高二数学寒假作业专题16合情推理与演绎推理背

推理与证明一、推理1.推理：前提、结论2.合情推理：合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推岀该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。

简言Z,归纳推理是市部分到整体、rh个别到一般的推理(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是山特殊到特殊的推理。

3.演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。

重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明题型1用归纳推理发现规律1、观察：77 + ^5 <2A/H； V55 + V165 < 2VH: j3"+J19 + V^v2VH；….对于任意正实数a,b,试写出使丽+v&<2vn成立的一个条件可以是 ___________________________________ .点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22,故ci + b = 222、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的婕筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图o有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以/(«)表示第〃帕图的蜂巢总数.则/(4) = --- ; f (〃) = •【解题思路】找出/(〃)—.f(n — 1)的关系式［解析］/(1) = 1,/(2) = 14- 6,/(3) = 14- 6 4-12,・•・ /'(4) = 1 + 6 + 12 + 18 = 37 /. /(n) = 1 + 6 + 12 + 18 + —F 6(/7 -1) = 3n2 - 3〃+1【名师指引】处理“递推型”问题的方法Z—是寻找相邻两组数据的关系题型2用类比推理猜想新的命题［例］已知正三角形内切圆的半径是高的丄，把这个结论推广到空间止四血体，类似的结论是________ •3【解题思路】从方法的类比入手［解析］原问题的解法为等而积法，即5=丄必=3乂丄妙二>厂=丄/7 ,类比问题的解法应为等体积法，2 2 3V =-Sh = 4x-Sr=>r = -h即止四血体的内切球的半径是高一3 34 4【名师指引】(1)不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比(2)类比推理常见的情形有：平而向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等二.直接证明与间接证明三种证明方法：综合法、分析法、反证法反证法：它是一种间接的证明方法•川这种方法证明一个命题的一般步骤:(1)假设命题的结论不成立；(2)根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止(3)断言假设不成立(4)肯定原命题的结论成立重难点：在药数、三角变换、不等式、立休几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题考点1综合法在锐角三角形ABC屮，求证：sin A + sin B + sinC > cos A + cosB + cosC7T TT［解析］••• \ABC为锐角三角形，:.A + B>-:.A>--B 92 2TT 7T•・• y = sinx 在(0,—)上是增函数，sin A > sin( ---------- B) = cosB2 2同理可得sin B > cosC , sinC > cos A/. sin A + sin B + sin C > cos A + cos B + cos C考点2分析法已知a > b > 0,求证4ci -4b < y/a-b［解析］要证需-丽< y/a-b ,只需证(V^-V^)2 v Qa -bi1即a+ h- 2^［ab < a- b ,只需证方即v\:. b <a显然b<a成立，因此需-丽v Qa - b成立【名师指引】注意分析法的“格式”是“要证…只需证---”，而不是“因为-一所以一-”考点3反证法已知y(x)= ^+Az2(a>i),证明方程/(x) = 0没有负数根X + 1【解题思路】“止难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，町从范围方面寻找孑盾［解析］假设x0是/U) = 0的负数根，则心V 0且心工—1且八=一迢匚2x()+ l0 < i7Xo < 1 => 0 < < 1, W-W- < X o < 2,这与x()<0才厉，兀o + l 2故方程/(%) = 0没有负数根【名师指引】否定性命题从正而突破往往比较困难，故用反证法比较多三、数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数N的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：⑴证明当n二nO时命题成立；(2)假设当n二k伙e N+，且* "())时命题成立，证明门二k+1时命题也成立.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小丁"0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.考点1数学归纳法题型：对数学归纳法的两个步骤的认识［例1］已知n是止偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k (k>2A为偶数)时命题为真，，则还需证明()A.n=k+l时命题成立B. n=k+2时命题成立C. n=2k+2时命题成立D. n=2 (k+2)时命题成立［解析］因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2,故选B【名师指引】用数学归纳法证明时，要注意观察儿个方面：(1) n的范围以及递推的起点(2)观察首末两项的次数(或其它），确定n=k 时命题的形式f （k ） （3）从/伙+ 1）和/伙）的差异，寻找由k 到k+1递推中，左边要加（乘）上的 式子考点2数学归纳法的应川题型1：用数学归纳法证明数学命题用数学归纳法证明不等式Vb2 + VT3 +…+ Jn （n + \） <-（n + l ）2v 2 ［解析］（1）当n 二1吋，左二"，右二2,不等式成立（2）假设当n 二k 时等式成立，即VT^ + VT^ + ・・・ + jR@ +1） V*伙+ 1）2则 J1 • 2 + 丿2 • 3 + …+ Jk （k +1） + J 伙 + l ）（k + 2） < q （k +1）2 + J 伙 +1）伙 + 2）...扣 +1）2 + J （k +1）伙 + 2）-伙；2）~ =』（k +1）伙 + 2）-伙+ 1）；' + 2）< 0 ••・VT^+vr3+・・.+j£（R+i ）+j （£+i ）（k+2）<*［（p+i ）+i ］2/.当n=k+l 时，不等式也成立综合（1） （2）,等式对所有正整数都成立【名师指引】（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；（2） 归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；（3） 由k 推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面 习题1、 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）。

课时作业16 合情推理与演绎推理]基础热身1．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n (x )＝f ′n －1(x )，n ∈N ，则f 2009(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x2．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 3．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－3,4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1,2,3)且法向量为n ＝(－1，－2,1)的平面(点法式)方程为：________________________________________________________________________.4．[2011·陕西卷] 观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第五个等式应为________________________________．能力提升5．下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，a >0且为常数，动点P 满足||P A |－|PB ||＝2a <|AB |，则P 点的轨迹为双曲线B ．由a 1＝1，a n ＝3n ＋1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积S ＝πabD ．三角形ABC 一条边的长度为4，该边上的高为1，那么这个三角形的面积为26．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图K62－1)，则第七个三角形数是( )A ．21B ．28C ．32D ．36 7．设函数f (x )＝12x ＋2，类比课本推导等差数列前n 项和公式的推导方法计算f (－4)＋f (－3)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (4)＋f (5)的值为( )A.322B.522C.922D.228．把正整数按一定的规则排成了如下所示的三角形数表．设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 42＝8.若a ij ＝2009，则i 与j 的和为( ) 12 43 5 76 8 10 129 11 13 15 1714 16 18 20 22 24A ．105B ．106C ．107D ．1089．[2011·福建卷] 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a －b ∈[0]”．其中，正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．410．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr ①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：②________，②式可以用语言叙述为：________________________________________________________________________.11．如图K62－2，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图(2)，如此继续下去，得图(3)……试用n 表示出第n 个图形的边数a n ＝________.12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．13．设f (x )________.14.(10分)观察①sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34； ②sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34. 由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．课时作业16答案【基础热身】1．C [解析] f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ＝f 1(x )，f 6(x )＝(cos x )′＝－sin x ＝f 2(x )，f n ＋4(x )＝…＝…＝f n (x )，故可猜测f n (x )是以4为周期的函数，有f 4n ＋1(x )＝f 1(x )＝cos x ，f 4n ＋2(x )＝f 2(x )＝－sin x ，f 4n ＋3(x )＝f 3(x )＝－cos x ，f 4n ＋4(x )＝f 4(x )＝sin x .故f 2009(x )＝f 1(x )＝cos x ，故选C.2．A [解析] A 是演绎推理，B 、D 是归纳推理，C 是类比推理．故选A.3．x ＋2y －z －2＝0 [解析] 设B (x ，y ，z )为平面内的任一点，由AB →·n ＝0得(－1)×(x－1)＋(－2)×(y －2)＋1×(z －3)＝0，即x ＋2y －z －2＝0.4．5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 [解析] 因为1＝1第一个式子左边1个数，右边1；2＋3＋4＝9第二个式子左边3个数，从2开始加，加3个连续整数，右边3的平方；3＋4＋5＋6＋7＝25第三个式子左边5个数，从3开始加，加5个连续整数，右边5的平方；4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49第四个式子左边7个数，从4开始加，加7个连续整数，右边7的平方，故第五个式子为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.【能力提升】5．B [解析] 从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理．6．B [解析] 观察这一组数的特点：a 1＝1，a n －a n －1＝n ，∴a n ＝n (n ＋1)2，∴a 7＝28. 7．B [解析] ∵f (x )＝12x ＋2， ∴f (－x )＝12－x ＋2＝2x1＋2·2x， f (x ＋1)＝12x ＋1＋2＝12(1＋2·2x )， 则f (－x )＋f (x ＋1)＝2x 1＋2·2x ＋12(1＋2·2x )＝1＋2·2x 2(1＋2·2x )＝22， ∴f (－4)＋f (5)＝f (－3)＋f (4)＝f (－2)＋f (3)＝f (－1)＋f (2)＝f (0)＋f (1)＝22， ∴原式的值为22×5＝522.故选B. 8．C [解析] 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009＝2×1005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i ＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(m －1)，所以m ＝44，即j ＝44，所以i ＋j ＝107.9．C [解析] 因为2011＝5×402＋1，则2011∈[1]，结论①正确；因为－3＝5×(－1)＋2，则－3∈[2]，结论②不正确；因为所有的整数被5除的余数为0,1,2,3,4五类，则Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，结论③正确；若整数a ，b 属于同一“类”[k ]，可设a ＝5n 1＋k ，b ＝5n 2＋k (n 1，n 2∈Z )，则a －b ＝5(n 1－n 2)∈[0]；反之，若a －b ∈[0]，可设a ＝5n 1＋k 1，b ＝5n 2＋k 2(n 1，n 2∈Z )，则a －b ＝5(n 1－n 2)＋(k 1－k 2)∈[0]；∴k 1＝k 2，则整数a ，b 属于同一“类”，结论④正确，故选C.10.⎝⎛⎭⎫43πR 3′＝4πR 2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数 11．3×4n －1 [解析] a 1＝3，a 2＝12，a 3＝48，可知a n ＝3×4n －1.12.T 8T 4 T 12T 8 [解析] 通过类比，若等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力．13．5 [解析] 由条件知x 1＝5，x 2＝f (x 1)＝f (5)＝6，x 3＝f (x 2)＝f (6)＝3，x 4＝f (x 3)＝f (3)＝1，x 5＝f (x 4)＝f (1)＝4，x 6＝f (x 5)＝f (4)＝2，x 7＝f (x 6)＝f (2)＝5＝x 1，可知{x n }是周期为6的周期数列，所以x 2011＝x 1＝5.14．[解答] 观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34. 证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝1－cos2α2＋1＋cos (60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)－sin30°] ＝1＋12[cos(60°＋2α)－cos2α]＋ 12⎣⎡⎦⎤sin (30°＋2α)－12 ＝1＋12[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋ 12⎣⎡⎦⎤sin (30°＋2α)－12 ＝34－12sin(30°＋2α)＋12sin(30°＋2α)＝34.。

合情推理与演绎推理要点讲解一、合情推理之归纳推理与类比推理异同比较合情推理是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．在解决问题的过程中，合情推理具有猜侧和发表结论，探索和提供思路的作用．有利于创新意识的培养．在能力高考的要求下，推理方法就显得更加重要．在复习中要把推理方法形成自己的解决问题的意识，使得问题的解决有章有法，得心应手．合情推理包括归纳推理和类比推理.归纳推理和类比推理的联系:归纳推理与类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．由这两种推理得到的结论都不一定正确,其正确性有待进一步证明.归纳推理和类比推理的区别:(一) 归纳推理1.归纳推理定义: 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．说明：归纳推理的思维过程大致如下：2.归纳推理的特点:（1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为数学证明的工具．(3)归纳推理是一种具有创造性的推理．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模型，归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法.3.归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同本质；②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题．说明：归纳推理基于观察和实验，像“瑞雪兆丰年”等农谚一样，是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果．物理学中的波义耳—马略特定律、化学中的门捷列夫元素周期表、天文学中开普勒行星运动定律等，也都是在实验和观察的基础上，通过归纳发现的．(二).类比推理（以下简称类比）1.类比推理定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．2. 类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．3.说明：类比推理的思维过程大致如下图所示：类比推理是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．类比推理不象归纳推理那样局限于同类事物, 同时,类比推理比归纳推理更富于想像,因而也就更具有创造性. 人类在科学研究中建立的不少假说和教学中许多重要的定理，公式都是通过类比提出来的,工程技术中许多创造和发明也是在类比推理的启迪下而获得的．因此，类比推理已成为人类发现发明的重要工具.例1 如图，①，②，③，…是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第n个图形中的花盆数a n= ．【答案】a n=3n2-3n+1.【解析】仔细观察发现:图案①的花盆数为:1个, a1=1; 图案②的花盆中间数为3,上下两行都是2个, a2=2+3+2; 图案③的花盆中间数为5,上面两行由下到上分别递减1个,而且关于中间行上下对称, a3=3+4+5+4+3;……;可以猜想: 第n个图形中的花盆中间数为2n-1,上面每行由下到上分别递减1个,最上面有n个,而且关于中间行上下对称,因此a n=n+(n+1)+…+(2n-1)+…+(n+1) + n=3n2-3n+1.【评析】上例是利用归纳推理解决问题的.归纳推理分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的．观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法，乃是科学研究的最基本的方法之一.例2 如图，过四面体V-ABC的底面上任一点O分别作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分别是所作直线与侧面交点．求证：++为定值．分析考虑平面上的类似命题：“过△ABC（底）边AB上任一点O分别作OA1∥AC，OB1∥BC，分别交BC、AC于A1、B1，求证+为定值”．这一命题利用相似三角形性质很容易推出其为定值1．另外，过A、O分别作BC垂线，过B、O分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1．于是类比到空间围形，也可用两种方法证明其定值为1．证明：如图，设平面OA1VA∩BC＝M，平面OB1VB∩AC＝N，平面OC1VC∩AB=L，则有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1∽△LCV．得++=++.在底面△ABC中，由于AM、BN、CL交于一点O，用面积法易证得：++=1.∴++=1.【知识小结】类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象的其他属性亦类似的一种推理方法，例如我们拿分式同分数来类比,平面几何与立体几何中的某些对象类比等等．我们必须清楚类比并不是论证，它可以帮助我们发现真理．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理．数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．二、从三个角度解决演绎推理问题角度一：知识梳理演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．１．演绎推理是由一般到特殊的推理；２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括⑴大前提---已知的一般原理；⑵小前提---所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．三段论的基本格式M —P （M 是P ） （大前提）S —M （S 是M ） （小前提）S —P （S 是P ） （结论）3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:若集合M 的所有元素都具有性质P ,S 是M 的一个子集,那么S 中所有元素也都具有性质P .角度二：在实践中体会与解决问题例1 把“函数21y x x =++的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论.解：二次函数的图象是一条抛物线 （大前提）函数12++=x x y 是二次函数 （小前提）所以函数12++=x x y 的图象是一条抛物线 （结论）例2 已知lg2=m ,计算lg0.8.解：（1）lg a n =n lg a (a >0)---------大前提lg8=lg23————小前提lg8=3lg2————结论lg(a/b )=lg a -lg b (a >0,b >0)——大前提lg0.8=lg(8/10) ——小前提lg0.8=lg(8/10)——结论例3 如图;在锐角三角形ABC 中,AD ⊥BC , BE ⊥AC ,D ,E 是垂足,求证AB 的中点M 到D ,E 的距离相等.解： (1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形, ——大前提在△ABC 中,AD ⊥BC,即∠ADB=90° —-小前提所以△ABD 是直角三角形 ——结论(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,——大前提因为 DM 是直角三角形斜边上的中线, ——小前提所以 DM=21AB ——结论 同理 EM=21AB 所以 DM=EM. 由此可见，应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提．但为了叙 述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略．再来看一个例子．例4 证明函数2()2f x x x =-+在(,1)-∞内是增函数．分析：证明本例所依据的大前提是：在某个区间（a, b ）内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增．小前提是:2()2f x x x =-+的导数在区间(,1)-∞内满足'()0f x >，这是证明本例的关键．证明：'()22f x x =-+.当(,1)x ∈-∞时，有10x ->，所以'()222(1)0f x x x =-+=->.于是根据“三段论”得2()2f x x x =-+在(,1)-∞内是增函数．在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的．还有其他的证明方法吗？思考:因为指数函数x y a =是增函数，——大前提 而1()2x y =是指数函数， ——小前提 所以1()2xy =是增函数． ——结论(1)上面的推理形式正确吗？(2)推理的结论正确吗？为什么？上述推理的形式正确，但大前提是错误的（因为当01a <<时，指数函数x y a =是减函数），所以所得的结论是错误的．“三段论”是由古希腊的亚里士多德创立的．亚里士多德还提出了用演绎推理来建立各门学科体系的思想．例如，欧几里得的《原本》．就是一个典型的演绎系统，它从10条公理和公设出发，利用演绎推理，推出所有其他命题．像这种尽可能少地选取原始概念和一组不加证明的原始命题（公理、公设），以此为出发点，应用演绎推理，推出尽可能多的结论的方法，称为公理化方法．继《原本》之后，公理化方法广泛应用于自然科学、社会科学领域．例如，牛顿在他的巨著《自然哲学的数学原理》中，以牛顿三定律为公理，运用演绎推理推出关于天体空间的一系列科学理论，建立了牛顿力学的一整套完整的理论体系．至此，我们学习了两种推理方式一一合情推理与演绎推理．角度三：答疑解惑1．合情推理与演绎推理的主要区别是什么？归纳和类比是常用的合情推理从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理,类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．人们在认识世界的过程中，需要通过观察、将积累的知识加工、整理，使之条理化、实验等获取经验；也需要辨别它们的真系统化．合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要角色.就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想．2．演绎推理常见错误产生的主要原因是：(1)．大前提不成立；(2)．小前提不符合大前提的条件.3．解答演绎推理题时的方法技巧：（1）紧扣题干内容，不要对题中陈述的事实提出任何怀疑，不要被与题中陈述不一致的常理所干扰.题中所给的陈述有的合乎常理，有的可能不太合乎常理.但你心中必须明确，这段陈述在解答过程中被假设是正确的、不容置疑的.你不能对试题所陈述的事实的正误提出怀疑，也不能自作聪明地以自己具备的这方面的知识进行推理，得出答案，而完全忽视试题中所陈述的事实.（2）依靠形式逻辑有关推论法则严格推理，注意大前提、小前提、结论三者之间的关系.在演绎推理题中，前提与结论之间有必然性的联系，结论不能超出前提所界定的范围.因此，在解答此种试题时，必须紧扣题干部分陈述的内容，正确答案应与所给的陈述相符.必须注意的是，此类试题的备选答案具有很强的迷惑性，即各个选项几乎都是有道理的，但有道理并不等于与这段陈述直接相关.正确的答案应与陈述直接有关，即从陈述中直接推出.（3）必要时，可以在草稿纸上用自己设计的符号来表示推论过程，帮助你记住一些重要信息和推出正确结论.。

推理案例赏析合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实践和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，其主要形式有归纳和类比．演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．合情推理与演绎推理之间联系紧密，相辅相成，下面提供一个公式的推导过程，供同学们赏析，借此加深对两种推理的理解．例１ 设1()123S n n =++++，22222123S n =++++，已知1(1)()2n n S n +=，探求2()S n 的一般公式．思路１：（归纳的方案）如表１所示，列举出的前几项，希望从中归纳出一般的结论．但是，1()S n 与2()S n 会不会有某种联系？如表2所示，进一步列举出1()S n 的值，比较1()S n 与2()S n ，希望有所发现．观察了1()S n 和2()S n尝试计算．终于在计算()S n 和()S n 的比时，发现“规律”了（表3）从表3中发现21(()3S n S n =， 于是，猜想2(1)(21)()6n n n S n ++=． ① 公式①的正确性还需要证明．思考：上面的数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥什么作用？思路2：（演绎的方案）尝试用直接相加的方法求出自然数的平方和．（1）把2()S n 中的各项表示出来，有21= 1，2222(11)1211=+=+⨯+，2223(21)2221=+=+⨯+，2224(31)3231=+=+⨯+，22(1)2(1)1n n n =-+-+，左右两边分别相加，得2221()[()][2()2]S n S n n S n n n =-+-+，等号两边的2()S n 被消去了，所以无法从中求出2()S n 的值，尝试失败了！（2）从失败中汲取有用信息，进行新的尝试．前面的失败尝试还是有意义的，因为尽管我们没有求出2()S n ，却求出了1()S n 的表达式，即212(1)()22n n n n n S n +-+==． 它启示我们：既然能用上面的方法求出1()S n ，那么我们也应该可以用类似的方法求出2()S n ．（3）尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式．具体方法如下：31= 1，33322(11)131311=+=+⨯+⨯+，33323(21)232321=+=+⨯+⨯+，33324(31)333331=+=+⨯+⨯+，332(1)3(1)3(1)1n n n n =-+-+-+，左右两边分别相加，得323321()[()]3[()]3[()]S n S n n S n n S n n n =-+-+-+． 由此知323212323()23(1)(21)()366n n n S n n n n n n n S n ++-++++===，终于导出了公式．思考：上面的数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥什么作用？。

合情推理与演绎推理知识集结知识元合情推理知识讲解1．合情推理的含义与作用【知识点的认识】1．定义：（1）推理：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫做推理．（2）合情推理：前提为真时结论可能为真的推理叫做合情推理．2．合情推理包括：（1）归纳推理（2）类比推理．3．合情推理和演绎推理的区别：推理推理形式推理结论合情推理归纳推理部分→整体，个别→一般结论不一定正确，有待进一步证明类比推理特殊→特殊演绎推理一般→特殊在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．【命题方向】一般以选择题、填空题的形式出现，主要考查基础概念问题，注意与演绎推理的区分，以及掌握归纳和类比推理的特点及运用．例1：下列说法中正确的是（）A．合情推理就是正确的推理B．合情推理就是归纳推理C．归纳推理是从一般到特殊的推理过程D．类比推理是从特殊到特殊的推理过程分析：合情推理的结论不一定正确可判定选项A，合情推理包含归纳推理与类比推理可判定选项B，归纳推理是从特殊到一般的推理过程可判定选项C，类比推理是从特殊到特殊的推理过程可判定选项D．解答：合情推理的结论不一定正确，有待证明，而演绎推理的结论是一定正确的，故选项A不正确；合情推理包含归纳推理与类比推理，故选项B不正确；所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理，是从特殊到一般的推理过程，故选项C不正确；类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，是从特殊到特殊的推理过程．故选项D正确．故选D．点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程．例2：下面几种推理是合情推理的是（）（1）由圆的性质类比出球的有关性质；（2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；（3）某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；（4）三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是（n﹣2）•180°．A．（1）（2）B．（1）（3）C．（1）（2）（4）D．（2）（4）分析：本题考查的是合情推理、演绎推理的定义，判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，类比推理的是看是否符合类比推理的定义．解答：（1）为类比推理，在推理过程由圆的性质类比出球的有关性质．（2）为归纳推理，关键是看他直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°推出所有三角形的内角和都是180°，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程．（3）不是合情推理，是由个别到全体的推理过程．（4）为归纳推理故选C．点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分．例题精讲合情推理例1.甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”．若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是___。

高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析1.由下列事实：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3，（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4，（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）=a5﹣b5，可得到合理的猜想是．【答案】.【解析】由所给等式可以发现：等式左边由两个因式相乘；第一个因式相同，是；第二个因式是和的形式，每一项为的形式，且按降次排列，按升次排列，且；等式右边为差的形式，次数比左边第二个因式的第一项次数大1，；因此，我们可得到合理的猜想是.【考点】归纳推理.2.在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=b，BC=a，斜边AB上的高为h，则有结论h2=，运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，且三棱锥的直角顶点到底面的高为h，则有结论：．【答案】h2=【解析】如图，设PA、PB、PC为三棱锥的三条两两互相垂直的侧棱，三棱锥P-ABC的高为PD=h，连接AD交BC于E，∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC，PE⊂平面PBC，∴PA⊥PE，PA⊥BC，∴AE⊥BC，PE⊥BC,=【考点】类比推理．3.把命题“若是正实数，则有”推广到一般情形，推广后的命题为____________.【答案】若都是正数，则有【解析】可通过类比，归纳得一般结论，证明如下：【考点】推理与证明.4.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则此直线平行于平面内的所有直线；已知直线平面，直线平面，直线平面，则直线直线”结论显然是错误的，这是因为（）A．大前提错误B．推理形式错误C．小前提错误D．非以上错误【答案】A【解析】三段论推理形式为大前提、小前提和结论，只有大前提、小前提都正确，且推理的形式也正确，结论才正确，此处结论错误的原因是“直线平行于平面，则此直线平行于平面内的所有直线”这句话不正确，它恰是推理的大前提，故选择A.【考点】三段论推理.5.设点C在线段AB上（端点除外），若C分AB的比，则得分点C的坐标公式，对于函数上任意两点，，线段AB必在弧AB上方．由图象中的点C在点C′正上方，有不等式成立．对于函数的图象上任意两点，，类比上述不等式可以得到的不等式是_________ ．【答案】.【解析】根据函数的图像可知，函数上任意两点A（a，a2），B（b，b2），线段AB必在弧AB上方，设C分AB的比，则得分点C的坐标公式由图像中点C在点C′上方可得成立.据此我们从图像可以看出：函数的图像是向下凹的，类比对数函数可知，对数函数的图像是向上凸的，分析函数的图像，类比上述不等式，可以得到的不等式是.【考点】类比推理．6.观察下列各式：则______;【答案】123【解析】此题为推断题，观察可发现每一个结果（第三个起）为前面两个结果之和.类此计算可得：123.【考点】观察推断能力.7.已知点是函数的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点是函数的图象上任意不同两点，则类似地有_________________成立．【答案】【解析】由于函数的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立;而函数的图象上任意不同两点的线段总是位于A、B两点之间函数图象的下方,类比可知应有：成立．【考点】类比推理．8.给出命题：若是正常数，且，，则(当且仅当时等号成立)．根据上面命题，可以得到函数（）的最小值及取最小值时的值分别为（）A．，B．，C．25，D．，【答案】D【解析】本题先从给出的命题中进行学习，获取一些基本的信息，进而利用这一信息进行作答．依题意可得，当且仅当即时等号成立，故选D．【考点】创新学习题．9.①由“若a，b，c∈R，则(ab)c＝a(bc)”类比“若a、b、c为三个向量，则(a·b)c＝a(b·c)”；②在数列{an }中，a1＝0，an＋1＝2a n＋2，猜想a n＝2n－2；③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；上述三个推理中，正确的个数为()A．0B．1C．2D．3【答案】【解析】①显然错误,向量没有结合律;②根据,可构造出,即,可得,该数列是公比为2,首项是的等比数列,所以其通项公式为,可得,正确;③四面体就是三棱锥,可看作是底面三角形中任取一点,将其向上提而形成的几何体,显然三个侧面的面积之和大于底面面积.正确.【考点】向量运算定律;利用递推公式构造等比数列求通项公式;空间几何的猜想.类比推理.10.把正整数按右图所示的规律排序，则从2013到2015的箭头方向依次为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】把上图中的数分为4个数列分别是：（1）1,5,9 (2)2,6,10 ;(3)3,7,11 ;(4)4,8,12 它们都是以4为公差的等差数列，4个数列的通项公式分别为，，，，只要确定2014在哪个位置就可以了，只有解得，其余的解得不是整数，所以2014在第二个数列的位置，观察数的结构得本题选A。

专题16 合情推理与演绎推理【练一练】一．选择题1．下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是（）A. f（x）=|x|B. f （x）=x-|x|C. f（x）=x+1D. f（x）=-x2．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为( )A．a1·a2·a3·…·a9＝29B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C．a1·a2·a3·…·a9＝2×9D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×93. 将n2（n≥3）个正整数1，2，3，…，n2填入n×n方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方．记f（n）为n阶幻方对角线的和，如右表就是一个3阶幻方，可知f（3）=15，则f（n）=（）8 1 63 5 74 9 2A. B. C. D. n（n2+1）【答案】A【解析】试题分析：对于3阶幻方，共由1到32，即1到9这9个连续自然数构成，且每一行都相等，由等差数列得前n项和公式可得，这9个数字之和为=45，再除以3，即可得出f（3）=15．一般的n阶幻方数字之和为S=1+2+…+n2=，f（n）==4. 观察下列各等式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则52013的末四位数字是（）A. 3125B. 5625C. 8125D. 06255. 将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，便可以得到如下的“0﹣1三角”．在“0﹣1三角”中，从第1行起，设第n（n∈N*）次出现全行为1时，1的个数为a n，则a3等于（）二、填空题6.已知P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y2＝2px两边同时求导，得：2yy′＝2p，则y′＝py，所以过P的切线的斜率：pky＝.试用上述方法求出双曲线22yx12－＝在P (22)，处的切线方程为_________.7. 用三段论的形式写出“矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等．” 的演绎推理过程__________________________________.三．解答题8. 已知双曲线x 24－y 29＝1，F 1，F 2分别是双曲线的两个焦点，点M 在双曲线上．(1)若∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积；(2)若∠F 1MF 2＝120°，△F 1MF 2的面积是多少？若∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2的面积又是多少？ (3)观察上述运算结果，你能看出随∠F 1MF 2的变化，△F 1MF 2的面积将怎样变化吗(不要求证明)?。

课时作业16 合情推理知识点一归纳推理1.观察以下不等式：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，…照此规律，第五个不等式为( )A．1＋122＋132＋142＋152＜95B．1＋122＋132＋142＋152＜116C．1＋122＋132＋142＋152＋162＜95D．1＋122＋132＋142＋152＋162＜116答案 D解析观察每行不等式的特点，知第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162＜116.2．如下图，图1是棱长为1的小正方体，图2、图3是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n层，第n层的小正方体的个数记为S n.解答以下问题：(1)按照要求填表：n 1234…S n1 3 6 …(2)S 10＝________. 答案 (1)10 (2)55解析 S 1＝1，S 2＝3＝1＋2，S 3＝6＝1＋2＋3， 推测S 4＝1＋2＋3＋4＝10，S 10＝1＋2＋3＋…＋10＝55.知识点二 类比推理3.在公比为4的等比数列{b n }中，假设T n 是数列{b n }的前n 项积，那么有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{a n }中，假设S n 是{a n }的前n 项和．可类比得到的结论是______________________．答案 数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300 解析 因为等差数列{a n }的公差d ＝3， 所以(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝100d ＝300，同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300. 即结论为：数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300. 4．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD2＝1AB2＋1AC 2，那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜测，并说明理由．解 如图①所示，由射影定理得AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝CD ·BC ，所以1AD2＝1BD ·DC＝BC 2BC ·BC ·BD ·DC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，所以1AD2＝1AB2＋1AC 2.类比猜测：四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，那么1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2.如图②，连接BE 交CD 于F ，连接AF ，因为AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， 所以AB ⊥平面ACD ，而AF ⊂平面ACD ，所以AB ⊥AF ， 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， 所以1AE2＝1AB2＋1AF 2，易知在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， 所以1AF 2＝1AC2＋1AD 2， 所以1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2，猜测正确.知识点三 归纳和类比推理的应用5.鲁班创造锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子〞能“锯〞开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子〞应该是齿形的．该过程表达了( )A ．归纳推理B ．类比推理C ．胡乱推理D ．没有推理 答案 B解析 推理是根据一个或几个的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．6．可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k ，那么甲的面积是乙的面积的k 倍．你可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理．现在图③中的两个曲线的方程分别是x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与x 2＋y 2＝a 2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为________．答案 πab解析 由于椭圆与圆截y 轴所得线段之比为b a， 即k ＝b a，∴椭圆面积S ＝πa 2·b a＝πab .一、选择题1．归纳推理和类比推理的相似之处为( ) A ．都是从一般到一般 B ．都是从一般到特殊 C ．都是从特殊到特殊 D ．所得结论都不一定正确 答案 D解析 归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论不一定正确．类比推理是从特殊到特殊的推理，结论具有推测性，不一定可靠，应选D.2．以下平面图形与空间的平行六面体作为类比对象比拟适宜的是( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形 D ．矩形答案 C解析 由类比推理的定义和特点判断，易知选C.3．观察以下事实|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，那么|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为 ( )A ．76B ．80C ．86D ．92 答案 B解析 由条件得，|x |＋|y |＝n (n ∈N *)的整数解(x ，y )个数为4n ，故|x |＋|y |＝20的整数解(x ，y )的个数为80.4．如图，在所给的四个选项中，最适合填入问号处，使之呈现一定的规律性的为( )答案 A解析 观察第一组中的三个图，可知每一个黑色方块都从右向左循环移动，每次移动一格，由第二组图的前两个图，可知选A.5．把以下在平面内成立的结论类比到空间，结论不成立的是( ) A ．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，那么必与另一条相交 B ．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，那么必与另一条垂直 C ．如果两条直线与第三条直线都不相交，那么这两条直线不相交 D ．如果两条直线同时与第三条直线垂直，那么这两条直线平行 答案 D解析 类比A 的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，那么必与另一个相交．成立．类比B 的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个垂直，那么必与另一个垂直．成立．类比C 的结论为：如果两个平面与第三个平面都不相交，那么这两个平面不相交．成立．类比D 的结论为：如果两个平面同时与第三个平面垂直，那么这两个平面平行．不成立．二、填空题 6．2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…，假设 6＋a b ＝6a b(a ，b ∈R )，那么a ＋b ＝________.答案 41解析 根据题意，由于 2＋23＝223， 3＋38＝ 338， 4＋415＝4415，…，那么可知 6＋a b ＝6ab，a ＝6，b ＝6×6－1＝35，所以a ＋b ＝41.7．如图，直角坐标系中每个单元格的边长为1，由下往上的6个点1,2,3,4,5,6的横纵坐标(x i ，y i )(i ＝1,2,3,4,5,6)分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项，如下表所示：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 x 1y 1x 2y 2x 3y 3x 4y 4x 5y 5x 6y 6按如此规律下去，那么a 2021＋a 2021＋a 2021 的值为______． 答案 1007解析 由题图知a 1＝x 1＝1，a 3＝x 2＝－1，a 5＝x 3＝2，a 7＝x 4＝－2，…，那么a 1＋a 3＝a 5＋a 7＝…＝a 2021＋a 2021 a 2＝y 1＝1，a 4＝y 2＝2，a 6＝y 3＝3，…，那么a 2021＝1007，所以a 2021＋a 2021＋a 2021 ＝1007.8．点A (x 1，ax 1)，B (x 2，ax 2)是函数y ＝a x(a ＞1)的图象上任意不同的两点．依据图象可知线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论ax 1＋ax 22＞ax 1＋x 22成立．运用类比思想方法，可知假设点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图象上的不同两点，那么类似地有________________成立．答案sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 22解析 运用类比推理与数形结合，可知y ＝sin x (x ∈(0，π))的图象是上凸的，因此线段AB 的中点的纵坐标sin x 1＋sin x 22总是小于函数y ＝sin x (x ∈(0，π))图象上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，sin x 1＋x 22的纵坐标，即有sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 22成立． 三、解答题9．观察给出的以下各式：(1)tan10°·tan20°＋tan20°·tan60°＋tan60°·tan10°＝1；(2)tan5°·tan15°＋tan15°·tan70°＋tan70°·tan5°＝1. 由以上两式成立，你能得到一个什么样的推广？证明你的结论．解 观察易知10°＋20°＋60°＝90°，5°＋15°＋70°＝90°，故可以猜测此推广式为：假设α＋β＋γ＝π2，且α，β，γ都不等于k π＋π2(k ∈Z )，那么有tan α·tan β＋tan β·tan γ＋tan γ·tan α＝1. 证明如下：∵α＋β＋γ＝π2，∴α＋β＝π2－γ，∴tan(α＋β)＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π2－γ＝cot γ，∴tan α＋tan β＝cot γ(1－tan αtan β)， ∴tan α·tan β＋tan β·t an γ＋tan γ·tan α＝1.10.如图，在△ABC 中，O 为其内切圆圆心，过O 的直线将三角形面积分为相等的两局部，且该直线与AC ，BC 分别相交于点F ，E ，那么四边形ABEF 与△CEF 的周长相等．试将此结论类比到空间，写出一个与其相关的命题，并证明该命题的正确性．解 如图，截面AEF 经过四面体ABCD 的内切球(与四个面都相切的球)的球心O ，且与BC ，DC 分别交于点E ，F ，假设截面将四面体分为体积相等的两局部，那么四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的外表积相等．下面证明该结论的正确性： 设内切球半径为R ，那么V A －BEFD ＝13(S △ABD ＋S △ABE ＋S △ADF ＋S 四边形BEFD )×R ＝V A －EFC ＝13(S △AEC ＋S △ACF ＋S △ECF )×R ，即S △ABD ＋S △ABE ＋S △ADF ＋S 四边形BEFD ＝S △AEC ＋S △ACF ＋S △ECF ，两边同加S △AEF 可得结论．。

第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.2演绎推理课后篇稳固提升根底稳固1.下面几种推理过程是演绎推理的是()A.由金、银、铜、铁可导电,猜测:金属都可导电B.猜测数列11×2,12×3,13×4,……的通项公式为a n=1n(n+1)(n∈N*)C.半径为r的圆的面积为πr2,那么单位圆的面积为πD.由在平面直角坐标系中,圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,推测空间直角坐标系中球的方程为(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2A,B是归纳推理,选项D是类比推理,只有选项C是演绎推理.2.(多项选择)在证明f(x)=2x+1为增函数的过程中,有以下四个命题:①增函数的定义是大前提;②增函数的定义是小前提;③函数f(x)=2x+1满足增函数的定义是大前提;④函数f(x)=2x+1满足增函数的定义是小前提.其中正确的命题是()A.①B.②C.③D.④,过程应为:大前提是增函数的定义;小前提是f(x)=2x+1满足增函数的定义;结论是f(x)=2x+1为增函数,故①④正确.3推理“①矩形是平行四边形,②三角形不是平行四边形,③所以三角形不是矩形〞中的小前提是()A.①B.②C.③D.①和②,小前提为②,结论为③.4.某学校方案在周一至周四的艺术节上展演?雷雨??茶馆??天籁??马蹄声碎?四部话剧,每天一部,受多种因素影响,话剧?雷雨?不能在周一和周四上演,?茶馆?不能在周一和周三上演,?天籁?不能在周三和周四上演,?马蹄声碎?不能在周一和周四上演,那么以下说法正确的选项是()A.?雷雨?只能在周二上演B.?茶馆?可能在周二或周四上演C.周三可能上演?雷雨?或?马蹄声碎?D.四部话剧都有可能在周二上演,周一上演?天籁?,周四上演?茶馆?,周二上演?雷雨?(或?马蹄声碎?) ,周三上演?马蹄声碎?(或?雷雨?),应选C.5.函数y=x2+2x+1的图象是一条抛物线,用三段论表示为:大前提.小前提.函数y=x2+2x+1是二次函数函数y=x2+2x+1的图象是一条抛物线6.三段论“平面内到两定点F1,F2的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆(大前提),平面内动点M 到两定点F1(-2,0),F2(2,0)的距离之和为4(小前提),那么M点的轨迹是椭圆(结论)〞中的错,概念出错,不严密.而因为1(2,0),2(2,0)间距离为|F1F2|=4,所以平面内动点M到两定点F1(-2,0),F2(2,0)的距离之和为4的点的轨迹是线段而不是椭圆.7将以下演绎推理写成“三段论〞的形式.(1)太阳系的大行星都沿椭圆形轨道绕太阳运行,海王星是太阳系中的大行星,所以海王星沿椭圆形轨道绕太阳运行;(2)菱形对角线互相平分;(3)函数f(x)=x2-cos x是偶函数.太阳系的大行星都沿椭圆形轨道绕太阳运行,大前提海王星是太阳系中的大行星,小前提所以海王星沿椭圆形轨道绕太阳运行.结论(2)平行四边形对角线互相平分,大前提菱形是平行四边形,小前提所以菱形对角线互相平分.结论(3)假设对函数f(x)定义域中的任意x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)是偶函数,大前提对于函数f(x)=x2-cos x,当x∈R时,有f(-x)=f(x),小前提所以函数f(x)=x2-cos x是偶函数.结论8.设a>0,f(x)=e nn +ne n是R上的偶函数.(1)求a的值;(2)求证:f(x)在(0,+∞)内是增函数.f(x)是R上的偶函数,对于一切x∈R,都有f(x)=f(-x),∴e nn +ne n=e-nn+ne-n=1n e n+a e x,即(1n -n)(e n-1e n)=0对一切x∈R成立.∵e x-1e n 不恒等于0,∴1n-a=0,即a2=1,∴a=±1,又∵a>0,∴a=1.x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,那么f(x1)-f(x2)=e n1−e n2+1e n1−1e n2=(e n2−e n1)(1e n1+n2-1)=e n1(e n2-n1-1)·1-e n1+n2e n1+n2.∵x1>0,x2>0,且x1<x2,∴x2-x1>0,x1+x2>0,∴e n2-n1-1>0,1-e n1+n2<0.∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).故f(x)在(0,+∞)内是增函数.能力提升1.以下推理属于演绎推理的是()。