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3.1.3空间向量的数量积运算 课件

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高中数学A版3.1.3空间向量的数量积运算优秀课件

高中数学A版3.1.3空间向量的数量积运算优秀课件
（1）证明两直线垂直; （2）求两点之间的距离或线段长度; （3）证明线面垂直; （4）求两直线所成角的余弦值等等.
高考链接
1.（2006年四川卷）如图，已知正六边
形P1P2P3P4P5P6 ，下列向量的数量积中最
大的是___A___. A. P1P2 ·P1P3
B. P1P2·P1P4
C. P1P2·P1P5 D. P1P2·P1P6
方法三:数形结合法，发现形的特殊性.
（2）已知 a 2 2 , b 2 , a b 2
2
则a，b所成的夹角为__1_3_5___.
分析:根据两向量夹角公式
a·b = a b cosa ,b （0 a,b π）
可得到所求结果.
2.选择
设a，b，c是任意的非零空间向量，且
a b = a b cosθ
向量的夹角： 0 θO a
A
B
2.平面向量的数量积的主要性质
设a，b是两个非零向量
（1）a⊥b a×b=0数量积为零是判
定两非零向量垂直的充要条件;
（2）当a与b同向时, a·b=|a|·|b|;当a与b 反向时, a·b=-|a|·|b|;特别地，a a = a 2 或 a = a a 用于计算向量的模;
2
2
AB' = AB + AA' = 2FG
FG / /AB'
由①知 EG∥AC
∴平面EFG//平面AB’C.
习题答案
1. B
2. 解:因为 AC = AB + AD + AA，
所以 | AC |2= ( AB + AD + AA )2
=| AB |2 + | AD |2 + | AA |2 + 2( AB·AD + AB·AA+ AD·AA )

课件 1.1.3空间向量的数量积运算-高中数学选择性必修1(新教材同步课件) 共10张PPT

课件 1.1.3空间向量的数量积运算-高中数学选择性必修1(新教材同步课件) 共10张PPT
（3）―E→F ·―F→C 1＝21c－a＋21b·21b＋a ＝12(－a＋b＋c)·12b＋a＝－12|a|2＋14|b|2＝2.
应用探究
【例】BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，
□ABB1A1、□ BB1C1C 的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，
求异面直线BA1与AC所成的角.
【例】已知长方体ABCD — A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为 侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：
（1）BC ED1； （2）BF AB1 ； （3）EF FC1 .
解：如图，设―A→B ＝a，―A→D ＝b， ―A→A 1＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0. （1）―B→C ·―E→D 1＝b·[12(c－a)＋b]＝|b|2＝42＝16. （2）―B→F ·―A→B 1＝c－a＋12b·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
∴B―→A1·―A→C ＝－a2. ∴cos〈B―→A1，―A→C 〉＝
2－a·a22a＝－12.
又∵〈B―→A1，―A→C 〉∈[0，π]，∴〈B―→A1，―A→C 〉＝120°，
又∵异面直线所成的角是锐角或直角，
∴异面直线BA1与AC成60°角.
应用探究
拓广探索
【例】如图所示，平行六面体ABCD — A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2， AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长.
解：因为―A→C 1＝―A→B ＋―A→D ＋―A→A 1，
所以―A→C 21＝(―A→B ＋―A→D ＋―A→A 1)2 ＝―A→B 2＋―A→D 2＋A―→A12＋2(―A→B ·―A→D ＋―A→B ·―A→A 1＋―A→D ·―A→A 1).

3.1.3 空间向量的数量积运算(共68张ppt)资料

3.1.3 空间向量的数量积运算(共68张ppt)资料
ab 1.利用向量法求两条异面直线所成角的依据是 cos〈a, b〉 . ab
2.题2中若求EC1与FD1所成的角，需要求出 EC FD 及 | EC | 1 1 1 与 | FD1 | 的值.
【解析】1．选C．如图，设AB=AC=AA1=1，
A1B AB AA1， AC1 AC CC1 AC AA1， A1B AC1 (AB AA1 ) (AC AA1 ) AB AC AB AA1 AA1 AC AA1 0 0 0 1 1,
3 3
2．设 AB a, AD b, AA c， 1 则|a|=4,|b|=3,|c|=2，
1 EC1 EB BC CC1 AB AD AA1 4 1 a b c, 4 FD1 FC CC1 C1D1 2 2 AD AA1 AB a b c, 3 3
直线AB与CD所成的角就是〈a,b〉;若〈a,b〉大于90°，则直
线 AB与CD所成的角是π-〈a,b〉.特别地，若〈a,b〉=0或
〈a,b〉=π,则AB∥CD；若 〈 a, b 〉 , 则AB⊥CD.
2
2.空间向量数量积的性质及几何意义 (1)空间向量的数量积a·b可以为正，可以为负，也可以为零. (2)若向量a,b是非零向量，则 a b 0 a b. (3)特例与变形：①若a是单位向量，则a·b=|b|· cos〈a,b〉; ② cos〈a, b〉 ③a·a=|a|2. (4)几何意义：a与b的数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方 向上的投影|b|·cos〈a,b〉的乘积.
(2)结论：把__________________ |a||b|cos〈a,b〉 叫做a,b的数量积.

课件10：3.1.3 空间向量的数量积运算

课件10：3.1.3 空间向量的数量积运算

研
新知视界
习
新
1．空间向量的夹角
知
(1)夹角的定义
互
已知两个非零向量 a、b，在空间任取一点 O， 动
课
作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB 叫做向量 a、b 的夹角， 堂
记为〈a，b〉．
课
时
作
业
研
(2)夹角的范围
习
新
空间任意两个向量的夹角 θ 的取值范围是
知
0≤θ≤π.特别是，当 θ＝0 时，两向量同向共线；当
动
＝－2.
课
堂
答案：－2
课 时 作 业
5．如图2所示，在空间四边形OABC中，OA 研
＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，
习 新
∠OAB＝60°，求OA与BC夹角的余弦值．
知
互 动 课 堂
课
图2
时 作
业
解：∵B→C＝A→C－A→B，
研
习
∴O→A·B→C＝O→A·A→C－O→A·A→B
动 课 堂
∴〈E→F ，B→C 〉＝〈B→D，B→C 〉 ＝ 60°.
课
∴E→F·B→C＝1a·a·cos60°＝1a2.
时 作
2
4
业
研
[点评] 本题主要考查空间向量数量积的定 习 新
义及其运算，要求大家在熟练掌握的基础上能 知
灵活运用． 互 动 课 堂
课 时 作 业
研
迁移体验1 已知正四面体O—ABC的棱长为1. 习 新 知
知
B，则
|A→B|＝|a|＝ a·a，即求得两点之间的距离
互 动
课
即模的长度．
堂
课 时 作 业

空间向量数量积运算 ppt课件

空间向量数量积运算 ppt课件

PPT课件
5
PPT课件
6
知识要点
1.两个向量的夹角的定义
如图，已知两个非零向量a，b.在空 间任取一点O，可以作OA=a，OB=b，
则角∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作:
〈a，b〉
a
A
a
b
Ob
B
PPT课件
7
3.1.3空间向量的数量积运算
1） 空间两个向量的夹角的定义
思考：1、〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？
用于计算向量的模;
（3）cosθ = a b 用于计算向量的夹角.
a b
PPT课件
4
3.平面向量数量积满足的运算律
（1）交换律: a·b = b·a
（2）对数乘的结合律: (λa)·b = λ( a·b ) = a·(λb ) （3）分配律:( a + b )·c = a·c + b·c
数量积不满足结合律,即: ( a·b )·c a·( b·c )
形P1P2P3P4P5P6 ，下列向量的数量积中最
大的是___A___.
A. P1P2 ·P1P3
B. P1P2·P1P4
C. P1P2·P1P5
D. P1P2·P1P6
PPT课件
19
解析：如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6， 设边长 | P1 P2 |= a 则 ∠P2P1P3=π/6,
a b = a b cosθ
向量的夹角： 0 θ π
b
B
b
a
bO a
PPT课B件
A
2
复习：
4．平面向量的夹角：
b
B
a
OA
PPT课件
3

(原创)3.1.3空间向量的数量积

(原创)3.1.3空间向量的数量积

三平面、向空量间数向量积量的数运量算积律：的运算律：
(1)( a) b (a b)
(2)a b b a (交换律) (3)a (b c) a b a c (分配律)
思考：
(1)由a b a c，能得到b c 吗？
(2)对于向量 a, b, c ，（a b)c a(b c) 成立吗？
如果和这个平面的一条斜
线的射影垂直,那么它也
和这条斜线垂直.
αO
l l A
三垂逆线命定题理成的立逆定吗理? ：
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一
条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面内的射
影垂直.
看课本 P92—P94：
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
课本 P92 练习1——3题 P94 练习 第3题
a b a b cos a, b 0 a,b
注意: ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
二、空间两个向量的数量积的性质
（向量的夹角）
(1)空间向量的数量积具有和平面向量的数量积完 全相同的性质. (2)性质(2)是用来判断两个向量是否垂直，性质(5) 是用来求两个向量的夹角．
作业布置： P98：第3、4、5题
例 2．已知:如图, PO 、PA分别是平面 的垂线、
斜线， AO 是 PA 在平面 内的射影， l ，且
l OA，求证： l PA
P
D
变式：
αO
l A
若AD// l,OA=1,AD=2,PO=3,
(1)求 OD 和 AP 夹角的余弦值.
(2)求P, D间的距离；
斜线， AO 是 PA 在平面 内的射影， l ，且

3.1.3空间向量的数量积运算


在四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC． 中 在四面体 ⊥ ， ⊥ ，求证： ⊥ ．
3.1.3空间向量的数量积运算 空间向量的数量积运算
一、两个向量的夹角
两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角， 两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范 而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是 围是(0° ° 而向量的夹角可以是钝角 其取值范围是[0° ° 围是 °,90°],而向量的夹角可以是钝角 其取值范围是 °,180°]
(1)三垂线定理及其逆定理中都出 三垂线定理及其逆定理中都出 现了四条线AB， ， ， ， 现了四条线 ，AC，BC，l， 定理中所描述的是AC(斜线 、 斜线)、 定理中所描述的是 斜线 BC(射影 、l(面内的直线 之间的 射影)、 面内的直线 面内的直线)之间的 射影 关系． 关系． 在三垂线定理及其逆定理中， 在三垂线定理及其逆定理中， 涉及上面四条线， 涉及上面四条线，三个垂直 关系 垂线AB和平面 垂直； 和平面α ①垂线 和平面α垂直； 射影BC和直线 垂直； 和直线l垂直 ②射影 和直线 垂直； 斜线AC和直线 垂直， 和直线l垂直 ③斜线 和直线 垂直， 所以定理称为“ 所以定理称为“三垂线定 理”． (2)两个定理的区别 两个定理的区别 ①从两个定理的条件和结论上区分，三垂线定理是“线与射影垂直 从两个定理的条件和结论上区分，三垂线定理是“ 线与斜线垂直” 逆定理相反． 推出 线与斜线垂直”，逆定理相反． 从两个定理的作用上区分，三垂线定理解决已知“ ②从两个定理的作用上区分，三垂线定理解决已知“共面直线垂直 异面直线垂直” 逆定理相反． 推出 异面直线垂直”，逆定理相反．
四、空间向量数量积的运算律
与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律： 与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律：

3.1.3 空间向量的数量积运算


AB1 . BC1 (BB1 BA).(BB1 BC)
A
C
2
BB1 BA. BC 1
2
2.COS 60。
B
AB1 C1B
4、如图，在平行六面体ABCD A' B'C' D'中，AB 4,
AD 3, AA' 5,BAD 90，BAA' DAA' 60，
求AC '的 长.
D'
当a b 0 a，b夹角为钝角( )
四.空间向量数量积在立体几何中的应用:
【例1】已知：PO, PA分别是平面的垂线、斜线，
OA是PA在平面内的射影，l , 且l OA.
求证：l PA
证明：取直线l的方向向量a
P
l OA,a OA 0
PO ,且l ,
PO l PO a 0
三、课堂练习
1、已知| a | 2 2 , | b | 2 , a b 2，则a , b所夹的 2
角 为__1_3_5_0___.
2、判断真假：
(1)若a b 0,则a 0,b 0 ( )
(2) (a b) c a (b c)
()
(3)
2
p
2
q
(
p q)2
()
(4) 当a b 0 a，b 夹角为锐角，
2
2)空间向量的数量积
已知两个非零向量a、b，则 | a || b | cos a, b 叫做
向量a, b的数量积, 记作：a b，即 a b | a || b | cos a, b
注: ①两个向量的数量积是数量,可以正,负或0，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积为0.
思考: 类比平面向量，你能说出a b的几何意义吗？

3.1.3空间向量的 数量积运算


例3
如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都 等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点。求 下列向量的数量积：
(1) AB AC;(2) AD BD;
A
(3)GF AC;(4)EF BC.
F
EDBFra bibliotekGC
例4
在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对 角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离．
例5
已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA， OB的中点，若AB=OC，求证：PM⊥QN．
证明：
例 6、如图，在空间四边形 ABCD 中，AB 2 ，BC 3 ， BD 2 3 ，CD 3 ，ABD 30 ，ABC 60 ，求 AB 与 CD 的夹角的余弦值新疆
3.1.3空间向量的 数量积运算
空间两个向量的数量积的性质
(1)空间向量的数量积具有和平面向量的数量积完全相 同的性质.
(2)性质(2)是用来判断两个向量是否垂直，性质(5)是 用来求两个向量的夹角．
(3)性质(3)是实数与向量之间转化的依据．
例1、
例2、已知空间向量a，b满足|a|=4，|b|=8，a与b的夹角是 150°，计算：(1)(a+2b)·(2a-b)；(2)|4a一2b|．
王新敞 奎屯
解：∵ CD BD BC ， ∴ AB CD AB BD AB BC | AB | | BD | cos AB, BD
| AB | | BC | cos AB, BC
2 2 3 cos150 2 3 cos120 6 3 3
∴ cos AB,CD AB CD 3 1 ，
| AB | | CD | 2 3 2

空间向量的数量积最完美版课件

数量积满足非负性，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} geq 0$，当且仅当 $mathbf{a}$与$mathbf{b}$同向时 取等号。
02 空间向量向量的数量积定义为它们的 模长之积与它们夹角的余弦值的乘积 ，记作a·b。
当两个向量垂直时，它们的数量积为 0；当两个向量同向时，它们的数量 积为它们的模长之积。
空间向量的数量积最 完美版课件
目录
CONTENTS
• 空间向量的数量积定义 • 空间向量的数量积运算 • 空间向量的数量积的应用 • 空间向量的数量积的习题解析 • 空间向量的数量积的扩展知识
01 空间向量的数量积定义
定义
空间向量的数量积定义为两个向量的模长之积与它们夹角的 余弦值的乘积，记作：$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$。
题目8： 已知空间向量 $overset{longrightarrow}{a} = (x,y,z)$， $overset{longrightarrow}{b} = (x + y - z,y - x - z,z - x - y)$，且 $overset{longrightarrow}{a}$与 $overset{longrightarrow}{b}$的数 量积为$0$，求$x^{2} + y^{2} + z^{2}$的值。
高级习题解析
题目7： 已知空间向量 $overset{longrightarrow}{a} = (x,y,z)$， $overset{longrightarrow}{b} = ( 2y + z,x + y, - x + z)$，且 $overset{longrightarrow}{a}$与 $overset{longrightarrow}{b}$的数 量积为$5$，求$x^{2} + y^{2} + z^{2}$的值。
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＝12＋1×1×cos 60° －2×1×1×cos 60° ＋1×1×cos 60° ＋12－2×1×1×cos 60° ＝1. → → → (3)|OA＋OB＋OC|＝ → → → OA＋OB＋OC2
＝ 12＋12＋12＋2×1×1×cos 60° ×3＝ 6.
研一研· 问题探究、课堂更高效
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3.1.3 例 1 已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AB＝AA1＝ 2，AD
＝ 4， E 为侧面 AB1 的中心， F 为 A1D1 的中点．试计算： → → → → → → (1)BC· ED1；(2)BF· AB1； (3)EF· FC1. → → → 解 如图，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，
跟踪训练 2
如图所示，已知平行六面体
ABCD— A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形， 且∠ C1CB＝∠ C1CD＝∠ BCD＝ 60° .求证： CC1⊥ BD. → → → 证明 设CB＝a，CD＝b，CC1＝c，则|a|＝|b|.
→ → → → → ∵BD＝CD－CB＝b－a， ∴BD· CC1＝(b－a)· c＝b· c－a· c ＝|b||c|cos 60° －|a||c|cos 60° ＝0， → → ∴C1C⊥BD，即 C1C⊥BD.
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小结
3.1.3 求向量的模，可以转化为求向量的数量积，求两点
间的距离或某条线段的长度，可以转化为求对应向量的模， 其中的关键是将线段长度用向量的模表示出来．
跟踪训练 3 如图所示，已知线段 AB 在平面 α 内，线段 AC⊥α，线段 BD⊥AB，线段 DD′⊥α 于 D′， 如果∠ DBD′＝30° ，AB ＝ a， AC＝ BD＝b，求 CD 的长． → → 解 易知 AC⊥AB.，<CA，BD>＝60° ， → → → → → → ∵|CD|2＝CD· CD＝(CA＋AB＋BD)2 →2 →2 → 2 → → → → → → ＝|CA| ＋|AB| ＋|BD| ＋2(CA· AB＋CA· BD＋AB· BD)＝
3.1.3
探究点二 利用数量积求夹角 问题 1 怎样利用数量积求直线夹角或余弦值？
问题 2 利用数量积怎样证明两个向量垂直？ π 答案 要证明两个非零向量垂直，即〈a，b〉＝2，只
需证明 a· b＝0 即可．
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3.1.3
例2
证明：(三垂线定理)在平面内的一条直
线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂 直，那么它也和这条斜线垂直． 已知：如图，PO，PA 分别是平面 α 的垂线、斜线，AO 是 PA 在平面 α 内的射影， l⊂ α， 且 l⊥OA， 求证： l⊥PA. 证明 如图，取直线 l 的方向向量 a，同 → → → 时取向量PO，OA.∵ l⊥OA，∴ a· OA＝0. → ∵PO⊥α∴ l⊂α，∴ l⊥PO，∴ a· PO＝0. → → → → → 又∵ a· PA＝a· (PO＋OA)＝a· PO＋a· OA＝0，∴ l⊥PA.
3．如图所示，已知 PA⊥平面 ABC，∠ABC ＝120° ，PA＝AB＝BC＝6，则 PC 等于 A．6 2 B．6 C．12 D．144 ( C ) → → → → → 2 →2 → 2 → 2 解析 ∵ PC ＝ PA ＋ AB ＋ BC ∴ PC ＝ PA ＋ AB ＋ BC ＋ → → → 2AB· BC＝36＋36＋36＋2×36cos 60° ＝144.∴ |PC|＝12.
⊥ b a______
想一想： 〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？〈a，b〉与〈a， -b〉呢？
填一填· 知识要点、记下疑难点
3.1.3
2．空间向量的数量积
|a||b|cos〈a，b〉 (1)定义： 已知两个非零向量 a， b， 则_________________
叫做 a， b 的数量积，记作 a· b. (2)数量积的运算律 数乘向量与向量 数量积的结合律 交换律 分配律
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3.1.3
探究点三 利用数量积求距离 问题 类比平面向量， 说出用数量积求长度或距离的方法． 答案 利用数量积 a· b＝|a||b|cos θ 知
π 例 3 已知 a，b，c 中每两个的夹角都是 ，且|a|＝4，|b| 3 ＝6，|c|＝2，试计算|a＋b＋c|. 解 ∵|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，且〈a，b〉＝〈a，c〉＝ π 〈b，c〉＝3，∴|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)· (a＋b＋c)
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
3.1.3
2．已知 a，b 均为单位向量，它们的夹角为 60° ，那么 |a＋3b|等于 A. 7 B. 10 C. 13 D．4 ( C )
解析 |a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a· b＋9b2 ＝1＋6· cos 60° ＋9＝13.∴|a＋3b|＝ 13.
问题 2
类比平面向量的数量积，说出空间向量的数量积
a· b 的定义？ 答案 已知两个非零向量 a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫
做 a，b 的数量积，记作 a· b. 零向量与任何向量的数量积为 0.
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3.1.3
问题 3
请你类比平面向量说出 a· b 的几何意义．
|a|· |b| ； ②若 a 与 b 同向，则 a· b＝________ | a |· |b | 若 a 与 b 反向，则－ a· b ＝ ________. |a|2 或|a|＝ a· 特别地，a· a＝________ a
a· b 性质 ③若 θ 为 a，b 的夹角，则 cos θ＝________ |a||b|
上的三条棱对应向量表示，再代入数量积公式进行运算．
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3.1.3
跟踪训练 1 已知正四面体 OABC 的棱长为 1.求： → → (1)OA· OB； → → → → (2)(OA＋OB)· (CA＋CB)； → → → (3)|OA＋OB＋OC|. 1 → → → → 解 (1)OA· OB＝|OA|· |OB|· cos∠AOB＝2. → → → → → → → → → (2)(OA＋OB)· (CA＋CB)＝(OA＋OB)· (OA＋OB－2OC)
b2＋a2＋b2＋2(0＋b2cos 60° ＋0)＝a2＋3b2， → ∴|CD|＝ a2＋3b2，即 CD＝ a2＋3b2.
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
3.1.3
1．设 a、b、c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线， 下列命题： ① (a· b)· c－(c· a)· b＝ 0； ② |a|－ |b |<|a－ b|； ③ (b· a)· c－(c· a)· b 与 c 垂直； ④ (3a＋ 2b)· (3a－ 2b)＝ 9|a|2－ 4|b |2. 其中正确的有 A．①② B．②③ C．③④ D．②④ ( D)
问题：你能用向量法证明“在平面内的一条直线，如果和这 个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直” 吗？
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小结 面与面垂直，它们之间可以相互转化． ①要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直．
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立体几何中的垂直有：线与线垂直、线与面垂直、
②要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条 相交直线垂直．
则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a· b＝b· c＝c· a＝0. 1 → → (1)BC· ED1＝b· [2(c－a)＋b]＝|b|2＝42＝16. 1 → → (2)BF· AB1＝c－a＋2b· (a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0. 1 1 1 → → b＋a (3)EF· FC1＝2c－a＋2b· 2 1 1 1 1 2 ＝ (－a＋b＋c)· b＋a＝－ |a| ＋ |b|2＝2. 2 2 4 2 小结 计算两个向量的数量积，可先将各向量用同一顶点
λ(a· b) (λห้องสมุดไป่ตู้)· b＝__________
b· a a· b＝________ a· b＋a· c a· (b＋ c)＝________________
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3.1.3
(3)数量积的性质
a· b＝0 ①若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔___________
两个 向量 数量 积的
答案
a· b 的几何意义是 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上
的投影|b|cos θ 的乘积．
问题 4 给出下列各式：①|a· b|＝ |a||b |；②(a· b)c＝a(b· c)； ③ m· (a－ b)＝m· a－m· b； ④m· a＝ m· b⇒a＝b； ⑤若 a· b＝ 3， 3 ③ ． 则 a＝ .其中正确的式子是 ________ b
④|a· b|≤|a|· |b|
3.1.3
空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角；利用 数量积求两异面直线所成的角，关键在于在异面直线上构 造向量，找出两向量的关系；证明两向量垂直可转化为证 明两个向量的数量积为零，求线段长度转化为求向量的数 量积．
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3.1.3
探究点一 空间向量的数量积运算 问题 1 空间两向量的夹角是怎样定义的， 范围怎样规定？
答案 → a，OB＝b，则∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉 ． 规定：0≤〈a，b〉≤π. → 已知两个非零向量 a， b， 在空间任取一点 O， 作OA＝
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3.1.3
1．空间向量的夹角 已知两个非零向量 a，b，在空间任取一 → → 定义 点 O，作OA ＝a，OB＝b，则∠AOB 叫 做向量 a，b 的夹角 记法 范围
〈 a，b〉 _______
π [ 0 ， π ] 〈a，b〉∈________.当〈a，b〉＝ 时， 2