公开课-3.1.3空间向量的数量积运算-课件

又|1 |= 2,| |= 2,
1 ·
所以 cos<1 , >=
|1 |||
=
1
2× 2
1
2
= .
因为<1 , >∈[0°,180°],
所以<1 , >=60°,所以向量1 与 的夹角为 60°.
3.1.3
问题导学
空间向量的数量积运算
课前预习导学
且|cos<a,b>|≤1,所以 D 正确.
3.1.3
问题导学
空间向量的数量积运算
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
2.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AA1=2,AD=4,E 为侧面
AB1 的中心,F 为 A1D1 的中点.
2.有关数量积的运算应注意的问题:
(1)与数乘运算区分开,数乘运算的结果仍是向量,数量积的结果为
数量;
(2)书写规范:不能写成 a×b,也不能写成 ab.
3.1.3
问题导学
空间向量的数量积运算
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
=|c|2-|a|2=0.
3.1.3
问题导学
空间向量的数量积运算
当堂检测
(3) ·1 =
1
1
(-) +
2
2
1
+
2
1
2
1
1
=- |a|2+ |b|2=2.
2

＝12＋1×1×cos 60° －2×1×1×cos 60° ＋1×1×cos 60° ＋12－2×1×1×cos 60° ＝1. → → → (3)|OA＋OB＋OC|＝ → → → OA＋OB＋OC2
＝ 12＋12＋12＋2×1×1×cos 60° ×3＝ 6.
研一研· 问题探究、课堂更高效
研一研· 问题探究、课堂更高效
3.1.3 例 1 已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AB＝AA1＝ 2，AD
＝ 4， E 为侧面 AB1 的中心， F 为 A1D1 的中点．试计算： → → → → → → (1)BC· ED1；(2)BF· AB1； (3)EF· FC1. → → → 解 如图，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，
跟踪训练 2
如图所示，已知平行六面体
ABCD— A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形， 且∠ C1CB＝∠ C1CD＝∠ BCD＝ 60° .求证： CC1⊥ BD. → → → 证明 设CB＝a，CD＝b，CC1＝c，则|a|＝|b|.
→ → → → → ∵BD＝CD－CB＝b－a， ∴BD· CC1＝(b－a)· c＝b· c－a· c ＝|b||c|cos 60° －|a||c|cos 60° ＝0， → → ∴C1C⊥BD，即 C1C⊥BD.
研一研· 问题探究、课堂更高效
小结
3.1.3 求向量的模，可以转化为求向量的数量积，求两点
间的距离或某条线段的长度，可以转化为求对应向量的模， 其中的关键是将线段长度用向量的模表示出来．
跟踪训练 3 如图所示，已知线段 AB 在平面 α 内，线段 AC⊥α，线段 BD⊥AB，线段 DD′⊥α 于 D′， 如果∠ DBD′＝30° ，AB ＝ a， AC＝ BD＝b，求 CD 的长． → → 解 易知 AC⊥AB.，<CA，BD>＝60° ， → → → → → → ∵|CD|2＝CD· CD＝(CA＋AB＋BD)2 →2 →2 → 2 → → → → → → ＝|CA| ＋|AB| ＋|BD| ＋2(CA· AB＋CA· BD＋AB· BD)＝

略解:⑴ MN MO ON
1 OA 1 (OB OC )= 1 (a b c)
22
2
MP OP OM = 1 (c a) 2
⑵易知 a b b c
ca
1,
a
2
2
b
2
c
1 ,∴ MN
MP
1
2
418
练习 2.在长方体 ABCD─A1B1C1D1 中, AB 2 , BC 2 ,
2
2
b
① a | a |2 即 | a | a (求线段的长度);
② a b a b 0 (垂直的判断);
a
b
a,b
③ cos a, b a b (求角度). ab
以上结论说明,可以从向量角度有效地分析有关 垂直、长度、角度等问题.
20
AA1 6 ,且记 AB a , AD b , AA1 c ,
D1
C1
⑴用 a 、b 、c 表示 BD1, B1C ;
A1
B1
⑵求异面直线 BD1 和 B1C 所成角的余弦值.
解:⑴ BD1 BA AD DD1 = a b c
D
C
B1C B1B BC c b
A
B
⑵∵ a b b c c a 0 , a 2 4, b 2 4, c 2 36 ,
⑷如果 a, b ,则称 a 与 b 垂直,记为 a b
2 异面直线及所成的角？
(0, ]
2
3
2)两个向量的数量积 已 知 空 间 两 个 非 零 向 量 a 、b , 则
a b cosa, b 叫做 a 、b 的数量积,记作 a b . 即 a b a b cosa, b .
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零. 类比平面向量,你能说 出 a b 的几何意义吗?

（1）证明两直线垂直; （2）求两点之间的距离或线段长度; （3）证明线面垂直; （4）求两直线所成角的余弦值等等.
高考链接
1.（2006年四川卷）如图，已知正六边
形P1P2P3P4P5P6 ，下列向量的数量积中最
大的是___A___. A. P1P2 ·P1P3
B. P1P2·P1P4
C. P1P2·P1P5 D. P1P2·P1P6
方法三:数形结合法，发现形的特殊性.
（2）已知 a 2 2 , b 2 , a b 2
2
则a，b所成的夹角为__1_3_5___.
分析:根据两向量夹角公式
a·b = a b cosa ,b （0 a,b π）
可得到所求结果.
2.选择
设a，b，c是任意的非零空间向量，且
a b = a b cosθ
向量的夹角： 0 θO a
A
B
2.平面向量的数量积的主要性质
设a，b是两个非零向量
（1）a⊥b a×b=0数量积为零是判
定两非零向量垂直的充要条件;
（2）当a与b同向时, a·b=|a|·|b|;当a与b 反向时, a·b=-|a|·|b|;特别地，a a = a 2 或 a = a a 用于计算向量的模;
2
2
AB' = AB + AA' = 2FG
FG / /AB'
由①知 EG∥AC
∴平面EFG//平面AB’C.
习题答案
1. B
2. 解:因为 AC = AB + AD + AA，
所以 | AC |2= ( AB + AD + AA )2
=| AB |2 + | AD |2 + | AA |2 + 2( AB·AD + AB·AA+ AD·AA )

ab 1.利用向量法求两条异面直线所成角的依据是 cos〈a, b〉 . ab
2.题2中若求EC1与FD1所成的角，需要求出 EC FD 及 | EC | 1 1 1 与 | FD1 | 的值.
【解析】1．选C．如图，设AB=AC=AA1=1，
A1B AB AA1， AC1 AC CC1 AC AA1， A1B AC1 (AB AA1 ) (AC AA1 ) AB AC AB AA1 AA1 AC AA1 0 0 0 1 1,
3 3
2．设 AB a, AD b, AA c， 1 则|a|=4,|b|=3,|c|=2，
1 EC1 EB BC CC1 AB AD AA1 4 1 a b c, 4 FD1 FC CC1 C1D1 2 2 AD AA1 AB a b c, 3 3
直线AB与CD所成的角就是〈a,b〉;若〈a,b〉大于90°，则直
线 AB与CD所成的角是π-〈a,b〉.特别地，若〈a,b〉=0或
〈a,b〉=π,则AB∥CD；若 〈 a, b 〉 , 则AB⊥CD.
2
2.空间向量数量积的性质及几何意义 (1)空间向量的数量积a·b可以为正，可以为负，也可以为零. (2)若向量a,b是非零向量，则 a b 0 a b. (3)特例与变形：①若a是单位向量，则a·b=|b|· cos〈a,b〉; ② cos〈a, b〉 ③a·a=|a|2. (4)几何意义：a与b的数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方 向上的投影|b|·cos〈a,b〉的乘积.
(2)结论：把__________________ |a||b|cos〈a,b〉 叫做a,b的数量积.

(3)������������ ·������������1 .
分析:解答本题可先把各向量用同一顶点上的三条棱对应的向量 表示出来,再代入向量的数量积进行运算.
解:如图,设������������ =a, ������������ =b, ������������1 =c, 则|a|=|c|=2,|b|=4,a· b=b· c=c· a=0.
3.1.3 空间向量的数量积运算
1.掌握空间向量的夹角与长度的概念. 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法. 3.能用向量的数量积判断向量共线与垂直.
1.向量的夹角
(1)如图,已知两个非零向量 a,b,在空间任取一点 O,作 ������������ =a, ������������ =b,则∠AOB 叫做向量 a,b 的夹角,记作<a,b>. π (2)向量 a,b 的夹角<a,b>的范围是[0,π],如果<a,b>= ,
1 5
C. −5
D. −
1 5
)
解析:∵b=-5a, ∴a· b=-5a2=-5|a|2=-5. 答案:C
【做一做 2-2】在空间中,已知正三角形 ABC 的边长为 2,则������������ · ������������ = _________________. 解析:∵|������������ | = |������������ | = 2, 且 < ������������ , ������������ >= 60° ,
.
2.向量的数量积 (1)已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos<a,b>叫做a,b的数量积,记作 a· b , 即a · b=|a||b|cos<a,b>. 零向量与任何向量的数量积为0. 特别地,a· a=|a||a|cos<a,a>=|a|2. (2)数量积满足的运算律: ①(λa)· b=λ(a· b); ②交换律:a· b=b· a; ③分配律:a· (b+c)=a· b+a· c.

4．异面直线夹角的范围是(0， ]．2
第3页/共27页
1．空间两个向量的数量积
已知空间两个向量a，b，把平面向量的数量积 a·b＝ |a||b|cos〈a，b〉叫做两个空间向量a，b的数量积(或内积)．
2．两个空间向量的数量积的性质
(1)a·e＝ |a|cos〈a，e．〉 (2)a⊥b⇔ a·b＝0． (3)|a|2＝ a·a． (4)|a·b|≤ |a||b．|
＝ |
1300，
即
BA1
与
B1C
夹角的余弦值为
30 10 .
第17页/共27页
练习：．在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是 D1D，BD 的中点，G 在棱 CD 上，且 CG＝14CD， H 是 C1G 的中点． (1)求 EF 与 B1C 的夹角； (2)求 EF 与C1G 的夹角的余弦值； (3)求 F，H 两点间的距离．
∴异面直线 OE 与 BF 所成角的余弦值为23.
第24页/共27页
3．已知a，b是异面直线，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，
AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的
角是
()
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
第25页/共27页
解析：设〈 AB，CD〉＝θ，
∵ AB·CD＝( AC ＋CD＋ DB)·CD＝|CD|2＝1，
∴ BA1 ·AC ＝－ BA2 ＝－1.
又| AC |＝ 2，| BA1 |＝ 1＋2＝ 3.
∴cos〈 BA1
，
AC
〉＝ |
BA1 ·AC BA1 || AC
＝－1＝－ |6
6 6.

二.教学片断展示
谢谢聆听！
数学 运算
选择 运算 方法
掌握 运算 法则 探究 运算 方向
一.教学设计简述
教学内容解析
教学目标设置
教学策略分析
师生课堂互动模型“学习金字塔”模型两个“模型”引领，以学定教
教学主线 教学过程
• 问题引入，提出概念 • 合作探究，辨析概念
• 应用概念，感悟“运算”
• 归纳总结，作业巩固
做 抓 悟 会 “类比” “本质” “方法” “应用”
人教社A版 数学《选修2-1》
3.1.3 空间向量的数量积运算
数学 抽象 数据 分析 逻辑 推理
高中 数学
数学 运算 直观 想象 数学 建模
逻辑推理素养
• 类比 合情 • 特殊到一般 • 归纳 推理
逻辑 推理
演绎 • 一般到特殊 推理
数学运算素养
理解 运算 对象
求得 运算 结果 设计 运算 程序

l m 0, l m 0 , l g 0,即l g.
gl
m
m n ng
l g,即l垂直于平面内任一直线.l .
22
小 结： 通过学习,体会到我们可以利用向量数量积解决立体 几何中的以下问题： 1、证明两直线垂直; 2、求两点之间的距离或线段长度; 3、证明线面垂直; 4、求两直线所成角的余弦值等等.
3.1.3空间向量的 数量积运算
1
一、引入
1.共线向量定理：
空间中任意两个向量a, b (b 0)共线(a b )
的充要条件是存在实数，使得a b
2.共线向量定理的推论：
(1)若直线l过点A且与向量 a平行，则
点P在直线l上 OP OA ta
(2)三点P、A、B共线的充要条件有：
（1）存在实数t，使得AP t AB，即AP AB （2）存在实数t，使得OP OA t AB
另外 a b a c b c 及ab 0 a 0或b 0
10
已知空间向量a，b满足|a|=4，|b|=8，a与b的夹角是150°， 计算：(1)(a+2b)·(2n-b)；(2)|4a一2b|．
11
练习1
如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都 等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点。求 下列向量的数量积：
∴ cos AB,CD AB CD 3 1 ，
| AB | | CD | 2 3 2
∴ AB 与 CD 的夹角的余弦值为 1 ． 2
说明：由图形知向量的夹角时易出错，如 AB, BD 150 易错写成 AB, BD 30 ，注意推敲！
17
例 1:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.

注意： ①性质2）是证明两向量垂直的依据； ②性质3）是求向量的长度（模）的依据；
5)空间向量的数量积满足的运算律
1) (a)b (ab)
2) ab ba (交换律） 3）a(bc) abac (分配律）
注意： 数量积不满足结合律
（ab)ca(bc)
二、 课堂练习
1.已知 a2 2, b 2,ab 2 2
D
| CD |2 CD CD (CA AB BD)2
b a
b D'
| CA|2 | AB |2 | BD |2 2CA AB 2CA BD 2AB BD
A
B
b2 a2 b2 2b2 cos120
a2 b2
CD a2 b2
例4 已知在平行六面体 A B C D A B C D 中，AB4,
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
3）射影
已知向A量 B＝a和轴 l， e是l上与 l同方向的单位向 点A量 在。作 l上的射A1影 ,作点 B在l上的射B1， 影则 A1B1叫做向A量 B在轴 l上的 或在 e方向上的正射影 射， 影简 。称
A1B1 ABcosa,eae
m、n不平行，由共面向量定理
l
可知，存在唯一的有序实数对（x，y），
g m
lm gn n
使
g=xm+yn, l·g=xl·m+yl·n ∵ l·m=0,l·n=0 ∴ l·g=0
∴ l⊥g
∴ l⊥g
这就证明了直线l垂直于平面内的 任一条直线，所以l⊥
例2：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC， OB⊥AC，求证：OC⊥AB
A D 3 , A A 5 , B A D 9 0 , B A A D A A 6 0 ,