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第六章状态反馈和状态观测..

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现代控制理论 状态反馈与状态观测器

现代控制理论 状态反馈与状态观测器
• 设计方法见书。
五、带观测器的状态反馈系统 • 在状态反馈中,不采样原系统的状态进行反 馈而采用状态观测器估计的状态进行反馈, 其结构图如下图所示.
• 状态估计器
x ( A GC ) x Bu Gy ˆ ˆ ˆ y Cx
• 原系统
x Ax Bu ˆ x Ax Bkx Bv y Cx ˆ x ( A Bk ) x Bk ( x x) Bv u v kx ˆ
• 传函不变,即
y C (sI A Bk ) B.v
1
• 显然系统的特性由矩阵的特征多项式
ˆ A Bk A 0 A GC Bk
决定.
• 由
ˆ det[ I A] det( I A Bk ) det( A GC ) 0
• 注意上述方法仅适用于SISO系统.
4.几点说明
(1).对SISO系统来说,状态反馈只改变极点位 臵,不影响零点. (2).由于改变了极点,因此可能出现零极点对 消,从而影响系统的可观性.
(3).从实现的角度,状态反馈比输出反馈 困难,复杂. (4)对SISO系统来说,极点配臵只改变了极 点在S平面上的位臵,显然不采用这种方法 难于达到系统动静性能的一致. (5).对MIMO来说,极点配臵的方法与SISO 方法是一致的,但SISO的k阵是唯一的,而 MIMO的k阵是非唯一的.
• 系统的状态估计器极点可任意配臵的充要 条件是:该系统的状态是可观的.
(3).状态估计器的设计方法. • 仿照状态反馈的极点配臵设计方法,只需先 进行可控性检验,改成可观性检查即可,其余 步骤相同.
四、降维观测器设计
• 一般情况下观测器是建立在对原系统模拟基 础上的，因而其维数和受控系统维数是相同 的，称为全维观测器（或估计器）。

第六章状态反馈与状态观测器

第六章状态反馈与状态观测器
.
y 0 1x
1）判断原系统的能控性，能观性。 0 1 rankb Ab rank 2 能控 1 0
C 0 1 rank rank 2 CA 1 0
能观
13
6.1 状态反馈和输出反馈
2）引入状态反馈： u v Kx
则： x ( A bK ) x bV 可得：
Modern Control Theory
第六章
状态反馈和状态观测器
1
第六章 状态反馈和状态观测器
目前为止，我们已经：
建立了系统的状态空间模型
提出了基于状态空间模型的系统的运动分析
探讨了系统的性能：稳定性、能控性、能观性 “认识了世界” ⇒ 如何来“改变世界”？！ 设计控制系统！ 系统的控制方式----反馈？：开环控制、闭环控制
– 极点位置（系统矩阵的特征值）
通过反馈控制器的设计，可使得闭环系 统的极点位于预先给定的期望位置。
16
6.2 极点配置问题
定义：通过选择反馈增益矩阵K,将闭环系统的 极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获 得所希望的动态性能。
极点配置的方法：
一、采用状态反馈
(Ⅰ)定理：线性定常系统可通过线性状态反馈 任意地配置其全部极点的充要条件 是：此被控系统状态完全能控。
不改变 系统的 能控性 和能观 性
状态反馈 — 效果佳
都不改变 系统维数 （因为两种 反馈形式均 输出反馈 — 实现方便 但能力有限
未增加新的 状态变量）
15
6.2 极点配置问题
• 系统性能：稳态性能和动态性能
– 稳态性能：稳定性、静态误差 – 动态性能：调节时间、响应速度...
• 影响系统稳定性、动态性能的因素：

第六章 状态反馈与状态观测器

第六章 状态反馈与状态观测器

• 考察
T & u x = Ax+B z = A z +CTυ & 的对偶系统 n = BT z y =Cx
(4)Biblioteka 且定义 v=r-Kz • 则
T z =(A −CTk)z +CTr & n = BT z
(5)
• 注意到 AT −CTk =(A−kTC)T
(A−kTC)T 和 A−kTC • 而
(4).带观测器的状态反馈系统 带观测器的状态反馈系统. 带观测器的状态反馈系统 • 在状态反馈中 不采样原系统的状态进行反 在状态反馈中,不采样原系统的状态进行反 馈而采用状态观测器估计的状态进行反馈, 馈而采用状态观测器估计的状态进行反馈 其结构图如下图所示. 其结构图如下图所示
• 状态估计器
2.极点配置条件 极点配置条件 • 若被控系统 Σ0(A, B) 是状态完全能控的,那么 是状态完全能控的 那么 反馈系统的极点必是可以任意配置的,或者 反馈系统的极点必是可以任意配置的 或者 说,能使闭环系统极点任意配置的条件是被 能使闭环系统极点任意配置的条件是被 控系统完全可控. 控系统完全可控
极点配置(仅讨论单输入 单输出系统) 二.极点配置 仅讨论单输入 单输出系统 极点配置 仅讨论单输入/单输出系统 1.什么是极点配置 什么是极点配置. 什么是极点配置 A− • 如果 Σk[(A−Bk), B,C]的全部 个)极点可以通过 的全部(n个 极点可以通过 选择状态反馈矩阵K的各元素而移至 的各元素而移至S平面 选择状态反馈矩阵 的各元素而移至 平面 任意指定的位置,称该系统是极点可任意配 任意指定的位置 称该系统是极点可任意配 置的。 置的。
• 由(1)和(2)得 和 得

现代控制理论(中南大学)现代控制理论第六章2010

现代控制理论(中南大学)现代控制理论第六章2010

于是，从 v 到 y 的传递函数矩阵 G(s; K, L) 为：
G(s；K，L) C(sI A)1B[I K (sI A)1B]1L G(s)[I K (sI A)1B]1L
2022年3月22日
第六章状态反馈和状态观测器
G(s；K，L) C(sI A)1B[I K (sI A)1B]1L G(s)[I K (sI A)1B]1L
ai(k)
2) 计算理想特征多项式
f (x) (s 1)(s 2) (s n) sn a1*sn1 an*1s an*
3) 列方程组 ai (k) ai*,i 1,, n.并求解 。
其解
k ,[即k1为,所, k求n ]
2022年3月22日
第六章状态反馈和状态观测器
算法2：直接法
闭环系统结构：
v
L
-
y
G(s)
K (sI A)1 B
2022年3月22日
第六章状态反馈和状态观测器
定理 6.1.1 对于任何实常量矩阵 K，系统 K 完全能控的
充要条件是系统 完全能控。 证 注意到系统 和 K 的能控性矩阵分别为
uc [B AB A2B An1B] uc ' [B ( A BK )B ( A BK )2 B ( A BK )n1 B] 由 (A BK)B AB B(KB) ，可知 (A BK)B的列向量可以由 (B AB) 的列向量的线性组合表示。
2022年3月22日
第六章状态反馈和状态观测器
②若 D ，0 则
则闭环系统 K 的结构为：
vL
u
-B
s 1 +
A
Cy
K
K 的状态空间表达式为： K ：x (A BK)x BLv y Cx

(整理)第6章习题答案

(整理)第6章习题答案

《现代控制理论》第6章习题解答6.1 分析开环状态估计方案的误差动态特性。

（说明开环形式的观测器其误差的衰减是不变的，而闭环形式的观测器其误差的衰减是可以改变的）。

答：针对线性时不变系统x Ax Buy Cx=+⎧⎨=⎩ (1) 开环形式的观测器：x Ax Bu =+误差动态方程为e x x Ae =-=其初始误差(0)e 的时间响应为()(0)At e t e e =误差的衰减是由系统模型的状态矩阵决定的，无法改变。

(2) 闭环形式的观测器：()()x Ax Bu L y Cx A LC x Bu Ly =++-=-++误差动态方程为()()e x x Ax Bu A LC x Bu Ly A LC e =-=+----=-其初始误差(0)e 的时间响应为()()(0)A LC t e t e e -=误差的衰减由A LC -决定，其中A 、C 由系统模型确定，而观测器增益矩阵L 由设计者决定，所以误差的衰减是可以改变的。

6.2 为什么要构建状态观测器？画出全维状态观测器的系统结构图。

写出状态观测器的状态方程。

答: 构建状态观测器的原因：（1）在许多实际系统中，系统的状态变量并非都是物理量，从而这些状态变量未必都可以直接测量得到。

（2）即使状态变量是物理量，可以通过传感器测量得到，但要直接测量所有的信号一方面会造成系统成本的提高，另一方面，大量传感器的引入会使系统可靠性降低。

状态观测器的模型为()()x Ax Bu L y y A LC x Bu Ly=++-=-++其中，x 是观测器的n 维状态，L 是一个n p ⨯维的待定矩阵。

全维状态观测器的系统结构图为：+-y x6.3 存在龙伯格状态观测器的条件是什么？龙伯格状态观测器中的增益矩阵L 的行数和列数怎样确定？答：存在龙伯格状态观测器的条件是：系统是状态能观的。

龙伯格状态观测器中的增益矩阵L 的行数和列数分别等于状态变量和输出量的个数。

现代控制理论 状态反馈与状态观测器

现代控制理论 状态反馈与状态观测器
• 在状态反馈中,有些状态是无法观测的,或无 法用物理方法量测出来,因此可用状态观测 器来解决这一问题.
• 所谓状态观测器是物理上可以实现的动力 学系统,它在被观测系统输入量和输出量的 激励下,产生一组逼近于被观测系统的状态 变量的输出.
• 这组输出的状态变量便可作为被观测系统 状态变量的估计值.
2.极点配置条件
• 若被控系统0(A, B) 是状态完全能控的,那么 反馈系统的极点必是可以任意配置的,或者 说,能使闭环系统极点任意配置的条件是被 控系统完全可控.
• 注意:
(1).对不可控的系统则不可能采用状态反馈 方法重新配置所有极点. (2).状态反馈可改变系统的极点,但不改变零 点.
• 以上是状态观测器的整个设计思想和目的.
• 估计的模型
xˆAxˆBuG(yCxˆ) (2) (AGC)xˆBuGy
(1).G的选择原则.
由(1)和(2)建立误差方程 定义 exxˆ 则 exxˆ(AG C)e显然误差e的特性是由
(A-GC)的特征值决定,显然G选择的原则是使 e tt1 0,t1 足够地小,从而G的选择也是使 A-GC的特征根按要求放在合适的位置上.
自动控制原理Ⅱ
第六章 状态反馈与状 态观测器
主要讲述:
1).状态反馈. 2).极点配置. 3).状态观测器.
一.系统的状态反馈
• 对于方程
x Ax Bu

y

Cx
• 系统的性质完全是由A决定的,因此要改变 系统的性质,只需改变A的形式.
• 从数学上来讲,即构造u,从而导致下列方程 成立
四、降维观测器设计
x Ax Br

y

Cx
• A 是满足要求的方阵

现代控制实验状态反馈器和状态观测器的设计

现代控制实验状态反馈器和状态观测器的设计现代控制实验中，状态反馈器和状态观测器是设计系统的重要组成部分。

状态反馈器通过测量系统的状态变量，并利用反馈回路将状态变量与控制输入进行耦合，以优化系统的性能指标。

状态观测器则根据系统的输出信息，估计系统的状态变量，以便实时监测系统状态。

本文将分别介绍状态反馈器和状态观测器的设计原理和方法。

一、状态反馈器的设计：状态反馈器的设计目标是通过调整反馈增益矩阵，使得系统的状态变量在给定的性能要求下，达到所需的一组期望值。

其设计步骤如下：1.系统建模：通过对被控对象进行数学建模，得到描述系统动态行为的状态空间表达式。

通常表示为：ẋ=Ax+Buy=Cx+Du其中，x为系统状态向量，u为控制输入向量，y为系统输出向量，A、B、C、D为系统的状态矩阵。

2.控制器设计：根据系统的动态性能要求，选择一个适当的闭环极点位置，并计算出一个合适的增益矩阵。

常用的设计方法有极点配置法、最优控制法等。

3.状态反馈器设计：根据控制器设计得到的增益矩阵，利用反馈回路将状态变量与控制输入进行耦合。

状态反馈器的输出为：u=-Kx其中，K为状态反馈增益矩阵。

4.性能评估与调整：通过仿真或实验，评估系统的性能表现，并根据需要对状态反馈器的增益矩阵进行调整。

二、状态观测器的设计：状态观测器的设计目标是根据系统的输出信息，通过一个状态估计器，实时估计系统的状态变量。

其设计步骤如下：1.系统建模：同样地，对被控对象进行数学建模，得到描述系统动态行为的状态空间表达式。

2.观测器设计：根据系统的动态性能要求，选择一个合适的观测器极点位置，以及一个合适的观测器增益矩阵。

常用的设计方法有极点配置法、最优观测器法等。

3.状态估计：根据观测器设计得到的增益矩阵，通过观测器估计系统的状态变量。

状态观测器的输出为：x^=L(y-Cx^)其中，L为观测器增益矩阵，x^为状态估计向量。

4.性能评估与调整：通过仿真或实验，评估系统的状态估计精度，并根据需要对观测器的增益矩阵进行调整。

北航_自控实验报告_状态反馈和状态观测器

北航_自控实验报告_状态反馈和状态观测器摘要：本实验通过对一个质点的运动进行实时控制的实验研究，了解了状态反馈和状态观测器的原理和应用。

通过实验验证了状态反馈和状态观测器在控制系统中的重要性和有效性。

1引言状态反馈和状态观测器是控制系统中常用的两种控制方法，可以实现对系统状态的准确估计和实时控制。

在实际控制应用中，状态反馈和状态观测器广泛应用于电力系统、轨道交通系统等领域。

本实验通过对一个质点运动的控制，以实验方式掌握状态反馈和状态观测器的原理和应用。

2实验目的2.1理解状态反馈和状态观测器的原理；2.2 学会使用Matlab编程实现状态反馈和状态观测器；2.3通过实验验证状态反馈和状态观测器的有效性。

3实验内容与方法3.1实验设备本实验所需设备和材料有：计算机、Matlab软件。

3.2系统建模通过对质点的运动进行建模，得到系统的状态空间方程，用于状态反馈和状态观测器的设计。

3.3状态反馈设计根据系统建模和状态反馈的原理，设计状态反馈控制器，并进行仿真实验。

3.4状态观测器设计根据系统建模和状态观测器的原理，设计状态观测器，并进行仿真实验。

4实验结果与分析4.1状态反馈实验结果在进行状态反馈实验时，观察到质点运动的稳定性得到了明显提高，达到了预期的控制效果。

4.2状态观测器实验结果在进行状态观测器实验时，观察到对系统状态的估计准确性得到了明显提高，状态观测器的设计能够很好地预测系统状态变化。

5结论本实验通过对一个质点运动进行实时控制的实验研究，学习并实践了状态反馈和状态观测器的原理和应用。

通过实验验证了状态反馈和状态观测器在控制系统中的重要性和有效性。

实验结果表明，状态反馈和状态观测器能够有效改善系统的稳定性和估计准确性，达到了实时控制的目的。

[1]袁永安.现代控制理论与技术[M].北京：中国电力出版社。

[2]何国平，刘德海.控制系统设计与应用[M].北京：中国电力出版社。

[3]王晓红.状态反馈和状态观测在电力系统控制中的应用[J].电网技术，2024。

第六章状态反馈和状态观测器1


G(s)
s(s
1 6)(s
12)
s3
1 18s 2
72s
综合指标为： % 5%；tS 0.5s，ep 0,试用状态反馈实现上述指标。
解：将极点配置为一对主导极点和一个非主导极点；根据二阶
系统的性能指标，求出 0.707，n 10。取 0.707，n 10
则，主导极点为：
s1，2 0.707 j7.07
变量，也没有增加系统的维数，但可以通过K阵的选择自由地改变闭环系统 的特征值，从而使系统达到所要求的性能。
6.1.2 输出反馈
输出反馈是将受控系统的输出变量，按照线性反馈规律反馈到输入端， 构成闭环系统。这种控制规律称为输出反馈。经典控制理论中所讨论的反馈 就是这种反馈，其结构图如下 ：
r(t) u(t) B
r(t) u(t) B
x(t) x(t) C
y(t)
A
K
图中受控系统的状态空间表达式为 (A, B,C)的状态空间表达式为 0 x Ax Bu
y Cx
式中，A为n×n矩阵；B为n×r矩阵；C为m×n矩阵。
状态反馈控制律为
u r Kx
式中，r为r×1参考输入；K为r×n状态反馈阵。对单输入系统，K为1×n的 行向量。
sn rn1sn1 r0 0
实际系统与希望系统的特征方程的系数应当相一致。
3、状态反馈阵K的计算步骤 1）判断A，b能控性 2）写出实际的闭环特征方程（传递阵的分母为0的方程）
SI [A bK] 0
3）根据要配置的特征根，写出希望的特征方程
f (s) (s 1)(s n ) 0
4）对应实际的与希望的特征方程，求出K。
被控系统 模拟系统
x Ax Bu y Cx xˆ (A GC)xˆ Bu Gy yˆ Cxˆ

现代控制理论-第六章


• 新系统的状态方程为
x1 0 x 0 2 x3 10000 y 1 0 0x 1 0 1510 x1 0 1 x2 0 u 114 .1 x3 10000 0
x Ax Bu

• 新系统
y Cx v Hy u x ( A BHC ) x Bv y Cx

2.输出反馈到状态微
• 原系统 • 完全可观 • 新系统
x Ax Bu y Cx


x Ax Bu Hy y Cx x ( A HC ) x Bu y Cx
• 新系统的方框图
第三节 全维状态观测器
•一.定义：若系统是完全可观的，但因种种原因，如空间 不足、成本较高等，无法将状态量测到，可人为建立全部 状态，使构建的状态变量无限接近原系统的状态变量，称 为全维状态观测器，简称状态观测器。 •二.实现条件：系统完全可观 •三.实现方法： •1.原系统 x Ax Bu, y Cx
1 S 3 114 .1S 2 1510 S lim 0.151 0.2 S 0 S S 3 114 .1S 2 1510 S 10000
• 新系统的传递函数为
G(S ) k 10000 3 ( S 100 )( S 7.07 j 7.07 )( S 7.07 j 7.07 ) S 114 .1S 2 1510 S 10000
2
• 3.利用状态反馈实现极点配置： I ( A BHC ) • 4.利用状态反馈实现极点配置： I ( A HC )
2
h
h1 h2
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输出反馈传递函数阵的公式求出，
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Gab (s) (sI A)1 B[ I K (sI A)1 B]1
于是，从 即为
v
到 y 的传递函数矩阵 G(s; K , L)
G( s；K，L) C (sI A) B[ I K (sI A) B] L G(s)[ I K (sI A)1 B]1 L
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控制器结构
增益调度算法
• • • • • Production rate Machine speed Mach number & dynamic pressure Room occupancy Many uses – Linearization of actuators – Surge tank control – Control over wide operating regions Important issues – Choice of scheduling variables – Granularity of scheduling table – Interpolation schemes – Bump-less parameter changes – Man machine interfaces Importance of auto-tuning
– – – – – – + Reduce effect of disturbances + Reduce effect of process variations + Linearize nonlinear systems + Does not require accurate process model - Measurement noise is injected into the system - Risk for instability
k1
k n 1
0 0 0 a0 k0
•
• •
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线性反馈系统的时间域综合 • 性能指标的类型： – 优化型指标：一类极值型指标，综合目标是要使性能指标在所有 可能值中取为极小（或极大）值。
– 非优化型指标：一类不等式的指标，即只要性能值达到或好于期 望指标就算实现了综合目标。
– 非优化型指标提法： • 镇定问题：以渐进稳定作为性能指标。 • 极点配置问题：以一组期望的闭环系统极点作为性能指标。 • 解耦控制问题：使一个MIMO系统实现“一个输入只控制一个 输出”作为性能指标。 • 跟踪问题：使系统的输出y无静差地跟踪一个外部信号 – 优化型性能指标
– 取状态反馈矩阵为
K k0 k1 kn 1
a 1 a0
– 求闭环系统矩阵
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系统的状态反馈-系统极点的配置 – 闭环系统矩阵为
0 0 A BK 0 a0
1 0
0 1
0 a1 1 0
0 0 k0 , 1 1 an 1 0 0 0 1
②在图 6.1.1 中令D 0 并改用图6.1.2 表示
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a
v
L
-
u
B
+

x
I
b
C
y
A K
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图中a和 b 之间的部分，可以看成是由系统
x Ax Bu
y Ix ( 为单位矩阵)
和输出反馈
u v Ky
Gab (s) 不难用 所组成从到 b 的传递函数矩阵。
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线性反馈系统的时间域综合 • 分析：所面对的是已知系统结构和参数及已知的外输入作用， 而有待研究的是系统运动的定性行为（如能控性，能观测性， 稳定性等）和定量的变换规律。 综合：已知的是系统的结构和参数，以及所期望的系统运动形 式或其某些特征（即性能指标），所要确定的则是需要施加于 系统的外输入作用（即控制作用）的规律。通常，这种所定出 的控制作用规律常取为反馈的形式。 在综合（Synthesis）中只是在考虑工程上可实现或可行的前提 下，来确定控制量u的规律和形式。 而在设计（design）中，则还必须考虑控制量u和控制系统工程 构成中的许多实际问题，诸如线路的选择、元件的选用、参数 的确定等。
v u
B
x

A
x
C
y
-K
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系统的状态反馈和输出反馈
• • • • 闭环系统矩阵的求取 状态反馈的引入不改变系统的能控性，但可能改变系统的能观测性。 输出反馈的引入能同时不改变系统的能控性和能观测性 状态反馈和输出反馈的比较
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系统的状态反馈和输出反馈
• • • • 闭环系统矩阵的求取 状态反馈的引入不改变系统的能控性，但可能改变系统的能观测性。 输出反馈的引入能同时不改变系统的能控性和能观测性 状态反馈和输出反馈的比较
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•
•
控制器结构
自适应与自学习
• • • • • • • • • Certainty Equivalence Many control and estimation schemes Dual control-Control should be directing as well as investigating! Tuning Tools Automatic Tuning Gain Scheduling Adaptive feedback Adaptive feedforward Integrated systems
由
( A BK ) B 的列向量可以由 ( B AB)
( A BK ) B AB B( KB) ，可知
的列向量的线性组合表示。
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( A BK ) B 的列向量可以由( B AB A B )的
2
2
列向量的线性组合表示。 依此类推，不难看出
[ B ( A BK ) B ( A BK )2 B ( A BK )n1 B] A B] 的列向量
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控制器结构
前馈和反馈的比较/组合运用
• Feedback
– Closed loop – Acts only when there are deviations – Market Driven – Robust to model errors – Risk for instability
v u
B
x

A
x
C
y
-K
v u
B
x

A
x
C
y
-F
A
v u
B -K
ˆ x
x

x
C
y
状态观测器
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状态反馈的定义及其性质
给定系统
：x Ax Bu y Cx Du
在系统中引入反馈控制律
u Lv Kx
则闭环系统 K 的结构如下图 所示。
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。
K HC ，则 Kx Hy ，状态反馈就等价于输
出反馈 H 。
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(2) D=0时，可以求得闭环系统 K 的传递函数阵
G(s；K，L) C[sI ( A BK )]1 BL
①利用矩阵运算直接可推出
G(s；K，L) G(s)[I K (sI A)1 B]1 L
D
v
L
-
u
B
+

x
+
C
y
A K
K 的状态空间表达式为：
K ：x ( A BK ) x BLv y (C DK ) x DLv
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若 D 0 ，则
K ：x ( A BK ) x BLv y Cx
状态反馈性质 (1) L I 时，为单纯的状态变量反馈。若
– Filters – Limiters – Dead zones – Selectors
– Cascade
– Split range – Gain scheduling – Adaptation
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控制器结构
控制原理：反馈与前馈控制
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控制器结构
反馈控制原理
• Feedback
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系统的状态反馈-系统极点的配置 • 极点可配置条件 – 线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置其全部极点的充要 条件是此系统为完全能控。 – 利用（非状态）输出反馈 ，不能任意地配置系统的全部极点。 极点配置算法 – 对于可控标准型
•
x Ax Bu FO n an 1 n 1
n1
的列向量可以由 [ B AB 的线性组合表示。这意味着
rankuc ' ≤ rankuc
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系统 也可看成是由系统 K 经过状态反馈
( K，I ) 而获得的，因此，同理有
rankuc rankuc '
所以系统 K 的能控性等价于系统 的能控性，
于是定理得证。
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College of Automotive, Tongji University 钟再敏
LTI系统的综合-状态反馈和状态观测
Synthesis of LTI - State Feedback and Luenberger Observer Design
现代控制理论基础6
目录
1. 2. 3. 4.
定理 6.1.1 对于任何实常量矩阵 K，系统 K
1