3.1.3-空间向量的数量积运算教案。

3．1.3 空间向量的数量积运算【课标要求】1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律．2．掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题． 【核心扫描】1．空间向量的数量积运算．(重点)2．利用空间向量的数量积求夹角及距离．(难点) 3．空间向量数量积的运算律．(易错点)自学导引1．空间向量的夹角定义 已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角记法 〈a ，b 〉范围[0，π]．当〈a ，b 〉＝π2时，a ⊥b提示 〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉，〈a ，－b 〉＝π－〈a ，b 〉． 2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a||b|cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a·b . (2)数量积的运算律数乘向量与向量 数量积的结合律(λa )·b ＝λ(a·b ) 交换律 a·b ＝b·a 分配律a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c(3)两个向量数量积的性质 (1)若a ，b 是非零向量，则a ⊥b ⇔a·b ＝0.(2)若a 与b 同向，则a·b ＝|a|·|b|；提示数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|·cos θ的乘积．名师点睛1．空间向量夹角的理解(1)任意两个空间向量均是共面的，故空间向量夹角范围同两平面向量夹角范围一样，即[0，π]；(2)空间向量的夹角在[0，π]之间，但空间两异面直线夹角在(0，π2]内，利用向量求两异面直线夹角时注意转化，两异面直线的夹角余弦值一定为非负数．2．平面向量与空间向量数量积的关系由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号、向量的模的概念和表示符号、以及运算律等都与平面向量相同．3．空间向量数量积的应用由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关，所以立体几何中的许多问题，如距离、夹角、垂直等问题的求解，都可借助于向量的数量积运算解决．(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，则cos〈a，b〉＝a·b|a||b|，可用来求两个向量的夹角．(2)a⊥b⇔a·b＝0，用于判断两个向量的垂直．(3)|a|2＝a·a，用于对向量模的计算，求两点间的距离或线段的长度．注意：①数量积运算不满足消去律若a，b，c(b≠0)为实数，则ab＝bc⇒a＝c；但对于向量就不正确，即a·b＝b·c(b≠0)⇒/ a＝c.②数量积运算不满足结合律数量积的运算只适合交换律，分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)．这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c 与a不一定共线．问题一：利用数量积求两点间的距离例1已知向量b a ⊥，向量c 与b a ,的夹角都是60，且,3,2,1===c b a 试求 （1）b a+ （2）2)(c b a -+思路：利用向量的平方等于模长的平方求解，老师先复习平面向量的基本知识，然后引导学生这两个例题，第一个稍微对下答案，第二个引导学生如何将三个向量的平方展开，中心思想就是将前面两个看成一个数，然后利用完全平方和展开.变式练习如图所示，平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，求AC 1的长．(学生上黑板演练，老师公布答案)[思路探索] 利用|AC 1→|2＝AC 1→2＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2求解． 解 因为AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→， 所以AC 1→2＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2＝AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →·AA 1→)． 因为∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，所以〈AB →，AD →〉＝90°，〈AB →，AA 1→〉＝〈AD →，AA 1→〉＝60° 所以AC 1→2＝1＋4＋9＋2(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23. 因为AC 1→2＝|AC 1→|2，所以|AC 1→|2＝23，|AC 1→|＝23，即AC 1＝23.规律方法 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a·a 求解即可．问题二：求数量积例2：如图所示，已知正四面体O-ABC 的棱长为 1，求OB OA ⋅、AB ·OC .（第一个请学生回答，第二个引导学生发现直接找两个向量的夹角是行不通的，所以要将两个向量用其他向量表示，将未知向量转化成已知向量，最好是化成同起点的已知向量，更能方表找到夹角）解：2160cos ==⋅OB OA OB OA ,OA OB AB -=0)(=⋅-=⋅∴OC OA OB OC AB变式变式练习:已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，F 为A 1D 1的中点，试计算：BD · AF （学生自主完成，喊通学生黑板演练，适当讲评，总结一般在六面体中其他向量基本装化成同起点的三条棱为基本向量）探究：利用数量积求夹角如图所示，已知S 是边长为1的正三角形ABC 所在平面外一点，且SA ＝SB ＝SC ＝1，M 、N 分别是AB 、SC 的中点，求异面直线SM 与BN 所成角的余弦值．（学生自主探究，引导学生发现求夹角可以转化成求数量积和求模长两个问题）解 设SA →＝a ，SB →＝b ，SC →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ，b ，c 三个向量两两夹角均为60°， ∴a·b ＝b·c ＝a·c ＝12.∵SM →·BN →＝12(SA →＋SB →)·(SN →－SB →)＝12(a ＋b )·(12c －b ) ＝12(12a·c －a·b ＋12b ·c －b 2) ＝12(12×12－12＋12×12－1)＝－12. ∴cos 〈SM →，BN →〉＝SM →·BN →|SM →|·|BN →|＝－1232·32＝－23.所以，异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为23.思路探索] 可先求向量OA →与BC →的夹角，再根据异面直线的夹角与向量的夹角之间的关系得出最后结果．规律方法 在异面直线上取两个向量，则两异面直线所成角的问题可转化为两向量的夹角问题．需注意的是：转化前后的两个角的关系可能相等也可能互补六．小结（1）夹角、空间向量数量积、运算律（2）夹角、距离的求法 (五)课后巩固:1.已知空间四边形ABCD ，求AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →的值．2.空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA ，BC 〉的值为( )．A ．12B ．22C ．－12 D ．03 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，求B 、D 间的距离．。

§3.1.3 空间向量的数量积运算一．教学目标1.知识与技能(幻灯片2)(1)通过类比平面向量数量积的运算，掌握空间向量数量积的概念、性质和运算律； (2)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体 几何问题转化为向量问题；(3)通过向量的运算，研究空间中点、线、面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题。

2.过程与方法引导学生注重知识间的联系，不断地与平面向量和立体几何知识进行类比，做到温故而知新，并且经历向量及其运算由平面到空间的推广过程，使学生的思维过程螺旋上升。

3.情感态度与价值观通过本节课的学习，使学生对于以往的知识有一个全新的认识，培养学生积极探索数学的本质，提高学生的数学素养。

二．教学重点空间向量数量积的概念以及实际应用。

三．教学难点建立空间向量与空间图形的内在联系； 四．教学过程 教学环节教学过程设计意图新 课 引入同学们,你们还记得平面向量数量积的定义吗？你能类比平面向量所成夹角说一说什么是空间中两条向量夹角及范围吗?注重了与旧知识的联系，使学生对知识的理解更为透彻。

学生容易对向量夹角和两直线夹角产生混淆，这里要对范围进行明确。

（幻灯片4） 讲 授 新 课零向量与任何向量的数量积为0。

性质1：这个性质是证明两向量垂直的依据；性质2： 这个性质是求向量模的依据。

思考：类比平面向量，你能说出空间向量数量积的几何意义吗？（幻灯片9）空间向量数量积和平面向量数量积相似，在教学中可采用类比的方法，并且还要向学生再次强调数量积的结果为常数，而不是向量。

空间向量数量积的几何意义同平面向量数量积是一样的。

只要让同学们理解空间中任意两个向量都是共面向量，此时就可以把空间向量的数量积转化为平面向量上来了。

（幻灯片5--8）（幻灯片10）=空间向量数量积的概念:已知两个非零向量a,,则a cos a,叫做a,的数量积.记作,即a cos a,.b b b b a b a b b b 22cos ,a a a a a a a a === cos 的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积。

3.1.3 空间向量的数量积运算一、课题：空间向量的数量积二、教学目标：1．巩固空间向量数量积的概念；2．熟练应用空间向量数量积解决立体几何中的一些简单问题。

三、教学重、难点：应用空间向量数量积解决问题． 四、教学过程： （一）复习：1．空间向量夹角的概念和范围； 2．空间向量数量积的概念；3．向量AB 在e 方向上的射影：|||||cos ,|A B AB AB e ''=⋅<>． （二）新课讲解：例1．已知线段,AB BD 在平面α内，BD AB ⊥，线段AC α⊥，若,,AB a BD b AC c ===， 求,C D 间的距离．例2．已知平行六面体ABCD A B C D ''''-中，4,3,5,90AB AD AA BAD '===∠=， 60BAA DAA ''∠=∠=，求AC '的长．例3．已知S 是边长为1的正三角形所在平面外一点，且1SA SB SC ===，,M N 分别是AB ，SC 的中点，求异面直线SM 与BN 所成角的余弦值．例4．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，E 为11AC 与11B D 的交点，F 为1BC 与1B C 的交点，又AF BE ⊥，求：长方体的高1BB ．五、课堂练习：课本第35页第1、5题． 六、课堂小结：空间向量数量积的应用． 七、补充作业：1．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中的真命题是( )．A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c2．如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a ，点E 、F 、G分别是AB 、AD 、DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是 ( )． A ．2BA →·AC → B ．2AD →·DB → C ．2FG →·AC → D ．2EF →·CB →3．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为 ( )．A.12B.22 C ．－12D ．0 4．已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________． 解析 将|a －b |＝7化为(a －b )2＝7，求得a ·b ＝12，再由a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求得cos 〈a ，b 〉＝18.5．已知空间向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a·b ＋b·c ＋c·a 的值为________．6．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点．求下列向量的数量积： (1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→答 案例1．【答案】解：（方法一）连结AD ， ∵,AC AD αα⊥⊂，∴AC AD ⊥，在ABD ∆中∵BD AB ⊥， ∴22222AD AB BD a b =+=+，在ACD ∆中∵AC AD ⊥，所以，CD（方法二）：22||()CD CA AB BD =++222||||||222CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++⋅+⋅+⋅又∵,,AC AB BD ααα⊥⊂⊂，∴,AC BD AC AB ⊥⊥，又∵AB BD ⊥，∴BD AB ⊥，∴0,0,0CA AB AB BD CA BD ⋅=⋅=⋅=，∴2||CD =222222||||||CA AB BD a b c =++=++，所以，||CD例2.【答案】解：22||()AC AB AD AA ''=++222||||||222AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅222435243cos90245cos60235cos60=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯169250201585=+++++=所以，||85AC '=例3．【解析】要求异面直线SM 与BN 所成角的余弦值，只要求SM 与BN 所成的角的余弦值，因此就要求SM BN ⋅以及||||SM BN ⋅，然后再用向量夹角公式求解．【答案】解：设SA a =，SB b =，SC c =，∴12a b b c a c ⋅=⋅=⋅=，∵1()()2SM BN SA SB SN SB ⋅=+⋅-11()()22a b c b =+⋅- 2111()222a c a b b c b =⋅-⋅+⋅-1111111(1)2222222=⨯-+⨯-=-∴12cos ,3||||3SM BN SM BN SM BN -⋅<>===-⋅， 所以，异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为23．【说明】设出空间的一个基底后，求数量积SM BN ⋅的时候目标就更加明确了，只要将SM与BN 都化为用基向量表示就可以了。

空间向量的数量积运算》教学设计教学设计3.1.3 空间向量的数量积运算整体设计本节课在平面向量的夹角和向量长度的概念的基础上，引入了空间向量的夹角和向量长度的概念和表示方法，介绍了空间两个向量数量积的概念、计算方法、性质和运算律，并举例说明利用向量的数量积解决问题的基本方法。

传统的解立体几何题需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难。

用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高。

课时分配：1课时教学目标知识与技能：1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法；2.掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；3.掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题。

过程与方法：1.运用类比方法，经历向量的数量积运算由平面向空间推广的过程；2.引导学生借助空间几何体理解空间向量数量积运算的意义。

情感、态度与价值观：1.培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力；2.培养学生空间向量的应用意识。

重点难点教学重点：1.空间向量的数量积运算及其运算律、几何意义；2.空间向量的数量积运算及其变形在空间几何体中的应用。

教学难点：1.空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用；2.空间向量的数量积运算及其几何应用和理解。

教学过程引入新课提出问题：已知在正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为AA′的中点，点F在线段D′C′上，D′F＝FC′，如何确定BE，FD的夹角？活动设计：教师设问：平面向量的夹角问题是如何求得的？是否可将平面内求得两向量的夹角公式推广到空间？公式的形式是否会有所变化？学生活动：回顾平面向量数量积、向量夹角公式；类比猜想空间向量夹角公式的形式。

设计意图：问题的给出，一时之间可能会使学生感到突然，但预计应该会联想到平面向量的夹角公式，由此作一番类比猜想，起到温故知新的作用。

《3.1.3空间向量的数量积运算》教学设计教学目标：知识与技能目标：知识：1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题.技能：将立体几何问题转化为向量的计算问题过程与方法目标：1.培养类比等探索性思维，提高学生的创新能力.2.培养学生把空间立体几何问题转化为向量的计算问题的思想.情感与态度目标：1. 获得成功的体验,激发学生学习数学的热情；2. 学习向量在空间立体几何中的应用,感受到数学的无穷魅力.教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用.教学难点：将立体几何问题转化为向量的计算问题.教辅工具：多媒体课件教学程序设计：一、几个概念1）两个非零向量的夹角的定义0,,,a b a b b a π≤〈〉≤〈〉〈〉规定:这样，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且＝ba b a b a ⊥=〉〈互相垂直，并记作：与则称如果,2,π,,,,,a b O OA a OB b a AOB a b b ∠〈〉==如图，已知两个非零向量在空间任取一点，作则角叫做向量与的夹角，记作：bABC思考：正三角形ABC 中，,______AB BC 〈〉=度120aOABab2）两个向量的数量积〉〈=⋅⋅〉〈b a b a b a b a b a b a b a b a ,cos ,,,cos ,即记作：的数量积，叫做向量，则已知空间两个非零向量几何意义： a与b的数量积b a⋅等于a 的长度|a |与b 在a的方向上的投影|b |cos ,a b 〈〉的乘积.A BO 1B cos ,b a b 〈〉A BO 1B cos ,b a b 〈〉A BO 1B cos ,b a b 〈〉大于0等于0小于0类比平面向量，说说的几何意义。

a b ⋅①两个向量的数量积是数量，而不是向量.〉〈=⋅⋅〉〈b a b a b a b a b a b a b a b a ,cos ,,,cos ,即记作：的数量积，叫做向量，则已知空间两个非零向量③非零向量④⑤cos ,a b a b a b⋅〈〉=2）两个向量的数量积a b ⊥0a b ⇔⋅=2a a =几个重要结论：②规定：00a ⋅=3)空间向量的数量积满足的运算律1)()()a b a b λλ⋅=⋅3()(a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅）分配律）2)(a b b a ⋅=⋅交换律）量的数量积定义及几何意义等.对个的结论主让例题与练习分析二、课堂练习.________,2,22,22.1所夹的角为则已知bababa-=⋅==2.10,0,0()2)()()()3)()4)()a b ca b a ba b c a b ca b a c b cka b k ba⋅===⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅=⋅==对于空间中任意向量,和，请判断下列说法的对错：）若则若，则若，则135××××ADFCBEACEFDCEFBDEFBAEFADABFEABCD⋅⋅⋅⋅)4()3()2(11 .3）（计算：的中点。

§3.1.3空间向量的数量积运算公开课教案教学目标: 知识目标：①掌握空间向量的数量积公式及向量的夹角公式；②运用公式解决立体几何中的有关问题。

能力目标：①比较平面、空间向量，培养学生观察、分析、类比转化的能力；②探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题、解决问题的能力。

情感目标：①通过师生的合作与交流，体现教师为主导、学生为主体的教学模式；②通过空间向量在立体几何中的应用，提高学生的空间想象力，培养学生探索精神和创新意识，让学生感受数学，体会数学美的魅力，激发学生学数学、用数学的热情。

教学重点：空间向量数量积公式及其应用。

教学难点：如何将立体几何问题等价转化为向量问题；在此基础上，通过向量运算解决立体几何问题。

教学方法：采取启发引导、形数转化、反馈评价等方式；学生学法：体现自主探索、观察发现、类比猜想等形式。

授课过程：1.引入:”夹角与长度是两个最基本的几何量，而数量积公式是解决这两个问题的主要工具”.现在，请你类比平面向量的数量积公式，归纳出与空间向量的数量积的相关知识，完成下表。

2.新知归纳：（学生分小组自行探索填表，教师总结）OABaab b(1).两个空间向量数量积的定义:因为空间任意的两个向量总是共面的,所以对于两个非零向量,a b,总可以在空间中任取一点O ,,,OA a OB b ==使从而可知AOB a b ∠ 角为向量与的夹角，,a b 〈〉 记作：, 0,a b π≤〈〉≤范围：,,a b b a 〈〉〈〉＝, ,,2a b a b a b π〈〉=⊥ 特别的:时则称与互相垂直，并记作：注意:,,,OA OB OA OB OA OB π<->=<->=-<>而cos ,,,cos ,a b a b a b a b a b a b a b 〈〉⋅⋅=〈〉叫做空间两向量的数量积，记作：即(2)空间向量的数量积的几何意义:c o s ,.a ba ab a b a b ⋅〈〉数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积 (3)空间向量的数量积的主要性质:设,a b是两个非零向量①0a b a b ⊥⇔⋅=数量积为零是判定两非零向量垂直的充要条件②,;,a ba b a b a b a b a b ⋅=⋅⋅=-⋅当与同向时当向量与反向时2,a a a a ⋅== 特别地或用于计算向量的模③cos ,a ba b a b⋅〈〉=⋅用于计算向量的夹角(4)空间向量数量积满足的运算律①交换律:a b b a ⋅=⋅ ; ②对数乘的结合律:()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅③分配律:()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅注意:数量积不满足结合律,即:()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅αlAO P3.巩固与应用:22222.10,0,0()2),()3)()()4),()5)()a b a b a b a c b c p q p q k a b k a b p q p q p q ⋅===⋅=⋅=⋅=⋅⋅==+⋅-=- 练习 1判断下列命题真假：）若则则则2.,,2,________.a b a b a b ==⋅=已知则所夹的角为4,3,5,90,60,(1),,;(2)(3)例1.已知在平行六面体中,表示求的长;求异面直线与所成角的余弦值.ABCD A B C D AB AD AA BAD BAA DAA AB AD AA AC AC AC BA ''''-=='''=∠=︒∠=∠=︒'''''[析]：明确应用向量方法解决空间问题的基本方法。

3.1.3空间向量的数量积运算一、教材分析：“3.1空间向量及其运算”包括空间向量的定义、空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、空间向量的数量积运算、空间向量的正交分解及其坐标表示、空间向量运算的坐标表示等内容。

在学生掌握了空间向量加法运算的基础上，学习空间向量的数乘运算应无困难。

教科书在本小节首先类比平面向量的数乘运算引入空间向量的数乘运算以及数乘运算的分配律和结合律。

进而分别给出了空间向量共线和共面的定义，并进一步研究了空间向量共线和共面的问题。

二、教学目标：1、掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2、掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；3、掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题.三、教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用．四、教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：3、教具选择：六、教学方法：七、教学过程1、自主导学：2、合作探究（一）、复习引入1.复习平面向量数量积定义：2. 平面向量中有两个平面向量的数量积，与其类似，空间两个向量也有数量积.（二）、新课讲授1. 两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量a 与b ，在空间中任取一点O ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作＜a ,b ＞．说明：⑴规定：0≤＜a ，b ＞π≤． 当＜a 、b ＞＝０时，a 与b同向； 当＜a 、b ＞＝π时，a 与b 反向；当＜a 、b ＞＝2π时，称a 与b 垂直，记a ⊥b ． ⑵ 两个向量的夹角唯一确定且＜a ,b ＞＝＜b ,a＞．⑶ 注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．②＜a ,b ＞≠(a ,b )2. 两个向量的数量积：已知空间两个向量a 与b ，|a ||b |cos ＜a 、b ＞叫做向量a 、b 的数量积，记作a ·b ，即 a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞. 说明：⑴零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝０；⑵符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. 几何意义：已知向量AB ＝a 和轴l ，e 是l 上和l 同方向的单位向量．作点A 在l 上的射影A ′，点B 在l 上的射影B ′，则''A B 叫做向量AB 在轴l 上或在e 方向上的正射影，简称射影．可以证明：''A B ＝｜AB ｜cos ＜a ,e ＞＝a ·e ．说明：一个向量在轴上的投影的概念，就是a ·e 的几何意义．3. 空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：⑴a ·e ＝｜a ｜·cos ＜a ,e ＞； ⑵a ⊥b ⇔a ·b ＝０⑶当a 与b 同向时，a ·b ＝｜a ｜·｜b ｜； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－｜a ｜·｜b ｜.特别地，a ·a ＝｜a ｜2或｜a ｜＝2a a a ⋅=.⑷cos ＜a ,b ＞＝a ba b ⋅⋅; ⑸｜a ·b ｜≤｜a ｜·｜b ｜.4. 空间向量数量积的运算律：与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积有如下运算律：⑴(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb ) (数乘结合律)； ⑵ a ·b ＝b ·a (交换律)；⑶a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)说明：⑴(a ·b )c ≠a （b ·с）；⑵有如下常用性质：a 2＝｜a ｜2，(a ＋b )2＝a 2＋２a ·b ＋b 2例题讲解：课本91页：例2、例33、巩固训练：课本92页：练习4、拓展延伸：5、师生合作总结：（1）空间向量夹角和模的概念及表示方法（2）两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；八、课外作业：课本97页：习题3.1 A组 4九、板书设计：。