3.1.2复数的几何意义教案

3.1.2复数的几何意义【教学目标】1. 理解复数与复平面的点之间的一一对应关系2.理解复数的几何意义 并掌握复数模的计算方法3、理解共轭复数的概念，了解共轭复数的简单性质【教学重难点】复数与从原点出发的向量的对应关系【教学过程】一、复习回顾（1）复数集是实数集与虚数集的（2）实数集与纯虚数集的交集是（3）纯虚数集是虚数集的（4）设复数集C 为全集，那么实数集的补集是（5）a ，b ．c ．d ∈R ，a+bi=c+di ⇔（6）a=0是z=a+bi(a ，b ∈R)为纯虚数的 条件二、学生活动1、阅读 课本相关内容，并完成下面题目（1）、复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是 的（2）、 叫做复平面， x 轴叫做 ，y 轴叫做 实轴上的点都表示 虚轴上的点除原点外，虚轴上的点都表示（3）、复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数 ←−−−→一一对应复平面内的点 ←−−−→一一对应平面向量 （4）、共轭复数（5）、复数z =a +bi (a 、b ∈R )的模 2、学生分组讨论（1）复数与从原点出发的向量的是如何对应的？（2）复数的几何意义你是怎样理解的？（3）复数的模与向量的模有什么联系？（4）你能从几何的角度得出共轭复数的性质吗？3、练习（1）、在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：4，3+i ，-1+4i ，-3-2i ，-i（2）、已知复数1Z =3-4i，2Z =i 2321+，试比较它们模的大小。

（3）、若复数Z=4a+3ai(a<0)，则其模长为（4）满足|z|=1(z ∈R)的z 值有几个？满足|z|=1(z ∈C)的z 值有几个？这些复数对应的点在复平面内构成怎样的图形？其轨迹方程是什么？三、归纳总结、提升拓展例1．（2007年辽宁卷）若35ππ44θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限例2 复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个平行四边形的三个顶点，求这个平行四边形的第四个顶点对应的复数.例3.设Z 为纯虚数，且11z i -=-+，求复数Z例2图四、反馈训练、巩固落实1、判断正误（1） 实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数（2） 若|z 1|=|z 2|，则z 1=z 2（3） 若|z 1|= z 1，则z 1>02、()12m z i =当＜时，复数＋m-1在复平面上对应的点位于（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限3、已知a ，判断z=i a a a a )22()42(22+--+-所对应的点在第几象限4、设Z 为纯虚数，且|z+2|=|4-3 i |，求复数Z。

选修2-2（人教A）第三章数系的扩充与复数的引入【课题】：3.1.2 复数的几何意义【教学目标】：（1）知识与技能：了解复数的几何意义，会用复平面的点和向量来表示复数；（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对复数几何意义的理解；（3）情感态度与价值观：培养学生用联系的观点分析、解决问题的能力。

.【教学重点】：复数的代数形式和复数的向量表示.【教学难点】：复数的向量表示.【课前准备】：powerpoint课件【教学过程设计】：六、作业1、在复平面内，复数2)31(1i ii+++对应的点位于 （ B ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2、复数iz -=11的共轭复数是 （ B ） A ．i 2121+ B ．i 2121- C ．i -1 D ．i +13、对于任意两个复数,111i y x z +=i y x z 222+=)(2,2,1,1R y x y x ∈.定义运算“⊙”为1z ⊙2z =21x x +21y y ，设非零复数21,w w 在复平面内对应的点分别为21,P P ，点O 为坐标原点，如果1w ⊙2w =0,那么在△21OP P 中，∠21OP P 的大小为2π. 4、在复平面内指出与复数i z i z i z i z +-=-=+=+=2,23,32,214321 对应的点4321,,,Z Z Z Z .试判断这四个点是否在同一个圆上？并证明你的结论.解：因为︱1z ︱=52122=+，︱2z ︱=5，︱3z ︱=5，︱4z ︱=5，所以，4321,,,Z Z Z Z 这四个点都在以圆点为圆心，半径为5的圆上.5、如果P 是复平面内表示表示复数a +bi （a ，b ∈R ）的点，分别指出在下列条件下点P 的位置：（！）a >0，b>0; (2) a <0,b>o; (3)a =0,b ≤0; (4)b<0.解：（1）第一象限 （2）第二象限 （3）位于原点或虚轴的下半轴上 （4）位于实轴下方6、设,bi a z +=满足下列条件的点Z 的集合是什么图形?(1);20<<b (2).16,0,022<+>>b a b a。

2019-2020年高中数学《3.1.2复数的几何意义》教案 新人教A 版选修1-2 教学要求：理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

教学重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

教学难点: 根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

教学过程：一、复习准备：1. 说出下列复数的实部和虚部，哪些是实数，哪些是虚数。

14,72,83,6,,20,7,0,03,3i i i i i i i +-+---2．复数，当取何值时为实数、虚数、纯虚数？3. 若，试求的值，（呢？）二、讲授新课：1. 复数的几何意义：① 讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？（分析复数的代数形式，因为它是由实部和虚部同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标） 结论：复数与平面内的点或序实数一一对应。

②复平面：以轴为实轴， 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面。

复数与复平面内的点一一对应。

③例1：在复平面内描出复数14,72,83,6,,20,7,0,03,3i i i i i i i +-+---分别对应的点。

（先建立直角坐标系，标注点时注意纵坐标是而不是）观察例1中我们所描出的点，从中我们可以得出什么结论？④实数都落在实轴上，纯虚数落在虚轴上，除原点外，虚轴表示纯虚数。

思考：我们所学过的知识当中，与平面内的点一一对应的东西还有哪些？⑤Z a bi =+↔一一对应复数复平面内的点(a,b)，Z a bi =+↔一一对应复数平面向量OZ ，↔一一对应复平面内的点(a,b)平面向量OZ注意：人们常将复数说成点或向量，规定相等的向量表示同一复数。

2．应用例2，在我们刚才例1中，分别画出各复数所对应的向量。

练习：在复平面内画出23,42,13,4,30i i i i i +--+--所对应的向量。

小结：复数与复平面内的点及平面向量一一对应，复数的几何意义。

【教学设计】3.1.2《复数的几何意义》福建省福清华侨中学王莺教学目标：1.知识与技能：了解复数的几何意义和复数模的几何意义，并能适当应用。

2.过程与方法：通过类比实数的几何意义来学习复数的几何意义，类比向量求模来学习求复数的模，培养学生的逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：通过复数几何意义的学习，培养学生数形结合的数学思想，从而激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：复数的几何意义以及复数的模。

教学难点：复数的几何意义及模的综合应用。

教学方法：主要让学生类比实数的几何意义，探究出复数的几何意义；类比向量的模探究出复数的模。

教学过程：一、复习引入上节课引入了复数，学习了复数的定义，从而把数系由实数系扩充到了复数系，请同学们回忆：（1）复数是如何定义的？把形如z=a+bi的数叫做复数，其中a，b都是实数。

a叫实部，b叫虚部，i叫虚部单位。

i又是什么特点？（2）复数z=a+bi (a,b∈R )表示实数的条件是？表示虚数的条件是？表示纯虚数的条件是？（3）两个复数相等的充要条件是什么？我们上节课知道了，对于一般的两个复数是不能比较大小的，那么为什么不能比较大小？复数的本质是什么？又有什么意义呢？这节课我们从形的角度研究复数，学习复数的几何意义。

二、新课讲解1.复数的几何意义（1）师：在几何上，我们可以用什么来表示实数呢？------数轴上的点！师：实数与数轴上的点有着怎样的对应关系？-------一一对应！师：也就是说实数与数轴上的点，在数与形上是一一对应的，因此，在几何上，我们可以用数轴上的点来表示实数。

类比实数的表示，在几何上，我们可以用什么来表示复数呢？师：一个复数是由哪两部分唯一确定的？------由实部a与虚部b共同唯一确定的！师：若将实部a与虚部b构成一个有序实数对(a,b)，那么复数z=a+bi (a,b∈R )与有序实数对(a,b)之间有怎样的对应关系呢？------一一对应！师：而有序实数对(a,b)又与直角坐标系中的点(a,b)是一一对应的。

3.1.2 复数的几何意义教学要求：理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

教学重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

教学难点: 根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

教学过程：一、复习准备：1. 说出下列复数的实部和虚部，哪些是实数，哪些是虚数。

14,72,83,6,,20,7,0,03,3i i i i i i i +-+---2．复数(4)(3)z x y i =++-，当,x y 取何值时为实数、虚数、纯虚数？3. 若(4)(3)2x y i i ++-=-，试求,x y 的值，（(4)(3)2x y i ++-≥呢？）二、讲授新课：1. 复数的几何意义：① 讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？ （分析复数的代数形式，因为它是由实部a 和虚部同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标） 结论：复数与平面内的点或序实数一一对应。

②复平面：以x 轴为实轴， y 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面。

复数与复平面内的点一一对应。

③例1：在复平面内描出复数14,72,83,6,,20,7,0,03,3i i i i i i i +-+---分别对应的点。

（先建立直角坐标系，标注点时注意纵坐标是b 而不是bi ）观察例1中我们所描出的点，从中我们可以得出什么结论？④实数都落在实轴上，纯虚数落在虚轴上，除原点外，虚轴表示纯虚数。

思考：我们所学过的知识当中，与平面内的点一一对应的东西还有哪些？⑤Z a bi =+↔一一对应复数复平面内的点(a,b)，Z a bi =+↔u u r 一一对应复数平面向量OZ ，↔u u r 一一对应复平面内的点(a,b)平面向量OZ注意：人们常将复数z a bi =+说成点Z 或向量u u r OZ ，规定相等的向量表示同一复数。

【学习目标】1.理解复数与从原点出发的向量的对应关系;2.了解复数的几何意义 【学习过程】： 一、学前准备：1. 说出下列复数的实部和虚部，哪些是实数，哪些是虚数。

14,72,83,6,,20,7,0,03,3i i i i i i i +-+---2．复数(4)(3)z x y i =++-，当,x y 取何值时为实数、虚数、纯虚数？3. 实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？4.若(,)A x y ，(0,0)O ，则=OA5. 若),(11y x =a ，),(22y x =b ，则b +α = ，b a - =6. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则=AB即 AB =OB -OA =分析复数的代数形式，因为它是由实部a 和虚部同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标二、合作探究： 1. 复平面：2.在复平面内描出复数14,72,83,6,,20,7,0,03,3i i i i i i i +-+---分别对应的点。

(先建立直角坐标系，标注点时注意纵坐标是b 而不是bi )观察我们所描出的点，从中我们可以得出什么结论？思考：我们所学过的知识当中，与平面内的点一一对应的东西还有哪些？【典例分析】例1. (2007年辽宁卷）若35ππ44θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限例2. 若复数22(34)(56)Z m m m m i =--+--表示的点在虚轴上，求实数a 的取值。

【学法指导】复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R )，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定，如z =3+2i 可以由有序实数对(3，2)确定，又如z =－2+i 可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a ，b )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i ，z =－5－3i 对应的点(－5，－3)在第三象限等等.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 【检测与反馈】1.(A) 分别写出下列各复数所对应的点的坐标。

3.1.2 复数的几何意义学习目标1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数，及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模表示复数的模的方法．知识梳理知识点一 复平面的概念和复数的几何意义1．复平面的概念根据复数相等的定义，任何一个复数z ＝a ＋b i ，都可以由一个有序实数对(a ，b )唯一确定．因为有序实数对(a ，b )与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应．如图所示，点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z ＝a ＋b i 可用点Z (a ，b )表示．这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做________，x 轴叫做______，y 轴叫做______．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．因此，复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z ＝a ＋b i 复平面内的点______，这是复数的一种几何意义．3．复数集与复平面中的向量的一一对应关系在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的．这样，我们还可以用平面向量来表示复数．如图所示，设复平面内的点Z 表示复数z ＝a ＋b i ，连接OZ ，显然向量OZ →由点Z 唯一确定；反过来，点Z (相对于原点来说)也可以由向量OZ →唯一确定．因此，复数集C 与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z ＝a ＋b i平面向量______，这是复数的另一种几何意义．思考 (1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗？(2)象限内的点与复数有何对应关系？知识点二 复数的模1．如图所示，向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|.如果b ＝0，那么z ＝a ＋b i 是一个实数a ，它的模等于|a |(就是a 的绝对值)．由模的定义可知：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝________(r ≥0，r ∈R )．2．复数的模的性质，设z 1，z 2是任意两个复数，则(1)|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|，⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|(|z 2|≠0)(复数的乘、除法将在下节学习到)．(2)|z n 1|＝|z 1|n (n ∈N *)．(3)|||z 1|－|z 2|≤|z 1＋z 2|≤|z 1|＋|z 2|，等号成立的条件是：①当|z 1＋z 2|＝|z 1|＋|z 2|时，即z 1，z 2所对应的向量同向共线；②当||z 1|－|z 2||＝|z 1＋z 2|时，即z 1，z 2所对应的向量反向共线．(4)||z 1|－|z 2||≤|z 1－z 2|≤|z 1|＋|z 2|，等号成立的条件是：①当|z 1－z 2|＝|z 1|＋|z 2|时，即z 1，z 2所对应的向量反向共线；②当||z 1|－|z 2||＝|z 1－z 2|时，即z 1，z 2所对应的向量同向共钱．思考 复数的模的几何意义是什么？题型探究题型一 复数与复平面内的点例1在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围．反思与感悟复数实部、虚部分别对应了复平面内相应点的横坐标和纵坐标，在复平面内复数所表示的点所处的位置，决定了复数实部、虚部的取值特征．跟踪训练1实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.(1)对应的点在x轴上方；(2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上．题型二复数的模的几何意义例2设z∈C，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形．(1)|z|＝2；(2)1≤|z|≤2.反思与感悟解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决．跟踪训练2若复数z满足|z－i|≤2(i为虚数单位)，则z在复平面所对应的图形的面积为________．题型三复数的模及其应用例3已知复数z＝3＋a i，且|z|<4，求实数a的取值范围．反思与感悟利用模的定义将复数模的条件转化为其实、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想；根据复数模的意义，结合图形，也可利用平面几何知识解答本题．跟踪训练3已知复数|z|＝1，求复数3＋4i＋z的模的最大值及最小值．复数与函数的综合应用对于求复数的题目，一般的解题思路是：先设出复数的代数形式，如z＝a＋b i(a，b∈R)，利用题目给出的条件，结合复数的相关概念和性质，列出方程(或方程组)，求出a，b，最后将复数的代数形式写出来．例4 已知f (z )＝|2＋z |－z ，且f (－z )＝3＋5i ，求复数z .分析 题目中出现了f (z )与f (－z )的关系式，可由f (z )得到f (－z )的另一种关系式．要求复数z ，只需设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，求出a ，b 即可．利用复数相等的充要条件即可列方程组求解．解 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．∵f (z )＝|2＋z |－z ，∴f (－z )＝|2－z |＋z .又∵f (－z )＝3＋5i ，∴|2－z |＋z ＝3＋5i ，∴|2－(a ＋b i)|＋a ＋b i ＝3＋5i. 即(2－a )2＋(－b )2＋a ＋b i ＝3＋5i.根据复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧ (2－a )2＋(－b )2＋a ＝3，b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－10，b ＝5. ∴复数z ＝－10＋5i.当堂检测1．在复平面内，复数z ＝i ＋2i 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i3．复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，如果|z 1|＜|z 2|，那么实数a 的取值范围是________．4．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________．5．已知z 1＝2(1－i)，且|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．参考答案知识梳理知识点一1．复平面 实轴 虚轴2．Z (a ，b )3.OZ →思考 (1)不是．(2)第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正；第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正；第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负；第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负．知识点二 1.a 2＋b 2思考 复数z 在复平面内对应的点为Z ，复数z 0在复平面内对应的点为Z 0，r 表示一个大于0的常数，则：①满足条件|z |＝r 的点Z 的轨迹为以原点为圆心，r 为半径的圆，|z |＜r 表示圆的内部，|z |＞r 表示圆的外部；②满足条件|z －z 0|＝r 的点Z 的轨迹为以Z 0为圆心，r 为半径的圆，|z －z 0|＜r 表示圆的内部，|z －z 0|＞r 表示圆的外部．题型探究例1 解 复数z ＝(m 2－2m －8)＋(m 2＋3m －10)i 的实部为m 2－2m －8，虚部为m 2＋3m －10.(1)由题意得m 2－2m －8＝0.解得m ＝－2或m ＝4.(2)由题意，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －8＜0，m 2＋3m －10＞0，∴2<m <4. (3)由题意，(m 2－2m －8)(m 2＋3m －10)<0，∴2<m <4或－5<m <－2.(4)由已知得m 2－2m －8＝m 2＋3m －10，故m ＝25. 跟踪训练1 解 (1)由m 2－2m －15>0，得m <－3或m >5，所以当m <－3或m >5时，复数z 对应的点在x 轴上方．(2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋4＝0，得m ＝1或m ＝－52，所以当m ＝1或m ＝－52时，复数z 对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上．例2 解 (1)方法一 |z |＝2说明复数z 在复平面内对应的点Z 到原点的距离为2，这样的点Z 的集合是以原点O 为圆心，2为半径的圆．方法二 设z ＝a ＋b i ，由|z |＝2，得a 2＋b 2＝4.故点Z 对应的集合是以原点O 为圆心，2为半径的圆．(2)不等式1≤|z |≤2可以转化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|z |≤2，|z |≥1. 不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2及该圆内部所有点的集合．不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1及该圆外部所有点的集合．这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z |≤2的点的集合．如图中的阴影部分，所求点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界．跟踪训练2 2π解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z －i ＝x ＋y i －i ＝x ＋(y －1)i ，∴|z －i|＝x 2＋(y －1)2，由|z －i|≤2知x 2＋(y －1)2≤2，x 2＋(y －1)2≤2.∴复数z 对应的点(x ，y )构成以(0,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，∴所求图形的面积为S ＝2π.故填2π. 例3 解 方法一 ∵z ＝3＋a i(a ∈R )，∴|z |＝32＋a 2，由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a ∈(－7，7)．方法二 利用复数的几何意义，由|z |<4知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z ＝3＋a i 知z 对应的点在直线x ＝3上，所以线段AB (除去端点)为动点Z 的集合． 由图可知：－7<a <7.跟踪训练3 解 令ω＝3＋4i ＋z ，则z ＝ω－(3＋4i)．∵|z |＝1，∴|ω－(3＋4i)|＝1，∴复数ω在复平面内对应的点的轨迹是以(3,4)为圆心，1为半径的圆，如图，容易看出，圆上的点A所对应的复数ωA的模最大，为32＋42＋1＝6；圆上的点B所对应的复数ωB的模最小，为32＋42－1＝4，∴复数3＋4i＋z的模的最大值和最小值分别为6和4.当堂检测1．【答案】B【解析】∵z＝i＋2i2＝－2＋i，∴实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限．2．【答案】C【解析】由题意知点A的坐标为(6,5)，点B的坐标为(－2,3)．由中点坐标公式，得线段AB 的中点C的坐标为(2,4)，故点C对应的复数为2＋4i.3．【答案】(－1,1)【解析】因为|z1|＝a2＋4，|z2|＝(－2)2＋12＝ 5.又因|z1|＜|z2|，所以a2＋4＜5，解得－1＜a＜1.4．【答案】9【解析】∵z＝(m－3)＋2m i表示的点在直线y＝x上，∴m－3＝2m，解得m＝9.5．解如图所示，因为|z|＝1，所以z的轨迹可看作是半径为1，圆心为(0,0)的圆，而z1对应坐标系中的点为Z1(2，－2)，所以|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点的最大距离，则|z－z1|max＝22＋1.。

§3.1.2复数的几何意义教学目标：知识与技能：理解复数与从原点出发的向量的对应关系过程与方法：了解复数的几何意义情感、态度与价值观：画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用教学重点：复数与从原点出发的向量的对应关系．教学难点：复数的几何意义。

教具准备：多媒体、实物投影仪。

教学设想：复数z=a+bi(a 、b ∈R)与有序实数对(a ，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a 、b ∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b)惟一确定.教学过程：学生探究过程：1.若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =2. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差3. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=即 AB =OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)讲授新课：复平面、实轴、虚轴：复数z=a+bi(a 、b ∈R)与有序实数对(a ，b)是b Z(a ，b)a o yx这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a 、b ∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b)惟一确定，如z=3+2i 可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i 可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a ，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z=a+bi(a 、b ∈R)可用点Z(a ，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i ，z=－5－3i 对应的点(－5，－3)在第三象限等等.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.１．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ 例1．（2020年辽宁卷）若35ππ44θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：选B . 例2．（2020上海理科、文科）已知复数z 1=cos θ－i ，z 2=sin θ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值.[解] |)sin (cos cos sin 1|||21i z z θθθθ-++=⋅.2sin 412cos sin 2)sin (cos )cos sin 1(22222θθθθθθθ+=+=-++= 故||21z z ⋅的最大值为,23最小值为2. 例3．（2020北京理科）满足条件||||z i i -=+34的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）A. 一条直线B. 两条直线C. 圆D. 椭圆解：选C.巩固练习：课后作业：课本第106页 习题3. 1 A 组4，5，6 B 组1,2教学反思：复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.1．（2000广东，全国文科、理科，江西、天津理科）在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时钟方向旋转3π，所得向量对应的复数是：（ B ） （A ）23 （B ）i 32- （C ）3i 3- （D ）3+i 32． (1992全国理科、文科)已知复数z 的模为2,则│z -i│的最大值为：( D )(A)1 (B)2 (C) (D)33．（2020北京理科）若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是（ B ）A ．2B ．3C ．4D ．54．（2020年上海卷）若,a b 为非零实数，则下列四个命题都成立：①10a a+≠ ②()2222a b a ab b +=++ ③若a b =，则a b =± ④若2a ab =，则a b =则对于任意非零复数,a b ，上述命题仍然成立的序号是_____。

复数的几何意义教案2、复数的几何意义复数a+bi,即点Z（a,b）（亚数的几何形式）、即向量57（复数的向量形式。

以。

为始点的向量，规定：相等的向量表示同一个免数。

）三者的关系如下：［巩固练习］（1）、在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：4,2+i,-l+3i,3-2i,-i⑵、“a=0”是“复数a+bi（a,b∈R）所对应的点在虚轴上”的（（八）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（3）、复平面内，表示一对共聊复数的两个点具有怎样的位置关系？变式：其次象限的点表示的复数有何特征？问题4：实数可以比较大小，随意两个复数可以比较大小吗？认为可以者，请拿出进行比较的方法；认为不行以者，请说明理由。

（学生探讨，回答，订正错误，形成共识）面对全体学生（属基本题型），巩固概念，体会数形结合思想，重视一题多变，较全面地理解复数、复平面内的点、始点为原点的向量三者的关系。

阐明复数与实数的联系和区分，实数能比较大小，虚数不能比较大小，是实数的复数能比较大小，能比较大小的复数只能是实数。

复数可看作是向量OZ,向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，从而引出复数的模（或肯定值）。

通过学问的分层练习，使学生明确复数的模（或肯定值），即点Z 到复平面原点的距离，会求3、复数的模(或肯定值)向量。

Z的模叫做复数Z=a+bi的模(或肯定值)，记作团或|。

+例。

假如b=0, 那么Z=a+bi就是实数a,它的模等于同(即实数a的肯定值)。

∖z∖=∖a+bi[=y∣a2^b2复数的模。

(3)(4)中利用计算机动画，体会数形结合思想，加深数与形的相互转化。

［巩固练习］(1)、己知复数Z∣=3+4i,Z2=-l+5i,试比较它们模的大小。

(2)、若复数Z=3a-4ai(a<0),则其模长为°拓展与延长：(3)满意|z|=5(z£R)的Z值有几个？满意∣z∣=5(zWC)的Z值有几个？这些复数对应的点在复平面内构成怎样的图形？其轨迹方程是什么？(4)设Z∈C,满意2<Z≤3的点Z的集合是什么图形？(结果动画演示)问题5：既然复数可以用复平面内过原点的向量来表示，那么，复数的加法、减法有什么几何意义呢？它能像向量加法、减法一样，用作图的方法得到吗？y0(学生探讨，动手实践，回答；后用寸算机作图并用平面几何理论证明)4、复数加法、减法的几何意义设向量0Z∣,QZ2分别与复数a+bi,c+di对应，且,0Z2不共线，以OZ1,。