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§3.1.3 空间向量的数量积运算一．教学目标1.知识与技能(幻灯片2)(1)通过类比平面向量数量积的运算，掌握空间向量数量积的概念、性质和运算律； (2)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体 几何问题转化为向量问题；(3)通过向量的运算，研究空间中点、线、面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题。
2.过程与方法引导学生注重知识间的联系，不断地与平面向量和立体几何知识进行类比，做到温故而知新，并且经历向量及其运算由平面到空间的推广过程，使学生的思维过程螺旋上升。
3.情感态度与价值观通过本节课的学习，使学生对于以往的知识有一个全新的认识，培养学生积极探索数学的本质，提高学生的数学素养。
二．教学重点空间向量数量积的概念以及实际应用。
三．教学难点建立空间向量与空间图形的内在联系； 四．教学过程 教学环节教学过程设计意图新 课 引入同学们,你们还记得平面向量数量积的定义吗？你能类比平面向量所成夹角说一说什么是空间中两条向量夹角及范围吗?注重了与旧知识的联系，使学生对知识的理解更为透彻。
学生容易对向量夹角和两直线夹角产生混淆，这里要对范围进行明确。
（幻灯片4） 讲 授 新 课零向量与任何向量的数量积为0。
性质1：这个性质是证明两向量垂直的依据；性质2： 这个性质是求向量模的依据。
思考：类比平面向量，你能说出空间向量数量积的几何意义吗？（幻灯片9）空间向量数量积和平面向量数量积相似，在教学中可采用类比的方法，并且还要向学生再次强调数量积的结果为常数，而不是向量。
空间向量数量积的几何意义同平面向量数量积是一样的。
只要让同学们理解空间中任意两个向量都是共面向量，此时就可以把空间向量的数量积转化为平面向量上来了。
（幻灯片5--8）（幻灯片10）=空间向量数量积的概念:已知两个非零向量a,,则a cos a,叫做a,的数量积.记作,即a cos a,.b b b b a b a b b b 22cos ,a a a a a a a a === cos 的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积。
§3.1.3空间向量的数量积运算班级：_____姓名：__________ 编号：_____【预习·基础知识】学习目标1、掌握空间向量的数量积概念、有关简单性质以及数量积运算的运算律。
2、能运用向量的数量积，判断向量的共线与垂直，并用于证明两直线平行与垂直。
自主预习（预习课本自主掌握以下概念和原理） 1、空间向量的夹角（1）文字叙述：已知两个非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作==,则______叫做向量,a b 的夹角，记作______ ①范围:______________.,a b 〈〉 =0时,a b与________;,a b 〈〉 =π时,a b与_________.②,,a b b a 〈〉〈〉＝，那么_________.（2 ）如果2,π=〉〈b a ,则称a 与b _______,记作：___________；2、两个向量的数量积(1)定义：已知空间两个非零向量、a b,则______叫做、a b的数量积。
(2)记法：a b ∙. 即__________a b ∙= .3、空间两个向量的数量积性质（1）a e ⋅=____________（2）______a b ⊥⇔（3）2a a a =⋅4、空间向量的数量积满足的运算律思考1.⑵是显然成立的,你能证明(1)和(3)吗？思考2.对于三个均不为0的数,a,b,c,若ab=ac,则b=c.对于向量 a , b , c ,由∙=∙a b a c 能得到=b c 吗？如果不能，请举出反例.思考3.对于三个均不为0的数,a,b,c,若ab=c,则c a =b .(或cb =a )对于向量 a ,b ,若∙= a b k 能否写成= k a b ( 或=k b a )？也就是说向量有除法吗？思考 4.对于三个均不为0的数,a,b,c,若(ab)c=a(bc)对于向量 a , b , c ,()()=a b c a b c成立吗？也就是说，向量的数量积满足结合律吗？⑴()()a b a b λλ⋅=⋅ ⑵a b b a ⋅=⋅(交换律) ⑶()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅(分配律)【突破·核心知识】典型例题（合作.探究.展示） 题型一：空间向量的数量积的基本运算 例1.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，求下列数量积： （1）_________11=∙C B （2）_________1=∙BA （3）_________11=∙B A （4）_________1=∙BC【典例训练】判断真假:1)若0,a b ⋅= 则0,0a b ==( )222222)()()()3)()()4)()a b c a b c p q p q p q p q p q ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅+⋅-=- 题型二：利用向量的数量积证明垂直问题例 2. 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.【典例训练】在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.成立吗？例3．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理．（写出已知求证）题型三：利用数量积求距离（即线段长度）例4、如图，在空间四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，BD =3CD =，30ABD ∠= ，60ABC ∠= ，求AB 与CD 的夹角的余弦值【归纳∙知识方法】【知识梳理】lm nm ng gl【随堂∙自我测评】1、下列式子中，正确的是（）A、2B、222)(∙=∙C、)()(∙∙=∙∙ D2、已知向量,,两两夹角都是060，其模都是1，+-（）A、5B、5C、6D、63、空间四边形OABC中，OB=OC,,3π=∠=∠AOCAOB则=〉〈BCOA,cosA、21B、22C、21- D、04、在正三棱柱111CBAABC-中，若,21BBAB=则BCAB11与所成角的大小为（）A、060 B、090 C、0105 D、0755、已知,1=++，则_________=∙+∙+∙6、在平行六面体1111DCBAABCD-中，,90,5,3,401=∠===BADAAADAB1160=∠=∠DAABAA,求1AC的长。
《3.1.3空间向量的数量积运算》教学设计教学目标：知识与技能目标：知识：1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题.技能：将立体几何问题转化为向量的计算问题过程与方法目标：1.培养类比等探索性思维，提高学生的创新能力.2.培养学生把空间立体几何问题转化为向量的计算问题的思想.情感与态度目标：1. 获得成功的体验,激发学生学习数学的热情；2. 学习向量在空间立体几何中的应用,感受到数学的无穷魅力.教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用.教学难点：将立体几何问题转化为向量的计算问题.教辅工具：多媒体课件教学程序设计：一、几个概念1）两个非零向量的夹角的定义0,,,a b a b b a π≤〈〉≤〈〉〈〉规定:这样，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且＝ba b a b a ⊥=〉〈互相垂直，并记作：与则称如果,2,π,,,,,a b O OA a OB b a AOB a b b ∠〈〉==如图，已知两个非零向量在空间任取一点，作则角叫做向量与的夹角，记作：bABC思考：正三角形ABC 中，,______AB BC 〈〉=度120aOABab2）两个向量的数量积〉〈=⋅⋅〉〈b a b a b a b a b a b a b a b a ,cos ,,,cos ,即记作：的数量积，叫做向量，则已知空间两个非零向量几何意义： a与b的数量积b a⋅等于a 的长度|a |与b 在a的方向上的投影|b |cos ,a b 〈〉的乘积.A BO 1B cos ,b a b 〈〉A BO 1B cos ,b a b 〈〉A BO 1B cos ,b a b 〈〉大于0等于0小于0类比平面向量，说说的几何意义。
a b ⋅①两个向量的数量积是数量，而不是向量.〉〈=⋅⋅〉〈b a b a b a b a b a b a b a b a ,cos ,,,cos ,即记作：的数量积，叫做向量，则已知空间两个非零向量③非零向量④⑤cos ,a b a b a b⋅〈〉=2）两个向量的数量积a b ⊥0a b ⇔⋅=2a a =几个重要结论：②规定：00a ⋅=3)空间向量的数量积满足的运算律1)()()a b a b λλ⋅=⋅3()(a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅）分配律）2)(a b b a ⋅=⋅交换律）量的数量积定义及几何意义等.对个的结论主让例题与练习分析二、课堂练习.________,2,22,22.1所夹的角为则已知bababa-=⋅==2.10,0,0()2)()()()3)()4)()a b ca b a ba b c a b ca b a c b cka b k ba⋅===⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅=⋅==对于空间中任意向量,和，请判断下列说法的对错：）若则若，则若，则135××××ADFCBEACEFDCEFBDEFBAEFADABFEABCD⋅⋅⋅⋅)4()3()2(11 .3）（计算：的中点。
3.1.3空间向量的数量积运算一、教材分析：“3.1空间向量及其运算”包括空间向量的定义、空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、空间向量的数量积运算、空间向量的正交分解及其坐标表示、空间向量运算的坐标表示等内容。
在学生掌握了空间向量加法运算的基础上，学习空间向量的数乘运算应无困难。
教科书在本小节首先类比平面向量的数乘运算引入空间向量的数乘运算以及数乘运算的分配律和结合律。
进而分别给出了空间向量共线和共面的定义，并进一步研究了空间向量共线和共面的问题。
二、教学目标：1、掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2、掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；3、掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题.三、教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用．四、教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：3、教具选择：六、教学方法：七、教学过程1、自主导学：2、合作探究（一）、复习引入1.复习平面向量数量积定义：2. 平面向量中有两个平面向量的数量积，与其类似，空间两个向量也有数量积.（二）、新课讲授1. 两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量a 与b ，在空间中任取一点O ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作＜a ,b ＞．说明：⑴规定：0≤＜a ，b ＞π≤． 当＜a 、b ＞＝０时，a 与b同向； 当＜a 、b ＞＝π时，a 与b 反向；当＜a 、b ＞＝2π时，称a 与b 垂直，记a ⊥b ． ⑵ 两个向量的夹角唯一确定且＜a ,b ＞＝＜b ,a＞．⑶ 注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．②＜a ,b ＞≠(a ,b )2. 两个向量的数量积：已知空间两个向量a 与b ，|a ||b |cos ＜a 、b ＞叫做向量a 、b 的数量积，记作a ·b ，即 a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞. 说明：⑴零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝０；⑵符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. 几何意义：已知向量AB ＝a 和轴l ，e 是l 上和l 同方向的单位向量．作点A 在l 上的射影A ′，点B 在l 上的射影B ′，则''A B 叫做向量AB 在轴l 上或在e 方向上的正射影，简称射影．可以证明：''A B ＝｜AB ｜cos ＜a ,e ＞＝a ·e ．说明：一个向量在轴上的投影的概念，就是a ·e 的几何意义．3. 空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：⑴a ·e ＝｜a ｜·cos ＜a ,e ＞； ⑵a ⊥b ⇔a ·b ＝０⑶当a 与b 同向时，a ·b ＝｜a ｜·｜b ｜； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－｜a ｜·｜b ｜.特别地，a ·a ＝｜a ｜2或｜a ｜＝2a a a ⋅=.⑷cos ＜a ,b ＞＝a ba b ⋅⋅; ⑸｜a ·b ｜≤｜a ｜·｜b ｜.4. 空间向量数量积的运算律：与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积有如下运算律：⑴(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb ) (数乘结合律)； ⑵ a ·b ＝b ·a (交换律)；⑶a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)说明：⑴(a ·b )c ≠a （b ·с）；⑵有如下常用性质：a 2＝｜a ｜2，(a ＋b )2＝a 2＋２a ·b ＋b 2例题讲解：课本91页：例2、例33、巩固训练：课本92页：练习4、拓展延伸：5、师生合作总结：（1）空间向量夹角和模的概念及表示方法（2）两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；八、课外作业：课本97页：习题3.1 A组 4九、板书设计：。
3.1.3 空间向量的数量积运算A 组 基础巩固练一、选择题1．正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，向量AB →′与BC →′的夹角是( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°2．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量n ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λ，μ≠0)，则( ) A ．m ∥n B ．m ⊥nC ．m 不平行于n ，m 也不垂直于nD ．以上三种情况都有可能3．如图所示，在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，AB ＝1，AD ＝2，AA ′＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为( )A ．13B ．23C ．33D ．434．已知空间四边形ABCD 中，∠ACD ＝∠BDC ＝90°，且AB ＝2，CD ＝1，则AB 与CD 所成的角是( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°5．如图，已知平行四边形ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠D ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝6，则PC ＝( )A ．3B ．7C ．4D ．6二、填空题6．已知|a |＝13，|b |＝19，|a ＋b |＝24，则|a －b |＝________．7．如图，已知正三棱柱ABC A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．8．如图所示，在一个直二面角αAB β的棱上有A ，B 两点，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，且AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，则CD 的长为________．三、解答题9．已知正四面体OABC 的棱长为1．求：(1)OA →·OB →；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)； (3)|OA →＋OB →＋OC →|．10．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 是DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心．求证：B 1O ⊥平面P AC ．B 组 素养提升练1．已知边长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的上底面A 1B 1C 1D 1的中心为O 1，则AO 1→·AC →的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．22．已知a ，b 是两异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a ，b 所成的角为( ) A ．30° B ．60° C ．90°D ．45°3．如图所示，已知正三棱锥A BCD 的侧棱长和底面边长都是a ，点E ，F 分别是AB ，AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶2，则EF →·BC →＝________．4．已知在正四面体D ABC 中，所有棱长都为1，△ABC 的重心为G ，则DG 的长为________． 5．如图，正四面体V ABC 的高VD 的中点为O ，VC 的中点为M ．(1)求证：AO ，BO ，CO 两两垂直； (2)求〈DM →，AO →〉．参考答案A 组 基础巩固练一、选择题1．【答案】C【解析】BC ′∥AD ′，△AD ′B ′为正三角形， ∴∠D ′AB ′＝60°， ∴〈AB ′→，BC ′→〉＝60°． 2．【答案】B【解析】由题意知，m ·a ＝0，m ·b ＝0，则m ·n ＝m ·(λa ＋μb )＝λm ·a ＋μ m ·b ＝0． 因此m ⊥n ． 3．【答案】B【解析】∵AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→， ∴AC ′→2＝(AB →＋BC →＋CC ′→)2＝AB →2＋BC →2＋CC ′→2＋2(AB →·BC →＋AB →·CC ′→＋BC →·CC ′→) ＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos 60°＋2×3cos 60°) ＝14＋2×92＝23，∴|AC ′→|＝23，即AC ′的长为23． 4．【答案】C【解析】根据已知∠ACD ＝∠BDC ＝90°，得AC →·CD →＝DB →·CD →＝0，∴AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝AC →·CD →＋|CD →|2＋DB →·CD →＝|CD →|2＝1， ∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝12，∴AB 与CD 所成的角为60°．5．【答案】B【解析】|PC →|2＝PC →·PC →＝(P A →＋AD →＋DC →)2＝|P A →|2＋|AD →|2＋|CD →|2＋2P A →·AD →＋2AD →·DC →＋2P A →·DC →＝62＋42＋32＋2|AD →||DC →|cos 120°＝49． 所以|PC →|＝7． 二、填空题 6．【答案】22【解析】∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝132＋2a ·b ＋192＝242，∴2a ·b ＝46，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝132－46＋192＝484，故|a －b |＝22． 7．【答案】90°【解析】不妨设棱长为2，则AB →1＝BB 1→－BA →，BM →＝BC →＋12BB 1→，cos 〈AB 1→，BM →〉＝(BB 1→－BA →)·⎝⎛⎭⎫BC →＋12BB 1→22×5＝0－2＋2－022×5＝0，故填90°．8．【答案】229【解析】∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →＝AB →－AC →＋BD →，∴CD →2＝(AB →－AC →＋BD →)2＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →＋BD →2＋2AB →·BD →－2AC →·BD → ＝16＋36＋64＝116， ∴|CD →|＝229． 三、解答题9．解：(1)OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos ∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12．(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1． (3)|OA →＋OB →＋OC →| ＝(OA →＋OB →＋OC →)2＝12＋12＋12＋(2×1×1×cos 60°)×3 ＝6．10．证明：取AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，且|a |＝|b |＝|c |＝1． 则有AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， OB 1→＝OB →＋BB 1→＝12DB →＋BB 1→＝12(AB →－AD →)＋BB 1→ ＝12a －12b ＋c ， ∴AC →·OB 1→＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫12a －12b ＋c＝12|a |2＋12a ·b －12a ·b －12|b |2＋a ·c ＋b ·c ＝12－12＝0． ∴AC →⊥OB 1→，即AC ⊥OB 1．∵AP →＝AD →＋12DD 1→＝b ＋12c ，∴OB 1→·AP →＝⎝⎛⎭⎫12a －12b ＋c ·⎝⎛⎭⎫b ＋12c ＝12a ·b －12|b |2＋c ·b ＋14a ·c －14b ·c ＋12|c |2＝－12＋12＝0， ∴OB 1→⊥AP →，即OB 1⊥AP ． 又∵AC ∩AP ＝A ， ∴OB 1⊥平面APC ．B 组 素养提升练1．【答案】C【解析】AO 1→＝AA 1→＋A 1O 1→＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝AA 1→＋12(AB →＋AD →)，而AC →＝AB →＋AD →，则AO 1→·AC →＝12(AB →2＋AD →2)＝1，故选C ．2．【答案】B【解析】由于AB →＝AC →＋CD →＋DB →，则AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝CD →2＝1． cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝12，AB →，CD →〉＝60°．3．【答案】16a 2【解析】因为点E ，F 分别是AB ，AD 上的点， 所以EF →＝13BD →，所以EF →·BC →＝13BD →·BC →，结合图形可知〈BD →，BC →〉＝60°，所以EF →·BC →＝13BD →·BC →＝13×a ×a ×cos 60°＝16a 2．4．【答案】63【解析】如图，连接AG 并延长交BC 于点M ，连接DM ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG ＝23AM ，∴AG →＝23AM →，DG →＝DA →＋AG →＝DA →＋23AM →＝DA →＋23(DM →－DA →)＝DA →＋23⎣⎡⎦⎤12(DB →＋DC →)－DA →＝ 13(DA →＋DB →＋DC →)，而(DA →＋DB →＋DC →)2＝DA →2＋DB →2＋DC →2＋2DA →·DB →＋2DB →·DC →＋2DC →·DA →＝ 1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|DG →|＝63．5．(1)证明：设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，正四面体的棱长为1， 则VD →＝13(a ＋b ＋c )，AO →＝16(b ＋c －5a )，BO →＝16(a ＋c －5b )，CO →＝16(a ＋b －5c )，所以AO →·BO →＝136(b ＋c －5a )·(a ＋c －5b )＝136(18a ·b －9|a |2)＝136(18×1×1×cos 60°－9)＝0，所以AO →⊥BO →，即AO ⊥BO ．同理，AO ⊥CO ，BO ⊥CO ． 所以AO ，BO ，CO 两两垂直．(2)解：DM →＝DV →＋VM →＝－13(a ＋b ＋c )＋12c ＝16(－2a －2b ＋c )，所以|DM →|＝⎣⎡⎦⎤16(－2a －2b ＋c )2＝12． 又|AO →|＝⎣⎡⎦⎤16(b ＋c －5a )2＝22， DM →·AO →＝16(－2a －2b ＋c )·16(b ＋c －5a )＝14，所以cos 〈DM →，AO →〉＝1412×22＝22．又〈DM →，AO →〉∈[0，π]，所以〈DM →，AO →〉＝π4．。
