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第三章 自适应数字滤波器3.1 引言滤波器的设计都是符合准则的最佳滤波器。
维纳滤波器参数固定，适用于平稳随机信号的最佳滤波；自适应滤波器参数可以自动地按照某种准则调整到最佳。
本章主要涉及自适应横向滤波器．．．．．、自适应格型滤波器．．．．．．．．、最小二乘自适应滤波器．．．．．．．．．．。
3.2 自适应横向滤波器自适应．．．线性组合．．．．器．和自适应．．．．FIR ．．．滤波器．．．是自适应信号．．．．．．处理的基础．．．．．。
3.2.1 自适应线性组合器和自适应FIR 滤波器自适应滤波器的矩阵表示式 滤波器输出：()()()1N m y n w m x n m -==-∑n 用j 表示，自适应滤波器的矩阵形式为T T j jj y ==X W W X 式中1212,,,,,,,TTN N w w w x x x ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦W X误差信号表示为T T j j j j jj j e d y d d =-=-=-X W W X 与维纳滤波相同，先考虑最小均方误差准则：()2222T T j j j j dx xx E e E d y E e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦R W W R W2j E e ⎡⎤⎣⎦称为性能函数．．．．，将其对每个权系数求微分，形成一个与权系数相同的列向量： 2221222,,,Tj j jj xx dx N E e E e E e w w w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥∇==-∂∂∂⎢⎥⎣⎦R W R令梯度为零，可得最佳权系数此时最小均方误差为：22*min T j j dx E e E d ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦W R 要求2minj Ee ⎡⎤⎣⎦和最佳权系数*W ，先求自相关矩阵xx R 和互相关矩阵dx R 。
3.2.2 性能函数表示式及几何意义3.2.3 最陡下降法3.2.1给出了要求2minj Ee ⎡⎤⎣⎦和最佳权系数*W 的理论求解方法，但实际很难应用。
3.4系列的Z 变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系序列的Z 变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系拉普拉斯变换拉普拉斯逆变换傅里叶变换傅里叶逆变换序列x(n)的Z 变换逆Z 变换抽样信号的拉普拉斯变换[]⎰∞∞--==dt e t x t x LT s X st a )()()([]⎰∞+∞--==j j st a dte t x s X LT t x σσ)()()(1Ω+=j s σ[]⎰∞∞-Ω-==Ωdte t x t x FT j X t j )()()([]⎰∞∞-Ω-ΩΩ=Ω=d e j X j X FT t x tj )()()(1Ω=j s ()()nn X z x n z ∞-=-∞=∑,2,1,0,)(21)(1±±==⎰-n dz z z X jn x cn π()()()()()∑∑⎰⎰∑⎰∞-∞=-∞-∞=∞∞--∞∞--∞-∞=∞∞--∧∧∧=-=-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n nsTan st a stn ast a a a enT x dte nT t nT x dt e nT t nT x dt e t x t x LT s X δδ)()()(抽样序列的z 变换为3.4.1拉氏变换与Z 变换变换的关系就是复变量s 平面到复变量z 平面的映射：令 s=σ+j Ω, z=re j ω 得到： re j ω =e (σ+j Ω)T =e σT e j ΩT , 因而 r=e σT ， ω=ΩT3.4.2 ω= ΩTΩ=0 、π/T 、3π/T 、 Ω0与ω的对应关系 Ω变化时与ω的对应关系s 平面到z 平面的映射是多值映射。
（傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴的特例，即s ＝j Ω，因而映射到z 平面上为单位圆，代入 抽样序列的z 变换sTez=()[]()∑∞-∞=-==n nzn x n x ZT z X )(()eˆ()(e )(2.89)sTsT az X z X X s ===得取样序列在单位圆上的Ｚ变换，等于其理想取样信号的傅里叶变换 。
3.4系列的Z 变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系序列的Z 变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系拉普拉斯变换拉普拉斯逆变换傅里叶变换傅里叶逆变换序列x(n)的Z 变换逆Z 变换抽样信号的拉普拉斯变换[]⎰∞∞--==dt e t x t x LT s X st a )()()([]⎰∞+∞--==j j st a dte t x s X LT t x σσ)()()(1Ω+=j s σ[]⎰∞∞-Ω-==Ωdte t x t x FT j X t j )()()([]⎰∞∞-Ω-ΩΩ=Ω=d e j X j X FT t x tj )()()(1Ω=j s ()()nn X z x n z ∞-=-∞=∑,2,1,0,)(21)(1±±==⎰-n dz z z X jn x cn π()()()()()∑∑⎰⎰∑⎰∞-∞=-∞-∞=∞∞--∞∞--∞-∞=∞∞--∧∧∧=-=-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n nsTan st a stn ast a a a enT x dte nT t nT x dt e nT t nT x dt e t x t x LT s X δδ)()()(抽样序列的z 变换为3.4.1拉氏变换与Z 变换变换的关系就是复变量s 平面到复变量z 平面的映射：令 s=σ+j Ω, z=re j ω 得到： re j ω =e (σ+j Ω)T =e σT e j ΩT , 因而 r=e σT ， ω=ΩT3.4.2 ω= ΩTΩ=0 、π/T 、3π/T 、 Ω0与ω的对应关系 Ω变化时与ω的对应关系s 平面到z 平面的映射是多值映射。
（傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴的特例，即s ＝j Ω，因而映射到z 平面上为单位圆，代入 抽样序列的z 变换sTez=()[]()∑∞-∞=-==n nzn x n x ZT z X )(()eˆ()(e )(2.89)sTsT az X z X X s ===得取样序列在单位圆上的Ｚ变换，等于其理想取样信号的傅里叶变换 。
3.4.3. 抽样序列x(n)的z 变换X(z)和连续信号x a (t)的拉普拉斯变换X a (s)3.4.4采样定理*抽样序列的z 变换就等于抽样信号的拉普拉斯变换。
*Z 变换是连续信号的拉普拉斯变换过渡到离散信号上j j eˆ()(e )(j )(2.94)TT az X z X X ΩΩΩ===3.4.5 抽样序列x(n)的z 变换X(z)和连续信号x a (t)的傅里叶变换X a (j Ω)的关系。
序列的傅里叶变换 *单位抽样响应的傅里叶变换称为系统频率响应*对于线性移不变系统，输出系列的傅氏变换等于输入系列的傅氏变 换和频率响应的乘积。
∑∞-∞=∧Ω=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Ω=Ω==Ωk a a Tj e z k T j j X T j X eX z X Tj π21)()()(∑∞-∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛-==k a j ez T k j X T e X z X j πωωω21)()(s ,0j σ=Ω=r ,=Ω=T ω抽样序列在单位圆上的z 变换， 就等于其理想抽样信号单位圆上的z 变换是和信号的频谱相联系的，因而常称单位圆上的z 变换为序列的傅里叶变换。
()[]()()∑∞-∞=-==n nj j en x eX n x DTFT ωω3.5利用Z 变换分析信号和系统的频域特性离散系统的系统函数、系统的频率响应 对线性移不变系统：性移不变系统的系统函数可见，H (z )与h (n )是一对z 变换例：因果离散时间系统的差分方程y (n )-3y (n -1)+2y (n -2)=x (n )+2x (n -1)，求单位脉冲响应h (n )。
解：设初始状态为零，对差分方程进行z 变换展开为部分分式h (n )为因果序列。
对H (z )取逆z 变换，得线性移不变系统的频率响应)()()(n h n x n y *=)()()(z H z X z Y ⋅=[]∑∞-∞=-===n nz n h n h ZT z X z Y z H )()()()()(∑∞-∞=-=n nj j en h e H ωω)()(121()3()2()()2()Y z z Y z z Y z X z z X z ----+=+12122()122()()13232Y z z z zH z X z z z z z ---++===-+-+()3412z zH z z z -=+--()(342)()n h n u n =-+⨯3.5.1因果稳定系统系统稳定的充要条件： 因果系统的充要条件：h(n)=0，n<0z 变换 ： 收敛域满足：系统稳定要求收敛域包含单位圆|z|=1即)(ωj e H 存在且连续；因果系统要求H(z)的收敛域一定包含∞点，即∞点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，收敛域在某个圆外。
因果稳定系统要求H(z)的收敛域为： r<|z|≤∞， 0<r<1 即全部极点必须在单位圆内。
3.5.2系统函数和差分方程的关系一个线性移不变系统，可以用常系数线性差分方程来描述：若系统起始状态为零，取z 变换：零点 极点 由差分方程系数决定 但系统的确定还与收敛域的确定有关。
()n h n ∞=-∞<∞∑∑∞-∞=-=n nz n h z H )()(∞<∑∞-∞=-n nzn h )(()()∑∑==-=-Mm kN k km n x b k n y a 0()()∑∑=-=-=Mm mkN k k kn X zb z Y z a 0MMH (3.5.3利用Z 变换求解差分方程N 阶线性常系数差分方程 差分方程 输出序列Z 变换 逆Z 变换 利用移位性质 代数方程 解方程 Z 变换式∑∑==--=NMr m m kkz X z b z Y z ak 0)()(3.5.4系统的频率响应的意义系统的频率响应(或频域表示法)主要是为了明确系统对输入频谱的处理作用。
设当输入为正弦序列时，输出为同频的正弦序列，其幅度受频率响应幅度|H(ej ω)|加权，而输出的相位则为输入相位与系统相位响应之和。
对于一般的输入x(n)，由()∑∞-∞=-=n nj j en h eH ωω)(∞<<∞-=n e n x nj ω)(()()ωωωωωj n j m mj nj m m n j e H e em h eem h n y ===∑∑∞-∞=-∞-∞=-)()()()()()(n h n x n y *=)()()(ωωωj j j e H e X e Y =⎰-=ππωωωωπd e e X e H n y nj j j )()(21)(⎰-=ππωωωπd e e X n x n j j )(21)(00()()NMk r k r a y n k b x n r ==-=-∑∑上式可进一步说明频率响应的意义：若系统的频率响应为H(e j ω)，输入为x(n)，则系统的每个复指数微分分量ωπωωd e e X n j j )(21的输出响应为ωπωωωd e e X e H n j j j )()(21。
总的输出响应等于系统对于x(n)的每个复指数微分分量的响应的叠加。
3.4.5频率响应的几何确定法系统的频率响应为系统函数在单位圆上的值：因此，幅频响应：相频响应： LSI 的频率响应的幅度等于各零点至e j ω点矢量长度之积除以各极点矢量至e j ω点矢量长度之积，再乘以常数|K|。
LSI 的频率响应的相角等于各零点至e j ω点矢量相角之和减去各极点矢量至e j ω点矢量相角之和，再加常数K 的相角，再加线性相移分量ω(N-M)。
()()()()()∏∏∏∏==-=-=---=--=Nk kMm mMN N k kMm md z c z Kzz dzcKz H 11111111)(()()()[])(arg 11)()(ωωωωωωj e H j j Nk kjMm mjMN j j ee H d e c e Kee H =--=∏∏==-()()∏∏==--=Nk kjMm mjj d e c e K e H 11)(ωωω[][]()()()ωωωωM N d e c e K e H Nk k j Mm m j j -+---+=∑∑==11arg arg arg )(arg。
