【新坐标】高考数学 第8章第7节 (文).doc

高三数学第八章知识点归纳高三是学生们迎接人生重要转折点的一年，在这一年里，他们承受着巨大的学业压力和心理压力。

而在数学这个学科中，第八章的内容是高考数学中重要而又关键的一部分。

因此，我们有必要对高三数学第八章的知识点进行归纳总结，以帮助学生们更好地掌握其中的要点。

第八章主要涉及函数与导数的知识。

首先，我们来看一下函数的概念。

函数是一种特殊关系，在数学中是指根据一个或多个自变量的取值，确定唯一的一个因变量的取值。

函数的表示方法有很多，常见的有显式函数、隐式函数和参数方程等。

在函数的基础知识掌握之后，我们就可以进一步学习函数的性质和运算法则了。

例如，函数的奇偶性是我们比较常见的一个性质。

如果一个函数满足f(-x)=-f(x)，那么我们称这个函数为奇函数；如果一个函数满足f(-x)=f(x)，那么我们称这个函数为偶函数。

对于奇函数和偶函数，我们可以根据对称性质来推导其它性质。

接下来，我们来看一下导数的概念和计算方法。

导数是函数在某一点上的变化率，也可以理解为函数图像在该点上的切线斜率。

导数的定义是极限的一个重要应用，它可以通过极限的方法求得。

计算导数有很多方法，例如常用的有利用定义法、利用基本导函数和利用函数关系等。

了解了导数的概念和计算方法之后，我们就可以进一步学习函数的增减性和极值问题了。

函数的增减性是指函数图像在某个区间上是单调递增还是递减。

根据导数的符号来判断函数的增减性，当导数大于零时，函数递增；当导数小于零时，函数递减。

而极值问题是指函数图像在某一点上的极大值或极小值。

通过导数的方法来求解极值问题，可以先求出导数为零或不存在的点，然后通过判断导数的符号来确定函数的极值。

在掌握了函数的增减性和极值问题之后，我们还需要学习函数的图像与函数的性质之间的关系，以此来进一步理解函数的性质。

例如，函数的单调性与导函数的正负性之间有密切的关系。

当函数的导数大于零时，函数是递增的；当函数的导数小于零时，函数是递减的。

第八章平面解析几何第一节 直线的倾斜角与斜率、直线方程[考纲传真]1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角 (1)定义(2)范围[0，π)． 2．直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角α不是90°，则其斜率k ＝tan _α；(2)斜率公式：若由A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)确定的直线不垂直x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1．3．直线方程的五种形式1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( )(3)过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可用方程y －y 0＝k(x －x 0)表示．( )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )[解析] 显然(1)正确，(2)错误．(3)中，若斜率不存在，直线方程为x ＝x 0；若斜率存在，直线方程才可设为y －y 0＝k(x －x 0)，(3)不正确．(4)利用两点式方程，可知(4)正确． [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)直线x sin α－y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2B ．(0，π)C .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4D .⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π[解析] 由x sin α－y ＋1＝0，得y ＝x sin α＋1， ∴直线的斜率k ＝sin α∈[－1，1]． 设直线的倾斜角为θ，则－1≤tan θ≤1. 所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.[答案] D3．(2015·济南质检)若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3[解析] 圆的方程(x ＋1)2＋(y －2)2＝5， 圆心为(－1，2)．∵直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a ＝0， ∴a ＝1. [答案] B4．(2014·福建高考)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0[解析] 圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0，3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.[答案] D5．直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝________． [解析] 令x ＝0，则l 在y 轴上的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a. 依题意2＋a ＝1＋2a ，解得a ＝1或a ＝－2. [答案] 1或－2考向1 直线的倾斜角和斜率【典例1】 (1) 若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A .13B ．－13C ．－32D .23(2)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0(a∈R )的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π[解析] (1)设P (x ，1)，Q (7，y )， 则x ＋72＝1，y ＋12＝－1，∴x ＝－5，y ＝－3，即P (－5，1)，Q (7，－3)， 故直线l 的斜率k ＝－3－17＋5＝－13.(2)由直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0， 得直线的斜率k ＝－1a 2＋1∈[－1，0)， 设直线的倾斜角为θ，则－1≤tan θ<0. 因此3π4≤θ<π.[答案] (1)B (2)B 【规律方法】1．求解本例(2)时，易错求tan θ＝k ≤1，导致错选C.2．直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．【变式训练1】 (1)(2015·德州质检)直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率k 的取值范围是( )A ．－1＜k ＜15B ．k ＞1或k ＜12C ．k ＞15或k ＜1D ．k ＞12或k ＜－1(2)直线l 经过A (2，1)，B (1，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________．[解析] (1)设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k.令－3＜1－2k ＜3，解不等式得k ＜－1或k ＞12.(2)直线l 的斜率k ＝1＋m 22－1＝1＋m 2≥1，∴k ＝tan α≥1，又y ＝tan α在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，因此π4≤α<π2.[答案] (1)D (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 考向2 求直线的方程(高频考点)命题视角 求直线的方程是命题的热点，常以客观题的形式呈现．主要命题的角度：(1)根据条件求直线方程；(2)求方程中相关参数的取值或范围；(3)借助直线与直线、直线与圆的位置关系考查直线方程的求法．【典例2】 (1)(2012·湖北高考)过点P(1，1)的直线，将圆形区域{(x ，y)|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0(2)经过点A(3，4)，且在两坐标轴上截距相等的直线方程是________．[思路点拨] (1)由题意知，要使两部分的面积之差最大，只需所求直线与直线OP 垂直，利用这一条件求出斜率，进而求得直线的方程．(2)分截距是否为0两种情形求解．[解析] (1)设过P 点的直线为l ，当OP⊥l 时，过P 点的弦最短，所对的劣弧最短，此时，得到的两部分的面积之差最大．由点P(1，1)知k OP ＝1，∴所求直线的斜率k ＝－1. 所求直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)设直线在x ，y 轴上的截距均为a. ①若a ＝0，即直线过点(0，0)及(3，4)， ∴直线的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0.②若a≠0，则设所求直线的方程为x a ＋ya＝1，又点(3，4)在直线上， ∴3a ＋4a ＝1，∴a ＝7， ∴直线的方程为x ＋y －7＝0.[答案] (1)A (2)4x －3y ＝0或x ＋y －7＝0 【通关锦囊】1．(1)第(1)小题求解的关键是通过图形(略)直观发现当面积之差最大时，所求直线与直线OP 垂直．(2)截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解．2．求直线方程的方法主要有两种：直接法与待定系数法．运用待定系数法要先设出直线方程，再根据条件求出待定系数．利用此方法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．【变式训练2】 (1)求过点A(1，3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程．(2)求经过点A(－5，2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． [解] (1)设所求直线的斜率为k ，依题意 k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0. 当直线过原点时，斜率k ＝－25，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.考向3 直线方程的应用【典例3】 已知直线l 过点M(1，1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l 的方程． [解] (1)设A(a ，0)，B(0，b)(a>0，b>0)． 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1b＝1，所以|OA|＋|OB|＝a ＋b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. (2)设直线l 的斜率为k ，则k<0，直线l 的方程为y －1＝k(x －1)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ，0，B(0，1－k)， 所以|MA|2＋|MB|2＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k)2＝2＋k 2＋1k 2≥2＋2k 2·1k2＝4，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时，上式等号成立．∴当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 【规律方法】1．求解本题的关键是找出|OA|＋|OB|与|MA|2＋|MB|2取得最小值的求法，两小题中恰当设出方程的形式，利用基本不等式求解，但一定要注意等号成立的条件．2．利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式．一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式．【变式训练3】已知直线l 过点P(3，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如图8­1­1所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．图8­1­1[解] 法一：设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，则A(a ，0)，B(0，b)，△ABO的面积S ＝12ab ，∵直线l 过点P(3，2)，∴3a ＋2b＝1≥26ab，即ab≥24. 当且仅当3a ＝2b，即a ＝6，b ＝4时取等号．∴S ＝12ab ≥12，当且仅当a ＝6，b ＝4时有最小值12.此时直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.法二：设直线l 的方程为y －2＝k(x －3)(k ＜0)． 令x ＝0，得y ＝2－3k ；令y ＝0，得x ＝3－2k，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ，0，B(0，2－3k)． ∴S △ABO ＝12(2－3k)⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋（－9k ）＋4（－k ） ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 （－9k ）·4（－k ）＝12×(12＋12)＝12.当且仅当－9k ＝4－k 即k ＝－23时，S △ABO 的最小值为12. 故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0.掌握1条规律 斜率k 是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k ＝tan α.直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率．由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．熟记2种方法 求直线方程的方法1．直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程． 2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)．求出待定系数，从而求出直线方程．勿忘3点注意 1.应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在． 2.应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0. 3.由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时，易忽视判定B 是否为0.当B ＝0时，k 不存在；当B≠0时，k ＝－AB.思想方法之13巧用直线斜率的意义解题(2013·安徽高考)函数y ＝f(x)的图象如图8­1­2所示，在区间[a ，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2＝…＝f （x n ）x n ，则n 的取值范围是( )A ．{3，4}B ．{2，3，4}C ．{3，4，5}D ．{2，3}图8­1­2[解析] 设曲线y ＝f(x)上任意一点的坐标为(x ，f(x))． 则f （x ）x表示曲线上任意一点与坐标原点连线的斜率．若f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2＝…＝f （x n ）x n(n≥2)， 则曲线y ＝f(x)上存在n 个点与原点连线的斜率相等． ∴过原点的直线与曲线y ＝f(x)有n 个交点．如图所示，由图形直观，直线与曲线可以有2个交点，3个交点，或4个交点． [答案] B 【智慧心语】易错提示：(1)本题出错主要原因是不能将问题转化为图象上的点与原点连线的斜率问题．(2)题意不清，抽象思维能力差，难以将问题进一步转化为判定过原点的直线与曲线y ＝f(x)有n 个交点．防范措施：(1)正确理解和掌握斜率公式的结构特征，并灵活应用． (2)提高分析问题、解决问题的能力，注意文字、图形、符号间的相互转化．【类题通关】 已知直线l 过坐标原点，若直线l 与线段2x ＋y ＝8(2≤x≤3)有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．[解析] 设直线l 与线段2x ＋y ＝8(2≤x≤3)的公共点为P(x ，y)． 则点P(x ，y)在线段AB 上移动，且A(2，4)，B(3，2)，∴直线l 的斜率k ＝k OP ＝y x .又k OA ＝2，k OB ＝23.如图所示，可知23≤k ≤2.∴直线l 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2. [答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2课后限时自测[A 级 基础达标练]一、选择题1．直线x sin π7＋y cos π7＝0的倾斜角α是( )A ．－π7 B .π7 C .5π7 D .6π7[解析] ∵tan α＝－sinπ7cosπ7＝－tan π7＝tan 67π，∵α∈[0，π)， ∴α＝67π.[答案] D2．(2015·济南质检)过点(2，1)，且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( )A ．x ＝2B ．y ＝1C ．x ＝1D ．y ＝2[解析] ∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为34π.依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，斜率不存在，∴过点(2，1)的所求直线方程为x ＝2. [答案] A3．直线mx －y ＋2m ＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标是( )A ．(－2，1)B ．(2，1)C ．(1，－2)D ．(1，2)[解析] mx －y ＋2m ＋1＝0，即m(x ＋2)－y ＋1＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，－y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，故定点坐标为(－2，1)． [答案] A4．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x－3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x－1)[解析] 设点B 的坐标为(a ，0)(a>0)，由OA ＝AB ， 得12＋32＝(1－a)2＋(3－0)2，则a ＝2. ∴点B(2，0)，易得k AB ＝－3.由两点式，得AB 的方程为y －3＝－3(x －1)．[答案] D5．(2015·淄博联考)已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l 过点P(1，1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥34或k≤－4 B ．－4≤k≤34C .34≤k ≤4D ．－34≤k ≤4[解析] 如图所示，∵k PN ＝1－（－2）1－（－3）＝34，k PM ＝1－（－3）1－2＝－4.∴要使直线l 与线段MN 相交，当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PN ；当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k PM .由已知得k≥34或k≤－4.[答案] A 二、填空题6．直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P 、Q 两点，线段PQ 中点是(1，－1)，则l 的斜率是________．[解析] 设P(m ，1)，则Q(2－m ，－3)， ∴(2－m)＋3－7＝0， ∴m ＝－2，∴P(－2，1)， ∴k ＝1＋1－2－1＝－23.[答案] －237．(2015·济南调研)过点A(2，3)，且将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线方程为________．[解析] 圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的圆心C(1，2)， 依题意知，点A(2，3)，C(1，2)在所求直线上，由两点式得y －23－2＝x －12－1，即x －y ＋1＝0.[答案] x －y ＋1＝08．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是________．[解析] ∵直线l 恒过定点()0，－3. 作出两直线的图象，如图所示，从图中看出，直线l 的倾斜角的取值范围应为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 三、解答题9．(2015·日照一中月考)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a∈R )． (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． [解] (1)当直线过原点时，在x 轴和y 轴上的截距为零． ∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0， ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.因此直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）＝0，a －2≤0. ∴a ≤－1.综上可知a 的取值范围是a ≤－1.10．过点A(1，4)引一条直线l ，它与x 轴，y 轴的正半轴交点分别为(a ，0)和(0，b)，当a ＋b 最小时，求直线l 的方程．[解] 法一 由题意，设直线l ：y －4＝k(x －1)，k ＜0，则a ＝1－4k ，b ＝4－k.∴a＋b ＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －k ≥5＋4＝9.当且仅当k ＝－2时，取“＝”． 故得l 的方程为y ＝－2x ＋6. 法二 设l ：x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，由于l 经过点A(1，4)， ∴1a ＋4b＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝5＋4a b ＋b a ≥9， 当且仅当4a b ＝ba 时，即b ＝2a 时，取“＝”即a ＝3，b ＝6.∴所求直线l 的方程为x 3＋y6＝1，即y ＝－2x ＋6.[B 级 能力提升练]1．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|PA|＝|PB|，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( )A ．2x ＋y －7＝0B ．x ＋y －5＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x －y －1＝0[解析] 由条件得点A 的坐标为(－1，0)，点P 的坐标为(2，3)，因为|PA|＝|PB|，根据对称性可知，点B 的坐标为(5，0)，从而直线PB 的方程为y －3－3＝x －25－2，整理得x ＋y －5＝0.[答案] B2．如图8­1­3所示，点A 、B 在函数y ＝tan (π4x －π2)的图象上，则直线AB 的方程为________．图8­1­3[解析] 由图象知A(2，0)，B(3，1)，由两点式得直线的方程为y －10－1＝x －32－3，整理得x －y －2＝0.[答案] x －y －2＝03．(2015·青岛调研)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a∈R )． (1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；(2)若a >－1，直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点，O 为坐标原点，求△OMN 面积取最小值时，直线l 的方程．[解] (1)①当直线l 经过坐标原点时，该直线在坐标轴上的截距均为0，此时a ＋2＝0，∴a ＝－2.因此直线l 的方程为x －y ＝0.②当直线l 不经过坐标原点，则a ≠－2且a ≠－1. 依题意，a ＋2a ＋1＝a ＋2，解得a ＝0. 此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.综上，直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0. (2)易求M ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋2a ＋1，0，N (0，2＋a )，∵a >－1，所以S △OMN ＝12·a ＋2a ＋1·(2＋a )＝12·[（a ＋1）＋1]2a ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（a ＋1）＋1a ＋1＋2≥2， 当且仅当a ＋1＝1a ＋1，即a ＝0时，等号成立． 故所求直线l 的方程为x ＋y －2＝0.第二节 两条直线的位置关系[考纲传真]1．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直． 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．1．两条直线平行与垂直 (1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2． ②当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1． ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 3．距离1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( ) (4)点P(x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b|1＋k2.( ) [解析] (1)中，l 1∥l 2，或l 1与l 2重合，不正确．(2)中，可能一条直线的斜率不存在，另一直线的斜率为0，故错误．显然(3)正确．(4)中的距离为|kx 0－y 0＋b|1＋k2，不正确． [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0[解析] 设所求直线为x －2y ＋c ＝0(c≠－2)， 由点(1，0)在直线上，则c ＝－1， ∴所求直线的方程为x －2y －1＝0. [答案] A3．若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________． [解析] ∵直线x －2y ＋5＝0与2x ＋my －6＝0互相垂直， ∴12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m ＝－1， ∴m ＝1. [答案] 14．(2015·聊城质检)过点A(1，2)且与原点距离最大的直线方程是________． [解析] 由题意，所求直线与OA 垂直， 因k OA ＝2，则所求直线的斜率k ＝－12.所以直线的方程是y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.[答案] x ＋2y －5＝05．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．[解析] y ＝ax 2＋b x 的导数为y′＝2ax －b x 2，直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.[答案] －3考向1 两条直线的平行与垂直【典例1】 (1)设a∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2013·辽宁高考)已知点O (0，0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0[解析] (1)当a ＝1时，显然l 1∥l 2，若l 1∥l 2，则a (a ＋1)－2×1＝0， ∴a ＝1或a ＝－2.所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件． (2)显然O 不是直角顶点，否则a ＝0，点O 与B 重合． ①若∠A ＝π2，则b ＝a 3≠0.②若∠B ＝π2，根据斜率关系可知a 2·a 3－b a ＝－1，∴a (a 3－b )＝－1，即b －a 3－1a＝0，综上①②知(b －a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a ＝0.[答案] (1)A (2)C 【规律方法】1．第(2)题中，△OAB 的直角顶点A 、B 不确定，应注意分情况讨论，误把讨论的结果当作“且”的情况而错选D.2．判定直线间的位置关系，要注意直线方程中字母参数取值的影响，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，还要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x 、y 的系数不能同时为零这一隐含条件．【变式训练1】 (2014·福建高考)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0[解析] 圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0，3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.[答案] D考向2 两直线的交点与距离问题【典例2】 若直线l 过点A(1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点，且|AB|＝5，求直线l 的方程．[解] ①过点A(1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1，4)，此时|AB|＝5，即直线l 的方程为x ＝1.②设过点A(1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k(x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k （x －1）.得x ＝k ＋7k ＋2，且y ＝4k －2k ＋2.(k≠－2，否则与已知直线平行)． 则B 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2.又A(1，－1)，且|AB|＝5.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52，解得k ＝－34. 因此y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0. 【规律方法】1．(1)求直线l 时，注意直线l 斜率不存在的情形x ＝1.(2)求两直线的交点坐标，转化为求两直线方程组成的方程组的解．2．(1)求点到直线的距离时，首先将方程化为一般方程，再代入公式计算．(2)求两平行线间的距离时，需先把两平行线方程中x ，y 的系数化为相同的形式．【变式训练2】 (1)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．(2)求过点P(2，－1)且与原点距离为2的直线l 的方程．[解] (1)法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1、l 2的交点坐标为(－1，2)，∵l 3的斜率为35，∴l 的斜率为－53，则直线的点斜式方程l ：y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.法二：由于l 过l 1、l 2的交点，故l 是直线系3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0中的一条，将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0， 其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53，解得λ＝15，代入直线系方程即得l 的方程为5x ＋3y －1＝0. (2)若l 的斜率不存在，则直线x ＝2满足条件． 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k(x －2)， 即kx －y －2k －1＝0.由已知，得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34. 此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.考向3 对称问题(高频考点)命题视角 对称问题是高考的热点，常在客观题中考查或在解答题中做为题设条件与相关知识综合考查，主要命题角度：(1)中心对称；(2)点关于直线的对称；(3)直线(或曲线)关于直线的对称，试题难度适中．【典例3】(2013·湖南高考改编)如图8­2­1所示，在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(4，0)，点P 是线段OB 上异于O 、B 的一点，光线从点P 出发，经AB 、OA 反射后又回到点P ，若光线QR 经过△OAB 的重心G.(1)求点P 的坐标；(2)求光线QR 所在的直线方程．图8­2­1[思路点拨] 根据光学性质，点P 关于直线AB 、OA 的对称点P 1，P 2在光线OR 上，构建方程，求点P 的坐标．[解] ∵A(0，4)，B(4，0)，∴直线AB 的方程为x ＋y －4＝0.设点P(t ，0)(0<t<4)，则点P 关于y 轴的对称点P 2(－t ，0)，设P 关于直线x ＋y －4＝0的对称点为P 1(a ，b)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ba －t ×（－1）＝－1，a ＋t 2＋b 2－4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝4－t.∴P 1(4，4－t)．因此光线QR 所在直线方程为y ＝4－t 4＋t·(x ＋t)，(*)(1)又△OAB 的重心为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43， 依题意，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43在光线QR 上， 所以43＝4－t 4＋t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋t ，解得t ＝0或t ＝43.又0<t<4.所以取t ＝43，因此点P 的坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，0.(2)将t ＝43代入方程(*)式，得光线QR 所在直线方程为3x －6y ＋4＝0. 【通关锦囊】1．第(1)题求解的关键是利用中点坐标公式，将直线关于点的中心对称转化为点关于点的对称．2．解决轴对称问题，一般是转化为求对称点问题，关键是要抓住两点，一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上．【变式训练3】 (1)直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是________．(2)(2015·青岛调研)若m>0，n>0，点(－m ，n)关于直线x ＋y －1＝0的对称点在直线x －y ＋2＝0上，那么1m ＋1n的最小值等于________．[解析] (1)设所求直线上任意一点P(x ，y)，则P 关于直线x －y ＋2＝0的对称点为P′(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－（y －y 0），得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0.(2)易知点(－m ，n)关于直线x ＋y －1＝0的对称点为M(1－n ，1＋m)， 又点M(1－n ，1＋m)在直线x －y ＋2＝0上， 则1－n －(1＋m)＋2＝0，即m ＋n ＝2.于是1m ＋1n ＝12(m ＋n)⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m m ≥1＋12·2n m ·mn＝2， 当且仅当m ＝n ＝1时，上式等号成立． 因此1m ＋1n 的最小值为2.[答案] (1)x －2y ＋3＝0 (2)2掌握1条规律 一般地，与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0(m≠C)；与之垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋n ＝0.勿忘2点注意 1.判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑． 2.(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．牢记3种对称 1.点P(x 0，y 0)关于A(a ，b)的对称点为P ′(2a －x 0，2b －y 0)． 2.设点P(x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点为P′(x′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ′－y0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k·x′＋x2＋b ，可求出x′，y ′. 3.直线关于直线的对称，可化归为点关于直线的对称．巧思妙解之7挖掘直线位置关系的几何特征解题(2014·四川高考)设m∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．[常规解法] 直线x ＋my ＝0过定点A (0，0)， 直线m (x －1)－y ＋3＝0过定点B (1，3)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋my ＝0，mx －y －m ＋3＝0.得P ⎝⎛⎭⎪⎫m （m －3）1＋m 2，3－m 1＋m 2.因此|PA |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m （m －3）1＋m 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－m 1＋m 22＝（3－m ）21＋m 2，|PB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m （m －3）1＋m 2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－m 1＋m 2－32＝（3m ＋1）21＋m 2， 所以|PA |·|PB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（3m ＋1）（m －3）1＋m 2， 令t ＝（3m ＋1）（m －3）1＋m 2，得m 2(3－t )－8m －(3＋t )＝0. 由m ∈R ，得Δ＝64＋4(3－t )(3＋t )≥0， 解之得－5≤t ≤5，因此|PA |·|PB |＝|t |≤5， 所以|PA |·|PB |的最大值为5.[巧妙解法] 直线x ＋my ＝0过定点A (0，0)， 直线m (x －1)－y ＋3＝0过定点B (1，3) 由于1·m ＋m ·(－1)＝0.∴当P 与点A 、B 不重合时，PA ⊥PB . 点P 与点A (或B )重合时，|PA |·|PB |＝0， 于是点P 在以AB 为直径的圆上，且|AB |＝10， ∴|PA |2＋|PB |2＝10，故|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时取“＝”)或设∠PAB ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 ，则|PA |＝10cos θ，|PB |＝10·sin θ，于是|PA |·|PB |＝10sin θcos θ＝5sin 2θ. ∴当θ＝π4时，|PA |·|PB |的最大值为5.[答案] 5 【智慧心语】妙解点拨：(1)审视直线方程系数关系，挖掘条件PA ⊥PB .(2)联想圆内接直角三角形的勾股定理，进而利用基本不等式或三角换元简化求解过程．反思启迪：(1)常规解法中，求交点坐标，借助两点间的距离公式求|PA |、|PB |，进而将|PA |·|PB |表示成关于m 的函数．(2)涉及直线与直线、直线与圆的位置关系的问题，应多考虑几何特征，善于利用几何直观求解，对于几何最值，要善于建立恰当的目标函数或灵活运用平面几何的性质．【类题通关】 经过直线3x －2y ＋1＝0与x ＋3y ＋4＝0的交点，且与直线x －y ＋4＝0平行的直线方程为________．[解析] 法一：设所求的直线为x －y ＋c ＝0(c ≠4)，解方程⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋1＝0，x ＋3y ＋4＝0，得两直线的交点(－1，－1)．由题意，得－1－(－1)＋c ＝0，则c ＝0. 所以所求的直线方程为x －y ＝0.法二：设所求的直线为3x －2y ＋1＋λ(x ＋3y ＋4)＝0， 即(3＋λ)x ＋(3λ－2)y ＋1＋4λ＝0. 又所求直线与x －y ＋4＝0平行， ∴3＋λ1＝3λ－2－1，且1＋4λ≠4， 解之得λ＝－14，代入，得所求直线的方程为x －y ＝0. [答案] x －y ＝0课后限时自测 [A 级 基础达标练]一、选择题1．已知点A(1，－2)，B(m ，2)且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1[解析] 因为线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，代入解得m ＝3.[答案] C2．(2015·济南调研)已知经过点P(2，2)的直线l 与直线ax －y ＋1＝0垂直，若点M(1，0)到直线l 的距离等于5，则a 的值是( )A ．－12B ．1C ．2D .12[解析] 依题意，设直线l 的方程x ＋ay ＋c ＝0， ∵点P(2，2)在l 上，且点M(1，0)到l 的距离等于 5. ∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋2a ＋c ＝0，|1＋c|1＋a 2＝ 5.消去c ，可求得a ＝2.[答案] C3．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0[解析] 直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1，1)．又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1，0)关于直线x ＝1的对称点为(3，0)． 则所求直线的方程为y －01－0＝x －31－3，即x ＋2y －3＝0.[答案] D4．(2015·潍坊模拟)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A .1710B ．8C ．2D .175[解析] ∵直线3x ＋4y －3＝0与6x ＋my ＋14＝0平行，所以3m －24＝0⇒m ＝8， 所以直线3x ＋4y －3＝0和3x ＋4y ＋7＝0的距离d ＝|7－（－3）|32＋42＝2. [答案] C5．如图8­2­2，已知A(4，0)、B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．3 3B ．6C ．210D ．2 5图8­2­2[解析] 直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P(2，0)关于直线AB 的对称点为D(4，2)，关于y 轴的对称点为C(－2，0)．则光线经过的路程为|CD|＝62＋22＝210.[答案] C 二、填空题6．过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P(0，4)距离为2的直线方程为________．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴l 1与l 2交点为(1，2)，设所求直线y －2＝k(x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， ∵P(0，4)到所求直线的距离为2，∴2＝|－2－k|1＋k 2，解得k ＝0或k ＝43. ∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0. [答案] y ＝2或4x －3y ＋2＝07．直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y －12＝0垂直，且点P(1，n)在直线mx ＋4y －2＝0上，则n 的值是________．[解析] 由两直线垂直，得2m －20＝0，则m ＝10. 代入，得直线方程为10x ＋4y －2＝0，即5x ＋2y －1＝0， 又点P(1，n)在直线5x ＋2y －1＝0上， ∴5＋2n －1＝0，得n ＝－2. [答案] －28．l 1，l 2是分别经过点A(1，1)，B(0，－1)的两条平行直线，当l 1与l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．[解析] 当AB⊥l 1时，两直线l 1与l 2间的距离最大， 由k AB ＝－1－10－1＝2，知l 1的斜率k ＝－12.∴直线l 1的方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.[答案] x ＋2y －3＝0 三、解答题9．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求分别满足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与l 2垂直；(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等． [解] (1)∵l 1⊥l 2，∴a(a －1)＋(－b)·1＝0，① 又点(－3，－1)在l 1上， ∴－3a ＋b ＋4＝0② 由①②得a ＝2，b ＝2.(2)∵直线l 2的斜率k 2＝1－a ，且l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率k 1＝1－a ，即ab ＝1－a.又∵坐标原点到这两条直线的距离相等．∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝b.故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.10．已知直线l ：(2a ＋b)x ＋(a ＋b)y ＋a －b ＝0及点P(3，4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标． (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．[解] (1)证明：直线l 的方程可化为a(2x ＋y ＋1)＋b(x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，∴直线l 恒过定点(－2，3)．(2)设直线l 恒过定点A(－2，3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大．又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15，∴直线l 的斜率k l ＝－5.故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.[B 级 能力提升练]1．(2014·泰安质检)已知点A(0，2)，B(2，0)．若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1[解析] 设点C(t ，t 2)，直线AB 的方程是x ＋y －2＝0，|AB|＝2 2.由于△ABC 的面积为2，则这个三角形中AB 边上的高h 满足方程12×22h ＝2，即h ＝ 2.由点到直线的距离公式得2＝|t ＋t 2－2|2，即|t 2＋t －2|＝2，即t 2＋t －2＝2或者t 2＋t －2＝－2.因为这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点C 有4个．[答案] A2．(2013·四川高考)在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．[解析] 设平面上任一点M ，因为|MA|＋|MC|≥|AC|，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连结AC ，BD 交于一点M ，若|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点M 为所求．∵k AC ＝6－23－1＝2，∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.① 又∵k BD ＝5－（－1）1－7＝－1，∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴M(2，4)． [答案] (2，4)3．在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得P 到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大． [解] 如图所示，设点B 关于l 的对称点为B′，连结AB′并延长交l 于P ，此时的P 满足|PA|－|PB|的值最大．设B′的坐标为(a ，b)， 则k BB ′·k l ＝－1， 即b －4a·3＝－1. ∴a ＋3b －12＝0.①又由于线段BB′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋42，且在直线l 上，∴3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a－b －6＝0.②①②联立，解得a ＝3，b ＝3，∴B ′(3，3)． 于是AB′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，即l与AB′的交点坐标为P(2，5)．第三节圆的方程[考纲传真]1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程． 2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．圆的定义及方程2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2．(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2．(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r2．1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．( )(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF >0.( )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 02＋y 02＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( ) [解析] 由圆的定义及点与圆的位置关系，知(1)(3)(4)正确． (2)中当t ≠0时，表示圆心为(－a ，－b )，半径为|t |的圆，不正确． [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )A ．x ＋y －1＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0[解析] 圆心是(1，2)，所以将圆心坐标代入检验选项C 满足． [答案] C3．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )A ．a ＜－2或a ＞23B ．－23＜a ＜0 C ．－2＜a ＜0D ．－2＜a ＜23[解析] 由题意知a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)＞0， 解得－2＜a ＜23.[答案] D4．(2014·陕西高考)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为__________________．[解析] 两圆关于直线对称则圆心关于直线对称，半径相等．圆C 的圆心为(0，1)，半径为1，标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.[答案] x 2＋(y －1)2＝15．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为____________．[解析] 由题意可得圆心(－1，0)，圆心到直线x ＋y ＋3＝0的距离即为圆的半径，故r ＝22＝2，所以圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2. [答案] (x ＋1)2＋y 2＝2。

第六节双曲线[考纲传真] 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合的思想.4.了解双曲线的简单应用．1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a>|F1F2|时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y ＝±x ，离心率为e ＝ 2.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )(2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( ) A ．2 B.62 C.52D.1D [依题意，e ＝ca ＝a 2＋3a ＝2，∴a 2＋3＝2a ，则a 2＝1，a ＝1.]3．(2017·福州质检)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B.9C ．5 D.3B [由题意知a ＝3，b ＝4，∴c ＝5.由双曲线的定义||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9.]4．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3) B.(－1，3) C ．(0,3)D.(0，3)A [∵原方程表示双曲线，且两焦点间的距离为4.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，(m 2＋n )(3m 2－n )>0，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝1，－m 2<n <3m 2，因此－1<n <3.]5．(2016·北京高考)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝__________.2 [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，易得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性知ba ＝1.又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22， 所以a 2＋b 2＝c 2＝8，因此a ＝2.](2015·全国卷Ⅰ改编)已知F 是双曲线C ：x 2－y 8＝1的右焦点，P是C 的左支上一点，A (0,66)．则△APF 周长的最小值为__________．32[由双曲线方程x2－y28＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3,0)，F1(－3,0)，当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF1|＝2.所以|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.因为|AF|＝32＋(66)2＝15为定值，所以当(|AP|＋|PF1|)最小时，△APF的周长最小，A，F1，P三点共线．又因为|AP|＋|PF1|≥|AF1|＝|AF|＝15.所以△APF周长的最小值为15＋15＋2＝32.][规律方法] 1.应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用．2．在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF1|－|PF2||＝2a 平方，建立|PF1|·|PF2|间的联系．[变式训练1]已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝()A.14 B.13C.24D.23A [由e ＝ca ＝2得c ＝2a ，如图，由双曲线的定义得|F 1A |－|F 2A |＝2a . 又|F 1A |＝2|F 2A |，故|F 1A |＝4a ， |F 2A |＝2a ，∴cos ∠AF 2F 1＝(4a )2＋(2a )2－(4a )22×4a ×2a＝14.](1)(2017·广州模拟)已知双曲线C ：x a 2－y b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )【导学号：01772317】A.x 24－y 23＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1D.x 23－y 24＝1(2)(2016·天津高考)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b ＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1D.x 24－y 212＝1(1)C (2)D [(1)由焦点F 2(5,0)知c ＝5. 又e ＝c a ＝54，得a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9.∴双曲线C 的标准方程为x 216－y 29＝1.(2)由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b 2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44＋b 2，y ＝2b 4＋b 2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b 2，y ＝－2b 4＋b2，即第一象限的交点为⎝⎛⎭⎪⎫44＋b 2，2b4＋b 2. 由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b2，4b 4＋b 2，故8×4b 4＋b2＝2b ，得b 2＝12. 故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.][规律方法] 1.确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件．“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a ，b 的值，常用待定系数法．若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)．2．对于共焦点、共渐近线的双曲线方程，可灵活设出恰当的形式求解．若已知渐近线方程为mx ＋ny ＝0，则双曲线方程可设为m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)．[变式训练2] (1)(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________________．(2)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为__________．(1)x 24－y 2＝1 (2)x 216－y 29＝1 [(1)∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ， ∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)， ∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(2)由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8.由双曲线的定义知：a ＝4，b ＝3.故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1，即x 216－y 29＝1.](1)(2016·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x a 2－y b 2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A.2B.32C. 3D.2(2)(2017·石家庄调研)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线为__________.【导学号：01772318】(1)A (2)x ±y ＝0 [(1)如图，因为MF 1⊥x 轴，所以|MF 1|＝b 2a . 在Rt △MF 1F 2中，由sin ∠MF 2F 1＝13得 tan ∠MF 2F 1＝24.所以|MF 1|2c ＝24，即b 22ac ＝24，即c 2－a 22ac ＝24，整理得c 2－22ac －a 2＝0， 两边同除以a 2得e 2－22e －1＝0. 解得e ＝2(负值舍去)．(2)由题设易知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .因为A 1B ⊥A 2C ，所以b 2a c ＋a ·－b 2a c －a＝－1，整理得a ＝b .因此该双曲线的渐近线为y ＝±ba x ，即x ±y ＝0.][规律方法] 1.(1)求双曲线的渐近线，要注意双曲线焦点位置的影响；(2)求离心率的关键是确定含a ，b ，c 的齐次方程，但一定注意e >1这一条件．2．双曲线中c 2＝a 2＋b 2，可得双曲线渐近线的斜率与离心率的关系ba ＝e 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＝c a .抓住双曲线中“六点”、“四线”、“两三角形”，研究a ，b ，c ，e 间相互关系及转化，简化解题过程．[变式训练3](2015·全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M 在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()A. 5B.2C. 3D. 2D[不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，∴M点的坐标为()2a，3a.∵M点在双曲线上，∴4a2a2－3a2b2＝1，a＝b，∴c＝2a，e＝ca＝ 2.故选D.][思想与方法]1．求双曲线标准方程的主要方法：(1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a2，b2，得双曲线方程．(2)待定系数法：即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论．①若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．②当已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．③与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．2．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程，只需将双曲线的标准方程中“1”改为“0”即可．[易错与防范]1．区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.2．双曲线的离心率大于1，椭圆的离心率e∈(0,1)．求它们的离心率，不要忽视这一前提条件，否则会产生增解或扩大取值范围．3．直线与双曲线有一个公共点时，不一定相切，也可能直线与渐近线平行．。

《课堂新坐标》2022高考数学（文）一轮总复习（人教新课标·广东专用）课后作业：第八章第六节双曲线一、选择题1．(2021·清远调研)设双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x 2．(2021·湛江测试)双曲线x216－y29＝1的右焦点到一条渐近线的距离为( )A ．4B ．2 5C ．3 D.45 3．(2021·惠州模拟)设F1和F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，若F1，F2，P(0，2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )A.32 B ．2 C.52 D ．3 4．(2021·湖南高考)已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1的焦距为10，点P(2，1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( ) A.x220－y25＝1 B.x25－y220＝1C.x280－y220＝1D.x220－y280＝15．(2021·佛山模拟)设椭圆C1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为( )A.x242－y232＝1B.x2132－y252＝1C.x232－y242＝1D.x2132－y2122＝1 二、填空题6．(2021·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x2m －y2m2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________． 7．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为________．8．(2021·重庆高考)设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b＞0)左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________．三、解答题9．设双曲线x2a2－y2b2＝1(b ＞a ＞0)的半焦距为c ，直线l 过(a ，0)，(0，b)两点，且原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率．10．(2021·广州联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线方程；(2)求证：MF1→·MF2→＝0； (3)求△F1MF2面积．11．设A ，B 分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解析及答案一、选择题1． 【解析】 由题意得b ＝1，c ＝ 3.∴a ＝2，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±22x.【答案】 C2．【解析】 依题意得，双曲线的右焦点坐标是(5，0)，渐近线方程是y ＝±34x ，因此右焦点(5，0)到渐近线y ＝±34x 的距离等于3.【答案】 C3． 【解析】 由tan π6＝c 2b ＝33得3c2＝4b2＝4(c2－a2)，则e ＝c a ＝2. 【答案】 B4． 【解析】 ∵x2a2－y2b2＝1的焦距为10，∴c ＝5＝a2＋b2.① 又双曲线渐近线方程为y ＝±b a x ，且P(2，1)在渐近线上， ∴2b a ＝1，即a ＝2b.②由①②解得a ＝25，b ＝5，故应选A.【答案】 A5．【解析】 由题意知曲线C2是以椭圆C1的焦点为焦点的双曲线，且2a ＝8，即a ＝4， 由椭圆的离心率知c 13＝513，∴c ＝5，∴b2＝c2－a2＝25－16＝9，∴曲线C2的标准方程为x216－y29＝1.【答案】 A二、填空题6．【解析】 ∵c2＝m ＋m2＋4， ∴e2＝c2a2＝m ＋m2＋4m＝5，∴m2－4m ＋4＝0，∴m ＝2.【答案】 27．【解析】 由题意知b a ＝3，抛物线的准线方程为x ＝－6， 则c ＝6，由⎩⎪⎨⎪⎧b2＝3a2，c2＝a2＋b2，c2＝36，得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝9，b2＝27， ∴双曲线方程为x29－y227＝1.【答案】 x29－y227＝18．【解析】 ∵直线y ＝b 3a x 与双曲线x2a2－y2b2＝1相交， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b 3a x ，x2a2－y2b2＝1消去y 得x ＝32a 4， 又PF1垂直于x 轴，∴32a 4＝c ，从而e ＝c a ＝324. 【答案】 324三、解答题9．【解】 由l 过两点(a ，0)、(0，b)，得l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为34c ，得ab a2＋b2＝34c. 将b ＝c2－a2代入，平方后整理，得3(c a )4－16(c a )2＋16＝0，即3e4－16e2＋16＝0， 又e ＞1，故e ＝233或e ＝2. 又∵0＜a ＜b ，∴e ＝c a ＝a2＋b2a ＝ 1＋b2a2＞2， ∴应舍去e ＝233，故所求离心率e ＝2.10．【解】 (1)∵e ＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等．∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明 ∵MF1→＝(－3－23，－m)， MF2→＝(23－3，－m)． ∴MF1→·MF2→＝(3＋23)×(3－23)＋m2＝－3＋m2， ∵M 点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴MF1→·MF2→＝0. (3)△F1MF2的底|F1F2|＝4 3.由(2)知m ＝± 3.∴△F1MF2的高h ＝|m|＝3，∴S △F1MF2＝6.11．【解】 (1)由题意知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b 23x ， 即bx －23y ＝0， ∴|bc|b2＋12＝3，∴b2＝3， ∴双曲线的方程为x212－y23＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)， 则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，将直线方程代入双曲线方程得x2－163x ＋84＝0， 则x1＋x2＝163，y1＋y2＝12， ∴⎩⎨⎧x0y0＝433，x2012－y203＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x0＝43，y0＝3， ∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．。