2．一个正n 面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求n .解：∵8V =，83122E ⨯==， ∴26F E V =+-=，∴6n =． 四、小结：欧拉定理及其证明；欧拉示性数.五、课后作业：六、板书设计（略）.七、欧拉（EulerLonh a rd ，1707～1783）欧拉，瑞士数学家及自然科学家.在1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国的彼得堡去逝.欧拉出生于牧师家庭，自幼已受到父亲的教育.13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位.欧拉的父亲希望他学习神学，但他最感兴趣的是数学.在上大学时，他已受到约翰第一．伯努利的特别指导，专心研究数学，直至18岁，他彻底的放弃当牧师的想法而专攻数学，于19岁时（1726年）开始创作文章，并获得巴黎科学院奖金.1727年，在丹尼尔．伯努利的推荐下，到俄国的彼得堡科学院从事研究工作.并在1731年接替丹尼尔第一．伯努利，成为物理学教授.在俄国的14年中，他努力不懈地投入研究，在分析学、数论及力学方面均有出色的表现.此外，欧拉还应俄国政府的要求，解决了不少如地图学、造船业等的实际问题.1735年，他因工作过度以致右眼失明.在1741年，他受到普鲁士腓特烈大帝的邀请到德国科学院担任物理数学所所长一职.他在柏林期间，大大的扩展了研究的内容，如行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学等，这些工作与他的数学研究互相推动着.与此同时，他在微分方程、曲面微分几何及其它数学领域均有开创性的发现.1766年，他应俄国沙皇喀德林二世敦聘重回彼得堡.在1771年，一场重病使他的左眼亦完全失明.但他以其惊人的记忆力和心算技巧继续从事科学创作.他通过与助手们的讨论以及直接口授等方式完成了大量的科学著作，直至生命的最后一刻.欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域.此外，他是数学史上最多产的数学家，写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，《无穷小分析引论》（1748），《微分学原理》（1755），以及《积分学原理》（1768-1770）都成为数学中的经典著作.欧拉最大的功绩是扩展了微积分的领域，为微分几何及分析学的一些重要分支（如无穷级数、微分方程等）的产生与发展奠定了基础.欧拉把无穷级数由一般的运算工具转变为一个重要的研究科目.他计算出ξ函数在偶数点的值.他证明了a 2k 是有理数，而且可以伯努利数来表示.此外，他对调和级数亦有所研究，并相当精确的计算出欧拉常数γ的值,其值近似为0.57721566490153286060651209... 在18世纪中叶，欧拉和其它数学家在解决物理方面的问过程中，创立了微分方程学.当中，在常微分方程方面，他完整地解决了n 阶常系数线性齐次方程的问题，对于非齐次方程，他提出了一种降低方程阶的解法；而在偏微分方程方面，欧拉将二维物体振动的问题，归结出了一、二、三维波动方程的解法.欧拉所写的《方程的积分法研究》更是偏微分方程在纯数学研究中的第一篇论文.在微分几何方面（微分几何是研究曲线、曲面逐点变化性质的数学分支），欧拉引入了空间曲线的参数方程，给出了空间曲线曲率半径的解析表达方式.在1766年，他出版了《关于曲面上曲线的研究》，这是欧拉对微分几何最重要的贡献，更是微分几何发展史上一个里程碑.他将曲面表为z=f(x,y)，并引入一系列标准符号以表示z 对x ，y 的偏导数，这些符号至今仍通用.此外，在该著作中，他亦得到了曲面在任意截面上截线的曲率公式.欧拉在分析学上的贡献不胜枚举，如他引入了G 函数和B 函数，这证明了椭圆积分的加法定理，以及最早引入二重积分等等. 在代数学方面，他发现了每个实系数多项式必分解为一次或二次因子之积，即a +b i 的形式.欧拉还给出了费马小定理的三个证明，并引入了数论中重要的欧拉函数φ(n)，他研究数论的一系列成果奠定了数论成为数学中的一个独立分支.欧拉又用解析方法讨论数论问题，发现了ξ函数所满足的函数方程，并引入欧拉乘积.而且还解决了著名的柯尼斯堡七桥问题.欧拉的风格是很高的，拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家.从19岁起和欧拉通信、讨论等周问题的一般解法，从而引起了变分法的诞生.等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题，拉格朗日的解法，博得了欧拉的热烈赞扬，1759年10月2日欧拉在回信中盛赞拉格朗日的成就，并谦恭地压下自己在这方面较不成熟的作品暂不发表，使年轻的拉格朗日的著作得以发表和流传，赢得巨大声誉.1783年9月18日下午，欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功，请朋友们吃饭.那时天王星刚发现不久，欧拉写出计算天王星轨道的要领，还和他的孙子逗笑，喝茶后，突然疾病发作，烟斗从手中落下……欧拉就这样“停止了生命和计算”.历史学家把欧拉和阿基米德、牛顿、高斯并列为有史以来贡献最大的四位数学家．他们有一个值得注意的共同点，就是在创建纯粹理论的同时，还应用这些数学工具去解决大量天文、物理、力学等方面的实际问题.他们的工作常常是跨学科的，他们不断地从实践中吸取丰富的营养，但又不满足于具体问题的解决，而力图探究宇宙的奥秘，揭示其内在的规律.欧拉留给后人丰富的科学遗产中，分析、代数、数论占4o％，几何占18％，物理和力学占28％，天文占11％，弹道学、航海科学、建筑等其他问题占3％.1748年在瑞士洛桑出版的他的《无穷小分析引论》，是划时代的代表作，也是世界上第一本完整的有系统的分析学.欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理.。
