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第5讲 函数的周期性知识与方法函数的周期性与单调性，奇偶性一样，是函数的重要性质．在高中所学的基本初等函数中，只有三角函数具备周期性，能体现出周期性的独特魅力．除了三角函数，分段函数与抽象函数也往往是考查周期函数的载体． 一、三角函数恒等变形的基本策略 1．常值代换：特别是“1”的代换．2．项的分拆与角的配凑：如()2222αααβαβααβββββ-⎛⎫⎛⎫----⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋＝＋＝＋，＝等． 3．降次与升次：利用升幂和降幂公式，注意遇无理变有理．4．转化法：遇切化弦、化同角(或同边)、复角化单角、异名化同名、高次化低次等． 5．合一变形：化为()sin y A x ωϕ＝＋(一角一名一次)的形式． 二、函数周期性的几个重要结论1．()()()f x a f x b y f x ⇔＋＝＋＝的周期为T b a -＝． 2．若()f x 满足以下条件，则均可得到()f x 周期为2a ： (1)()()f x a f x a -＋＝； (2)()()f x a f x -＋＝； (3)()()1f x a f x ＋＝； (4)()()1f x a f x -＋＝； (5)()()()11f x f x a f x -＋＝＋．3．()()()()11f x f x a y f x f x ⇔-＋＋＝＝的周期为4T a ＝． 4．()()()()2f x a f x a f x y f x -⇔＋＝＋＝的周期为6T a ＝． 5．双轴双心两倍距，单轴单心四倍距．三、易错警示图象平移和【解析】式变换之间的关系有两个易错点，一是移动的起点和目标的顺序，二是移动的量．平时所说的“左加右减、上加下减”的单位数是特指“一个正的x 或y ”的变化率．典型案例：()2212y f x ----＝的图象可由()2231y f x --＝＋＋的图象通过“向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度”的平移得到．典型例题【例1】 下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝的单调递增区间是（ ）A ．02π⎛⎫⎪⎝⎭，B ．2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．322ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，【例2】 (多选题)已知函数()()02f x x πωϕωϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝＋＞，＜的部分图象如图所示，将()f x 的图象向右平移()0a a ＞个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若对于任意的()24x g x g π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭R ，，则a 的值可以为（ ）A ．12π B ．4πC ．512πD ．1112π【例3】 (多选题)已知函数()sin 23f x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝＋，将()f x 图象上每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数()g x 的图象，则（ ） A ．当724x π＝时，()g x 取最小值 B ．()g x 在123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减 C ．()g x 的图象向左平移24π个单位长度后对应的函数是偶函数D ．直线12y ＝与()302g x x π⎛⎫⎪⎝⎭＜＜图象的所有交点的横坐标之和为194π【例4】设函数()e 2x f x x a =+-(a ∈R ,e 为自然对数的底数),若曲线sin y x =上存在点()00,x y ,使得()()0f f y y=,则a 的取值范围是（ ）A.1e 1,e 1-⎡⎤-+⎣⎦B.[1,e 1]+C.[e,e 1]+D.[1,e]【例5】(多选题)已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>图象上相邻的最高点之间的距离为2π,则下列结论中正确的是（ ） A.()f x 的图象关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称B.()f x 的图象关于直线12x π=对称C.()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[1,2]D.将()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12,然后向左平移4π个单位长度,所得图象对应函数72sin 212y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【例6】设函数()()2cos sin 2f x x a x a a R =-+++∈ (1)求函数()f x 在R 上的最小值; (2)若不等式()0f x <在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立,求a 的取值范围; (3)若方程()0f x =在(0,)π上有四个不相等的实数根,求a 的取值范围.【例7】（多选）设函数()cos2cos2=22xxf x --（ ）A.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B.()f x 的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.()f x 的一个周期为πD.4f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的图象关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 【例8】若tan 2θ=-,则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+（ ）A.65-B.25-C.25D.65【例9】（多选）已知曲线()sin 04y x ωωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞在区间()0,1恰有一条对称轴和一个对称中心,则下列结论中正确的是（ ） A.存在ω,使2sin 42ωπ+⎛⎫>⎪⎝⎭ B .存在ω,使2sin 42ωπ+⎛⎫=⎪⎝⎭ C.有且仅有一个0(0,1)x ∈,使04sin 45x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭ D.存在0(0,1)x ∈,使0sin 04x πω⎛⎫+< ⎪⎝⎭【例10】(多选题) 已知函数 ()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的图象与 x 轴交于点 ,A B , 与 y 轴交于点 C , 如图, 2,3BC BD OCB π=∠=,221||2,||3OA AD ==. 则下列说法中正确的为（ ） A.()f x 的最小正周期为12B.6πϕ=-C.()f x 的最大值为163D.()f x 在(14,17)上单调递增【例11】(多选题)已知函数()sin |||cos |f x x x =-,则下列结论中正确的是（ ） A.()f x 是偶函数B.()f x 是周期函数C.()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D.()f x 的最大值为1【例12】已知函数()sin()0,0,,()2f x A x A f x πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的部分图象如图所示, ,P Q 分别为该图象的最高点和最低点, 点P 的坐标为,4A π⎛⎫⎪⎝⎭, 点R 的坐标为,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 且 2tan 2PRQ π∠=-.(1)求()f x 解析式;(2)若方程sin cos 1()(1)x x af x a +=在区间30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个根,求实数a 的取值范围.【例13】在等腰Rt OAB ∆中,90,,AOB M N ∠=︒在线段AB 上,且30MON ∠=︒,求MON AOBS S ∆∆的最小值.【例14】已知a ∈R ,函数211(1),0,()sin 2,0,22x x x a x x f x x π--+⎧++<⎪⎪=⎨⎪>⎪+⎩若函数()f x 的图象上有且只有两对点关于y 轴对称,则a 的取值范围是 （ ）。
