平面几何问题的复数解法.许兴华

高考数学如何利用复数解决几何问题高考数学对于许多学生来说是一项具有挑战性的考试，尤其是在解决几何问题时。

然而，令人鼓舞的是，我们可以利用复数来解决一些困难的几何问题。

本文将介绍如何使用复数来解决高考数学中的几何问题，并探讨复数在解决几何问题中的应用。

1. 复数与平面复数可以看作是二维空间中的点。

一个复数可以由实部和虚部组成，实部表示复数在x轴上的投影，虚部表示复数在y轴上的投影。

通过这种理解，我们可以将复数与平面上的点进行对应。

2. 复数与向量复数也可以看作是一个有方向和大小的向量。

在复数运算中，我们可以利用向量的性质来进行计算。

例如，两个复数的和可以通过将它们的实部相加、虚部相加来得到。

这种对应关系使得我们可以使用复数来进行向量运算，从而解决几何问题。

3. 复数在平面几何中的应用使用复数解决几何问题的一个常见的应用是求解平面图形的定点问题。

例如，给定一个三角形的顶点坐标，我们可以使用复数来表示这些点，并利用复数运算求解三角形的重心、垂心、外心等特殊点的坐标。

这为我们在解决高考数学中的几何问题时提供了一种简便的方法。

4. 复数在解决方程问题中的应用除了在求解定点问题时的应用，复数还可以在解决方程问题中发挥重要作用。

对于某些几何问题，我们可能需要求解方程来得到所需结果。

使用复数可以将复杂的几何问题转化为简单的代数问题，从而方便我们求解方程。

这不仅有助于提高解题速度，还可以减少错误的可能性。

5. 复数的几何意义复数具有许多独特的几何意义。

例如，两个复数的乘积表示它们在平面上的相对缩放和旋转关系。

这种几何意义帮助我们更好地理解复数运算的性质，并在解决高考数学中的几何问题时提供直观的洞察力。

综上所述，利用复数解决几何问题是一项有趣且实用的技巧，可以在高考数学中发挥重要作用。

通过理解复数与平面的对应关系、复数与向量的运算性质，我们可以有效地解决定点问题和方程问题。

同时，复数的几何意义也帮助我们更好地理解和应用复数运算。

如何利用复数解决几何问题利用复数解决几何问题在数学中，复数是一个非常有用的工具，它可以扩展我们对数字的理解。

但是，复数不仅可以用于代数学和分析学中，它们还可以用于解决几何问题。

本文将介绍如何利用复数解决几何问题。

1. 复数的基本概念首先，我们需要了解复数的基本概念。

复数由实数部分和虚数部分组成，通常用 a+bi 的形式表示，其中 a 和 b 都是实数，i 是虚数单位，满足 i²=-1。

例如，2+3i 就是一个复数，其中实数部分为 2，虚数部分为 3。

2. 复平面及其运算复数可以用复平面来表示，其中实数部分表示在实轴上的位置，虚数部分表示在虚轴上的位置。

例如，复数 2+3i 可以表示为复平面上的点 (2, 3)。

复数的加法和减法都非常简单，只需要将它们的实数部分和虚数部分分别相加或相减即可。

例如，(2+3i)+(4+5i)=6+8i。

复数的乘法和除法稍微复杂一些，但是也可以通过简单的运算得到。

例如，(2+3i)×(4+5i)=-7+22i。

3. 利用复数解决几何问题现在，我们来看看如何利用复数解决几何问题。

首先，我们需要将几何图形转化为复平面上的点。

例如，点 A 的坐标为 (2, 3)，点 B 的坐标为 (4, 5)，则线段 AB 可以表示为复数 (4-2)+(5-3)i=2+2i。

类似地，我们可以用复数来表示线段、角度、向量等几何概念。

例如，一条从原点指向点 (2, 3) 的向量可以表示为 2+3i。

然后，我们可以利用复数的运算来解决几何问题。

例如，如果我们想要求线段 AB 的长度，可以计算|2+2i|=2√2。

如果我们想要旋转点 A 90 度，可以将点 A 对应的复数乘以 i，即(2+3i)×i=-3+2i。

这样，我们就得到了一个在原点固定的坐标系中旋转了 90 度的新坐标。

4. 复数在三角形中的应用最后，我们来看看复数在三角形中的应用。

可以发现，如果我们知道三角形的三个顶点在复平面上的坐标，那么我们可以利用复数轻松地求解三角形的各种性质。

复数法证明平面几何问题复数平面即是z=a+bi ,它对应的坐标为（a,b) .其中，a表示的是复平面内的横坐标，b表示的是复平面内的纵坐标，表示实数a的点都在x轴上，所以x轴又称为“实轴”；表示纯虚数bi的点都在y轴上，所以y轴又称为“虚轴”。

y轴上有且仅有一个实点即为原点"0"。

简介数学中，复数平面（complex plane）就是用水平的实轴与横向的虚轴创建出来的为丛藓科扭口藓数的几何则表示。

它可以视作一个具备特定代数结构笛卡儿平面（实平面），一个复数的实部用沿着 x-轴的加速度则表示，虚部用沿着 y-轴的加速度则表示。

复数平面有时也叫做阿尔冈平面，因为它用于阿尔冈图中。

这是以让-罗贝尔·阿尔冈（-）命名的，尽管它们最先是挪威-丹麦土地测量员和数学家卡斯帕尔·韦塞尔（-）叙述的。

阿尔冈图经常用来标示复平面上函数的极点与零点的位置。

为丛藓科扭口藓平面的见解提供更多了一个为丛藓科扭口藓数的几何表述。

在乘法下，它们像是向量一样相乘；两个复数的乘法在极坐标下的则表示最简单——乘积的长度或模长就是两个绝对值或模长的乘积，乘积的角度或辐角就是两个角度或辐角的和。

特别地，用一个模长为1的复数相加即为为一个转动。

特点创建了直角坐标系则去则表示复数的平面叫作为丛藓科扭口藓平面，x轴叫作实轴，y 轴叫作虚轴，原点则表示实数0。

为丛藓科扭口藓平面内的每一个点，存有唯一的一个复数和它对应，反过来，每一个复数，存有为丛藓科扭口藓平面内唯一的一个点和它对应，所以复数集c和为丛藓科扭口藓平面内所有的点阿芒塔的子集就是一一对应的。

数学史17世纪时，英国数学家瓦里士已经意识到在直线上无法找出虚数的几何则表示。

年，挪威的测量学家维塞尔向丹麦科学院递交论文《方向的解析表示，特别应用于平面与球面多边形的测定》，首先提出把复数用坐标平面上的点来表示，使全体复数与平面上的点建立了一一对应关系，形成了复平面概念。

高中数学解复数平面问题的思路与方法讲解在高中数学学习中，复数平面问题是一个常见的考点，也是学生们容易感到困惑的一个难点。

本文将以具体的题目为例，通过分析和解答，介绍解决复数平面问题的思路和方法，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。

一、复数的表示与运算首先，我们需要了解复数的表示与运算。

复数可以表示为 a+bi 的形式，其中 a 和 b 分别是实数部分和虚数部分。

复数平面是以实数轴为横轴，虚数轴为纵轴，将复数表示为平面上的一个点。

例如，题目中可能给出一个复数的运算，如 (2+3i)+(4-2i)，我们可以通过将实部相加，虚部相加，得到结果 (6+1i)。

这里的关键是理解复数的实部和虚部的运算规则。

二、复数的几何意义复数平面问题的重点是理解复数的几何意义。

我们可以将复数看作是平面上的一个点，实部表示点在横轴上的位置，虚部表示点在纵轴上的位置。

这样，复数的运算就可以转化为平面上的向量运算。

例如，题目中可能给出两个复数的相加，如 (2+3i)+(4-2i)，我们可以将这两个复数在复数平面上表示出来，然后将它们的向量相加，得到结果的向量。

这里的关键是将复数的运算转化为几何上的向量运算。

三、复数平面问题的应用复数平面问题在实际中有很多应用，比如解方程、求根等。

我们可以通过具体的题目来说明这些应用。

例如，题目中可能给出一个复数方程，如 z^2+4z+5=0，我们可以通过将复数方程转化为二次方程，然后求解。

这里的关键是将复数方程转化为实数方程，然后使用二次方程的求根公式。

再例如，题目中可能给出一个复数方程组，如{ z^2+4z+5=0z^2-2z+2=0}，我们可以通过将复数方程组转化为实数方程组，然后求解。

这里的关键是将复数方程组转化为实数方程组，然后使用代数方法求解。

四、解题技巧与注意事项在解决复数平面问题时，有一些常用的解题技巧和注意事项，我们可以通过具体的题目来说明。

例如，题目中可能给出一个复数的模长和幅角，如 |z|=5，arg(z)=π/3，我们可以通过将复数表示为三角形式，然后利用三角函数的性质求解。

数学练习应用复数解决几何难题数学练习：应用复数解决几何难题数学中的几何难题常令许多学生感到困惑。

然而，通过应用复数，我们可以有效地解决一些看似复杂的几何问题。

本文将介绍如何应用复数来解决几何题目，并通过例题详细说明解题方法。

一、复数的引入复数由实数和虚数部分组成，其中虚数单位为i，满足i² = -1。

一个复数可以用形如a + bi的形式表示，其中a为实部，bi为虚部。

在解决几何难题时，我们可以将平面上的点与复数进行对应。

例如，复数a + bi可以表示平面上的一个点A。

这种对应关系将点与复数联系起来，为解决几何难题提供了方便。

二、解决几何问题的基本方法1. 平移与旋转对于平面上的点A的复数表示a + bi，我们可以通过复数的加法和乘法运算来实现平移和旋转。

平移：假设有点B，其对应的复数为c + di。

要将点A平移至点B，只需令A的复数为a + bi + (c + di)，即可将A平移至B的位置。

旋转：假设要将点A绕点O逆时针旋转θ角度，并以点O为中心旋转。

点O对应的复数为x + yi，点A对应的复数为a + bi。

进行旋转后，点A'的复数为(a - x) + (b - y)i。

即通过将A的复数减去O的复数，可以实现绕点O的旋转。

2. 距离与比例关系利用复数，我们可以轻松地计算两点之间的距离。

设点A对应的复数为a + bi，点B对应的复数为c + di，则AB的距离可以通过计算差复数的模得到，即|AB| = |(c + di) - (a + bi)|。

除了计算距离外，通过复数的比例关系也能推导出几何上的比例关系。

三、例题解析下面通过几个例题来详细说明应用复数解决几何难题的方法。

例题1：已知三角形ABC，其中AB = 3、BC = 4、AC = 5。

求三角形ABC的外接圆心O的坐标。

解析：设点A对应的复数为a，点B对应的复数为b，点C对应的复数为c。

根据复数的定义，我们可以得到：|a - b| = 3，|b - c| = 4，|c - a| = 5。

运用类比思维方法于数学教学之中（ 530021广西南宁三中 许兴华）2011/1/1关键词:类比思维,合情推理,数学教学,发现,新结论.数学家G ·波利亚说：“类比是一个伟大的引路人.”在数学的教学与研究中，类比是进行合情推理的一种非常重要的思维方法.它是大自然中各种事物之间的一种相似：当两个对象系统中某些对象间的关系存在一致性或者某些对象间存在同构关系，或者一对多的同态关系时，我们便可对这两个对象系统进行类比，从而可以从一个对象系统得到的某些结果去猜测和发现另一系统的相应的新结果；在我们分析问题解决问题的过程中则可以利用一个较简单的类比问题的解答方法或结果，去找到原问题的解决方法.在我们平时的学习与生活中处处充满着类比.可以说，类比是探索问题、解决问题与发现新结果的一种卓有成效的思维方法.在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造数学新分支的重要途径.学生在数学的学习中应该学会运用这种独特的思维方法，教师在教学过程中则应努力培养学生运用类比方法进行合情推理的能力.如果A ，B 是两个在某些方面类似的事物，从A 具有某些性质推想B 也有类似的性质，这种思维叫做类比思维.如学生在学不等式的加减移项法则时，应用等式的加减移项法则作为类比就比较容易理解这些问题.但这种类比却又容易造成以后乘除移项的失误.有些学生根据“同向不等式可以相加”、“正数的同向不等式可以相乘”，根据类比推理得出“同向不等式可以相减”、“正数的同向不等式可以相除”这样的错误结论来.这也说明类比的结果不一定正确.类比推理只是一种可能性的合情推理，而不是一种必然性的正确推理；要得到正确的结论，我们还必须经过严格的证明才行.一.运用类比方法温故知新类比是从旧知识推出新知识的一种思考方法，也是人们联想的思维工具.在学习立体几何时，对出现的新问题与平面几何的有关知识进行类比，大胆猜想，可以发现新知识，从而温故知新.如在学习三棱锥的体积时，教师应引导学生与三角形的面积进行类比：因为三角形的底边长a 对应三棱锥的底面积S ，三角形底边上的高h 对应三棱锥的底面S 上的高H ，而二维空间里的三角形的面积公式ah A 21=，所以由类比方法推测，三维空间里的三棱锥的体积应为SH V 31=.证明三角形面积公式可以把三角形补成一个平行四边形，三角形的面积是平行四边形的面积的一半.类似地，要求三棱锥的体积，应把它补全成一个三棱柱，然后再分割成三个等体积的三棱锥，这就是课本上的方法——如果我们教师运用类比的方法引导学生进行思考，那么他们对这种方法的理解就会毫无困难.另外，梯形的中位线公式)(21b a L +=,可以与台体的中截面面积公式)(21210S S S +=进行类比，这样可以加深学生的记忆.在不等式的学习中，我们有①22b a +≥2ab （a 、b ∈R ），这是大家熟悉的，证明也相当容易.特别地，②a+b ≥),(2+∈R b a ab .运用类比方法，我们与学生进行讨论：是否也有 ③a 3+b 3+c 3≥3abc （a 、b 、c ∈R ）？经探索，我们发现这是个假命题（例如a ＜0，b ＜0，c=0时不真！），只有当a 、b 、c 都为非负实数时才成立.尽管课本上用“配方法”给出了一种证明，我们现在的问题是：能否应用刚刚学过的②式证明？又如何证明呢？[思考一]∵a 3+b 3=(a+b)(a 2+b 2－ab)≥(a+b)(2ab －ab)=(a+b)ab,同理可得:b 3+c 3≥(b+c)bc ，a 3+c 3≥(a+c)ac∴2(a 3+b 3+c 3)≥(a+b)ab+(b+c)bc+(a+c)ac 即2(a 3+b 3+c 3 )≥a(b 2+c 2)+b(a 2+c 2)+c(a 2+b 2)≥6abc∴a 3+b 3+c 3≥3abc.[思考二]设A=)(31333c b a ++ , 则A ＞0 , 4A=a 3+b 3+c 3+A, 所以 4333333333333)(21)22(214A c b a A c b a A c b a A c b a A ≥+≥+++=+++= 从而A 4≥a 3b 3c 3A , ∴A ≥abc 即 a 3+b 3+c 3≥3abc.以上是通过换元后,由于与公式②进行类比,别出心裁地采用了“公式法”进行证明，达到了“出奇制胜”的良好效果.通过类比，还可以将以上结论推广为n 个正数的情形.二.通过类比发现新结论和编制数学命题数学中许多定理、公式和法则都是用类比推理提出来的.事实上，在平面几何和立体几何中，通过类比推广，可以得到一系列相近或相似的结论：（1）三角形被平行于它一边的直线所截得的三角形与原三角形的面积的比等于它们对应边的平方比.(1')棱锥被平行于它底面的平面所截得的小棱锥与原棱锥的体积的比等于它们的对应高(或对应侧棱)的立方比.把勾股定理进行类比推广，可以得到以下各定理：i ）在Rt △ABC 中，C=90°，则a 2+b 2=c 2 .ii ）长方体的对角线的平方等于从它的一个端点出发的三条棱的平方和,即.2222c b a l ++=.iii)在以D-ABC 为三直三面角的四面体ABCD 中,第四个面的面积的立方等于三直三面角的三个面的面积的立方和,即3332313S S S S ++=.iv ）长方体的一条对角线与它的一个端点出发的三条棱所成的角分别为α、β、Υ，则 cos 2α+cos 2β+cos 2Υ=1.v ）长方体的一条对角线与它相邻的三个面所成的角分别为α、β、Υ，则cos 2α+cos 2β+cos 2Υ=2.运用类比方法，是编制数学新命题的一个主要工具.例如，由公式a+b ≥2ab (a 、b ∈R +）, a+b+c ≥33abc （a 、b 、c ∈R +），可编制以下命题：1.设ab ＞0 , 求证：ba ab +≥2 . 2.设a 、b 、c ∈R +，求证：))((ca b c a b a c c b b a ++++≥9. 在上式中,令,,,z a c y c b x b a ===,则有 3.设x 、y 、z ∈R +，求证：)111)((zy x z y x ++++≥9. 在上式中,令x= a+b , y = b+c , z = c+a , (a 、b 、c ∈R +)，得 (2a+2b+2c) (ac c b b a +++++111)≥ 9 .即 ⇔≥+++++++++++29a c c b a c b c b a b a c b a 23≥+++++c b a a c b b a c 于是可得到新命题,这就是北京市的一个数学竞赛题:4.设a 、b 、c ∈R+，求证：23≥+++++c b a a c b b a c . 运用类比方法,可将以上命题推广为:5.设a i ＞0(i=1,2,…,n) , n ≥2 , 且a 1+a 2+…+ a n =S , 求证: (1).12211-≥-++-+-n n a S a a S a a S a n n (2) .1221-≥-++-+-n n a S S a S S a S S n 三.通过类比发现解题的思维方向类比不仅是一种从特殊到特殊的推理方法,也是一种探索解题思路、猜测问题答案或结论的一种有效的方法.这对数学教学中培养学生的创新能力和创造性思维能力有着极其重要的作用，教学中应引起足够的重视.1.在立体几何中,这样的一个问题曾难倒了部分学生:“求证:正四面体A-BCD 内的任意一点P 到各个面的距离之和等于常数.”其实,只要与平面几何的问题类比：“求证:等边三角形内的任意一点P 到三角形的三边的距离之和等于常数.”由于平几中该命题的证明可采用“面积法”，类似地，这个立几问题应采用“体积法”，于是问题迎刃而解.2.事实上，当我们遇到一个较为生疏的难题而又无从下手的时候，如果能构造一个类似的熟悉问题，从这个熟悉问题的解答过程中得到启发，那么就很有可能悟出原问题的解法.下面的这个问题是非常典型的:“设A={1，2，3，4，5}，从A 到B 的映射中，满足：f （1）≤f （2）≤f （3）≤f （4）≤f （5）的映射一共有多少个？”乍看起来，有些学生感到这个问题好象无从下手.你见过一个类似的问题吗？启发学生进行对比联想：“方程x+y+z+u=100总共有多少组正整数解？”这个问题你是怎么解决的？立即有学生想到：相当于用三块隔板将100个排成一列的相同的小球分成四部分，每部分至少有一个球，有多少种方法？显然是有3100C 种方法.由此，从A 到B 的映射，共分为三类：①五对一的映射有13C 个；②五对二的映射，先把1、2、3、4、5用隔板分成两部分，这两部分再分别与6、7、8中选出两个元素对应，共有23C 14C 个；③五对三的映射，先把1、2、3、4、5用两块板分成三部分，分别对应6、7、8三个元素，共有24C 个.因此这样的映射总共有21个.问题获解.类比思维在数学知识延伸和拓广过程中常借助于比较、联想用作启发诱导以寻求思维的变异和发散.在归纳知识系统时又可用来串联不同层次的类似内容，以帮助理解和记忆.在解决数学问题时，无论是对于命题本身或解题思路方法，都是产生猜测、获得命题的推广和引伸的原动力.因此，类比方法既是数学学习的重要方法，也是数学发现的有效方法，其思维作用包含着整理性和探索发现性两个方面.在数学教学中引导学生运用类比思维进行数学学习与探索过程中，我们通常还要结合与之非常类似的“见微知著联想法则”.见微知著联想法则也就是：一看到新问题的假设与结论，已知或未知，或一看到反拐弯转化出来的中间结果或猜想中间法，与某公式，定理，定理之外的基本问题，或解决的老问题有某些相同的成分或相同的结构，甚至仅仅有类似之处，就立即回想其解法，考虑移植的可能性，并立即作出快速的反应，就按此方法试一试，从而走出一条“由尝试走向成功”的道路.数学发展史上大胆的类比，令人惊奇的类比，天天在进行着：曲与直的类比，有限与无限的类比，数与式的类比，数与形的类比，平面与空间的类比……一般来说，差别愈大的对象间的类比，风险也愈大，那么自然地，导致重大发现的可能性也愈大.世界著名的数学家华罗庚在他的《从孙子的神奇妙算谈起》这本著名的小册子中，运用类比的方法，作出了令人惊奇的发现.在数学的应用中只有有限个数据，怎样从这有限个数据出发来确定描述客观事物的函数？这是一门叫做“插入法”的学问.在高等数学中，是用“拉格朗日插值公式”来解决的.怎样用初等方法简单地推导这个公式？华罗庚经过大量的研究，通过类比的方法，使插值问题求解成功.接着，他联想到具有类似结构的许多问题：多项式的神奇妙算，多变数的内插法，一次同余式组的求解，线性不定方程等，都可类似处理.在成功地解决这些问题之后，他把它们的基本思想概括成一个重要原则，这就是著名的华罗庚“合成原则”或称为“孙子——华原则”.总而言之，类比大体可分为如下几个阶段：①知识积累：对系统A 有比较系统的研究；对系统B 有了初步的研究，还有待深入.②发现A、B两系统拟同构：利用见微知著联想，突然认出B的某些属性在结构上与A的某些属性类似.于是原以为没有联系的两系统A、B之间便有了相当程度的拟同构关系.③试图扩大A、B之间的类似程度：盯住尚未参与对比的属性P，竭力找出类似的B的属性P'.④为此，先在A、B的元素间建立对应关系——实际上相当于由系统A到系统B的映射法则.⑤利用这个映射法则，把A的P“翻译”成B的P'.⑥找出P'的证明，或找反例推倒它，进而修改或补充一些题设，使P'为真并给出证明——至此，新知识终于诞生了！通过类比，人们把自然数加法法则，算律推广到整数，有理数，实数，复数；通过类比，人们从线段的性质推测出直线的性质，把有限个自然数的性质推广到所有的自然数；通过类比，人们把正方形面积概念“顺理成章”地推到三角形、一般四边形、多边形和曲边封闭图形；应用类比，人们把平面图形的研究引向三维空间，甚至高维空间.类比的成功激励着人们，人们运用类比策划着，争取着更多的、更大的成功！[参考文献]1. 许兴华,《数学美育的初步认识与实践》,北京《数学通报》,2001第11期2.马忠林,郑毓信,《数学方法论》,广西教育出版社,1996.12.（附:个人简历)许兴华,男,1963年生,中学高级教师,曾任上思中学副校长,1998年调入南宁三中。

对数学美育的初步认识与实践许兴华 （广西南宁三中 530021）数学家克莱因说：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作。

音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。

”的确，数学是一门独特的科学，数学中包括着许许多多美的因素，教师要使数学课堂教学得到预期的良好效果，让学生学得津津有味，那么，充分挖掘数学中的美育因素，用春风化雨般的艺术美使学生受到潜移默化，甚至使学生热爱数学达到如痴如醉、废寝忘食的程度，让学生在轻松愉快的氛围美之中获取知识，在精湛艺术般的课堂布局中得到美的艺术享受，所有这些蕴含于数学中的美学因素，就起着举足轻重的重要作用。

笔者在平时的教学中，曾进行数学美育的教学探索，试图通过数学美育培养学生的学习兴趣，从而充分地调动学生学习的积极性与主动性，促进数学教学的成功，取得了一定的效果。

下面是笔者在数学美育中的初步认识与体会。

1 利用数学的形式美，培养学生的学习兴趣众所周知，如果注意挖掘，数学中处处存在着形式美。

注意在教学中提练美，向学生适时地表现美，让学生艺术地感受美，应当是教师的一项基本功。

例如，让学生展示以下各题中的形式美：1)证明2222))(())(())(())(())(())((x b c a c b x a x c a b c b a x c x b c a b a c x b x a =----+----+---- 2)在学习二项式定理时，向学生展示“杨辉三角”的形式美。

先让学生充分地研究：到底“杨辉三角”形式美的实质是什么？经过大家开动脑筋，认真讨论，结果发现美的实质恰好是公式11-++=m nm n m n C C C ，这样，学生自己尝试到了成功的喜悦，大家都无比兴奋，学习数学的情绪空前高涨。

3)由二项式定理，可以推出：当a 、b ∈Z 时，n n b am b a +=+)(（其中m 是整数），由此可以证明一些整除问题。

利用复数解决复平面几何问题复数是由实部和虚部组成的数，它可以表示为a+bi的形式，其中a和b是实数，i是虚数单位。

复数既可以用于代数运算，也可以用于解决几何问题。

本文将介绍如何利用复数解决复平面几何问题。

一、复数表示平面点在复平面中，可以将每个点表示为一个复数。

实部对应点的横坐标，虚部对应纵坐标。

例如，点A的坐标为a+bi，则在复平面上对应点A。

二、复数表示向量复数还可以表示平面向量。

向量的起点为原点，终点为复数对应的点。

例如，向量AB可以表示为b-a，即A指向B的向量。

三、复数表示线段线段可以由两个点表示，每个点对应一个复数。

根据两点之间的距离公式可知，线段AB的长度等于|b-a|，其中|z|表示复数z的模。

四、复数加法和减法复数的加法和减法可以用于表示平移和旋转。

例如，复数a+bi表示的点A经过平移变为点B，可以将点A的坐标加上一个复数c+di，即A'的坐标为(a+c)+(b+d)i。

同理，复数a+bi表示的向量AB经过平移变为向量AC，可以将向量AB的终点坐标加上复数c+di，即向量AC的终点坐标为(b+c)-(a+d)i。

五、复数乘法复数的乘法可以用于表示缩放和旋转。

例如，可以将复数a+bi表示的平面点A进行缩放，乘以一个复数c+di，即得到点B的坐标为(ac-bd)+(ad+bc)i。

同理，可以将复数a+bi表示的向量AB进行缩放，乘以复数c+di，即得到向量AC的终点坐标为(bc-ad)+(ac+bd)i。

六、应用实例利用复数解决复平面几何问题具有广泛的应用。

下面将介绍两个实例。

实例一：平行四边形的面积考虑一个平行四边形，其两个相邻边的坐标分别为a+bi和c+di。

我们可以将其表示为向量AB和向量AD。

根据平行四边形的性质，可以得到该平行四边形的面积为向量AB和向量AD的叉积的模的二倍，即S = |(c-a)(d-b)|。

利用复数乘法和复数模可以计算得到平行四边形的面积。

实例二：旋转考虑一个点A，其坐标为a+bi，我们希望将该点绕原点逆时针旋转θ角度。

平面几何问题的复数解法.许兴华复数是高中数学的重要内容之一,在中学数学中,有许多数学问题,如果我们能够根据题目的具体特征,将其转化为复数问题,那么这类数学问题往往可以得到复巧解妙证.用复数方法解解平面几何的基本思路是,首先运用复数表示复平面上的点,然后利用复数的模和幅角的有关性质,复数运算的几何意义以及复数相等的条件,化几何问题为复数问题来处理.1.用于证三角形为正三角形典型1.求证:若三角形重心与其外心重合,则该三角形必为正三角形.证明思路分析以三角形的相重合的外心(重心,为原点O建立起复平面上的直角坐标系.设表示三角形的三个顶点,其对应的复数是因O为外心,故又O为重心，故即于是由得即同理可得：故在复平面上是正三角形.2.用于证明几何中的角度相等典型2.已知正方形OBCD中（如图），E是CD的中点，F是CE 的中点，求证：.证明思路分析建立如图所示的复平面上的直角坐标系，设则是与的夹角，有又即.3.用于证明几何中的不等式典型3.在凸四边形ABCD中，求证：.证明思路分析建立如图所示的复平面上的直角坐标系，设C,D,A对应的复数分别是则4.用于求解几何中的轨迹问题典型4.如图，A是定圆C外的一点，P是定圆C上的一动点，以AP为一边作正三角形APQ，求点Q的轨迹.证明思路分析建立如图所示的复平面上的直角坐标系，设圆的半径为r,则于是，即整理得：因此，点Q的轨迹是圆：当点Q在AP上方时，式取“－”号；当点Q在AP下方时，式取“＋”号.典型5.设A是定圆C外的一点，P是定圆C上的一动点，以AP为一边作正方形APMN，求点M的轨迹.此题的证明思路分析完全类似于“典型4”，有兴趣的读者可试一试。