刘顺兰数字信号处理--第三章

第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
题3解图
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
4． 证明DFT的对称定理， 即假设X(k)=DFT［x(n)］， 证明 DFT［X(n)］=Nx(N－k) 证： 因为
kn X (k ) x(n)WN n 0 N 1
1 x(n) N
所以
DFT[ X (n)] X (n)W
n 0
N 1
N 1
kn N
N 1 mn kn x(m)WN WN n 0 m 0
N 1
n ( m k ) x(m)WN m 0 n 0
N 1
第３章
由于
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)

n 0
N 1
n( m k ) WN
N 0
m N k m N k , 0≤ m ≤ N 1
k=0, 1, …, N－1
所以 DFT［X(n)］=Nx(N－k)
5． 如果X(k)=DFT［x(n)］， 证明DFT的初值定理
证: 由IDFT定义式
1 N 1 x(0) X (k ) N k 0
- j mn - j kn 1 j N mn 2π kn (6) X (k ) cos mn WN (e e N )e N 2 N n 0 n 0

N 1

N 1
2π
2π
2π
1 e 2 n 0
N 1
j
2π ( mk ) n N
1 e 2 n 0
1knnknnnnknnnnknnwkx2j2j102j10e1e1e1??????????????????????12100nkkn?离散傅里叶变换dft及其快速算法fft第3章211001011nnknnnnxknwnkn????????????30010010011nknnnnknknnnxknnwwnnwkn?????????????00nnn??1j10sin1e1sinkmmmkknnnnnknnmkwnxkwrkwkn??????????????????????4离散傅里叶变换dft及其快速算法fft第3章52j2j102j102je1eekmnkmnnnnkmnknnnnmnnwkx??????????????je1kmn?????????mkmkn00kn1离散傅里叶变换dft及其快速算法fft第3章6knnnnnnmnnmnnknnwmnnkx2j10102j2jeee212cos????????????????2211jj0011ee22nnmknmknnnnn?????????????????????????????????2j2j2j2je1e1e1e121kmnnkmnkmnnkmn离散傅里叶变换dft及其快速算法fft第3章20nkmknmkmknm????????????0kn170002j211jj71eeeknnnnknnknnnxkw?????????????072j00ee1enknnnxkw???????0210j202sin2e0112sin2nknnknknkn???????????????????????离散傅里叶变换dft及其快速算法fft第3章或110e1e12jj700??????nkkxknn????8解法一直接计算

N 1 N 1
~ km ~ kn x1 (m ) WN X 2 (k ) WN n 0 m 0
1 N
N 1
N 1 m 0
~ ~ (m ) X (k ) W ( m n)k x1 2 N
n 0
N 1
~ ~ x1 ( m ) x2 ( n m )
域是连续周期的；若此时我们对频域的连续信号抽样，
人为的使其离散化，这样，频域的离散又导致时域的周 期化。于是有：
时域离散、周期
频域周期、离散
3.3 周期序列的离散傅立叶级数（DFS）
~ 设x (n)是周期为N的一个周期序列 ~ ~ x ( n) x (n rN ) ，r为任意整数
注：不论是离散的，还是连续的周期序列，均可用傅立叶级数 表示。离散的周期序列用离散傅立叶级数表示。(任一个周
第三章

离散傅立叶变换
理解傅里叶变换的几种形式

了解周期序列的傅里叶级数及性质，掌握周期卷 积过程
理解离散傅里叶变换及性质，掌握圆周移位、共 轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间 的关系



了解频域抽样理论
理解频谱分析过程
了解序列的抽取与插值过程
3.2Leabharlann 傅立叶变换的几种可能形式傅立叶变换
~ x (n) x(n模N ) x(( n)) N
其中，(n模N)或((n))N数学上表示“n对N取余数或取模值”。
~ ~ 和 ~ 所对应的x(n)。 例： ( n)的周期为N=9，求 x ( 25) x ( 5) x
~ x (25) x(25模9) x(( 25))9 x(7) ~ x (5) x(5模9) x(( 5)) x(4)

与图 T1-7 给出的 y 3 (n) 不一致，因此系统 L 不是时不变的。
对于 x(n) = δ (n) ， 只能通过当 x(n) = δ (n) = x3 (n) −
1 [x2 (n) − x1 (n)]，必有 2
y ( n) = y 3 ( n) −
1 [ y 2 (n) − y1 (n)] 2 = {2δ (n + 2) + δ (n + 1) − 3δ (n) + 2δ (n − 2)} 1 − {[− δ (n + 1) + δ (n) − 3δ (n − 1) − δ (n − 3)] − [− δ (n + 1) + 3δ (n) + 3δ (n − 1) + δ (n − 3)]} 2 = 2δ (n + 2) + δ (n + 1) − 3δ (n) + 2δ (n − 2) + δ (n) + 3δ (n − 1) + δ (n − 3) = 2δ (n + 2) + δ (n + 1) − 2δ (n) + 3δ (n − 1) + 2δ (n − 2) + δ (n − 3)
= ∑ e −α (n + rN )T ⋅ R N (n)
r =0
=
e −αnT ⋅ R N ( n) 1 − e −αNT
《数字信号处理》2010-2011-1 作业-2
教材《数字信号处理》 （第二版）刘顺兰
1. P76：1.24： （1） ， （2） 参照教材 p21 至 p21 的叙述，判断方法参看 p21 例 1-3 和例 1-4 （1） 根据 y (n) = 2 x(n) + 3 ； 可得： y1 (n) = T [x1 (n)] = 2 x1 (n) + 3 ； y 2 (n) = T [x 2 (n)] = 2 x 2 (n) + 3 ； 对于任意常数 a1 ， a 2 因为： a1 y1 (n) + a 2 y 2 (n) = a1 [2 x1 (n) + 3] + a 2 [2 x 2 (n) + 3]

2
Digital Signal Processing
© 2013 Jimin Liang
Discrete-Time Signals in Frequency Domain
Objective of this lecture
Time domain representation of a DT signal x[n] = sum_k(a_n delta[n-k])
Discrete-Time Signals in Frequency Domain
3.1 Review of CTFT
Dirichlet conditions
(1) finite discontinuities, finite number of maxima and minima in any finite interval
Discrete-Time Signals in Frequency Domain
3.2 Discrete-time Fourier transform (DTFT)
Convergence condition
(3) Dirac delta function: for sequences that are neither absolutely summable nor square-summable.
Signal energy and energy density spectrum Energy definition in time domain
(1) Parseval’s theorem (2) Energy density spectrum
6
Digital Signal Processing
Amplitude