复数加减法及几何意义

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复数的几何意义与加减法的几何意义

怎样研究复数的几何意义？
复数由实数扩充得来
类比：实数的几何意义？
每一个实数在数轴上都有一个点与之对应数轴上的每一个点都有一个实数与之对应
实数与数轴上的点一一对应
实数的几何意义：实数可以用数轴上的点来表示
建构
z ? a ? bi, (a, b ? R)
实部虚部
横坐标纵坐标
数对 (a,b)
2.复数加、减法运算的几何意义
3.数形结合的思想方法
4.所学内容能解决什么样的问题？
例5.若 | z ? 3 ? 4i| ? 2 ,则 z 的最大值是__７___
y
变式: z 的最小值是_3__
－3
O
x
.Z C
－4
Z
探究:满足|z-i|+|z+i|=4(z∈C)的复数 z对应的点在复平面上构成怎样的图形？
阅读
1545年出现了负数开方问题.
数学家：笛卡尔
1637年，笛卡尔认为负数开方是“不可思
议的”，称这样的数为“虚数” (虚数一词沿用至今)
1799年，高斯给出了复数的几何解释，使得复数不再显得那么虚无缥缈了，人们从此真正接受了复数.
数学家：高斯
高斯是怎样给出复数的几何解释的？
复数的几何意义
问题
向量 OZ 与点 Z(a, b) 一．一．对．应．。
建构
复数z=a+bi 一一对应直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
y
uuur 一一对应平面向量 OZ
z=a+b
z ? a ? bi, (a, b ? R) ---复数的代数形式， Z(a,b) --------------- 复数的几何形式 OZ ------------------ 复数的向量形式

复数的加减法几何意义2

则平行四边形OABC是矩形;若z2≠0，则（z1/z2)2<0
C
z2 z2-z1
z1 A
z1+z2
B
4、 |z1|= |z2|，| z1+ z2|= | z1- z2| 则平行四边形OABC是正方形
三、复数乘法的几何意义：
两个复数Z1与Z2相乘时，可以先画出分别与之相对应的向量OP1、OP2，然后把向量OP1按逆时针方向旋转一个角，再把它的模变为原来的r2倍，所得的向量就表示积。
Z1
x
O
1、两个复数的差z2-z1与连结两个向量终点并指向被减数的向量对应。 2、复平面上两点间的距离|Z1Z2|=|z2-z1|
1、2(|z1|2+|z2|2)=| z1+ z2|2+ | z1- z2|2
2、|z1|= |z2| 则平行四边形OABC是菱形
o 3、 | z1+ z2|= | z1- z2|
4、（1）若arg(-2-i)=α,arg(-3-i)=β,求α +β
（2）若z1=-2,z2=1+
√3 i,z3=1-i,求arg[(z1z2)/z3]
5、若|z1|=3,|z2|=5,|z1-z2|=7,求z1/z2
6.已知ABC的三个顶点A, B,C对应的复数分别为
z1,
z2 ,
z3 , 若
z2 z3
4
(C) 11
4
(D) 5
4
2、在复平面内，直角三角形ABC的直角顶点C对应的
复数为-2，30度的顶点A对应的复为则点B所对应的复数为
5 3i
3.复平面内点A对应的复数为1,点B对应的复数为3 i, 将向量AB绕A按顺时针方向旋转900并将模扩大到原来的2倍得向量A C, 则点C对应的复数为

复数的加减法运算

例：已知复数 z = x + yi ( x , y ∈ R )满足 | z − ( −1 + 3 i ) |= 1, y (1)求 | z | 的范围（2)求的范围 x (1 ) z 对应的点表示以 ( − 1, 3 )为圆心，为半径的圆为圆心， 1
| z | 表示该圆上一点与原点的距离
∴ 整理得：( x − 1 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 2 整理得：
∴ 轨迹是以 (1, − 1)为圆心， 2为半径的圆为圆心，
复数的减法运算：复数的减法运算：
如果两个复数 z1 = a + bi ， z 2 = c + di (a , b, c , d ∈ R )
则定义：则定义： z 1 − z 2 = ( a − c ) + ( b − d ) i
∴ Re( x ) = ± 1
且 xy = | x | ⇒ Im( x ) = ± | x | − (Re( x )) = ± 1
2 2 2
∴ x = 1 + i , y = 1 − i或 x = 1 − i , y = 1 + i 或 x = − 1 + i , y = − 1 − i或 x = − 1 − i , y = − 1 + i
5 − 4 a ∈ [1 , 3 ]
5 − 4a
∴| z − 2 |∈ [1, 3 ]
∵ a ∈ [ − 1,1] ⇒
法二：法二：几何法
∴| z − 2 |∈ [1, 3 ]
( 2,0 )
法三：法三：利用 | z 1 | − | z 2 |≤ | z 1 ± z 2 |≤ | z 1 | + | z 2 | ∴|| z | − 2 |≤ | z − 2 |≤ | z | + 2 ∴| z − 2 |∈ [1, 3 ]

复数的加减法及其几何意义

复数的加减法及其几何意义一、复数的加减法1. 复数的定义- 设z = a+bi，其中a,b∈ R，a称为复数z的实部，记作Re(z)=a；b称为复数z的虚部，记作Im(z) = b。

- 例如，z = 3 + 2i，实部a = 3，虚部b=2。

2. 复数的加法法则- 设z_{1}=a_{1}+b_{1}i，z_{2}=a_{2}+b_{2}i，则z_{1}+z_{2}=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})i。

- 例如，若z_{1}=2 + 3i，z_{2}=1 - 2i，则z_{1}+z_{2}=(2 + 1)+(3-2)i=3 + i。

3. 复数的减法法则- 设z_{1}=a_{1}+b_{1}i，z_{2}=a_{2}+b_{2}i，则z_{1}-z_{2}=(a_{1}-a_{2})+(b_{1}-b_{2})i。

- 例如，若z_{1}=4+5i，z_{2}=2 + 3i，则z_{1}-z_{2}=(4 - 2)+(5 -3)i=2+2i。

二、复数加减法的几何意义1. 复数的几何表示- 在复平面内，复数z = a+bi可以用点Z(a,b)来表示，也可以用向量→OZ来表示，其中O为坐标原点。

- 例如，复数z = 3+2i对应的点为(3,2)，对应的向量→OZ，起点为O(0,0)，终点为Z(3,2)。

2. 复数加法的几何意义- 设z_{1}=a_{1}+b_{1}i，z_{2}=a_{2}+b_{2}i，它们对应的向量分别为→OZ_{1}和→OZ_{2}。

- 那么z_{1}+z_{2}对应的向量为→OZ_{1}+→OZ_{2}，即平行四边形法则：以→OZ_{1}和→OZ_{2}为邻边作平行四边形，则对角线→OZ对应的复数就是z_{1}+z_{2}。

- 例如，z_{1}=2 + i，z_{2}=1+2i，→OZ_{1}=(2,1)，→OZ_{2}=(1,2)，以→OZ_{1}和→OZ_{2}为邻边的平行四边形的对角线向量→OZ=→OZ_{1}+→OZ_{2}=(3,3)，对应的复数z_{1}+z_{2}=3 + 3i。

复数的加减法及其几何意义

（1）复数的加法运算法则是一种规定。当b=0，d=0 时与实数加法法则保持一致
（2）很明显，两个复数的和仍然是一个复数。
对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。
运算律
探究? 复数的加法满足交换律，结合律吗？
证复：数设的Z加1=a法1+满b1i足，交Z2=换a2律+b、2i，结Z合3=a律3+，b3i即(a对1，任a2，
4分析：依题意设y=ai（a∈R），则原式变为：
（2x －1)+i=(a －3)i +ai2=－ a+( a －3)i
2x －1= －a 由复数相等得
a －3=1
3
x=－ 2 y=4i
探究
2.复数减法运算的几何意义?
符合向量
复数z2－z1
y
Z2(c,d)
向量Z1Z2
减法
的三角形法则.
o
Z1(a,b)
课堂练习：1、计算 • (1)(２+4i)+(3-4i)= 5
• (2)(-3-4i)+(2+i)+(1-5i)= -8i • (3)已知Z1=a+bi,Z2=c+di，若Z1+Z2是纯虚数，
则有（ D ） • A.a-c=0且b-d≠0 B. a-c=0且b+d≠0 • C. a+c=0且b-d≠0 D.a+c=0且b+d≠0
x
结论：复数的差Z2－Z 1 与连接两个向量终点并指向被减数的向量对应.
几何意义运用
作图、如图的向量OZ 对应复数z，试作出下
列运算的结果对应的向量
y
z
1 z 1 2 z i 3 z (2 i)

复数的加减法和几何意义

3. 2.1复数代数形式的加减运算及几何意义高二数学蒋海英教学目标：知识与技能：掌握复数的加法运算及意义过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．教学难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。

教具准备：多媒体、实物投影仪。

教学设想：复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。

复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R )，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定.教学过程：复习回顾：1.复数的定义：2. 复数的代数形式:3. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当时，复数z =a +bi 叫做虚数；当时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当时，z 就是实数0.4.复数集与其它数集之间的关系： .5. 两个复数相等的定义：一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小6. 复平面、实轴、虚轴：点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法讲解新课：一．复数代数形式的加减运算１．复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=2. 复数z 1与z 2的差的定义：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=3. 复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1.证明：4. 复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)证明：设z 1=a 1+b 1i .z 2=a 2+b 2i ，z 3=a 3+b 3i (a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ).讲解范例：例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)例2计算：(1－2i )+(－2+3i )+(3－4i )+(－4+5i )+…+(－2002+2003i )+(2003－2004i )二.复数代数形式的加减运算的几何意义复数的加(减)法 (a +bi )±(c +di )=(a ±c )+(b ±d )i .与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减). １．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ 3.复数加法的几何意义：4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z =(a －c )+(b－d )i ，所以z －z 1=z 2，z 2+z 1=z ，由复数加法几何意义，以OZ 为一条对角线，1OZ 为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ 2所表示的向量2OZ 就与复数z －z 1的差(a －c )+(b －d )i 对应21OZ Z Z =，所以，两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. 例3已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？解：点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即AB 所表示的复数是z B －z A . ，而BA 所表示的复数是z A －z B ，故切不可把被减数与减数搞错尽管向量AB 的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量AB 所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关例4 复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 分析一：利用BC AD ，求点D 的对应复数.解法一：分析二：利用原点O 正好是正方形ABCD 的中心来解.解法二：点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用课堂练习：p109 1. 2.课后作业：课本第112页习题3.2 1 , 2 , 3课堂小结：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小复数的加法法则：复数加法的几何意义：如果复数z 1，z 2分别对应于向量1、2OP ，那么，以OP 1、OP 2为两边作平行四边形OP 1SP 2，对角线OS 表示的向量就是z 1+z 2的和所对应的向量复数减法的几何意义：两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.师生反思。

第十五课复数的加减运算及其几何意义

2 2 2 2
(a－c) ＋(b－d) ＝1. ② 由①②得 2ac＋2bd＝1.
2 2
∴|z1＋z2|＝ a＋c ＋b＋d ＝ a ＋c ＋b ＋d ＋2ac＋2bd＝ 3.
2 2 2 2 2 2
小结（略）
一、选择题 1．若复数 z 满足 z＋i－3＝3－i，则 z＝( A．0 B．2i C．6 D．6－2i )
→ ＝－OA →， → 对应的复数为－(3＋2i)，解： ①AO 则AO 即－3－2i. → ＝ OA → －OC → ，所以 CA → 对应的复数为 (3 ②CA ＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. → ＝OA → ＋ AB → ＝OA → ＋ OC → ，所以OB → 对应 ③ OB 的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即 B 点对应的复数为 1＋6i.
二、填空题 3．已知|z|＝3，且 z＋3i 是纯虚数，则 z＝________.
解：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，∵|z|＝3，∴a ＋b ＝9.
2 2
又 w＝z＋3i＝a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i 为纯虚数，
a＝0， ∴ b＋3≠0 a＝0，，即 b≠－3，
又 a ＋b ＝9，∴a＝0，b＝3.∴z＝3i.
3．对复数加减法几何意义的理解：它包含两个方面：一方面是利
用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方
面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
题型一、复数代数形式的加减运算
例 1：计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
解：∵z＋i－3＝3－i

7.2.1复数的加、减及其几何意义课件(人教版)

【变式训练3】如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小
值是(
)
A.1
B.
C.2
D.
解析:设复数-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,
因为|z+i|+|z-i|=2,|Z1Z2|=2,
所以点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为,动点Z在线段Z1Z2上移动,
-3-2i,那么向量对应的复数是
;
(2)设复数 z1 =1-i,z2 =2+2i 对应的点分别为 Z 1,Z2 ,则|Z 1 Z2 |
=
.
探究一复数的加、减运算
【例1】计算:
(1)(3-5i)+(-4-i)-(3+4i);
(2)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i).
复数代数情势的加、减法运算技能
0,3+2i,-2+4i.求:
(1)
表示的复数;
(2)对角线表示的复数;
(3)对角线
表示的复数.
解:(1)因为
=-
(2)因为 =
,所以
表示的复数为-3-2i.
− ,
所以对角线表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)因为对角线
所以对角线
=
+ ,
表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.
∴平行四边形 OZ1ZZ2 为正方形.
∴|z1-z2|=|
|=|
|=
.
,
,
.
1.解决复数问题时,设出复数的代数情势z=x+yi(x,y∈R),利用

复数的加减法几何意义

y
Z
A
b
y
Z
A
2a 0 Z a
C
x
0 Z
a
x
B
-b
B
6
二、复数加法与减法运算的几何意义
例3、已知复平面内一个平行四边形的三个顶点对应的复数是0, 5+2i , -3+i ，求第三个顶点对应的复数. 解：设 OA ,OB 对应的复数分别为5+2i ,-3+i
y
B
0
C
A
如图(1)，在
OACB中, OC = OA+ OB
16
复数加法与减法运算的几何意义
谢
谢
17
0
B
1
x
|Z+1-2i|min =|MA|= 5 -1
14
二、复数加法与减法运算的几何意义
2、设复平面内的点Z1 , Z2 分别对应复数为Z1 , Z2 ，则线段Z1 , Z2 垂直平分线的方程是：
y
1
|Z -Z1|=|Z -Z2 |
例如|Z+1|=|Z -i|是连结复数-1, i
1
Z
-1
0
x
在复平面内对应点的线段的垂直平分线方程。
y
Z2 Z1
证明：| Z 2 -Z 1| =|(x2+y2 i)- ( x1+ y1i)|
=|(x2- x1)+( y2- y1)i| = ( x2-x1)² + (y2 - y1)² =d
0
x
10
复数加法与减法运算的几何意义
例4、用复数表示圆心在点P，半径为r的圆的方程。
解：如图，设圆心P对应的复数是P=a+bi，圆的半径为r，

复数的加减法几何意义2

3 15
复数的几何意义及应用
一、加法的几何意义： Z1+Z2 y
Z2
Z1
o
x
以复数z1与z2所对应的向量为一组邻边画平行四边形，那么与这个平行四边形的对角线所表示的向量OZ即为两复数Z1+Z2的和。
y Z2
Z1+Z2
Z1
o
x
C B
E D
A
AB+BC+CD+DE=AE
二、复数减法的几何意义：
y
Z2
Z1Z2
Z1
x
O
1、两个复数的差z2-z1与连结两个向量终点并指向被减数的向量对应。 2、复平面上两点间的距离|Z1Z2|=|z2-z1|
1、2(|z1|2+|z2|2)=| z1+ z2|2+ | z1- z2|2
2、|z1|= |z2| 则平行四边形OABC是菱形
o 3、 | z1+ z2|= | z1- z2|
4、（1）若arg(-2-i)=α,arg(-3-i)=β,求α +β
（2）若z1=-2,z2=1+
√3 i,z3=1-i,求arg[(z1z2)/z3]
5、若|z1|=3,|z2|=5,|z1-z2|=7,求z1/z2
6.已知ABC的三个顶点A, B,C对应的复数分别为
z1,
z2 ,
z3 , 若
z2 z3
则平行四边形OABC是矩形;若z2≠0，则（z1/z2)2<0
C
z2 z2-z1
z1 A
z1+z2
B
4、 |z1|= |z2|，| z1+ z2|= | z1- z2| 则平行四边形OABC是正方形

高中数学复数知识点总结

高中数学复数知识点总结一、复数的定义复数是实数的扩展，形式为 `a + bi`，其中 `a` 和 `b` 是实数，`i` 是虚数单位，满足 `i^2 = -1`。

二、复数的代数形式1. 复数的加减法- 两个复数相加或相减时，分别将实部与实部、虚部与虚部相加或相减。

- 例如：`(2 + 3i) + (1 - 4i) = (2 + 1) + (3 - 4)i = 3 - i`。

2. 复数的乘法- 两个复数相乘时，使用分配律和虚数单位 `i` 的性质。

- 例如：`(2 + 3i)(1 - 4i) = 2 - 8i + 3i - 12i^2 = 2 - 5i + 12 = 14 - 5i`。

3. 复数的除法- 两个复数相除时，先将分母的复数取共轭，然后相乘，最后将结果化简。

- 例如：`(2 + 3i) / (1 - 4i) = (2 + 3i)(1 + 4i) / (1 -4i)(1 + 4i) = (8 + 10i + 12i + 12i^2) / (1 + 16i^2) = (20 +22i) / 17 = 20/17 + (22/17)i`。

三、复数的几何意义复数 `a + bi` 可以对应于平面上的点 `(a, b)`，其中 `a` 是横坐标，`b` 是纵坐标。

这种表示方法称为复数的几何表示或阿尔冈图。

四、复数的模和幅角1. 模（Magnitude）- 复数 `z = a + bi` 的模是`|z| = √(a^2 + b^2)`。

- 模表示复数在复平面上的长度。

2. 幅角（Argument）- 复数 `z = a + bi` 的幅角（或称为相位）是`θ =arctan(\frac{b}{a})`。

- 幅角表示复数与实轴正方向的夹角，取值范围为 `0` 到`2π`。

五、复数的极坐标形式复数 `z = a + bi` 可以表示为极坐标形式`r(cosθ + isinθ)`，其中 `r` 是模，`θ` 是幅角。

4.3.1复数的加法与减法

2．实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中仍然成立．
3．两个(或几个)复数的和(或差)仍然是一个复数，求两个复数的和(或差)时，要准确找出复数的实部与虚部，明确有关概念．
4．从几何意义上理解，复数的加减运算同平面向量的加减运算是一样的，这为我们利用数形结合解题提供了条件，如|z－(1＋i)|＝1表示以(1,1)为圆心，以1为半径的圆；|z1＋z2|＝|z1－z2|表示以和为邻边的四边形为矩形等．
三、解答题
10．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝4，求z1，z2.
11．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，求向量＋，对应的复数及A、B两点之间的距离．
12．设z1＝1＋2ai，z2＝a－i(a∈R)，A＝{z||z－z1|<}，B＝{z||z－z2|≤2}，已知A∩B＝∅，求a的取值范围．
六、
一、选择题
1．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1＋z2在复平面内对应的点位于()
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是()
A.B.i C.＋i D.＋2i
3．设f(z)＝z，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)＝()
A．0B．2i C．6 D．6－2i
2．计算(－i＋3)－(－2＋5i)的结果为()
A．5－6i B．3－5i C．－5＋6i D．－3＋5i
3．向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是()
A．－10＋8i B．10－8i C．0 D．10＋8i
4．若、对应的复数分别是7＋i,3－2i，等的充要条件解题时要确保复数必须化成a＋bi(a，b∈R)的形式，否则等量关系不成立．

复数的加、减运算及其几何意义

我们规定，复数的加法法则如下：设z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d RR ）是两个任意复数，那么它们的和
（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i
说明:（1）复数的加法运算法则是一种规定.当b=0，d=0时，与实数加法法则保持一致;
（2）两个复数的和仍然是一个复数,对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形.
知识一：复数的加法
探究：
设z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d RR）是两个任意复数，由于希望加法结合律成立，
z1+z2=（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（bi+di）
由于希望乘法分配律成立，
z1+z2=（a+c）+（bi+di）=（a+c）+（b+d）i
这样就猜想出了复数的加法法则.
说明：（3）复数的加法法则：
（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i 如果将i 看作“变元”，a+bi中的实部和虚部 a，b看作常数，我们就可以将复数看成是 “一次二项式”，很容易发现两个复数相加与两个一次二项式相加（合并同类项）一致. 这样，得到两个复数相加与两个多项式相加相类似.
例题2
y
解：复平面内的点Z1(x1,y1)，Z2(x2,y2) 对应的复数分别为z1=x1+y1i，z2=x2+y2i，所以点Z1，Z2之间的距离为
Z2(x2,y2)
z2
z2-z1
Z1(x1,y1)

课件复数加减法及几何意义

(3)对角线O→B表示的复数. 解因为O→B＝O→A＋O→C，所以对角线O→B表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
反思感悟
复数与向量的对应关系的两个关注点 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的. (2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变.
解析 ∵z＋(3－4i)＝1， ∴z＝－2＋4i，故z的虚部是4.
4.已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝_－__1__.
解析 ∵z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数， ∴aa22－＋aa－－26＝ ≠00，，解得 a＝－1.
设问2、复数还有其它特殊情形吗？是什么？对这类复数的加法，你有什么想法？举例说明。
纯虚数2i与3i的和是多少呢?
即 z1=0+2i ，z2=0+3i 猜想z1+z2=(0+0)+(2+3)i=0+5i=5i。
猜想归纳对一般的两个复数相加有什么猜想，即
z1=a1+b1i， z2=a2+b2i ，z1+z2=？
跟踪训练 2 已知平行四边形 ABCD 中，A→B与A→C对应的复数分别是 3＋2i 与 1＋4i，
两对角线 AC 与 BD 相交于点 O.求： (1)A→D对应的复数；
解因为ABCD是平行四边形，
D
C
o
所以A→C＝A→B＋A→D，于是A→D＝A→C－A→B，
A
而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，即A→D对应的复数是－2＋2i.

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有理数分数
实数 a (b=0)
复数z = a+bi
(a、bR)
无理数
零负分数无限不循环小数
纯虚数bi (a 0，b 0) 虚数 a+bi (b0) 非纯虚数a+bi(a 0，b 0)
3、复数的几何意义是什么？
3、复数的几何意义是什么？
（数）复数z=a+bi 一一对应一一对应（形）直角坐标系中的点Z(a,b) 一一对应
A组ex1~3 2）类比实数的乘法和除法，试探讨复数的乘除法运算。 3）预习3.2.2复数代数形式的乘除运算。
图形: 以原点为圆心, 半径3至5的圆环内
问题探索
探讨、两个复数：z1＝a1+b1i ，z2=a2+b2i z1+z2=?
设问1、回忆:是否学习过某些复数的加减运算？能否用复数形式表达?若能，从复数的概念角度如何解释？实数2与3的和有2＋3＝5
写成复数形式为z1=2+0i,z2=3+0i
显然，此时式子z1+z2=(2+3)+(0+0)i=5
向量Z1Z2
y
Z2(c,d)
Z1(a,b)
o
x
结论：复数的差Z2－Z 1 与连接两个向量终点并指向被减数的向量对应.
归纳总结
二、复数加法与减法运算的几何意义
y
Z2 Z1
Z
y
Z2 Z1
0
x
(1)
0
x
(2)
复数的和对应向量的和复数的差对应向量的差
几何意义运用
练习、如图的向量OZ 对应复数z，试作出下列运算的结果对应的向量
y
Z2 Z1
| z1 z 2 || (a c) (b d )i | (a c) (b d )
2 2
0
x
复平面内两点距离就是对应两个复数的差的模
已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义.
(1)|z－(1+2i)|
点A到点(1,2)的距离
(2)|z+(1+2i)|
y
1
3
2
z 1 z i z (2 i )
z
o
１
x
几何意义运用
例3
已知 OA, OB对应复数是 3 2i,2 i, 求向量 AB对应的复数.
变式1 已知复平面内一平行四边形AOBC顶点A,O,B 对应复数是 -3+2i, 0, 2+i ，求点C对应的复数.

几何意义运用变式1 已知复平面内一平行四边形AOBC顶点A,O,B 对应复数是 -3+2i, 0, 2+i ，求点C对应的复数.
归纳:复数可以求和差，虚实各自相加减。
例题讲解例1、计算(2－3i )+(-8－3i) － (3－4i) 解： (2－3i )+(-8－3i) － (3－4i) = (2－8－3)+(-3－3+4)i = -9－2i .
点评：复数可以求和差，虚实各自相加减
学以致用
练习:计算下列各式 ⑴ (2+4i)+(3-4i) ⑵ ⑶ (-3+2i)-(-3-2i) (4-i)+3i
z =a +b i Z (a,b)
O
y
| z | = a 2 b2
x
思考：
(1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？
(2)这些复数对应的点在复平面上构
成怎样的图形？
y
满足|z|=5(z∈C) 的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？
设z=x+yi(x,y∈R)
| z | x y 5
问题探索设问3、复数的加法满足交换律，结合律吗？即:对于任意的 z1 , z2 , z3 C ,有
z1 z2 z2 z1
证：设Z1=a1+b1i，Z2=a2+b2i，Z3=a3+b3i (a1，a2， a3，b1，b2，b3∈R) 则Z1+Z2=（a1+a2)+(b1+b2)i， Z2+Z1=（a2+a1)+(b2+b1)i
复数的减法法则：
（a+bi）－（c+di）=(a－c)+(b－d)i
点评：根据复数相等的定义，我们可以得出复数的减法法则，且知两个复数的差是唯一确定的复数。
归纳总结
一、复数加法与减法的运算法则
a bi c di a c b d i
(a, b, c, d R)
平面向量 OZ
y
z=a+bi
建立了平面直角坐标系来表示复数的平面------复数平面 (简称复平面) x轴------实轴 y轴------虚轴 x
Z(a,b)
o
b

a
4、复数的绝对值(复数的模)的几何意义是什么？
对应平面向量 OZ 的模| OZ |，即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。
2 2
5
–5 O
5 x
x y 25
2 2
–5
图形: 以原点为圆心,5为半径的圆上
猜想：
满足3<|z|<5(z∈C) 的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？ –5 设z=x+yi(x,y∈R)
5
y
3
–3
O
5
3
5 x
3 x y 5
2 2
9 x y 25
2 2
–3
–5
对一般的两个复数相加有什么猜想，即 z1=a1+b1i， z2=a2+b2i ，z1+z2=？
归纳、类比
复数的加法法则：
（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
点评:（1）复数的加法运算法则是一种规定。当b=0， d=0时与实数加法法则保持一致。（2）两个复数的和仍然是一个复数。对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。
点A到点(－1, －2)的距离
(3)|z－1|
点A到点(1,0)的距离 (4)|z+2i|
点A到点(0, －2)的距离
课堂小结
1.复数代数形式的加减运算: 复数可以求和差，虚实各自相加减。
2.复数加减运算的几何意义:
一一对应
复数加减
一一对应
复平面的点坐标运算平面向量加减
一一对应
反馈作业
1）教材P63习题3.2
人教版选修1-2
3.2.1
复数代数形式的加减运算及其几何意义
复数加减及其几何意义
知识回顾
请你谈谈对复数的理解与思考.
知识回顾 a+bi(a，b∈R) 的数叫做复 1、复数的概念：形如______________ 实部和虚部。数，a，b分别叫做它的_____________ 2、复数Z1=a1+b1i与Z2=a2+b2i 相等的充要条件是 a1=a2，b1=b2 _____________。正分数小数
1.复数加法运算的几何意义?
符合向量加法的平行四边形法则.
y
z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ Z(a+c,b+d) Z2(c,d)
Z1(a,b)
o
x
结论：复数的加法可以按照向量的加法来进行,复数的和对应向量的和。
问题探索
2.复数减法运算的几何意义?
复数z2－z1 符合向量减法的三角形法则.
⑷
⑸
5－(3+2i)
(－3－4i)+(2+i)－(1－5i)
⑹
(2－i)－(2+3i)+4i
二、复数加法与减法运算的几何意义
复数z=a+bi
一一对应一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
平面向量 OZ
y b
z=a+bi Z(a,b)
a
?由此出发探讨复数加法的几何意义
o
x
问题探索
解:复数-3+2i ,2+i,0对应点A(-3,2),B(2,1),O(0,0),如图.
y
C A
在平行四边形 AOBC中,
OC OA OB
B
OC (3,2) (2,1) (1,3)
0
x
∴ 点C对应的复数是
-1+3i
变式２已知复平面内一平行四边形ABCＤ三个顶点对应复数是 -3+2i, 2+i, 1+5i求第四个对应的复数.
问题探索
探讨、两个复数：z1＝a1+b1i ，z2=a2+b2i z1+z2=?
设问2、复数还有其它特殊情形吗？是什么？对这类复数的加法，你有什么想法？举例说明。纯虚数2i与3i的和是多少呢?
即 z1=0+2i ，z2=0+3i
猜想z1+z2=(0+0)+(2+3)i=0+5i=5i。
猜想归纳
同理可证
z1 ( z2 z3 ) ( z1 z2 ) z3
点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中依然成立。
类比猜想设问4、类比复数的加法法则,你认为复数有减法吗? 复数的减法法则如何呢？复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足（c+di）+（x+yi）= a+bi的复数x+yi 叫做复数 a+bi减去复数c+di的差，记作（a+bi）－（c+di）

复数加减法及几何意义

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复数的几何意义与加减法的几何意义

复数的加减法几何意义2

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复数的加减法和几何意义

第十五课复数的加减运算及其几何意义

7.2.1复数的加、减及其几何意义课件(人教版)

复数的加减法几何意义

复数的加减法几何意义2

高中数学复数知识点总结

4.3.1复数的加法与减法

复数的加、减运算及其几何意义

课件复数加减法及几何意义

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