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数字信号处理 程佩青PPT第三章

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数字信号处理课件ppt

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| rws (k ) |2
2 w
1 dz 1 C Sss ( z) H opt ( z)S xs ( z ) z 2πj
通过前面的分析, 因果维纳滤波器设计的一般方法可以按 下面的步骤进行：
(1) 根据观测信号x(n)的功率谱求出它所对应的信号模型的
传输函数，即采用谱分解的方法得到B(z)。 S xs ( z) (2) 求 B( z 1 ) 的Z反变换，取其因果部分再做Z变换，即 S xs ( z ) 舍掉单位圆外的极点，得 B( z 1 ) (3) 积分曲线取单位圆，应用（2.3.38）式和（2.3.39）式，计 算Hopt(z), E［|e(n)|2］min。
1 ˆ' rxx (m) N
N |m|1

n 0
x ( n ) x ( n m)
平稳随机序列通过线性系统：
y (n)
k
h( k ) x ( n k )
k

m y E[ y (n )]
h(k ) E[ x(n k )]
k

ryy (m)
m0

k=0, 1, 2, …
利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程:
x(n)=s(n)+υ (n)
H(z) (a)
ˆ y ( n) s ( n)
x(
x(n)
1 B( z )
w(n)
G(z) (b)
ˆ y ( n) s ( n)
x(
图2.3.5 利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程
D (m)
2 x
rxx (m)
2 x (m)

数字信号处理第三版第3章.ppt

数字信号处理第三版第3章.ppt
x1(n) x2 (n)
x2 (n) N•DFT X 2 (k )
y(n) x1(n) x2 (n) Y (k) DFT[ y(n)]
1 N 1
N l0
X1(l) X 2 ((n L))N RN (n)
1 N1 N l0
X 2 (l) X1((n L))N RN (n)
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• DFT与Z变换和DTFT关系图解说明
z e WNk
j 2 k
e N

j
2 k
N
2 k
N
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• DFT与Z变换和DTFT关系举例说明
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• DFT的隐含周期性
N 1
1768年3月21日傅里叶生于法国荣纳省欧塞尔。其父亲 是裁缝，且很早就父母双亡，小时候在天主教受的教育。 毕业后在军队中教授数学。
1795年他到巴黎高等师范教书。 1798年随拿破仑东征，任下埃及的总督。 1801年，远征军失败后回到法国，任伊泽尔省长官。 1822年当选为科学院秘书，发表《热的分析理论》一文。在文中首次提出 并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，从而奠定了傅里叶级数(FS)与傅 里叶变换(FT)的理论基础。二者后被统称为傅里叶分析(FA)。 为了使FA应用于工程实际，人们又提出了离散傅里叶变换(DFT)，但因计 算量太大而在较长时间内并未得到广泛应用，直到1965年美国Coo1y和Tukey两 人提出快速傅里叶变换(FFT)之后，FA才真正从理论走向实践，成为大家爱不 释手的一种数学工具。 1830年5月16日病逝于巴黎。
，求它的N点DFT。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）

《数字信号处理教程》程佩青(第三版)清华大学出版社课后答案

《数字信号处理教程》程佩青(第三版)清华大学出版社课后答案

9
c) 设 x(n) = δ (n) + δ (n − 1)
i)向n > 0 处递推
y3 (1) = ay3 (0) + x3 (1) = 1 y3 (2) = ay3 (1) + x3 (2) = a y3 (3) = ay3 (2) + x3 (3) = a2
┇ y3 (n) = ay3 (n − 1) + x3 (n) = a n−1 ∴ y3 (n) = a n−1 , n ≥ 1 ii)向 n < 0 处递推
解：(1 )
n
y(n) = ∑ x(m ) m = −∞
n
y1 (n ) = T [x1 (n )] = ∑ x1 (m ) m = −∞
y2 (n ) = T [x2 (n )] =
n
∑ x2 (m )
m = −∞
n
ay1(n)+ by2 (n) = ∑[ax1(m) + bx2 (n)] m = −∞
10
T [ax1(n)+ bx2 (n)] =
n
∑
[ax1
(n
)
+
bx2
(n
)]
m = −∞
T[ax1(n) + bx2(n)] = ay1(n) + by2(n)
∴ 系统是线性系统
解：(2) y(n) =
[x(n )] 2
y1(n)
= T [x1(n)] = [x1(n)] 2
y2 (n) = T [x2 (n)] = [x2 (n)] 2
试判断系统是否是线性的?是否是移不变的?
分析：已知边界条件，如果没有限定序列类型（例如因果序列、反因果序列等）， 则递推求解必须向两个方向进行（n ≥ 0 及 n < 0）。

《数字信号处理教程》程佩青第三版课后答案

《数字信号处理教程》程佩青第三版课后答案

(c)
x (n )
=
e
j
(
n 6
−π )
分析：
序列为 x (n ) = A cos( ω 0n + ψ ) 或 x(n) = A sin( ω 0n +ψ ) 时，不一定是周期序列，
①当 2π / ω 0 = 整数，则周期为 2π / ω 0 ；
7
②当 2π = P ,（有理数 P、Q为互素的整数）则周期 为 Q ； ω0 Q
x(n
− m)sin
2π 9
+
π 7
即 T [x(n − m)] = y(n − m)
∴系统是移不变的
T [ax1(n) + bx2 (n)]
=
[ax1
(n)
+
bx2
(n
)]sin(
2π 9
+
π 7
)
即有 T [ax1(n)+ bx2 (n)]
= ay1(n) + by2 (n)
∴系统是线性系统
(1) T [ x(n)] = g(n)x(n) (2) (3) T [ x(n)] = x(n − n0 ) (4)
j sin(
n 6
−π)
=
− cos
n 6
−
j sin
n 6
2π /ω 0 = 12π 5. 设系∴统是差非分周方期程的为。:
T 是无理数
y (n ) = ay (n − 1) + x(n )
其中 x(n) 为输入, y(n) 为输出。当边界条件选为
(1) y(0) = 0 (2) y(−1) = 0
4
第一章 离散时间信号与系统

数字信号处理-程佩青第三版课件

数字信号处理-程佩青第三版课件

xa(t) 0
xa(nT)
t
2T
0
t
T
这里 n 取整数。对于不同的 n 值，xa(nT) 是 一个有序的数字序列，该数字序列就是离散时间信 号。注意，这里的n取整数，非整数时无定义，另 外，在数值上它等于信号的采样值，即
x(n) xa (nT ), n
离散时间信号的表示方法：公式表示法、图形 表示法、集合符号表示法，如
称该系统是因果系统。 因果系统是指输出的变化不领
先于输入的变化的系统。
对于线性时不变系统，具有因果性的充要条件是 系统的单位取样响应满足：
如
稳定系统
稳定系统是指对于每个有界输入x(n)，都产生有 界输出y(n)的系统。即如果|x(n)|≤M(M为正常数)， 有|y(n)|<+∞，则该系统被称为稳定系统。
x(n) ...1,2,3,7,8,9,...
二、常用序列
1. 单位抽样序列(n)
(t) 1/
0 t
(n)
1
0
n
(t)
(1)
t
0
2. 单位阶跃序列u(n)
u(n) 0
u(t)
1
…
n
0
t
(n)与u(n)之间的关系
令n-k=m，有
3. 矩形序列RN(n)
N为矩形序
列的长度
R4(n)
n 012 3
4. 实指数序列
，a为实数
0<a<1
a>1
n
n
0
0
-1<a<0
a<-1
0
n0
n
a<-1或-1<a<0,序列的幅值摆动

数字信号处理(第四版)第三章--上ppt

数字信号处理(第四版)第三章--上ppt

2
Digital Signal Processing
© 2013 Jimin Liang
Discrete-Time Signals in Frequency Domain
Objective of this lecture
Time domain representation of a DT signal x[n] = sum_k(a_n delta[n-k])
Discrete-Time Signals in Frequency Domain
3.1 Review of CTFT
Dirichlet conditions
(1) finite discontinuities, finite number of maxima and minima in any finite interval
Discrete-Time Signals in Frequency Domain
3.2 Discrete-time Fourier transform (DTFT)
Convergence condition
(3) Dirac delta function: for sequences that are neither absolutely summable nor square-summable.
Signal energy and energy density spectrum Energy definition in time domain
(1) Parseval’s theorem (2) Energy density spectrum
6
Digital Signal Processing
Amplitude

数字信处理教程》程佩青第三版课后答案


(c)
x (n )
=
e
j
(
n 6
−π )
分析：
序列为 x (n ) = A cos( ω 0n + ψ ) 或 x(n) = A sin( ω 0n +ψ ) 时，不一定是周期序列，
①当 2π / ω 0 = 整数，则周期为 2π / ω 0 ；
7
②当 2π = P ,（有理数 P、Q为互素的整数）则周期 为 Q ； ω0 Q
y2 (2) = ay 2 (1) + x2 (2) = a
┇
y2 (n) = ay2 (n − 1) + x2 (n) = a n−1
∴ y2 (n) = a n−1 , n ≥ 1
ii)向 n < 0 处递推 ，按变换后的 y2 (n)
y2
( n)
=
1 a
[
y2
(n
+
1)
−
x2
(n
+
1)]
y2 (−1)
(3) y(n) = δ (n − 2) * 0.5n R3(n) = 0.5n−2 R3(n − 2) (4) x(n) = 2n u(−n −1) h(n) = 0.5n u(n)
当n ≥ 0 当n ≤ −1
∑ y(n) = −1 0.5n−m 2m = 1 ⋅ 2−n
m = −∞
3
y(n) = ∑n 0.5n−m 2m = 4 ⋅ 2n
9
c) 设 x(n) = δ (n) + δ (n − 1)
i)向n > 0 处递推
y3 (1) = ay3 (0) + x3 (1) = 1 y3 (2) = ay3 (1) + x3 (2) = a y3 (3) = ay3 (2) + x3 (3) = a2

程佩青《数字信号处理教程(第三版)》课后习题答案精编版

4
第一章 离散时间信号与系统
1 .直接计算下面两个序列的卷积和 y( n ) = x( n )* h( n )
h (n )
=
⎧an ⎨
⎩0
, 0 ≤ n ≤ N −1 , 其他n
x (n )
=
⎧⎪ β ⎨
n−n 0
⎪⎩ 0
,n0 ≤ n , n < n0
请用公式表示。
分析：
①注意卷积和公式中求和式中是哑变量 m （ n 看作参量），
y (n ) ={1，2，3，3，2，1} ;
②δ (n)* x(n) = x(n) , δ (n − m)* x(n) = x(n − m) ;
③卷积和求解时， n 的分段处理。
6
解：(1) y(n) = x(n) * h(n) = R5(n) (2) y(n) = x(n) * h(n) = {1,2,3,3,2,1}
β α
n +1
β α β =
n +1− N −n0
N−
N
α −β
y(n) = Nα n−n0 ,
(α = β )
, (α ≠ β )
如此题所示，因而要分段求解。
2 .已知线性移不变系统的输入为 x( n ) ,系统的单位抽样响应
为 h( n ) ,试求系统的输出 y( n ) ,并画图。
(1)x(n) = δ (n)
∑ ∑( ) n α m−n0 n−m = β α = β m=n0
nn β
n0
α
n β −n0
− β n0
α
β n +1 α
1
−
β α
α β =
− n +1− n0

数字信号处理程佩青第三版课件_第三章_离散傅里叶变换


• 证明：
– 已知
~ ~ ( n )e X (k ) x
n 0
N 1
jn
2 k N
k 0,1,2 N 1
• 两边同乘以
e
j
2 kr N
,并对一个周期求和
DFS的反变换－续

k 0 N 1
~ X ( k )e
j
2 kr N

( ~ ( n )e x
n 0 k 0
三、本章主要讨论
• 离散傅里叶变换的推导
• 离散傅里叶变换的有关性质
• 离散傅里叶变换逼近连续时间信号的问题
第二节 傅里叶变换的几种形式
• 傅里叶变换： 建立以时间t为自变量的“信号” 与 以 频 率 f 为 自 变 量 的 “ 频 率 函 数 ”(频 谱) 之 间 的 某 种 变 换 关 系 .
0 r n
n 0,1,2 N 1
rn
回顾DFS
• 设 x(n)为周 期 为 N 的 周 期 序 列 , 则 其 离 散 傅 里 叶 级 数 (DFS) 变 换 对 为 : • 正变换 2
N 1 N 1 j nk ~ nk X (k ) DFS [ ~(n)] ~(n)e N ~(n)WN x x x n 0 n 0
二、DFT定义
• 正变换
X (k ) DFT [ x(n)] x(n)e
n 0
N 1
j
2 nk N
x(n)W
n 0
N 1
nk N
• 反变换
1 x(n) IDFT [ X (k )] X (k )e N k 0
N 1
j
2 nk N
x(k )W

现代数字信号处理-第三章-3-2016PPT课件


.
27
等同于线性预测
p
xˆ n k x n k k 1 p
e n x n xˆ n k x n k , 0 1 k 0
E e2 n min k
.
28
AR模型参数与线性预测器参数相同
等同于最优白化滤波
AR模型参数也可以通过最大化预测误差滤波器Prediction Error Filter (PEF)输出信号的谱平坦度spectral flatness来获得。
.
12
Levision-Durbin算法
❖ Levision算法的推导
利用系数矩阵的Toeplitz性质，将扩大方程的行倒序，同 时列也倒序，得到下列“预备方程”
将待求解的k+1阶Y-W方程的解表示成扩大方程的解和预 备方程的解的线性组合形式
.
13
Levision-Durbin算法
❖ Levision算法的推导
x
exp
1 2 1 2
ln
S xx
f
df
1 2 1 2
S xx
f
df
the geometric mean of Sxx f , the arithmetic mean of Sxx f
0 1
max e
x
Rxx Ree
(0) (0)
PEF
min Ree (0)
.
预测误差谱平坦度
AR模型谱估计方法，既要估计AR模型参数，又要估计模 型的阶。
一种简单而直观的确定AR模型的阶的方法，是不断增 加模型的阶，同时观察预测误差功率，当其下降到最小 时，对应的阶便可选定为模型的阶。
另一种简单方法是观察各阶模型预测误差序列的周期图，
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nk X ( k ) DFT [ x ( n )] x ( n )WN n 0 N 1
0 k N 1
1 x ( n ) IDFT [ X ( k )] N
N 1 n 0
X ( k )WN nk 0 n N 1 k 0
N 1
或
nk X ( k ) x ( n )WN RN ( k ) X ( k ) RN ( k )
…-4 -3 -2 -1 …1 1 0 0
0 1 2 3 4 5 1 1 1 1 0 0
6 7… 1 1…
…3 4 5 0
…5 4 3 2 …0 5 4 3 …1 0 5 4 …2 1 0 5 …3 2 1 0 …4 3 2 1
1 2 3 4 5 0
1 0 5 4 3 2 2 1 0 5 4 3 3 2 1 0 5 4 4 3 2 1 0 5 5 4 3 2 1 0 m 0
N 1
x1 ( m ) x2 ( n m )
m 0
例：已知序列x1 (n ) R4 (n )， 2 (n ) (n 1) R5 (n ) x 分别将序列以周期为6周期延拓成周期序列 x1 (n )和x2 (n )，求两个周期序列的周期卷积和。
X (1) 1 j
2 1
2 1
X (2) 0 X (6) 0
X (7) 1 j
X (3) 1 j
2 1
2 1
解法二：公式解 X k DFS x n x (n )e
周期(Ωs=2π/T)和连续
周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω0=2π/T0)
二 、周期序列的DFS及其性质
周期序列：x(n ) x (n rN ) r为任意整数 N 为周期
连续周期函数： xa (t ) xa (t kT0 ) xa ( t )
k
T0为周期
1 N 1 N
N 1
X 1 ( k ) X 2 ( k )WN kn k 0 mk [ x1 ( m )WN ] X 2 ( k )WN kn k 0 m 0 X 2 ( k )WN ( n m ) k ] k 0 N 1 N 1 N 1
n 0 N 1 j 2 nk N nk x(n )WN n 0 2 nk N N 1 k 0 N 1
(k )] 1 x(n ) IDFS [ X N
X ( k )e
k 0
N 1
j
1 N
X (k )WN nk
其中： WN e
n




x( n)e jn
1 x ( n) 2

X (e j )e jn d
时域的离散化造成频域的周期延拓，而时 域的非周期对应于频域的连续
离散时间、离散频率—离散傅里叶级数
X ( k ) x ( n)e
n 0 N 1 j 2 nk N
1 x(n) N
X ( k )e
k 0
N 1
j
2 nk N
一个域的离散造成另一个域的周期延拓，因此 离散傅里叶级数的时域和频域都是离散的和周 期的
四种傅里叶变换形式的归纳
时间函数
连续和非周期 连续和周期(T0)
频率函数
非周期和连续 非周期和离散(Ω0=2π/T0)
离散(T)和非周期
离散(T)和周期(T0)



A( k )e jk 0t
基频：0 2 / T0 k次谐波分量：e jk0t 基频：0 2 / N k次谐波分量：e jk0n
N 为周期的周期序列： x(n )
k

A( k )e jk0n
周期序列的DFS正变换和反变换：
X (k ) DFS [ x(n )] x(n )e
3 j k 8

1 e

e
sin sin

2
k k
8
X k 与z变换的关系：
x n 令x n 0 0 n N 1 其它n
n
N 1 n 0
对x n 作z变换: X z
x n z
N

n
x n z
1 2 … y (n)
1 0… 2 1… 3 2… 4 3… 5 4… 0 5… 10
8 6
10
14
12
同样，利用对称性
若 则
y (n) x1 (n) x2 (n)
nk Y ( k ) DFS [ y ( n )] y ( n )WN n 0 N 1
x(n )
r
x (n )的主值序列
N
x(n rN ) x((n))
x(n )的周期延拓
同样：X(k)也是一个N点的有限长序列
X ( k ) X (( k )) N X ( k ) X ( k ) RN ( k )
有限长序列的DFT正变换和反变换：
n 0 N 1 j 2 kn N
x n e
n 0
j k 2
7
2 j kn 8
e
n 0
3
j kn 4


1 e
j k 4 4 j k 4

j k j k e e 2 e 2 j k j k j k e 8 e 8 e 8
1、线性：
若
X 1 (k ) DFS [ x1 ( n )] X 2 ( k ) DFS [ x2 ( n )]
则
DFS [ax1 (n ) bx2 (n )] aX 1 (k ) bX 2 (k )
其中，a, b 为任意常数
2、序列的移位
DFS [ x ( n m )] WN mk X ( k ) e j 2 mk N
3、调制特性
nl DFS [WN x ( n )] X ( k l )
ln ln nk 证：DFS [WN x ( n )] WN x ( n )WN n 0 ( x ( n )WNl k ) n n 0 N 1
N 1
X (k l )
4、周期卷积和
若 Y (k ) X 1 (k ) X 2 (k )
则 y (n ) IDFS [Y (k )] x1 (m ) x2 (n m )
m 0
N 1
x2 ( m ) x1 ( n m )
m 0
N 1
证： y (n ) IDFS [ X 1 ( k ) X 2 ( k )]
X (k )
nk 证：DFS [ x ( n m )] x ( n m )WN n 0 N 1 m
N 1
令i n m


i m
k x (i )WN ( i m ) N 1 i 0
ki WN mk x (i )WN WN mk X ( k )
X ( z ) x ( n) z n
n 0
N 1
2 j k k z WN e N
X (e j )

2 k N
x(n)的N点DFT是 x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔抽样；
x(n)的DTFT在区间[0，2π]上的N点等间隔抽 样。
例：已知序列x (n ) R4 (n ), 求x( n )的8点和16点DFT。
数字信号处理
第三章
目
1 3 2 3 4
录
离散傅里叶变换 傅里叶级数与周期卷积 圆周卷积、圆周移位 频域抽样、频谱分析
第三章学习目标
理解傅里叶变换的几种形式 了解周期序列的傅里叶级数及性质，掌握周期卷
积过程
理解离散傅里叶变换及性质，掌握圆周移位、共
轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间 的关系
解法一：数值解
nk X ( k ) x ( n )WN n 0 N 1
x ( n )W8nk W8nk
n 0 n 0
7
3
1 e
X (0) 4 X (4) 0
j
2 k 8
e
j
2 2k 8
e
j
2 3k 8
X (5) 1 j
1 T0 / 2 jk 0t X ( jk 0 ) x (t )e dt T0 / 2 T0
x(t )
k
X ( jk )e
0

jk 0t
时域连续函数造成频域是非周期的谱，而频域 的离散对应时域是周期函数。
离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换
X (e j )
解： y ( n ) x1 ( m ) x2 ( n m )
m 0 5 N 1
x1 ( m ) x2 ( n m )
m 0
n m x1 n / m x2 n / m x2 m x2 1 m x2 2 m x2 3 m x2 4 m x2 5 m
j
2 N
例：已知序列x(n )是周期为6的周期序列， 如图所示，试求其DFS的系数。
解：根据定义求解
nk X ( k ) x ( n )WN n 0
5
N 1
x ( n )W6nk
n 0
14 12e 8e
X (0) 60 X (3) 0
离散时间、离散频率—离散傅里叶变换