【精编】2017-2018年广西桂林市阳朔中学高二(上)数学期中试卷和参考答案(文科)

广西桂林市2017-2018学年高二数学上学期期中试题 文说明: 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．2．请在答题卷上答题（在本试卷上答题无效）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．若0<<b a ,则下列不等式中成立的是 A. b a -> B.1<b a C. b a -<- D. ba 11< 2．双曲线22149x y -=的渐近线方程是A ．32y x =±B ．23y x =±C ．94y x =± D ．49y x =±3．命题“∀3210x R x x ∈-+，≤”的否定是A.不存在3210x R x x ∈-+，≤B.∃3210x R x x ∈-+>，C.∃3210x R x x ∈-+，≤D.∀3210x R x x ∈-+>，4．在ABC ∆中，已知A=60°， a b ==，则∠B 的度数是 A. 45°或135° B. 135° C. 75° D. 45° 5．在等差数列}{n a 中，若295=+a a ，则13S =A.11B.12C.13D.不确定6．设集合{}|20A x x =->，{}2|20B x x x =->，则“x∈A”是“x∈B ”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7．已知椭圆192522=+y x 上的一点M 到焦点1F 的距离为2,N 是1MF 的中点,O 为原点,则ON 等于A ．2B ．4C ．8D ．238. 已知12=+y x ，则y x42+的最小值为A ．8B ．6C ．22D ．239. 已知ABC ∆中，三内角,,A B C 的度数成等差数列，边,,a b c 依次成等比数列．则ABC ∆是 A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形10. 已知,x y 满足约束条件0,2,0.x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩错误！未找到引用源。

2017-2018学年高二（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．512．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．154．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=105．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．78．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.511．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，7012．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为；再将结果化为8进制数，结果为．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填，输出的s=．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．51【分析】用459除以357，得到商是1，余数是102，用357除以102，得到商是3，余数是51，用102除以51得到商是2，没有余数，得到两个数字的最大公约数是51．【解答】解：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51，故选D．【点评】本题考查辗转相除计算最大公约数，本题是一个基础题，是在算法案例中出现的一个案例，近几年在新课标中出现，学生掌握的比较好，若出现一定会得分．2．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a【分析】根据赋值语句的格式，逐一进行分析，即可得到答案．【解答】解：由赋值语句的格式我们可知，赋值语句的赋值号左边必须是一个变量，而右边的运算符号与平常书写的运算符号有所不同．A中左侧是常数，不是变量，格式不对；B中满足赋值语句的格式与要求，正确；C与D中左侧是运算式，不对；故选：B．【点评】本题考查赋值语句，通过对赋值语句定义和格式的把握直接进行判断即可，属于基础题．3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】根据分层抽样的定义，即可得到结论．【解答】解：∵高一240人，高二260人，高三300人，∴按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为×40=13，故选：B．【点评】本题考查了分层抽样的定义和应用问题，是基础题．4．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=10【分析】先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据s=2+4+6+…+10=30得到程序中UNTIL后面的“条件”．【解答】解：因为输出的结果是30，即s=2+4+6+…+10，需执行5次，则程序中UNTIL后面的“条件”应为i＞10．故选B．【点评】本题主要考查了直到型循环语句，语句的识别问题是一个逆向性思维，一般认为学习是从算法步骤（自然语言）至程序框图，再到算法语言（程序）．如果将程序摆在我们的面前时，从识别逐个语句，整体把握，概括程序的功能．5．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数【分析】方差计算公式：S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，n表示样本容量，为平均数，根据此公式即可得到答案．【解答】解：由于S2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]，所以样本容量是10，平均数是20．故选：D．【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有43种，对于A、B两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A 方格，小的放进B方格，由组合数公式计算可得其填法数目，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，由分步计数原理可得其填法数目，最后由分步计数原理，计算可得填入A方格的数字大于B方格的数字的填法种数，利用古典概型的概率计算公式求概率．【解答】解：根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有44=256种，对于A、B两个方格，可在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有C42=6种情况，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4=16种情况，则填入A方格的数字大于B方格的数字的不同的填法共有16×6=96种，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为p=．故选D．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查排列、组合的运用，注意题意中数字可以重复的条件，这是易错点，此题是基础题，也是易错题．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．7【分析】根据茎叶图提供的数据，去掉1个最高分和1个最低分后，利用公式求平均数可得x的值．【解答】解：选手的7个得分中去掉1个最高分96，去掉1个最低分86，剩余5个得分为88，93，90，94，（90+x）；它们的平均分为=91，∴x=0；故选：A．【点评】本题考查了利用茎叶图求平均数的问题，是基础题．8．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．【分析】使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，由此能求出使得2x∈[2，4]的概率．【解答】解：∵2=2¹，4=22∴使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，∵x∈[1，6]，且[1，6]长为5，[1，2]长为1∴使得2x∈[2，4]的概率p=．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意几何概型的合理运用．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球【分析】利用互斥事件和对立事件的概念求解．【解答】解：在A中，至少有一个黒球与都是黒球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在B中，至少有一个红球与都是红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在C中，至少有一个黒球与至少有1个红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在D中，恰有1个黒球与恰有2个黒球不能同时发生，可以同时不发生，两个事件是互斥而不对立事件．故选：D．【点评】本题考查互斥而不对立的两个事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件和对立事件的概念的合理运用．10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.5【分析】先求样本中心点，再代入回归直线方程，即可求得m的值．【解答】解：由题意，，∵y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，∴2.5+0.25m=3.15+0.35，∴m=4．故选A．【点评】本题考查回归直线方程，解题的关键是利用回归直线方程恒过样本中心点，属于基础题．11．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，70【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，求出该班的学生数，再计算平均成绩．【解答】解：根据频率分布直方图，得；低于60分的频率是（0.005+0.01）×20=0.3，所以该班的学生人数为=50，；所以，该班的平均成绩为：30×0.005×20+50×0.01×20+70×0.02×20+90×0.015×20=68．故选：B．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，考查了求平均数的计算问题，是基础题目．12．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34【分析】由于多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，可得当x=﹣4时，v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2，v3即可得出．【解答】解：∵多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，当x=﹣4时，∴v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2=﹣7×（﹣4）+6=34，v3=34×（﹣4）+79=﹣57．故选：C．【点评】本题考查了秦九韶算法计算多项式的值，考查了计算能力，属于基础题．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号785，667，199，507，175（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．【分析】找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．【解答】解：找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916它大于800要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．故答案为：785、667、199、507、175【点评】抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为45；再将结果化为8进制数，结果为55（8）．【分析】根据二进制转化为十进制的方法，分别用每位数字乘以权重，累加后即可得到结果；根据“除8取余法”的方法转化为对应的八进制数即可得到结果．【解答】解：101101（2）=1×20+0×21+1×22+1×23+0×24+1×25=1+4+8+32=45．．又45=8×5+5，∴45=55（8）故答案为：45，55．（8）【点评】本题以进位制的转换为背景考查算法的多样性，解题的关键是熟练掌握进位制的转化规则，属于基础题．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于60．【分析】根据比例关系设出各组的频率，在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，求出前三组的频率，再频数和建立等量关系即可．【解答】解：设第一组至第六组数据的频率分别为2x，3x，4x，6x，4x，x，则2x+3x+4x+6x+4x+x=1，解得，所以前三组数据的频率分别是，故前三组数据的频数之和等于=27，解得n=60．故答案为60．【点评】本小题考查频率分布直方图的基础知识，熟练基本公式是解答好本题的关键，属于基础题．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填i＜7（或i≤6），输出的s=51．【分析】由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故循环次数为6，由于第一次进行循环时，循环变量的初值为1，步长为1，故最后一次进入循环的终值应为6，故不难得到判断框中的条件及输出结果．【解答】解：由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故判断框应填i≤6或i＜7，输出s的值为：9+13+11+7+5+6=51．故答案为：i＜7（或i≤6），51．【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．【分析】利用线段的长度与面积的关系，直接利用几何概型求解即可．【解答】解：点P在BC边上沿B→C运动，落在BC上的任何一点都是等可能的．全部基本事件可用BC表示．…（2分）设事件M 为“△ABC面积小于4”，则事件M包含的基本事件可用长度为2的线段BP 表示，…（4分）由几何概型可知：即所求事件的概率为．…（10分）【点评】本题主要考查了几何概型．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．【分析】（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“A1被选中，而B1未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）设“至少参加一个社团”为事件A；从45名同学中任选一名有45种选法，∴基本事件数为45；通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15；这是一个古典概型，∴P（A）=；（Ⅱ）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；∴从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15；设“A1被选中，而B1未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2；这是一个古典概型，∴．【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}做出集合对应的面积是边长为60的正方形的面积，写出满足条件的事件A═{（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}对应的集合和面积，根据面积之比得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}集合对应的面积是边长为60的正方形的面积SΩ=60×60，而满足条件的事件对应的集合是A={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}得到S A=60×60﹣（60﹣15）×（60﹣15）∴两人能够会面的概率P==，∴两人能够会面的概率是．【点评】本题的难点是把时间分别用x，y坐标来表示，从而把时间长度这样的一维问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型的几何概型问题．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．【分析】（I）根据所有小矩形的面积之和为1，求得第四组的频率，再根据小矩形的高=求a的值；（II）利用分段函数写出S关于x的函数；根据S≥3400得x的范围，利用频率分布直方图求数据在范围内的频率及可得概率．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可知：（0.013+0.015+0.017+a+0.030）×10=1，∴a=0.025，∵，∴估计日需求量的众数为125件；（Ⅱ）（ⅰ）当100≤x＜130时，S=30x﹣20（130﹣x）=50x﹣2600，当130≤x≤150时，S=30×130=3900，∴；（ⅱ）若S≥3400由50x﹣2600≥3400得x≥120，∵100≤x≤150，∴120≤x≤150，∴由直方图可知当120≤x≤150时的频率是（0.030+0.025+0.015）×10=0.7，∴可估计当天纯利润S不少于3400元的概率是0.7．【点评】本题考查了由频率分布直方图求频率与众数，考查了分段函数的值域与定义域，在频率分布直方图中小矩形的高=，所有小矩形的面积之和为1．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．【分析】（I）算法的功能是求f（x）=的值，根据输入实数x 的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7求得a 、b ；（II ）分别在不同的段上求得函数的值域，再求并集．【解答】解：（Ⅰ）由程序框图知：算法的功能是求f （x ）=的值，∵输入x=﹣1＜0，输出f （﹣1）=﹣b=2，∴b=﹣2．∵输入x=3＞0，输出f （3）=a 3﹣1=7，∴a=2． ∴． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：①当x ＜0时，f （x ）=﹣2x ＞1，∴； ②当x ≥0时，f （x ）=2x ﹣1＞1，∴x ＞1．综上满足不等式f （x ）＞1的x 的取值范围为或x ＞1}．【点评】本题借助考查选择结构程序框图，考查了分段函数求值域，解题的关键是利用程序框图求得分段函数的解析式．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．【分析】（1）利用题目条件直接画出散点图即可．（2）利用条件求解回归直线方程的参数，即可．（3）利用回归直线方程求解推出结果即可．【解答】解：（1）散点图如图所示，…（3分）（2）由表中数据得：=52.5，=3.5，=3.5；=54，∴===0.7，，==3.5﹣0.7×3.5=1.05，∴=0.7x+1.05 …（8分）（3）将x=10代入回归直线方程，得=0.7×10+1.05=8.05（小时）预测加工10个零件需要8.05小时．…（12分）【点评】本题考查回归直线方程的求法，散点图的画法，考查计算能力．。

广西省桂林中学2017-2018学年上学期高二年级段考数学科试卷（文科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1. 若,则下列不等式中成立的是A. B. C. D.【答案】A【解析】，，所以B,D错误，∵，∴ C错误，故选A.2. 双曲线的渐近线方程是A. B. C. D.【答案】A【解析】由双曲线标准方程可知，，且焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为，故选A.3. 命题“”的否定是A. 不存在B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：命题的否定，除结论要否定外，存在量词必须作相应变化，例如“任意”与“存在”相互转换．考点：命题的否定．4. 在中，已知A=60°，，则B的度数是A. 45°或135°B. 135°C. 75°D. 45°【答案】D【解析】由正弦定理得.选D.5. 在等差数列中，若，则=A. 11B. 12C. 13D. 不确定【答案】C【解析】是等差数列，,故选C.点睛：本题考查了等差数列的定义，求数列的前n项和，属于中档题.解决数列问题时，一般要紧扣等差数列的定义通项公式，数列求和时，一般根据通项的特点选择合适的求和方法，其中裂项相消和错位相减法考查的比较多，在涉及数列的恒成立问题时，一般要考虑数列项的最值或前n项和的最值，进行转化处理即可.6. 设集合，，则“x∈A”是“x∈B”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为,但推不出所以“”是“”的充分不必要条件，选A.7. 已知椭圆上的一点到焦点的距离为2,是的中点,O为原点,则等于A. 2B. 4C. 8D.【答案】B8. 已知，则的最小值为A. 8B. 6C.D.【答案】C【解析】因为当且仅当时取等号，故选C.点睛：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题.解决此类问题，重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式，很多情况下，要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件，应用均值不等式.9. 已知中，三内角的度数成等差数列，边依次成等比数列．则是A. 直角三角形B. 等边三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形【答案】B【解析】∵△ABC中，三内角的度数成等差数列，∴，又，∴°.又边依次成等比数列，∴，在△ABC中,由余弦定理得：，∴，∴，∴，∴，又，∴为等边三角形。

2017年阳朔中学高二年级（文）上学期10月月考试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若0a b <<，则下列不等式成立的是（ ） A ．22a b < B ．a b < C ．1a b < D ．11a b> 2．已知{}n a 为等差数列，若23a =，45a =，则d 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若15a =，10b =，60A =︒，则co s B =（ ）A ．- C ．．4．在ABC ∆中，2a =，30A =︒，45C =︒，则ABC S ∆=（ ）A ．1 D ．)1125．在ABC ∆中，::3:5:7a b c =，那么ABC ∆是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．非钝角三角形 6．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若49a =，315S =，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．23n a n =- B ．21n a n =- C ．21n a n =+ D ．23n a n =+ 7．设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知38S =，67S =，则789a a a ++=（ ） A ．578 B ．558 C ．18 D ．18- 8．在等比数列{}n a 中，116a =-，48a =，则7a =（ ） A ．4- B ．4± C ．2- D ．2± 9．设3，x ，5成等差数列，则x 为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 10．一个等差数列的前4项是,,,2a x b x ，则ab等于（ ）A ．14 B ．12 C ．13 D ．2311．在等比数列{}n a 中，28a =，564a =，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．812．已知等差数列{}n a 的公差0d <，若4624a a ⋅=，2810a a +=，则该数列的前n 项和n S 的最大值为（ ）A ．50B ．40C ．45D ．35第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数()40y x x x=+>的最小值是 ． 14．不等式2230x x --<的解集是 ．15．设,x y 满足约束条件3002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的最大值为 ．16．已知数列{}n a 的通项公式为()11n a n n =+，则前10项和10S = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．解下列不等式并将结果用集合的形式表示. （1）2230x x --+> （2）2111x x -≥+ 18．已知a 、b 、c 分别是ABC ∆三个内角A B C 、、的对边. （1）若ABC ∆面积为2，2c =，60A =︒，求,a b 的值； （2）若cos cos a A b B =，试判断ABC ∆的形状，证明你的结论. 19．已知等比数列{}n a 中，12a =，且416a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n n a ⋅的前n 项和n T .20．某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额（最大供应量）如表所示：问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨，获得利润总额最大？21．若,x y 满足1030350x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，求：（1）2z x y =+的最小值； （2）22z x y =+的范围； （3）y xz x+=的最大值. 22．已知()22f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集是()0,5. （1）求()f x 的解析式；（2）若对于任意[]1,1x ∈-，不等式()2f x t +≤恒成立，求t 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:DAACB 6-10: CCABC 11、12：AC二、填空题13．4 14．()1,3- 15．29 16．1011三、解答题17．解：（1）2230x x --+>化为2230x x +-<，解得31x -<<，∴不等式的解集为()3,1-；（2）2111x x -≥+化为()()12020110x x x x x +-≥⎧-⎪≥⇔⎨++≠⎪⎩， 解得2x ≥或1x <-.∴不等式的解集为{2x x ≥或}1x <-.18．解：（1）由已知得1sin sin 6022bc A b ==︒，∴1b =. 由余弦定理2222cos 3a b c bc A =+-=，∴a =（2）由正弦定理得2sin R A a =，2sin R B b =，∴2sin cos 2sin cos R A A R B B =，即sin 2sin 2A B =，由已知A B 、为三角形内角， ∴90A B +=︒或A B =.∴ABC ∆为直角三角形或等腰三角形. 19．解：（1）2n n a = （2）()1122n n T n +=-+.20．解：设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x 吨、y 吨，获得利润z 万元 依题意可得约束条件：943604520031030000x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩利润目标函数712z x y =+如图，作出可行域，作直线:712l z x y =+，把直线l 向右上方平移至1l 位置，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时712z x y =+取最大值.解方程组31030045200x y x y +=⎧⎨+=⎩，得()20,24M故，生产甲种产品20t ，乙种产品24t ，才能使此工厂获得最大利润.21．解：作出满足已知条件的可行域为ABC ∆内（及边界）区域，其中()1,2A ，()2,1B ，()3,4C . （1）目标函数2z x y =+，表示直线:2l y x z =-+，z 表示该直线纵截距，当l 过点A 时纵截距有最小值，故min 4z =.（2）目标函数22z x y =+表示区域内的点到坐标系点的距离的平方，又原点O 到AB 的距离2d ==且垂足是33,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭在线段AB 上，故22OD z OC ≤≤，即9,252z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（3）目标函数1y z x =+，记yk x=. 则k 表示区域中的点与坐标原点连线的斜率，当直线过点A 时，斜率最大，即max 2k =，即m a x m a x3y x z x +⎛⎫== ⎪⎝⎭.22．解：（1）()22f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集是()0,5，∴220x bx c ++<的解集是()0,5，所以0和5是方程220x bx c ++=的两个根，由韦达定理知，52b -=，02c=，∴10b =-，0c =，()2210f x x x =-. （2）()2f x t +≤恒成立等价于221020x x t -+-≤恒成立，所以22102x x t -+-的最大值小于或等于0.设221020x x t -+-≤，则由二次函数的图象可知()22102g x x x t =-+-在区间[]1,1-为减函数，所以()()max 110g x g t ==+，∴10t ≤-.。

2017-2018学年高二上学期期中试卷（文科数学）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．数列﹣，，，，…的一个通项公式可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，a=，b=，B=60°，那么∠A 等于（ ）A ．135°B ．45°C ．135°或45°D ．60° 3．设a ＞b ，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．＜B ．a 3＞b 3C ．＞D ．a 2＞b 24．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6=3，a 4=2，则a 5等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．85．已知变量x ，y 满足约束条件，则的取值范围是（ ）A ．[2，5]B ．（﹣∞，2]∪[5，+∞）C ．（﹣∞，3]∪[5，+∞）D ．[3，5]6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2=b 2+c 2﹣bc ，则角A 是（ ）A ．B ．C ．D ．7．设等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 4=2，S 8=6，则S 12等于（ ）A ．8B ．10C ．12D ．148．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形9．若两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且，则等于（ ）A ．2B ．C ．D ．10．某企业生产甲、乙两种产品均需用A 、B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）甲 乙 原料限额 A （吨） 3 2 12 B （吨） 128A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元 11．若等差数列{a n }的公差为2，且a 5是a 2与a 6的等比中项，则该数列的前n 项和S n 取最小值时，n 的值等于（ ） A ．4B ．5C ．6D ．712．定义算式⊗：x ⊗y=x （1﹣y ），若不等式（x ﹣a ）⊗（x+a ）＜1对任意x 都成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．不等式x 2+x ﹣2＞0的解集为 ．14．在数列{a n }中，若a 1=1，a n+1=2a n （n ≥1），则该数列的通项a n = ．15．已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，a=1，c=，∠A=30°，则b 等于 ．16．下列命题中：①在△ABC 中，sinA ＞sinB ，则A ＞B ；②若a ＞0，b ＞0，a+b=4，则的最大值为3；③已知函数f （x ）是一次函数，若数列{a n }的通项公式为a n =f （n ），则该数列是等差数列；④数列{b n }的通项公式为b n =q n ，则数列{b n }的前n 项和S n =．正确的命题的序号是 ．三、解答题（本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．如图，平面四边形ABCD 中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°．（1）求BD 的长；（2）求∠ADC 的度数．18．已知等差数列{a n }中，a 1+a 4=10，a 3=6． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n }的前n 项和S n ．19．连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我阳光、我健康、我快乐”的口号，某同学要设计一张如图所示的竖向张贴的长方形海报进行宣传，要求版心面积为162dm 2（版心是指图中的长方形阴影部分，dm 为长度单位分米），上、下两边各空2dm ，左、右两边各空1dm ．（1）若设版心的高为xdm ，求海报四周空白面积关于x 的函数S （x ）的解析式；（2）要使海报四周空白面积最小，版心的高和宽该如何设计？20．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2ccosA+a=2b ．（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若a+b=4，当c 取最小值时，求△ABC 的面积．21．已知f （x ）=x 2+ax+b ，a ，b ∈R ，若f （x ）＞0的解集为{x|x ＜0或x ＞2}．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）解不等式f （x ）＜m 2﹣1．22．已知数列{a n }的前n 项和为S n =． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设T n 为数列{b n }的前n 项和，其中b n =，求T n ；（Ⅲ）若存在n ∈N *，使得T n ﹣λa n ≥3λ成立，求出实数λ的取值范围．2017-2018学年高二上学期期中试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．数列﹣，，，，…的一个通项公式可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】数列的函数特性．【分析】利用符号为（﹣1）n 与绝对值为即可得出．【解答】解：数列﹣，，，，…的一个通项公式可能是a n =（﹣1）n．故选：D ．【点评】本题考查了数列的通项公式，参考老头老娘了与计算能力，属于基础题．2．已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=，b=，B=60°，那么∠A等于（）A．135°B．45°C．135°或45°D．60°【考点】正弦定理．【分析】结合已知条件a=，b=，B=60°，由正弦定理可得，可求出sinA，结合大边对大角可求得A【解答】解：a=，b=，B=60°，由正弦定理可得，a＜b A＜B=60°A=45°故选B【点评】本题考查正弦定理和大边对大角定理解三角形，属于容易题3．设a＞b，则下列不等式中恒成立的是（）A．＜B．a3＞b3C．＞D．a2＞b2【考点】不等式比较大小．【分析】A．取a=2，b=﹣1时不成立；B．利用函数y=x3在R上单调递增即可判断出正误．C．取a=2，b=1时不成立；D．取a=1，b=﹣2时不成立．【解答】解：A．取a=2，b=﹣1时不成立；B．由于函数y=x3在R上单调递增，∵a＞b，∴a3＞b3，成立．C．取a=2，b=1时不成立；D．取a=1，b=﹣2时不成立．故选：B．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6=3，a 4=2，则a 5等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【考点】等差数列的前n 项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 6=3，a 4=2，∴6a 1+d=3，a 1+3d=2，解得a 1=﹣7，d=3． 则a 5=﹣7+3×4=5， 故选：A ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知变量x ，y 满足约束条件，则的取值范围是（ ）A ．[2，5]B ．（﹣∞，2]∪[5，+∞）C ．（﹣∞，3]∪[5，+∞）D ．[3，5]【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义是区域内的点到原点的斜率，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则的几何意义是区域内的点到原点的斜率， 由图象知OC 的斜率最小，OA 的斜率最大，由得，即A （1，5），此时OA 的斜率k=5，由得，即C （2，4），此时OC 的斜率k==2，即2≤≤5，则的取值范围是[2，5]，故选：A ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义是区域内的点到原点的斜率是解决本题的关键．6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2=b 2+c 2﹣bc ，则角A 是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】余弦定理．【分析】直接利用余弦定理化简求解即可．【解答】解：在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2=b 2+c 2﹣bc ，由余弦定理可得：cosA=，解得A=．故选：A ．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查计算能力．7．设等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 4=2，S 8=6，则S 12等于（ ）A ．8B ．10C ．12D ．14 【考点】等比数列的前n 项和．【分析】直接利用等比数列的性质，化简求解即可．【解答】解：等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 4=2，S 8=6，可得S 4，S 8﹣S 4，S 12﹣S 8，也是等比数列，S 12﹣S 8===8．S 12=14． 故选：D ．【点评】本题考查等比数列的简单性质的应用，考查计算能力．8．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】利用正弦定理转化求解三角形的角的关系，判断三角形的形状即可．【解答】解：在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若，可得，可得sin2A=sin2B ． 可得2A=2B 或2A+2B=π，即：A=B 或A+B=；故选：D ．【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的形状的判断，考查计算能力．9．若两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且，则等于（ ）A ．2B ．C ．D ．【考点】等差数列的性质．【分析】利用===，即可得出结论．【解答】解： =====，故选C．【点评】本题考查等差数列通项的性质，考查等差数列的求和公式，比较基础．10．某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨） 3 2 12B（吨） 1 2 8A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元【考点】简单线性规划的应用．【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，则，目标函数为 z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，解方程组，解得，即B的坐标为x=2，y=3，∴z=3x+4y=6+12=18．max即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键．11．若等差数列{an }的公差为2，且a5是a2与a6的等比中项，则该数列的前n项和Sn取最小值时，n的值等于（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由题意可得，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，解方程可得a1，结合已知公差，代入等差数列的通项可求，判断数列的单调性和正负，即可得到所求和的最小值时n的值．【解答】解：由a5是a2与a6的等比中项，可得a52=a2a6，由等差数列{an}的公差d为2，即（a1+8）2=（a1+2）（a1+10），解得a1=﹣11，a n =a1+（n﹣1）d=﹣11+2（n﹣1）=2n﹣13，由a1＜0，a2＜0，…，a6＜0，a7＞0，…可得该数列的前n项和Sn取最小值时，n=6．故选：C．【点评】等差数列与等比数列是高考考查的基本类型，本题考查等差数列的通项公式的运用，同时考查等比数列的中项的性质，以及等差数列的单调性和前n项和的最小值，属于中档题．12．定义算式⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．D．【考点】二次函数的性质．【分析】由已知中算式⊗：x⊗y=x（1﹣y），我们可得不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，转化为一个关于x的二次不等式恒成立，进而根据二次不等式恒成立的充要条件，构造一个关于a的不等式，解不等式求出实数a的取值范围．【解答】解：∵x⊗y=x（1﹣y），∴若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，则（x﹣a）（1﹣x﹣a）﹣1＜0恒成立即﹣x2+x+a2﹣a﹣1＜0恒成立则△=1+4（a2﹣a﹣1）=4a2﹣4a﹣3＜0恒成立解得故选D【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据二次不等式ax2+bx+c＜0恒成立充要条件是a＜0，△＜0构造一个关于a的不等式，是解答本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．不等式x2+x﹣2＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞1} ．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】不等式x2+x﹣2＞0化为：（x+2）（x﹣1）＞0，解出即可得出．【解答】解：不等式x2+x﹣2＞0化为：（x+2）（x﹣1）＞0，解得x＞1或x＜﹣2．∴不等式x2+x﹣2＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞1}．故答案为：{x|x＜﹣2或x＞1}．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．在数列{an }中，若a1=1，an+1=2an（n≥1），则该数列的通项an= 2n﹣1．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意可得，该数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，由此求得它的通项公式．【解答】解：由于在数列{a n }中，若a 1=1，a n+1=2a n （n ≥1），则该数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，故它的通项公式为 a n =1×2n ﹣1=2n ﹣1，故答案为 2n ﹣1．【点评】本题主要考查等比数列的定义和通项公式，属于基础题．15．已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，a=1，c=，∠A=30°，则b 等于 1或2 ．【考点】正弦定理．【分析】由已知及余弦定理可得b 2﹣3b+2=0，进而可解得b 的值．【解答】解：∵a=1，c=，∠A=30°，∴由余弦定理a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，可得：1=b 2+3﹣2×b ×，整理可得：b 2﹣3b+2=0，∴解得：b=1或2． 故答案为：1或2．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．16．下列命题中：①在△ABC 中，sinA ＞sinB ，则A ＞B ；②若a ＞0，b ＞0，a+b=4，则的最大值为3；③已知函数f （x ）是一次函数，若数列{a n }的通项公式为a n =f （n ），则该数列是等差数列；④数列{b n }的通项公式为b n =q n ，则数列{b n }的前n 项和S n =．正确的命题的序号是 ①②③ ．【考点】命题的真假判断与应用；基本不等式；数列的函数特性；正弦定理．【分析】逐项判断．①利用正弦定理易得；②先平方在利用基本不等式即可；③由等差数列的函数特征易得；④易知当q=1时，结论不正确．【解答】解：①由正弦定理，当sinA＞sinB时，由 a＞b，故有A＞B，所以①为真；②≤9+（a+3）+（b+2）=18，所以“=”当且仅当“”成立，故②为真；③由等差数列的通项公式的函数特征知③正确；④易知，当q=1时结论不正确．总上可得①②③正确．故答案为：①②③．【点评】本题考查了正弦定理，基本不等式，等差数列的通项以及等比数列的前n项和问题．其中第2个命题的判断是本题难点．属于中档题．三、解答题（本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°．（1）求BD的长；（2）求∠ADC的度数．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）方法一：在△BCD中，由题意和正弦定理求出BD；方法二：由∠BDC=30°求出BC，利用条件和余弦定理列出方程，求出BD；（2）在△ABD中，利用条件和余弦定理求出cos∠ADB的值，结合图象求出∠ADC的度数．【解答】解：（1）方法一：在△BCD中，由正弦定理得：，即…解得BD=3…方法二：由已知得∠BDC=30°，故…由余弦定理得：BD2=CD2+BC2﹣2CDBCcos∠BCD= …∴BD=3…（2）在△ABD 中，由余弦定理得：…∴∠ADB=45° … 由已知∠BDC=30°…∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=45°+30°=75°…【点评】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查一题多解，化简、计算能力．18．已知等差数列{a n }中，a 1+a 4=10，a 3=6． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n }的前n 项和S n ．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（I ）利用等差数列的通项公式即可得出． （II ）利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设公差为d ，∵a 1+a 4=10，a 3=6．∴，解得， ∴数列{a n }的通项公式为a n =2n ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，∴．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我阳光、我健康、我快乐”的口号，某同学要设计一张如图所示的竖向张贴的长方形海报进行宣传，要求版心面积为162dm2（版心是指图中的长方形阴影部分，dm为长度单位分米），上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm．（1）若设版心的高为xdm，求海报四周空白面积关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使海报四周空白面积最小，版心的高和宽该如何设计？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）由已知版心的高为xdm，则版心的宽为dm，求出海报四周空白面积．（2）利用基本不等式求解即可．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由已知版心的高为xdm，则版心的宽为dm…故海报四周空白面积为，…即S（x）=2x++8，x＞0…（2）由基本不等式得：…当且仅当时取等号…∴要使海报四周空白面积最小，版心的高应该为18 dm、宽为9 dm…【点评】本题考查实际问题选择函数的模型，基本不等式的应用，考查计算能力．20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若a+b=4，当c取最小值时，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】方法一：（Ⅰ）利用正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C；（Ⅱ）利用余弦定理列出方程，由条件和完全平方公式化简后，利用基本不等式求出c的最小值，由面积公式求出△ABC的面积；方法二：（Ⅰ）利用余弦定理化简已知的式子得到边的关系，由余弦定理求出cosC的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C；（Ⅱ）利用余弦定理列出方程，结合条件消元后，利用一元二次函数的性质求出c的最小值，由面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：方法一：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，∴2sinCcosA+sinA=2sinB，…∵A+B+C=π，∴2sinCcosA+sinA=2sin（A+C），…即 2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，…∴sinA=2sinAcosC，…∵sinA≠0，∴cosC=，…又∵C是三角形的内角，∴C=．…（Ⅱ）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，…∵a+b=4，故c2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=16﹣3ab，…∴（当且仅当a=b=2时等号成立），…∴c的最小值为2，故．…方法二：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，∴，…∴b2+c2﹣a2+ab=2b2，即 c2=a2+b2﹣ab，…∴，…又∵C是三角形的内角，∴c=．…（Ⅱ）由已知，a+b=4，即b=4﹣a，由余弦定理得，c 2=a 2+b 2﹣ab=（a+b ）2﹣3ab ，…∴c 2=16﹣3a （4﹣a ）=3（a ﹣2）2+4，…∴当a=2时，c 的最小值为2，故． …【点评】本题考查正弦、余弦定理，三角恒等变换中的公式，以及求最值的方法：基本不等式、一元二次函数的性质，考查一题多解，化简、变形能力．21．已知f （x ）=x 2+ax+b ，a ，b ∈R ，若f （x ）＞0的解集为{x|x ＜0或x ＞2}．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）解不等式f （x ）＜m 2﹣1． 【考点】二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）利用方程的根，列出方程组，即可求解a ，b 的值；（Ⅱ）化简不等式为乘积的形式，通过因式的根的大小对m 讨论，求解不等式的解集即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）根据题意可知，方程x 2+ax+b=0两根分别为0，2，…将两根代入方程得∴．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知不等式f （x ）＜m 2﹣1为x 2﹣2x ＜m 2﹣1， 即[x ﹣（1﹣m ）][x ﹣（1+m ）]＜0，…∴当m=0时，1﹣m=1+m ，不等式的解集为Φ；…当m ＞0时，1﹣m ＜1+m ，不等式的解集为{x|1﹣m ＜x ＜1+m}； … 当m ＜0时，1+m ＜1﹣m ，不等式的解集为{x|1+m ＜x ＜1﹣m}．… （如上，没有“综上所述…”，不扣分）【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．22．已知数列{a n }的前n 项和为S n =． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设T n 为数列{b n }的前n 项和，其中b n =，求T n ；（Ⅲ）若存在n ∈N *，使得T n ﹣λa n ≥3λ成立，求出实数λ的取值范围．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由已知数列的前n 项和，利用a n =S n ﹣S n ﹣1（n ≥2）求数列的通项公式；（Ⅱ）把b n =变形，利用裂项相消法化简，代入S n =得答案；（Ⅲ）把a n 、T n 代入T n ﹣λa n ≥3λ，分离参数λ，利用不等式求得最值得答案．【解答】解：（Ⅰ）当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1==n ，当n=1时，a 1=S 1=1也符合上式，∴a n =n ；（Ⅱ）∵，∴=；（Ⅲ）∵存在n ∈N *，使得T n ﹣λa n ≥3λ成立，∴存在n ∈N *，使得成立，即有解，∴，而，当n=1或n=2时取等号，∴λ的取值范围为．【点评】本题考查数列递推式，训练了裂项相消法求数列的前n 项和，训练了利用分离参数法求解数列恒成立问题，是中档题．。

2017年阳朔中学高二年级（文）上学期10月月考试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若，则下列不等式成立的是（ ）A. B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：设，代入选项验证可知只有成立,故选D考点：不等式性质 2. 已知为等差数列，若，，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】为等差数列，，解得，故选A.3.中，角所对的边分别为，若，，，则（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】因为，，，所以由正弦定理可得，，，由平方关系得，，故选A.4. 在中，，，，则（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】中，由正弦定理，可得，，，故选C.5. 在中，，那么是（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 非钝角三角形【答案】B【解析】因为，所以可设，由余弦定理可得，所以，是钝角三角形，故选B.【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理的应用以及判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.6. 设是等差数列的前项和，若，，则数列的通项公式为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意，由于等差数列的，，则数列的通项公式为，故选C.7. 设等比数列中，前项和为，已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：因为等比数列，故也成等比数列，所以考点：等比数列的性质8. 在等比数列中，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】等比数列中，，且，，故选A.9. 设，，成等差数列，则为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】成等差数列，，解得，故选B.10. 一个等差数列的前项是，则等于（A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：∵等差数列的前项是，，，，∴，解得．又．∴，∴．故选：C．考点：（1）等差数列的性质；（2）等差数列的通项公式．11. 在等比数列中，，，则公比为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在等比数列中，由，，可得，，，故选A.12. 已知等差数列的公差，若，，则该数列的前项和的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由已知得，即，解得，所以，因此当或时，有最大值，最大值为45.故正确答案为C考点：1.等差数列；2.函数最值.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 函数的最小值是__________．【答案】【解析】，当且仅当时取等号，此时，即函数的最小值是，故答案为.14. 不等式的解集是__________．【答案】【解析】试题分析：由，解得：，所以不等式的解集是．考点：解一元二次不等式．15. 设满足约束条件，则的最大值为__________．【答案】【解析】根据约束条件画出可行域表示到可行域的距离的平方，当在区域内点时，距离最大，，可得最大距离为的最大值为，故答案为.16. 已知数列的通项公式为，则前10项和__________．【答案】【解析】,，故答案为.【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；②；③；④；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 解下列不等式并将结果用集合的形式表示.（1）；（2）.【答案】（1）；（2）或.【解析】试题分析：（1）化为，利用一元二次不等式的解法即可得出；（2）化为，解出即可.试题解析：（1）﹣x2﹣2x+3＞0化为x2+2x﹣3＜0，解得﹣3＜x＜1，∴不等式的解集为（﹣3，1）；（2）化为⇔，解得x≥2或x＜﹣1．∴不等式的解集为{x|x≥2或x＜﹣1|}．18. 已知、、分别是三个内角的对边.（1）若面积为，，，求的值；（2）若，试判断的形状，证明你的结论.【答案】（1），；（2）直角三角形或等腰三角形，证明见解析.试题解析：（1）由已知得，∴.由余弦定理，∴.（2）由正弦定理得，，∴，即，由已知为三角形内角，∴或.∴为直角三角形或等腰三角形.19. 已知等比数列中，，且.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据题意列出关于首项，公比的方程组，解得、的值，即可求数列的通项公式；（2）由（1）可得，利用错位相减法即可得到数列的和.试题解析：（1），即.(2)，①（i ）当时，；（ii ）当时，，②①-②得，，整理得，由（i）(ii)得.【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项与求和公式以及错位相减法求数列的的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.20. 某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额（最大供应量）如表所示：电力（）问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨，获得利润总额最大？【答案】，.【解析】试题分析：先设每天生产甲吨，乙吨，根据表格中煤、电力、劳动力每天资源限额列出约束条件，再根据甲、乙两种产品的利润之和建立目标函数，画出可行域，然后求得最优解，代入目标函数即求得利润的最大值和最大值时每天生产甲、乙两种产品生产的吨数.试题解析：设此工厂应分别生产甲、乙两种产品吨、吨，获得利润万元依题意可得约束条件：利润目标函数，如图，作出可行域，作直线，把直线向右上方平移至位置，直线经过可行域上的点，且与原点距离最大，此时取最大值.解方程组，得故，生产甲种产品，乙种产品，才能使此工厂获得最大利润.21. 若满足，求：（1）的最小值；（2）的范围；（3）的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：作出约束条件表示的可行域，利用目标函数的几何意义：（1）平移直线可对直线的截距求解最值即可；（2）转化为可行域内的点与原点距离的平方，根据可行域内的点到原点的距离范围求解；（3）转化为可行域内的点与原点直线的斜率与的和求解即可.试题解析：作出满足已知条件的可行域为内（及边界）区域，其中，，. （1）目标函数，表示直线，表示该直线纵截距，当过点时纵截距有最小值，故.（2）目标函数表示区域内的点到坐标系点的距离的平方，又原点到的距离且垂足是在线段上，故，即（3）目标函数，记.则表示区域中的点与坐标原点连线的斜率，当直线过点时，斜率最大，即，即.22. 已知，不等式的解集是.（1）求的解析式；（2）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用二次不等式与二次方程的联系可得到二次方程的根为0，5，可利用根与系数的关系得到的关系式，从而得到其值；（2）将不等式转化为与之对应的二次函数，结合函数的图像及性质可知只需满足，从而求得值试题解析：（1），不等式的解集是，所以的解集是，所以和是方程的两个根，由韦达定理知，．（2）恒成立等价于恒成立，所以的最大值小于或等于0．设，则由二次函数的图象可知在区间为减函数，所以，所以．考点：1．三个二次关系；2．二次函数图像及性质。

2017-2018学年广西桂林市阳朔中学高二（上）期中数学试卷（理科）一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．（5分）设a∈R，则“a=1”是“y=cosax的最小正周期为2π”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）在△ABC中，AB=，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．3．（5分）下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞﹣b，则﹣a＞bC．若ac＞bc，则a＞b D．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c4．（5分）在不等边△ABC中，b2＞a2+c2，则B的取值范围是（）A．45o＜B＜90o B．60o＜B＜90o C．0o＜B＜90o D．90o＜B＜180o5．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣2x+1≥0 B．∃x∈R，x2﹣2x+1＞0C．∀x∈R，x2﹣2x+1≥0 D．∀x∈R，x2﹣2x+1＜06．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．12 B．11 C．3 D．﹣17．（5分）已知不等式x2﹣3x+2＜0的解集为P，不等式x2﹣5x+4＜0的解集为Q，不等式x2+ax+b＜0的解集是P∩Q，那么a+b等于（）A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．38．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1）则a8=（）A．3×46B．3×46+1 C．47D．47+19．（5分）“若a、b∈R且a2+b2=0，则a、b全为0”的否命题是（）A．若a、b∈R且a2+b2≠0，则a、b全不为0B．若a、b∈R且a2+b2≠0，则a、b不全为0C．若a、b∈R且a、b全为0则a2+b2=0D．若a、b∈R且ab≠0，则a2+b2≠010．（5分）若实数a，b，c，d满足a2+b2=m，c2+d2=n，（m≠n），则ac+bd的最大值为（）A． B． C．D．11．（5分）对任意t∈[1，2]，函数f（x）=x2+（t﹣1）x+4﹣2t的值恒大于零，则x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜0 B．x＜﹣1或x＞0 C．1＜x＜2 D．x＜1或x＞212．（5分）已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），若数列{a n}的前n项和为S n，且满足则S n为（）A．3（2n﹣1）B．2n﹣1 C．2n﹣3 D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．13．（5分）已知数列{a n}为等比数列，a1=2，a4=16，则S8=．14．（5分）甲船在A处观察到乙船在它的北偏东45°的方向，两船相距a海里，乙船正在向北行驶，若甲船的速度是乙船的倍，则甲船应取北偏东θ方向前进，才能尽快追上乙船，此时θ=．15．（5分）若数列{a n}满足a1=2，a n+1=3a n+2，若b n=（n+1）（1+a n），b n的前n 项和记为S n，则S n=．16．（5分）设0≤α≤π，不等式2x2﹣（4sinα）x+cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为．三、本题共6题，17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）解不等式：（1）（2）﹣x2+4x+5＜0．18．（12分）已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和S n．19．（12分）命题P：关于x的方程x2+ax+1=0无实根；命题q：函数y=a x（a＞0且a≠1）在R上单调递增．若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．20．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b=3，a=1，C=2B．（1）求c的值；（2）求的值．21．（12分）设命题P：实数x满足|x﹣1|＜m，（m＞0）；命题q：实数x满足；命题r：实数x满足x2﹣2ax+a﹣1＜0的集合为M，（M≠ϕ）．（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．（2）若¬r是¬q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．22．（12分）设数列{a n}（n=1，2，3…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求证：b1+b2+b3+…+b n＜2．2017-2018学年广西桂林市阳朔中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．（5分）设a∈R，则“a=1”是“y=cosax的最小正周期为2π”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵y=cosax的最小正周期为2π，∴T==2π，解得a=±1，但a=1时，y=cosx的最小正周期为2π，∴“a=1”是“函数y=cosax的最小正周期为2π”的充分不必要条件．故选：A．2．（5分）在△ABC中，AB=，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：△ABC的面积S==．故选：B．3．（5分）下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞﹣b，则﹣a＞bC．若ac＞bc，则a＞b D．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c【解答】解：当c=0时，若a＞b，则ac2=bc2，故A错误；若a＞﹣b，则﹣a＜b，故B错误；若ac＞bc，当c＞0时，则a＞b；当c＜0时，则a＜b，故C错误；若a＞b，则a﹣c＞b﹣c，故D正确故选：D．4．（5分）在不等边△ABC中，b2＞a2+c2，则B的取值范围是（）A．45o＜B＜90o B．60o＜B＜90o C．0o＜B＜90o D．90o＜B＜180o【解答】解：不等边△ABC中，b2＞a2+c2，则：，所以：90°＜B＜180°，故选：D．5．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣2x+1≥0 B．∃x∈R，x2﹣2x+1＞0C．∀x∈R，x2﹣2x+1≥0 D．∀x∈R，x2﹣2x+1＜0【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“x2﹣2x+1＜0”的否定是命题：∀x∈R，x2﹣2x+1≥0．故选：C．6．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．12 B．11 C．3 D．﹣1【解答】解：画出可行域如图阴影部分，由得C（3，2）目标函数z=3x+y可看做斜率为﹣3的动直线，其纵截距越大，z越大，由图数形结合可得当动直线过点C时，z最大=3×3+2=11故选：B．7．（5分）已知不等式x2﹣3x+2＜0的解集为P，不等式x2﹣5x+4＜0的解集为Q，不等式x2+ax+b＜0的解集是P∩Q，那么a+b等于（）A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．3【解答】解：不等式x2﹣3x+2＜0可化为（x﹣1）（x﹣2）＜0，解得1＜x＜2，∴P=（1，2）；不等式x2﹣5x+4＜0可化为（x﹣1）（x﹣4）＜0，解得1＜x＜4，∴Q=（1，4）；∴P∩Q=（1，2），∴不等式x2+ax+b＜0的解集是（1，2），即1和2是方程x2+ax+b=0两个实数根，∴，解得a=﹣3，b=2，∴a+b=﹣3+2=﹣1．故选：C．8．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1）则a8=（）A．3×46B．3×46+1 C．47D．47+1【解答】解：a n=3S n（n≥1），n≥2时，a n=3S n﹣1，相减可得：a n+1﹣a n=3a n，即+1a n+1=4a n，n=1时，a2=3a1=3．∴数列{a n}从第二项为等比数列，a2=3，公比为4．∴a8=3×46=3×46．故选：A．9．（5分）“若a、b∈R且a2+b2=0，则a、b全为0”的否命题是（）A．若a、b∈R且a2+b2≠0，则a、b全不为0B．若a、b∈R且a2+b2≠0，则a、b不全为0C．若a、b∈R且a、b全为0则a2+b2=0D．若a、b∈R且ab≠0，则a2+b2≠0【解答】解：若a、b∈R且a2+b2=0，则a、b全为0”的否命题为：若a、b∈R 且a2+b2≠0则a、b不全为0．故选：B．10．（5分）若实数a，b，c，d满足a2+b2=m，c2+d2=n，（m≠n），则ac+bd的最大值为（）A． B． C．D．【解答】解：∵（ac+bd）2=（ac）2+（bd）2+2abcd≤（ac）2+（bd）2+（ad）2+（bc）2=（a2+b2）（c2+d2）=mn，∴|ac+bd|≤，当且仅当ad=bc，取等号，∴ac+bd的最大值为，故选：B．11．（5分）对任意t∈[1，2]，函数f（x）=x2+（t﹣1）x+4﹣2t的值恒大于零，则x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜0 B．x＜﹣1或x＞0 C．1＜x＜2 D．x＜1或x＞2【解答】解：设函数F（x）=x2+（t﹣1）x+4﹣2t，=（x﹣2）t+x2﹣x+4，可看作关于t的一次函数，∵对任意t∈[1，2]上式值恒大于零，∴只需，解得x＜﹣1或x＞0，故选：B．12．（5分）已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），若数列{a n}的前n项和为S n，且满足则S n为（）A．3（2n﹣1）B．2n﹣1 C．2n﹣3 D．【解答】解：∵对任意的正数x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），∵f（S n+3）﹣f（a n）=f（2）（n∈N*），∴f（S n+3）=f（2）+f（a n）=f（2•a n）又∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，∴S n+3=2a n…①当n=1时，S1+3=a1+3=2a1，解得a1=3，当n≥2时，S n﹣1+3=2a n﹣1…②①﹣②得：a n=2a n﹣2a n﹣1即a n=2a n﹣1∴数列{a n}是一个以3为首项，以2为公比的等比数列，∴a n=3×2n﹣1，∴S n=3（2n﹣1），故选：A．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．13．（5分）已知数列{a n}为等比数列，a1=2，a4=16，则S8=29﹣2．【解答】解：根据题意，数列{a n}为等比数列，a1=2，a4=16，则q3==8，则q=2，则S8==29﹣2；故答案为：29﹣2．14．（5分）甲船在A处观察到乙船在它的北偏东45°的方向，两船相距a海里，乙船正在向北行驶，若甲船的速度是乙船的倍，则甲船应取北偏东θ方向前进，才能尽快追上乙船，此时θ=15°．【解答】解：根据题意得：∠CAB=45°﹣θ，∠B=135°，设追上乙船的时间为x，则有BC=x，AC=x，在△ABC中，利用正弦定理=，即=，∴sin（45°﹣θ）==，∴45°﹣θ=30°，即θ=15°．故答案为：15o．15．（5分）若数列{a n}满足a1=2，a n+1=3a n+2，若b n=（n+1）（1+a n），b n的前n项和记为S n，则S n=．=3a n+2，变形为：a n+1+1=3（a n+1），【解答】解：由a n+1∴数列{a n+1}为等比数列，首项与公比都为3．∴a n+1=3n．b n=（n+1）（1+a n）=（n+1）•3n，b n的前n项和记为S n，则S n=2×3+3×32+4×33+…+（n+1）•3n，3S n=2×32+3×33+…+n•3n+（n+1）•3n+1，相减可得：﹣2S n=6+32+33+…+3n﹣（n+1）•3n+1=3+﹣（n+1）•3n+1，化为：S n=．．故答案为：．16．（5分）设0≤α≤π，不等式2x2﹣（4sinα）x+cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为[0，]∪[，π] ．【解答】解：由题意可得，△=16sin2α﹣8os2α≤0，得2sin2α﹣（1﹣2sin2α）≤0∴sin2α≤，﹣≤sinα≤，∵0≤α≤π∴α∈[0，]∪[，π]．故答案为：三、本题共6题，17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）解不等式：（1）（2）﹣x2+4x+5＜0．【解答】解：（1）原不等式可以化为：，∴，∴，∴，∴﹣1＜x≤3；∴原不等式的解集是{x|﹣1＜x≤3}；（2）原不等式可以化为：x2﹣4x﹣5＞0，∴（x﹣5）（x+1）＞0，∴x＞5或x＜﹣1，∴原不等式的解集是{x|x＞5或x＜﹣1}．18．（12分）已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和S n．【解答】解（1）由题设知公差d≠0，由a1=1，a1，a3，a9成等比数列得（1+2d）2=1+8d，解得d=1，d=0（舍去），故{a n}的通项公式a n=1+（n﹣1）×1=n．（2）由（1）知3an=3n，∴S n=3+32+33+…+3n==．19．（12分）命题P：关于x的方程x2+ax+1=0无实根；命题q：函数y=a x（a＞0且a≠1）在R上单调递增．若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：∵x2+ax+1=0无实根∴方程x2+ax+1=0的判别式△=a2﹣4＜0（1’）∴﹣2＜a＜2（2’）∵函数y=a x（a＞0且a≠1）在R上单调递增∴a＞1（3’）∵p∧q为假命题，p∨q为真命题∴命题p，q中有一是真命题，一个是假命题（5’）当p为真命题，q为假命题时，则（7’）∴0＜a＜1（8’）当p为假命题，q为真命题时，则（10’）∴a≥2（11’）综上，实数a的取值范围是0＜a＜1或a≥2（12’）20．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b=3，a=1，C=2B．（1）求c的值；（2）求的值．【解答】解（1）∵C=2B，∴sinC=sin2B=2sinBcosB，由正、余弦定理得c=2b•，∵b=3，a=1，∴c2=12，c=2．（2）由余弦定理得cosC===﹣．∴C是钝角，B是锐角．∴由1+cos2B=2cos2B解得∴21．（12分）设命题P：实数x满足|x﹣1|＜m，（m＞0）；命题q：实数x满足；命题r：实数x满足x2﹣2ax+a﹣1＜0的集合为M，（M≠ϕ）．（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．（2）若¬r是¬q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由|x﹣1|＜m，（m＞0）解得：1﹣m＜x＜1+m（1’）由＞2，解得：﹣1＜x＜2（2’）记实数x满足|x﹣1|＜m，（m＞0）的集合为P，实数x满足＞2的集合为q，∵p是q的充分不必要条件，∴P⊊Q（3’），∴（5’），∴0＜m≤1（6’）（2）∵¬r是¬q的必要不充分条件，∴r是q的充分不必要条件（7’），∴M⊊Q（8’）∴（11’），∴0≤a≤1（12’）22．（12分）设数列{a n}（n=1，2，3…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求证：b1+b2+b3+…+b n＜2．【解答】解（1）由已知S n=2a n﹣a1，有a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），即a n=2a n﹣1（n≥2）．从而a2=2a1，a3=2a2=4a1．又因为a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2（a2+1）．所以a1+4a1=2（2a1+1），解得a1=2．所以，数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故a n=2n．（2）证明：∵2n﹣1≥2n﹣1，∴，∵，∴，∴b1+b2+b3+…=＜2赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

广西桂林市2017-2018学年高二数学上学期期中试题 文说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分．2．请在答题卷上答题(在本试卷上答题无效)第Ⅰ卷一。

选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

1．若，则下列不等式中成立的是 A. B. C 。

D 。

2．双曲线的渐近线方程是A ．B ．C ．D ． 3．命题“”的否定是 A 。

不存在 B 。

C 。

D. 4．在中，已知A=60°,，则B 的度数是A 。

45°或135° B。

135° C. 75° D 。

45°5．在等差数列中，若,则= A 。

11 B.12 C.13 D.不确定6．设集合，，则“x∈A”是“x∈B”的 A 。

充分不必要条件 B 。

必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件7．已知椭圆上的一点到焦点的距离为2，是的中点,O 为原点,则等于A ．2B ．4C ．8D ．0<<b a b a ->1<b ab a -<-b a 11<22149x y -=32y x =±23y x =±94y x =±49y x =±∀3210xR xx ∈-+，≤3210xR xx ∈-+，≤∃3210xR x x ∈-+>，∃3210xR xx ∈-+，≤∀3210xR x x ∈-+>，ABC ∆ ab ∠}{n a 295=+a a13S {}|20A xx =->{}2|20B xx x =->192522=+y x M 1F N 1MF ON 238。

已知,则的最小值为A ．8B ．6C ．D ．9. 已知中，三内角的度数成等差数列，边依次成等比数列．则是 A. 直角三角形 B 。

2017-2018学年广西桂林市阳朔中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分共60分）1．（5分）已知a，b为正实数，则“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）与命题“若a∈M则b∉M”的等价的命题是（）A．若a∉M，则b∉M B．若b∉M，则a∈M C．若a∉M，则b∈M D．若b ∈M，则a∉M3．（5分）在等差数列{a n}中，a2=2，a3=4，则a10=（）A．12 B．14 C．16 D．184．（5分）在等差数列{a n}中，已知a2=3，a5=9，则数列{a n}的公差d为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣25．（5分）“x＜0”是“﹣1＜x＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=1，，则A=（）A．150°B．30°C．60°D．120°7．（5分）在等比数列{a n}中，如果a6=6，a9=9，那么a3为（）A．4 B．C．D．28．（5分）已知等差数列{a n}的公差为3，若成等比数列，则a2=（）A．﹣9 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣109．（5分）已知等比数列a n中，a1，a13是方程x2﹣8x+1=0的两个根，则a7等于（）A．1或﹣1 B．﹣1 C．1 D．210．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．11．（5分）不等式的解集为（）A．B．C．D．12．（5分）已知对于任意的x∈（1，+∞）恒成立，则（）A．a的最小值为﹣3 B．a的最小值为﹣4C．a的最大值为2 D．a的最大值为4二、填空题（每小题5分共20分）13．（5分）不等式x2﹣x＜0的解集为．14．（5分）全称命题“∀x∈R，x2+x+3＞0”的否定是．15．（5分）已知x，y∈R*，且x+4y=1，则+的最小值为．16．（5分）下列判断：（1）命题“若q则p”与“若￢p则￢q”互为逆否命题；（2）“am2＜bm2”是“a＜b”的充要条件；（3）“矩形的两条对角线相等”的否命题是假命题；（4）命题“∅⊆{1，2}”为真命题，其中正确的序号是．三、解答题（共70分）17．（10分）已知数列{a n}是一个等差数列，且a2=1，a5=﹣5．（Ⅰ）求{a n}的通项a n；（Ⅱ）求{a n}前n项和S n的最大值．18．（12分）已知p：x2﹣4x+3＜0，q：x2﹣（m+1）x+m＜0，（m＞1）．（1）求不等式x2﹣4x+3＜0的解集；（2）若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围．19．（12分）已知等差数列{a n}，a2=9，a5=21（1）求{a n}的通项公式；（2）令b n=2，求数列{b n}的前n项和S n．20．（12分）解关于x的不等式x2﹣（2+a）x+2a＜0．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=3，a=2，求△ABC的面积．22．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1且a n+1=2S n+1（n∈N*）．（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）若c n=a n•log9a n（n∈N*），T n为数列{c n}的前n项和，求T n．2017-2018学年广西桂林市阳朔中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分共60分）1．（5分）已知a，b为正实数，则“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a＞1且b＞1，则ab＞1成立，若a=4，b=，满足ab＞1，但a＞1且b＞1不成立，故“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分不必要条件，故选：B．2．（5分）与命题“若a∈M则b∉M”的等价的命题是（）A．若a∉M，则b∉M B．若b∉M，则a∈M C．若a∉M，则b∈M D．若b ∈M，则a∉M【解答】解：由原命题和逆否命题是等价命题，知“若a∈M则b∉M”的等价命题是“若b∈M，则a∉M”，故选：D．3．（5分）在等差数列{a n}中，a2=2，a3=4，则a10=（）A．12 B．14 C．16 D．18【解答】解：∵等差数列{a n}中，a2=2，a3=4，∴d=a3﹣a2=4﹣2=2，∴a10=a3+7d=4+14=18故选：D．4．（5分）在等差数列{a n}中，已知a2=3，a5=9，则数列{a n}的公差d为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：因为a2=3，a5=9，所以等差数列{a n}的公差d==2，故选：C．5．（5分）“x＜0”是“﹣1＜x＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由﹣1＜x＜0⇒x＜0；反之不成立．∴“x＜0”是“﹣1＜x＜0”的必要不充分条件．故选：B．6．（5分）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=1，，则A=（）A．150°B．30°C．60°D．120°【解答】解：△ABC中，∵，a=1，，∴由正弦定理得，则sinA===，∴A=30°或150°，又a＜b，∴A=30°，故选：B．7．（5分）在等比数列{a n}中，如果a6=6，a9=9，那么a3为（）A．4 B．C．D．2【解答】解：∵a3=a1q2，a6=a1q5，a9=a1q8，∴a3a9=（a6）2，a3===4．故选：A．8．（5分）已知等差数列{a n}的公差为3，若成等比数列，则a2=（）A．﹣9 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10【解答】解：∵a1，a3，a4成等比数列，∴，∴，解得a1=﹣12．∴a2=﹣12+3=﹣9．故选：A．9．（5分）已知等比数列a n中，a1，a13是方程x2﹣8x+1=0的两个根，则a7等于（）A．1或﹣1 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：由题意a1，a13是方程x2﹣8x+1=0的两个根∴a1a13=1，a1+a13=8又等比数列a n中，可得数列的所有的奇数项都是正项故可得a7=1故选：C．10．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．【解答】解：作图易知可行域为一个三角形，当直线z=2x+y过点A（2，﹣1）时，z最大是3，故选：A．11．（5分）不等式的解集为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，⇒1﹣≤0⇒≤0，变形可得：（x﹣1）（2x+1）≤0且2x+1≠0，解可得：﹣＜x≤1，即不等式的解集为（﹣，1]；故选：A．12．（5分）已知对于任意的x∈（1，+∞）恒成立，则（）A．a的最小值为﹣3 B．a的最小值为﹣4C．a的最大值为2 D．a的最大值为4【解答】解：对于任意的x∈（1，+∞）恒成立，化为：a2+2a+2≤+x=f（x）的最小值．f′（x）=+1=，可得x=3时，函数f（x）取得极小值即最小值．f（3）=5．∴a2+2a+2≤5，化为：a2+2a﹣3≤0，即（a+3）（a﹣1）≤0，解得﹣3≤a≤1．因此a的最小值为﹣3．故选：A．二、填空题（每小题5分共20分）13．（5分）不等式x2﹣x＜0的解集为（0，1）．【解答】解：x2﹣x＜0的即x（x﹣1）＜0；解得0＜x＜1∴原不等式的解集为（0，1）．故答案为：（0，1）14．（5分）全称命题“∀x∈R，x2+x+3＞0”的否定是∃x∈R，有x2+x+3≤0．【解答】解：“∀x∈R，x2+x+3＞0”的否定是∃x∈R，有x2+x+3≤0故答案为∃x∈R，有x2+x+3≤0．15．（5分）已知x，y∈R*，且x+4y=1，则+的最小值为9．【解答】解：已知x，y∈R*，且x+4y=1，则+=≥5+4=9．故答案为：9．16．（5分）下列判断：（1）命题“若q则p”与“若￢p则￢q”互为逆否命题；（2）“am2＜bm2”是“a＜b”的充要条件；（3）“矩形的两条对角线相等”的否命题是假命题；（4）命题“∅⊆{1，2}”为真命题，其中正确的序号是（1）（3）（4）．【解答】解：根据逆否命题的定义（1）正确；∵m=0时m2=0，若a＜b 则am2＜bm2为假命题，故（2）不正确；∵否命题：不是矩形的四边形的对角线不相等，故（3）正确；∵∅是任何集合的子集，∴（4）正确；故答案是（1）（3）（4）三、解答题（共70分）17．（10分）已知数列{a n}是一个等差数列，且a2=1，a5=﹣5．（Ⅰ）求{a n}的通项a n；（Ⅱ）求{a n}前n项和S n的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得公差，所以a n=a2+（n﹣2）d=1+（n﹣2）×（﹣2）=﹣2n+5；（Ⅱ）a1=3，=﹣（n﹣2）2+4，当n=2时，前n项和取得最大值，最大值为4．18．（12分）已知p：x2﹣4x+3＜0，q：x2﹣（m+1）x+m＜0，（m＞1）．（1）求不等式x2﹣4x+3＜0的解集；（2）若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围．【解答】解：（1）因为x2﹣4x+3＜0，所以（x﹣1）（x﹣3）＜0，所以1＜x＜3．所求解集为{x|1＜x＜3}．（2）由题意得：（x﹣m）（x﹣1）＜0当m＞1时，不等式x2﹣（m+1）x+m＜0的解是1＜x＜m，因为p是q的充分不必要条件，所以x2﹣4x+3＜0的解集是x2﹣（m+1）x+m＜0，（m＞1）解集的真子集．所以m＞3．当m＜1时，不等式x2﹣（m+1）x+m＜0的解是m＜x＜1，因为p是q的充分不必要条件，所以x2﹣4x+3＜0的解集是x2﹣（m+1）x+m＜0，（m＜1）解集的真子集．因为当m＜1时{x|1＜x＜3}∩{x|m＜x＜1}=Ø，所以m＜1时p是q的充分不必要条件不成立．综上，m的取值范围是（3，+∞）．19．（12分）已知等差数列{a n}，a2=9，a5=21（1）求{a n}的通项公式；（2）令b n=2，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，依题意得方程组解得a1=5，d=4．所以{a n}的通项公式为a n=4n+1．（2）由a n=4n+1得，因为，所以{b n}是首项，公式q=24的等比数列．于是得{b n}的前n项和．20．（12分）解关于x的不等式x2﹣（2+a）x+2a＜0．【解答】解：不等式x2﹣（2+a）x+2a＜0化为（x﹣2）（x﹣a）＜0，①若a＞2，则不等式的解集是（2，a）；②若a=2，则不等式的解集是∅；③若a＜2，则不等式的解集是（a，2）．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=3，a=2，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ），所以，因为0＜A＜π，所以sinA≠0，所以，即．因为0＜B＜π，所以．法一（Ⅱ）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得9=4+c2﹣2c即c2﹣2c﹣5=0，所以，（c＞0）所以△ABC的面积为．法二（Ⅱ）由正弦定理得，所以，因为a＜b，所以，所以，所以，所以△ABC的面积为．22．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1且a n+1=2S n+1（n∈N*）．（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）若c n=a n•log9a n（n∈N*），T n为数列{c n}的前n项和，求T n．=2S n+1，a n=2S n﹣1+1（n≥2，n∈N*），【解答】解：（1）由已知得a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n，即a n+1=3a n（n≥2，n∈N*）．两式相减得a n+1又a2=2S1+1=2a1+1=3=3a1，所以a n+1=3a n（n∈N*）所以数列{a n}是以1为首项，公比为3的等比数列．（2）由（1）知a n=3n﹣1，于是，于是，，相减得：解得：．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：x-a a-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．ABFEDCF。

2017-2018学年广西桂林中学高二（上）期中数学试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中成立的是（）A．|a|＞﹣b B．C．D．2．（5分）命题“若a＜b，则a+c＜b+c”的逆否命题是（）A．若a+c＜b+c，则a＞b B．若a+c＞b+c，则a＞bC．若a+c≥b+c，则a≥b D．若a+c＜b+c，则a≥b3．（5分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．∃x∈R，x3﹣x2+1≥0 B．∃x∈R，x3﹣x2+1＞0C．∃x∈R，x3﹣x2+1≤O D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞04．（5分）在△ABC中，A=60°，，则∠B等于（）A．45°或135°B．135°C．45°D．30°5．（5分）已知等差数列{a n}中，a5+a9=2，则S13=（）A．11 B．12 C．13 D．146．（5分）“2＜m＜6”是“方程+=1为椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知有（）A．最大值B．最小值C．最大值1 D．最小值18．（5分）某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°，距离为12海里，灯塔C 在A的北偏西30°，距离为8海里，游轮由A向正北方向航行到D处时再看灯塔B在南偏东60°则C与D的距离为（）A．20海里B．8海里C．23海里D．24海里9．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣310．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，） C．（0，3） D．（0，）11．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=112．（5分）若直线l被圆x2+y2=4所截得的弦长为，l与曲线的公共点个数为（）A．1个 B．2个 C．1个或2个D．1个或0个二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）平面内动点P（x，y）与两定点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率之积等于，则点P的轨迹方程为．14．（5分）若命题“∃x∈R，x2+2mx+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围是．15．（5分）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（单位：元）16．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.17．（10分）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（1）求{a n}的通项公式；（2）若等比数列{b n}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求{b n}的前n项和公式．18．（12分）已知△abc的周长为10，且sinB+sinC=4sinA．（Ⅰ）求边长a的值；（Ⅱ）若bc=16，求角A的余弦值．19．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．20．（12分）已知双曲线过点（3，﹣2）且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点．（1）求双曲线的标准方程；（2）若点M在双曲线上，F1、F2为左、右焦点．且|MF1|+|MF2|=6，试判断△MF1F2的形状．21．（12分）已知等差数列{a n}的公差大于0，且a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，数列{b n}的前n项的和为S n，且．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=a n•b n，求证：c n+1≤c n；（Ⅲ）求数列{c n}的前n项和．22．（12分）已知椭圆C：+x2=1，过点（0，m）作圆x2+y2=1的切线交椭圆C 于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆C的焦点坐标和离心率；（Ⅱ）将|AB|表示成m的函数，并求|AB|的最大值．2017-2018学年广西桂林中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中成立的是（）A．|a|＞﹣b B．C．D．【解答】解：∵a＜0，∴|a|=﹣a，∵a＜b＜0，∴﹣a＞﹣b＞0，∴|a|＞﹣b，故结论A成立；取a=﹣2，b=﹣1，则∵，∴B不正确；，∴，∴C不正确；，，∴，∴D不正确．故选：A．2．（5分）命题“若a＜b，则a+c＜b+c”的逆否命题是（）A．若a+c＜b+c，则a＞b B．若a+c＞b+c，则a＞bC．若a+c≥b+c，则a≥b D．若a+c＜b+c，则a≥b【解答】解：把“若a＜b，则a+c＜b+c”看做原命题，它的逆否命题是题设和结论否定并且要交换位置，∴它的逆否命题是：“若a+c≥b+c，则a≥b”，故选：C．3．（5分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．∃x∈R，x3﹣x2+1≥0 B．∃x∈R，x3﹣x2+1＞0C．∃x∈R，x3﹣x2+1≤O D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞0【解答】解：将量词否定，结论否定，可得∃x∈R，x3﹣x2+1＞0故选：B．4．（5分）在△ABC中，A=60°，，则∠B等于（）A．45°或135°B．135°C．45°D．30°【解答】解：∵A=60°，由正弦定理可得，∴∵a＞b∴A＞B∴B=45°故选：C．5．（5分）已知等差数列{a n}中，a5+a9=2，则S13=（）A．11 B．12 C．13 D．14【解答】解：∵在等差数列{a n}中，S n=∴S13====13故选：C．6．（5分）“2＜m＜6”是“方程+=1为椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若方程+=1为椭圆方程，则，解得：2＜m＜6，且m≠4，故“2＜m＜6”是“方程+=1为椭圆方程”的必要不充分条件，故选：B．7．（5分）已知有（）A．最大值B．最小值C．最大值1 D．最小值1【解答】解：≥1当且仅当x=3时取等号，故选：D．8．（5分）某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°，距离为12海里，灯塔C 在A的北偏西30°，距离为8海里，游轮由A向正北方向航行到D处时再看灯塔B在南偏东60°则C与D的距离为（）A．20海里B．8海里C．23海里D．24海里【解答】解：如图，在△ABD中，因为在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°的方向上，距离为海里，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向上，所以B=180°﹣75°﹣60°=45°，由正弦定理，所以AD===24海里；在△ACD中，AD=24，AC=8，∠CAD=30°，由余弦定理可得：CD2=AD2+AC2﹣2•AD•ACcos30°=242+（8）2﹣2×24×8×=192，所以CD=8海里；故选：B．9．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2，故选：B．10．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，） C．（0，3） D．（0，）【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，当焦点在x轴上时，可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，∵方程﹣=1表示双曲线，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）．当焦点在y轴上时，可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，无解．故选：A．11．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=1【解答】解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，∴（2，2）在椭圆C：+=1（a＞b＞0）上∴又∵∴∴a2=4b2∴a2=20，b2=5∴椭圆方程为：+=1故选：D．12．（5分）若直线l被圆x2+y2=4所截得的弦长为，l与曲线的公共点个数为（）A．1个 B．2个 C．1个或2个D．1个或0个【解答】解：∵直线l被圆x2+y2=4所截得的弦长为，∴圆心到直线l的距离为1∴直线l是圆x2+y2=1的切线∵圆x2+y2=1内切于∴直线l与相切或相交故选：C．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）平面内动点P（x，y）与两定点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率之积等于，则点P的轨迹方程为（x≠±2）．【解答】解：设动点P坐标为（x，y），当x≠±2时，由条件得：，化简得，故点P的轨迹方程为（x≠±2）．故答案为：（x≠±2）．14．（5分）若命题“∃x∈R，x2+2mx+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围是（0，1）．【解答】解：∵命题“∃x∈R，使得x2+2mx+m≤0”，∴命题“∃x∈R，使得x2+2mx+m≤0”的否定是“∀x∈R，使得x2+2mx+m＞0”．∵命题“∃x∈R，使得x2+2mx+m≤0”是假命题，∴命题“∀x∈R，使得x2+2mx+m＞0”是真命题．∴方程x2+2mx+m=0的判别式：△=4m2﹣4m＜0．∴0＜m＜1．故答案为：（0，1）．15．（5分）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是160（单位：元）【解答】解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，故底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80，∵a+b≥2=4，故当a=b=2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，故答案为：16016．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=，可得：=，即，可得离心率为：e=．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.17．（10分）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（1）求{a n}的通项公式；（2）若等比数列{b n}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求{b n}的前n项和公式．【解答】解：（1）在等差数列{a n}中，由a3=﹣6，a6=0，得d=，∴a n=a6+（n﹣6）d=2n﹣12；（2）在等比数列{b n}中，b1=﹣8，b2=a1+a2+a3=﹣10+（﹣8）+（﹣6）=﹣24，∴q=，∴{b n}的前n项和公式．18．（12分）已知△abc的周长为10，且sinB+sinC=4sinA．（Ⅰ）求边长a的值；（Ⅱ）若bc=16，求角A的余弦值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）根据正弦定理，sinB+sinC=4sinA，可化为b+c=4a，…（3分）联立方程组，解得a=2．…（5分）所以，边长a=2．…（6分）（Ⅱ）由bc=16，又由（Ⅰ）得b+c=8，得b=c=4，…（8分）∴=．…（10分）因此，所求角A的余弦值是．…（12分）19．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，解得a＜x＜3a．命题q：实数x满足．化为，解得，即2＜x≤3．（1）a=1时，p：1＜x＜3．p∧q为真，可得p与q都为真命题，则，解得2＜x＜3．实数x的取值范围是（2，3）．（2）∵p是q的必要不充分条件，∴，a＞0，解得1＜a≤2．∴实数a的取值范围是（1，2]．20．（12分）已知双曲线过点（3，﹣2）且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点．（1）求双曲线的标准方程；（2）若点M在双曲线上，F1、F2为左、右焦点．且|MF1|+|MF2|=6，试判断△MF1F2的形状．【解答】解：（1）椭圆4x2+9y2=36可化为，焦点坐标为（±，0），设双曲线的方程为，代入点（3，﹣2），可得=1，∴a2=3，∴双曲线的标准方程为；（2）不妨设M在双曲线的右支上，则|MF1|﹣|MF2|=2，∵|MF1|+|MF2|=6，∴|MF1|=4，|MF2|=2，∵|F1F2|=2，∴由余弦定理可得cos∠MF2F1=＜0，∴△MF1F2是钝角三角形．21．（12分）已知等差数列{a n}的公差大于0，且a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，数列{b n}的前n项的和为S n，且．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=a n•b n，求证：c n+1≤c n；（Ⅲ）求数列{c n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，且数列{a n}的公差d ＞0，∴a3=5，a5=9，公差．∴a n=a5+（n﹣5）d=2n﹣1．又当n=1时，有∴当，∴．∴数列{b n}是首项，公比等比数列，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴．≤c n；∴c n+1（Ⅲ），设数列{c n}的前n项和为T n，∵（1）∴=（2 ）（1）﹣（2）得：=化简得：22．（12分）已知椭圆C：+x2=1，过点（0，m）作圆x2+y2=1的切线交椭圆C 于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆C的焦点坐标和离心率；（Ⅱ）将|AB|表示成m的函数，并求|AB|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆的半长轴长a=2，半短轴长b=1，半焦距，（2分）∴焦点坐标是，，离心率是；（5分）（Ⅱ）易知|m|≥1，当|m|=1时，切线AB方程为y=1或y=﹣1，此时；（6分）当|m|＞1时，易知切线AB方程斜率不为0，可设切线AB的方程为：y=kx+m，即kx﹣y+m=0，则，得：k2=m2﹣1①联立：，得：，整理：（k2+4）x2+2kmx+m2﹣4=0（8分）其中△=（2km）2﹣4（k2+4）（m2﹣4）=﹣16m2+16k2+64则②①代入②：，（10分）而，等号成立当且仅当，即时．（12分）。