【配套K12】2019年高考数学 25个必考点 专题20 双曲线检测

专题20 双曲线一、基础过关题1. (2018高考·北京卷)已知椭圆M ：，双曲线N ：若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为______；双曲线N 的离心率为______． 【答案】；2利用已知条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率；利用渐近线的夹角求解双曲线的离心率即可．本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．2. (2018高考·全国卷III)设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF ，则C 的离心率为（ ）AB ．2CD 【答案】C【解析】∵2||PF b =，2||OF c =，∴ ||PO a =；又因为1|||PF OP =，所以1||PF =；在2Rt ΔPOF 中，22||cos ||PF bOF cθ==； ∵在12Rt ∆PF F 中，2222121212||||||cos 2||||PF F F PF bPF F F cθ+-==⋅⋅，222222224644633bb c a b c a c a c =⇒+-=⇒-=-223c a ⇒=e ⇒=3. (2018高考·天津卷) 已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由题意可得图象如图，CD 是双曲线的一条渐近线，即，，，，，ACDB 是梯形，F 是AB 的中点，，，所以，双曲线的离心率为2，可得，可得：，解得．则双曲线的方程为：．故选：C ．画出图形，利用已知条件，列出方程组转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．4．(2016·广州联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的一条渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 【答案】 A5．(2016·全国乙卷)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A ．(－1,3) B ．(－1，3) C ．(0,3) D ．(0，3)【答案】 A【解析】 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)， ∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3，故选A.6．(2016·南昌联考)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M ，使得(OM →＋OF 2→)·F 2M →＝0(其中O 为坐标原点)，且|MF 1→|＝3|MF 2→|，则双曲线的离心率为( ) A.5－1 B.3＋12C.5＋12D.3＋1【答案】 D7．(2016·庐江第二中学月考)已知椭圆x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e 1；双曲线x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e 2，则e 1e 2等于( )A.22B ．1 C. 3 D ．2 【答案】 B【解析】 由b 21＝a 1c 1，得a 21－c 21＝a 1c 1，∴e 1＝c 1a 1＝5－12. 由b 22＝a 2c 2，得c 22－a 22＝a 2c 2，∴e 2＝c 2a 2＝5＋12. ∴e 1e 2＝5－12×5＋12＝1. 8．(2015·课标全国Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233【答案】 A【解析】 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)， ∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0， 即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33.故选A. 9．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,2) C ．(1,1＋2) D ．(2,1＋2)【答案】 B10．(2016·北京)已知双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________. 【答案】 1 2【解析】 由2x ＋y ＝0，得y ＝－2x ，所以b a＝2. 又c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝2.11．中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．【答案】(1) 椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1；(2) 45二、能力提高题1．(2016·浙江)设双曲线x 2－y 23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________． 【答案】 (27，8)【解析】 如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4， 由对称性不妨设P 在右支上，设|PF 2|＝m ， 则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2， 由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2 2＜m 2＋42，42＜ m ＋2 2＋m 2，解得－1＋7＜m ＜3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2，∴27＜2m ＋2＜8.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________． 【答案】 533．(2015·课标全国Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF的周长最小时，该三角形的面积为________． 【答案】 12 6【解析】 设左焦点为F 1，|PF |－|PF 1|＝2a ＝2，∴|PF |＝2＋|PF 1|，△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2＋|PF 1|，△APF 周长最小即为|AP |＋|PF 1|最小，当A 、P 、F 1在一条直线时最小，过AF 1的直线方程为x －3＋y66＝1，与x 2－y 28＝1联立，解得P 点坐标为(－2,26)，此时S △APF ＝S △AF 1F －S △F 1PF ＝12 6.4．(2016·湖北部分重点中学第一次联考)在面积为9的△ABC 中，tan ∠BAC ＝－43，且CD →＝2DB →，现建立以A 点为坐标原点，以∠BAC 的平分线所在直线为x 轴的平面直角坐标系，如图所示 .(1)求AB ，AC 所在直线的方程；(2)求以AB ，AC 所在直线为渐近线且过点D 的双曲线的方程；(3)过D 分别作AB ，AC 所在直线的垂线DF ，DE (E ，F 为垂足)，求DE →·DF →的值．【答案】(1) AC 所在直线方程为y ＝2x ，AB 所在直线方程为y ＝－2x .； (2) 双曲线的方程为x 24－y 216＝1.(3) 4825(3)由题意知〈DE →，DF →〉＝π－∠BAC ， ∴cos 〈DE →，DF →〉＝－cos ∠BAC ＝35，设D (x 0，y 0)，则x 204－y 2016＝1.又∵点D 到AB ，AC 所在直线距离分别为|DF →|＝|2x 0＋y 0|5，|DE →|＝|2x 0－y 0|5，∴DE →·DF →＝|DE →||DF →|·cos〈DE →，DF →〉 ＝|2x 0－y 0|5·|2x 0＋y 0|5×35＝4825.5.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点是F 2(2,0)，且b ＝3a .(1)求双曲线C 的方程；(2)设经过焦点F 2的直线l 的一个法向量为(m,1)，当直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点A ，B 时，求实数m 的取值范围，并证明AB 中点M 在曲线3(x －1)2－y 2＝3上；(3)设(2)中直线l 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，问是否存在实数m ，使得∠AOB 为锐角？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1) 双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1；(2) m ∈(－∞，－3)∪(3，＋∞),证明见【解析】。

高三数学（双曲线）复习检测试题 (附参考答案)一。

选择题1．双曲线22154x y -=-的离心率为( )A． B． C ．23 D ．322．已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)-，(4,0)，则双曲线方程为（ ）A221412x y -= B 221124x y -= C.221106x y -= D.221610x y -= 3.已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为（ ）（A ）23（B ）23 （C ）26（D ）3324.设F 1和F 2为双曲线-42x y 2＝1两个焦点，点P 在双曲线上，满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是（ ）A ．1B ．25C ．2D ．5 5.已知双曲线22163x y -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且1MF x ⊥轴，则1F 到直线2F M 的距离为（ ） （A（B（C ）65 （D ）566.若椭圆154116252222=-=+y x y x 和双曲线的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为（ ） A.221B.84C.3D.21 7.已知点(2,0),(3,0)A B -,动点(,)P x y 满足26PA PB x ⋅=-,则点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线8.（北京3）“双曲线的方程为221916x y -=”是“双曲线的准线方程为95x =±”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9.（福建12）双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PE 2|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.（1，3）B.（1，3）C.（3，+∞）D. [3，+∞]10.已知双曲线2212y x -=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为（ ）（A ）43 （B ）53 （C （D 11.（全国Ⅱ11）设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ ）A ．221+ B ．231+ C ． 21+ D ．31+12.如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(12222 b a br a x =-的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F2是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） （A ）3 （B ）5 （C ）25（D ）31+二。

第20讲双曲线高考6大常考基础题型总结【考点分析】考点二：双曲线的通径过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为22b a．考点三：双曲线常考性质结论①双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数b ；顶点到两条渐近线的距离为常数ab c;②双曲线上的任意点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数222a b c；考点四：双曲线焦点三角形面积为2tan2b θ（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）【题型目录】题型一：利用双曲线定义解题题型二：求双曲线的标准方程题型三：双曲线焦点三角形面积题型四：双曲线的渐近线有关题型题型五：双曲线的离心率问题题型六：双曲线的最值问题【典型例题】题型一：利用双曲线定义解题【例1】已知双曲线()222:1012x y C a a -=>的左右焦点分别为1F 、2F ，0y +=，若点M在双曲线C 上，且15MF =，则2MF =（）A ．9B ．1C ．1或9D ．1或7【例2】已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=【例3】已知双曲线122=-y x ，点21,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若21PF PF ⊥，则21PF PF +的值为．【答案】121,22,a c PF PF a ==∴-==22112224PF PF PF PF ∴-+=22212121221212,(2)8,24,()8412,PF PF PF PF c PF PF PF PF PF PF ⊥∴+==∴=∴+=+=∴+= 【例4】已知曲线C 的方程为221mx ny +=，下列说法正确的是（）A ．若0mn >，则曲线C 为椭圆B ．若0mn <，则曲线C 为双曲线C ．若曲线C 为焦点在x 轴的椭圆，则0m n >>1n【题型专练】1.设双曲线221169x y -=的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且PF 与圆2216x y +=相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则MN MO -=（）A ．12B ．1C ．32D ．22.已知F 1、F 2分别为双曲线C :29x -227y =1的左、右焦点，点A 为C 上一点，点M 的坐标为(2，0)，AM为∠F 1AF 2的角平分线．则|AF 2|=.3.方程132m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是（）A ．23m -<<B ．20m -<<C ．2m <-或3m >D ．32m -<<题型二：求双曲线的标准方程【例1】与椭圆22:11612y x C +=共焦点且过点(的双曲线的标准方程为（）A ．2213y x -=B ．2221yx -=C ．22122y x -=D ．2213y x -=【答案】C 【解析】【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用双曲线的定义可求得a 的值，再由b =b 的值，结合双曲线的焦点位置可求得双曲线的标准方程.【详解】椭圆C 的焦点坐标为()0,2±，设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b-=>>，由双曲线的定义可得2a =-=，a ∴2c = ，b ∴=因此，双曲线的方程为22122y x -=.故选：C.【例2】已知圆22:(4)16M x y ++=，M 为圆心，P 为圆上任意一点，定点(4,0)A ，线段PA 的垂直平分线l 与直线PM 相交于点Q ，则当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为（）A ．221(2)412x y x -=≤-B ．221412x y -=C ．221(1)3y x x -=≤-D ．2213y x -=【例3】已知双曲线H ：219x y a -=（0a >），以原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形ABCD 的面积为4a ，则双曲线的方程为（）A ．22199x y -=B ．221189x y -=C ．221279x y -=D ．221369x y -=【例4】已知双曲线()22:10,0C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在双曲线C 的右支上，12MF MF ⊥，若1MF 与C 的一条渐近线l 垂直，垂足为N ，且12NF ON -=，其中O 为坐标原点，则双曲线C 的标准方程为（）A ．2212016x y -=B ．221204x y -=C ．221416x y -=D ．221420x y -=，【题型专练】1．已知双曲线的对称轴为坐标轴，两个顶点间的距离为2，焦点在y ，则双曲线的标准方程是（）A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2212xy -=D ．2212y x -=2．已知双曲线C 的焦点为1F ，)2F ，点P 在双曲线C 上，满足112PF F F ⊥，14PF =，则双曲线C 的标准方程为（）A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．22132x y -=D ．22123x y -=3．已知圆M ：()2224x y ++=，M 为圆心，P 为圆上任意一点，定点()2,0A ，线段PA 的垂直平分线l 与直线PM 相交于点Q ，则当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为（）A ．221(2)412x y x -=≤-B ．221412x y -=C ．221(1)3y x x -=≤-D ．2213y x -=4.已知双曲线方程为222x y k -=，焦距为6，则k 的值为________.故答案为：±6.5．（2022·重庆·三模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点为1F ，2F ，左右顶点为1A ，2A ，过2F 的直线l 交双曲线C 的右支于P ，Q 两点，设12PA A α∠=，21PA A β∠=，当直线l 绕着2F 转动时，下列量保持不变的是（）A ．1PQA △的周长B ．1PF Q 的周长与2PQ之差C ．tan tan αβD ．tan tan αβ⋅【答案】BD 【解析】【分析】如图所示：当直线l 的倾斜角越小时，点1PQA △的周长越大，可判断A ，根据双曲线定义求解可判断B ，设(),P x y ，则tan ,tan y y a xx aαα==-+-根据商与积的值可判断CD ．【详解】如图所示：当直线l 的倾斜角越小时，点1PQA △的周长越大，故A 不正确；1PF Q 的周长为1122442PF QF PQ a PF QF PQ a PQ++=+++=+所以1PF Q 的周长与2PQ之差为4a ，故B 正确；设(),P x y ，则tan ,tan y ya x x aαα==-+-，由tan tan a xa xαβ-=+不是常量，故C 不正确；由22222222221tan tan x b y y a y b a x a x a x a x aαβ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅==-+---为常量，故D 正确；故选：BD题型三：双曲线焦点三角形面积【例1】设双曲线2222:1(00)x y C a b a b，-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F．P 是C 上一点，且12F P F P ⊥．若△12PF F 的面积为4，则a =（）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】A【思路导引】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案．【解析】解法一：ca=c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=，12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=，12F P F P ⊥ ，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选A ．解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为2tan 221θb S F PF =．∴︒45tan 2b =4，则2=b ，又∵5==ace ，∴1=a ．解法三：设n PF m PF ==21,，则421==mn S F PF ，a n m 2=-，5,4222===+ace c n m ，求的1=a ．【例2】已知1F ，2F 是双曲线C ：()2210,0436x y a b -=>>的左、右焦点，M ，N 是C 上关于原点对称的两点，且12MN F F =，则四边形12MF NF 的面积是______．，即可求得四边形【题型专练】1．已知1F ，2F 分别是双曲线C ：22144x y -=的左、右焦点，P 是C 上一点，且位于第一象限，120PF PF ⋅= ，则（）A ．PB ．12PF =C ．12PF F △的周长为4D ．12PF F △的面积为42.设1F ，2F 是双曲线2:13C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则△12PF F 的面积为（）A ．72B ．3C ．52D ．2【答案】B【解析】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -，则1,2a c ==，∵121||1||2OP F F ==，∴点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，∴2124||||PF PF =-=2212||||2PF PF +-12||||162PF PF =-12||||PF PF ，解得12||||6PF PF =，∴12F F P S =△121||||32PF PF =，故选B ．题型四：双曲线的渐近线有关题型焦点在x 轴上的渐近线为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-±=02222b y a x x a b y 焦点在y 轴上的渐近线为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-±=02222b x a y x b a y 若双曲线的方程为122=+ny mx ，要求渐近线只需令022=+ny mx ，解出即可即已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。

2019高考双曲线单元测试题1.双曲线的渐近线为〔〕A．B．C．D．2.A双曲线的中心为原点，点是双曲线的一个焦点，点到渐近线的距离为1，那么的方程为〔〕A. B. C. D.3.双曲线的渐近线方程为，那么的离心率为〔〕A．2 B．C．D．4.双曲线，那么双曲线的焦点坐标为〔〕A．B．C．D．5.双曲线的离心率e=2，那么双曲线C的渐近线方程为〔〕A．B．C．D．6．斜率为的直线与双曲线恒有两个公共点，那么双曲线离心率的取值围是〔〕A. [2，+∞〕B. 〔2，+∞〕C.D.7．双曲线〔，〕的左、右焦点分别为、，焦距为〔〕，抛物线的准线交双曲线左支于，两点，且〔为坐标原点〕，那么该双曲线的离心率为〔〕A. B. 2 C. D.8.假设双曲线与双曲线的焦距相等，那么实数的值为〔〕A. -1B. 1C. 2D. 49．点是双曲线〔，〕右支上一点，是右焦点，假设〔是坐标原点〕是等边三角形，那么该双曲线离心率为〔〕A. B. C. D.10.双曲线，的左焦点为F，离心率为，假设经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，那么双曲线的方程为〔〕A．B．C．D．11.双曲线方程为，它的一条渐近线与圆相切，那么双曲线的离心率为〔〕A．B．C．D．12.双曲线的离心率为2，那么椭圆的离心率为( ) A．B．C．D．二、填空题13. 方程表示双曲线，那么实数的取值围为___________．14.过点且和双曲线有一样的渐近线的双曲线方程为__________．15.双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为______________16.在平面直角坐标系中，假设双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，那么其离心率的值是________．三、解答题17.三点P、、.〔1〕求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；〔2〕求以、为焦点且过点P的双曲线的标准方程.18.双曲线的中心在坐标原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点．〔1〕求双曲线的标准方程；〔2〕假设点在第一象限且是渐近线上的点，当时，求点的坐标．19.双曲线：的一条渐近线为，右焦点到直线的距离为．〔1〕求双曲线的方程；〔2〕斜率为且在轴上的截距大于的直线与曲线相交于、两点，，假设证明：过、、三点的圆与轴相切．20.双曲线的焦点是椭圆：的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.〔1〕求椭圆的方程；〔2〕设动点，在椭圆上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值.21.双曲线的左右两个顶点是，，曲线上的动点关于轴对称，直线与交于点，〔1〕求动点的轨迹的方程；〔2〕点，轨迹上的点满足，数的取值围.22.如图，椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.〔Ⅰ〕求椭圆和双曲线的标准方程；〔Ⅱ〕设直线、的斜率分别为、，证明；〔Ⅲ〕探究是否是个定值，假设是，求出这个定值；假设不是，请说明理由.1.双曲线的渐近线为〔〕A．B．C．D．【答案】A2.A双曲线的中心为原点，点是双曲线的一个焦点，点到渐近线的距离为1，那么的方程为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】因为点到渐近线的距离为1，所以b=1，因为c=,所以a=1，因此的方程为，选A.3.双曲线的渐近线方程为，那么的离心率为〔〕A．2 B．C．D．【答案】C4.双曲线，那么双曲线的焦点坐标为〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】由方程表示双曲线，焦点坐标在y轴上，可知，那么c2=a2+b2=25，即，故双曲线的焦点坐标为：，应选：C．5.双曲线的离心率e=2，那么双曲线C的渐近线方程为〔〕A．B．C．D．【答案】D6．斜率为的直线与双曲线恒有两个公共点，那么双曲线离心率的取值围是〔〕A. [2，+∞〕B. 〔2，+∞〕C.D.【答案】D【解析】∵斜率为的直线与双曲线恒有两个公共点，∴＞，∴e==＞．∴双曲线离心率的取值围是〔，+∞〕．应选：D．7．双曲线〔，〕的左、右焦点分别为、，焦距为〔〕，抛物线的准线交双曲线左支于，两点，且〔为坐标原点〕，那么该双曲线的离心率为〔〕A. B. 2 C. D.【答案】A8．假设双曲线与双曲线的焦距相等，那么实数的值为〔〕A. -1B. 1C. 2D. 4【答案】C【解析】由题意得，选C.9．点是双曲线〔，〕右支上一点，是右焦点，假设〔是坐标原点〕是等边三角形，那么该双曲线离心率为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意及三角函数定义,点A(ccos,csin),即A(c, c)，代入双曲线方程，可得b2c2−3a2c2=4a2b2,又c2=a2+b2,得e2=4+2,e=+1，应选：D.10.双曲线，的左焦点为F，离心率为，假设经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，那么双曲线的方程为〔〕A．B．C．D．【答案】D11双曲线方程为，它的一条渐近线与圆相切，那么双曲线的离心率为〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】方法一：双曲线的渐近线方程为，那么，圆的方程，圆心为，所以，化简可得，那么离心率.方法二：因为焦点到渐近线的距离为，那么有平行线的对应成比例可得知，即那么离心率为. 选A.12.双曲线的离心率为2，那么椭圆的离心率为( ) A．B．C．D．【答案】A二、填空题13. 方程表示双曲线，那么实数的取值围为___________．【答案】【解析】因为方程表示双曲线，所以，即.14.过点且和双曲线有一样的渐近线的双曲线方程为__________．【答案】15.双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为______________【答案】4【解析】由题意，双曲线的一个焦点坐标为，一条渐近线的方程为，由点到直线的距离公式得，即双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为.16.在平面直角坐标系中，假设双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，那么其离心率的值是________．【答案】2三、解答题17.三点P、、.〔1〕求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；〔2〕求以、为焦点且过点P的双曲线的标准方程.【答案】(1) ;(2) -.〔2〕∵双曲线焦点在轴上，故设所求双曲线的标准方程为-，由双曲线的定义知，，∴，，故所求双曲线的标准方程为-.18.双曲线的中心在坐标原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点．〔1〕求双曲线的标准方程；〔2〕假设点在第一象限且是渐近线上的点，当时，求点的坐标．【答案】(1);(2)〔2〕因为等轴双曲线的渐近线方程为，点在第一象限且是渐近线上的点，∴设点坐标为，∵等轴双曲线，所以，不妨设〕，所以，，又因为，所以，所以，解得〔舍去负值〕，所以点的坐标为．19.双曲线：的一条渐近线为，右焦点到直线的距离为．〔1〕求双曲线的方程；〔2〕斜率为且在轴上的截距大于的直线与曲线相交于、两点，，假设证明：过、、三点的圆与轴相切．【答案】〔1〕；〔2〕证明见解析.〔2〕设直线的方程为，那么，，的中点为由得∴，∵，即∴〔舍〕或∴，点的横坐标为20.双曲线的焦点是椭圆：的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.〔1〕求椭圆的方程；〔2〕设动点，在椭圆上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值. 【答案】(1) .(2) .【解析】〔Ⅰ〕双曲线的焦点坐标为，离心率为.因为双曲线的焦点是椭圆：〔〕的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以，且，解得.故椭圆的方程为.设，，根据根与系数的关系得，.那么.因为，即.整理得.令，那么.所以.等号成立的条件是，此时，满足，符合题意.故的最大值为.21.双曲线的左右两个顶点是，，曲线上的动点关于轴对称，直线与交于点，〔1〕求动点的轨迹的方程；〔2〕点，轨迹上的点满足，数的取值围.【答案】〔1〕；〔2〕.〔2〕过的直线假设斜率不存在那么或3，设直线斜率存在，，那么22.如图，椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.〔Ⅰ〕求椭圆和双曲线的标准方程；〔Ⅱ〕设直线、的斜率分别为、，证明；〔Ⅲ〕探究是否是个定值，假设是，求出这个定值；假设不是，请说明理由.【答案】〔Ⅰ〕，;〔Ⅱ〕;〔Ⅲ〕.〔Ⅱ〕设P〔〕，那么=，.因为点P在双曲线上，所以.因此，即〔Ⅲ〕设A〔，〕，B〔〕，由于的方程为，将其代入椭圆方程得所以，所以故恒成立.。

2019高考数学双曲线专题复习（后附答案）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线2．方程11122=-++kyk x 表示双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3． 双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是（ ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关4．已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程m x －y+n=0与n x 2+my 2=mn 所表示的曲线可（）A B C D 5． 双曲线的两条准线将实轴三等分，则它的离心率为 （ ） A ．23B ．3C ．34 D ． 36．焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x7．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线12222=-by a x 有（ ）A ．相同的虚轴B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ． 相同的焦点8．过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ ）A ．28B ．22C ．14D ．129．已知双曲线方程为1422=-y x ，过P （1，0）的直线L 与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有 （ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条10．给出下列曲线：①4x +2y －1=0; ②x 2+y 2=3; ③1222=+y x ④1222=-y x ，其中与直线y=－2x －3有交点的所有曲线是 （ ） A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④ 二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）11．双曲线17922=-y x 的右焦点到右准线的距离为__________________________．12．与椭圆1251622=+y x 有相同的焦点，且两准线间的距离为310的双曲线方程为____________．13．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =__________________．4．过点)1,3(-M 且被点M 平分的双曲线1422=-y x 的弦所在直线方程为 ．三、解答题（本大题共6题，共76分）15．求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．（12分）18．已知不论b 取何实数，直线y=k x +b 与双曲线1222=-y x 总有公共点，试求实数k的取值范围.（12分）解析几何同步练习（双曲线及其标准方程2A ）一、选择题1、已知动点P 满足|PA|-|PB|=8，其中A （0，-5），B （0，5）则P 的轨迹方程是 [ ]A.191622=-y xB.191622=-x yC.191622=-y x （x ≥4）D.191622=-y x （y ≥4） 2、双曲线12222=-by a x 过焦点F 1的弦AB 的长为m ，另一焦点为F 2，则△ABF 2的周长为 [ ]A.4aB.4a-mC.4a+2mD.4a-2m3、平面内有两个定点F 1、F 2及动点P ，设命题甲是“|PF 1|-|PF 2|是非零常数”，命题乙是“动点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线”，那么甲是乙的[ ]A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分也不必要条件4、F 1、F 2为双曲线116422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且 9021=∠PF F ，则△F 1PF 2 的面积为 [ ]A.2B.4C.8D.16二、填空题1、双曲线12222=-b y a x 经过点()1,1A ，且a b 2=，双曲线标准方程是 。

双曲线检测试题及答案高二数学双曲线苏教版【本讲教育信息】一.教学内容：双曲线二.重点、难点：重点：双曲线的定义、方程、几何性质．掌握双曲线的标准方程的推导及标准方程．难点：理解参数a、b、c、e的关系及渐近线方程．三.主要知识点1、双曲线的定义：平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距．说明：双曲线的定义用代数式表示为||MF1|－|MF2||＝2a，其中2a ＜|F1F2|，这里要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同．当|MF1|－|MF2|＝2a时，双曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|－|MF2|＝－2a时，双曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a＝|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.2、标准方程的推导（1）建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的.以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图）．设|F1F2|＝2c（c＞0），M（x，y）为双曲线上任意一点，则有F1（－c，0），F2（c，0）．（2）点的集合由定义得出椭圆双曲线集合为：P＝{M||MF1－MF2|＝2a}.（3）代数方程（4）化简方程（其中c2＝a2+b2）3、两种双曲线性质的比较焦点在x轴上的双曲线焦点在y轴上的双曲线几何条件与两个定点的距离差的绝对值等于常数（小于这两个定点之间的距离）标准方程－＝1（a>0，b>0）－＝1（a>0，b>0）图形范围|x|≥a|y|≥a对称性x轴，y轴，原点顶点坐标（±a，0）（0，±a）实轴虚轴x轴，实轴长2ay轴，虚轴长2by轴，实轴长2ax轴，虚轴长2b焦点坐标（±c，0）c＝（0，±c）c＝离心率e＝，e>1渐近线y＝±xy＝±x4、方法小结（1）由给定条件求双曲线的方程，常用待定系数法.首先是根据焦点位置设出方程的形式（含有参数），再由题设条件确定参数值，应特别注意：①当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏；②已知渐近线的方程bx±ay＝0，求双曲线方程，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ（λ≠0），根据其他条件确定λ的值.若求得λ＞0，则焦点在x轴上，若求得λ＜0，则焦点在y轴上．（2）由已知双曲线的方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置，防止将焦点坐标和准线方程写错．（3）双曲线中有一个重要的Rt△OAB（如下图），它的三边长分别是a、b、c．易见c2＝a2+b2，若记∠AOB＝θ，则e＝＝．（4）参数a、b是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有a＞0，b ＞0；双曲线焦点位置决定标准方程的类型；a、b、c的关系是c2＝a2+b2；在方程Ax2+By2＝C中，只要AB＜0且C≠0，就是双曲线的方程．（5）给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线．但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程．但若已知渐近线方程是±＝0，则可把双曲线方程表示为－＝λ（λ≠0），再根据已知条件确定λ的值，求出双曲线的方程．【典型例题】例1.根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点（－3，2）；（2）与双曲线－＝1有公共焦点，且过点（3，2）.（3）求中心在原点，两对称轴为坐标轴，并且经过P（3，）Q（，5）．剖析：设双曲线方程为－＝1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程.解法一：（1）设双曲线的方程为－＝1，由题意得解得a2＝，b2＝4．所以双曲线的方程为－＝1．（2）设双曲线方程为－＝1.由题意易求c＝2．又双曲线过点（3，2），∴－＝1.又∵a2+b2＝（2）2，∴a2＝12，b2＝8．故所求双曲线的方程为－＝1．解法二：（1）设所求双曲线方程为－＝λ（λ≠0），将点（－3，2）代入得λ＝，所以双曲线方程为－＝．（2）设双曲线方程为－＝1，将点（3，2）代入得k＝4，所以双曲线方程为－＝1．评述：求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e）之间的关系，并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程ax±by＝0，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ（λ≠0）．与－＝1同焦点的可设为－＝1（3）设双曲线方程为（mn>0）将PQ两点坐标代入求得m＝－16，n＝－9.故所求方程为说明：若设－＝1或－＝1两种情况求解，比较繁琐．例2.△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，B（－1，0），C（1，0），求满足sinC－sinB＝sinA时，顶点A的轨迹方程，并画出图形．解：根据正弦定理得c－b＝a＝1即AB－AC＝1，所以点A的轨迹为双曲线又c＝1，a＝，∴b＝c2－a2＝故双曲线方程为（x>）例3.（2002年全国，19）设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围．剖析：由|PM|－|PN|＝2m，得||PM|－|PN||＝2|m|．知点P的轨迹是双曲线，由点P到x轴、y轴距离之比为2，知点P的轨迹是直线，由交轨法求得点P的坐标，进而可求得m的取值范围.解：设点P的坐标为（x，y），依题意得＝2，即y＝±2x（x≠0）．①因此，点P（x，y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线，得||PM|－|PN||∵||PM|－|PN||＝2|m|>0，∴0故－＝1．②将①代入②，并解得x2＝，∵1－m2>0，∴1－5m2>0．解得0评述：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力．解决此题的关键是用好双曲线的定义．例4.（2003年春季上海）已知椭圆具有的性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线C’：－＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．解：类似的性质为若MN是双曲线－＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（－m，－n），其中－＝1．又设点P的坐标为（x，y），由kPM＝，kPN＝，得kPM•kPN＝•＝，将y2＝x2－b2，n2＝m2－b2，代入得kPM•kPN＝．评注：本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质，考查类比、归纳、探索问题的能力.它是一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目，对思维能力有较高的要求．【模拟试题】（完成时间60分钟，满分100分）一、选择题（每小题4分，共40分）1.到两定点、的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是（）A.椭圆B.线段C.双曲线D.两条射线2.方程表示双曲线，则的取值范围是（）A.B.C.D.或3.双曲线的焦距是（）A.4B.C.8D.与有关4.（2004年天津，4）设P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|＝3，则|PF2|等于A.1或5B.6C.7D.95.（2005年春季北京，5）“a bA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件6.焦点为，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（）A.B.C.D.7.若，双曲线与双曲线有（）A.相同的虚轴B.相同的实轴C.相同的渐近线D.相同的焦点8.过双曲线左焦点F1的弦AB长为6，则（F2为右焦点）的周长是（）A.28B.22C.14D.129.已知双曲线方程为，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有（）A.4条B.3条C.2条D.1条10.给出下列曲线：①4x+2y－1＝0；②x2+y2＝3；③④，其中与直线y＝－2x－3有交点的所有曲线是（）A.①③B.②④C.①②③D.②③④二、填空题（每小题5分，共20分）11.（2003年上海）给出问题：F1、F2是双曲线－＝1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离．某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||＝8，即|9－|PF2||＝8，得|PF2|＝1或17．该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上．______________________________________________________．12.过点A（0，2）可以作_________条直线与双曲线x2－＝1有且只有一个公共点．13.直线与双曲线相交于两点，则＝__________________．14.过点且被点M平分的双曲线的弦所在直线的方程为．三、解答题（40分）15.（本题满分14分）、已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144．（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|•|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．16.（本题满分14分）、已知双曲线x2－＝1与点P（1，2），过点P作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB中点.（1）求直线AB的方程；（2）若Q（1，1），证明不存在以Q为中点的弦.17.（本题满分12分）、某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s．已知各观测点到该中心的距离都是1020m．试确定该巨响发生的位置．（假定当时声音传播的速度为340m/s：相关各点均在同一平面上）．【试题答案】一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）题号12345678910答案DDCCCBDABD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.|PF2|＝1712.413.14.三、解答题（40分）15.解：（1）由16x2－9y2＝144得－＝1，…………2'∴a＝3，b＝4，c＝5.焦点坐标F1（－5，0），F2（5，0），…………4'离心率e＝，…………6'渐近线方程为y＝±x.…………8'（2）||PF1|－|PF2||＝6，cos∠F1PF2＝…………10'＝＝＝0.…………12'∴∠F1PF2＝90°。

高考数学总复习双曲线练习题一、选择题（本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分）1．θ是第三象限角，方程 x2+y 2sinθ=cosθ表示的曲线是（）A．焦点在 x 轴上的椭圆B．焦点在 y 轴上的椭圆C．焦点在 x 轴上的双曲线D．焦点在 y 轴上的双曲线2．“ ab<0”是“方程 ax2 +by 2 =c 表示双曲线”的（）A．必需不充足条件B．充足不用要条件C．充要条件D．非充足非必需条件3．一动圆与两圆： x2+y 2=1 和 x2 +y 2-8x+12=0 都外切，则动圆心的轨迹为（）A．抛物线B．圆C．双曲线的一支D．椭圆4．双曲线虚半轴长为 5 ，焦距为6，则双曲线离心率是（）533D．2A．B．C．3 3525．过点 P（ 2， -2）且与x 2（）-y 2=1 有同样渐近线的双曲线方程是2y 2x2x2y2A．1B．12442y 2x2x2y 2C．1D．14224x 2y 2右支上一点 P到右准线距离为18，则点 P 到右焦点距离为（）6．双曲线1169455829D．32A．B．C．5 2527．过双曲线2y 2x -=1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A、 B 两点，若 |AB|=4 ，这样的直线有2（）A．1 条B． 2 条C．3 条D．4 条8．双曲线 3x2-y 2=3 的渐近线方程是（）A． y =± 3x1C．y =±3 x3 B． y =± x D．y =±x 339．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、 F2，∠ F1MF2=120°，则双曲线的离心率为（）A．3663 B．C．D．23310．设双曲线x2y 21（ 0<a<b）的半焦距为c，直线 l 过（ a，0），（ 0， b）两点，已知原a 2 b 2点到直线 l 的距离为3（）c，则双曲线的离心率为4A．2B．3C．223 D．3二、填空题（本大题共 4 小题，每题 6 分，共 24 分）x2y2表示双曲线，则实数 t 的取值范围是．11．t14 t112．双曲线x 2y2 1 的准线方程是．16913．焦点为 F1（ -4， 0）和 F2（ 4，0 ），离心率为2 的双曲线的方程是．x 2y 21的一个极点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线14．设圆过双曲线169中心的距离是．三、解答题（本大题共 6 小题，共 76 分）15．已知双曲线与椭圆x2y2y4x为渐近线，求双曲线方程．(12 分 ) 491共焦点，且以24316．双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，两准线间距离为9，而且与直线y1( x 4)相23交所得弦的中点的横坐标是2(12 分 )，求这个双曲线方程．317．某电厂冷却塔的外形是如下图双曲线的一部分绕此中轴（即双曲线的虚轴）旋转所成的曲面，此中A、A′是双曲线的极点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点,B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′ =14m， CC′ =18m，BB′ =22m，塔高 20m．成立坐标系并写出该双曲线方程．(12 分 )C'18mCA'14m A20mB'22m B． 1、 2 是y2x2MF1MF232 ，求双曲线1的两个焦点， M 是双曲线上一点，且18 F F916三角形△ F1MF2的面积．（ 12 分）19．一炮弹在 A 处的东偏北 60°的某处爆炸，在 A 处测到爆炸信号的时间比在 B 处早 4 秒，已知A 在B 的正东方、相距 6 千米， P 为爆炸地址，（该信号的流传速度为每秒 1 千米）求 A、P 两地的距离．(14 分)20．如图，已知梯形 ABCD中 |AB|=2|CD| ，点 E 分有向线段AC所成的比为8，双曲线过 C、11D、 E 三点，且以 A、 B 为焦点．求双曲线的离心率．(14 分 )D CA EB参照答案一．选择题（本大题共10 小题，每题5 分，共 50 分）题号 1 2 34 5 6 7 8 9 10答案DAC CAACCBA二．填空题（本大题共 4 小题，每题 6 分，共 24 分）11．t>4 或 t<112．y=9 13． x 2y 2114． 1654123三、解答题（本大题共 6 题，共 76 分）15．(12 分)[分析 ] ：由椭圆 x2y 2 1 c 5 ．4924x 2 y 2 1，则b4a29 故所求双曲线方程为x 2y2设双曲线方程为2b 2a3291aa 2b 2 25b 161616．(12 分) [分析 ] ：设双曲线方程为x 2 y 2 1 （a>0，b>0），a2b2∵两准线间距离为9 ，∴ 2 a 2=9，得 a 29c ， b2c 29 c ①2c244x 2y 212∵双曲线与直线订交，由方程组a 2b 2 得 (b 2a ) x 28a 2 x (b 216 ) a 2 0，y 1 4)999( x3 由题意可知 b2a 20 ，且x1x 28 a 227a 2 9b 292②922(b 2 a3)9联立①②解得： a 29 ， b 27因此双曲线方程为x 2 y 2 1．9717．(12 分) [ 分析 ]：（ I ）如图成立直角坐标系 xOy ，AA ′在 x 轴上， AA ′的中点为坐标原点 O ，CC ′与 BB ′x 2y 2C'yC平行于 x 轴．设双曲线方程为 1(a0, b0),a 2b 2则 a1AA 7.又设 B （ 11， y 1）， C （9， y 2），由于点 B 、C 在双曲线上，A'OAx2B'B因此有 112y 12 1, ①7 2b 29 2 y 221,②由题意知 y 2y 120.③72b2由①、②、③得y 112, y 28, b 7 2. 故双曲线方程为 x2y 2 1.49 9818．（ 12 分） [ 分析 ]：由题意可得双曲线的两个焦点是F 1（ 0， -5）、 F 2（ 0，5），由双曲线定义得： MF 1MF 2 6 ，联立MF 1 MF 232得MF 1 222， 因此△ F是直角三角形，进而其面积为S=1+ MF 2MF 216=100=F 1 F 21MF 2MF 1219．(14 分) [分析 ]：以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的垂直均分线为 y 轴，成立直角坐标系，则 A （ 3，0）、B （－ 3， 0） | PB | | PA | 4 1 6 a 2, b 5, c 3P 是双曲线x 2y 2 1右支上的一点∵P 在 A 的东偏北 60°方向，∴ k APtan 603 ．4 5∴线段 AP 所在的直线方程为y3(x3)x 2 y 24 1x 8解方程组5，y 3(x 3) 得53y x 0yPyBO A x即 P 点的坐标为（8， 53 ）∴A 、P 两地的距离为 AP(3 8) 2 (0 5 3 )2 =10（千米）．20．(14 分) [分析 ] ：如图，以 AB 的垂直均分线为 y 轴，直线 AB 为 x 轴，成立直角坐标系，则CD ⊥Oy ．由题意可设 A （ -c ， 0）， C （ c，h ）， B （c ， 0），此中 c 为双曲线的半焦距，c1 AB ， h 是梯形的2E 的坐标为 2 高．由定比分点公式，得点D y Cc 8c8 hE8 h ．x E11 2 7c ，y E11 A B x1 8191 819O1111设双曲线的方程为x 2 y 2 1 ，由离心率 ca 2b 2 ea． 由点 C 、 E 在双曲线上，得1 c2 h 2 1,① 2 1 c2c2c 4 a 2b 2h 1，代入②得9 因此离心率 e2 3由①得24 a2a2a249c264 h2b221.②361 a 361 b。

年理数天津卷】已知双曲线的离心率为
到双曲线同一条渐近线的距离分别为，且
B. C. D.
【答案】C
（则可得：，不妨设：
双曲线的一条渐近线方程为：，据此可得：，，则
，双曲线的离心率：，据此可得：
则双曲线的方程为
的左、右焦点分别为为异于的两点，且的中点在双曲线的左支上，点关于和的对称点分，则的值为（
C. 52
D.
位于双曲线的左支，则：
：
若为直角三角形，则
B. 3
C.
D. 4
【答案】
年浙江卷】双曲线的焦点坐标是−，，0)，(2，−)，【答案】
O PF中，
1 ()22
+
2b a
是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则
B. 2
C.
D.。

第59讲 双曲线1．(2015·福建卷)若双曲线E ：x29－y216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于(B)A ．11B ．9C ．5D ．3由题意知a ＝3.由双曲线的定义有||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，所以|PF 2|＝9.2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为(C)A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x因为c a ＝52，所以c ＝52a ，所以b ＝c 2－a 2＝12a . 而x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ， 所以所求的渐近线方程为y ＝±12x .3．(2017·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为(D)A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1根据题意画出草图如图所示(不妨设点A 在渐近线y ＝bax 上)．由△AOF 是边长为2的等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝|OF |＝2. 又点A 在双曲线的渐近线y ＝b ax 上， 所以b a＝tan 60°＝ 3.又a 2＋b 2＝4，所以a ＝1，b ＝3， 所以双曲线的方程为x 2－y 23＝1.4．(2017·新课标卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为(D)A.13B.12C.23D.32因为F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3，所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1，所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32.5．(2016·北京卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝ 1 ，b ＝ 2 .因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，即y ＝－2x ，所以ba＝2.①又双曲线的一个焦点为(5，0)，所以a 2＋b 2＝5.② 由①②得a ＝1，b ＝2.6．(2016·山东卷)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是 2 .如图，由题意知|AB |＝2b2a，|BC |＝2c .又2|AB |＝3|BC |，所以2×2b2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，所以2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理，得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．7．已知点P 是双曲线x 24a 2－y 2a2＝1(a >0)上的一点，以点P 及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积等于1，且∠F 1PF 2＝90°，求双曲线的方程．根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧||PF 1|－|PF 2||＝4a ， ①|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2， ②由①2－②得|PF 1|·|PF 2|＝2(c 2－4a 2)，又c 2＝4a 2＋a 2＝5a 2，所以S △PF 1F 1＝12|PF 1|·|PF 2|＝a 2＝1，故所求双曲线方程为x 24－y 2＝1.8．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是(A)A ．(－33，33)B ．(－36，36)C ．(－223，223)D ．(－233，233) 由题意知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 22－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0) ＝x 20＋y 20－3＝3y 20－1<0，解得－33<y 0<33.9．(2016·广州市综合测试(一))已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点为A ，右焦点为F ，点B (0，b )，且BA →·BF →＝0，则双曲线C 的离心率为5＋12.因为A (－a,0)，F (c,0)，B (0，b )， 所以BA →＝(－a ，－b )，BF →＝(c ，－b )，因为BA →·BF →＝0，所以－ac ＋b 2＝0，即c 2－a 2－ac ＝0，所以e 2－e －1＝0，所以e ＝1＋52(负值舍去)．10．已知双曲线C 的中心在坐标原点O ，对称轴为坐标轴，点(－2,0)是它的一个焦点，并且离心率为233.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知点M (0,1)，设P (x 0，y 0)是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点，求MP →·MQ →的取值范围．(1)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，半焦距为c ，则c ＝2，又由c a ＝233，得a ＝3，b 2＝c 2－a 2＝1，故所求双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)依题意有：Q (－x 0，－y 0)，所以MP →＝(x 0，y 0－1)，MQ →＝(－x 0，－y 0－1)，所以MP →·MQ →＝－x 20－y 20＋1，又x 203－y 20＝1，所以MP →·MQ →＝－43x 20＋2，由x 203－y 20＝1可得，x 20≥3， 所以MP →·MQ →＝－43x 20＋2≤－2.故MP →·MQ →的取值范围是(－∞，－2]．。