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复数法证明平面几何问题复数平面即是z=a+bi ,它对应的坐标为（a,b) .其中，a表示的是复平面内的横坐标，b表示的是复平面内的纵坐标，表示实数a的点都在x轴上，所以x轴又称为“实轴”；表示纯虚数bi的点都在y轴上，所以y轴又称为“虚轴”。
y轴上有且仅有一个实点即为原点"0"。
简介数学中，复数平面（complex plane）就是用水平的实轴与横向的虚轴创建出来的为丛藓科扭口藓数的几何则表示。
它可以视作一个具备特定代数结构笛卡儿平面（实平面），一个复数的实部用沿着 x-轴的加速度则表示，虚部用沿着 y-轴的加速度则表示。
复数平面有时也叫做阿尔冈平面，因为它用于阿尔冈图中。
这是以让-罗贝尔·阿尔冈（-）命名的，尽管它们最先是挪威-丹麦土地测量员和数学家卡斯帕尔·韦塞尔（-）叙述的。
阿尔冈图经常用来标示复平面上函数的极点与零点的位置。
为丛藓科扭口藓平面的见解提供更多了一个为丛藓科扭口藓数的几何表述。
在乘法下，它们像是向量一样相乘；两个复数的乘法在极坐标下的则表示最简单——乘积的长度或模长就是两个绝对值或模长的乘积，乘积的角度或辐角就是两个角度或辐角的和。
特别地，用一个模长为1的复数相加即为为一个转动。
特点创建了直角坐标系则去则表示复数的平面叫作为丛藓科扭口藓平面，x轴叫作实轴，y 轴叫作虚轴，原点则表示实数0。
为丛藓科扭口藓平面内的每一个点，存有唯一的一个复数和它对应，反过来，每一个复数，存有为丛藓科扭口藓平面内唯一的一个点和它对应，所以复数集c和为丛藓科扭口藓平面内所有的点阿芒塔的子集就是一一对应的。
数学史17世纪时，英国数学家瓦里士已经意识到在直线上无法找出虚数的几何则表示。
年，挪威的测量学家维塞尔向丹麦科学院递交论文《方向的解析表示，特别应用于平面与球面多边形的测定》，首先提出把复数用坐标平面上的点来表示，使全体复数与平面上的点建立了一一对应关系，形成了复平面概念。
复数的几何意义及复习一 复数的几何意义1.复数集内的三角形不等式：212121z z z z z z +≤±≤-，其中左边在复数z 1、z 2对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数z 1、z 2对应的向量共线且同向（反向）时取等号.2.复平面内复数z 对应的点的几个基本轨迹： (1)↔=-是正的常数）r r z z (0轨迹是一个圆. (2)↔-=-)(2121是复常数、z z z z z z 轨迹是一条直线. (3)↔=-+-是正的常数）是复常数，、a z z a z z z z 2121(2轨迹有三种可能情形： a)当212z z a ->时，轨迹为椭圆；b)当212z z a -=时，轨迹为一条线段；c)当212z z a -<时，轨迹不存在. (4)↔=---)(221是正的常数a a z z z z 轨迹有三种可能情形： a)当212z z a -<时，轨迹为双曲线；b)当212z z a -=时，轨迹为两条射线；c)当212z z a ->时，轨迹不存在.2 、已知关于x 的方程有实数根b 。
（1）求实数的值；（2）若复数满足，当z 为何值时有最小值，并求出的最小值。
解：（1）∵ 是方程的实根∴∴∴（2）设∵∴即整理，得∴复数对应点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆。
如图所示连结圆心和原点O，并延长交圆于点P，当复数z为点P对应的复数时,最小可求得∴,3 、若复数z满足，求的最大、最小值。
解法一：数形结合法设，则化简，得表示点到原点O（0，0）的距离，而点（x，y）在圆C上由平面几何知识，可知|z|的最大值为，最小值为解法二：利用复数的模的性质即，去绝对值，得解这个关于的不等式，得当时，上式取等号由，把代入得，解得或当时，取最大值；当时，取最小值。
复数与平面几何的应用问题的综合练习题题目一：求解复数方程已知复数方程z^2-6z+13=0，求解z的值。
解析：设z=a+bi，其中a和b为实数。
将z代入方程中得到：(a+bi)^2-6(a+bi)+13=0展开并整理得：(a^2-b^2-6a+13)+(2ab-6b)i=0由于两个复数相等，实部和虚部都相等，所以可以得到以下两个方程组：1) a^2-b^2-6a+13=02) 2ab-6b=0解方程组1)可以得到：a^2-6a+(13-b^2)=0应用一元二次方程求解公式，可得：a=3±√(b^2-4(13-b^2))/2实部a的值依赖于b的值。
解方程组2)可以得到：2a-6=0解得a=3，与解方程组1)的a值相等。
综上所述，复数方程z^2-6z+13=0的解为：z=3±bi，其中实数部分a=3，虚数部分b为任意实数。
题目二：复数表示平面向量已知复数z=a+bi表示平面上的一个向量，其中a和b为实数，向量与x轴夹角为θ，则求解θ的值。
解析：由于复数z的实部a表示向量在x轴上的投影长度，虚部b表示向量在y轴上的投影长度。
根据三角函数的定义，可以得到以下关系：t anθ = b/a解方程得到：θ = arctan(b/a)综上所述，复数z=a+bi对应的向量与x轴夹角θ满足θ = arctan(b/a)。
题目三：复数表示平面上的变换已知平面上的一点P的坐标为复数z，经过平面上的一个旋转变换R，P的坐标变为w。
求解旋转变换R的中心坐标和旋转角度。
解析：假设旋转变换R的中心坐标为复数c，旋转角度为θ。
根据旋转变换的定义，可以得到以下关系：w = (z - c) * e^(iθ) + c展开并整理得：w = z * e^(iθ) - c * e^(iθ) + c根据复数的指数表示形式，即e^(ix) = cosx + isinx，上式可以进一步化简为：w = (a+bi) * (cosθ + isinθ) - (c+di) * (cosθ + isinθ) + c+diw = (a*cosθ - b*sinθ + c) + (b*cosθ + a*sinθ + d)i根据两个复数相等的实部和虚部相等的性质，可以得到以下方程组：1) a*cosθ - b*sinθ + c = a2) b*cosθ + a*sinθ + d = b解方程组可以求解出中心坐标c和旋转角度θ的值。
平面几何问题的复数解法复数是高中数学的重要内容之一,在中学数学中,有许多数学问题,如果我们能够根据题目的具体特征,将其转化为复数问题,那么这类数学问题往往可以得到复巧解妙证.用复数方法解解平面几何的基本思路是,首先运用复数表示复平面上的点,然后利用复数的模和幅角的有关性质,复数运算的几何意义以及复数相等的条件,化几何问题为复数问题来处理.1.用于证三角形为正三角形典型1.求证:若三角形重心与其外心重合,则该三角形必为正三角形.证明思路分析 以三角形的相重合的外心(重心),为原点O 建立起复平面上的直角坐标系.设321,,Z Z Z 表示三角形的三个顶点,其对应的复数是.,,321z z z 因O 为外心,故,||||||321r z z z ===又O 为重心，故,03321=++z z z 即,0321=++z z z 于是由,321z z z -=+得22123||||z z z +=)()(2121z z z z ++= ,||||21212221z z z z z z +++=即,22121r z z z z -=+22123|||| z z z -=∴)()(2121z z z z --=),(||||21212221z z z z z z +-+=.3|z -z | 21r =∴ 同理可得：.3|z -z | |z -z | 1323r ==∴故321,,z z z 在复平面上是正三角形.2.用于证明几何中的角度相等典型2.已知正方形OBCD 中（如图），E 是CD 的中点，F 是CE 的中点，求证：FOB DOC ∠=∠21. 证明思路分析 建立如图所示的复平面上的直角坐标系，设,1||=OD 则,1=OD ,,431,211i OB i OF i OE =+=+= DOE ∠=α是OD 与OE 的夹角，有),43arg(i)21arg(12 ),211arg(2i i +=+=+=αα又 )],43(2516arg[431arg i i i FOB +=+=∠=β ,2βα=∴即FOB DOC ∠=∠21. 3.用于证明几何中的不等式典型3.在凸四边形ABCD 中，求证：BD AC BC AD CD AB ⋅≥⋅+⋅.证明思路分析 建立如图所示的复平面上的直角坐标系，设C,D,A 对应的复数分别是.,,321z z z 则|,||||,||||,||||,|||213312z z CD z AB z z CA z DB -==-==|,|||32z z AD -=||||||||||||||||132213z z z z z z BC AD CD AB ⋅-+-⋅=⋅+⋅||||31213231z z z z z z z z -+-=.|||||)(|312BD AC z z z ⋅=-=4.用于求解几何中的轨迹问题典型4.如图，A 是定圆C 外的一点，P 是定圆C 上的一动点，以AP 为一边作正三角形APQ ，求点Q 的轨迹.证明思路分析 建立如图所示的复平面上的直角坐标系，设 ,||a AC =圆的半径为r,),,(,1R y x yi x z AQ z AP ∈+===则).60sin 60(cos ,||11︒±︒==-i z z r a z 于是，,|)60sin 60(cos |r a i z =-︒±︒即,|)2321)((|r a i yi x =-±+整理得： (*))23()2(222 r y a x =±+- 因此，点Q 的轨迹是圆：当点Q 在AP 上方时，(*)式取“－”号； 当点Q 在AP 下方时，(*)式取“＋”号.典型5.设A 是定圆C 外的一点，P 是定圆C 上的一动点，以AP 为一边作正方形APMN ，求点M 的轨迹.此题的证明思路分析完全类似于“典型4”，有兴趣的读者可试一试。
2022版人教A版高中数学必修第二册--7.1.2复数的几何意义基础过关练题组一复数与复平面内点的对应关系1.已知复数z=-i,则z在复平面内对应的点Z的坐标为()A.(0,-1)B.(-1,0)C.(0,0)D.(-1,-1)2.(2021湖南娄底一中高一下期中)复数z1=1+√3i,z2=1-√3i在复平面内对应的点关于()A.实轴对称B.第一、三象限的角平分线对称C.虚轴对称D.第二、四象限的角平分线对称3.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是()A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i4.若x,y∈R,i为虚数单位,且x+y+(x-y)i=3-i,则复数x+y i在复平面内所对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.已知i为虚数单位,实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点:(1)位于第四象限?(2)在实轴负半轴上?(3)位于上半平面(含实轴)?题组二 复数与平面向量的对应关系6.在复平面内,向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-3)对应的复数为 ( )A.2-3iB.2+3iC.3+2iD.-3-2i7.(2021重庆外国语学校高一下期中)四边形ABCD 是复平面内的平行四边形,已知A 、B 、C 三点对应的复数分别是1+3i ,-i ,2+i ,则向量BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是 ( ) A.1-2i B.2+2i C.2-2i D.3+6i8.在复平面内,点A ,B ,C 对应的复数分别为1+4i ,-3i ,2,O 为坐标原点.(1)求向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数;(2)求平行四边形ABCD 的顶点D 对应的复数.题组三 复数的模及其应用9.已知复数z =(m -3)+(m -1)i 的模等于2,则实数m 的值为 ( )A.1或3B.1C.3D.210.在复平面内,若点P 对应的复数z 满足|z |≤1,则点P 的集合构成的图形是( )A.直线B.线段C.圆D.单位圆以及圆内部11.若复数z =2a -1a+2+(a 2-a -6)i (a ∈R)是实数,则z 1=(a -1)+(1-2a )i 的模为 .12.已知3-4i=x+y i(x,y∈R),则|1-5i|,|x-y i|,|y+2i|的大小关系为.13.(2020北京房山高一下期末)已知复数z=3+a i,且|z|<4,则实数a的取值范围是.14.已知复数1,-1+2i,-3i,6-7i,在复平面内画出这些复数对应的向量,并求出各复数的模.15.已知复数z1=√3-i,z2=-12+√32i.设z∈C,试问在复平面内,满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点的集合是什么图形?题组四共轭复数16.已知i为虚数单位,若(x-2)+y i和3x-i互为共轭复数,则实数x,y的值分别是()A.3,3B.5,1C.-1,-1D.-1,117.设复数z满足z=|1-i|+i(i为虚数单位),则复数z= ()A.√2−iB.√2+iC.1D.-1-2i18.若复数z1,z2满足z1=z2,则z1,z2在复平面内对应的点Z1,Z2()A.关于实轴对称B.关于虚轴对称C.关于原点对称D.关于直线y=x对称19.若复数z=(m2-9)+(m2+2m-3)i是纯虚数,其中m∈R,则|z|=,z=.答案全解全析基础过关练1.A 复数z =-i 的实部为0,虚部为-1,故z 在复平面内对应的点Z 的坐标为(0,-1).2.A 设z 1=1+√3i 和z2=1−√3i 在复平面内对应的点分别为P ,Q ,则P (1,√3),Q (1,-√3),则P ,Q 关于实轴对称.故选A.3.C 复数6+5i 对应的点A 的坐标为(6,5),-2+3i 对应的点B 的坐标为(-2,3).由中点坐标公式知点C 的坐标为(2,4),∴点C 对应的复数为2+4i ,故选C.4.A ∵x +y +(x -y )i=3-i ,∴{x +y =3,x -y =-1,解得{x =1,y =2, ∴复数x +y i=1+2i 在复平面内所对应的点为(1,2),在第一象限.5.解析 (1)要使复数z 在复平面内对应的点位于第四象限,需满足{m 2-8m +15>0,m 2+3m -28<0,∴{m <3或m >5,-7<m <4,∴-7<m <3. (2)要使复数z 在复平面内对应的点在实轴负半轴上,需满足{m 2-8m +15<0,m 2+3m -28=0,∴{3<m <5,m =-7或m =4,∴m =4. (3)要使复数z 在复平面内对应的点位于上半平面(含实轴),需满足m 2+3m -28≥0,解得m ≥4或m ≤-7.6.A 由复数的几何意义,知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-3)对应的复数为2-3i .故选A.7.D 由题意得点A ,B ,C 的坐标分别为(1,3),(0,-1),(2,1),设点D 的坐标为(x ,y ),由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC⃗⃗⃗⃗⃗ ,得(x -1,y -3)=(2,2),∴x -1=2,y -3=2, 解得x =3,y =5,故D (3,5),∴BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,6),则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为3+6i .故选D. 8.解析 (1)由已知得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC⃗⃗⃗⃗⃗ 所对应的复数分别为1+4i ,-3i ,2, 则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,4),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-3),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-4),故OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为1+i ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为1-4i . (2)解法一:由已知得,点A ,B ,C 的坐标分别为(1,4),(0,-3),(2,0),则AC 的中点坐标为(32,2),由平行四边形的性质知,BD 的中点坐标也是(32,2).设D (x 0,y 0),则{0+x 02=32,-3+y 02=2,解得{x 0=3,y 0=7,所以D (3,7),故D 对应的复数为3+7i . 解法二:由已知得,点A ,B ,C 的坐标分别为(1,4),(0,-3),(2,0),设D (x 0,y 0),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-7),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-x 0,-y 0).因为四边形ABCD 为平行四边形,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以{-1=2-x 0,-7=-y 0,解得{x 0=3,y 0=7.故D 对应的复数为3+7i .解法三:由(1)知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,4),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-3),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),所以BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,7),BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3), 由平行四边形的性质得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,10),所以OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,7),故D 对应的复数为3+7i .9.A 依题意可得√(m -3)2+(m -1)2=2,解得m =1或m =3,故选A.10. D 由|z |≤1,得|OP⃗⃗⃗⃗⃗ |≤1(O 为原点),所以满足条件的点P 的集合是以原点O 为圆心,1为半径的圆及其内部.11.答案 √29解析∵复数z为实数,∴a2-a-6=0且a+2≠0,∴a=3,∴z1=2-5i,∴|z1|=√29.12.答案|y+2i|<|x-y i|<|1-5i|解析由3-4i=x+y i(x,y∈R),得x=3,y=-4.∴|x-y i|=|3+4i|=√32+42=5,|y+2i|=|-4+2i|=√(-4)2+22=2√5.易得|1-5i|=√1+(-5)2=√26,∵2√5<5<√26,∴|y+2i|<|x-y i|<|1-5i|.13.答案(-√7,√7)解析解法一:∵z=3+a i(a∈R),∴|z|=√32+a2,由已知得32+a2<42,∴a2<7,∴a∈(-√7,√7).解法二:利用复数的几何意义,由|z|<4,知z在复平面内对应的点在以原点为圆心,4为半径的圆内.由z=3+a i知z对应的点Z在直线x=3上,∴线段AB(除去端点)为动点Z的集合.由图可知-√7<a<√7.14.解析 设复数1,-1+2i ,-3i ,6-7i 在复平面内对应的点分别为A ,B ,C ,D ,对应的向量分别为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,如图所示.|1|=1,|-1+2i|=√(-1)2+22=√5,|-3i|=√(-3)2=3,|6-7i|=√62+(-7)2=√85.15.解析 |z 1|=|√3−i|=√(√3)2+(-1)2=2,|z 2|=|-12+√32i|=√(-12)2+(√32)2=1. ∵|z 2|≤|z |≤|z 1|,∴1≤|z |≤2,对应的点的集合是以原点O 为圆心,以1和2为半径的两个圆所夹的圆环(包括圆环的边界),如图所示.16.D ∵(x -2)+y i 和3x -i 互为共轭复数,∴{x -2=3x ,y +(-1)=0,解得{x =-1,y =1.17.A 因为z =|1−i|+i =√2+i ,所以复数z =√2-i .故选A.18.A 设z 1=a +b i ,z 2=c +d i ,其中a ,b ,c ,d ∈R,则Z 1(a ,b ),Z 2(c ,d ).由z 1=z 2得,a +b i=c -d i ,则a =c ,b =-d ,所以z 1,z 2在复平面内对应的点Z 1,Z 2关于实轴对称. 方法总结共轭复数的特点:1.在复平面内,共轭复数对应的两个点关于实轴对称;2.共轭复数的模相等,即|z |=|z |.19.答案 12;-12i解析 由题意得{m 2+2m -3≠0,m 2-9=0,所以m =3,因此z =12i ,故|z |=12,z =-12i .。
２０２３年７月上半月㊀争鸣探索㊀㊀㊀㊀例谈复数在平面几何中的应用◉吉林师范大学数学与计算机学院㊀宋㊀满㊀㊀摘要:复数可以将中学数学中几何与代数的部分知识联系起来,同时复数法是解决几何与代数问题的恰当方法．本文中结合复数的概念和常用结论等,逐一解决直线平行㊁面积求解㊁轨迹等问题,着重体现复数在求解几何问题中的巧妙应用,并给出了借助复数解决平面几何问题的思路和方法．关键词:复数;平面几何;平行问题;面积求解㊀㊀复数有几何㊁向量㊁代数等多种表述方法,因而其具有特殊的几何意义,并将几何与代数联系在一起[１]．因此,教学中应在复数几何意义的基础上,进一步拓展与其他数学知识的联系,开拓复数的应用范围．在课堂教学中,如果教师能够启发学生运用复数的相关知识来解决某些几何问题,这将有助于培养学生逻辑推理㊁数学运算和数学抽象素养,提升解决数学问题的能力．下面介绍复数的运算法则及性质在几何问题中的应用．１直线平行问题向量Z １Z ２ңʊZ ᶄ１Z ᶄ２ң的充要条件是a r g z ２－z １z ᶄ２－z ᶄ１＝０或π,故向量Z １Z ２ңʊZ ᶄ１Z ᶄ２ң的充要条件是z ２－z １z ᶄ２－z ᶄ１＝ʃk (k ＞０;当向量Z １Z ２ң与向量Z ᶄ１Z ᶄ２ң同向时符号取正,反向时符号取负)[２]．这一复数的常用结论可以用来证明平面几何中的直线平行问题．图１例１㊀求证:平行于同一条直线(P B )的两条直线(AM ,C N )平行．分析:根据复数的常用结论(向量z １z ２ңʊz ᶄ１z ᶄ２ң的充要条件)可知,如果两条直线平行,则两直线的方向向量存在相应的数量关系,反之亦然．证明:如图１,设点A ,B ,C ,M ,N ,P 对应的复数分别为z １,z ２,z ３,z ４,z ５,z ６．由AM ʊP B ,得z ４－z １＝k １(z ２－z ６),k １＞０．由C N ʊP B ,得z ５－z ３＝k ２(z ２－z ６),k ２＞０．于是z ４－z １＝k １k ２(z ５－z ３),k １k ２＞０．故AM ʊC N ．２面积求解问题Z １,Z ２,Z ３是复平面内的任意不共线的三点,则有S әZ Z Z ＝i４１１１z １z ２z ３z １z ２z ３,其中әZ １Z ２Z ３是逆时针的[３]．运用这一复数的常用公式,可以求解平面内任意三点所围成的三角形的面积问题．图２例２㊀求解如图２所示的锐角三角形的面积．分析:利用复数求解三角形的面积,首先要合理建立平面直角坐标系(确定复平面),进而确定各顶点所对应的复数,最后代入上述关于面积求解的复数常用公式,计算出三角形的面积．解:对于锐角三角形A B C ,以线段B C 的中点为原点,以直线B C 为x 轴建立平面直角坐标系(确定复平面)．设点A ,B ,C 对应的复数分别为a ＋b i ,－c ,c ,则有S әA B C ＝i４１１１a ＋b i －c ca －b i －c c＝|b c |．３轨迹问题利用复数解决轨迹问题,首先要确定复平面,再将与解题有关的点用复数表示出来,最后根据复数的某些常用结论得出最终的结论[４]．例３㊀在әA B C 中,B ,C 坐标分别为(－３,０),(３,０),且该三角形周长为１６,求点A 的轨迹方程．分析:将三角形周长为定值转化为复数域下的等量关系,再根据复数的模长计算公式求得点A 的轨迹５９Copyright ©博看网. All Rights Reserved.争鸣探索２０２３年７月上半月㊀㊀㊀方程．解:在复平面内点B ,C 所对应的复数为－３,３,设点A 所对应的复数为z ＝x ＋y i (x ,y ɪR )．由A B ＝A B ң＝－３－z ＝３＋z ,A C ＝A C ң＝３－z ,且BC ＝６,得㊀A B ＋A C ＋B C ＝３＋z ＋３－z ＋６＝１６．故点A 的轨迹方程为３＋z ＋３－z ＝１０,即(x ＋３)２＋y ２＋(x －３)２＋y ２＝１０,化简得x ２２５＋y ２１６＝１(y ʂ０)．４点共线问题Z １,Z ２,Z ３三点共线的充要条件是z ３－z １z ２－z １＝k (kɪR )[５]．利用复数的这一常用结论可较为简便地解决三点共线的问题．例４㊀已知平面内三点A (１,２),B (－２,－４),C (２,４),求证这三点共线．分析:根据上述结论,只需将点A ,B ,C 所对应的复数代入公式验证即可．证明:设平面内的三点A (１,２),B (－２,－４),C (２,４)所对应的复数分别为z １＝１＋２i ,z ２＝－２－４i ,z ３＝２＋４i ．由于z ３－z １z ２－z １＝(２＋４i )－(１＋２i )(－２－４i )－(１＋２i )＝－１３,因此A (１,２),B (－２,－４),C (２,４)三点共线．同样,利用三条直线H １z ＋H １z ＋h １＝０,H ２z ＋H ２z ＋h ２＝０,H ３z ＋H ３z ＋h ３＝０有有限个公共点的充要条件是H １H １h １H ２H ２h ２H ３H ３h ３＝０这一复数常用结论可解决三线共点的问题．５角的关系问题利用复数乘法的几何意义也可以解决某些角的关系问题,下面举例说明．例５㊀如图３所示,ø１,ø２,ø３是由三个并列的正方形所形成的角,求证:ø１＋ø２＋ø３＝９０ʎ．图３分析:根据两个复数相乘,积的辐角等于各复数辐角的和,将复平面下角的顶点所对应的复数相乘,进而得证三个角之间的恒等关系．证明:分别以O A ,O C 为x 轴㊁y 轴建立平面直角坐标系以确定复平面,设正方形的边长为a (a ɪR ),则ø１,ø２,ø３的顶点对应的系数分别为z １＝a ＋a i ,z ２＝２a ＋a i ,z ３＝３a ＋a i ．则z １z ２z ３＝(a ＋a i )(２a ＋a i )(３a ＋a i )＝１０a ３i ．设复数z １,z ２,z ３的辐角分别为θ１,θ２,θ３,则角θ１,θ２,θ３都小于９０ʎ．由z １z ２z ３＝１０a ３i ,得复数z １z ２z ３的辐角θ１＋θ２＋θ３的主值为９０ʎ．又０ʎ＜θ１＋θ２＋θ３＜３６０ʎ,所以ø１＋ø２＋ø３＝θ１＋θ２＋θ３＝９０ʎ．结合上述例题可以发现,将平面几何问题复数化是借助复数解决平面几何问题的关键．运用复数,可以使复杂的几何问题简单化．通过上面的应用举例,可以归纳总结出利用复数解决平面几何问题的步骤和方法,即先确定复平面,再将与解题有关的点逐一表示出来,最后运用复数的性质及常用公式求解．复数在几何㊁向量㊁代数等方面具有多种表述形式,其独特的几何意义是沟通数与形的一座桥梁[６],掌握复数有利于学生不断完善数学知识脉络[７]．所以在数学教学过程中,教师要充分发掘教材,勇于开拓创新,在教会学生复数相关知识的同时,能够渗透并利用复数法去解决某些几何问题,进而促进学生的逻辑思维水平㊁几何思维水平的提升,形成完整的数学知识体系．参考文献:[１]V l a s t i m i lD l a b ,陈学庆．复数在平面几何中的魅力[J ]．数学通报,２０１１,５０(７):１Ｇ３,８．[２]王美能．复数法在解平面几何题中的应用[J ]．科技信息,２０１０(２０):１００Ｇ１０１．[３]李中恢．复数法在平面几何中的应用[J ]．宁波教育学院学报,２００６(４):７１Ｇ７２,７９．[４]杜先富．例谈复数在解析几何中的应用[J ]．数学通讯,２００２(１):１６．[５]任峰．例谈复数在平面几何中的妙用[J ]．科技经济市场,２００８(２):３Ｇ４．[６]徐友伟．例谈数学竞赛中复数数列问题的解法[J ]．高中数学教与学,２０２２(１):５６Ｇ５７．[７]苗庆硕,蓝云波．例谈利用复数解题的几种新视角[J ]．数学教学,２０１９(１２):２１Ｇ２４．Z ６９Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
复数与平面几何的综合练习题本文将为读者提供一系列综合练习题，涉及复数与平面几何的相关知识。
通过解答这些题目，读者将巩固对复数及其在平面几何中的应用的理解，并通过实践提高解决问题的能力。
1. 设复数 z = 4 + 3i，其中 i 是虚数单位。
求 z 的共轭复数，并将其表示在平面直角坐标系中。
解析：复数的共轭是将复数的虚部取负。
因此，z 的共轭复数为 4 -3i。
在平面直角坐标系中表示，可以将实部 4 作为横坐标，虚部 -3 作为纵坐标，将这两个点连线，即可表示 z 及其共轭复数。
2. 已知复数 z = 2 + i 和 w = -1 + 3i，求 zw 和 z/w 的结果，并将其表示在平面直角坐标系中。
解析：复数的乘法即两个复数的实部和虚部的乘积，复数的除法可以通过乘以其倒数来实现。
根据计算，zw = (2 + i)(-1 + 3i) = -5 + 5i，而z/w = (2 + i) / (-1 + 3i) = (1 - i) / 2。
将这两个结果表示在平面直角坐标系中，可以得到两个点 (-5, 5) 和 (0.5, -0.5)，分别连接原点和这两个点，即可表示 zw 和 z/w。
3. 设 A、B、C 为复平面上的三个不共线点，且坐标分别为 z1, z2,z3。
证明：向量 AB、AC 的夹角等于向量 z2 - z1 和 z3 - z1 的辐角的差。
解析：向量 AB 可以表示为 z2 - z1，向量 AC 可以表示为 z3 - z1。
根据向量的夹角性质以及复数的辐角表示，可知这两个向量的夹角等于其辐角的差。
4. 已知复数 z = 3 + 4i，求 z 的模长、辐角、共轭复数和倒数，并将它们表示在极坐标系中。
解析：复数的模长可以通过求复数与原点的距离得到，即 |z| =√(3^2 + 4^2) = 5。
复数的辐角可以通过求复数与实轴正方向的夹角得到，即tanθ = 4/3，所以θ = arctan(4/3)。
理解复数的几何意义练习题在数学中，复数是由一个实部和一个虚部组成的数字。
复数可以用来表示平面上的点，并具有很多有趣的几何意义。
本文将通过几个练习题帮助读者更好地理解复数的几何意义。
1. 练习题一：复数的加法和减法考虑两个复数z1 = a + bi和z2 = c + di，其中a、b、c、d是实数。
我们可以将z1和z2表示为平面上的两个点P1和P2。
根据复数的加法和减法定义，我们知道z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i，z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i。
现在，我们可以进行如下练习：1.1 绘制点P1和P2在平面上的位置。
1.2 计算并绘制结果复数z1 + z2和z1 - z2在平面上的位置。
1.3 通过观察平面上的点，你能得出什么结论？2. 练习题二：复数的乘法考虑两个复数z1 = a + bi和z2 = c + di，其中a、b、c、d是实数。
我们可以将z1和z2表示为平面上的两个点P1和P2。
根据复数的乘法定义，我们知道z1 × z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i。
现在，我们可以进行如下练习：2.1 绘制点P1和P2在平面上的位置。
2.2 计算并绘制结果复数z1 × z2在平面上的位置。
2.3 通过观察平面上的点，你能得出什么结论？3. 练习题三：复数的除法考虑两个非零复数z1 = a + bi和z2 = c + di，其中a、b、c、d是实数。
我们可以将z1和z2表示为平面上的两个点P1和P2。
根据复数的除法定义，我们知道z1 ÷ z2 = [(ac + bd)/(c^2 + d^2)] + [(bc - ad)/(c^2 +d^2)]i。
现在，我们可以进行如下练习：3.1 绘制点P1和P2在平面上的位置。
3.2 计算并绘制结果复数z1 ÷ z2在平面上的位置。
3.3 通过观察平面上的点，你能得出什么结论？通过完成上述练习题，我们可以更加直观地理解复数在平面上的几何意义。
解复数与平面解析几何的练习题解析几何是数学中的一个重要分支，它研究平面和空间中的图形与坐标之间的关系。
而解复数是复数的一种表示形式，复数在平面上有着重要的几何意义。
本文将通过一系列练习题来探讨解复数与平面解析几何之间的联系。
1. 练习题一已知复数z=3+2i，它在平面上对应于点A，求点A的坐标。
解析：根据复数的表示形式，实部表示点在x轴上的位置，虚部表示点在y轴上的位置。
所以点A的坐标为(3,2)。
2. 练习题二已知复数z=4-3i，它在平面上对应于点B，求点B关于原点对称的点的坐标。
解析：对于复数z=a+bi，它关于原点对称的点为-a-bi。
所以点B关于原点对称的点的坐标为(-4,3)。
3. 练习题三已知复数z=2+3i和w=1-2i，它们在平面上分别对应于点C和点D，求点C和点D的距离。
解析：两点之间的距离可以通过勾股定理求解。
点C的坐标为(2,3)，点D的坐标为(1,-2)。
根据勾股定理，点C和点D的距离为√((2-1)²+(3-(-2))²)，计算得到点C和点D的距离为√(1+25)=√26。
4. 练习题四已知复数z=3+4i，它在平面上对应于点E，求点E与原点形成的角度。
解析：复数z=3+4i可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的辐角。
根据公式可求得r=√(3²+4²)=√25=5。
所以复数z的辐角为θ=arctan(4/3)≈0.93弧度。
由于角度是从x轴正向逆时针转到点E对应的位置，所以点E与原点形成的角度为0.93弧度。
5. 练习题五已知复数z=2(cosθ+isinθ)，其中θ为实数，它在平面上对应的点为F，求点F的坐标。
解析：根据复数的指数形式，z=2(cosθ+isinθ)可以转化为z=2e^(iθ)。
根据欧拉公式，e^(iθ)=cosθ+isinθ。
所以复数z可以表示为z=2e^(iθ)=2cosθ+2isinθ。
复数的几何意义综合测试题（带答案）选修2-23.1.2复数的几何意义一、选择题1．如果复数a＋bi(a，b∈R)在复平面内的对应点在第二象限，则() A．a>0，bB．a>0，b>0C．aD．a0答案]D解析]复数z＝a＋bi在复平面内的对应点坐标为(a，b)，该点在第二象限，需a0，故应选D.2．(2010•北京文，2)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i答案]C解析]由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝6－22＝2，y ＝5＋32＝4，∈点C对应的复数为2＋4i，故选C.3．当23A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案]D解析]∈23＜m＜1，∈3m－2>0，m－1＜0，∈点(3m－2，m－1)在第四象限．4．复数z＝－2(sin100°－icos100°)在复平面内所对应的点Z位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案]C解析]z＝－2sin100°＋2icos100°.∈－2sin100°∈Z点在第三象限．故应选C.5．若a、b∈R，则复数(a2－6a＋10)＋(－b2＋4b－5)i对应的点在() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案]D解析]a2－6a＋10＝(a－3)2＋1>0，－b2＋4b－5＝－(b－2)2－16．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是()A．z对应的点在第一象限B．z一定不是纯虚数C．z对应的点在实轴上方D．z一定是实数答案]C解析]∈2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)的值可正、可负、可为0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1≥1，∈排除A、B、D，选C.7．下列命题中假命题是()A．复数的模是非负实数B．复数等于零的充要条件是它的模等于零C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D．复数z1>z2的充要条件是|z1|＞|z2|答案]D解析]①任意复数z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z|＝a2＋b2≥0总成立．∈A正确；②由复数相等的条件z＝0∈a＝0b＝0.∈|z|＝0，故B正确；③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R)若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∈|z1|＝|z2|反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时|z1|＝|z2|，故C正确；④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∈D错．8．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于10，则实数x的取值范围是()A．－45B．xC．x>－45D．x＝－45或x＝2答案]A解析]由题意知(x－1)2＋(2x－1)2解之得－459．已知复数z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝－1＋ai，若|z1|A．b1B．－1C．b>1D．b>0答案]B解析]由|z1|∈b210．复平面内向量OA→表示的复数为1＋i，将OA→向右平移一个单位后得到向量O′A′→，则向量O′A′→与点A′对应的复数分别为()A．1＋i,1＋iB．2＋i,2＋iC．1＋i,2＋iD．2＋i,1＋i答案]C解析]由题意O′A′→＝OA→，对应复数为1＋i，点A′对应复数为1＋(1＋i)＝2＋i.二、填空题11．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为________________．答案]－∞，－1－52∈32，＋∞解析]复数z对应的点在第一象限需m2＋m－1>04m2－8m＋3>0解得：m32.12．设复数z的模为17，虚部为－8，则复数z＝________.答案]±15－8i解析]设复数z＝a－8i，由a2＋82＝17，∈a2＝225，a＝±15，z＝±15－8i.13．已知z＝(1＋i)m2－(8＋i)m＋15－6i(m∈R)，若复数z对应点位于复平面上的第二象限，则m的取值范围是________．答案]3解析]将复数z变形为z＝(m2－8m＋15)＋(m2－m－6)i∈复数z对应点位于复平面上的第二象限∈m2－8m＋150解得314．若t∈R，t≠－1，t≠0，复数z＝t1＋t＋1＋tti 的模的取值范围是________．答案]2，＋∞)解析]|z|2＝t1＋t2＋1＋tt2≥2t1＋t•1＋tt＝2.∈|z|≥2.三、解答题15．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝2m＋(4－m2)i的点(1)位于虚轴上；(2)位于一、三象限；(3)位于以原点为圆心，以4为半径的圆上．解析](1)若复平面内对应点位于虚轴上，则2m＝0，即m＝0.(2)若复平面内对应点位于一、三象限，则2m(4－m2)>0，解得m(3)若对应点位于以原点为圆心，4为半径的圆上，则4m2＋(4－m2)2＝4即m4－4m2＝0，解得m＝0或m＝±2.16．已知z1＝x2＋x2＋1i，z2＝(x2＋a)i，对于任意的x∈R，均有|z1|>|z2|成立，试求实数a的取值范围．解析]|z1|＝x4＋x2＋1，|z2|＝|x2＋a|因为|z1|>|z2|，所以x4＋x2＋1>|x2＋a|∈x4＋x2＋1>(x2＋a)2∈(1－2a)x2＋(1－a2)>0恒成立．不等式等价于1－2a＝0或1－2a>0Δ＝－4(1－2a)(1－a2)解得－1所以a的取值范围为－1，12.17．已知z1＝cosθ＋isin2θ，z2＝3sinθ＋icosθ，当θ为何值时(1)z1＝z2；(2)z1，z2对应点关于x轴对称；(3)|z2|解析](1)z1＝z2∈cosθ＝3sinθsin2θ＝cosθ∈tanθ＝332sinθcosθ＝cosθ∈θ＝2kπ＋π6(k∈Z)．(2)z1与z2对应点关于x轴对称∈cosθ＝3sinθsin2θ＝－cosθ∈θ＝kπ＋π6(k∈Z)2sinθcosθ＝－cosθ∈θ＝2kπ＋76π(k∈Z)．(3)|z2|∈3sin2θ＋cos2θ∈kπ－π418．已知复数z1＝3－i及z2＝－12＋32i.(1)求|z1|及|z2|的值并比较大小；(2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形？解析](1)|z1|＝|3＋i|＝(3)2＋12＝2|z2|＝－12－32i＝1.∈|z1|＞|z2|.(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2.因为|z|≥1表示圆|z|＝1外部所有点组成的集合．|z|≤2表示圆|z|＝2内部所有点组成的集合，∈1≤|z|≤2表示如图所示的圆环．。
用复数解平面几何题的尝试宿迁市泗洪县育才实验学校 周文化 文武光华数学工作室 潘成华【摘要】用复数法解决某些平面几何题往往显得简洁而特别，尤其是那些规则的，容易得出较简洁表达式的问题。
本文通过具体的问题谈谈对复数解平面几何题的若干尝试。
关键词 复数，共轭复数，平面几何为使符号表示简明，文中约定使用复数时，①用AB 表示“A B -”，代替通常的写法AB ，②AB 表示复数AB 的共轭复数，③引入符号“1≡”及“i ≡”： y x 1≡表示Re(x)=Re(y),即复数x,y 的实部相等；y x i ≡表示Im(x)=Im(y),即复数x,y 的虚部部相等.由此约定不难得出，“p 是实数”等价于“p i ≡0” ，“p 是纯虚数”等价于“p 1≡ 0”. 命题1. 设i b a x 11+=，i b a y 22+=，其中R ∈i i b a ，，2,1=i ； (1)y x ⊥⇔ 011≡•≡•y x y x ； (2) y x //⇔ 0i i y x y x ≡•-≡•. 证明：只证充分性（1）当y x ⊥时，易知02121=+b b a a ；由i b a x 11+=可得i b a x 11-=， 故i b a b a b b a a i b a i b a y x •-++=+•-=•)()()()(122121212211，于是Re (y x •)=2121b b a a +=0，即01≡•y x ，再由共轭复数的性质可得01≡•y x . (2)由(1)可知i b a b a b b a a y x •-++=•)()(12212121， 当y x //时，易知01221=-b a b a ，∴Im (y x •)=1221b a b a -=0，即0i y x ≡•，再由共轭复数的性质可得0i y x ≡•-. 注：实际上y x •的实部、虚部分别对应于向量)(11b a ，及)(22b a ，的内积、外积.命题2.△ABC 及△'''C B A 顺向相似(对应点的排列顺序相同)的充分必要条件可以是下列条件中的任一个：①''''C A B A AC AB =，②''''CA ACB A AB =，③AC B A C A AB •=•''''， ④0''''i AC B A C A AB ≡•+•且01''''≡•-•AC B A C A AB .证明：只证充分性，设ey ex, A'C'y, AC x, A'B'AB ====注：对顺向相似中任意两组对应的有向线段 b'a, b, a', ，都显然有''b a b a =,''b ba a=,b a b a •=•''，0''i b a b a ≡•+•，0''1≡•-•b a b a 成立. △ABC 及△'''C B A 反向相似(对应点的排列顺序相反)的充分必要条件可以是下列条件中的任一个：①''''C A B A AC AB =，②''''CA ACB A AB =，③AC B A C A AB •=•''''， ④0''''i AC B A C A AB ≡•+•且01''''≡•-•AC B A C A AB .证明：只证充分性，设y e ex, A'C'y, AC x, A'B'AB ====注：对反向相似中任意两组对应的有向线段 b'a, b, a', ''b a b a =,''b ba a =,b a b a •=•''，0''i b a b a ≡•+•，0''1≡•-•b a b a 成立. 命题3. 若AB ∥CD ，Q 是直线CD 上的任一点，则Im （AB PQ •）= Im （﹣AB PQ •）为定值.证明：只需证Im （AB PQ •）为定值.AB CQ AB PC AB CQ PC AB PQ •+•=•+=•)(，由AB CQ //可得0i AB CQ ≡• ，∴AB PC AB PQ i •≡•, 即Im （AB PQ •）为定值.特别的，当Q 在直线AB 上时，Im （AB PQ •）= Im （﹣AB PQ •）= Im （AB PA •）ABC D B'C C'C= Im （PB PA •）。
命题4. 若AB ⊥CD ，Q 是直线CD 上的任一点，则Re （AB PQ •）= Re （AB PQ •）为定值.证明：只需证Re （AB PQ •）为定值.AB CQ AB PC AB CQ PC AB PQ •+•=•+=•)(，由AB CQ ⊥ 可得01≡•AB CQ ，∴AB PC AB PQ •≡•1, 即Re （AB PQ •）为定值.借助上述命题和复数的其他知识解决一些问题时思路往往显得很新颖直接.问题1.已知：△ABC 及△ADE 反向相似，M 、N 分别是BD 、CE 的中点，BE 、CD 交于点X.求证：（1）AX//MN.（2）若∠ABC=∠ADE=90O ，则AX ⊥BD 证明：（1）0)(2i i AC AD AE AB DC BE AX MN AX ≡•+•≡+•=• 因此，AX//MN 。
（2）)()(21-•≡-•+=•DE AD BC AB AD DE BC BD MN ∴BD MN ⊥,进而BD AX ⊥.问题2. 已知：Ｏ、Ｈ分别是△ABC 的外心、垂心，D 、E 是AB 、AC 的中点，CFD B⊥AB 于F ，BG ⊥AC 于G ， DE 、FG 相交于P ； 求证：AP ⊥OH证明：由外心、垂心的性质易得BC AH AC OE AB OD ⊥⊥⊥,,；由D 、E 是AB 、AC 的中点，CF ⊥AB 于F ，BG ⊥AC 于G 可得△ADE ∽△AGF ∽△ABC ，DE ∥BC ，于是又有AH ⊥DE.∴01=•-•≡•-•=•AF AD AG AE AF AO AG AO FG AO ，可得FG AO ⊥； ∴011=•-•≡•-•≡•-•=•AD AF AG AE AO AF AH AE AO AP AH AP OH AP ，可得OH AP ⊥.问题3. （田开斌老师题）已知：□ABCD 中，CE 、DF 分别垂直BD 、AC 于E 、F ，FE 及BA 相交于G ； 求证：OG ⊥AD.证明：分别过C 、D 作CM 、DN 垂直于OC 、OD ，且交易知CE ∥DN ，DF ∥CM ，MN ∥EF ，Rt △EOC ∽Rt △ABC可得i k OCMC ODDN ==，R k ∈；∴0)(OG 01)(OG AD OG i MC DN OD OC ≡+•⇔≡+•⇔⊥而MN OE DC OA iMN DC OG MC DN OG •+•≡+•=+•)()(i OCOD OD OC i ON OE OD OC i MN OE CD OC ≡•+•≡•+•≡•+•=，∴OG ⊥AD 。
问题4. （叶中豪老师题）已知:矩形ABCD 内接于⊙O ，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，BF 、DE 相交于P ，AP 交⊙O 于G ； 求证：EG ⊥FG证明：连接CG ，易知CG ⊥AG ，则GCCF GE CF GC GC GE CF GC GC GE CF GE GC GE CF GC GE GF GE •+=•+•≡•+•≡•+•=+•=•)(11)(由AP ⊥CG 可知 0)(0)(011i AP CF GE GC CF GE GF GE FG EG ≡•+⇔≡•+⇔≡•⇔⊥； 而0)(i BC BE BP BC BC PE i BP CB AD PE i BP CF AP PE iAP CF GE ≡•=•+•≡•+•≡•+•≡•+，所以原命题得证.问题5. （叶中豪老师题）已知：AB=AC ，M 是BC 上一点，过点M 作MD 、ME 分别交AB 、AC 于D 、E ，且使得∠BMD=∠CME ， O 、P 、Q 分别是BC 、DE 、AM 的中点； 求证：O 、P 、Q 在同一直线上. 证明：易知△BMD ∽△CME ，EM CE DA CE EM BD EM DA CE BD PQ OP i •+•+•≡+•+=•)()(22 0)(i i DM CE EM BD EM CE ME DM CE EM BD ≡•+•=•++•+•≡∴O 、P 、Q 在同一直线上.问题6. 已知：如图，△ABC ∽△ADE ，G 、H 分别是它门的垂心，直线CD 、EB 交于点M ； 求证：AM ⊥GH.证明：由相似三角形及垂心的性质易知ki AH DEGA BC ==，其中k 为实数， 因此，001i DE)(BC AM GH AM GH AM ≡+•⇔≡•⇔⊥；EB AE CD AC DE BC MA EB ME CD MC •+•=+•+•+•)(0i i AB AE AD AC ≡•+•≡.当MCD 、MEB 共线时，0i i EB ME CD MC ≡•≡•， 可得0i DE)(BC AM ≡+•，原命题得证. 另一种表达方式：以A 为原点，B=1建立复平面，可设C 、D 、E 因此，GH AM GH AM •⇔⊥为纯虚数DE)(BC AM +•⇔BCCexCEB AE CD AC DE BC MA EB ME CD MC •+•=+•+•+•)( )1()(x e x e e x e -+-=显然为实数，原命题得证。
以上6个问题的解决基本上是借助命题3或命题4将问题归结至相似三角形中，再由命题2作出判断.比较多的依赖于几何图形的形式，而更多的时候我们会充分借助其“数”的特征，用“数”来反映几何图形中的关系,再通过“数”的“运算”达成目的。
问题7. （潘成华老师题）已知正方形ABCD 、AEFG ，P 、Q 、R 分别是BF 、AE 、CG 的中点，求证：PQ=PR 且PQ ⊥PR 证明：∵ PR FGBC FE i BA i FE BA i PQ i =+=•+•=+•=•222 ∴PR PQ =,且PR PQ ⊥.问题8. （潘成华老师题）已知：M 、N 分别是正方形分别是CG 、BF 的中点，PQ 、MN 交于点O,求证：∠POM=45°，且PQ=22MN.设21i e -=,则PQ GF CB AF CA e MN e =+=+•=•22问题9.. （潘成华老师题）以任意△ABC 三边为边向外作等边三角形ABD 、BCE 、CAF ，M 、Q 、N 分别是△ABD △BCE △CAF 的外心，U 、V 、P 分别是DF 、MN 、BC 的FE O中点；求证：UV ∥PQ 且UV=PQ.证明：取AB 、AC 中点G 、H ，设AB 、BC 、CA 、GD 、PE 、HF 对应的复数分别为a 、b 、c 、x 、y 、z ，k= i 23-, 易知c k z b k y a k x •=•=•= , ,，00=++=++z y ,x c b a ； 由三角形外心的性质可知031312=++=++=++=+z)y (x HF)PE (GD PQ NF MD PQ VU ，原命题得证. 注：由以上证明可以看出结论对向外作顺相似的三角形都成立.问题10. （潘成华老师题）.以任意△ABD 、CAF ，L 、M 分别是△ABD 、△CAF 的外心，以两边BC 为边向外作等边三角形BCE ，K 是△BCE 的外心； 求证：ML 、AK 相互平分. 证明：设O O i e 60sin 60cos •+=， ∵333EC BD B A A F C A KL AM ++-+++-++=+ )(333CA BC AB e CF EC AD C E A C D F ++=++=---++==0,∴四边形、AK 相互平分. FD FD问题11. （潘成华老师题）.以任意△ABC 三边为边向外作等边三角形CAD 、BCE 、ABF ，U 、V 、X 、Y 分别是CB 、CA 、EF 、DF 的中点，直线UX 、VY 相交于P ； 求证：∠P+∠ACB=120°. 证明：设O O i e 60sin 60cos •+=,CA e BA CB e BF CE UX •=+•=+=2)(22，CB eAB CA e AF CD VY •=+•=+=2)(22， ∴2e ee UX VY CB CA ==•，∠P+∠ACB=120°.问题11. （潘成华老师题） 以任意△ABC 三边为边相外作等边三角形ABD 、BCE 、CAF ，M 、N 分别是DE 、EF 的中点； 求证：△AMN 是等边三角形.证明：设AB 、BC 、CA 对应的复数分别为a 、b 、c ， 60sin 60cos ⋅-=i e ,DBPF则0)(212222=++•+=+++++•=++-++•=-•c b a e be c c e eba ea e CEAC AF BEAB AD e AN AM e于是AM e AN •=，可得∠MAN=60O ，且AM=AN ，△AMN 是等边三角形.问题12. （潘成华老师题） .以任意△ABC 三边为边向外作等边三角形ABD 、BCE 、CAF ，G 、H 、I 、J 、K 、L 分别是AD 、DB 、BE 、EC 、两两相交于X 、Y 、Z ； 求证：△XYZ 是等边三角形. 证明：设O O i e 60sin 60cos •+=,,22HK AF BC DA AC BE DB e GJ e =++=++•=•O YXZ 60=∠∴；同理O XZY ZYX 60=∠=∠，原命题得证.-ebC HF D B问题13. . （潘成华老师题）以任意△ABC 两边AB 、AC 为边向内作等边三角形ABD 、CAF ，L 、M 分别是△ABD 、△CAF 的外心，以两边BC 为边向外作等边三角形BCE ，K 是△BCE 的外心； 求证：△AFB ∽△KLM. 证明：设AB 、BC 、CA 对应的复数分别为a 、b 、c ，o o o o i e i f 60sin 60cos )30sin 30(cos 33+=+=、, ace fa cf fc fb a f b f CM KC BL KB KM KL -=-=+--=++=, KMKLa c e AB AF =-=, 故△AFB ∽△KLM.问题14. （潘成华老师题）已知：△ABD 、△ACE 均为等边三角形，M 、N 是它们的中心，DN 、EM 相交于点F ，G 、H 分别是BC 、EM 的中点； 求证：F 、G 、N 、H 四点共圆证明：作等边△PAE ，Q 是其外心，设Oi e 60cos •+=oMHG e AEMA AE MA e AEMA CE BM MEGH 6021)(21)(21=∠⇒=++=++=，DBDBEDoDNG e ANDA AN DA e ANDA AQ BA DNGN 6021)(21)(21=∠⇒=++=++=∴o DNG MHG 60=∠=∠，于是F 、G 、N 、H问题15. （潘成华老师题）已知：△ABD 、△ACE 均为等边三角形，G 、H 、I 分别是AE 、BC 、AD 的中点，XYZ 分别是△ABD 、△ACE 求证：线段XY 中点Z 是△GHI 的外心. 证明：设O O i e 60sin 60cos •+=，⇒=+=+•=•GI EAAD EC AB e GH e 22△GHI ∴62DB A EC A Y X Z +++++=+=, 3)222(31IH G D A E B E A ++=+++++•=， 即Z 是△GHI 的外心.问题16. （潘成华老师题） 已知：正方形ABED 、BCGF 、CAHI 、EFJK ，且KI 、JH 交于点P ；求证：(1)DG 通过点P ，(2)∠DPK=45°.证明：设AB 、BC 、CA 、EK 对应的复数分别为a 、b 、c 、d,易知a+b+c=0,d=b-a. (1)b ia ib+d ic+a FJ BF AB HA HJ +=--=+++=，ib a KI -=，b i a i DG )1()1(-++=； ∴KI HJ DG +=；于是)(KI HJ PD KI PK HJ PH GD PD KI PK HJ PH +•-•+••+•+•=EDBEDKI DK HJ DH •+•=ib)(a d)(a b)+(ia (ia+ic)-•++•=0)()(=-++=ib a b b ia b i当PHJ 、PKI 分别共线时，KI PK HJ PH •• 、均为实数， 则GD PD •也是实数，PGD 共线，即DG 通过D 点；(2)由(1+i)KI=DG 可得∠DPK=45°.问题17. （潘成华老师题）已知矩形ACHI 、BADE 、CBFG 两两相似，P 、Q 、R 、P'、Q'、R'皆为中点, 求证：PP'、QQ'、RR'共点.证明：设AB 、BC 、CA 、AD 、BF 、CH 对应的复数为a 、b且c ki b,z ki a,y ki x •=•=•=,0z y x =++,其中k 为实数；由P 、Q 、R 是中点易知0RR'QQ'PP'=++； 对任一点O 都有QQ'Q'R'PP'P'R'•+•=•+•+•RR'OR'QQ'OQ'PP'OP'0)(41)()(41i b y a x b c z a x c ≡+---•+--+-•-=； 当O 是PP'、QQ'的交点时，0i i QQ'OQ'PP'OP'≡•≡•，GD GDHE于是0i RR'OR'≡•，即O 在RR'上，原命题得证.问题18. （潘成华老师题）.以任意△ABC 两边AB 、AC 为边向内作等边三角形ABD 、CAF ，L 、M 分别是△ABD 、△CAF 的外心； 求证：BC 、ML 、FD.共点证明：以A 为原点，设F 、B 对应的复数为x 、y, 231i e +=，31+=e f . PFD 、PBC 共线⇒)()(x ey x p -•-及)()(ex y ex p -•-均为实数， 两式相加得y x x y e p --+•))(1(为实数,从而y x x y e p i ≡-+•))(1(；于是0)31(31)()()()(=•-=•-•≡-•--•≡-•-y x f f y x f f y x x y x f f x y f p fx fy fx p i i ∴PML 也共线，原命题得证.问题19. （潘成华老师题）已知△ABD 、△BCE 、△CAF 均为等边三角形，X 、Y 、Z 分别是FD 、DE 、EF 的中点， 求证：(1)AX 、BY 、CZ 共点；（2）设（1）中交点为J ，则∠AJY=∠BJZ=∠CJX =60°.证明（一）：设CA ，CB 对应的复数为a 、b ，e=cos60°+i •FFDyFD可得，222eb a e ,CZ ea-b ,BY b e a AX +==+-=，(1) 设AX 交BY 于J ，CJ=j ，2AX 及AJ 共线 b ea b)e (-a+j b)e (-a+(j-a)i i ≡•⇒≡•⇒0； 2BY 及BJ 共线b ea (ea-b) j (ea-b)(j-b)i i ≡•⇒≡•⇒0； 两式相加得011i i b b+ea ea )b]-e )a+([(e-j ≡≡•，又1 =e e+，可得011)i )b]-e )a+([(e-j ]a+eb e ([j ≡•=-•，∴CZ 、CJ 共线，从而AX 、BY 、CZ 共点.(2) 由AX CZ e CZ BY e BY AX e =•-=•-=•- , ,可得∠AJY=∠BJZ=∠CJX =60°.证明二:只证（1）设AB 、BC 、CA 对应的复数分别为ao i o e 60sin 60cos •-=,显然a+b+c=0,可得0=++CZ BY AX , BY CB AX CA CZ JC BY JB AX JA •+•=•+•+•022i ae eb b c e ea c ≡-•--•=(利用a+b+c=0,简单整理即得) 当0i i BY JB AX JA ≡•≡•时，0i CZ JC ≡•， ∴AX 、BY 、CZ 共点.问题20.已知：OA=OD ，OB=OE ，∠AOD=∠BOE ，AE 、BD 交于C ，M 是△ABC 的外心.FE求证：OM ⊥DE 证明（一）设OA=a ,OB=b ,OC=c ,2OM=x ,|e |=1，取AD 、BE易知OX ⊥AD ，OY ⊥BE ，Rt △AOX ∽Rt △BOY ；由问题（1）可知OC ⊥XY ，可得01≡--+b)e b a (ea c 由M 是△ABC 外接圆的圆心可知b)(a b)][x-(a b-a)e (a)][x-(c (b-ea)、c)][x-(b -+++ 、三式相加得b)ea -b (ea b)e a-b-(ea c b-ea)e (x +++是纯虚数, ∴b-ea)e (x 也是纯虚数,OM ⊥DE. 证明（二）取△ABC 三边中点P 、Q 、R 及AD 、BE 中点X 、Y ，易知MP 、MQ 、MR 分别垂直于AC 、BC 、AB,OX 、OY 分别垂直于AD 、BE ，OC ⊥XY ； ∵0=+++ED AE BA DB ，∴)(2ED MO AE MP BA MR DB MQ •+•+•+•AE OA OC BA OB OA DB OC OB AE OP BA OR DB OQ •++•++•+=•+•+•=)()()()(2 02)()(11≡•=+•≡+•+•+•=XY OC AE DB OC AE DB OC DA OB BE OA∴当0111≡•≡•≡•AE MP BA MR DB MQ 时，01≡•ED MO ，原命题得证.注：证法二实质上是将原问题转化为四线共点DEE问题21.已知：△AOB 及△COD 反相似，G 、H 是它们的垂心； 求证：AC 、BD 、GH 共点.证明：以O 为原点建立复平面，设A 、C 、B 、D 、G 、H 对应的复数分别为y f fx y e ex y x 、、、、、；MAC 共线⇒)()(x y x m -•-为实数⇒y x x y m i ≡-•)( ------①； MBD 共线⇒)()(ex y e ex m -•-为实数⇒y x e ex y e m i •≡-•2)( -----②；设e f 21λλ+=,其中21λλ、为实数,则1λ•① +2λ•②得y x e fx fy m i •+≡-•)()(221λλ， 而MGH 共线等价于y x f fx fy m i •≡-•2)(,因此只要对e 、f 证明存在实数21λλ、同时满足⎩⎨⎧+=+=221221e f e f λλλλ便可推出原命题， 解此方程组得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=e e f f e f e f )1()1(1)(21λλ，由G 是垂心易知21λλ、为实数，故原命题得证.MA问题22.已知：等腰△ABC 中，AC=BC ，D 是它的垂心，Ｏ是AB 的中点，P 是以AB 为直径的圆Ｏ上的一个动点，求证：当P 在AB 上方时，∠APC=∠BPD ；而当P 在AB 下方时，∠APC+∠BPD=180°. 证明：由题易知Rt △AOD ∽Rt △COB,OA 2=OD ·OC ；以Ｏ为原点，⊙Ｏ为单位圆建立复平面，设Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、P 对应的复数分别为-1、1、ki 、i k1、p=θi θsin cos •+，其中k 为负实数.θcos 21)1(11)1(112)1(1111•+-=-•+-=-•+-=--•+-=•k k p p k k p p k k p ik p p ki p BPDP APCP 为实数；当P 在AB 上方时，πθ<<0， 211=+>•BP DPAP CP，可得∠APC=当P 在AB下方时，πθπ2<<， 011=-<•BPDPAP CP ，可得∠APC+AB问题23.已知：圆 O 是△ABC 的内切圆，D 、E 、F 是切点，M 、N 分别是AD 、BC 的中点；求证：M 、O 、N 三点共线.证明：以Ｏ为原点，⊙Ｏ为单位圆建立复平面，设D 、E 、F 对应的复数分别为1、x 、y ，其中|x|=|y|=1.连接OA 、EF 交于P ，易知P 为EF 的中点，Rt △OPF ∽Rt △OFA,OF 2=OP ·OA ； 所以1=•A P ，而2y x P +=,从而y x A +=2，同理，12+=y B 、12+=x C ， 进而)()1(21111y x xy y x y x N +++++=+++=，211y x y x M ++=++=， ∴21)()(221)(21++++++=+++=y x y x y y x x y x xy ON OM 为实数，问题24. （叶中豪老师题）已知：圆 I 是△ABC 的内切圆，D 、E 、F 是切点，M 是AD 的中点；求证：若M 在⊙I 上，则ICIBMC MB =. 证明：以I 为原点,⊙I 为单位圆建立复平面,设D 、E 、F 、M 对应的复数分别为x 、y 、z 、m ，其中|x|=|y|=|z|=|m|=1, 易知A 、B 、C 对应的复数分别为z y +2、xz +2、y x +2，而21x z y m ++=； BC1)()()()()(2)(2)(2)(22222==+-++-+=+-+-=+-+-=++•-+-+=•EA FA D E D A D F D A y x m x z m y x m x z m x z y x myx m xz IB IC MC MB ；∴ICIBMC MB =.结束语：个人认为不存在万能的方法，复数法亦如此，因此在使用复数法解平面几何题的时候应兼顾数及形两方面，以数助形，数形结合，还应让复数的方法融入到众多已有的几何结论中去，站在已有定理的基础上才能“看”得更远.。
